1. ԵՐԵՎԱՆԻ ՊԵՏԱԿԱՆ ՀԱՄԱԼՍԱՐԱՆ
ԻՆՖՈՐՄԱՏԻԿԱՅԻ և ԿԻՐԱՌԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ
ՖԱԿՈՒԼՏԵՏ
Հանրահաշվական բազմաձեւությունները եւ
բազմանդամային իդեալների հետազոտումը Գրյոբների
բազաների միջոցով:

2. Գրյոբների բազաները ժամանակակից հանրահաշվի ամենաարդյունավետ ալգո-
րիթմական կառուցվածքներից են: Գրյոբների բազաների միջոցով լուծվում են մի շարք
կիրառական բնույթի խնդրիներ որոնցից մի մասը դասական մեթոդներով հնարավոր չէ
լուծել , իսկ մյուս մասի լուծման ընթացքում հանդիպում ենք լուրջ դժվարությունների:
Այդպիսի խնդիրներից են իդեալների հավասարության, իդեալին պատկանելիության,
ենթաիդեալ լինելու խնդիրները: Առանցքային նշանակություն ունի ոչ գծային
հավասարումնների լուծումը: Գրյոբների բազաները կիրառվում են ռոբոտաշինության
խնդիրներում , ունեն նաեւ երկրաչափական կիրառություն: Մենք կանդրադառնանք
դրանք օգնությամբ հանրահաշվական բազմաձեւությունների հետազոտմանը:
§ 1-ում ներմուծվում է մոնոմիալ կարգավորվածության գաղափարը , ներկայացվում է
Դիքսոնի լեմման:
§2-ում կանդրադառնանք բազմանդամը մի քանի բազմանդամների Հաջորդականության
վրա բաժանելու մեթոդին, որն ընդհանրացնում է բազմանդամները անկյունով բաժանելու
հանրահայտ մեթոդը:
§3-ում ներկայացված են Գրյոբների բազաների տեսությունը եւ դրանք հաշվելու
Բուխբերգերի ալգորիթմը:
§4-ում սահամանվում են բազմանդամային բազմաձեւթյունները , ցույց է տրվում դրանց
կապը 𝐾[𝑥1,…,𝑥 𝑛] օղակի իդեալների հետ:
§5-ում ներկայացված է Գրյոբների բազաների հաշվումը ծրագրի օգնությամբ եւ որպես
այդպիսին ընդրված է Singular ծրագրը:

3. Մոնոնոմիալ կարգավորվածություն և Դիքսոնի լեմման
մոնոմիալ իդեալներում
Ենթադրենք 𝐾 դաշտի վրա տրված է 𝑛 փոփոխականների 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակը:
Պայմանավորվենք 𝑥1,…, 𝑥 𝑛 փոփոխականների մոնոմիալ անվանել
(1.1) 𝑥1
݇1 ⋯ 𝑥 𝑛
݇𝑛
արտադրյալը, որտեղ ݇1,…,݇ 𝑛 աստիճանացույցերը կամայական ոչ բացասական
ամբողջ թվեր են:

4. Սահմանում.
ℕ0
𝑛
բազմության վրա տրված < հարաբերությունը կոչվում է մոնոմիալ
կարգավորվածություն (մոնոմիալ կարգի հարաբերություն), եթե
M.1 < հարաբերությունը լիովին կարգավորվածություն է, այսինքն՝
1) < հարաբերությունը գծային կարգավորվածություն է. կամայական
𝛼, 𝛽 ∈ ℕ0
𝑛
աստիճանային վեկտորների համար տեղի ունի 𝛼 < 𝛽, 𝛼 = 𝛽 կամ 𝛽
< 𝛼 հարաբերություններից մեկը եւ միայն մեկը,
2) ℕ0
𝑛
-ի ցանկացած ոչ դատարկ 𝐴 ենթաբազմություն ունի նվազագույն
տարր, այսինքն:
M.2 Եթե 𝛼 < 𝛽, ապա կամայական 𝛾 ∈ ℕ0
𝑛
աստիճանային վեկտորի համար 𝛼
+ 𝛾 < 𝛽+ 𝛾:
Համարենք նաեւ 𝑥 𝛼 < 𝑥 𝛽 այն եւ միայն այն դեպքում, երբ 𝛼 < 𝛽:

