Seminario de Matemático "Superficies de Guimard"

UNIVERSIDAD NACIONAL
“PEDRO RUIZ GALLO”
´
FACULTAD DE CIENCIAS F´
ISICAS Y MATEMATICAS
´
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA

SEMINARIOS DE MATEMATICA APLICADA

“Sinusoides Cil´
ındricas y las Superﬁcies de
Guimard”

Presentado por:

Morales Tineo Nolbert Yonel

´
LAMBAYEQUE − PERU
2013

1

Agradecimiento
Al ﬁnalizar el presente seminario debo agradecer
a nuestros profesores de la Escuela Profesional de
Matem´tica en especial a mi asesora Dra. Ortiz
a
Basauri Gloria quien con mucha paciencia acepto
mis errores, criticas, dando a cambio su tiempo,
sus conocimientos y sobre todo su experiencia que
servir´ para lograr el ´xito personal, profesional y
ıa
e
social.

Reiterar mi agradecimiento a quienes sin su ayuda
hubiera sido imposible concretar este trabajo:
Al divino hacedor y a mis padres.
Al primero por iluminar mi mente y a los segundos
por su incondicional apoyo.

Dedicatoria

Dedico el presente seminario: A Dios por ser principio
de todo.
A mis Padres cuyos consejos y apoyo constante en
mi formaci´n personal, profesional, y social, me pero
miten actuar con transparencia y justicia.
A mis hermanos que por su apoyo me permitieron
culminar del presente seminario.

´
Indice general
Introduccion

III

PRELIMINARES

1

1.1. Sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Caracter´
ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2. Per´
ıodo (T ) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3. Amplitud (A) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.4. Fase inicial (ϕ) en una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

2

1.1.5. Sinusoide y cosinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1. Superficie Parametrizada Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2. Plano Tangente y Vector Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3. Primera Forma Cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

6

1.2.4. Segunda Forma Cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

7

1.2.5. Curvatura Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.6. Curvaturas Principales; Curvatura de Gauss, Curvatura Media . . . .

9

1.2.7. Clasificaciń de Puntos de una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . .
o

10

1.2.8. L´
ıneas de Curvatura, L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas. . . . . . . . . . .
o
e
2.

3

1.2. Teoria de Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE
GUIMARD
13
2.1. Superficie de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1. Superficie Parametrizada Regular de Guimard . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie de Guimard . . . . .

16

2.1.3. Primera Forma Cuadr´tica de la Superficie de Guimard . . . . . . . .
a

17

2.1.4. Segunda Forma Cuadr´tica de la Superficie de Guimard . . . . . . . .
a

18

2.1.5. Curvatura Normal de la Superficie de Guimard . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.6. Curvaturas Principales de la Superficie de Guimard; Curvatura de
Gauss, Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.7. Clasificaciń de Puntos de la Superficie de Guimard . . . . . . . . . .
o

19

2.1.8. L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas de la Superficie
o
e
de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Superficie Generalizada de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

I

2.2.1. Superficie Generalizada Parametrizada Regular de Guimard . . . . . .

22

2.2.2. Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie Generalizada de
Guimard

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.3. Primera Forma Cuadr´tica de la Superficie Generalizada de Guimard
a

26

2.2.4. Segunda Forma Cuadr´tica de la Superficie Generalizada de Guimard
a

27

2.2.5. Curvatura Normal de la Superficie Generalizada de Guimard . . . . .

28

2.2.6. Curvaturas Principales de la Superficie Generalizada de Guimard; Curvatura de Gauss, Curvatura Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.7. Clasificaciń de Puntos de la Superficie Generalizada de Guimard . . .
o

28

2.2.8. L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas de la Superficie
o
e
Generalizada de Guimard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

APLICACIONES Y SU IMPORTANCIA

32

3.1. Aplicacion en la Arquitectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.

32

Conclusiones

37

Appendices

39

A. Hector Guimard

40

Bibliografia y Webgrafia

43

II

Introduccion
Haciendo un recuento de las cosas que siempre han atra´ de la geometr´ se viene a la
ıdo
ıa,
mente su capacidad unificadora de distintas disciplinas, como la construcciń, las estructuras,
o
la ac´stica y por supuesto el arte. Esta ultima, es quiz´s, una de las labores que m´s tienen
u
´
a
a
presente los ingenieros y arquitectos, y para ello han de tener en cuenta las leyes geom´tricas
e
de sus proyectos para hacerlos estables, utiles y bellos.
´
Dadas muchas razones se puede asegurar que la Geometr´ y m´s generalmente la Matem´tica,
ıa,
a
a
ha estado presente en la Arquitectura desde el momento en el que el hombre siente la necesidad de construir un hogar donde guarecerse de las inclemencias de la naturaleza, descansar
o mantenerse alejado de sus enemigos, ya sea excavando en cuevas, construyendo chozas o
montando tiendas, y siente adem´s la necesidad de construir lugares especiales para enterrar
a
y venerar a los muertos o adorar a los dioses. Es por eso que parece evidente para cualquiera
que siendo la forma y la estructura tan importantes en el diseõ de las obras arquitectńicas,
n
o
la Geometr´ y las Matem´ticas sean una parte fundamental de la Arquitectura.
ıa
a
Adem´s desde hace tiempo se viene detectando la apariciń de formas poco justificadas en la
a
o
arquitectura contemporńea, en este sentido se estń alzando voces de reconocido prestigio,
a
a
que argumentan a favor de una aplicaciń de la geometr´ en los diseõs que racionalice el
o
ıa
n
proceso de diseõ. Este trabajo de investigaciń, pretende dar a conocer el uso y aplicaciones
n
o
de una familia de superficies geometr´ que podr´ ser utiles para desarrollo del patrimonio
ıas
ıan
´
arquitectńico e ingenieril.
o
Se comenzara estudiando una superficie en especial llamada Superficie de Guimard, para luego
generalizarla a partir de la variaciń de un par´metro n, en donde se analizara sus principales
o
a
caracter´
ısticas. Una vez desarrolladas las superficies, se procede a estudiar la aplicaciń que
o
de las mismas en el patrimonio arquitectńico, mostrando algunos ejemplos relevantes de su
o
proyecciń internacional, o por la innovadora aportaciń que supone su realizaciń.
o
o
o
Las invenciones de muchos grandes arquitectos estń impl´
a
ıcitamente reguladas por la geometr´ pero en las obras de algunos de ellos el predominio de ´sta es muy expl´
ıa,
e
ıcito y
notorio. La Geometr´ Diferencial adem´s de facilita la comprensiń de algunos elementos de
ıa
a
o
la arquitectura, permite no s´lo entenderlos y analizarlos sino tambiń poder generalizarlos,
o
e
estableciendo modelos que pueden ser utilizados como nuevos objetos arquitectńicos.
o
Este trabajo permitir´ estudiar una familia de superficies a partir de la generalizaciń de la
a
o
Superficies de Guimard, analizando las caracter´
ısticas y propiedades de dichas superficies,
las cuales tendrń un uso aplicativo en la rama de la arquitectura.
a
III

Cap´
ıtulo 1
PRELIMINARES

1.1.

