Brojni Sistemi

1. 1
1 БРОЈНИ СИСТЕМИ
Под броен систем подразбираме договорен начин на означување и
именување на броевите.
Кај старите Кинези, Египетјани и Римјани, постоеле симболи за oдреден мал
број броеви со чие редење и повторување се запишувале и броевите за кои не
постоеле симболи. На пример, кај римскиот број XXI (дваесет и еден) имаме по ред
две десетки и една единица, а кај бројот XXXII (триесет и два) три десетки и две
единици. Овде имало и определена софистицираност. Пишувањето на симбол на
помал број пред симбол на поголем број, како на пр., во случаите IX (девет) или XL
(четириесет), значело одземање на помалиот од поголемиот број. Така, на пр. бро-
јот 1249 гласел MCCXLIX Овие системи не овозможувале со конечен број на
симболи да се запишуваат произволно големи броеви. (Интересно е да се забележи
дека меѓу римските написи се најдени и случаи кај кои принципот на одземање не
бил користен, т.е се пишувало VIIII за девет, односно XXXX за четириесет.).
Кон крајот на IV и почетокот на III век пред нашата ера, некои индиски
математичари воочиле дека ако на позициите на симболите (цифрите) им се
придружат различни тежини ќе може со релативно мал број цифри да се пишуваат
многу големи броеви. Така се јавила идејата за позициски броен систем, која по
својата суштина е револуционерна. Позицискиот броен систем, со кој работеле
погоре споменатите математичари се состоел од десет цифри. Подоцна тој бил
прифатен од Арапите, а околу 1200 година од нашата ера и пренесен во Европа,
како индо-арапски броен систем. Индо-арапскиот броен систем е претходник на
денешниот модерен декаден систем и според многу математичари тој претставува
едно од најголемите светски откритија. (Зборот декаден доаѓа од латинскиот збор
decem, кој значи десет.)
Ние овде ќе се запознаеме со општите карактеристики на позициските
бројни системи, задржувајќи се особено на декадниот броен систем, кој е базиран
на бројот десет, и бинарниот броен систем, кој е базиран на бројот два. Првиот е
вообичаениот броен систем што секој од нас секојдневно го употребува, а вториот е
бројниот систем систем што го употребуваат електронските склопови на дигитал-
ниот компјутер. Подоцна, поподробно ќе разгледаме и два други позициони бројни
системи од значење за компјутерската техника, т.е., окталниот броен систем кој
се базира на бројот осум и хексадекадниот броен систем, кој се базира на бројот
шеснаесет. (Се смета дека широката примена токму на декадниот броен систем во
секојдневниот живот, а не на некој друг позициски позициски броен систем, е
поврзана со бројот на прстите на нашите раце. Кога лугето би имале, на пример,
шеснаесет прсти, веројатно највообичаен броен систем би бил хексадекадниот
броен систем.)
1.1 Позициски бројни системи
Во натамошната дискусија нас ќе не интересираат исклучиво позициските
бројни системи. Со оглед на маргиналноста на останатите бројни системи и заради
едноставност, ние во натамошната дискусија најчесто ќе го испуштаме атрибутот
позициски како редундантен.