5. Սահմանում.
ℕ0
𝑛
բազմության 𝛼, 𝛽 աստիճանային վեկտորների համար սահմանենք 𝛼 <
𝑙𝑒𝑥 𝛽, եթե 𝛼 − 𝛽 վեկտորական տարբերության առաջին ոչ զրոյական
կոորդինատը բացասական է: Համապատասխան մոնոմիալների համար
սահմանենք 𝑥 𝛼 <𝑙𝑒𝑥 𝑥 𝛽, երբ 𝛼 < 𝑙𝑒𝑥 𝛽: Այս կարգի հարաբերությունն
անվանենք լեքսիկոգրաֆիական կարգավորվածություն (համառոտ՝ 𝑙𝑒𝑥):
𝛼 = (݇1,…, ݇𝑛) աստիճանային վեկտորի համար 𝑎݇1,…,݇𝑛 𝑥1
݇1 ⋯ 𝑥𝑛݇𝑛
միանդամը
կարելի է նշանակել 𝑎 𝛼 𝑥 𝛼
(1.8) 𝑓 = (𝑥1,…, 𝑥𝑛) = α∈S a𝛼𝑥 𝛼
Ցանկացած ոչ զրոյական 𝑓-ի համար lc𝑓 ⋅ lm𝑓 = lt𝑓,որտեղ lm𝑓-ը ավագ
մոնոմիալ է կոչվում:

6. Սահմանում. 𝐾 դաշտի վրա տրված 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥𝑛]բազմանդամային
օղակի 𝐼 իդեալը կոչվում է մոնոմիալ իդեալ, եթե այն ծնվում է
մոնոմիալների որեւէ բազմությամբ. գոյություն ունի ℕ0
𝑛
-ի այնպիսի մի 𝐴
ենթաբազմություն, որ 𝐼 = 〈𝑥 𝛼 | 𝛼 ∈ 𝐴〉:
Լեմմա. 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥 𝑛]օղակի 𝐼 = 〈𝑥 𝛼 | 𝛼 ∈ 𝐴〉, 𝐴 ⊆ℕ0
𝑛
մոնոմիալ իդեալի
ցանկացած
𝑓 = Σ 𝛽∈𝑆 𝑎 𝛽 𝑥 𝛽 բազմանդամի յուրաքանչյուր 𝑥 𝛽 մոնոմիալը բաժանվում
է որեւէ 𝑥 𝛼 մոնոմիալի վրա (𝛼 ∈ 𝐴):
Լեմմա (Դիքսոնի լեմման). 𝐾 դաշտի վրա տրված 𝐾[𝑥1,…, 𝑥]օղակի
կամայական 𝐼 = 〈𝑥 𝛼 | 𝛼 ∈ 𝐴〉, 𝐴 ⊆ ℕ0
𝑛
մոնոմիալ իդեալի համար 𝐴
բազմությունը պարունակում է այնպիսի 𝛼1,…, 𝛼 𝑠 ∈ 𝐴 աստիճանային
վեկտորներ, որ
𝐼 = 〈𝑥 𝛼1 ,…, 𝑥 𝛼𝑠 〉:
Մասնավորապես, կամայական մոնոմիալ իդեալ վերջավոր ծնված է:
Դիքսոնի լեմման մոնոմիալ իդեալներում

7. Մեր նպատակն է գտնել մնացորդով բաժանման անալոգը 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥 𝑛]
օղակում մի քանի բազմանդամների հաջորդականության վրա բաժանելու
համար եւ ստանալ անկյունով բաժանման մեթոդի ընդհանրացումը:
𝑓 ∈ 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամի եւ ոչ զրոյական բազմանդամների 𝑔1,…, 𝑔 𝑠
վերջավոր հաջորդականության համար կարելի է կառուցել 𝑓 = 𝑞1 ⋅ 𝑔1 + ⋯+
𝑞 𝑠 ⋅ 𝑔 𝑠 + 𝑟 ներկայացումը:Բնականաբար, ակնհայտ չէ, թե յուրաքանչյուր
մոնոմիալ կարգավորվածության եւ 𝑓 եւ 𝑔1,…, 𝑔 𝑠 բազմանդամների համար
նման ներկայացում միշտ գոյություն ունի: Սկսենք մի մանրամասն
օրինակից:
Օրինակ. K[𝑥, 𝑦] օղակում որպես մոնոմիալ կարգի հարաբերություն
ընդունենք 𝑙𝑒𝑥 կարգավորվածությունը: 𝑓 = 𝑥3 𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 բազմանդամը
բաժանենք հետեւյալ երեք բազմանդամների հաջորդականության վրա` 𝑔1
= 𝑥3 -1, 𝑔2 =𝑥y − 𝑥, 𝑔3 = 𝑦2 : Քննարկվող բոլոր բազմանդամների
միանդամները պետք է դասավորված լինեն ըստ 𝑙𝑒𝑥 կարգավորվածության,
ինչն արդեն արված է:
Բաժանման ալգորիթմը և Հիլբերտի թեորեմը

