Succession “Losers”: What Happens to Executives Passed Over for the CEO Job?
By David F. Larcker, Stephen A. Miles, and Brian Tayan
Stanford Closer Look Series
Overview:
Shareholders pay considerable attention to the choice of executive selected as the new CEO whenever a change in leadership takes place. However, without an inside look at the leading candidates to assume the CEO role, it is difficult for shareholders to tell whether the board has made the correct choice. In this Closer Look, we examine CEO succession events among the largest 100 companies over a ten-year period to determine what happens to the executives who were not selected (i.e., the “succession losers”) and how they perform relative to those who were selected (the “succession winners”).
We ask:
• Are the executives selected for the CEO role really better than those passed over?
• What are the implications for understanding the labor market for executive talent?
• Are differences in performance due to operating conditions or quality of available talent?
• Are boards better at identifying CEO talent than other research generally suggests?
Succession “Losers”: What Happens to Executives Passed Over for the CEO Job?
By David F. Larcker, Stephen A. Miles, and Brian Tayan
Stanford Closer Look Series
Overview:
Shareholders pay considerable attention to the choice of executive selected as the new CEO whenever a change in leadership takes place. However, without an inside look at the leading candidates to assume the CEO role, it is difficult for shareholders to tell whether the board has made the correct choice. In this Closer Look, we examine CEO succession events among the largest 100 companies over a ten-year period to determine what happens to the executives who were not selected (i.e., the “succession losers”) and how they perform relative to those who were selected (the “succession winners”).
We ask:
• Are the executives selected for the CEO role really better than those passed over?
• What are the implications for understanding the labor market for executive talent?
• Are differences in performance due to operating conditions or quality of available talent?
• Are boards better at identifying CEO talent than other research generally suggests?
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
This article is all about what AI trends will emerge in the field of creative operations in 2024. All the marketers and brand builders should be aware of these trends for their further use and save themselves some time!
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
This article is all about what AI trends will emerge in the field of creative operations in 2024. All the marketers and brand builders should be aware of these trends for their further use and save themselves some time!
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
20091019 Twente
1. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
De Dekpuntstelling van Brouwer
Non impeditus ab ulla scientia
K. P. Hart
Faculteit EWI
TU Delft
Twente, 19 oktober 2009: 18:00–20:00
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
2. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Outline
1 De stelling
2 Het bewijs
Het geval n = 1
Het geval n = 2
Het geval n > 2
3 Een toepassing
4 Bronnen
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
3. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
De formulering
Dekpuntstelling van Brouwer
Zij n een natuurlijk getal en f : [0, 1]n → [0, 1]n een continue
functie. Dan is er een x ∈ [0, 1]n met f (x) = x.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
4. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Met behulp van de tussenwaardestelling
Stelling
Zij f : [0, 1] → [0, 1] continu. Dan is er een x ∈ [0, 1] met
f (x) = x.
Bewijs.
Definieer g : [0, 1] → R door g (x) = x − f (x). Dan g (0) 6 0 en
g (1) > 0. Er is dus x ∈ [0, 1] met g (x) = 0; die x voldoet aan
f (x) = x.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
5. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Een ingewikkelder bewijs
We schrijven
F0 = {: x 6 f (x)} en
F1 = {: x > f (x)}
Te bewijzen: F0 ∩ F1 = ∅.
We bewijzen: voor elke n zijn er xn ∈ F0 en yn ∈ F1 met
|xn − yn | 6 2−n .
Waarom is dat genoeg?
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
6. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Een ingewikkelder bewijs
Stelling (Bolzano-Weierstraß)
Elke rij in [0, 1] heeft een convergente deelrij.
Pas dit toe op de rij xn n : er is een deelrij xnk k die naar een
punt x convergeert.
Wegens |xnk − ynk | 6 2−nk geldt ook limk ynk = x.
Omdat F0 en F1 gesloten zijn volgt x ∈ F0 ∩ F1 .
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
7. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Een ingewikkelder bewijs
Waar komen xn en yn vandaan?
Verdeel [0, 1] in 2n deelintervallen [k2n , (k + 1)2n ] met k = 0,
. . . , 2n − 1.
Kies voor elke k een λ(k) ∈ {0, 1} z´ dat k2n ∈ Fλ(k) ; neem
o
daarbij λ(0) = 0 en λ(2 n ) = 1.
