Документ обсуждает квантовые свойства излучения и тепловое излучение, включая теоретическую основу, предложенную М. Планком, и его основные характеристики. Также рассматриваются понятия, такие как поглощательная способность, испускательная способность и закон Кирхгофа, а также их связь с черными телами и серыми телами. Тепловое излучение анализируется как явление, зависящее от температуры и свойств материалов, а также объясняется концепция термодинамического равновесия.

1. 1. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ
В конце XIX века волновая теория природы света, как казалось,
окончательно победила ньютоновскую корпускулярную теорию.
Электромагнитная природа света точно описывала природу свето-
вых волн — это электрическое, а следовательно, и магнитное поле,
изменяющееся периодически во времени и распространяющееся в
пространстве. Это прекрасно подтверждалось явлениями дифрак-
ции и поляризационной интерференции света.
Первое явление, которое не могло быть объяснено на основе вол-
новой теории света, — это излучение черного тела и эксперименталь-
ные законы теплового излучения. Для разрешения этой проблемы
М. Планк сформулировал первую квантово-механическую гипотезу
и сначала эмпирически (на основе рассуждений и предположений), а
потом и теоретически вывел свою знаменитую формулу (1900 г.):
,E h  или ,E  
где h — постоянная Планка  2 .h 
Остановимся подробнее на явлении теплового излучения, его ос-
новных характеристиках и законах.
1.1. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Излучение (испускание) электромагнитных волн веществом про-
исходит из-за внутриатомных (или внутримолекулярных) процессов.
Источники энергии, которые могут вызывать излучение, и виды
возникающего излучения:
 энергия химических реакций (хемилюминесценция);
 энергия газового разряда (электролюминесценция);
 энергия бомбардирующих твердое тело электронов (катодо-
люминесценция).
Но существует один вид излучения, присущий абсолютно всем
физическим телам.
Тепловое излучение — это электромагнитное излучение, возни-
кающее за счет внутренней (тепловой) энергии излучающего тела
и зависящее только от температуры и оптических свойств дан-
ного физического тела.

2. 2
Тепловое излучение возникает при любых температурах (есте-
ственно, больших, чем 0T  К), следовательно, испускается всеми
телами. В зависимости от температуры тела изменяется интенсив-
ность и спектральный состав излучения. При высокой температуре
возникает свечение белого цвета — сплошной спектр излучения.
При понижении температуры возрастает длина волны излучения ,
т.е. цвет свечения изменяется от желтого к красному и инфракрас-
ному (ИК) вплоть до полного прекращения видимого свечения,
когда тело испускает только невидимые глазу ИК лучи.
Тепловое излучение — единственный вид излучения, который
находится в термодинамическом равновесии с излучающим телом,
т.е. является равновесным (тело в единицу времени поглощает столь-
ко же энергии, сколько и излучает). Равновесное излучение уста-
навливается в теплоизолированной (адиабатно замкнутой) системе.
Примером может служить излучающее тело в оболочке с идеально
отражающей поверхностью. Излучение испускается телом, отражается
оболочкой, затем вновь поглощается и отражается телом и т.д.
Энергия, излучаемая телом, компенсируется за счет поглощения им
такого же количества энергии падающего на него излучения (рис. 1.1).
T
Рис. 1.1. Модель теплового излучения в адиабатно замкнутой системе
Свойство теплового излучения находиться в термодинамиче-
ском равновесии с излучающим телом обусловлено тем, что ин-
тенсивность теплового излучения возрастает с увеличением тем-
пературы тела.
Пусть выполняется соотношение энергий, когда изл погл,Е Е
следовательно, температура тела и его внутренняя энергия будут

