Gourier e analisi del suono

1. Mattia Gasperotti, GDG
Trento
Elia Rigo, GDG Trento
Fourier &
l’Analisi del suono
GDG in school

2. Preface
The idea to bring Fourier’s transform as an addition to my
study cycle, comes by chance, nearly like a game. After having
read an article that I found stimulating on the one hand, yet
at the same time sloppy and shallow, a voice inwardly was
saying: "this transform is omnipresent". However, the leading
idea of the author is more inclined with a challenge that seems
to say: "What are you able to do with this formula?"
My passion for music and I.T. have done the rest; being able
to mix business with pleasure and look at math and electronic
no more like something that is abstract to study, but like
something that is practical to apply, has given me a huge
satisfaction.
So, let me say loudly that Fourier’s transform is really a
gorgeous invention.

3. Summary
Signal
Definition
Characteristics
Geometric Representation
Fourier’s Series
Trigonometric Series
Trigonometric Polynomial
Linear Combination
Harmonic
Fourier’s Coefficient
Fourier’s Transform
Definition
DTFT
DFT

4. Segnale
Un segnale è descritto nel tempo mediante una funzione
f(x). Generalmente possiamo parlare di segnale acustico,
segnale elettrico, segnale analogico e digitale.
Una volta trasmesso, si propaga tipicamente in un mezzo
trasmissivo, che ne costituisce il canale di propagazione o
comunicazione.
“Un segnale è una grandezza fisica variabile nel tempo
a cui è associata un’informazione”

5. Caratteristiche fondamentali
di un segnale

6. Rappresentazione geometrica di un
segnale sinusoidale - I
Una oscillazione armonica sinusoidale può essere
vista come la proiezione di un vettore di modulo A
ruotante nel piano, a velocità angolare costante ω.
Partendo dal tempo zero con il vettore orizzontale, ad
ogni istante t il vettore
avrà percorso un angolo
ωt e la sua proiezione
sull’asse verticale sarà
quindi una sinusoide di
ampiezza A, avente come funzione A·sen(ωt).

7. Rappresentazione geometrica di un
segnale sinusoidale - II
Se la posizione iniziale del vettore non è orizzontale,
ma forma un angolo j con l’asse orizzontale,
l’andamento della proiezione è identico, ma la
sinusoide risulterà spostata.
Si utilizzerà quindi il vettore A·sen(ωt + φ).
Qualunque andamento sinusoidale è quindi
rappresentabile attraverso le componenti orizzontale
e verticale del suo vettore iniziale di fase j, e mediante
la velocità angolare ω di questo.

8. Rappresentazione geometrica di un
segnale sinusoidale - III
Per comodità di notazione
matematica si può considerare
tale vettore rappresentato
nel piano complesso con l’asse
orizzontale reale e l’asse
verticale immaginario, quindi far
coincidere l’ampiezza della
componente cosinusoidale con l’asse
reale e quella sinusoidale con l’asse immaginario.
In tal modo, ricorrendo all’uguaglianza nota come “formula di
Eulero”, si può anche rappresentare il vettore A con fase j , nella
forma esponenziale complessa:
A·cos(φ) + j·A·sen(φ) = A·e jφ

9. Serie di Fourier
Oggi l’analisi di Fourier è utilizzata in campi di cui Fourier non poteva
neanche immaginare l’esistenza come, per esempio, l’elettronica.

10. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matematico
francese, fu docente di matematica all’Ècole Polytechnique di
Parigi, e funzionario nell’amministrazione statale. L’interesse
per la conduzione termica spinse Fourier a lavorare, nel 1807,
ad un’opera chiamata “Theorie analitique de la chaleur” che
verrà pubblicata solo nel 1822. L’opera, descrive come la
conduzione di calore nei corpi solidi possa essere analizzata
attraverso una serie matematica di seni e coseni.