Zij A = {k : λ(k) < λ(k + 1)} en B = {k : λ(k) > λ(k + 1)}.
Merk op
2n −1
n
1 = λ(2 ) − λ(0) = λ(k + 1) − λ(k)
k=0
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
8. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Een ingewikkelder bewijs
De bijdrage van elke k ∈ A aan de som is +1; elke k ∈ B draagt
−1 bij; de andere ks dragen 0 bij.
Conclusie:
2n −1
1= λ(k + 1) − λ(k) = |A| − |B|
k=0
Dus |A| = |B| + 1; we vinden een oneven aantal k met
{λ(k), λ(k + 1)} = {0, 1}.
Dat aantal is niet negatief, er is dus ten minste ´´n zo’n interval en
ee
dat levert een paar punten xn en yn als gevraagd.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
9. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Poging tot bewijs
Stelling
Zij f : [0, 1]2 → [0, 1]2 continu. Dan is er een x ∈ [0, 1]2 met
f (x) = x.
De tussenwaardestelling toepassen is lastig omdat we die voor
functies van [0, 1]2 naar [0, 1]2 (nog) niet hebben.
Hoe zit het met het ingewikkelde bewijs?
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
10. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Het ingewikkelde bewijs, I
Schrijf f (x, y ) = f1 (x, y ), f2 (x, y ) en definieer
1 F1,0 = {(x, y ) : x 6 f1(x, y )}
2 F1,1 = {(x, y ) : x > f1 (x, y )}
3 F2,0 = {(x, y ) : y 6 f1 (x, y )}
4 F2,1 = {(x, y ) : y > f1 (x, y )}
We moeten bewijzen dat F1,0 ∩ F1,1 ∩ F2,0 ∩ F2,1 = ∅; immers de
punten in die doorsnede zijn precies de dekpunten van f .
Dit kan maar is iets meer werk dan het volgende.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
11. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Het ingewikkelde bewijs, II
Het eenheidsvierkant is homeomorf met een driehoek.
Met stukjes lineaire afbeelding kun je een homeomorfisme maken.
We bewijzen de stelling voor een driehoek ∆.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
12. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Waarom een driehoek?
a2
x
a0 a1
We kunnen elk punt x in het vlak als lineaire combinatie van a0 ,
a1 en a2 schrijven:
x = c0 (x)a0 + c1 (x)a1 + c2 (x)a2
met de eis c0 (x) + c1 (x) + c2 (x) = 1 zijn de ci (x) uniek.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
13. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Waarom een driehoek?
a2
c0 (x)
c1 (x)
c2 (x) x
a0 a1
Voor x in de driehoek (inclusief rand) geldt ci (x) > 0 voor alle i.
Meetkundig: de getallen c0 (x), c1 (x) en c2 (x) zijn de
oppervlakten van de deeldriehoeken (als de totale oppervlakte op 1
wordt gesteld). Ze heten de barycentrische co¨rdinaten van x.
o
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
14. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Gebruik van barycentrische co¨rdinaten
o
Zij f : ∆ → ∆ continu.
Met behulp van de barycentrische co¨rdinaten defini¨ren we
o e
1 F0 = x : c0 (x) > c0 f (x)
2 F1 = x : c1 (x) > c1 f (x)
3 F2 = x : c2 (x) > c2 f (x)
Weer: de doorsnede F0 ∩ F1 ∩ F2 bestaat uit de dekpunten van f .
Dus: te bewijzen: F0 ∩ F1 ∩ F2 = ∅.
We volgen dezelfde weg als in het gavel van [0, 1].
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
15. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Convergeren naar een dekpunt
We bewijzen: voor elke n bestaam xn ∈ F0 , yn ∈ F1 en zn ∈ F2 ,
met onderlinge afstanden kleiner dan of gelijk aan 2−n .
Bolzano-Weierstraß: er is een deelrij xnk k van xn n die
convergeert, zeg naar x.
Dan geldt, omdat yn − xn , zn − xn 6 2−n voor alle n, ook
limk ynk = x en limk znk = x.
Omdat de Fi gesloten zijn geldt dan x ∈ F0 ∩ F1 ∩ F2 .
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
16. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Drie punten vinden
In het geval van [0, 1] vonden we een intervalletje van lengte 2−n
met eindpunt in de ene en een eindpunt in de andere verzameling.
In dit geval zoeken we een driehoekje met diameter kleiner dan of
gelijk aan 2−n met een hoekpunt in F0 , een hoekpunt in F1 en een
hoekpunt in F2 .
