c

1. САНЫ ЖҮЙЕЛЕР
ИНФОРМАТИКА ҒАНАСЫНЫҢ
МАТЕМАТИКАЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

2. Түйінді сөздер
• белгілеу
• саны
• алфавит
• позициялық санау жүйесі
• негіз
• санның кеңейтілген түрі
• санның бүктелген түрі
• екілік жүйе
• сегіздік санау жүйесі
• он алтылық санау жүйесі

3. Санау жүйесі – сандарды жазудың белгілі бір ережелері
қабылданған белгілер жүйесі.
Сандар - сандарды жазу үшін қолданылатын таңбалар.
алфавиті – сандар жиыны.
Негізгі ақпарат
Ескі славяндық санау жүйесі
Вавилондық санау жүйесі
Египеттік санау жүйесі

4. Түйіндік сандар сандармен көрсетіледі.
Түйінді және алгоритмдік сандар
Алгоритмдік сандар түйін сандарынан кез келген амалдар
нәтижесінде алынады.
 100+  10+ =

5. Ең қарапайым және ең көне жүйе – біртұтас санау жүйесі.
Ол кез келген сандарды жазу үшін тек бір таңбаны
пайдаланады – таяқ, түйін, ойық, қиыршық тас.
Бірыңғай санау жүйесі
«кипу» түйін әрпі
ойықтар
Квипу түйінінің мысалдары
Түйіндер, тақталар
Малтатас

6. Римдік сандар жүйесі
бір I 100 C
5 В 500 D
он X 1000 М
елу Л
40 = X Л
1935 М C МX X X
28 X X В I I I В
Позициялық емес санау жүйесі
Сандағы цифрдың сандық эквиваленті (сандық мәні) оның
сан жазбасындағы орнына байланысты болмаса, санау
жүйесі позициялық емес деп аталады .
Мұнда алгоритмдік сандар түйін сандарын қосу және
азайту арқылы келесі ережені ескере отырып алынады:
үлкенінің оң жағында орналасқан әрбір кіші белгі оның мәніне
қосылады, ал үлкенінің сол жағында орналасқан әрбір кіші
белгі одан шегеріледі.

7. Сандағы цифрдың сандық эквиваленті оның сан
жазбасындағы орнына байланысты болса, санау жүйесі
позициялық деп аталады .
Позициялық санау жүйесінің негізі оның алфавитін құрайтын
цифрлар санына тең.
Ондық алфавит 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сандарынан тұрады.
Позициялық санау жүйесі

8. Сандар 1234567890 туралы Үндістанда құрылды 400 ж e.
Арабтар да осыған ұқсас нөмірлеуді
қолдана бастады 800 ж e.
Шамамен 1200 ж e. бұл нөмірлеу
Еуропада қолданыла бастады.
Ондық санау жүйесі

9. q болатын позициялық санау жүйесінде кез келген санды
келесідей көрсетуге болады:
A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q –m )
Мұнда:
A - сан;
q - санау жүйесінің негізін;
а и - осы санау жүйесінің алфавитіне жататын цифрлар;
n - санның бүтін цифрларының саны;
м - санның бөлшек цифрларының санын;
q i - i -ші санаттағы "салмағы" .
Санның мұндай жазылуын белгілеудің кеңейтілген түрі деп
атайды.
Негізгі формула

10. A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q
–m )
мысалдары :
2012=2  10 3 +0  10 2 +1  10 1 +2  10 0
0,125=1  10 -1 +2  10 -2 +5  10 -3
14351,1=1  10 4 +4  10 3 +3  10 2 +5  10 1 +1  10 0 +1  10 –1
кеңейтілген пішін

11. Екілік жүйесі есеп беру
Екілік санау жүйесі - базасы 2 болатын позициялық
санау жүйесі .
Екілік алфавит : 0 және 1.
Екілік бүтін сандар үшін мынаны жазуға болады:
a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1  2 n–1 + a n–2  2 n–2 +…+ a 0  2 0
Мысалға:
10011 2 =1  2 4 +0  2 3 +0  2 2 +1  2 1 +1  2 0 = 2 4 +2 1 + 2
0 =19 10
Екілік сандарды ондық санау жүйесіне ауыстыру ережесі:
Екілік санның бүктелген түріндегі бірліктерге сәйкес екінің
дәрежелерінің қосындысын есептеңіз

12. Бүтін ондық сандарды екілік санау
жүйесіне түрлендіру ережесі
a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 1  2 1
+a 0
= a n–1  2 n–2 +…+ a 1 (қалған a 0 )
2
a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 1
= a n–1  2 n–3 +…+ a 2 (қалған a 1 )
2
. . .
a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 2
= a n–1  2 n–4 +…+ a 3 (қалған a 2 )
2
n - ші қадамда біз сандар жиынын аламыз: a 0 a 1 a 2 …a n–1