2. Принципи на логичкиот дизајн
2
Позициските бројни системи се базираат на подредено множество од цифри.
Вкупниот број на цифри во даден систем е пoзнат како база или радикс на
системот. На пример, декадниот броен систем има база десет и употребува десет
цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Како што споменавме, основна карактеристика на позициските системи е
употребата на позициска нотација, т.е., доделувањето на тежински фактор на
цифрата според нејзината позиција во бројот. Позициската нотација овозможува
секој број, независно од тоа колку е голем или мал, да биде изразен со помош на
основните цифри на системот. Да го погледаме, на пример, декадниот број
2358N (1-1)
Како што знаеме, значењето на овој запис е следнотo
8503002000 N
или
0123
108105103102 xxxxN  (1-2)
Значи, позицијата на секоја цифра ја определува вредноста што таа цифра ја
претставува во бројот. На пример, цифрата 3 во (1-1) ја претставува вредноста
300103 2
x .
Според (1-2), позицијата на дадена цифра кај декадните броеви фактички го
определува експонентот на степенот од десет со кој цифрата треба да биде помно-
жена за да се добие нејзиниот придонес кон дадениот број. Така цифрата 2 е на
местото на кое му одговара множење со 3
10 , цифрата 3 е на местото на кое му
одговара множење со 2
10 , цифрата 5 е на местото што му одговара множење со 1
10
и цифрата 8 е на местото што му одговара множење со 1100
 .
Дадениот пример и нашата фамилијарност со декадниот систем ни овоз-
можува да забележиме неколку важни општи карактеристики на позиционите
системи:
1. Бројот на цифри употребуван во системот е еднаков со базата.
2. Најмалата цифра е нула, а најголемата е за еден помала од базата.
3. За да се добие вредноста на даден број, секоја цифра треба да се
помножи со степен од базата чиј што експонент одговара на позицијата
на цифрата во бројот. На првата цифра од десно и одговара експонент 0,
на втората цифра од десно степенов показател 1 итн, на i-тата цифра од
десно степенов показател )1( i .
Кај декадните броеви со фракција, важат истите принципи како и за целите
броеви. На пример

3. 1. Бројни системи
3
08.02.0460700
108102104106107
28.764
21012




xxxxx
M
(1-3)
Значи на првата цифра по декадната точка и одговара степенов показател -1, на
втората -2, итн.
Заклучуваме дека запишувањето на броеви во броен систем со произволна
база b би изгледало како што следува
baaaaaaaN ibmnn   0,)......( 1011 (1-4)
Точката меѓу цифрите 0a и 1a е позната како фракциска точка. Во декадниот
систем таа се именува, како што веќе споменавме, како декадна точка, а во
бинарниот систем како, бинарна точка. Вредноста на бројот (1-4) би била опреде-
лена со изразот
m
m
n
n
n
n babababababaN 




  ...... 1
1
0
0
1
1
1
1 (1-5)
Претставувањето (1-5) на даден број понекогаш се реферира како полиномно
претставување на бројот.
Да претпоставиме дека имаме број во база 5 даден со
541.1230N
Не интересира како ќе изгледа овој број во база 10, т.е., како ќе биде напишан во
декадниот броен систем. Во согласност со (1-4) и (1-5) неговата полиномна форма
ќе гласи
210123
515450535251 
 xxxxxxN
што изнесува
84.19004.08.001550125 N
Значи
105 84.19041.1230 
ВЕЖБИ
1.1.1 Конвертирај го бинарниот број 1011 во декаден.
Решение
11120821212021 0123
 xxxx
Следува
102 111011 
1.1.2 Покажи дека е

4. Принципи на логичкиот дизајн
4
(а) 2 1011011 27
(б) 102 46101110 
1.1.3 Конвертирај го бројот 125 со база 6 во декаден број.
Решение
5351236656261 012
 xxx
Следува
106 53125 
1.1.4 Покажи дека е
(а) 106 4682054 
(б) 106 190212450 
1.1.5 Конвертирај го окталниот број 231 во декаден.
Решение
153818382 012
 xxx
Следува
108 153231 
1.1.6 Покажи дека е
(а) 108 16073107 
(б) 108 613313765  .
1.2 Бинарни броеви
Бинарниот систем е наједноставниот систем со позициска нотација. Овој
систем беше развиен на крајот од 17. век од германскиот математичар и филозоф
Лајбниц (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716), но практична примена не била најдена се
до 40-тите години од минатиот век, кога се појавуваат компјутерите. Бинарниот
систем е многу погоден за примена во извршувањето на интерните компјутерски
(аритметички, логички и други) операции. (Цифрите во дигиталните електронски
системи се претставуваат со напонски нива, па сигурно, од техничка гледна точка, е
многу поедноставно да се работи само со две нива отколку, на пример, со десет
нива, што би било потребно кога би се употребувал декадниот броен систем).
Цифрите во бинарниот систем се познати како битови. Називот “бит” е
кратенка од “binary digit” (бинарна цифра). Се разбира, позицијата на битот во
бинарниот број ја определува вредноста што тој ја претставува. Да го погледаме тоа
уште еднаш конвертирајќи го бинарниот број 1011.1101 во декаден. Наоѓаме:
3 2 1 0 1 2 3 4
21011.1101 1 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 2x x x x x x x x   
       