Sinusoide

Definicion 1.1. En matem´ticas, se llama sinusoide la curva que representa gr´ficamente
a
a
la funciń seno y tambiń a dicha funciń en s´
o
e
o
ı.

1.1.1.

Caracter´
ısticas

La sinusoide puede ser descrita por las siguientes expresiones matem´ticas:
a
y(x)

=

A sen(x + ϕ)

y(x)

=

A sen(ωx + ϕ)

y(x)

=

A sen( 2π x + ϕ)
T

La forma representada es:

1

£
¢2 ¡

PRELIMINARES

donde
A es la amplitud de oscilaciń.
o
ω es la velocidad angular; ω = 2πf .
T es el per´
ıodo de oscilaciń; T =
o

1
f

f es la frecuencia de oscilaciń.
o
ωx + ϕ es la fase de oscilaciń.
o
ϕ es la fase inicial.

1.1.2.

Per´
ıodo (T ) en una sinusoide

Es el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de
la funciń; en este sentido toda funciń de una variable que repite sus valores en un ciclo
o
o
completo es una funciń peri´dica, seno o no sinusoidal. En las gr´ficas de las funciones
o
o
a
seno-coseno, secante-cosecante el per´
ıodo es 2π, mientras que para la tangente y cotangente
el per´
ıodo es π .

1.1.3.

Amplitud (A) en una sinusoide

Es el m´ximo alejamiento en el valor absoluto de la curva medida desde el eje x.
a

1.1.4.

Fase inicial (ϕ) en una sinusoide

La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide. Si dos sinusoides tienen
la misma frecuencia e igual fase, se dice que estń en fase. Si dos sinusoides tienen la misma
a
frecuencia y distinta fase, se dice que estń en desfase, y una de las sinusoides est´ adelantada
a
a
o atrasada con respecto de la otra. Carece de sentido comparar la fase de dos sinusoides con
distinta frecuencia, puesto que ´stas entran en fase y en desfase peri´dicamente.
e
o

2

£
¢3 ¡

PRELIMINARES

1.1.5.

Sinusoide y cosinusoide

Obs´rvese que la cosinusoide (coseno), o cualquier combinaciń lineal de seno y coseno con
e
o
la misma frecuencia, se pueden transformar en una sinusoide y viceversa, ya que:
A sen(ωx + ϕ) = M sen(ωx) + cos(ωx)
siendo
A2 = M 2 + N 2 .
N
ϕ = arctan( M ).

1.2.

Teoria de Superficies

En este cap´
ıtulo se mencionara las propiedades geom´tricas de superficies en un espacio
e
euclidiano R3 . Se introducir´ un concepto de superficie parametrizada. De igual manera
a
asumiremos que tenemos un sistema de coordenadas cartesianas x, y, z en R3 y se considerar´ la funciń
a
o
S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
de dos variables u, v que var´ en un conjunto abierto U ⊂ R2 . Para cada (u, v) ∈ U , S(u, v)
ıan
determina un punto en R3 . Se denotara por S a un subconjunto de R3 formado por los
puntos S(u, v). A fin de poder utilizar las tćnicas del c´lculo diferencial en el estudio de las
e
a
superficies se exigir´ la diferenciabilidad de la funciń S(u, v)
a
o

1.2.1.

Superficie Parametrizada Regular

Definicion 1.2. Una superficie parametrizada regular es una aplicaciń S : U ⊂ R2 → R3
o
, donde U es un abierto de R2 , tal que
1. S es diferenciable de clase C ∞ .
2. Para todo q = (u, v) ∈ U a diferenciable la diferencial de S en q, dSq : R2 → R3 , es
inyectiva.
Las variables u, v son los par´metros de la superficie. Un subconjunto S de R3 obtenido de
a
la imagen de la aplicaciń S(u, v), es denominado traza de S(u, v).
o
Observacion 1.

1. La aplicaciń S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) es diferenciable de clase C ∞ cuando
o
las funciones x, y, z tienen derivadas parciales de todos los ´rdenes continuas.
o
2. La condiciń 2. de la definiciń anterior garantizar´ la existencia de un plano tano
o
a
gente en cada punto de la superficie. Existen otras formas equivalentes de expresar esta
condiciń. Sean e1 , e2 bases canon´
o
ıcas de R2 y e1 , e2 , e3 una base canon´ de R3 .
ıca
3

£
¢4 ¡

PRELIMINARES

Para cada q = (u0 , v0 ) ∈ U se sabe que la matriz asociada a dSq en las bases canon´
ıcas
es la matriz Jacobiana





J(u0 , v0 ) = 




∂x
∂u (u0 , v0 )
∂y
∂u (u0 , v0 )

∂z
∂u (u0 , v0 )

∂x
∂v (u0 , v0 )







∂y
(u0 , v0 ) 
∂v



∂z
(u0 , v0 )
∂v

porque
∂x
∂y
∂z
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 ))
∂u
∂u
∂u
∂x
∂y
∂z
dSq (e2 ) = ( (u0 , v0 ),
(u0 , v0 ),
(u0 , v0 ))
∂v
∂v
∂v

dSq (e1 ) = (

Denotando estos dos vectores por Su (u0 , v0 ) y Sv (u0 , v0 ) respectivamente, observamos
que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a) dSq es inyectiva.
b) La matriz J(u0 , v0 ) tiene rango 2.
c) Los vectores Su (u0 , v0 ), Sv (u0 , v0 ) son linealmente independientes.
d) Su (u0 , v0 ) × Sv (u0 , v0 ) = 0
Si S : U ⊂ R2 → R3 es una superficie parametrizada, entonces fijado (u0 , v0 ) ∈ U , las
superficies
u −→ S(u, v0 )
y
v −→ S(u0 , v)
son llamadas curvas coordenadas de S en (u0 , v0 ). Los vectores Su (u0 , v0 ) y Sv (u0 , v0 )
son los vectores tangentes a las curvas coordenadas

1.2.2.