13. 363 181 90 45 22 он
бір
5 2 бір
бір бір 0 бір 0 бір бір 0 бір
363 10 = 101101011 2
314 157 78 39 19 9 төр
т
2 бір
0 бір 0 бір бір бір 0 0 бір
314 10 = 100111010 2
жинақы декор

14. a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1  8 n–1 +a n–2  8 n–2 +…+a 0  8 0
Мысал : 1063 8 u003d 1  8 3 +0  8 2 +6  8 1 +3  8 0 u003d
563 10 .
Бүтін сегіздік санды ондық санау жүйесіне аудару үшін
оның кеңейтілген жазуына өтіп, алынған өрнектің мәнін
есептеу керек.
Сегіздік жүйе есеп беру
Ондық бүтін санды сегіздік санау жүйесіне аудару үшін осы
санды және алынған бүтін сандарды нөлге тең үлесті
алғанша 8-ге бөлу керек.
Сегіздік санау жүйесі – 8 негізі бар позициялық санау
жүйесі.
Әліпби: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

15. Негіз : q = 16.
Әліпби : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Оналтылық жүйесі есеп беру
154 ондық санын он алтылық санау жүйесіне аударайық:
154 10 = 9A 16
154 16
9
-144
он
(БІ
Р
А
9
16
0
3AF 16 u003d 3  16 2 +10  16 1 +15  16 0 u003d 768 +
160 + 15 u003d 943 10 .

16. 1) берілген санды және алынған бүтін сандарды жаңа санау
жүйесінің негізіне нөлге тең үлесті алғанша ретімен бөлеміз;
2) жаңа санау жүйесіндегі санның цифрлары болып
табылатын нәтиже қалдықтары оларды жаңа санау жүйесінің
әліпбиіне сәйкес келтіреді;
3) жаңа санау жүйесінде соңғы алынған теңгерімнен бастап
оны жазып алу.
сандық таразылар
Бүтін ондық түрлендіру ережесі сандарды q
негізі бар санау жүйесіне енгізу

17. 1-ден 16-ға дейінгі 10-шы, 2-ші, 8-ші және 16-шы сандардың
сәйкестік кестесі
Ондық жүйе Екілік жүйе Сегіздік жүйе Он алтылық жүйе
бір бір бір бір
2 он 2 2
3 он бір 3 3
төрт 100 төрт төрт
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
сегіз 1000 он сегіз
9 1001 он бір 9
он 1010 12 А
он бір 1011 13 Б
12 1100 он төрт C
13 1101 он бес D
он төрт 1110 16 Е
он бес 1111 17 Ф
16 10000 жиырма он
17 10001 21 он бір
он сегіз 10010 22 12

18. Екілік арифметика
Екілік арифметика келесі қосу және көбейту кестелерін
қолдануға негізделген:
+ 0 бір
0 0 бір
бір бір он
 0 бір
0 0 0
бір 0 бір
Бір таңбалы екілік сандардың арифметикасы
Көп разрядты екілік арифметика
Екілік сандарды көбейту және бөлу

19. «Компьютер» санау жүйелері
Екілік жүйе компьютерлік технологияда қолданылады,
себебі:
екілік сандар компьютерде екі тұрақты күйі бар
қарапайым техникалық элементтерді пайдалана отырып
көрсетіледі;
ақпаратты тек екі күй арқылы көрсету сенімді және шуға
төзімді;
екілік арифметика ең қарапайым;
екілік мәліметтерді логикалық түрлендіруді қамтамасыз
ететін математикалық аппарат бар.
Екілік код компьютерге ыңғайлы.
Ұзын және біртекті кодтарды пайдалану адамға
ыңғайсыз. Мамандар екілік кодтарды сегіздік немесе
он алтылық санау жүйелеріндегі мәндермен
ауыстырады.

20. Санау жүйесі – сандарды жазудың белгілі бір ережелері
қабылданған белгілер жүйесі.
Сандағы цифрдың сандық эквиваленті оның сан жазбасындағы
орнына байланысты болса, санау жүйесі позициялық деп аталады .
Негізі q болатын позициялық санау жүйесінде кез келген санды
келесідей көрсетуге болады:
A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q
–m )
Мұнда:
A - сан;
q – санау жүйесінің негізі;
a i – берілген санау жүйесінің алфавитіне жататын цифрлар;
n – санның бүтін цифрларының саны;
m – санның бөлшек цифрларының саны;
q i - i -ші цифрдың «салмағы» .
Ең бастысы