3. 3
уменьшаться. Это, в свою очередь, приводит к уменьшению интен-
сивности теплового излучения до тех пор, пока излЕ не станет равной
поглЕ  изл погл .Е Е Аналогично рассматривается обратный случай,
когда изл погл.Е Е
Таким образом, равновесие системы «тепловое излучение–тело»
является устойчивым, т.е. при отклонении от равновесия в какую-
либо сторону возникают процессы, возвращающие систему в тер-
модинамическое равновесие.
1.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Перечислим сначала интегральные характеристики теплового из-
лучения.
1. Поток излучения Ф — это средняя мощность излучения за
время, значительно большее периода электромагнитных (световых)
колебаний, размерность Ф — [Вт].
2. Энергетическая светимость , ,TR ,TR — это поток излуче-
ния (энергии), испускаемый единицей поверхности (1 м2
) по всем
направлениям (т.е. в пределах телесного угла 2), является функ-
цией температуры тела Т и длины волны  или частоты  излу-
чения. Размерность — [Вт/м2
].
Тело излучает электромагнитные волны различных частот 
(или длин волн ). Выделим интервал частот от  до .d 
Энергия и, следовательно, мощность (поток) излучения в интервале
d будут пропорциональны величине самого интервала :d 
R r d   и ,R r d  
причем очевидно, что .R R  Тогда полный поток излучаемой
энергии
0 0
,R r d r d
 
     
где интегрирование проводится по всему спектру излучения. Здесь
r и r — дифференциальные характеристики излучения, которые
называются спектральной плотностью энергетической светимости
тела или мощностью излучения с единицы поверхности тела в

4. 4
единичном интервале частот (длин волн). Эти характеристики
определяют испускательную способность тела.
Определим связь между коэффициентами r и .r
Энергетическую светимость тела можно представить и как функ-
цию частоты излучения, и как функцию длины волны, которые
связаны соотношением
2
,
c c
  
 
при этом
2
2
2
.
2
с
d d d
с
 
      

Знак «–» производной d d  означает лишь то, что с ростом 
величина  уменьшается и наоборот, и формально может быть
опущен.
Потоки излучения, приходящиеся на интервал частот d и на
соответствующий ему интервал длин волн ,d равны друг другу:
,R R  или
2
,
2
r d r d d
с
 

    

и, следовательно,
2
2
2
.
2
с
r r r
c
  
 
 

С помощью аналогичных рассуждений можно получить соот-
ношение для r и :r
2
2
.
с
r r r
c
  

 

3. Способность тела поглощать излучение характеризуется ко-
эффициентом поглощения
погл падФ Ф , 
т.е. отношением величин потоков поглощенного и падающего на
тело излучений. Коэффициент  — величина безразмерная; ее
значение находится в диапазоне 0 1.  

5. 5
Если выделить излучение в интервале частот d (или длин
волн d), то отношение элементарных потоков энергии Фd (по-
глощенного поглФd к падающему падФd ) будет зависеть от вели-
чины диапазона частот (или длин волн):
погл
пад в интервале
Ф
Ф d
d
a
d


 и погл
пад в интервале
Ф
.
Ф d
d
a
d



Таким образом, вводится еще одна дифференциальная характе-
ристика a (или a ) — поглощательная способность тела, или
монохроматический коэффициент поглощения.
Дифференциальные характеристики r и a зависят от частоты
или длины волны излучаемого (поглощаемого) излучения, темпе-
ратуры и химического состава тела, а также от состояния его по-
верхности.
Очевидно, что величина ,a так же как и коэффициент погло-
щения , меняется в интервале от нуля до единицы. Известно, что
интенсивнее других поглощают излучение тела черного цвета.
Абсолютно черное тело — это тело, которое при любой темпе-
ратуре полностью поглощает всю энергию падающих электромаг-
нитных волн независимо от их частоты, поляризации и направле-
ния распространения, т.е. коэффициенты поглощения
0 0
1.а  
Рис. 1.2. Модель абсолютно черного тела

