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矩陣 基本說明
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River Wang
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以前做的線性代數筆記整理 以電腦圖學相關的領域角度去談
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矩陣 基本說明
1.
單元 1 矩陣 –
基本 作者:王聖川 矩陣(Matrix)代表一群數字的集合,一般以二維陣列的形式來存取集合中的 數字元素,一個矩陣通常以 m-by-n Matrix 或 Matrix(m, n)來表示,其中 m 為行數 (row)、n 為列數(column),如下圖。 而 Matrix[I, j]或 Matrixi, j 可用來表示矩陣中第 i-th row 中的第 j-th column 的數 字元素。因為在電腦圖學(Computer Graphics)領域中,常用到的矩陣只有 4-by-4 Matrix 與 4-by-1 Vector-Matrix 此二種形式矩陣,所以接下來介紹的矩陣相關資訊 都將只討論此二種類型矩陣之間的運算方式 註 1。 4-by-4 Matrix 矩陣可表示如下 [ A1,1 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 A3,1 A3,2 A3,3 A3,4 A4,1 A4,2 A4,3 A4,4] 4-by-1 Vector 向量可表示如下 [ A1,1 A2,1 A3,1 A4,1] 接下來簡單說明幾個基本的矩陣計算方式。就像數字的運算有加、減、乘、除一
2.
樣,矩陣是一群數字的集合,一樣有對應的加法、乘法等運算方式,來達到每個 數字元素的計算。 加法: 矩陣加法必須在兩個有相同行列數的矩陣上才能運算,計算方式就是每個對應的 數字做加法運算,下面公式表式兩個矩陣的相加 A(4,4) +
B(4,4),其中每個對應元 素的計算方式為(A + B)I,j = Ai,j + Bi,j [ A + B1,1 A + B1,2 A + B1,3 A + B1,4 A + B2,1 A + B2,2 A + B2,3 A + B2,4 A + B3,1 A + B3,2 A + B3,3 A + B3,4 A + B4,1 A + B4,2 A + B4,3 A + B4,4] = [ A1,1 + B1,1 A1,2 + B1,2 A1,3 + B1,3 A1,4 + B1,4 A2,1 + B2,1 A2,2 + B2,2 A2,3 + B2,3 A2,4 + B2,4 A3,1 + B3,1 A3,2 + B3,2 A3,3 + B3,3 A3,4 + B3,4 A4,1 + B4,1 A4,2 + B4,2 A4,3 + B4,3 A4,4 + B4,4] 純數乘矩陣: 矩陣可以整體乘上一個單一純數,也就是每個元素數字都做該純數的乘法,及計 算結果如下。 [ A1,1 ∗ scale A1,2 ∗ scale A1,3 ∗ scale A1,4 ∗ scale A2,1 ∗ scale A2,2 ∗ scale A2,3 ∗ scale A2,4 ∗ scale A3,1 ∗ scale A3,2 ∗ scale A3,3 ∗ scale A3,4 ∗ scale A4,1 ∗ scale A4,2 ∗ scale A4,3 ∗ scale A4,4 ∗ scale] 矩陣相乘: 兩個矩陣的乘法必須符合一個條件:左運算元矩陣的列數(column)與右運算元矩 陣的行數相等(row),其對應數字元素之乘法運算過程為 A(m, n) ∗ B(n,m) → A ∗ B[i, j] = ∑ Ai,r 𝑛 𝑟=1 ∗ Br,j A 矩陣的第 i 行(i-th row)與 B 矩陣的第 j 列(j-th column)做內積運算(dot product), 所得結果便是 A 矩陣乘上 B 矩陣之[I,j]元素數字乘法結果。A(m1,n)與 B(n,m2)兩 矩陣相乘會得到新的矩陣 C(m1,m2)。
3.
如上圖,C(4,3) = A(4,2)
* B(2,3),其中 C[2,3] = ∑ A2,r ∗ Br,3 2 r=1 矩陣向量相乘: 矩陣乘上向量其實就等於是 A(4,4) * B(4.1) = B’(4,1) 的一個矩陣相乘運算。 A [ A1,1 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 A3,1 A3,2 A3,3 A3,4 A4,1 A4,2 A4,3 A4,4] ∗ B [ B1,1 B2,1 B3,1 B4,1] = B′ [ A1,1 ∗ B1,1 + A1,2 ∗ B2,1 + A1,3 ∗ B3,1 + A1,4 ∗ B4,1 A2,1 ∗ B1,1 + A2,2 ∗ B2,1 + A2,3 ∗ B3,1 + A2,4 ∗ B4,1 A3,1 ∗ B1,1 + A3,2 ∗ B2,1 + A3,3 ∗ B3,1 + A3,4 ∗ B4,1 A4,1 ∗ B1,1 + A4,2 ∗ B2,1 + A4,3 ∗ B3,1 + A4,4 ∗ B4,1] 轉置矩陣: 轉置(Transpose)也是常用的一種矩陣運算,該運算便是讓矩陣的列與行彼此互換。 Ai,j T = Aj,i [ A1,1 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 A3,1 A3,2 A3,3 A3,4 A4,1 A4,2 A4,3 A4,4] Transpose = [ A1,1 A2,1 A3,1 A4,1 A1,2 A2,2 A3,2 A4,2 A1,3 A2,3 A3,3 A4,3 A1,4 A2,4 A3,4 A4,4] 註 1:在 Computer Graphics 領域中,常把向量資料定義為 4 個數字的向量(4-by-1 Matrix),如座標(X,Y,Z,W)與顏色(R,G,B,A)等,而之後在做一些轉換運算時,將轉換 所需要的矩陣運算都推導為 4-by-4 Matrix 的型式,如此便能統一整個繪圖流程 (Rendering Pipeline)的運算過程,都是 4-by-4 的矩陣乘矩陣或是矩陣乘向量之運 算。因此顯示卡晶片(Graphics Processor Unit, GPU)中 Register 常設計為 32bit 或 128bit,所以適合用來儲存 4 個數字(浮點數)的向量資料,並且會針對上述提到 的矩陣與向量之間的運算做特別設計,達到矩陣運算加速的目的。 註 2:事實上在 Computer Graphics 的繪圖流程中,所有的處理對象都是矩陣。螢
4.
幕顯示畫面為一個 width-by-height 的矩陣所代表的記憶體空間(Frame
Buffer),而 畫面上每個像素(Pixel)也是一以向量資料來表示顏色[Red, Green, Blue, Alpha];空 間中的每個頂點座標可以如此表示[X, Y, Z, 1],空間中的方向則可如此表示[X, Y, Z, 0],頂點或方向的變化要靠各種轉換矩陣的相乘運算達成(Transformation Matrix)。 這也是當初電影駭客任務命名(The Matrix)的由來之一,電影表示未來人類都活在 電腦族群由 Matrix(母體)運算出來的模擬世界夢境中。 部份圖文參考網站: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_(mathematics)