Plano Tangente y Vector Normal

Sea S(u, v), (u, v) ∈ U ⊂ R2 una superficie parametrizada regular. Si se considera u y v
como funciones diferenciables de una par´metro t, t ∈ R, obtenemos una curva diferenciable
a
α(t) = S(u(t), v(t)) cuya traza est´ contenida en la superficie descrita por S. Se dice que
a
α es una curva de superficie. Definamos un vector tangente a la superficie como un vector
tangente a una curva de la superficie. M´s precisamente
a
Definicion 1.3. Si S(u, v) es una superficie parametrizada regular, decimos que un vector
w de R3 es un vector tangente a S en q(u0 , v0 ) si w = α (t0 ), donde α(t) = S(u(t), v(t)) es
una curva de superficie, tal que (u(t0 ), v(t0 )) = (u0 , v0 ).

4

£
¢5 ¡

PRELIMINARES

Los vectores Su (u0 , v0 ) y Sv (u0 , v0 ) son vectores tangentes a S en (u0 , v0 ), puesto que son
tangentes a las curvas coordenadas de S.
Definicion 1.4. Un plano tangente a S en (u0 , v0 ) es un conjunto de todos los vectores
tangentes a S en (u0 , v0 ), que denotamos por Tq S donde q = (u0 , v0 ).
Observamos que los conceptos de vector tangente y plano tangente son definidos en un punto
(u0 , v0 ) del dominio de S y no en un punto p = S(u0 , v0 ), ya que la superficie S puede tener
auto intersecciń.
o
A continuaciń se ver´ que un plano tangente Tq S es un plano de R3 generado por Su (q) y
o
a
Sv (q).
Proposicion 1.1. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular y q = (u0 , v0 ). Entonces
Tq S es un conjunto de vectores obtenidos como combinacion lineal de Su (q) y Sv (q).
Demostraciń.- Si w ∈ Tq S, entonces w = α (t0 ) donde α(t) = S(u(t), v(t)) y (u(t0 ), v(t0 )) =
o
(u0 , v0 ). Por lo tanto
w=
w=

α (t0 ) =

d
dt (S(u(t), v(t)))|t=t0

Su (u0 , v0 )u (t0 ) + Sv (u0 , v0 )v (t0 )

es decir, w es una combinaciń lineal de los vectores Su y Sv en (u0 , v0 )
o
Rec´
ıprocamente, suponemos que
w = aSu (u0 , v0 ) + bSv (u0 , v0 )
entonces existe una curva α(t) de superficie, tal que (u (0), v (0)) = (u0 , v0 ) y α (0) = w. De
hecho, basta considerar
α(t) = S(u(t), v(t))
donde u(t) = u0 + at y v(t) = v0 + bt.
Definicion 1.5. Si S(u, v) es una superficie y q = (u0 , v0 ), decimos que un vector de R3 es
normal a S en q es ortogonal a Tq S, es decir, es ortogonal a todos los vectores tangentes a
S en q.
Dado un plano tangente Tq S, existe una unica direcciń normal a este plano y por lo tanto
´
o
existen exactamente dos vectores unitarios normales a S en q. En lo sucesivo, se fijara un
vector unitario normal a S en q, como el vector
N (q) =

Su × Sv
(q)
|Su × Sv |

Si el dominio de la superficie S es un abierto U ⊂ R2 entonces, variando (u, v) ∈ U tenemos
una aplicaciń diferenciable N : U → R3 denominada aplicaciń normal de Gauss, definida
o
o
por
N (u, v) =

Su × Sv
(u, v)
|Su × Sv |

cuya imagen est´ contenida en la esfera unitaria, centrada en el origen.
a
5

£
¢6 ¡

PRELIMINARES

1.2.3.

Primera Forma Cuadr´tica
a

Para desenvolver la teor´ local de superficies se introducir´ dos formas cuadr´ticas. La
ıa
a
a
primera que se ver´ est´ relacionada con el comportamiento de las curvas en una superfia
a
cie, ńgulo entre vectores tangentes y el ´rea de regiones de superficie. La segunda que se
a
a
ver´ est´ relacionada con curvaturas de las curvas de superficie.
a
a
Definicion 1.6. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular, ∀ q ∈ U la
aplicaciń
o
w

−→

R

−→

Iq : Tq S

Iq (w)

= < w, w >

= |w|2

se denomina primera forma cuadr´tica de S en q
a
Consideremos una superficie dada por S(u, v) y un punto q = (u0 , v0 ). Entonces un vector
w ∈ Tq S de la forma
w = aSu (u0 , v0 ) + bSv (u0 , v0 )
, donde a, b ∈ R. Por lo tanto
Iq (w) = a2 < Su , Su > (u0 , v0 ) + 2ab < Su , Sv > (u0 , v0 ) + b < Sv , Sv > (u0 , v0 )
Usando la notaciń
o
E(u0 , v0 )

=

< Su , Su > (u0 , v0 )

F (u0 , v0 )

=

< Su , Sv > (u0 , v0 )

G(u0 , v0 )

=

< Sv , Sv > (u0 , v0 )

por consiguiente
Iq (w) = a2 E(u0 , v0 ) + 2abF (u0 , v0 ) + bG(u0 , v0 )
Variando (u, v) tenemos funciones E(u0 , v0 ), F (u0 , v0 ), y G(u0 , v0 ) diferenciables, que son
denominadas coeficientes de la primera forma cuadr´tica. Las funciones E, f y G satisfacen
a
las siguientes propiedades:
1. E(u0 , v0 ) > 0 y G(u0 , v0 ) > 0 para todo (u, v), puesto que los vectores Su y Sv son
no nulos.
2. E(u0 , v0 )G(u0 , v0 ) − F 2 (u0 , v0 ) > 0. En efecto, como
|Su × Sv |2 + < Su , Sv >2 = |Su |2 |Sv |2
tenemos que
EG − F 2 = |Su |2 |Sv |2 − < Su , Sv >2 = |Su × Sv |2 > 0
Adem´s si w1 y
a

w2 son vectores no nulos tangentes a S en q = (u, v), entonces el ńgulo
a

0 ≤ θ ≤ π formado por w1 y

w2 esta dado por
cos θ =

< w1 , w2 >
|w1 ||w2 |

6

£
¢7 ¡

PRELIMINARES

Para expresar cos θ en t´rminos de la primera forma cuadr´tica, observamos que w1 + w2 es
e
a
un vector tangente a S en q y
< w1 + w2 , w1 + w2 >= |w1 |2 + 2 < w1 , w2 > +|w2 |2
. por lo tanto
cos θ =

Iq (w1 + w2 ) − Iq (w1 ) − Iq (w2 )
2 Iq (w1 )Iq (w2 )

