2014 TAPU

처음으로 TAPU를 참가하게 되었습니다. This is the first visit to TAPU. 발표할 기회를 주신 오거나이저분께 감사드립니다. Thanks to organisers of TAPU for giving this chance to me. 발표를 시작하겠습니다. Let’s start. My talk is in terms of counting ideals.
인덱스 n을 갖는 아이디얼 갯수를 세는 것은 자기 자신을 베이스 링으로 갖는 모듈에서 인덱스 n을 갖는 서브모듈을 세는 것과 같습니다. We easily see that the number of ideals of given ring Lambda with finite index is the same as the number of submodule of the Lambda-module Lambda with finite index as module. 모듈의 입장에서 다음과 같은 제타함수를 정의할 수 있습니다. In the module theory, we can define the zeta function of a module. the zeta function of a Lambda-module L is summand of a_n product n to the -s where a_n is the number of submodules with index n. 여기서 람다와 L이 아이소몰픽하면 a_n 은 아이디얼의 갯수가 됩니다. If Lambda is isomorphic to L, we can consider a_n is the number of ideals of L with index n. If Lambda is isomorphic to L, we abbreviate this part.
예를 하나 들어보겠습니다. L을 정수링을 베이스 링으로 같은 모듈로써 보겠습니다. For example, let L be the ring of integers. 그러면 모든 서브모듈은 인덱스를 1로 갖기 때문에 다음과 같은 제타함수를 수할 수 있습니다. Then for each n, a_n is 1. The zeta function of L is that. 이 제타함수는 리만제타함수와 같고 우리는 이것을 제타 에스라고 디노트 하겠습니다. Actually, this is the Riemann zeta function. We will denote this by zeta s. 다른 정의 하나를 더 소개하겠습니다. See another definition. 정수 다항식 링의 쿼션트 링으로 정의됩니다. 여기서 에프는 어드잭센시 매트릭스의 미니멀 폴리노미얼입니다. For given graph G, the adjacency algebra of G is the quotient ring of the polynomial ring with integral coefficients where F is the minimal polynomial of the adjacency matrix of G.
그렇다면 어드잭센시 알제브라의 제타함수는 무엇일까요? OK. Then. What is the zeta function of the adjacency algebra? This question is extremely general. 물론 일반적인 경우는 매우 어렵습니다. 그래서 저는 특별한 그래프의 종류를 제한해서 접근해 보았습니다. We are concentrated on graphs have some conditions.
바로 커넥티드 레귤러 그래프에 대해서 입니다. The connected regular graph. (We thought this kind graphs looks properly difficult.) 레귤러 그래프는 모든 점이 같은 갯수의 엣지와 연결되어있는 그래프 입니다. The regular graph means every vertices have the same number of adjacent edges. 우선 점의 갯수가 적은 레귤러 그래프에 대한 어드잭센시 알제브라의 제타함수를 살펴보겠습니다. At first, we see the zeta functions of small regular graphs. 점의 갯수가 하나일 경우는 리만제타함수가 됩니다. one point. zero regular graph. Then minimal polynomial is x. the zeta function of that is the same as the Riemann zeta function. 점의 갯수가 두개인 경우는 원 패스가 되고 이때 어드잭센시 알제브라는 오드 2를 갖는 시클릭 그룹에 대한 그룹링과 아이소몰픽합니다. two point. one regular graph. that is a path. minimal polynomial is square of x minus 1. This adjacency algebra is isomorphic to the group ring of a cyclic group with order 2 as rings. 이 경우는 프람임 오더를 갖는 시클릭 그룹의 그룹링에 대한 솔로몬의 결과를 이용해서 제타함수를 구할 수 있습니다. There is a theorem to help us. 1977 Solomon proved that result. For a group ring of a cyclic group with prime order, we can get zeta function like that where this is the Dedekind zeta function of number field. Using the result of Solomon, we can get this zeta function. 솔로몬이 증명한 방법과 유사하게 다음 결과를 얻을 수 있습니다. three point. two regular graph. minimal polynomial is x^2-x-2. we quite easily get this zeta function by same method for the next graph. The method is similar to Solomon’s but we have to calculate more concretely. 제 발표제목에 나와있는 대상은 사각형의 어드잭센시 알제브라 입니다. the next graph is the quadrangle. In the title, the equation is the adjacency algebra of the quadrangle. In this talk, our goal is to get the zeta function of that.
제타함수를 구하기 위해서 몇가지를 준비하겠습니다. We need some settings for obtaining the zeta function of the quadrangle. A는 유리계수의 폴리노미얼 링의 쿼션트 링입니다. 이 링은 심플 알제브라의 디렉섬으로 세미심플 알제브라입니다. Lambda는 A에 속하는 정수 오더입니다. 오더는 서브링이면서 전체를 제네레이팅하는 정수 래티스를 말합니다. Gamma는 Lambda를 포함하는 맥시멀 정수 오더입니니다. 전체 알제브라를 스팬하는 오쏘고날 아이뎀포턴터들의 셋을 포함하는 정수 오더는 맥시멀이라는 렘마를 사용하면 Gamma의 맥시멀리티를 증명할 수 있습니다. B는 모든 Gamma의 원소를 몇배를 했을 때 Lambda에 속하게 만드는 정수의 프라임 디바이져의 모임입니다. 여기서는 그 숫자가 2밖에 없습니다. L은 사각형의 어드젝센시 알제브라입니다. Z_(2)은 정수의 로컬라이제이션 L_(2)와 Lambda_(2)는 모듈 로써의 로컬라이제이션입니다. 이렇게 준비하면 다음 정리를 사용할 수 있습니다.