11.81250.062500.250.51208 
Значи:
21011.1101 = 1011.8125

5. 1. Бројни системи
5
На сликата 1-1 се прикажани бинарните еквиваленти на декадните броеви од
0 до 15.
Декаден
број
Бинарен број
1
10 0
10 3
2 2
2 1
2 0
2
1
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
СЛИКА 1-1 Табела на декадни и
бинарни еквиваленти од 0 д0 15
Кај даден бинарен број, како најмалку значаен бит (least significant bit –
LSB) се јавува најдесниот бит, а како најмногу значаен бит (most significant bit -
MSB) најлевиот бит. Грешка во вредноста на најмалку значајниот бит предизвикува
најмала грешка во вредноста на бројот, а грешка во вредноста на најмногу
значајниот бит предизвикува најголема грешка во вредноста на бројот. На пример
кај бројот 21010 , кој во декадниот систем има вредност десет, грешка во најмалку
значајниот бит т.е., замена на 0 со 1 ја менува вредноста за еден, а грешка во
најмногу значајниот бит, т.е., замена на 1 со 0, за осум.
Ние се запознавме со начинот на конвертирање на бинарен број во декаден.
Каква е обратната постапка? Овде ќе дадеме пример со кој се покажува како даден
декаден број се трансформира во бинарен. За таа цел ќе ги користиме степените од
2 дадени во табелата на сликата 1-2.
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2i 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
2 i 1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625
СЛИКА 1-2 Табела на степени од 2
Сакаме да го преобразиме декадниот број 405 во бинарен. Од сликата 1-2
гледаме дека највисокиот степен од 2 содржан во 405 е 25628
 . Според тоа,
можеме да напишеме
1492405 8

Највисокиот степен од 2 во 149 е 12827
 , па имаме

6. Принципи на логичкиот дизајн
6
2122405 78

Продолжувајќи така, добиваме
5222405 478

12222405 2478

02478
22222405 
Значи:
012345678
212021202120202121405 xxxxxxxxx 
Според тоа,
210 110010101405 
Оваа метода функционира многу добро за релативно мали броеви, но може
да стане сосема непогодна за големи броеви. Во следната секција ќе разгледаме
други попрактични методи на конверзија.
ВЕЖБИ
1.2.1 Конвертирај го декадниот број 19 во бинарен.
Решение:
3219 4

123 1

0
21
Според тоа е
01234
212120202119 xxxxx 
па е
210 1001119 
1.2.2 Покажи дека е
(а) 10 2260 100000100
(б) 10 2500 111110100
1.2.3 (а) Декадниот број 0.625 може да се претстави како што следува:
31
22125.05.0625.0 
 . Употреби го овој факт за да го најдеш неговот
бинарен еквивалент. (б) Најди го бинарниот еквивалент на декадниот број
4375.0
Решение:
(а) Според горното имаме
321
212021625.0 
 xxx
Значи:
210 101.0625.0 
(б) Во согласност со табелата на сликата 1-2 можеме да напишеме
1875.024375.0 2
 