Si dos curvas de superficie α(t) = S(u(t), v(t)) y β(t) = S(u(r), v(r)) son tal que (u(t0 ), v(t0 )) =
(u(r0 ), v(r0 )), entonces el ńgulo θ con el que las curvas se interceptan esta dado por
a
cos θ =

< α (t0 ), β (t0 ) >
|α (t0 )||β (t0 )|

En particular, el ńgulo formado por las curvas coordenadas de S(u, v) en (u0 , v0 ) esta dado
a
por
cos θ =

< w1 , w2 >
=
|w1 ||w2 |

F (u0 , v0 )
E(u0 , v0 )G(u0 , v0 )

Donde concluimos que las curvas coordenadas de una superficie S(u, v) se interceptan ortogonalmente , si y solo si, F (u, v) = 0 para todo (u, v).
Definicion 1.7. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y D ⊂ U una
regiń de R2 , tal que S restringida al interior de D es inyectiva. El ´rea de la regiń S(D)
o
a
o
est´ dada por
a
An (S(D))

=

En Gn − Fn 2 dudv

D

donde E, F, G son los coeficientes de la primera forma cuadr´tica de S
a

1.2.4.

Segunda Forma Cuadr´tica
a

El estudio de las propiedades geom´tricas locales de una superficie regular depende de dos
e
formas cuadr´ticas, de las cuales ya se defini´ la primera. A continuaciń se introducir´ la
a
o
o
a
segunda forma cuadr´tica y se ver´ que est´ relacionada con el estudio de las curvaturas de
a
a
a
curvas de superficie
Definicion 1.8. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular. Fijando
q = (u0 , v0 ) ∈ U , la segunda forma cuadr´tica de S en q es una aplicaciń IIq : Tq S → R,
a
o
que para cada vector w ∈ Tq S asocia IIq (w) de la siguiente forma: si α(t) = S(u(t), v(t))
es una curva diferenciable de superficie, tal que (u(t0 ), v(t0 )) = q y

α (t0 ) = w, entonces

definimos IIq (w) =< α (t0 ), N (u0 , v0 ) >, donde N es el vector normal a S.
Se verificara que IIq (w) no depende de la curva escogida. Sea w = aSu (u0 , v0 ) + bSv (u0 , v0 ),
consideremos la curva α(t) = S(u(t), v(t)) tal que (u(t0 ), v(t0 )) = q y α (t0 ) = w, esto decir
(u(t0 ), v(t0 )) = (u0 , v0 )

;

(u (t0 ), v (t0 )) = (a, b).

Como
α (t) = u (t)Su (u(t), v(t)) + v (t)Sv (u(t), v(t))
7

£
¢8 ¡

PRELIMINARES

y

= u (t)Su (u(t), v(t)) + (u (t))2 Suu (u(t), v(t)) + 2u (t)v (t)Suv (u(t), v(t))+

α (t)

+(v (t))2 Svv (u(t), v(t)) + v (t)Sv (u(t), v(t))
tenemos que

IIq (w)

=

< α (t0 ), N (u0 , v0 ) >
2

= a < Suu , N > (u0 , v0 ) + 2ab < Suv , N > (u0 , v0 ) + b2 < Svv , N > (u0 , v0 )
donde la ultima expresiń no depende de la curva α.
o
usando la notaciń
o
e(u0 , v0 )

= < Suu , N > (u0 , v0 ),

f (u0 , v0 )

=

< Suv , N > (u0 , v0 ),

g(u0 , v0 )

=

< Svv , N > (u0 , v0 )

se tiene que
IIq (W ) = a2 e(u0 , v0 ) + 2abf (u0 , v0 ) + b2 g(u0 , v0 )
.
Variando (u, v) tenemos funciones diferenciables e(u0 , v0 ), f (u0 , v0 ), g(u0 , v0 ), que son denominadas coeficientes de la segunda forma cuadr´tica de la superficie parametrizada S.
a

1.2.5.

Curvatura Normal

Definicion 1.9. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular y q = (u0 , v0 ). Una funciń
o
curvatura normal en q es una aplicaciń kn : Tq S − 0 → R que para cada vector w ∈ Tq S
o
no nulo, le asocia
kn (w)

=

IIq (w)
Iq (w)

Observacion 2. Sea w ∈ Tq S, w = 0, entonces kn (λw) = kn (w) para todo n´mero real
u
λ = 0. En efecto, sea w = aSu (u0 , v0 ) + bSv (u0 , v0 ) donde (a, b) = (0, 0). Denotamos por
e0 , f0 , g0 a los coeficientes de la segunda forma cuadr´tica en (u0 , v0 ), tenemos
a
kn (λw)

=

IIq (λw)
Iq (λw)

=

λ2 a2 e0 +2λ2 abf0 +λ2 b2 g0
λ2 <w,w>

kn (λw)

=

a2 e0 +abf0 +b2 g0
<w,w>

=

IIq (w)
Iq (w)

kn (λw)

= kn (w)

Como consecuencia de este hecho, podemos hablar en la curvatura normal en q de acuerdo
con una direcciń tangente a la superficie.
o

8

£
¢9 ¡

1.2.6.

PRELIMINARES

Curvaturas Principales; Curvatura de Gauss, Curvatura Media

Se llamara a w1

y w2

vectores principales

de S en q = (u0 , v0 ), si k1 = kn (w1 ) y

k2 = kn (w2 ) son los valores m´
ınimos y m´ximos respectivamente de la funciń kn , ademas
a
o
k1 y k2 son denominados curvaturas principales de S. Las direcciones de Tq S determinadas
por los vectores principales son llamadas direcciones principales.
El producto de las curvaturas principales K(q) = k1 k2 , se denomina Curvatura Gaussiana
de S en q y la semisuma de k1 y k2 , H(q) =

k1 +k2
2

es llamada Curvatura Media de S en q.