6. 6
Испускательная способность черного тела обозначается — 0
, .Tr
Абсолютно черного тела в природе не существует; наиболее со-
вершенной его моделью является замкнутая полость с небольшим
отверстием, непрозрачными и отражающими стенками, обеспечи-
вающими многократное отражение луча. При каждом отражении луч
частично поглощается (рис. 1.2). Независимо от материала стенок
интенсивность выходящего потока будет намного меньше интен-
сивности входящего первоначального излучения.
В теории теплового излучения часто пользуются идеализиро-
ванной моделью реальных тел, вводя понятие «серое тело». Тело
называется серым, если его коэффициент поглощения одинаков
для всех частот и зависит только от температуры тела и состояния
его поверхности  c c
.a a T 
В действительности реальное физическое тело по своим харак-
теристикам приближается к серому телу только в узком диапазоне
частот излучения.
Рассмотрим связь между испускательной и поглощательной
способностью тела.
Пусть в замкнутой адиабатичной (теплоизолированной) обо-
лочке находятся несколько тел (включая абсолютно черное тело) в
состоянии термодинамического равновесия. Пусть температуры
всех тел одинаковы, но даже если бы они были различны, то через
некоторое время выровнялись бы. Термодинамическое состояние
тел в такой системе не может измениться. Следовательно, тело,
обладающее большей испускательной способностью для данной
частоты (длины волны) излучения, должно интенсивнее поглощать
излучение этой же частоты, иначе его энергия (температура) изме-
нилась бы (при увеличении энергии излучения тела его температу-
ра уменьшается). И наоборот. Таким образом, должно выполняться
соотношение
0
0
0
1 тело 2 тело абс. черное тело
,
r r r
r
a a a
  

  
    
         
     
где 0
r — испускательная способность черного тела; 0
1a  — по-
глощательная способность черного тела.

7. 7
Закон теплового излучения Кирхгофа (1859 г.):
отношение спектральной плотности энергетической свети-
мости тела к его монохроматическому коэффициенту по-
глощения не зависит от материала тела (т.е. одинаково для
всех тел) и равно спектральной плотности энергетической
светимости абсолютно черного тела. Данная величина явля-
ется функцией только температуры и частоты излучения.
Более простая формулировка этого закона звучит так: при оди-
наковой температуре отношение r a  одинаково для всех, в том
числе и для черных, тел.
Дифференциальная форма закона Кирхгофа:
 0
, ,
r
r T
a



  или 0
.r a r  
Следствия закона Кирхгофа:
1. Так как коэффициент поглощения a для любого тела меньше
единицы  1 ,a  то испускательная способность любого тела
для данной частоты излучения меньше таковой для черного те-
ла: 0
.r r  Иначе говоря, наиболее интенсивным источником
излучения при любой температуре и частоте излучения является
черное тело.
2. Если тело не поглощает излучения в какой-либо области спек-
тра  0 ,a  то оно и не излучает в этой области спектра, т.е.
0r  (при данной температуре).
3. Зная спектр излучения черного тела при данной температуре 0
r
и зависимость монохроматического коэффициента поглощения
данного тела от частоты  ,a  можно определить спектр из-
лучения любого тела  .r 
Интегральная форма закона Кирхгофа записывается для энер-
гетической светимости во всем диапазоне частот. Так как
0
0 0
,R r d a r d
 
      

8. 8
а для серых тел величина  с
constа   и может быть вынесена за
интеграл, то
 сер с 0 с 0
0
,R а r d а R T

  
где  0
R T — энергетическая светимость черного тела.
Для данной температуры сильнее излучают те серые тела,
которые обладают бóльшим коэффициентом поглощения.
1.3. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРНОГО ТЕЛА
Экспериментально было установлено, что тепловое излучение
черного тела имеет сплошной спектр. Схематические зависимости
спектров излучения для различных температур приведены на рис. 1.3.
Так как величины r и r не пропорциональны друг другу, а
связаны соотношением
2
,
2
r r
c
 



то максимумы зависимостей  0
r  и  0
r  находятся в разных
частях спектра, т.е.
2 .m mc   
Из приведенных спектральных зависимостей можно сделать
следующие выводы:
1) для каждой температуры существует максимум испускательной
способности  0 0
max max ,r r  который с увеличением темпера-
туры смещается в область бóльших частот излучения (в об-
ласть меньших длин волн);
2) поскольку энергетическая светимость черного тела 0 0
0
R r d

 
равна площади под графиком зависимости  0
,r  то 0
R
увеличивается с повышением температуры (т.е. энергетическая
светимость возрастает по мере нагревания черного тела).