0625.021875.0 3
 

7. 1. Бројни системи
7
4
20625.0 

Значи
4321
212121204375.0 
 xxxx
па, е
210 0111.04375.0 
1.3 Конверзија на броеви
Во претходната секција ние видовме како може да се изврши конверзија на
даден декаден број во бинарен. Постапката се состоеше во откривање на бинарните
единици преку сукцесивно отстранување на најголемиот степен од два. Како што
рековме, опишаната метода станува непрактична при конвезија на декадни броеви
со поголем број цифри.
Во оваа секција ќе прикажеме алтернативна метода, која е попрактична од
претходната.
Според оваа метода, конвертирањето на целите декадни броеви во бинарни
вклучува сукцесивно делење на дадениот број со базата 2. Имено, секој количник
добиен со делењето повторно го делиме со 2 и на тој начин продолжуваме додека
не добиеме количник нула. Остатоците добиени при секое делење ги даваат
бинарните цифри во редослед од LSB до MSB.
За илустрација, ќе го конвертираме декадниот број 13 во бинарен број.
Остатоци
13:2 = 6 1 (LSB)
6:2 = 3 0
3:2 = 1 1
1:2 = 0 1 (MSB)
Значи, бараниот бинарен број е 21101 , па можеме да напишеме:
210 110113  (1-6)
Конвертирањето на декадна фракција во бинарна фракција вклучува сукце-
сивно множење на декадната фракција со базата 2. Во овој случај, наместо остатоци
0 или 1 се јавуваат вишоци 0 или 1. Имено, вишокот е 0 ако по множењето со 2
добиеме само фракција, а е 1, ако по множењето со 2 добиеме 1 плус фракција.
Вишоците добиени при секое множење ги даваат бинарните цифри по редослед во
насока од MSB кон LSB
Како илустрација, ќе ја конвертираме декадната фракција 0.8125 во бинарен
број:
Вишоци
0.8125 x 2=1.6250 = 0.6250 + 1 MSB
0.6250 x 2=1.2500 = 0.2500 + 1
0.2500 x 2=0.5000 = 0.5000 + 0
0.5000 x 2=1.0000 = 0.0000 + 1 LSB
Значи:
210 1101.08125.0  (1-7)

8. Принципи на логичкиот дизајн
8
Процедурата ќе заврши тогаш кога множењето ќе резултира во 0.0000 плус вишок
1. Тоа меѓутоа, не е секогаш случај, бидејќи добиените со множењето бинарни
фракции можат да бидат такви што периодично да се повторуваат.
За да го илустрираме случајот кога при претворање на декадна фракција во
бинарна се јавува ситуација на бесконечно периодично повторување на цифри, ќе
го конвертираме декадниот број 0.1 во бинарен:
Вишоци
0.1 x 2 = 0.2 =0.2 + 0
0.2 x 2 = 0.4 =0.4 + 0
0.4 x 2 = 0.8 =0.8 + 0
0.8 x 2 = 1.6 =0.6 + 1
0.6 x 2 = 1.2 =0.2 + 1
Процесот на мултипликација го произведе бројот 0.2 кој се јави како продукт на
почетокот. Ако продолжиме, повторно ќе ги определуваме истите вишоци почну-
вајќи од вториот ред. Значи, деквенцата 0011 ќе се повторува периодично, па ќе
важи:
10100.0...000110011.01.0 210

(Точките над цифрите означуваат дека ознаената секвенца 0011 периодично се
повторува.)
Во случајот кога треба да конвертираме во бинарен број декаден број кој се
состои од целоброен дел и фракција, вршиме оддвоени конверзии на целобројниот
дел и фракцијата, а потоа двата дела ги спојуваме. На пример, со оглед на (1-6) и
(1-7), е
210 1101.11018125.13 
Разгледаната метода за претворање на декаден број во бинарен не е ограни-
чена само на бинарните броеви туку важи и за претворање на декаден број во број
со која и да било база. Тоа ќе го илустрираме претворајќи го декадниот број 156 во
тернарен број (број во бројниот систем со база три).
Остатоци
156 : 3 = 52 0 (LSD)
52 : 3 = 17 1
17 : 3 = 5 2
5 : 3 = 1 2
1 : 3 = 0 1 (MSD)
Значи
310 12210156 
Кратенките LSD и MSD значат најмалку значајна цифра (least significant digit) и
најмногу значајна цифра (most significant digit).
ВЕЖБИ
1.3.1 Употребувајќи ја методата од оваа секција, конвертирај го декадниот број 53
во бинарен.