Proposicion 1.2. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Si q = (u0 , v0 ) entonces
H(q)

=

1 e0 g0 −2f0 F0 +E0 g0
2
2
E0 G0 −F0

K(q)

=

2
e0 g0 −f0
2
E0 G0 −f0

Demostraciń.- Sea un numero real k0 y una curvatura principal en q, en direcciń de w =
o
o
a0 Su (q) + b0 Sv (v), entonces
(e0 − k0 E0 )a0 + (f0 − k0 F0 )b0

=

0

(f0 − k0 F0 )a0 + (g0 − k0 G0 )b0

=

0

De hecho, como k0 es un valor m´
ınimo o m´ximo de la funciń
a
o
a2 e0 +2abf0 +b2 g0
a2 E0 +2abF0 +b2 G0

;

(a, b) ∈ R2 − {(0, 0)}

en (a0 , b0 ), calculando las derivadas parciales en (a0 , b0 ) obtenemos el sistema de ecuaciones
de arriba.
Siguiendo del hecho que (a0 , b0 ) es una soluciń no trivial del sistema, el siguiente determio
nante
e0 − k0 E0

f0 − k0 F0

f0 − k0 F0

g0 − k0 G0

=

0

es decir, k0 satisface la ecuaciń
o
2
e0 G0 − 2f0 F0 + E0 g0
e0 g0 − f0
x+
2
2 =0
E0 G0 − F0
E0 G0 − F0
Por la relaciń entre los coeficientes de una ecuaciń de segundo grado y las ra´
o
o
ıces de la

x2 −

ecuaciń concluimos que
o
H(q)

=

1 e0 g0 −2f0 F0 +E0 g0
2
2
E0 G0 −F0

K(q)

=

2
e0 g0 −f0
2
E0 G0 −f0

De entre las superficies de R3 destacan lasque tienen curvatura Gaussiana constante, y las
que tienen curvatura media nula. Una superficie que tiene una curvatura media idńticamente
e
nula es denominada Superficie M´
ınima. Decimos que una superficie tiene curvatura Gaussiana
constante si la funciń K es contante.
o
9

£
¢10 ¡

1.2.7.

PRELIMINARES

Clasificaciń de Puntos de una Superficie
o

Definicion 1.10. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Se dira que q = (u, v) es
un punto
1. eliptico si K(q) > 0;
2. hiperbolico si K(q) < 0
3. parabolico si K(q) = 0 y H(q) = 0
4. planar si K(q) = 0 y H(q) = 0

1.2.8.

L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas.
o
e

Si S(u, v), (u, v) ∈ U , es una superficie parametrizada regular de R3 , u y v son funciones
diferenciables de un par´metro t, t ∈ R, entonces una curva diferenciable α(t) = S(u(t), v(t))
a
es una curva de superficie S. Si α es regular diremos que α es una curva parametrizada regular
de superficie. De entre las diversas curvas regulares de una superficie, se presentara tres tipos
de curvas que merecen un estudie especial. Estas son las llamadas L´
ıneas de Curvatura,
L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas.
o
e
Definicion 1.11. Sea S(u, v) una superficie parametrizada regular. Una curva regular α(t) =
S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R es una L´
ıneas de Curvatura de la superficie S, si para todo t ∈ I el
vector α (t) es una direcciń principal de S en (u(t), v(t)).
o
A continuaciń vamos a obtener las ecuaciones diferenciales que permitirń determinar las
o
a
l´
ıneas de curvatura de una superficie.
Proposicion 1.3. Sea α(t) = S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R una curva regular de superficie
parametrizada regular S(u, v). Entonces α es una l´
ınea de curvatura de S, si y solo si,
u(t) y v(t) satisfacen
(v )2

−u v

(u )2

E

F

G

e

f

g

=

0

donde E, F, G, e, f, g son los coeficientes de la primera y segunda forma cuadr´tica de S
a
en (u(t), v(t)).
Demostraciń.- Sabiendo que el vector no nulo
o
α (t) = u (t)Su (u(t), v(t)), v(t) + v (t)Sv (u(t), v(t))
es una direcciń principal, si y solo si
o
(e − kn (α (t))E)u (t) + (f − kn (α (t))F )v (t)

=

0

(f − kn (α (t))F )u (t) + (g − kn (α (t))G)v (t)

=

0

10

£
¢11 ¡

PRELIMINARES

donde los coeficientes de las formas cuadr´ticas estń siendo considerados en (u(t), v(t)).
a
a
Eliminando kn (α (t)) en las ecuaciones de arriba, obtenemos que α es una l´
ınea de curvatura,
si y solo si, las funciones u(t) y v(t) satisfacen
(v )2

−u v

(u )2

E

F

G

e

f

g

=

0

Definicion 1.12. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y q un punto
de U . Una direcciń tangente a S en q, para el cual la curvatura normal se anula, es llamada
o
direcciń asint´tica de S en q.
o
o
Podemos determinar las cantidades de direcciones asint´ticas de q en t´rminos de la curvatura
o
e
Gaussiana y la curvatura Media en q.
Proposicion 1.4. Sea S : U ⊂ R2 → R3 una superficie parametrizada regular y q un punto
de U
1. Se q es un punto el´
ıptico, entonces no existen direcciones asint´ticas en q.
o
2. Se q es un punto hiperb´lico, entonces existen exactamente dos direcciones asint´ticas
o
o
en q.
3. Se q es un punto parab´lico, entonces existe exactamente una unica direcciones asint´ticas
o
´
o
en q, que tambiń es principal.
e
4. Se q es un punto planar, entonces todas las direcciones son asint´ticas en q.
o
Demostraciń.- Todos los casos son derivados de la formula de Euler, que dice
o
kn (w) = k1 cos2 θ + k2 sen2 θ,
donde k1 y k2 son las curvaturas principales en q, w = w1 cos2 θ + w2 sen2 θ es un vector
unitario tangente en q y w1 ,w2 son los vectores principales. Las direcciń asint´tica son
o
o
determinadas por los valores de θ que anulan de expresiń de arriba a kn (w).
o
1. Si K(q) > 0, entonces k1 y k2 tienen el mismo signo por tanto kn (q) = 0, ∀ w = 0.
2. Si K(q) < 0, entonces k1 y k2 tienen signos opuestos. por lo tanto podemos resolver
las ecuaciones en θ, k1 cos2 θ + k2 sen2 θ = 0 obteniendo las dos direcciones asint´ticas.
o
3. Si q es parab´lico, supongamos que k1 = 0 y k2 = 0. Resolviendo la ecuaciń k2 sen2 θ =
o
o
0 obtenemos una direcciń asint´tica determinada por el vector principal w1 .
o
o
4. Si q es planar, entonces k1 = k2 = 0. Por lo tanto, para w = 0, kn (w) = 0

11

£
¢12 ¡

PRELIMINARES

S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R es una l´
ınea asint´tica de S, si para todo t ∈ I, α (t) es una direcciń
o
o
asint´tica de S en (u(t), v(t)).
o
Ejemplo 1.

