Бинарные переменные

1. Лекции по Эконометрике.
Бинарные переменные
Н. В. Артамонов
МГИМО МИД России
18 октября 2017 г.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 1 / 21

2. Содержание
1 Бинарные переменные
Зачем нужны?
Включение в модель
Структурные изменения
Общие качественные факторы
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 2 / 21

3. Зачем нужны?
Бинарные переменные (Binary variables, Dummies) используются
для
учёта качественных признаков, имеющих два “значения”:
“да” и “нет”;
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 3 / 21

4. Зачем нужны?
Бинарные переменные (Binary variables, Dummies) используются
для
учёта качественных признаков, имеющих два “значения”:
“да” и “нет”;
учёта структурных изменений;
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 3 / 21

5. Зачем нужны?
Бинарные переменные (Binary variables, Dummies) используются
для
учёта качественных признаков, имеющих два “значения”:
“да” и “нет”;
учёта структурных изменений;
учёта качественных факторов (факторных признаков),
имеющих более двух “значений”.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 3 / 21

6. 1 Бинарные переменные
Зачем нужны?
Включение в модель
Структурные изменения
Общие качественные факторы
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 4 / 21

7. Как учитывать качественный признак?
Важно!
Бинарные переменные можно учитывать в модели регрессии
несколькими способами (рассматривать разные спецификации).
Рассмотрим на примерах
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 5 / 21

8. Пример (Зарплатное уравнение)
Пусть wage – зарплата, educ – уровень образования, gender –
гендерный фактор. Рассмотрим регрессию
wage = β0 + β1educ + β2gender + error
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 6 / 21

9. Пример (Зарплатное уравнение)
Пусть wage – зарплата, educ – уровень образования, gender –
гендерный фактор. Рассмотрим регрессию
wage = β0 + β1educ + β2gender + error
Тогда коэффициент β2 измеряет “дискриминацию” по
гендерному признаку.
НО отдача от образования одинакова для М и для Ж.
Тестирование значимости β2 означает тестирование значимости
“дискриминации”.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 6 / 21

10. Пример (продолжение)
Рассмотрим теперь регрессию
wage = β0 + β1educ + β2gender + β3gender · educ + error .
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 7 / 21

11. Пример (продолжение)
Рассмотрим теперь регрессию
wage = β0 + β1educ + β2gender + β3gender · educ + error .
Перепишем её следующим образом
wage = β0 + β2gender + (β1 + β3gender)educ + error
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 7 / 21

12. Пример (продолжение)
Рассмотрим теперь регрессию
wage = β0 + β1educ + β2gender + β3gender · educ + error .
Перепишем её следующим образом
wage = β0 + β2gender + (β1 + β3gender)educ + error
Тогда отдача от образования зависит от гендерного фактора и
коэффициент β3 показывает разницу в отдаче от образования
между М и Ж.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 7 / 21

13. Пример (продолжение)
Перепишем уравнение в виде
wage = β0 + β1educ + (β2 + β3educ)gender + error
Следовательно, “отдача” от гендерного фактора зависит от
образования и коэффициент β2 не имеет простой интерпретации.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 8 / 21

14. Пример (продолжение)
Далее, в регрессии
wage = β0 + β1educ + β2gender + β3gender · educ + error .
тестирование значимости “дискриминации” по гендерному
признаку означает тестирование гипотезы
H0 : β2 = β3 = 0.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 9 / 21

15. Пример (продолжение)
Далее, в регрессии
wage = β0 + β1educ + β2gender + β3gender · educ + error .
тестирование значимости “дискриминации” по гендерному
признаку означает тестирование гипотезы
H0 : β2 = β3 = 0.
Вопрос: какая интерпретация следующих гипотез
H0 : β3 = 0,
H0 : β2 = 0.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 9 / 21

16. 1 Бинарные переменные
Зачем нужны?
Включение в модель
Структурные изменения
Общие качественные факторы
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 10 / 21

17. Структурные изменения
Бинарные переменные можно использовать для учёта
структурных изменений (структурных сдвигов) и тестирования на
наличие структурных изменений (на наличие структурных
сдвигов).
Пусть бинарная переменная D отвечает за структурное
изменение.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 11 / 21

18. Модель со структурными изменениями
Для учёта структурных сдвигов рассмотрим модель
y = x β + (D · x )γ + u =
β0 + β1x1 + · · · + γ0D + γ1(D · x1) + · · · + u =
x (β + Dγ) + u
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 12 / 21

19. Модель со структурными изменениями
Для учёта структурных сдвигов рассмотрим модель
y = x β + (D · x )γ + u =
β0 + β1x1 + · · · + γ0D + γ1(D · x1) + · · · + u =
x (β + Dγ) + u
В этой регрессии
γ0 – величина структурного изменения константы,
γ1 – величина структурного изменения “отдачи” от x1 и т.д.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 12 / 21

20. Тест Чоу на структурные изменения
Для регрессии
y = x β + (D · x )γ + u
тестируем (сложную) гипотезу
H0 : γ = 0 ⇐⇒ H0 : γ0 = γ1 = · · · = γk = 0
по F-тесту.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 13 / 21

21. Пример (Продолжительность сна)
Рассмотрим модель зависимости продолжительности сна sleep от
занятости totwrk и возраста age
sleep = β0 + β1totwrk + β2age + β3age2
+ error
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 14 / 21