21. Сұрақтар мен тапсырмалар
Бірлік, позициялық және позициялық емес санау
жүйелерінің айырмашылығы неде?
Суретте қандай санау жүйелері көрсетілген?
Негіздері 5, 10, 12 және 20 болатын позициялық санау
жүйелері неліктен анатомиялық шығу тегі санау жүйелері
деп аталатынын түсіндіріңіз.
Ондық санның жиырылған түрінен кеңейтілген түріне
қалай өтуге болады?
Сандарды кеңейтілген түрде жазыңыз:
а) 143,511 10
б) 143511 8
в) 143511 16
г) 1435.11 8
Мына сандардың ондық эквиваленттерін жазыңыз:
а) 172 8
б) 2EA 16
в) 101010 2
г) 10.1 2
д) 243 6
110011 2 , 111 4 , 35 8 және 1В 16 сандарының қайсысы екенін көрсетіңіз
:
а) ең үлкені
б) ең кіші
123, 222, 111, 241 сандары жазылса, санау жүйесінің ең
кіші негізі қандай болады? Табылған санау жүйесіндегі
осы сандардың ондық эквивалентін анықтаңыз.
Төмендегі теңдіктер дұрыс па?
а) 33 4 u003d 21 7
б) 33 8 u003d 21 4
Санау жүйесінің х негізін табыңыз, егер:
а) 14 x u003d 9 10
б) 2002 х =130 10
Бүтін сандарды ондық жүйеден екілік санау жүйесіне
түрлендіру:
а) 89
ә) 600
в) 2010 ж
Бүтін сандарды ондық жүйеден сегіздікке түрлендіру:
а) 513
ә) 600
в) 2010 ж
Бүтін сандарды ондық жүйеден он алтылық санау
жүйесіне түрлендіру:
а) 513
ә) 600
в) 2010 ж
Негіздері 2, 8, 10 және 16 болатын санау жүйелерінде
әр жолға бірдей сан жазылуы тиіс кестені толтырыңыз.
Екілік сандарға қосу амалын орындаңыз:
а) 101010 + 1101
б) 1010 + 1010
в) 10101 + 111
Екілік сандарға көбейту амалын орындаңыз:
а) 1010 11
ә) 111 101
в) 1010 111
Арифметикалық амалдардың белгілерін екілік жүйеде
келесі теңдіктер ақиқат болатындай етіп
орналастырыңыз:
а) 1100? он бір? 100 = 100000;
ә) 1100? он ? 10 = 100;
в) 1100? он бір? 100=0.
Өрнектерді есептеу:
а) (1111101 2 +AF 16 ):36 8
б) 125 8 + 101 2 2A 16 – 141 8
Жауабыңызды ондық санау жүйесінде беріңіз.
Негіз 2 8-негіз 10 негізі 16-база
101010
127
321
2А
Тапсырмалар дәптері «Сандар жүйесі»

22. Анықтамалық реферат
позициялық емес
q болатын позициялық санау жүйесінде кез келген санды
келесідей көрсетуге болады:
A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m q-
m ) .
Санау жүйесі – сандарды жазудың белгілі бір ережелері
қабылданған белгілер жүйесі.
Сандар - сандарды жазу үшін қолданылатын таңбалар.
Алфавит – санау жүйесінің цифрлар жиыны.
Белгілеу
Екілік Ондық
сегіздік Оналтылық
Роман
позициялық

23. Электрондық білім беру ресурстары
1.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66=&ta1900200c9a66&ta190205ub[de] -11da-8cd6-0800200c9a66 - Екілік
көбейту және бөлу
2.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66=&ta19a5=asss&interface=ta19a5 -8cd6-0800200c9a66 - Санау
жүйелерінің даму тарихы
3.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a6166-0800200c9a6166&ass=2000c9a61619a2&asss_19a2=eca9-4b45-
8d77-c3655b199119 -8cd6-0800200c9a66 - Ондық емес сандарды ондық санау жүйесіне түрлендіру
4.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66=a100c9a66=a100c9a66&ta19] -8cd6-0800200c9a66 - Ондық сандарды
басқа санау жүйелеріне түрлендіру
5.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66619a=&asss_19a500c9a6619a=19999999999999999994944494 -8cd6-
0800200c9a66 - Көп таңбалы екілік сандарды қосу және азайту
6.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface_ass=029a[5] -11da-8cd6-0800200c9a66 - Бір таңбалы екілік
сандарды қосу және азайту
7.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a66=a100c9a66=a100c9a66&ta19] -8cd6-0800200c9a66 - Тапсырмалар
кітабы
8.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-0800200c9a6166-
0800200c9a6166&ass=2000c9a61619a&ass=2988&ass=1999999999999999944 -8cd6-0800200c9a66 -
Санның кеңейтілген түрі
9.http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?from=a30a9550-
6a62-11da-8cd6-
0800200c9a659a=&asss_100c9a6519a&ass=19989999999999999999999999999999999999994 -8cd6-