10. Գրյեբների բազաներ և Բուխբերգերի ալգորիթմը,
Մինիմալ և բերված բազաներ
Ենթադրենք 𝐾 դաշտի վրա տրված 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամային օղակում տրված է
որեւէ < մոնոմիալ կարգավորվածություն: 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակի ոչ զրոյական 𝐼 իդեա-
լի համար lt𝐼-ով նշանակվում է 𝐼-ի բոլոր բազմանդամների (ըստ այդ կարգավոր-
վածության) ավագ անդամների {lt𝑓 | 𝑓 ∈ 𝐼} բազմությունը: Այդ բազմությամբ ծնված 〈lt𝐼〉
իդեալը կոչվում է 𝐼 իդեալի ավագ իդեալ :
Գրյոբների բազաների նկարագրումը հարմար է սկսել 〈lt𝐼〉 իդեալի եւ 𝑔1,…, 𝑔 𝑠
բազմանդամների ավագ գործակիցներով ծնված 〈lt𝑔1,…, lt𝑔 𝑠〉 իդեալի
համեմատությունից:
Քանի որ lt𝑔1,…, lt𝑔 𝑠 ∈ lt𝐼, ապա
(3.1) 〈lt𝑔1,…, lt𝑔 𝑠〉 ⊆ 〈lt𝐼〉:
Պարզվում է, որ չնայած 〈𝑔1,…, 𝑔 𝑠〉 = 𝐼 հավասարության, (3.1)-ի երկու կողմերի միջեւ
հավասարությունը միշտ չէ, որ տեղի ունի:
3.2 Սահմանում. 𝐾 դաշտի վրա տրված եւ կամայական մոնոմիալ կարգավոր-
վածություն ունեցող 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամային օղակի ոչ զրոյական 𝐼 իդեալի
𝐺 = {𝑔1,…, 𝑔 𝑠} վերջավոր ենթաբազմությունը կոչվում է 𝐼-ի Գրյոբների բազա, եթե
〈lt𝑔1,…,lt𝑔 𝑠〉 = 〈lt𝐼〉:

11. Հետեւանք. 𝐼 իդեալի 𝐺 = {𝑔1,…, 𝑔 𝑠} ենթաբազմությունը 𝐼-ի Գրյոբների բազա է այն եւ միայն այն դեպքում,
երբ այդ իդեալի յուրաքանչյուր բազմանդամի ավագ անդամը բաժանվում է 𝑔𝑖 բազմանդամերից որեւէ մեկի
lt𝑔𝑖 ավագ անդամի վրա,𝑖 = 1,…, 𝑠:
3.4 Օրինակ.𝑔1 =x3-xy-y2 , 𝑔2 =xy-y եւ 𝑔3 =y2 բազմանդամները 𝐼 = 〈𝑔1,𝑔2, 𝑔3 〉 իդեալի Գրյոբների բազա չեն.
y⋅𝑔1 +x2 y⋅𝑔2-x3⋅𝑔3 = y(x3-xy-y2)+ x2 y(xy-y)+ x3(y2)= -y ∈ 𝐼,
այդ իդեալի -y բազմանդամի ավագ անդամը չի բավարարում 3.4 հետեւանքի պայմանին:
Թեորեմ. Ենթադրենք 𝐾 դաշտի վրա տրված 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակում տրված է որեւէ մոնոմիալ
կարգավորվածություն, ըստ որի՝ օղակի ոչ զրոյական 𝐼 իդեալն ունի 𝐺 = {𝑔1,…, 𝑔 𝑠} Գրյոբների բազան: Այդ
դեպքում կամայական 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամի և 𝐺-ի տարրերի ցանկացած 𝑔1,…, 𝑔 𝑠 դասավորության
դեպքում 𝑓-ը 𝑔1,…, 𝑔 𝑠 հաջորդականության վրա բաժանելիս ստացվում է միեւնույն 𝑟 մնացորդը. գոյություն
ունեն այնպիսի 𝑞1,…, 𝑞 𝑠, 𝑟 ∈𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամներ, որ
𝑓 = 𝑞1 ⋅ 𝑔1 + ⋯+ 𝑞 𝑠 ⋅ 𝑔 𝑠 + 𝑟, որտեղ կամ 𝑟 = 0, կամ էլ 𝑟 ≠ 0 եւ 𝑟-ի միանդամներից ոչ մեկը չի բաժանվում lt𝑔
1,…, lt𝑔 𝑠 ավագ անդամների վրա: Ընդ որում, 𝑟-ն անկախ է 𝐺-ի տարրերի դասավորությունից:
Հետեւանք. Ենթադրենք 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակում տրված է նրա կամայական 𝐼 ոչ զրոյական իդեալի որեւէ 𝐺 = {
𝑔1,…, 𝑔 𝑠} Գրյոբների բազան: Այդ դեպքում տրված 𝑓 ∈ 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամը պատկանում է 𝐼-ին այն եւ
միայն այն դեպքում, երբ 𝑓-ը 𝐺-ի վրա բաժանելիս ստացվող մնացորդը զրոյական է՝ 𝑟 = 𝑓 𝐺 = 0:
3.7 Օրինակ : 3.4 օրինակի գրոբների բազան հետեւյալն է.
𝑔1 = y
𝑔2 = 𝑥3 – y