9. 1. Бројни системи
9
Решение:
Остатоци
53:2 = 26 1 (LSB)
26:2 = 13 0
13:2 = 6 1
6:2 = 3 0
3:2 = 1 1
1:2 = 0 1 (MSB)
Значи:
210 11010153 
1.3.2 Повтори го 1.3.1 за декадниот број 3.6.
Решение:
Очигледно
210 113 
Понатаму
Вишоци
0.6 x 2 = 1.2 = 0.2 + 1 (MSB)
0.2 x 2 = 0.4 = 0.4 + 0
0.4 x 2 = 0.8 = 0.8 + 0
0.8 x 2 = 1.6 = 0.6 + 1
Продолжувањето на постапката ќе значи само повторување на веќе добиените
продукти, па заклучуваме дека е
210 1001.06.0 
Значи
210 1001.116.3 
1.3.3 Покажи дека е 18.7187510 =10010.101112
1.3.4 Претвори го декадниот број 0.435 во број во бројниот систем со база три.
Решение
Вишоци
0.435 x 3 = 1.305 = 0.305 + 1 (MSD)
0.305 x 3 = 0.915 = 0.915 + 0
0.915 x 3 = 2.745 = 0.745 + 2
0.745 x 3 = 2.235 = 0.235 + 2
0.235 x 3 = 0.705 = 0.705 + 0
0.705 x 3 = 2.115 = 0.115 + 2
0.115 x 3 = 0.345 = 0.345 + 0
0.345 x3 = 1.035 = 0.035 + 1
0.035 x 3 = 0.105 = 0.105 + 0
0.105 x 3 = 0.315 = 0.315 + 0
0.315 x 3 = 0.945 = 0.945 + 0
0.945 x 3 = 2.835 = 0.835 + 2

10. Принципи на логичкиот дизајн
10
0.835 x 3 = 2.505 = 0.505 + 2
0.505 x 3 = 1.515 = 0.515 + 1
0.515 x 3 = 1.545 = 0.545 + 1
0.545 x 3 = 1.635 = 0.635 + 1
0.635 x 3 = 1.905 = 0.905 + 1
0.905 x 3 = 2.715 = 0.715 + 2
0.715 x 3 = 2.145 = 0.145 + 2
0.145 x 3 = 0.435 = 0.435 + 0
Одовде натаму ќе имаме повторување на продуктите, значи ќе важи
.02211112202202010001.0435.0 310

1.4 Собирање и одземање во бинарниот систем
и во системи со произволна база
Аритметичките операции над бинарните броеви се вршат на точно истиот
начин како и над декадните броеви. Единствената разлика е што во едниот случај
базата е еднаква на десет а во другиот на два.
Да се потсетиме! При собирањето на два повеќецифрени декадни броja, бро-
евите ги пишувавме еден под друг така што локациите со исти тежински фактори
им се поклопуваат. Почнуваме со собирање на цифрите што одговараат на колоната
0
10 . Цифрата на единиците на така добиениот збир ја пишуваме под колоната 0
10 ,
а десетката (ако е збирот еднаков или поголем од 10) ја додаваме како пренос, на
колоната 1
10 . Потоа ги собираме цифрите што одговараат на колоната 1
10 , заедно
со преносот од колоната 0
10 . Цифрата на единиците на така добиениот збир ја
пишуваме под колоната 1
10 , а десетката (ако е збирот еднаков или поголем од 10)
ја пренесуваме во колоната 2
10 . Постапката се повторува сè додека не завршиме со
колоната со најголем тежински фактор.
Опишаната постапка за собирање на декадни броеви важи во целост и за
собирање на бинарни броеви со тоа што во горниот текст терминот “колона n
10 ”
би се заменил со терминот “колона n
2 “ , а терминот “десетка” со терминот
“двојка”. Како илустрација, ќе ги собереме бинарните броеви 10111 и 11010.
24 23 22 21 20
1 0 1 1 1
+ 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1
Бинарните броеви со фракција се собираат како и целите броеви. Да ги собереме, на
пример, броевите 1101.11 и 1010.10
1101.11
+....1010.10
11000.01
Собирањето на повеќе повеќецифрени бинарни броеви одеднаш е слично
како и собирањето на повеќе декадни броеви одеднаш. Разликата во однос на
случајот кога се собираат само два боја е таа што преносот може да се состои не
само од една десетка/двојка туку од повеќе двојки. Еве еден пример:

11. 1. Бројни системи
11
10010
11011
+ 1011
111000
Одземањето кај повеќецифрените бинарни броеви се врши на сличен начин
како и кај декадните броеви. Кога треба да се одземе поголема од помала цифра,
(т.е., 1 од 0 кај бинарните броеви) се врши позајмување двојка од следната колона,
аналогно на позајмувањето десетка во случајот на декадните броеви. Еве еден
пример, во кој не се бара позајмување
10010
1001
11011

Следува пример каде што се бара позајмување
111
1111
01101


Точките над првиот број ги означуваат цифрите од кои е извршено позајмување.
При собирањето / одземањето во систем со произволна база, базата на
системот ќе ја има истата улога што ја има десетката во декадниот систем или
двојката во бинарниот систем (види ги примерите дадени во вежбите што следат).
ВЕЖБИ
1.4.1 Покажи дека следните бинарни собирања се точни.
(а) 1101 + 1011= 11000
(б) 110111 + 11001= 1010000
1.4.2 Изврши го следното бинарно собирање: 1110 + 1001 + 11011
Решение
1110
1001
+ 11011
100010
1.4.3 Покажи дека е (броевите се бинарни)
(а) 1101 - 1011 = 0010
(б) 110110 - 11001 = 11101
(в) 11000 - 1111 = 1001
1.4.4 Собери ги броевите 41233 и 42320
Решение
1233
+ 2320
10213
Значи

12. Принципи на логичкиот дизајн
12
444 1021323201233 
1.4.5 Одземи го бројот 52341 од бројот 53333
Решение
442
2341
3333


Значи
555 44223413333 
1.5 Множење и делење во бинарниот
систем и во системи со произволна база
Бинарното множење се врши на точно истиот начин како и декадното мно-
жење. Задачата е дури и полесна поради едноставноста на бинарниот систем. За да
ја илустрираме постапката, ќе ги помножиме бинарните броеви 1101 и 101, имено:
1101
x 101
1101
0000
1101 .
1000001
Еве еден пример на множење на бинарни броеви со фракции. Ќе ги
помножиме броевите 1.101 и 1.01
1.101
x 1.01
1101
0000
1101 .
10.00001
Како и кај декадните броеви, при множењето на броеви со фракции важи правилото
“бројот на цифри во фракцијата на продуктот е сума од броевите на цифри во
фракциите на множителите”.
Слично, и делењето во бинарниот систем се изведува на истиот начин како
во декадниот. Како илустрација, ќе го поделиме бројот 110111 ( 1055 ) со бројот 101
( 105 ), имено
110111 : 101 = 1011
101
111
101
101
101
Резултатот 1011 е, се разбира, еднаков на 1011 . При ова делење, не се појавува
фракција, но фракција сигурно ќе се појави ако бројот 110110 (5410) го поделиме со
101. Би добиле

13. 1. Бројни системи
13
110110 : 101 = 0101.1010 
101
111
101
1000
101
110
101
1000
Како и кај декадните броеви, при делењето на бинарни броеви со фракции
прв чекор е поместување на бинарните точки на деленикот и делителот толку места
во десно колку што има цифри во фракцијата на делителот, така што делителот
станува цел број. Да го поделиме , на пример, бројот 10.00001 со бројот 1.101.
Поместувајќи ја фракциската точка три места во десно добиваме:
10000.01 : 1101 = 1.01
1101
1101
1101
Множењето односно делењето во броен систем со произволна база е иден-
тично како кај декадниот, односно бинарниот систем. Во вежбите што следуваат се
дадени примери на множење и делење во бројниот систем со база 6. (Упатство:
Продуктот што се добива со множењето на два едноцифрени броја треба постојано
да се претставува во системот во кој работиме.)
ВЕЖБИ
1.5.1 Покажи дека следните бинарни множења се точни
(а) 11011 x 110 = 10100010
(б) 1101.01 x 11.01 = 101011.0001
1.5.2 Изврши го следново бинарно делење: 100111.111 : 101.1
Решение
1001111.11 : 1011 = 111.01
1011
10001
1011
1101
1011
1011
1011
1.5.3 Изврши го следново множење 66 2435 
Решение
35
x 24
232
114 .
1412