9. 9
2
0
, 2
2
Tr kT
c




4 3 2 1T T T T  
1 4m m 
0
r

0
а

3 1m m 
0
r
0
3 2 1T T T 
б
Рис. 1.3. Зависимости спектров излучения абсолютно черного тела
для различных температур
Очень важная для характеристики теплового излучения величи-
на 0
r — спектральная плотность энергетической светимости чер-
ного тела (его испускательная способность) — долгое время не
могла быть вычислена теоретически, поскольку рассматривалась
как классическая величина.
Д. Рэлей и Д. Джинс (1900 г.) попытались обосновать экспери-
ментальные зависимости 0
r с помощью классической статистиче-

10. 10
ской физики. Рэлей подошел к изучению спектральных закономер-
ностей излучения черного тела с позиций статистической физики, а
не термодинамики, как это делалось ранее. Он рассматривал рав-
новесное излучение черного тела в замкнутой полости с отражаю-
щими стенками как совокупность пространственных электромаг-
нитных стоячих волн. При этом колебания с различными частота-
ми совершаются независимо друг от друга и каждой частоте соот-
ветствует своя колебательная степень свободы. Рэлей применил к
тепловому излучению закон классической статистической физики
равномерного распределения энергии по степеням свободы, со-
гласно которому на каждую колебательную степень свободы при-
ходится энергия, равная kT (k — постоянная Больцмана). В част-
ности, он предположил, что на каждое электромагнитное колеба-
ние в среднем приходится энергия, равная двум половинкам kT
(одна — на электрическую, другая — на магнитную составляю-
щую энергии волны). Таким образом, Рэлей и Джинс, считая сред-
нюю энергию излучающего атома Е равной ,kT получили сле-
дующую формулу для спектральной плотности светимости черно-
го тела:
2 2 2
0
, 2 2 2
2
.
2 2
Tr E E kT
c c c

  
  
 
Однако эта формула согласуется с экспериментами только для
высоких температур в области малых частот. Для больших частот
она явно неверна. Действительно, энергетическая светимость чер-
ного тела с учетом формулы Рэлея–Джинса
2
2
0 2 2
0 0 0
.
2 2
kT
R r d kTd d
c c
  


       
 
  
Невозможность обоснования законов излучения черного тела с
помощью классической теоретической физики получило название
«ультрафиолетовой катастрофы» (УФ-диапазону соответствуют
малые длины волн  и высокие частоты ).
Теоретически значение 0
r было получено М. Планком (1900 г.),
который отказался от установившегося положения классической
физики о том, что энергия физической системы меняется непре-

11. 11
рывно. Планк ввел понятие квантования излучения (поглощения)
и сформулировал знаменитую гипотезу Планка:
тела излучают (и поглощают) энергию не непрерывно, а
дискретными порциями (квантами) энергии, величина ко-
торых пропорциональна частоте излучения:
,E h    где 2 ; 2 .h   
Коэффициент пропорциональности
 34 34
6,62 10 Дж с 1,054 10 Дж сh  
     
— новая фундаментальная физическая константа, названная посто-
янной Планка.
В механике существует величина, называемая действием и
имеющая размерность «энергия∙время». Поэтому постоянную План-
ка называют иногда квантом действия. Кроме того, размерность h
совпадает с размерностью момента импульса.
Представляя излучающее тело как совокупность атомов — гармо-
нических осцилляторов, каждый из которых излучает энергию кван-
тами  ,h  Планк определил среднюю энергию осциллятора как
.
1 1kT h kT
h
Е
е е 
 
 
 
После подстановки E в формулу Рэлея–Джинса выражения
для 0
r и 0
r приобретают следующий вид:
2 2
0 0
2 2
2
; .
2 1 1kT h kT
h
r r
c е c е
  
   
 
  
Эти соотношения для спектральной плотности светимости чер-
ного тела 0
r и 0
,r которые называют формулой Планка, хорошо
согласуются с экспериментальными зависимостями.
Используя соотношение между величинами r и ,r получим
формулу Планка и для величины 0
.r
Так как 0 0
r d r d     dR dR  и с учетом соотношения
,c   т.е.