22. Пример (Продолжительность сна)
Рассмотрим модель зависимости продолжительности сна sleep от
занятости totwrk и возраста age
sleep = β0 + β1totwrk + β2age + β3age2
+ error
Модель с учётом гендерных структурных сдвигов
sleep = β0 + β1totwrk + β2age + β3age2
+
γ0gender + γ1gender · totwrk + γ2gender · age+
γ3gender · age2
+ error
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 14 / 21

23. Пример (Продолжительность сна)
Рассмотрим модель зависимости продолжительности сна sleep от
занятости totwrk и возраста age
sleep = β0 + β1totwrk + β2age + β3age2
+ error
Модель с учётом гендерных структурных сдвигов
sleep = β0 + β1totwrk + β2age + β3age2
+
γ0gender + γ1gender · totwrk + γ2gender · age+
γ3gender · age2
+ error
Гипотеза теста Чоу
H0 : γ0 = γ1 = γ2 = γ3 = 0
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 14 / 21

24. 1 Бинарные переменные
Зачем нужны?
Включение в модель
Структурные изменения
Общие качественные факторы
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 15 / 21

25. Рассмотрим теперь качественный фактор (факторную
переменную), имеющий более двух значений “значений” (пусть
“значений”).
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 16 / 21

26. Рассмотрим теперь качественный фактор (факторную
переменную), имеющий более двух значений “значений” (пусть
“значений”).
Пример
Цвет, сезонность, метод огранки, прозрачность
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 16 / 21

27. Правило
Если качественный фактор имеет “значений”, то в модель
нужно включить ( − 1) бинарную переменную.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 17 / 21

28. Правило
Если качественный фактор имеет “значений”, то в модель
нужно включить ( − 1) бинарную переменную.
Основной вопрос: как интерпретировать коэффициенты при этих
бинарных переменных?
Разберем на примерах.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 17 / 21

29. Сезонность
Факторный регрессор “сезонность” имеет 4 “значения” (“уровня”).
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 18 / 21

30. Сезонность
Факторный регрессор “сезонность” имеет 4 “значения” (“уровня”).
Пример: рассмотрим функцию спроса с тремя фиктивными
переменными Spr, Summ, Fall
Q = β0 + β1P + β2Spr + β3Summ + β4Fall + u.
Два вопроса:
Как интерпретировать коэффициенты?
Почему нет зимы?
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 18 / 21

31. Сезонность: интерпретация коэффициентов
Имеем
Зима : Q = β0 + β1P + u
Весна : Q = β0 + β1P + β2 + u
Лето : Q = β0 + β1P + β3 + u
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 19 / 21

32. Сезонность: интерпретация коэффициентов
Имеем
Зима : Q = β0 + β1P + u
Весна : Q = β0 + β1P + β2 + u
Лето : Q = β0 + β1P + β3 + u
Интерпретация коэффициентов:
β2 – изменение спроса весной по отношению к зиме.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 19 / 21

33. Сезонность: интерпретация коэффициентов
Имеем
Зима : Q = β0 + β1P + u
Весна : Q = β0 + β1P + β2 + u
Лето : Q = β0 + β1P + β3 + u
Интерпретация коэффициентов:
β2 – изменение спроса весной по отношению к зиме.
β3 – изменение спроса летом также по отношению к зиме.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 19 / 21

34. Сезонность: интерпретация коэффициентов
Имеем
Зима : Q = β0 + β1P + u
Весна : Q = β0 + β1P + β2 + u
Лето : Q = β0 + β1P + β3 + u
Интерпретация коэффициентов:
β2 – изменение спроса весной по отношению к зиме.
β3 – изменение спроса летом также по отношению к зиме.
аналогично β4 – изменение спроса осенью также по
отношению к зиме.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 19 / 21

35. Сезонность
Вывод
Зима – “базовый” уровень (сезон).
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 20 / 21

36. Сезонность
Вывод
Зима – “базовый” уровень (сезон).
Коэффициент показывают отклонения от “базового” уровня
(сезона).
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 20 / 21

37. Сезонность
Вывод
Зима – “базовый” уровень (сезон).
Коэффициент показывают отклонения от “базового” уровня
(сезона).
Очевидно, что выбор “базового” уровня произволен и
определяется только удобством.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 20 / 21

38. Сезонность: почему не включили зиму?
Рассмотрим регрессию со всем четырьмя сезонами
Q = β0 + β1P + β2Win + β3Spr + β4Summ + β5Fall + u
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 21 / 21

39. Сезонность: почему не включили зиму?
Рассмотрим регрессию со всем четырьмя сезонами
Q = β0 + β1P + β2Win + β3Spr + β4Summ + β5Fall + u
В этой регрессии есть идеальная мультиколлинеарность.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 21 / 21

40. Сезонность: почему не включили зиму?
Рассмотрим регрессию со всем четырьмя сезонами
Q = β0 + β1P + β2Win + β3Spr + β4Summ + β5Fall + u
В этой регрессии есть идеальная мультиколлинеарность.
В самом деле всегда
Win + Spr + Summ + Fall = 1.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 21 / 21

41. Сезонность: почему не включили зиму?
Рассмотрим регрессию со всем четырьмя сезонами
Q = β0 + β1P + β2Win + β3Spr + β4Summ + β5Fall + u
В этой регрессии есть идеальная мультиколлинеарность.
В самом деле всегда
Win + Spr + Summ + Fall = 1.
Следовательно, невозможно однозначно оценить модель.
Н. В. Артамонов (МГИМО) Эконометрика I 18 октября 2017 г. 21 / 21