Als in het geval van [0, 1] gaan we labels gebruiken om zo’n
driehoekje te vinden.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
17. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Een paar opmerkingen vooraf
Omdat c0 (a0 ) = 1, c1 (a0 ) = 0 en c2 (a0 ) = 0 volgt dat a0 ∈ F0 .
En evenzo: a1 ∈ F1 en a2 ∈ F2 .
Als x op de lijn [a1 , a2 ] ligt dan geldt c0 (x) = 0; daaruit volgt dat
c1 (x) + c2 (x) = 1 > c1 (f (x)) + c2 (f (x)) en dus c1 (x) > c1 (f (x))
of c2 (x) > c2 (f (x)).
Conclusie [a1 , a2 ] ⊆ F1 ∪ F2 .
Evenzo: [a0 , a1 ] ⊆ F0 ∪ F1 en [a0 , a2 ] ⊆ F0 ∪ F2 .
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
18. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Kleine driehoekjes
a2
a0 a1
Verdeel de driehoek in kleine driehoekjes van diameter ten
hoogste 2−n .
Kies voor elk hoekpunt x van elk driehoekje een λ(x) ∈ {0, 1, 2}
z´ dat x ∈ Fλ(x) .
o
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
19. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Kleine driehoekjes
a2
a0 a1
Zorg er voor dat λ(ai ) = i voor i = 0, 1, 2.
Zorg er ook voor dat λ(x) ∈ {i, j} als x op [ai , aj ] ligt.
Dat dit kan volgt uit de opmerkingen vooraf.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
20. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Het lemma van Sperner
Stelling
Er is een oneven aantal driehoekjes die volledig gelabeld zijn (alle
getallen 0, 1 en 2 komen voor).
Het bewijs volgt uit hetgeen we voor [0, 1] bewezen hebben en
door een bepaalde verameling twee keer te tellen.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
21. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Bijna volle driehoekjes
We bekijken de verzameling D van alle driehoekjes die de labels 0
en 1 hebben gekregen. Die valt in twee verzamelingen uiteen:
D1 : de driehoekjes die 0, 1 en 2 hebben gekregen
D2 : de driehoekjes die alleen 0 en 1 hebben gekregen.
0 0
1 1
0 1 2 1
0
in D2 in D1 in D2
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
22. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Volle lijntjes
We bekijken ook de verzameling L van alle lijnstukjes die de labels
0 en 1 hebben gekregen. Die valt ook in twee verzamelingen
uiteen:
L1 : de lijnstukjes die op de zijde [a0 , a1 ] liggen
L2 : de lijnstukjes die in het inwendige liggen.
Op de andere twee zijden liggen geen lijnstukjes uit L, wegens de
keuzen die we gemaakt hebben.
?
0/1/2
1 0
0 1
?
in L1 in L2
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
23. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Verbindingen tellen
We maken een tabel met voor ieder lijntje in L een rij en voor ieder
driehoekje in D een kolom (met D1 en L1 aan het begin).
d1 . . . dj . . . Plaats een ∗ in rij li en kolom dj
l1 ∗ als li een zijde van dj is.
.
. Onder d ∈ D1 staat ´´n ster.
ee
.
Onder d ∈ D2 staan twee sterren.
li ∗ ∗
. Naast l ∈ L1 staat ´´n ster.
ee
.
. Naast l ∈ L2 staan twee sterren.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
24. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
Sterren tellen
We tellen de sterren twee keer.
rij voor rij: het antwoord is dan |L1 | + 2|L2 |
kolom voor kolom: het antwoord is dan |D1 | + 2|D2 |
We weten dat |L1 | oneven is, dus |L1 | + 2|L2 | ook.
Dus |D1 | + 2|D2 | is oneven, en daarmee |D1 | ook.
Klaar!!
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
25. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
De bewijzen
Het was niet te zien maar het bewijs voor [0, 1] werkt ook met
barycentrische coordinaten: als x ∈ [0, 1] dan geldt
x = (1 − x) · 0 + x · 1
, dus de co¨rdinaten zijn c0 (x) = 1 − x en c1 (x) = x.
o
Dus Fi = x : ci (x) > ci f (x) voor i = 0, 1.
Het bewijs van F0 ∩ F1 = ∅ werd teruggebracht tot een
telprobleem.