14. Принципи на логичкиот дизајн
14
Значи
666 14122435 
(Кога 5 ќе го помножиме со 4 добиваме 610 3220  (три шестки и две единици), па
2 пишуваме, а 3 памтиме. Следниот чекор, множењето на 3 со 4, дава 610 2012  ;
кога кон ова ќе се додаде преносот 3, што го памтиме, добиваме 623 . Значи
666 232435  . На идентичен начин добиваме 666 114235  ).
1.5.4 Изврши го делењето 66 24:344
Решение
344 : 24 = 12.3
24 .
104
52 .
120
120
Значи
666 12.324:344 
( 106 1624  влегува во 106 40104  два пати, па во количникот по единицата пишу-
ваме 2. Понатаму е 66 52224  , што кога ќе се одземе од 6104 дава 612 . Додаваме
0 и ставаме фракциска точка во количникот по двојката. 106 1624  влегува во
106 48120  точно 3 пати.)
1.6 Октален и хексадекаден броен систем
Окталниот и хексадекадниот броен систем, покрај бинарниот, имаат значај-
на улога во компјутерската техника , па заслужуваат посебно внимание. Имено,
овие системи овозможуваат многу покомпактно презентирање на броеви отколку
бинарниот броен систем, а истовремено, поради 3
8 2 и 4
16 2 се карактеризираат
со едноставни премини во и од бинарниот систем. Како илустрација на компакт-
носта на окталните или хексадекадните броеви во споредба со бинарите, можеме да
го споредиме окталниот број 645 со еквивалентниот бинарен број 110100101.
Октален броен систем
Во окталниот систем има осум цифри : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Конверзијата од октален во декаден систем се врши според општата
релација
m
m
n
n
n
n babababababaN 




  ...... 1
1
0
0
1
1
1
1
каде што e 8b . На пример, декадниот еквивалент за окталниот број 257.4 e 175.5,
што произлегува од
2 1 0 1
8257.4 2 8 5 8 7 8 4 8 175.5x 
       

15. 1. Бројни системи
15
Како што рековме, конверзијата од декаден систем во систем со друга база
се врши на аналоген начин како од декаден во бинарен. Да го конвертираме, на
пример, декадниот број 175 во октален:
Остатоци
цифра)анајзначајн-(MSD208:2
528:21
цифра)јнанајнезнача-(LSD7218:175



Значи, можеме да напишеме:
257175 810 
Бидејќи базите 2 и 8 се поврзани со 823
 , бинарните и окталните броеви
лесно се префрлуваат од еден во друг. Експонентот 3 индицира дека секој три-
битен број одговара на една октална цифра и обратно. Значи, ако битовите на даден
бинарен број ги групираме во групи од по три тргнувајќи од бинарната точка во
едната и другата насока и потоа тие групи ги замениме со нивните еквивалентни
октални цифри, ќе го добиеме еквивалентниот октален број. Да го погледаме на пр.,
бинарниот број N=10110011.1111. Го групираме како што следува:
47362
100111.011101010N
Значи:
82 74.2631111.10110011 
Конверзијата на октален број во бинарен број е исто така едноставна. Да го конвер-
тираме, на пр. бројот 8346 во бинарен број. Цифрата 3 ќе ја замениме со 011, циф-
рата 4 со 100 и цифрата 6 со 110, значи
28 11100110346 
ВЕЖБИ
1.6.1 Претвори го во декаден окталниот број 236.14
Решение: 158.1875
1.6.2 Oкталниот број од претходната задачa претвори го а во бинарен.
Решение: 10011110.0011
1.6.3 Претвори го во октален декадниот број 31.130
Решение:
Најнапред го наоѓаме окталниот број за целобројниот дел, а потоа за
фракцијата. Значи
Остатоци
цифра)анајзначајн-(MSD308:3
цифра)јнанајнезнача-(LSD738:31