1. Siguiendo del item 4 de la proposiciń anterior, toda curva regular de un
o

plano es una l´
ınea de asint´tica.
o
2. Si S(u, v) es una superficie parametrizada regular y α(t) = S(u(t), v(t)) es una recta,
entonces α es una l´
ınea asint´tica de S.
o
A continuaciń vamos a obtener las l´
o
ıneas asint´ticas de una superficie.
o
Proposicion 1.5. Sea α(t) = S(u(t), v(t)), t ∈ I ⊂ R una curva regular de una superficie
S(u, v). Entonces α es una l´
ınea de curvatura de S, si y solo si, las funciones u(t), v(t)
satisfacen la siguiente ecuaciń
o
e(u )2 + 2f u v + g(v )2 = 0
donde e, f, g son los coeficientes de la segunda forma cuadr´tica de S en (u(t), v(t)).
a
Demostraciń.- Se desprende de esta definiciń que α es una l´
o
o
ınea asint´tica de S cuando
o
kn (α (t)) = 0, para todo t, es decir, las funciones u(t) y v(t) satisfacen
e(u )2 + 2f u v + g(v )2 = 0

S(u(t), v(t)) es una geodesica de la superficie S si , para todo t ∈ I, α (t) es un vector normal
a S en (u(t), v(t)).

12

Cap´
ıtulo 2
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE
GUIMARD

2.1.

Superficie de Guimard

Definicion 2.1. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 y q > r, adem´s el conjunto
a
U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1]. La superficie S : U ⊂ R2 → R3 , generada por los segmentos de
rectas que unen los puntos de la curva τ (u) = (r cos u, 0, 0) menos lo puntos extremos, con
la sinusoide cil´
ındrica ζ(u) = (p cos u, q sen u, h (1 − cos u)) menos dos puntos, definida por
2
h
S(u, v) = (r cos u + (p − r)v cos u, qv cos u, v(1 − cos u))
2

13

£
¢14 ¡

DESARROLLO DE LA SUPERFICIE DE GUIMARD

se llama ”Superficie de Guimard”.

2.1.1.

Superficie Parametrizada Regular de Guimard

Las curvas coordenadas de la Superficie de Guimard en el punto d = (u0 , v0 ) son
S(u0 , v)

=

(r cos u0 + (p − r)v cos u0 , qv cos u0 , h v(1 − cos u0 ))
2

S(u, v0 )

=

(r cos u + (p − r)v0 cos u, qv0 cos u, h v0 (1 − cos u))
2

14

£
¢15 ¡


Ahora para empezar a analizar esta superﬁcie, se empezar´ tomando la siguiente notaci´n
a
o
S(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), donde:
x(u, v)

= r cos u + (p − r)v cos u

y(u, v)

= qv cos u

z(u, v)

=

h
2 v(1

− cos u))

por lo tanto
∂x
∂u

= −(r + (p − r)v) sen u

∂x
∂v

=

∂y
∂u

= qv cos u

∂y
∂v

= q sen u

∂z
∂u

=

∂z
∂v

=

h
2 v sen u

(p − r) cos u

h
2 (1

− cos u)

con lo cual se obtiene la matriz jacobiana:


−(r + (p − r)v) sen u





J(u, v) = 




(p − r) cos u



q sen u










qv cos u
h
2 v sen u

h
2 (1

− cos u)

donde la matriz J(u, v) tiene rango 2, pues se puede encontrar una sub matrices de 2 × 2 tal
que det[ ] = 0, por ejemplo


det 


qv cos u
h
2 v sen u

q sen u
h
2 (1

− cos u)



 = qv cos u h (1 − cos u) − h qv sen2 u
2
2


= qv h cos u − qv h cos2 u − h qv sen2 u
2
2
2
= h qv cos u − qv h
2
2
= h qv[cos u − 1]
2
= 0 ⇐⇒ v = 0

15

£
¢16 ¡


y en el caso que v = 0 podemos tomar el siguiente determinante la sub matriz de 2 × 2


−(r + (p − r)v) sen u (p − r) cos u


 = −q(r + (p − r)v) sen2 u − qv(p − r) cos2 u
det 


qv cos u

q sen u

= −qv(p − r) sen2 u − qv(p − r) cos2 u − qr sen2 u
= −qv(p − r) − qr sen2 u
= −q[v(p − r) + r sen2 u]
= −qr sen2 u;

si v = 0

=0
por lo tanto la superficie es regular.

2.1.2.

Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie de Guimard

Luego para calcular el plano tangente en el punto d = (u0 , v0 ) obtenemos los siguientes
resultados
Su

=

∂x ∂y ∂z
∂u , ∂u , ∂u

=

−(r + (p − r)v) sen u, qv cos u, h v sen u
2

Sv

=

∂x ∂y ∂z
∂v , ∂v , ∂v

=

(p − r) cos u, q sen u, h (1 − cos u)
2

por lo tanto el espacio tangente en el punto d = (u0 , v0 ) es el que esta generado por {Su , Sv }.
Entonces si w ∈ Td S, entonces
w = aSu (u0 , v0 ) + bSv (u0 , v0 )

:

a, b ∈ R

Ahora se desea encontrar el vector normal unitario a la superficie S en el punto d = (u0 , v0 ),
dicho vector se escribe de la siguiente forma
N (u0 , v0 )

=

Su ×Sv
|Su ×Sv |

N (u0 , v0 )

=

(−(r+(p−r)v0 ) sen u0 ,qv0 cos u0 , h v sen u0 )×((p−r) cos u0 ,q sen u0 , h (1−cos u0 )
2
2
|(−(r+(p−r)v0 ) sen u0 ,qv0 cos u0 , h v0 sen u0 )×((p−r) cos u0 ,q sen u0 , h (1−cos u0 )|
2
2

N (u0 , v0 )

=

0
(−hqv0 sen2 ( 2 ),− h (r(−1+v0 )−pv0 +r cos(u0 )) sen(u0 ),−qv0 (p−r) cos2 (u0 )+q(r(−1+v0 )−pv0 ) sen2 (u0 ))
2
u0
|(−hqv0 sen2 ( 2 ),− h (r(−1+v0 )−pv0 +r cos(u0 )) sen(u0 ),−qv(p−r) cos2 (u0 )+q(r(−1+v0 )−pv0 ) sen2 (u))|
2

u

En general, el vector normal unitario en un punto cualquiera d = (u0 , v0 ) esta dado por

N (u0 , v0 ) =

√

(−hqv0 sen2 (
u0
[−hqv0 sen2 ( 2

u0
2
2
h
2 ),− 2 (r(−1+v0 )−pv0 +r cos(u0 )) sen(u0 ),−qv0 (p−r) cos (u0 )+q(r(−1+v0 )−pv0 ) sen (u0 ))
2 +[− h (r(−1+v )−pv +r cos(u )) sen(u )]2 +[−qv (p−r) cos2 (u )+q(r(−1+v )−pv ) sen2 (u )]2
)]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2

16

£
¢17 ¡


2.1.3.

