1. LOGO
โครงสร้างข้อมูลทรีและ
ไบนารีทรี
(Tree and Binary
Tree)
1

2. Terminology
 ต้นไม้ (Tree) ประกอบด้วย
1. Node A
ใช้เก็บข้อมูล
B C
2. Branch
ใช้เชือม Node เข้าด้วยกัน
่ Node A , B,
C
Branch A B,
AC
2

3.  Degree หมายถึง จำานวน Branch ที่สัมพันธ์กับ
Node แบ่งเป็น A
1. Indegree
B C
หมายถึง Branch
ที่เข้าหา Node
Node A มี Degree
2. Outdegree เท่ากับ 2
หมายถึง Branch Indegree = 0
Outdegree = 2
ที่ออกจาก Node
3

4.  Root หมายถึง Node แรกของ Tree
Root
A
B C
4

5. ดังนั้นจะพบว่าต้นไม้ทั่วไป
Root มี Indegree = 0 Root มี Outdegree = N
อื่นๆ มี Indegree = 1 อื่นๆ มี Outdegree = N
5

6.  Leaf หรือ External node หมายถึง Node ที่มี
Outdegree เท่ากับ 0
A
B C
L eaf B,
C
6

7.  Internal node หมายถึง Node ที่ไม่ใช่ Root
และ Leaf A
B C
D E
Root A
L eaf
C D, E ,
Internal node B
7

8.  Parent หมายถึง Node ที่มี Outdegree
A
B C
D E
Parent A,
B
8

9.  Child หมายถึง Node ที่มี Indegree
A
B C
D E
C hild B, C , D,
E
9

10.  Sibling หมายถึง Node ที่มี Parent เดียวกัน
A
B C
D E
Sibling {B, C },
{D, E } 10

11.  Path หมายถึง เส้นทางจาก Node หนึงไปยังอีก
่
Node หนึ่ง A
B C
D E
Path จาก A ไป E A ->
B -> E
** ทุก Node ใน Tree จะต้องมี Path เดียวเท่านัน **
้
11

12.  Ancestor หมายถึง ทุก Node ในเส้นทางจาก
Root ไปยัง Node ที่ตองการ
้ A
B C
D E
A ncestor ของ E
A, B
12

13.  Descendent หมายถึง ทุก Node ในเส้นทางจาก
Node ที่กำาหนดไปจนถึง Leaf
A
B C
D E
Descendent ของ A B,
C , D, E
Descendent ของ B
13

14.  Level หมายถึง ระยะทางจาก Root
A L evel
0
B C L evel
1
D E L evel
2
14

15.  Height ของ Tree หมายถึง Level สูงสุด ของ
Leaf บวกด้วย 1 A L evel 0
B C L evel 1
D E L evel 2
Height = 2 + 1 =
3
15

16.  Depth ของ Node หมายถึง ความยาวของ path
จาก root node ถึง node นั้น ดังนั้น root node
จึงมีความลึก (Depth) เป็น 0
 Depth ของ Tree หมายถึง ความลึกของ leaf
node ที่อยู่ลึกที่สุด ซึ่งจะมีคาเท่ากับความสูงของ
่
tree เสมอ
16

17. Parents A,B,F
Children B,E,F,C,D,G,H,I
Siblings {B,E,F}, {C,D}, {G,H,I}
Leaves C,D,E,G,H,I
Internal nodes B,F
Ancestor of G A,F
Descendent of A B,E,F,C,D,G,H,I
Height 3
17

18.  Subtree หมายถึง โครงสร้างที่เชื่อมต่อกัน
ภายใต้ Root โดย
 Node แรกของ Subtree จะเป็น Root ของ
Subtree นัน และใช้เป็นชื่อเรียก Subtree
้
 Subtree สามารถแบ่งย่อยเป็น Subtree ได้อก
ี
จนกว่าจะ Empty
18

19. Subtree
19

20. แบบฝึกหัด
1. จากต้นไม้ตอไปนี้ จงหา 1.1 Root
่
1.2 Leaves
1.3 Internal nodes
1.4 Ancestors of H
1.5 Descendents of F
20

21. 2. จากต้นไม้ตอไปนี้ จงหา 2.1 Indegree of node F
่
2.2 Outdegree of
node G
2.3 Siblings of I
2.4 Parent of G
2.5 Children of C
21

