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様相論理一般2013
- 5. 様相演算子を適用したくなる例 • そんなことはない。 • そんなことは不可能だ。 • 昨日雨が降った。 • 次の場面では佐藤がコーヒーを飲んでい る。 • 先手必勝の局面だ。 • 宿題が終わったらおやつにしよう。 2013/9 京大 5
- 6. 先手必勝の局面だ • 後手がどんな手を打っても、先手には適 切な応手があって、そこでも先手必勝で ある。 • 「先手勝ち」状態に必ず到達できる（必 至） • Cf.ゲーム意味論、記述集合論 2013/9 京大 6
- 7. 様相の文脈性 • 局面ごとに命題を評価する • この局面では成り立っていることが、他 の局面では成立しないかもしれない • 次の（ありうる）局面を俯瞰する必要が ある – ある事態が成立する局面に到達するにはどの 手を打ったらいいのか？ 2013/9 京大 7
- 9. 局面 • 二つの要素からなっている – 前の評価点と後ろの評価点との関係からなる 構造 – その評価点での世界のあり方 • 個別の局面で文の真理値が割り当てられている 2013/9 京大 9
- 10. 様相文 • 手はじめに1項の様相演算子□を持つ言語 を考え、その解釈をみる。 • 言語： – Prop: 命題記号 – ∧：2項命題演算子 – ￢、□：1項命題演算子 • 文 – p| p ∧q| ￢p|□p • 省略記号：→、∨、◇ 2013/9 京大 10
- 11. クリプキフレーム • 評価点間の構造にだけ着目 – 評価点の（空でない）集合 W – 評価点の2項関係 R • <W,R> 2013/9 京大 11
- 12. フレームだけではなにもいえな い • 個別の評価点における世界の有り様の記 述 – 命題記号に真理値を割り当てる • 付値関数 – クリプキフレームF=<W,R>上の付値関数と は、関数 Prop×W→TruthValue である。 – (TruthValueとして当面のところ2値{1,0}を考え る) 2013/9 京大 12
- 13. クリプキモデル • F: クリプキフレーム<W,R> • v: F上の付値関数 のとき<F,v>=<W,R,v>をF上のクリプキモデル という。 2013/9 京大 13
- 14. クリプキモデルでの様相言語解 釈 • • • • w |= p iff v(p,w)=1 w |= A∧B iff w |= A かつw |= B w |= ￢A iff w |= A でない w |= □A iff Rwxであるすべてのxで x |= A お絵かきタイム 2013/9 京大 14
- 15. モデル妥当性とフレーム妥当性 • クリプキモデルM=<W,R,v>で文Ａが妥当で あるとは、Wのすべての元wで w |= Aのと きにいう。 • クリプキフレームFで文Ａが妥当であると は、F上のすべてのクリプキモデルで文Ａ が妥当であるときにいう。 2013/9 京大 15
- 16. 三重の妥当性 • 付値関数はまだローカルな文脈相当。 • 構造も文脈のうち。 • 「論理」は文脈に依存しない。 – （変換に対して不変） – 評価点の間の構造が論理に相当する。 • フレームのあつまり（一般にクラスにな る）を考える必要がある 2013/9 京大 16
- 17. フレームのクラスでの妥当性 • C:フレームのクラス • Cで妥当 iff Cのすべてのフレームで妥当 • Cで妥当な文のすべてからなる集合をこれ から考える。 2013/9 京大 17
- 18. 論理体系 • （様相）論理体系：様相文の集合で、 – AとBが入っていたら、A∧Bが入っている（連 言について閉じている）。 – 命題論理について閉じている • 例：クリプキフレームのクラスＣで妥当な文のす べてからなる集合は論理体系になっている。 • 矛盾した論理体系：Aと￢Aの両方が入っ ている体系。 2013/9 京大 18
- 19. 論理体系と公理系 • 公理系：論理式と推論規則のセット • 論理体系が公理系を持つとは、その公理系で 演繹可能な文と論理体系が一致すること。 • 論理体系が（有限）公理化可能とは、有限個 の論理式スキームと推論規則からなる公理系 を持つこと。 • 自明な公理系（論理体系そのまんま）はつね に存在する • 公理系と論理体系を同一視することがある 2013/9 京大 19
- 20. 論理体系と意味論 • ある意味論で妥当な式の集合と与えられた論 理体系を比べる • 一致していれば「完全」という • 完全性証明でやること 1. 証明可能な式の妥当性を示す 2. 証明できない式が妥当ではないことを示す ＝その否定である整合的な式がモデルを持 つことを示す 2013/9 京大 20
- 21. クリプキフレーム全体のクラスと 完全な論理体系の公理系K • 古典命題論理の公理と推論規則（MP） • □（A→B） → （□A→ □B） • [必然化規則]Aが定理ならば□Aも定理であ る。 2013/9 京大 21
- 22. フレーム全体のクラスの部分クラ スC • 問題：C妥当な文の集合は公理化可能か。 • 言い換えると、 AがC妥当 iff AはLの定理 • となるような論理体系Lは公理化可能か。 2013/9 京大 22
- 23. Negative answer • フレームのクラスならどれでも公理化可 能というわけではないし、公理系が対応 するクラスを持たないこともある • Cf. – van Benthem – Companion of modal logic – Handbook of modal logic 2013/9 京大 23
- 25. General frame（一般フレーム） • 「受容可能世界」を導入 • F=<W,R>上のモデルM=<F,v>によって生成 される一般フレームとは<F,N>のことであ る。 • ただしN=｛|A|Ｍ:Aは様相文｝ 2013/9 京大 25
- 26. 脇道：近傍意味論(Segerberg) • 到達可能性ではなく、近傍を考える • wの近傍:Wの部分集合 • N(w):wの近傍からなる集合 • w |=A iff |A|∈N(w) （|A|:Aが真であるWの元の集合） 2013/9 京大 26
- 27. 近傍意味論 • クラシカルな様相論理体系の意味論を与 える – A↔Bが定理ならば□A ↔ □Bも定理 • 近傍に条件を追加することでより強い論 理の意味論を作ることができる – レギュラーな様相論理 • A → Bが定理ならば□A →□B – Upward closed • これが代数意味論における単調性に相当する 2013/9 京大 27
- 28. 一般フレームの受容可能世界 • 矛盾式については∅ • 定理についてはW • その間の構造は？ • 当然のように整合的な式Aのモデルを構築 できる（|A|はある意味あらかじめ一般フ レームに含まれているので必ず反例を構 成できる） 2013/9 京大 28
- 29. 受容可能世界の構造→（有界） 束 • 受容可能世界だけ抜き出したような感じ のものが代数意味論 • 代数意味論のメリット： – （ちゃんとした構造を作れれば）必ず完全： 自明すぎて誰もやらない • どんな構造を作るかがポイント 2013/9 京大 29