и

16. Принципи на логичкиот дизајн
16
Вишоци
50.7605.76080.720
60.7206.72080.840
30.8403.84080.480
40.480480.480.560
20.560602.580.320
00.3200.32080.040
цифра)анајзначајн-(MSD10.0401.0408130.0







Според тоа:
810 ...1024365.37130.31 
1.6.4 Претвори гo во окталen бинарниот број 101.11011101
Одговор: 5.672
1.6.5 Покажи дека е
(а) 888 46374367 
(б) 888 123217342 
(в) 888 322012250 
1.6.6 Изврши го делењето 88 16:243
Решение
20
.16
20
.106
110
.52
63
.16
113.516:243 
Значи
15.1316:243 88

Хексадекаден броен систем
Хексадекадниот систем систем содржи 16 цифри, па за цифрите поголеми од
9 мора да се користат нови симболи. Како стандардни симболи за таа цел се употре-
буваат ознаките A,B,C,D,E и F , кои одговараат, респективно, на декадните броеви
10, 11, 12, 13, 14 и 15. Во табелата на сликата 1-3 се прикажани цифрите на хекса-
декадните броеви, заедно со соодветните еквиваленти во декадниот, бинарниот и
окталниот систем.

17. 1. Бројни системи
17
16b 10b 2b 8b
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
B
C
D
E
F
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
СЛИКА 1-3
Цифри на хексадекадниот систем со
еквивалентните броеви во декадниот,
бинарниот и окталниот систем
За конверзија од базата 16 во базата 10 и обратно се користат погоре прет-
ставените методи. На пример, од
3 2 1 0
17 1 16 7 16 10 16 15 16 6063AF         
Произлегува дека декадниот еквивалент на хексадекадниот број 17AF e 6063 . Во
обратната насока, би имале
Остатоци
(MSD)1016:1
7116:23
A2316:378
(LSD)F78316:6063




Значи
1610 AF176063  ,
како што очекувавме.
Бидејќи базите 2 и 16 се поврзани со релацијата 1624
 , за конверзија од
база 2 во база 16 и обратно можеме да користиме техника аналогна на онаа што ја
дискутиравме во врска со окталните броеви. Единствената разлика ќе биде што сега
ќе групираме по 4 бита, наместо по 3 како во претходниот случај. На пример бинар-
ниот број 1111.10110011 можеме да го групираме како што следува:
F3B
1111.00111011N
па имаме
162 B3.F1111.10110011 
Како друг пример, да го претвориме 16FC32 во бинарен број. Бидејќи
200102  , 21111F  , 1100C  и 00113  имаме:
16 22FC3 10 1111 1100 0011

18. Принципи на логичкиот дизајн
18
Аритметичките операции во системот со база 16 се извршуваат на аналоген
начин како и во систем со која и да било друга база. Како илустрација, ќе ги собере-
ме броевите 162F45 и 16B961 ;
E8A6
B961...
2F45

Забележуваме дека 816F9  . Значи 8 пишуваме, а една 16-ка пренесуваме
(пренос 1).
ВЕЖБИ
1.6.7 Конвертирај го во декаден хексадекадниот број A6C.3D
Решение: 2668.23828125
1.6.8 Конвертирај го во бинарен хексадекадниот број F3.2A
Решение: 1111 0011. 0010 1010
1.6.9 Конвертирај го во хексадекаден декадниот број 15.546875
Решение:
За целубројниот дел очигледно важи:
1610 F15 
Понатаму е
C0.0012.00160.75
(MSD)80.7575.8160.546875


Значи:
1610 8.0546875.0 C
или
1610 F.8C15.546875 
1.6.10 Конвертирај го во хексадекаден бинарниот број 1101110.00111
Решение: 6E.38
1.6.11 Покажи дека е
(а) B619BF1A2 
(б) 257F6-D34 
(в) ABC63FBA2 
1.6.12 Изврши го делењето 1A:D24
Решение

19. 1. Бројни системи
19
24D : 1A 16.A762
1A .
AD
9C .
110
104 .
C0
B6 .
A0
9C .
40
34 .
C0

Значи
161616 267A.16A1:D24 