Primera Forma Cuadr´tica de la Superficie de Guimard
a

A continuaciń se calcular´ la primera forma cuadr´tica de la superficie en el punto d =
o
a
a
(u0 , v0 ). Para ello se determinarń sus coeficientes, los cuales son calculados de la siguiente
a
forma:
E(u0 , v0 )

=

< Su , Su > (u0 , v0 )

h
h
−(r + (p − r)v) sen u, qv cos u, v sen u , −(r + (p − r)v) sen u, qv cos u, v sen u
2
2

=

E(u0 , v0 )

1
= qv0 2 cos2 u0 + 4 h2 v0 2 sen2 u0 + (−r − (p − r)v0 )2 sen2 u0

F (u0 , v0 )

= < Su , Sv > (u0 , v0 )

h
h
−(r + (p − r)v) sen u, qv cos u, v sen u , (p − r) cos u, q sen u, (1 − cos u)
2
2

=

F (u0 , v0 )

=

1
2
4 [−h v0 (−1

=

< Sv , Sv > (u0 , v0 )

h
h
(p − r) cos u, q sen u, (1 − cos u) , (p − r) cos u, q sen u, (1 − cos u)
2
2
G(u0 , v0 )

=

(u0 , v0 )

+ cos u0 ) + 4q 2 v0 cos u0 − 4(p − r)(r + (p − r)v0 ) cos u0 ] sen u0

G(u0 , v0 )
=

(u0 , v0 )

(p − r)2 cos2 u0 + q 2 sen2 u0 +

h2
4 (1

(u0 , v0 )

− cos u0 )2

Con lo cual la Primera forma Cuadr´tica quedar´ expresada de la siguiente forma
a
ıa
Id (w) = a2 E(u0 , v0 ) + 2abF (u0 , v0 ) + b2 G(u0 , v0 )
donde
E(u0 , v0 )

1
= qv0 2 cos2 u0 + 4 h2 v0 2 sen2 u0 + (−r − (p − r)v0 )2 sen2 u0

F (u0 , v0 )

=

1
2
4 [−h v0 (−1

G(u0 , v0 )

=

(p − r)2 cos2 u0 + q 2 sen2 u0 +

+ cos u0 ) + 4q 2 v0 cos u0 − 4(p − r)(r + (p − r)v0 ) cos u0 ]
h2
4 (1

− cos u0 )2

Adem´s el ńgulo formado por dos curvas coordenadas de S satisface la siguiente igualdad:
a
a
cos θ =

F (u0 , v0 )

< Su , Sv >
=
|Su ||Sv |

E(u0 , v0 )G(u0 , v0 )

Adem´s el area de la superficie en una subconjunto D ⊂ U se calcula mediante
a
A(S(D))

=

√
D

17

EG − F 2 dudv

£
¢18 ¡


2.1.4.

Segunda Forma Cuadr´tica de la Superficie de Guimard
a

A continuaciń se calcular´ la segunda forma cuadr´tica de la superficie en el punto d =
o
a
a
(u0 , v0 ). Para ello se busca cuales son sus coeficientes. Para esto se necesita calcular lo siguiente:
Suu

=

∂2S
∂u2

=

(−(r + (p − r)v) cos u, −qv sen u, hv cos u)
2

Suv

=

∂2S
∂u∂v

=

(−(p − r) sen u, q cos u, h sen u)
2

Svv

=

∂2S
∂v 2

=

(0, 0, 0)

Con estos valores se obtendra los coeficientes de la segunda forma cuadr´tica de la siguiente
a
manera
e(u0 , v0 )
=

−hqv
2

√

√

=

2

cos u0 ((r+(p−r)v0 )(cos u0 −1)+r sen2 u0 +v0 (p−r))+sen2 u( r(1−cos u0 )+v0 (p−r))
[−hqv0 sen2 (

u0
2

)]2 +[− h (r(−1+v0 )−pv0 +r cos(u0 )) sen(u0 )]2 +[−qv0 (p−r) cos2 (u0 )+q(r(−1+v0 )−pv0 ) sen2 (u0 )]2
2
hqv(r(−1+v)−pv+r cos u)

[−hqv0 sen2 (

u0
2

2

f (u0 , v0 )
=

−hqv
2

=

√

= < Suu , N > (u0 , v0 )

√

= < Suv , N > (u0 , v0 )

(p−r) sen u(cos u−1)+ hq cos u sen u(r(1−cos u)+v(p−r))− hq sen u(r sen2 u+v(p−r))
2
2
u0
[−hqv0 sen2 ( 2

2
−hqr sen2 ( u ) sen u
2

u0
[−hqv0 sen2 ( 2

)]2 +[− h (r(−1+v0 )−pv0 +r
2

g(u0 , v0 )

=

cos(u0 )) sen(u0 )]2 +[−qv0 (p−r) cos2 (u0 )+q(r(−1+v0 )−pv0 ) sen2 (u0 )]2

< Svv , N > (u0 , v0 )

=0

Con lo cual la Segunda forma Cuadr´tica quedar´ expresada de la siguiente forma
a
ıa
IId (w)

= a2 e(u0 , v0 ) + 2abf (u0 , v0 ) + b2 g(u0 , v0 )

donde
√

e(u0 , v0 )

=

f (u0 , v0 )

=

√

g(u0 , v0 )

=

hqv0 (r(−1+v0 )−pv0 +r cos u0 )

0

2

[−hqv0 sen2 (

u0
2

2
−hqr sen2 (

u0
[−hqv0 sen2 ( 2

)]2 +[− h (r(−1+v0 )−pv0 +r
2

u0
2

entonces
IId (w)

=

a2 e(u0 , v0 ) + 2abf (u0 , v0 )

18

) sen u0

cos(u0 )) sen(u0 )]2 +[−qv0 (p−r) cos2 (u0 )+q(r(−1+v0 )−pv0 ) sen2 (u0 )]2

£
¢19 ¡


2.1.5.

Curvatura Normal de la Superficie de Guimard

Luego de haber calculado la Primera forma Cuadr´tica y la Segunda forma Cuadr´tica,
a
a
se calculara la funciń curvatura normal en un punto d = (u0 , v0 ) determinada por km :
o
Td S − {0} → R tal que para cada vector w ∈ Td S − {0} le corresponde
km (w) =

2.1.6.

IId (w)
a2 e(u0 , v0 ) + 2abf (u0 , v0 )
= 2
Id (w)
a E(u0 , v0 ) + 2abF (u0 , v0 ) + b2 G(u0 , v0 )

Curvaturas Principales de la Superficie de Guimard; Curvatura de Gauss, Curvatura Media

Adem´s tambiń podemos obtener la Curvatura Media y la Curvatura de Gauss en el punto
a
e
d, las cuales quedan expresadas respectivamente de la siguiente manera
H(d) =

1 e0 G0 − 2f0 F0
1 e0 G0 − 2f0 F0 + E0 g0
=
2
2 E0 G0 − F0 2
E0 G0 − F0 2
e0 g0 − f0 2
−f0 2
2 =
E0 G0 − F0
E0 G0 − F0 2

K(d) =

2.1.7.

