Документ обсуждает частично упорядоченные множества, цепи и антицепи, а также важные теоремы, такие как теорема Шпернера и теорема Дилуорта. Основное внимание уделяется разложению частично упорядоченных множеств на цепи и антицепи, с указанием минимальных чисел, необходимых для таких разложений. Включены доказательства теорем и выводы, связанные с теоремой Халла.

1. Дискретные
структуры
весна 2014
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Частично упорядоченные множества

3. Частично упорядоченные множества

4. Цепи и антицепи

5. Цепи и антицепи
Так схематично выглядят цепи и антицепи:
Каждая цепь и антицепь имеют не больше одного общего
элемента.

6. Булеан / булев куб

7. Антицепи в булеане: теорема Л.—Я.—
М.

8. Доказательство теоремы Л.—Я.—М.

9. Доказательство теоремы Л.—Я.—М.

10. Теорема Шпернера

11. Цепи и антицепи
Разложить ч. у. м. на цепи — это значит представить носитель
ч. у. м. объединением попарно непересекающихся цепей.
Аналогично определяется для антицепей.
Теорема.
• Минимальное число антицепей, на которое можно разложить
ч. у. м., равно максимальному размеру цепи в этом ч. у. м.
• Минимальное число цепей, на которое можно разложить ч. у. м.,
равно максимальному размеру антицепи в этом ч. у. м. (теор.
Дилуорта)

16. Вывод теоремы Холла из теоремы
Дилуорта

17. Вывод теоремы Холла из теоремы
Дилуорта

18. Вывод теоремы Холла из теоремы
Дилуорта