유리수 필드 자체를 1x1의 매트릭스 알제브라로 볼 수 있기 때문에 우리는 이 정리를 사용할 수 있습니다. 저희가 관심있어하는 부분은 여기 제타함수부분입니다. 이 부분을 구하기 위해서는 세가지 제타함수를 구해야 합니다. A에 대한 제타함수를 솔로몬의 방법을 따라서 구합니다.
그러면 L의 제타함수는 분수표현에 리만제타함수의 3승을 곱한 형태가 됩니다. 이제 남은 부분은 분자 부분에 대해서 계산을 하면 우리는 원하는 결과를 얻게 됩니다. 우선 L의 로컬라이제이션의 몇가지 성질에 대해서 알아보겠습니다.
파이나이트 인덱스를 갖는 람다 투의 모든 서브모듈의 셋을 델타라 하겠습니다. 그러면 델타의 모든 서브모듈의 인덱스가 2의 지수로 표현된다는 사실과 모든 서브모듈의 맥시멀 서브모듈의 델타안에 들어간다는 사실을 증명할 수 있습니다. 이 결과는 일반적인 p에서도 성립합니다. 또한 제가 얻은 다음 결과도 성립합니다. 델타에 속하는 모든 서브모듈에 대해서 아이소몰피즘 클래스는 모두 10개입니다. 이 사실은 컴퓨터 알고리즘을 통한 계산결과입니다.
알고리즘은 다음과 같은 구성을 하고있습니다. 첫번째 레프리젠터티브를 L_(2)로 가져와서 인덱스를 키워가며 하나씩 비교를 해주었습니다.
그럼 다음과 같은 Hasse Diagram을 얻을 수 있습니다. 동그라미 친 부분이 처음으로 다른 레프리젠터티브들을 얻었던 부분이구요. 마지막 단계에서는 새로 발견되는 레프리젠터티브들이 하나도 없음을 알 수 있습니다. 결국 10개의 아이소몰피즘 클래스들의 대표원소를 찾은것이죠. 첫번째 레프리젠터티브가 L_(2)라는 것을 기억해주십시오.
일반적으로 람다모듈 L 이 세가지 조건을 만족하면 다음 솔로몬의 렘마를 사용할 수 있습니다. 유한개의 아이소몰픽 클래스를 갖고 유한인덱스의 서브모듈이 적당한 프라임넘버 q의 파워로 나타나고 유한인덱스 서브모듈의 맥시멀 서브모듈이 모두 델타엘에 포함된다는 조건입니다. 이 렘마를 L_(2)에 적용시키기 전에 렘마를 조금 살펴보겠습니다. 파이나이트 레프리젠터티브가 h개라 하겠습니다. 파이 아이제이를 정의하는데 엘 아이의 서브모듈 중 L_i의 레디컬을 포함하고 엘제이와 아이소몰픽한 모든 서브모듈을 가져옵니다. 여기서 레디컬을 제이콥슨레디컬을 의미합니다. 그리고 누 펑션을 정의하는데 누 엔 엠은 엠의 맥시멀 서브모듈을 인터섹션한 인덱스의 갯수만큼 -1을 거듭제곱한 숫자들을 모두 더합니다. 서브모듈 엔의 인덱스가 적당한 프라임넘버 q의 n승으로 표현될때 우리는 가 괄호 를 인디털미네이트 t의 n승으로 적겠습니다. A_ij는 파이 ij에 포함되는 모든 엔에 대해서 누 N L_i 값과 L_i에서 N의 인덱스에 대응하는 t의 지수승을 곱한항을 모두 더한 다항식입니다. Z_ij는 L_i의 서브모듈 중 L_j와 아이소몰픽한 N에 대해서 L_i에서 N의 인덱스에 대응하는 t의 지수승을 더한 다항식입니다.
렘마의 결론에서 A행렬과 Z행렬은 역행렬 관계이 있다는 사실을 알 수 있습니다. 렘마를 L_(2)에 적용하면 우리는 10개의 레프리젠터티브중 첫번째가 L_(2) 자신이라는 사실을 알고 있기 때문에 L_(2)의 제타함수를 Z_1j 다항식에 2^(-s)를 입한 식의 합이라는 사실을 알 수 있습니다. 요약하면 A의 역행렬의 첫행이 합에 2^(-s)를 대입하면 L_(2)의 제타함수를 구할 수 있다는 말이죠. A를 구하기 위해서는 파이 ij 를 계산해야합니다. 우리는 각 모듈의 포함관계 그리고 레디컬을 알고리즘을 통해서 계산했고, 그 결과는 다음 다이어그램과 같습니다. 이 다이어그램을 통한 행렬 A는 다음과 같이 구해지고
결과적으로 L_(2)의 제타함수를 구할 수 있습니다.
마지막으로 우리는 L의 제타함수를 구하면 되는데 바로 이 분자 부분에 대입을 하면 되죠. 그래서 메인 정리를 말씀드리면 이것입니다. 앞으로 더 연구 하고 싶은 부분은 더 큰 커넥티드 레귤러 그래프의 제타함수를 구하는 방법 작은 그래프의 제타함수와의 연관성 그리고 다른 유형의 그래프에 대한 제타함수는 어떨 것인가 입니다. 이상입니다. 감사합니다.

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