11. Serie di Fourier

12. Fourier feat. Eulero
∑
+∞
=
++=
1
0
)cos(
2
)(
n
nn nxsenbnxa
a
xf ∑
+∞
∞−
jkx
kecEulero

13. Serie Trigonometrica

14. Polinomi Trigonometrici

15. Combinazione Lineare

16. Coefficienti di Fourier

17. Cos’è un’armonica ?
La funzione
a1cosx+b1senx, ovvero il
termine di ordine 1, viene
detta prima armonica o
armonica fondamentale
della serie perché la sua
frequenza è uguale a
quella della funzione.
“Si definiscono armoniche superiori di indice n, le armoniche che
presentano frequenze multiple della funzione iniziale”

18. “In matematica, una trasformata è un operatore di uno spazio di funzioni
su un altro spazio di funzioni. Ovvero trasforma una funzione in un'altra
funzione.“
Trasformata di
Fourier

19. Cos’è una trasformata ?
Gran parte dei segnali sono funzioni nel dominio del
tempo. Quando si disegna un segnale nel dominio
del tempo otteniamo una rappresentazione tempo/
ampiezza, ma non sempre questa rappresentazione
è la più utile.
Trasformazioni matematiche sono applicate ai
segnali per ottenere ulteriori informazioni.
Tra le numerose trasformazioni applicabili, la
Trasformata di Fourier è tra le più note, in quanto a
differenza della serie permette di essere applicata
anche a funzioni non periodiche.

20. Esistenza della trasformata

21. Perché (anche) la Trasformata ?
Come abbiamo visto, una grande limitazione
della serie di Fourier è che permette l’analisi di
soli segnali periodici, un segnale non periodico
risulterebbe quindi impossibile da elaborare.
Per questo fu introdotta la
trasformata di Fourier,
basandosi sul fatto che
un segnale aperiodico
può essere considerato,
almeno in linea di principio,
un segnale periodico avente
periodo T infinito.
Applicazione della trasformata di Fourier ad un segnale aperiodico

22. Trasformata di Fourier

23. Tipi di Trasformate
Tempo Continuo Tempo Discreto
Trasformata di Fourier
DTFT
Discrete
Time Fourier
Transform
DFT
Discrete Fourier
Transform
FFT
Fast Fourier
Transform

24. DTFT:
Discrete
Time
Fourier
Transform

25. DFT:
Discrete
Fourier
Transform

26. FFT :
Fast Fourier
Transform
L’evoluzione dei sistemi di computazioni
e l’elaborazione di efficienti algoritmi
matematici hanno permesso di ridurre
il normale calcolo della trasformata
di Fourier da O(N2) computazione
necessario al calcolo di una DFT ad
O(N∙log2N) numero di operazioni eseguite
da una FFT.
Per poter utilizzare una FFT è tuttavia
necessario un numero di campioni pari
ad una potenza di 2.
Partendo da un presupposto di 128
campioni, il costo computazionale di una
DFT è di 16.384 computazioni, mentre
con una FFT è di poco meno di 900, 18
volte meno.

27. Algoritmo - Cooley Tukey
L’algoritmo di Cooley-Tukey è il più conosciuto algoritmo per il
calcolo della Fast Fourier Transform.
L’algoritmo si basa sul principio di dividere ricorsivamente il
problema originario in due sotto-problemi fino a che questi
ultimi non diventino di semplice risoluzioni (divide et impera).
Questo metodo che prende il nome dagli autori James William
Cooley e John Wilder Tukey, è in realtà una reinvenzione di un
algoritmo già noto a Carl Friedrich Gauss.

28. Nelle diapositive seguenti tratteremo l’utilizzo della trasformata veloce di
Fourier (FFT) in campo musicale, nello specifico l’analisi sonora.
Musica & Fourier

29. Suono
Il suono è la sensazione data dalla vibrazione di
un corpo in oscillazione che si propaga nell’aria
o in un altro mezzo elastico, fino a raggiungere
l’apparato uditivo dell’orecchio.
Tramite il complesso meccanismo della
membrana timpanica, si crea una sensazione
“uditiva” direttamente correlata alla natura della
vibrazione.

