Шугаман тэгшитгэлийн систем

1. ЛЕКЦ –7
СЭДЭВ: Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåì,Крамерийн дүрэм,Урвуу
матриц Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìийг урвуу матрицын аргаар бодох
ЗОРИЛГО: Ýíý õè÷ýýëýýð øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèстемийн тухай ойлголт,
óðâóó ìàòðèöûí тухай, Êðàìåðèéí ä¿ðìèéí òóñëàìæòàéãààð шугаман
тэгшитгэлийн систем õýðõýí îëîõ òàëààð ойлголт өгөх.
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ :
1. Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí åðºíõèé ñèñòåì







=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
ýíý ñèñòåìèéã íýãýí òºðëèéí áèø ñèñòåì
ãýíý.







=+++
=+++
=+++
oxaxaxa
oxaxaxa
oxaxaxa
nnnnn
nn
nn
...
...
...
2211
2222121
11212111
ýíý ñèñòåìèéã íýãýí òºðëèéí ñèñòåì
ãýíý.
1. Шóãàìàí òýãøèòãýëèéí áîäîõ Êðàìåðèéí ä¿ðýì
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.
...
...
21
22221
11211
=∆ - ¿íäñýí òîäîðõîéëîã÷èéã áîäíî.
Äàðàà íü
nn
n
n
ab
ab
ab
...a
.
...a
...a
n21
2222
1121
1 =∆
nn3n1
2n221
1n111
2
a...b
...ab
a...b
a
a
a
=∆ - ãýõ ìýò÷èëýí ñóë ãèø¿¿äèéã áàãàíààð
ñîëèæ
n∆∆∆ ...21 - èéã áîäîîä
∆
∆
= 1
1X
∆
∆
= 2
2X …
∆
∆
= n
nX ãýñýí ãàíö øèéäòýé
áàéíà.

2. Æèøýэлбэл :





=+−
=+−
=+−
9786
1554
232
zyx
zyx
zyx
ñèñòåìèéí øèéäèéã îë.
49
876
154
231
−=
−
−
−
=∆ 147
879
1515
232
1 −=
−
−
−
=∆ 98
697
4155
123
2 −==∆ 49
896
1154
221
3 −=
−
−
−
=∆
3
49
147
=
−
−
=X 2
49
98
=
−
−
=Y 1
49
49
=
−
−
=Z
3.Óðâóó ìàòðèö














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
- ãýñýí ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷ íü
òýãýýñ ÿëãààòàé áîë ò¿¿íèéã ¿ë áºõºõ ìàòðèö , òýãòýé òýíö¿¿ áîë áºõºõ ìàòðèö
ãýíý. ¯ë áºõºõ ìàòðèö íü óðâóó ìàòðèöòàé áàéíà. Óðâóó ìàòðèöûã À-1
ãýæ
òýìäýãëýíý.
А – матрицын хувьд 𝐸𝐸 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴−1
тэнцэтгэл биелэж байвал 𝐴𝐴−1
матрицыг
А – матрицын урвуу матриц гэнэ.
Урвуу матрицыг олохдоо
nnnnn
n
n
AAAA
AAAA
AAAA
A
...
...
...
1
321
2322212
1312111
1
∆
=−
гэж олно
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.
...
...
21
22221
11211
=∆ -èéã À-ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷ .
nnnnn
n
n
AAAA
AAAA
AAAA
...
...
...
321
2322212
1312111
-èéã À-
ìàòðèöûí àëãåáðûí ã¿éöýýëò¿¿äýýð çîõèîñîí òîäîðõîéëîã÷.
Ýíä lrA íü À ìàòðèöûí ira ýëåìåíòèéí àëãåáðûí ã¿éöýýëò áà
ã¿éöýýëò¿¿äýýð çîõèîñîí ìàòðèöûã õºðâ¿¿ëæ áè÷íý. Ýíý ìàòðèöûã óÿëäñàí
ìàòðèö ãýäýã.
Æèøýýлбэл:










−=
213
312
521
A матрицын урвуу матрицыг ол

3. Мàòðèöûí óðâóó ìàòðèöûã îëîõäîî äàðààõ áàéäëààð áîäíî.
Ýõëýýä ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷èéã îëíî 30
213
312
521
=−=∆
äàðàà íü óÿëäñàí ìàòðèöûí ýëåìåíò¿¿ä 33322322;1312 ;;;;; AAAAAA - èéã îëíî.
( ) 5
21
31
1
11
11 −=
−
⋅−=
+
A ( ) 5
23
32
1
21
12 =−=
+
A ( ) 5
13
12
1
31
13 =
−
−=
+
A
( ) 1
21
32
1
12
21 −=⋅−=
+
A ( ) 13
23
51
1
22
22 −=−=
+
A ( ) 5
13
21
1
32
23 =−=
+
A
( ) 11
31
52
1
13
31 =
−
−=
+
A ( ) 7
32
51
1
23
32 =−=
+
A ( ) 5
12
21
1
33
33 −=
−
−=
+
A
4.Шóãàìàí òýãøèòãýëèéí систем áîäîõ Урвуу матрицын арга







=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
ñèñòåìèéã ýíý àðãààð áîäîõûí òóëä
Äýýðõ ñèñòåìèéã äàðààõ áàéäëààð òîâ÷ áè÷èæ áîëíî.














