Description of construction and searching of fractional cascading

1. Fractional Cascading
1
Fractional Cascading…
• Data structuring technique designed to speed up a search for nodes
in the given rectangle area
• Binary search on the Y-axis is automatically achieved by
implementing the binary search on the X-axis
Computation Cost Space Complexity
𝒪 log 𝑛 + 𝑘 𝒪 𝑛 log 𝑛
𝑛:number of the data
𝑘:number of nodes in the given rectangle area
B,E

2. Fractional Cascading (構築)
データ名 𝑥座標 𝑦座標
A 1 5
B 2 2
C 4 8
D 5 7
E 5 5
F 8 6
G 7 1
𝑥
𝑦
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8

3. Fractional Cascading (構築)
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる
G B A E F D C
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
Root

4. Fractional Cascading (構築)
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる
G B A E F D C
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
Root

5. Fractional Cascading (構築)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
B A C(𝟐, 𝟐)
Root
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる

6. Fractional Cascading (構築)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
Root
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる

7. Fractional Cascading (構築)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐)
Root
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる

8. Fractional Cascading (構築)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C
Root
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる

9. Fractional Cascading(構築)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
1. 𝑥座標について二分木を作成
する. (*𝑥座標が同じデータに
ついては, (𝑥, 𝑦)に関する辞書
式順序により比較する)
2. そのとき節点に, 節点に含ま
れるデータを(𝑦, 𝑥)で辞書式
ソートした配列を付随構造
として持たせる

10. Fractional Cascading(構築)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
G B A E F D C
G E F DB A C
3. 付随構造について, 各要素か
ら下の層の配列に向けて,
minmaxポインタと
maxminポインタを張る
minmax(maxmin)ポインタ
⋯ 対象の配列の中で,その要
素よりも大きな(小さな)要素
の中で最小(最大)の要素に張
られる
(上記のような要素が存在し
ない場合は, Nullポインタと
なる)
Null
minmaxポインタ maxminポインタ

11. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
4. 探索範囲のクエリ
𝑥 𝑚𝑖𝑛, 𝑥 𝑚𝑎𝑥 × 𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥
を受け取る.
5. [𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]の範囲にある
ノード範囲を二分探索によ
り見つける
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
G B A E F D C
データiの座標を(𝑥𝑖, 𝑦𝑖)と表すと
𝑦 𝑚𝑖𝑛, −∞ ≤ 𝑦 𝐵, 𝑥 𝐵 ≤ 𝑦 𝐸, 𝑥 𝐸 ≤ (𝑦 𝑚𝑎𝑥, +∞)
データBのminmaxポインタ先を𝑊
データEのmaxminポインタ先を𝑍とすると
𝑦 𝐵, 𝑥 𝐵 ≤ (𝑦 𝑊, 𝑥 𝑊), 𝑦 𝑍, 𝑥 𝑍 ≤ (𝑦 𝑊, 𝑥 𝑊)
なので,
𝑦 𝑚𝑖𝑛, −∞ ≤ 𝑦 𝑊, 𝑥 𝑊 ≤ 𝑦 𝑍, 𝑥 𝑍 ≤ 𝑦 𝑚𝑎𝑥, +∞
が成立

12. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Split
Root
6. 𝑥座標が[𝑥 𝑚𝑖𝑛, 𝑥 𝑚𝑎𝑥]が分
岐する節点を探索する(そ
れをSplit Rootと呼ぶ)
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥

13. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Split
Root
7. 𝑥 𝑚𝑖𝑛について, 二分探索
を行う. (𝑥, 𝑦)について二
分木を作成しているので,
SplitRootの左部分木につ
いて, (𝑥 𝑚𝑖𝑛, −∞)よりも大
きいノードを探索する
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
今回は𝑥 𝑚𝑖𝑛 = 1.5とする

14. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Split
Root
8. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
minmax
ポインタ
maxmin
ポインタ
(1.5, −∞) ≤ (4 , 8)

15. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
minmax
ポインタ
maxmin
ポインタ(1.5, −∞)
≤ (2 , 2)
8. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する

16. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
報告
minmax
ポインタ
maxmin
ポインタ
(1.5, −∞)
≥ (1 , 2)
8. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する

17. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
報告
せず
8. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する

18. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
9. 𝑥 𝑚𝑎𝑥について, 二分探索
を行う. (𝑥, 𝑦)について二
分木を作成しているので,
SplitRootの右部分木につ
いて, (𝑥 𝑚𝑖𝑛, −∞)よりも大
きいノードを探索する

19. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
10. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する

20. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
報告
10. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する

21. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
報告
せず
10. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する

22. Fractional Cascading(探索)
𝑥
𝑦
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
(𝟒, 𝟖) G B A E F D C
G E F DB A C
B A C
A B
E D G F
E D G F
(𝟐, 𝟐) (𝟓, 𝟕)
(𝟏, 𝟐) C (𝟓, 𝟓) (𝟕, 𝟐)
A B E D G F
Root
𝑦min
𝑦m𝑎𝑥
探索
終了
探索配列が
Noneなので
10. そのときに付随構造の
maxmin, minmaxポインタ
を辿ることで, 𝑦座標が
[𝑦 𝑚𝑖𝑛, 𝑦 𝑚𝑎𝑥]に入るデータ
を探索する