12. 12
2
2
,
c
d d d
c

      

получаем
2
0 0
r d r d
с
 

  
и окончательно
0 0
2
.
с
r r 

После подстановки формулы Планка для 0
r в последнее соот-
ношение получаем
2
0
2 2 2 2 4
2 2 2
,
1 1 1h kT hс kT hс kT
с h с hc с hc
r
с е е е
   
     
  
      
или
2
0
5
2
.
1hс kT
с h
r
е
 


 
В случае, когда энергия излучаемого кванта много меньше
энергии теплового движения, т.е. ,h kT  формула Планка
переходит в формулу Рэлея–Джинса. Действительно, при h kT
1 ,h kТ
е h kТ
   знаменатель выражения для 0
r стремится к ве-
личине ,h kТ и тогда
2 2 2
0
2 2 2
2 2 2
.
1 11h kТ
h kT
h h
r kТ
h kТc е c c
 

    
  
  
Теперь определим энергетическую светимость черного тела 0
:R
42 3
0 0
2 2
0 0 0
2 2
.
1 1h kТ x
h h kT x
R r d d dx
hc е c e
  
 
    
      
  
  
Здесь была введена безразмерная переменная ,x h kT  при
этом ,
kT kT
x d dx
h h
    и интеграл
3 4
0
.
151x
x
dx
e




 Тогда

13. 13
4 4 5 4
0 4 4
2 2 3
2 2
,
15 15
h kT k
R T T
hc c h
   
    
 
где величина 8 2 4
5,7 10 Вт/(м К )
   называется постоянной Сте-
фана–Больцмана.
Полученный закон Стефана–Больцмана определяет энергети-
ческую светимость черного тела:
энергетическая светимость черного тела пропорциональна
четвертой степени его термодинамической температуры:
0 4
.R T
Д. Стефан получил эту зависимость на основе анализа экспери-
ментальных данных (1879 г.), а Л. Больцман, применив методы
классической термодинамики, вывел ее теоретически (1884 г.). Со-
гласно этому закону энергетическая светимость черного тела явля-
ется вполне определенной величиной и не равна бесконечности,
как в случае использования формулы Рэлея–Джинса.
Поскольку энергетическая светимость серых тел определяется
их поглощательной способностью c c 0
,R a R для серых тел закон
Стефана–Больцмана записывается в виде
c c 4
,R a T 
где c
a — коэффициент поглощения, не зависящий от  (или ),
но зависящий от температуры .T
Вернемся к экспериментальным зависимостям спектральных
плотностей энергетической светимости черного тела 0
r и 0
.r Из
них следует еще один закон теплового излучения черного тела.
Используя формулу Планка для величин 0
r и 0
,r из условий
0
0
m
r




и
0
0
m
r




можно определить значения m и ,m соответствующие макси-
мумам зависимостей 0
r и 0
.r Для примера проведем вычисление
.m Так как

14. 14
2
0
5
2
,
1hс kТ
с h
r
е
 


 
то
 
 
 
0 2 2
5 5
22 2
6 5 2
2 1 2 1
1 1
2 1 2
5 ,
1 1
hс kТ hс kТ
hс kТ
hс kТ hс kТ
r с h с h
е е
hс kТ ес h с h
е е

 

 
      
            
    
        
 
или
 0 2
6
2 1
5 0.
1 1
hс kТ
hс kТ hс kТ
hс kТ еr с h
е е


 
  
   
     
Введем переменную ,x hс kТ  тогда условие максимума в
точке m   можно записать в виде
 5 1 0.x x
xe e  
Это трансцендентное уравнение решается методом последова-
тельных приближений и дает значение 4,965x  и, следователь-
но,
.
4,965
m
hc
T b
k
  
Соотношения ,m b T  где 3
2,9 10b 
  м·К — постоянная Вина,
и   12m mT T b    формулируют закон смещения Вина (1893 г.):
длина волны, соответствующая максимальной спектраль-
ной плотности энергетической светимости черного тела,
обратно пропорциональна его термодинамической темпе-
ратуре, или частота, соответствующая максимальной спек-
тральной плотности энергетической светимости черного
тела, прямо пропорциональна его термодинамической тем-
пературе.

15. 15
Из закона Вина непосредственно следует, что при понижении
температуры тела максимум энергии его излучения смещается в
область бóльших длин волн. Становится понятным, почему при
уменьшении температуры светящихся тел белое свечение стано-
вится желтым, затем — красным, а после этого вообще становится
невидимым. Это происходит из-за того, что в спектре начинает
преобладать длинноволновое излучение.
Таким образом, первая квантово-механическая гипотеза Планка
о квантованности излучения позволила получить теоретическое
обоснование экспериментально наблюдавшихся законов излучения
черного тела.