12. 3.15 Ալգորիթմ (Գրյոբների բազայի կառուցման Բուխբերգերի ալգորիթմը).
𝐾 դաշտի վրա տրված 𝐾[𝑥1,…, 𝑥𝑛] բազմանդամային օղակում ունենք 𝑔1,…, 𝑔 𝑠 ոչ
զրոյական բազմանդամներով ծնված 𝐼 = 〈𝑔1,…, 𝑔𝑠〉 իդեալը: Հաշվել 𝐼 իդեալի որեւէ 𝐺
Գրյոբների բազա:
1. Ֆիքսելով 𝑔1,…, 𝑔 𝑠 բազմանդամների որեւէ դասավորություն՝ սահամանենք 𝐺 = (𝑔1,…,
𝑔 𝑠) հաջորդականությունը:
2. Սահմանենք բազմանդամների զույգերի 𝒮 = {(𝑔𝑖, 𝑔𝑗) | 1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑠} բազմությունը:
3. Քանի դեռ 𝒮 ≠ ∅
4. ընտրենք որեւէ (𝑔𝑖, 𝑔𝑗) զույգ 𝒮-ից;
5. վերագրենք 𝒮 = 𝒮∖{(𝑔𝑖, 𝑔𝑗)};
6. նշանակենք 𝑥 𝛾 = [lm𝑔𝑖, lm𝑔𝑗 ] (𝑔𝑖, 𝑔𝑗 բազմանդամների ավագ մոնոմիալների
ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը);
7. նշանակենք 𝑆(𝑔𝑖, 𝑔𝑗) = (𝑥 𝜈/lt𝑔𝑖) 𝑔𝑖 − (𝑥 𝜈/lt𝑔𝑗)𝑔𝑗 ;
8. (𝑔𝑖, 𝑔𝑗) -ը բաժանենք 𝐺-ի վրա եւ մնացորդը նշանակենք 𝑟 = (𝑔𝑖, 𝑔𝑗) ;
9. եթե 𝑟 ≠ 0
10. 𝐺 հաջորդականությանը վերջից ավելացնենք 𝑟 բազմանդամը;
11. վերագրենք 𝒮 = 𝒮 ∪ {(𝑟, 𝑔) | 𝑔 ∈ 𝐺}:
12. Դուրս գրենք 𝐺 հաջորդականությունը:

13. Աֆինական բազմաձևություններ և արտաքսման իդեալներ ,
բազմանդամային իդեալների հետազոտումը Գրյոբների բազաների
միջոցով
4.1 Սահմանում. Ենթադրենք 𝐾 դաշտի վրա տրված է 𝐾 𝑛 գծային տարածությունը եւ 𝑛
փոփոխականի բազմանդամների 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակը: Այդ օղակի 𝑓1,…, 𝑓 𝑠 բազմանդամներով
սահմանված աֆինական բազմաձեւություն է կոչվում 𝐾 𝑛-ի հետեւյալ ենթաբազմությունը՝
(4.2) 𝑉(𝑓1,…,𝑓𝑠) = {(𝑎1,…,𝑎𝑛) ∈ 𝐾𝑛 | 𝑓𝑖(𝑎1,…, 𝑎 𝑛) = 0, 𝑖 = 1,…,𝑠}:
Այսինքն՝ 𝑉 = 𝑉(𝑓1,…,𝑓𝑠) աֆինական բազմաձեւությունը
(4.3)
f1(x1, … , xn) = 0
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
fs(x1, … , xn) = 0
համակարգի լուծումների բազմությունն է: Մենք համառոտության համար սա հաճախ կանվանենք
պարզապես բազմաձեւություն եւ բաց կթողնենք բազմանդամների հիշատակումը, երբ
համատեքստից պարզ է, թե որ բազմանդամներին են քննարկվում: Բազմաձեւությունները
հանրահաշվական երկրաչափության հիմնական հասկացություն- ներից են, եւ դրանք ընդգրկում են
երկրաչափական օբյեկտների շատ լայն դասեր:
4.4 Օրինակ. Եթե 𝐾 = ℝ եւ 𝑛 = 2, ապա, վերցնելով 𝐾 [𝑥, 𝑦] օղակի (𝑥, 𝑦) = 𝑥2 +𝑦2 − 𝑅2 բազմանդամը,
մենք որպես 𝑉(𝑓) աֆինական բազմաձեւություն կստանանքℝ2 իրական հարթության վրա (0,0)
կենտրոնով եւ 𝑅 շառավղով շրջանագիծը: Իսկ եթե ավելացնենք նաեւ 𝑔(𝑥,𝑦) = 𝑥 − 𝑦 բազմանդամը,
ապա կստանանք 𝑉(𝑓, 𝑔)Բազմաձեւությունը, որը բաղկացած է միայն երկու կետերից՝ նշված
շրջանագծի եւ 𝑦 = 𝑥 ուղղի հատման կետերից:
Աֆինական բազմաձեւություններ են նաեւ էլիպսները, հիպերբոլները, պարաբոլները եւ, ավելի
ընդհանուր՝ բոլոր բազմանդամային ֆունկցիաների գրաֆիկները:

14. 4.6 Օրինակ. Կամայական 𝐾 դաշտի վրա տրված գծային հավասարումների
(4.7)
a11x1 + ⋯ + a1nxn = b1
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
am1x1 + ⋯ + ammxn = bm
համակարգը կարելի է ներկայացնել
f1(x1, … , xn) = 0
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
fs(x1, … , xn) = 0
տեսքով, որտեղ 𝑓𝑖(𝑥1,…, 𝑥 𝑛) ∈ 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] գծային բազմանդամը սահմանվում է հետեւյալ կերպ
𝑓𝑖(𝑥1,…, 𝑥 𝑛) = 𝑎𝑖1 𝑥1 + ⋯+ 𝑎𝑖𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑏𝑖, 𝑖 = 1,…, 𝑚:
Այդ դեպքում (4.7) համակարգի լուծումները ոչ այլ ինչ են, քան 𝑉 = 𝑉(𝑓1,…, 𝑓 𝑚) աֆինական
բազմաձեւությունը:
Շատ կարեոր է աֆինական բազմաձեւությունների կապը 𝐾[𝑥1,…,𝑥 𝑛] օղակի իդեալների հետ: Նախ նկատենք,
որ եթե (𝑎1,…,𝑎 𝑛) ∈ 𝐾 𝑛 𝑛-յակը լուծում է տվյալ 𝑓(𝑥1,…,𝑥 𝑛) = 0 եւ h(𝑥1,…,𝑥 𝑛) = 0 հավասարումների
համար, ապա այն լուծում է
նաեւ 𝑓(𝑥1,…,𝑥 𝑛) + h(𝑥1,…, 𝑥 𝑛) = 0 հավասարման համար: Ավելին, վերցնելով ցանկացած 𝑟(𝑥1,…,𝑥 𝑛) ∈ 𝐾[𝑥
1,…,𝑥 𝑛] բազմանդամ, հեշտ է ստուգել, որ (𝑎1,…,𝑎 𝑛)-ըլուծում է նաեւ 𝑓(𝑥1,…, 𝑥 𝑛) ⋅ 𝑟(𝑥1,…, 𝑥 𝑛) = 0
հավասարման համար (քանի որ, եթե 𝑓(𝑎1,…,𝑎 𝑛) = 0, ապա այդ արտադրյալը զրոյական է անկախ 𝑟(𝑎1,…, 𝑎 𝑛)
արժեքից):
Ցանկացած 𝑓1,…,𝑓 𝑠 ∈ 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմանդամների համար նրանցով ծնված 𝐼 = 〈𝑓1,…,𝑓 𝑠〉 իդեալը, ըստ 1.10
թեորեմի, կարելի է ներկայացնել որպես 𝑓𝑖 𝑟𝑖 տեսքի արտադրյալների (1.11) գումարների բազմություն (𝑟𝑖
բազմանդամները կամայական են 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛]-ից): Սրանից եւ վերն ասվածից բխում է, որ եթե 𝑔(𝑥1,…, 𝑥 𝑛)-ը
ցանկացած բազմանդամ է 𝐼 իդեալից, ապա նրա համար նույնպես տեղի ունի 𝑔(𝑎1,…, 𝑎 𝑛) = 0:
Այսինքն՝ 𝑉 = 𝑉(𝑓1,…, 𝑓 𝑠) բազմաձեւության 𝑛-յակները արմատ են նաեւ ցանկացած 𝑔 ∈ 𝐼 բազմանդամի
համար:

15. 4.8 Սահմանում. Ենթադրենք 𝐾 դաշտի վրա տրված է 𝐾 𝑛 գծային տարածությունը եւ 𝑛
փոփոխականի բազմանդամների 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակը: Այդ օղակի 𝐼 իդեալով
սահմանված աֆինական բազմաձեւություն է կոչվում 𝐾 𝑛-ի հետեւյալ
ենթաբազմությունը՝
(4.9) V (𝐼) = {(𝑎1,…, 𝑎𝑛) ∈ 𝐾𝑛 | 𝑓(𝑎1,…,𝑎𝑛) = 0, ցանկացած 𝑓 ∈ 𝐼}:
(4.10) 𝑉 (𝐼) = 𝑉 (𝑓1,…, 𝑓𝑠):
Իդեալներով սահմանված 𝑉(𝐼) բազմաձեւությունները ավելի ընդհանուր
հասկացություն են թվում թեկուզ միայն այն պատճառով, որ 𝑉(𝑓1,…, 𝑓𝑠) տեսքի
բազմաձեւությունները սահմանվում են բազմանդամների վերջավոր բազմությունների
համար, մինչդեռ 𝑉(𝐼) տեսքի բազմաձեւությունը սահմանող 𝐼 իդեալը կարող է անվերջ
լինել:
Այնուամենայնիվ, վերջավոր բազայի մասին Հիլբերտի թեորեմի միջոցով դժվար չէ
ցույց տալ, որ իրականում յուրաքանչյուր 𝑉(𝐼) բազմաձեւություն կարելի է
ներկայացնել 𝑉(𝑓1,…, 𝑓𝑠) տեսքով: Իսկապես, 𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակի ցանկացած 𝐼 իդեալ
վերջավոր ծնված է: Եթե նրա ծնիչների վերջավոր բազմությունն է {𝑓1,…, 𝑓 𝑠}, ապա
կարելի է վերցնել 𝑉(𝑓1,…, 𝑓 𝑠) բազմաձեւությունը, որը հավասար է 𝑉(𝐼)
բազմաձեւությանը, ինչպես տեսանք քիչ առաջ:

16. Իդեալների օգտագործումը թույլ է տալիս գործի մեջ ներգրավել այնպիսի
«զենքեր», ինչպիսիք են Գրյոբների բազաները: Տրված 𝑉(𝑓1,…, 𝑓𝑠) աֆինական
բազմաձեւությունը ուսումնասիրելու համար կարելի է անցնել 𝐼 = 〈𝑓1,…, 𝑓𝑠〉
իդեալով սահմանված 𝑉(𝐼) բազմաձեւությանը, իսկ դրանից էլ՝ 𝐼 իդեալի 𝐺 = {𝑔1,…,
𝑔𝑠} Գրյոբների բազայով (կամ մինիմալ, բերված Գրյոբների բազաներով)
սահմանված 𝑉(𝐺) բազմաձեւությանը: 𝐺-ի ալգորիթմական հնարավորությունները
կարող են օգտագործվել 𝑉(𝐺) = 𝑉(𝑔1,…, 𝑔𝑠) բազմաձեւության նկարագրության
համար:
Մեզ անհրաժեշտ է փոփոխականների արտաքսման հասկացության տեսական
ստույգ ձեւակերպումը.
4.13 Սահմանում. 𝐾 [𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակի 𝐼 իդեալի համար 𝐾[𝑥k+1,…, 𝑥 𝑛] ենթաօղակի ݇-
րդ արտաքսման իդեալ է կոչվում 𝐼݇ = 𝐼 ∩ 𝐾[𝑥k+1,…,𝑥 𝑛] իդեալը:
Սահմանումը ակնհայտորեն կոռեկտ է: Հասկանալի է, որ 𝐼݇-ն կազմված է 𝐼-ի այն
բազմանդամներից, որոնց գրության մեջ բացակայում են 𝑥1,…, 𝑥݇
փոփոխականները: Ընդունված է համարել, որ 𝐼0 = 𝐼:
Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը արտաքսման
իդեալների կիրառման պարզագույն ձեւն է:

17. 4.14 Թեորեմ (արտաքսման թեորեմը). Ենթադրենք 𝐾 դաշտի վրա տրված
𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] օղակի 𝐼 իդեալը ըստ 𝑙ex մոնոմիալ կարգավորվածության ունի 𝐺
Գրյոբների բազան: Այդ դեպքում ցանկացած ݇ = 0, 1,…, 𝑛 − 1 համար
(4.15) 𝐺݇ = 𝐺 ∩ 𝐾[𝑥݇+1,…, 𝑥 𝑛]
(ոչ դատարկ) հատումը Գրյոբների բազա է 𝐼݇ արտաքսման իդեալի համար: Դիտ
Արտաքսման թեորեմը ցույց է տալիս, թե ինչքան արդյունավետ են Գրյոբների
բազաները աֆինական բազմաձեւությունների նկարագրության համար: 𝑓1,…, 𝑓𝑠 ∈
𝐾[𝑥1,…, 𝑥 𝑛] բազմադամներով սահմանված (4.2) բազմաձեւության նկարագրության,
այսինքն՝ (4.3) համակարգի լուծումների ուսումնասիրման համար պետք է ըստ 𝑙ex-
ի հաշվել 𝐼 = 〈𝑓1,…,𝑓𝑠〉 իդեալի որեւէ 𝐺 Գրյոբների բազա, եւ նրա մեջ փնտրել
մինիմալ քանակությամբ փոփոխականներ պարունակող բազմանդամները: Դրանց
լուծումները գտնելու դեպքում այդ լուծումները տեղադրում ենք հաջորդ
բազմանդամների մեջ : Այս ընթացքում կարող են պատահել նաեւ դատարկ
հատումներ, որոնք լուծման վրա չեն ազդում

18. Կատարենք մի քանի բազմանդամային իդեալների հետազոտումը
Գրյոբների բազաների միջոցով:
4.18 Դիտարկենք հետեւյալ մակերեւույթներով
առաջացող բազմաձեւությունը.
f1 = -x2+y2+z2-1;
միախոռոչ հիպերբոլոիդին, որի առանցքը Ox գիծն է.
f2 = x;
f3 = y;
Այս մակերեւույթների միջոցով առաջացած V( 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3)
բազմաձեւթյունը որը բաղկացած է երկու կետից:

19. Singular-ի միջոցով հաշվելով (կոդը հաջորդ պարաֆում է) Գրյոբների բազան ստանում ենք .
𝑔1= z2-1
𝑔2= y
𝑔3= x
Պարզ է, որ z2=1 բանաձեւով R3 տարածության մեջ տրվում են երկու հարթություններ.
z = 1
z = -1
Դրանց ավելացնելով բազայի
y=0
x=0
հարթությունները ստանում ենք երկու հատ կետ, որոնք նկարի կանաչ ու կարմիր գծերի հատման կետերն
են.
(0,0,1) եւ (0,0,-1):
Այսինքն, այդ նույն բազմաձեւությունը ( երկու կետ) ավելի պարզ նկարագրվում են
V(𝑔1,𝑔2 ,𝑔3 ) տեսքով: Թեև 𝑔1,𝑔2 ,𝑔3 մակերեւույթնները տարբեր են 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3
մակերեւույթներից նրանց հատումը նույնն է V( 𝑓1,𝑓2 , 𝑓3) = V(𝑔1,𝑔2 ,𝑔3 ):

20. 4.18 Դիտարկենք հետեւյալ բազմաձեւությունը ,որը
ստացվում է
f1 = x2+y2+z2-2; գունդ
f2 = -x2+y2-z2; կոնական մակերեւույթ է,
f3 = x2-y2-z2-1/4; երկխոռոչ հիպերբոլոիդ,
Այս մակերեւույթների միջոցով առաջացած
V( 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3) բազմաձեւթյունը ,որը դեռ պարզ չէ թե
իրենից ինչ է ներկայացնում:
Սրա համապատասխան Գրյոբների բազան
ստացվում է 𝑔1=8z2+1
𝑔2=y2-1
𝑔3=4x2-4y2-4z2-1
Այսինքն, այդ նույն բազմաձեւությունը
նկարագրվում են V(𝑔1,𝑔2, 𝑔3) տեսքով: Բազայի 𝑔1
հավասարումը իրական լուծումներ չունի , ինչի շնորհիվ
V(𝑔1,𝑔2, 𝑔3) բազմաձեւությունը դատարկ է եւ քանի որ
V( 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3) = V(𝑔1,𝑔2, 𝑔3) հետեւաբար 4.18 բազմաձեւ -
ությունը դատարկ է:

21. 4.19 բազմաձեւությունը ,որը ստացվում է հետեւյալ հավասարումներով
f1= (x –1/2)2+(y2 -1/2)2+(z2-1/2)2 -1;
կապույտ գունդ
f2 = x2+y2+z2 -1; կարմիր գունդ,
f3 = x +z-1;
f4 = x+y-1;

22. Բազային համապատասխանում է
Լուծելով բազայի հավասարումները ստանում ենք որ այս
դեպքում բազմաձեւությունը բաղկացած է 2 կետից ,ինչը եւ
երեւում է բազային համապատասխանող պատկերից:
Լուծման արդյունքում ստացվում են (քառակուսի
հավասարման արժեքները վերցված են մոտավոր ) (1/2, -
1/4, 1/2) եւ (1/50, -1/4, 4/5) կետերը:
Համապատասխան Գրյոբների բազան հետեւյալն է
G[1]=32z2-32z+1
G[2]=4y+1
G[3]=x+z-1

23. Դիտարկենք հետեւյալ բազմաձեւությունը
𝑓1 = -x2 + y2 + z2 , որը իրենից ներկայացնում է
կոնական մակերեւույթ
𝑓2 = y2 + z2 -1 , գլանային մակերեւույթ
Այս երկու մակերեւույթների միջոցով առաջացած
V( 𝑓1, 𝑓2 ) բազմաձեւթյունը բաղկացած է երկու
շրջանագծերից:
Հաշվելով սրա Գրյոբների բազան Singular-ով ստացվում
է
𝑔1 = y2+z2-1 գլանային մակերեւույթ
𝑔2 =x2-1 երկու հատ հարթություններ, որոնք
անցնում են x=1 եւ x=-1 կետերով ( զուգահեռ yOz-ին):
Այսինքն, այդ նույն բազմաձեւությունը ( երկու
շրջանագծերը) ավելի պարզ նկարագրվում են V(𝑔1,𝑔2 )
տեսքով: Թեեւ 𝑔1,𝑔2 մակերեւույթնները տարբեր են 𝑓1,
𝑓2 մակերեւույթներից նրանց հատումը նույնն է V( 𝑓1, 𝑓2
) = V(𝑔1,𝑔2 ):

24. 4.20 բազմաձեւությունը
f1 = (x –1/2)2+(y2 -1/2)2+(z2-1/2)2 -2;
կապույտ գունդ
f2 = x2+y2+z2 -2; կարմիր գունդ,
f3 = -x2 +y2 -z2; կոնական մակերեւույթ,
Այս մակերեւույթների միջոցով առաջացած V( 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3)
բազմաձեւթյունը ,որը դեռ պարզ չէ թե իրենից ինչ է
ներկայացնում:
Հաշվելով սրա Գրյոբների բազան Singular-ով ստացվում
է
𝑔1 = z2-1;
𝑔2= y2
𝑔3 = x2+1
Այսինքն, այդ նույն բազմաձեւությունը նկարագրվում
են V(𝑔1,𝑔2, 𝑔3) տեսքով: Բազայի 𝑔3 հավասարումը
իրական լուծումներ չունի , ինչի շնորհիվ V(𝑔1,𝑔2, 𝑔3)
բազմաձեւութ-յունը դատարկ է եւ քանի որ V( 𝑓1, 𝑓2 , 𝑓3)
= V(𝑔1,𝑔2, 𝑔3) հետեւաբար 4.20 բազմաձեւությունը
դատարկ է

25. Գրյոբների բազաների հաշվումը Singular
ծրագրի միջոցով
Օրինակ 3.4-ի I=< f1,f2,f3> իդեալի գրոբների բազաի
հաշվարկը
> ring r=0,(x,y,z),lp;
> poly f1=x3-xy-y2;
> poly f2=xy-y;
> poly f3=y2;
> ideal I=(f1,f2,f3);
> I;
I[1]=x3-xy-y2
I[2]=xy-y
I[3]=y2
> ideal G=groebner(I);
> G;
G[1]=y
G[2]=x3-y
ring r=0,(x,y,z),lp;
> poly f1=x2-2x+y2-2y+z2-2z+1 ;
> poly f2=x2+y2+z2-1;
> ideal I=(f1,f2);
> ideal G=groebner(I);
> G;
G[1]=y2+yz-y+z2-z
G[2]=x+y+z-1

26. Շնորհակալություն