30. Caratteristiche principali di un suono
Qualunque suono può essere descritto definendo: altezza, intensità, timbro e
durata.
L’altezza dei suoni dipende dalla frequenza, più questa aumenta, più acuto è il
suono. Nel linguaggio musicale le parole “alto” e “basso” vengono sostituite dai
termini “acuto” e “grave”.
L’intensità è il volume di un suono, espresso in Decibel (Db).
Il timbro è la caratteristica che ci consente di distinguere il suono di uno
strumento da quello di un altro. È dato dalla sommatoria di differenti
armoniche.
La Durata o lunghezza, è il periodo del suono nel dominio del tempo.
L'orecchio umano è in grado di percepire vibrazioni di frequenza compresa tra
i 20 e i 15.000 Hz (anche se questi valori variano a seconda della persona e
dell'età).

31. NotaNella musica convenzionale la
gamma di frequenze utilizzate
coincide con gli estremi del
pianoforte unico strumenti in grado di
raggiungere contemporaneamente i
due limiti opposti, il più grave e il più
acuto.
Gran parte delle note prodotte
dagli altri strumenti, o dai vari tipi di
voce, possono essere riprodotte col
pianoforte, naturalmente con timbro e
volume differenti.
In una gamma di frequenze che va da
27.5 Hz (il primo tasto a sinistra, un
LA) a 4.186 Hz (l’ultimo a destra, un
DO) per un totale di 88 tasti.
“Una nota è un suono di
timbro e volume qualsivoglia,
ma di frequenza stabilita.”
La nota è un suono, ma al
contrario un suono non deve
essere per forza una nota.

32. Ad ogni nota il suo tasto ...

33. Acoustic
Fingerprint
Every song could be represent on
a duration/frequency graph called
spectrogram.
On one axis is time, on another is
frequency, and on the 3rd is intensity.
Assuming time is on the x-axis
and frequency is on the y-axis a
fingerprints identifies the frequencies
of “peak intensity” on this 3d graph.
For each of these peak points it
keeps track of the frequency and the
amount of time from the beginning of
the track for more than 30 points/sec.
Why fingerprints are so important ?
Spectrogram of a song
sample with peak intensities
marked in red

34. Shazam, Midomi & co.
Have you ever heard a great song on the radio, would you
like to know the name and author, but you do not know
how?
Now is possible by combining two basic elements: a
database of unique audio fingerprints of millions of
songs, and software that can process and analyze an
audio sample of you unknown song while searching that
database for a match. How it work ? After build a fingerprint
of your unkwon song (a sample of about 10-30 seconds
is more than enough) the software use the frequency
founded as key to match in a database of song, than it
returns name and artist.
Software such as Shazam builds their fingerprint catalog
out as a hash table, where the key is the frequency.

35. - Wikipedia l’Enciclopedia Libera (Maggio 2013)
• Segnale (Fisica) • Armonica (Fisica)
• Piano key frequency • Trasformata di Fourier Veloce
• Cooley-Tukey FFT algorithm • ISO 16
- Sinusoidi e vettori rotanti - Paolo Schgör
- Corso base verde di matematica, Plus - M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi
- Fourier ed il ruolo della sua trasformata nella ricerca neurologica – M. L. Manca, L. Murri
- Corso di teoria dei segnali e fondamenti sulla trasmissione dati – G. Gelli, L. Paura
- Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier - Mark A.
- Fast Fourier Transform - Sebastiano Greco, Danilo Meli, Lucio Cantone
- Rappresentazione del segnale nel dominio della frequenza – V. A.
- Teoria musicale/Il suono e le note – Wikibooks
- What is audio fingerprinting? – Dan Gravell
- Come funziona Shazam (e un clone come Midomi): spiegazione tecnica – M. Fama
Riferimenti

36. • Elisabetta Galli – Docente di matematica
• Rita Iacovone – Docente di elettronica e telecomunicazioni
• Giuliano Pellegrini – Docente di sistemi informatici
• Luca Bazzanella per le delucidazioni in acustica e teoria musicale
• Giulia Zanini per le delucidazioni nel passaggio da trasformata a serie
Ringraziamenti

37. Mattia Gasperotti, GDG
Trento
Elia Rigo, GDG Trento
Info
Sito: gdgtrento.it
Oppure scrivici a: info@gdgtrento.it