algorytm Euklidesa i jego zastosowanie

1. Opracowanie: Renata Kałamaja

2.  Żył w latach od ok. 365 p.n.e. do ok. 300 p.n.e
 Pochodził z Aten, ale większość życia spędził
w Aleksandrii
 Jego dzieło „Elementy” stanowi zbiór
wszystkich ówczesnych wiadomości o
matematyce

3.  pozwala na obliczenie największego
wspólnego dzielnika dwóch liczb naturalnych.
 NWD jest największą liczbą naturalną
spośród tych, które dzielą obie te liczby bez
reszty,
np. NWD(120,80) = 40.
 do początku ery komputerowej, czyli do
połowy XX w., uchodził za synonim pojęcia
algorytm

4. Opiera się na fakcie, że jeśli od większej liczby
odejmiemy mniejszą, to ta mniejsza liczba i
otrzymana różnica będą miały taki sam największy
wspólny dzielnik jak pierwotne liczby.
Gdy przy kolejnym odejmowaniu otrzymamy parę
takich samych liczb, to znaleźliśmy NWD.
Np.
NWD(36,45)=NWD(36,9)=NWD(27,9)=NWD(18,9)=
NWD(9,9)=9

5. http://static.scholaris.pl/1/20131231_52c2a2d3e2d48/najwiekszy_wspolny_dzielnik_cykl_66148_720p.webm

7. Skracanie ułamków – licznik i mianownik
ułamka dzielimy przez ich największy wspólny
dzielnik
np.
36
45
=
4
5
bo NWD(36,45)=9

8. Obliczanie najmniejszej wspólnej
wielokrotności dwóch liczb
𝑁𝑊𝑊 𝑎, 𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑁𝑊𝐷(𝑎, 𝑏)
np. 𝑁𝑊𝑊 36,45 =
36∙45
𝑁𝑊𝐷(36,45)
=
36∙45
9
= 180

9.  Wypełnianie wodą naczynia o określonej
pojemności za pomocą dwóch czerpaków o
wybranych pojemnościach
 Związek tej łamigłówki z algorytmem Euklidesa
zawarty jest w następujących stwierdzeniach:
 Najmniejsza pojemność naczynia, jaką można wypełnić czerpakami o
pojemności m i n jest równa NWD(m,n)
 Czerpakami o pojemności m i n można napełnić naczynie jedynie o
pojemności, która jest wielokrotnością NWD(m,n)

10. http://static.scholaris.pl/main-
file/107/przelewanie-wody_63826.swf
Symulacja sprawdzająca, czy można nalać potrzebną ilość wody za
pomocą dwóch określonych czerpaków.

11. Maciej M. Sysło „Piramidy, szyszki i inne konstrukcje algorytmiczne”,
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne,Warszawa 1998
http://pl.wikipedia.org/wiki/Euklides
http://static.scholaris.pl/1/20131231_52c2a2d3e2d48/najwiekszy_wspolny_dz
ielnik_cykl_66148_720p.webm
http://static.scholaris.pl/main-file/107/przelewanie-wody_63826.swf