22. 3. จากต้นไม้ตอไปนี้ จงหา 3.1 Height of the tree
่
3.2 Height of subtree G
3.3 Level of node I
3.4 Level of node A
3.5 Height of subtree E
22

23. Binary Tree
หมายถึง ต้นไม้ที่แต่ละ Node มี
Subtree <= 2
หรือ
Outdegree <= 2
23

24. ตัวอย่าง Binary Tree
24

25. E mpty
หรือ
Null Tree
25

26. Height of Binary Tree
คำาถามที่ 1
มี Node อยู่ทั้งหมด 7 Nodes
1.1 จะสร้าง Tree ให้มี Height สูงสุดได้เท่าไร อย่างไร
1.2 จะสร้าง Tree ให้มี Height ตำ่าสุดได้เท่าไร อย่างไร
Hmax = N
Hmin = log2N + 1
จำานวนเต็มที่มากที่สดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ log2N
ุ
26

27. คำาถามที่ 2
Tree ที่มี Height = 3
2.1 จะมี Node สูงสุดได้เท่าไร อย่างไร
2.2 จะมี Node ตำ่าสุดได้เท่าไร อย่างไร
Nmax = 2H - 1
Nmin = H
27

28. Complete Binary Tree
Binary Tree ที่มี Node เต็มทุก
Level
Nearly Complete Binary Tree
Binary Tree ทีมี Node เต็มทุก Level
่
ยกเว้น Level สุดท้าย และ Node ใน Level
สุดท้ายอยู่เรียงกันทางซ้ายมือ
28

29. Complete และ Nearly Complete Binary Tree
29

30. This association suggests that a complete
binary tree can be implemented with an
array:
A B C D E R S F G L
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
30

31. Then the random-access property of arrays
allows quick access of parent from child
and children from parent.
A B C D E R S F G L
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
31

32. Parent at 0, children at 1, 2
Parent at 1, children at 3, 4
Parent at 2, children at 5, 6
…
Parent at i, children at ?
A B C D E R S F G L
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
32

33. A B C D E R S F G L
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Child at 1, parent at 0
Child at 2, parent at 0
Child at 3, parent at 1
Child at 4, parent at 1
Child at 5, parent at 2
Child at 6, parent at 2
…
Child at i, parent at ?
33

34. Binary Tree Traversal
1. Depth-first
Descendent ทั้งหมดของ Child จะต้องถูก
ประมวลผลก่อน Child ถัดไป
2. Breath-first
ประมวลผลทีละ Level จากบนลงล่าง
34

35. 1. Depth-first
NLR LNR LRN
35

36. แบบ Preorder
NLR
algorithm preOrder (val root <node pointer>)
1 if (root is not null)
1 process(root)
2 preOrder(root->leftSubtree)
3 preOrder(root->rightSubtree)
2 return
36

37. แบบ Inorder
LNR
algorithm inOrder (val root <node pointer>)
1 if (root is not null)
1 inOrder(root->leftSubtree)
2 process(root)
3 inOrder(root->rightSubtree)
2 return
37

38. แบบ Postorder
LRN
algorithm postOrder (val root <node pointer>)
1 if (root is not null)
1 postOrder(root->leftSubtree)
2 postOrder(root->rightSubtree)
3 process(root)
2 return
38

39. 2. Breath-first
algorithm breathFirst (val root <node pointer>)
1 p = root
2 while (p not null)
1 process(p)
2 if (p->left not null)
1 enqueue(p->left)
3 if (p->right not null)
1 enqueue(p->right)
4 if (not emptyQueue)
1 dequeue(p)
else
1 p = null
3 return
39

40. แบบฝึกหัด
1. จากต้นไม้ตอไปนี้ จงหาลำาดับการประมวลผล
่
แบบ Depth-first ทั้งหมด
A
B C
D E R S
F G L
40

41. 2. จากต้นไม้ต่อไปนี้ จงหาลำาดับการประมวลผลแบบ
Breath-first
A
B C
D E R S
F G L
41

42. Binary Tree Application
1. Expression Tree
2. Huffman Code
42

43. 1. Expression Tree
หมายถึง Binary Tree ที่มีคุณสมบัติดังต่อไป
นี้
1. Leaf เก็บ Operand
2. Root และ Internal node เก็บ
Operator
3. Subtree เป็น Sub expression
43

44. ตัวอย่าง
44

45. การท่องใน Expression Tree
Prefix Expression
1. Preorder Traversal
2. Postorder Traversal Postfix Expression
3. Inorder Traversal Infix Expression
45