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
үндсэн матриц














=
nx
x
x
X 2
1














=
nb
b
b
B 2
1
ãýñýí áàãàíàí
ìàòðèöóóä
ÀÕ=Â тэгшитгэлийн хоёр талыг 𝐴𝐴−1
аар үржүүлэхэд Õ=A-1
B болно
Æèøýýлбэл :





=+
=++
=+
132
2323
102
32
321
21
xx
xxx
xx
системийг урвуу матрицын аргаар бод

4. 









=
210
123
021
A










=
3
2
1
x
x
x
X










=
31
32
01
B


















−
−
−−
=−
3
4
3
1
1
3
1
3
2
2
3
2
3
4
1
3
11
A










=










⋅


















−
−
−−
=
5
3
4
31
32
01
9
4
9
1
3
1
9
1
9
2
3
2
9
2
9
4
3
1
X Õ1=4 X2=3 X3=5
Матрицын ранг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн систем нийцтэй ,нийцгүйг
урьдчилан мэдэж болдог.
Êðîíåêåð-Êàïåëëèéí òåîðåì
Òåîðåì . Õýðýâ À áà ìàòðèöûí ðàíãóóä òýíö¿¿ áàéâàë Ñèñòåì òýãøèòãýë
íèéöòýé. Õýðýâ À ìàòðèöûí ðàíã Â ìàòðèöûí ðàíãààñ áàãà áàéâàë ñèñòåì
òýãøèòãýë íèéöã¿é áàéíà. Ýíý òåîðîì äóðûí øóãàìàí òýãøèòãýëèéí õóâüä
õ¿÷èíòýé.














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211
үндсэн матриц














=
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...
...
21
222221
111211
- èéã À ìàòðèöûí ºðãºòºãñºí
ìàòðèö ãýíý.
Øóãàìàí òýãøèòãýëèéí ñèñòåìèéã áîäîõ Ãàóññ буюу Гаусс-Жорданû àðãà
Ñèñòåìèéã áîäîõ îëîí àðãûí äîòðîîñ õàìãèéí òîõèðîìæòîé àðãà íü ¿ë
ìýäýãäýã÷èéã äàðààëóóëàí çàéëóóëàõ àðãà þì.

5. 






=+++
=+++
=+++
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
ñèñòåìèéã ýíý àðãààð áîäîõûí òóëä өргөтөгсөн матрицыг шаталсан хэлбэрт
оруулна.
Өргөтгөсөн матрицын зөвхөн мөрүүд дээр
à. Мартицын аль нэг мөрийг ямар нэг тоогоор үржүүлэн өөр нэг мөр дээр нэмэх
á. Матрицын мөрийн байруудыг солих
в . Матрицын аль нэг мөрийг өөр мөрийг тогтмол тоогоор үржүүлээд уг мөрөн дээр
нэмсэн мөрөөр солих гэсэн хувиргалтуудыг хийсний дараа сèñòåìèéí ç¿¿í òàë
äàðààõ шаталсан õýëáýðò îðñîí áàéíà.














=
nnnnn
n
n
baaa
baaa
baaa
B
...
...
...
21
222221
111211
өргөтгөсөн матриц







=
=++
=+++
nnnn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
............................
.............
...
22222
11212111
õýëáýðò îðñîí
áàéíà.
- Õýðýâ òýãøèòãýëèéí á¿õ êîýôôèöèåíò òýãòýé òýíö¿¿ áà ñóë ãèø¿¿í ìºí òýã
áîë
сèñòåì òîî òîìèøã¿é îëîí øèéäòýé.
- Õàðèí ñóë ãèø¿¿í òýãòýé òýíö¿¿ áèø áîë ñèñòåì øèéäã¿é.
Æèøýýлбэл:





=−−
=+−
−=++
2563
23
952
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Системийг Гауссийн аргаар бод

6. 




=−
=−−
−=++
⇒
−
−
−−→
−
−−
−−→
−
−
−
+−+−
−
88...............
1123.....
952
8
11
9
8
23
521
52
11
9
1412
23
521
25
2
9
163
311
521
3
32
32143 3231
21
x
xx
xxx
oo
o
o
o
kkkk
kk
X1=2 X2=-3 X3=-1