Επιμέλεια: Ιωάννης Σαράφης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.gr

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΕΞΕΣΑ΢ΕΙ΢ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ Γ' ΣΑΞΗ΢
ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ΢ ΢ΧΟΛΗ΢ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΔΕΤΣΕΡΑ 16 ΑΠΡΙΛΙΟΤ 2018
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ΢ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΣΕ (5)
Εισηγητής : ΢αράφης Γιάννης
ΘΕΜΑ Α
Α1. Ζςτω f μια ςυνάρτθςθ οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Αν F είναι μια παράγουςα τθσ
f ςτο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:
● όλεσ οι ςυναρτιςεισ τθσ μορφισ    G x F x c , c   , είναι παράγουςεσ τθσ f
ςτο Δ και
● κάκε άλλθ παράγουςα G τθσ f ςτο Δ παίρνει τθ μορφι    G x F x c , c  
Μονάδες 9
Α2. Δίνονται οι παρακάτω γραφικζσ παραςτάςεισ.
Να γράψετε ςτο τετράδιό ςασ το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθν πρόταςθ που δεν
ιςχφει για τθν αντίςτοιχθ γραφικι παράςταςθ:
i.
α. Η ςυνάρτθςθ παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο ςτο x=1.
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
17.04.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 5

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
β. Η ςυνάρτθςθ δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο x=1.
γ. Η ςυνάρτθςθ είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο διάςτθμα  ,1
ii.
α. Η ςυνάρτθςθ παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο ςτο x=0.
β. Η ςυνάρτθςθ δεν είναι παραγωγίςιμθ ςτο x=1.
γ. Η ςυνάρτθςθ παρουςιάηει ολικό μζγιςτο ςτο x=1.
iii.
α. Η ςυνάρτθςθ δεν παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο.
β. Η ςυνάρτθςθ είναι παραγωγίςιμθ ςτο x=1.
γ. Η ςυνάρτθςθ παρουςιάηει τοπικό μζγιςτο ςτο x=1.
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
17.04.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 5

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Α3. Να χαρακτθρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουκοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό
ςασ, δίπλα ςτο γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάκε πρόταςθ,τθ λζξθ ΢ωστό ,αν θ
πρόταςθ είναι ςωςτι, ι Λάθος, αν θ πρόταςθ είναι λανκαςμζνθ.
α. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο  ,  και υπάρχει  0x ,   τζτοιο ϊςτε
 0f x 0 τότε    f f 0    .
β. Αν για μια παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f ιςχφει ότι  f x 0  για κάκε x ςε ζνα
διάςτθμα Δ, τότε θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο Δ.
γ. Αν ιςχφει τουλάχιςτον μια ιςότθτα    
0 0x x x x
lim f x , lim f x 
 
       , τότε θ
ευκεία 0x x λζγεται κατακόρυφθ αςφμπτωτθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f.
δ. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0x ,τότε κα ιςχφει για κάκε ςυνάρτθςθ f
   
0
0
x x
lim f x f x

 
ε. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ [α,β] και  f x dx 0


 , τότε για κάκε ςυνάρτθςθ f
ιςχφει  f x 0 για κάκε  x ,   .
Moνάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτιςεισ  
x
x
e 1
f x ln
1 e
 
  
 
,   3
g x x .
Β1. Να προςδιορίςετε τθ ςυνάρτθςθ g f .
Μονάδες 6
Β2. Να υπολογίςετε, αν υπάρχουν ,τα όρια :    
  2
2x xx 0
g x x
lim f x , lim f x , lim
x 1
 


Μονάδες 7
Β3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει θ αντίςτροφθ τθσ f και να τθν βρείτε.
Μονάδες 12
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
17.04.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 5

4. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ    2
f x x 1 ln x  , x 0 .
Γ1. Να αποδείξετε ότι
1
2xln x
x
  , για κάκε x 0 .
Μονάδες 6
Γ2. Να λφςετε τθν εξίςωςθ  f x 0 .
Μονάδες 5
Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0
1
x ,1
e
 
 
 
τζτοιο, ϊςτε το ςθμείο
  0 0x ,f x να είναι ςθμείο καμπισ τθσ fC .
Μονάδες 8
Γ4. Να υπολογίςετε το ολοκλιρωμα  
e
1
f x dx
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ=5 και ΒΓ=8.Σο ςθμείο Ε διαγράφει το
ευκφγραμμο τμιμα ΒΓ με    όπωσ φαίνεται ςτο παρακάτω ςχιμα.
ΣΕΛΟ΢ 4Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕi΢
17.04.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 5

5. ΑΡΧΗ 5Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Δ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του γραμμοςκιαςμζνου χωρίου που δθμιουργείται
από το ευκφγραμμο τμιμα ΔΕ και τισ πλευρζσ του τριγϊνου ΑΒΓ ωσ ςυνάρτθςθ
του x=ΒΕ είναι  
 
2
2
3
x , 0<x 4
8
x
3
12 8 x , 4<x 8
8


  
   

Μονάδες 9
Δ2. Να εξετάςετε αν θ ςυνάρτθςθ  x ζχει κρίςιμα ςθμεία ,αιτιολογϊντασ τθν
απάντθςι ςασ .
Μονάδες 5
Δ3. Να υπολογίςετε το
 
x 0
1
E x
xlim
x



Μονάδες 5
Δ4. Να υπολογίςετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τθ γραφικι
παράςταςθ τθσ Ε , τθν εφαπτομζνθ ςτο ςθμείο Μ(4,6) και τισ ευκείεσ x=4 και x=6.
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ΢ 5Η΢ ΑΠΟ 5 ΢ΕΛΙΔΕ΢
17.04.2018 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 5