46. 1. Preorder Traversal
1 if (root is not null)
1 print(root->token)
2 prefix(root->leftSubtree)
3 prefix(root->rightSubtree)
2 return
+*a+bcd
46

47. 2. Postorder Traversal
1 if (root is not null)
1 postfix(root->leftSubtree)
2 postfix(root->rightSubtree)
3 print(root->token)
2 return
a bc+*d+
47

48. 3. Inorder Traversal
1 if (root is not null)
1 if root->token is operand
1 print(root->token)
else
1 print(open parenthesis)
2 infix(root->leftSubtree)
3 print(root->token)
4 infix(root->rightSubtree)
5 print(close parenthesis)
2 return
((a*(b+c))+d)
48

49. การสร้าง Expression Tree จาก Postfix Expression
พิจารณาทีละ Token จนหมด
ถ้า Token เป็น Operand
สร้าง Node แล้ว Push ลง Stack
ถ้า Token เป็น Operator
Pop ขึ้นมา 2 ตัวเชื่อมเป็น Tree โดยใช้
Operator
แล้ว Push ลง Stack
49

50. ตัวอย่าง
จากนิพจน์ Postfix
abc+*d+
จะได้ Expression Tree ดังนี้
50

51. แบบฝึกหัด
จงแสดง Expression Tree
จากนิพจน์ Postfix ทีกำาหนด
่
ให้ A B * C D / + E F - *
51

52. 2. Huffman Code
Problem
 บีบอัด file โดยไม่ให้เสียข้อมูลไปเลยได้อย่างไร
 ให้ M เป็น ข้อมูลที่เราต้องการบีบอัด สมมติว่ามันมี
ขนาด 100,000 characters ซึ่งประกอบไปด้วยตัว
อักษร a ถึง e เท่านัน้
 สมมติให้ 1 character ใช้ 1 byte (8 bits)
 ฉะนัน 100,000 characters ใช้ 800,000 bits
้
เราสามารถลดจำานวน bits ทีใช้แต่ละตัว
่
อักษรได้หรือไม่? 52

53. เนื่องด้วยมีตัวอักษรเพียง 5 ตัว ดังนั้น
สมมติให้ 1 character ใช้ 3 bits
‘a’ 000
‘b’ 001
‘c’ 010
‘d’ 011
‘e’ 100
ดังนั้น จำานวน bits ที่ใช้จะลดลง
เหลือ 300,000 bits
53

54. ถ้าลดจำานวนบิตลงอีก
a’ 0 จะเห็นว่า
’b’ 1
’c’ 00 จำานวน bits ที่ใช้จะลด
’d’ 01 ลง สมมติข้อมูล
แต่
’e’ 10 001010
สามารถเป็นได้ทั้ง
aababa หรือ cbda
54

55. ใช้ Huffman Code
 เป็นรหัสแทนตัวอักษรที่แต่ละตัวอักษรมีความ
ยาวของรหัสแตกต่างกัน
 โดยตัวอักษรที่ใช้บ่อย จะมีขนาดสั้น
ตัวอักษรที่ใช้น้อย จะมีขนาดยาว
 ทังนี้เพื่อทำาให้ข้อมูลมีขนาดเล็กลง
้
55

56. ตัวอย่าง การสร้าง Huffman Tree เพื่อหา Huffman Code
สมมติให้
56

57. 57

58. 58

59. 59

60. 1 0
ดังนั้นจะได้
1 0 1 0
a 00001
1 0 1 0 b 00000
c 0001
1 0 d 011
e 010
1 0 f 001
g 11
h 10
60

61. แบบฝึกหัด
กำาหนดความถีของการใช้งานตัวอักษรต่าง ๆ ดังนี้
่
A = 30% C = 15% E = 25%
B = 15% D = 10% F = 5%
จงสร้าง Huffman Code แทนตัวอักษรดังกล่าว
61

62. General Tree
หมายถึง Tree ที่สามารถมี Outdegree ได้
ไม่จำากัดจำานวน
62

63. การแปลง General Tree เป็น Binary Tree
มี 3 ขั้นตอน ดังนี้
1. ระบุ Child ที่อยู่ทางซ้ายสุด
2. เชื่อม Sibling เข้าด้วยกัน
3. ลบ Branch ที่ไม่ต้องการ
63

64. ตัวอย่าง การแปลง General Tree เป็น Binary Tree
64