Precies als bij het geval n = 2; bij het tellen werd het resultaat
voor n = 1 gebruikt.
Dit suggereert dat er een inductie aan zit te komen.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
26. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
n=3
Neem een 3-simplex (tetraeder) ∆ = [a0 a1 a2 a3 ] en voer weer
barycentrische co¨rdinaten in.
o
Gegeven een continue f : ∆ → ∆ defini¨ren we (voor i = 0, 1, 2
e
en 3):
Fi = x : ci (x) > ci f (x)
Dan geldt
ai ∈ Fi voor elk hoekpunt;
[ai aj ] ⊆ Fi ∪ Fj voor elk lijntje en
[ai aj ak ] ⊆ Fi ∪ Fj ∪ Fk voor elk zijvlak,
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
27. De stelling
Het geval n = 1
Het bewijs
Het geval n = 2
Een toepassing
Het geval n > 2
Bronnen
n=3
Bij iedere verdeling van ∆ in kleine simplices kunnen we een
labeling λ maken met x ∈ Fλ(x) voor alle x en z´ dat
o
λ(ai ) = i;
λ(x) ∈ {i, j} als x op [ai aj ] ligt;
λ(x) ∈ {i, j, k} als x op [ai aj ak ] ligt.
Dan is er weer een oneven aantal volledig gelabelde simplices.
En zo vinden we dan vier rijen punten die naar ´´n punt x in
ee
F0 ∩ F1 ∩ F2 ∩ F3 convergeren.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
28. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Dimensies
Stelling
Als n = m dan zijn [0, 1]n en [0, 1]m niet homeomorf.
Bekijk in [0, 1]2 de gesloten verzamelingen A1 = {x : x1 = 0},
A2 = {x : x2 = 0}, B1 = {x : x1 = 1} en B2 = {x : x2 = 1}.
Neem (willekeurige) open verzamelingen U1 en U2 met Ai ⊆ Ui en
Bi ∩ U i = ∅.
Bewering: de randen van U1 en U2 snijden elkaar.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
29. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Dimensies
Er zijn continue functies f1 en f2 van [0, 1]2 naar [0, 1] met
fi (x) = 0 als x ∈ Ai ;
1
fi (x) = 2 als x ∈ Fr Ui ;
fi (x) = 1 als x ∈ Bi .
We krijgen f : [0, 1]2 → [0, 1]2 met co¨rdinaten f1 en f2 .
o
Als de randen elkaar niet snijden dan f (x) = ( 1 , 2 ) voor alle x.
2
1
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
30. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Dimensies
Maak nu de samenstelling van f , de projectie op de rand vanuit
(1, 1)
2 2
en de afbeelding x → −x.
Ga zelf na dat het resultaat, h : [0, 1]2 → [0, 1]2 , geen dekpunt
heeft.
Tegenspraak.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
31. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Dimensies
Neem twee paren gesloten deelverzamelingen (F1 , G1 ) en (F2 , G2 )
in [0, 1].
Met eindig veel intervallen met rationale eindpunten kun je een
open verzameling U1 maken met A1 ⊆ U1 en U 1 ∩ B1 = ∅ en
Fr Ui ⊆ Q.
Met eindig veel intervallen met irrationale eindpunten kun je een
open verzameling U2 maken met A2 ⊆ U2 en U 2 ∩ B2 = ∅ en
Fr U2 ∩ Q = ∅.
Dus de randen van U1 en U2 snijden elkaar niet.
Een duidelijk onderscheid tussen [0, 1] en [0, 1]2 !
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
32. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Project
Formuleer voor elk natuurlijk getal n een eigenschap dn , uitgedrukt
in open en gesloten verzamelingen, en wel zo dat
[0, 1]m heeft dn dan en slechts dan als m > n
en bewijs zo dat [0, 1]n en [0, 1]m alleen homeomorf zijn als n = m.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer
33. De stelling
Het bewijs
Een toepassing
Bronnen
Verder lezen
Website: fa.its.tudelft.nl/~hart
L. E. J. Brouwer.
¨
Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten,
Mathematische Annalan, 71 (1912), 97–115..
B. Knaster, K. Kuratowski, S. Mazurkiewicz.
Ein beweis des Fixpunktsatzes f¨r n-dimensionale simplexe,
u
Fundamenta Mathematicae, 14 (1929), 132–137.
K. P. Hart De Dekpuntstelling van Brouwer