Clasificaciń de Puntos de la Superficie de Guimard
o

Luego de esto si u = 0 y u = π, el coeficiente de la segunda forma cuadr´tica f (u0 , v0 ) = 0,
a
por tanto la curvatura media
K(u0 , v0 ) =

2
e0 g0 − f0
e0 (0) − (0)2
=
2
2 =0
E0 G0 − F0
E0 G0 − F0

Por lo tanto si u = 0 o u = π y ∀ v ∈ [0, 1] todos los puntos son puntos parab´licos, pero
o
u = 0 y u = π, por tanto la superficie no tiene puntos parab´licos. Tambiń se asegura
o
e
que la superficie no es una Superficie M´
ınima,pues la curvatura Media no es nula en toda la
superficie.
Tambien, dado que
−f0 2
E0 G0 − F0 2
> 0 entonces d = (u0 , v0 ) es un punto Hiperb´lico. Por lo
o
K(d) =

, f (u0 , v0 ) = 0 y

E0 G0 − F0 2

tanto todos los puntos de la superficie son Hiperb´licos.
o

2.1.8.

L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas de la
o
e
Superficie de Guimard

Para encontrar las l´
ıneas de curvatura, haremos uso de la Proposiciń 1.3. Por lo tanto
o
teniendo en cuenta los siguientes valores :
E(u, v)

= qv 2 cos2 u + 1 h2 v 2 sen2 u + (−r − (p − r)v)2 sen2 u
4

F (u, v)

=

1
2
4 [−h v(−1

G(u, v)

=

(p − r)2 cos2 u + q 2 sen2 u +

+ cos u) + 4q 2 v cos u − 4(p − r)(r + (p − r)v) cos u]

19

h2
4 (1

− cos u)2

£
¢20 ¡


√

e(u, v)

=

f (u, v)

=

√

g(u, v)

=

hqv(r(−1+v)−pv+r cos u)

0

2

[−hqv sen2 ( u )]2 +[− h (r(−1+v)−pv+r cos(u)) sen(u)]2 +[−qv(p−r) cos2 (u)+q(r(−1+v)−pv) sen2 (u)]2
2
2
−hqr sen2 ( u ) sen u
2

[−hqv sen2 ( u )]2 +[− h (r(−1+v)−pv+r cos(u)) sen(u)]2 +[−qv(p−r) cos2 (u)+q(r(−1+v)−pv) sen2 (u)]2
2
2

los reemplazamos en el determinante y lo calculamos, obteniendo
(v )2

−u v

(u )2

E

F

G

e

f

g

=

0

obteniendo
hqv(t)[r cos(u(t)) + r(−1 + v(t)) − pv(t)][−( 1 )(−h2 (−1 + cos(u(t)))v(t) + 4q 2 cos(u(t))v(t) −
4
1
4(p−r) cos(u(t))(r+(p−r)v(t)))u (t)2 −( 4 h2 (1−cos(u(t)))2 +(p−r)2 cos2 (u(t))+q 2 sen2 (u(t)))u (t)v (t)]+
1
hqr sen2 ( u(t) ) sen(u(t))[−(q cos2 (u(t))v(t)2 + 4 h2 sen2 (u(t))v(t)2 +sen2 (u(t))(−r−(p−r)v(t))2 )u (t)2 +
2
1
( 4 h2 (1 − cos2 (u(t))) + (p − r)2 cos2 (u(t)) + q 2 sen2 (u(t)))v (t)2 ] = 0

calculamos las soluciones de la ecuaci´n en funci´n de v [t], se obtiene :
o
o
v (t) =

1
u(t)
[2r((p−r)2 cos2 (u(t))+h2 sen4 ( 2 )+q 2 sen2 (u(t)))]
2
3
2
2

·{csc2 ( u(t) ) csc(u(t))[−p2 r cos2 (u(t))v(t)u (t)+
2

2pr2 (cos (u(t)))v(t)u (t)−r (cos (u(t)))v(t)u (t)+p r(cos3 (u(t)))v(t)u (t)−2pr2 (cos3 (u(t)))v(t)u (t)+
r3 (cos3 (u(t)))v(t)u (t)−h2 r sen4 ( u(t) )v(t)u (t)+h2 r cos(u(t)) sen4 ( u(t) )v(t)u (t)−q 2 r(sen2 (u(t)))v(t)u (t)+
2
2
q 2 r cos(u(t)) sen2 (u(t))v(t)u (t)−p3 (cos2 (u(t)))v(t)2 u (t)+3p2 r(cos2 (u(t)))(v(t)2 )u (t)−3pr2 (cos2 (u(t)))v[t]2 u [t]+
r3 (cos2 (u(t)))v(t)2 u (t)−h2 p(sen4 ( u(t) ))v(t)2 u (t)+h2 r(sen4 ( u(t) ))v(t)2 u (t)−pq 2 (sen2 (u(t)))v(t)2 u (t)+
2
2
q 2 r(sen2 (u(t)))v(t)2 u (t) + 1 [((3h2 + 4p2 + 4q 2 − 8pr + 4r2 − 4h2 cos(u(t)) + (h2 + 4(p2 − q 2 −
8
2pr + r2 )) cos(2u(t)))2 v(t)2 (r(−1 + cos(u(t))) + (−p + r)v(t))2 64r sen2 ( u(t) ) sen(u(t))((p −
2
r)2 cos2 (u(t))+h2 sen4 ( u(t) )+q 2 sen2 (u(t)))(4r3 sen2 ( u(t) ) sen3 (u(t))+8(p−r)r2 sen2 ( u(t) )(Cos(u(t))+
2
2
2
sen3 (u(t)))v(t)+r(−h2 +2(h2 +4p2 −2q 2 −8pr+4r2 ) cos(u(t))+(h2 +4(p−r)2 ) sen2 ( u(t) ) sen3 (u(t))−
2
cos2 (u(t))(h2 + 4p2 − 4q 2 − 8pr + 4r2 − 2q sen(u(t)) + q sen(2u(t))))v(t)2 + (p − r)(−h2 + (h2 +
1

4(p2 − q 2 − 2pr + r2 )) cos(u(t)))v(t)3 ))u (t)2 ] 2 ]}
v (t) =

1
u(t)
[2r((p−r)2 cos2 (u(t))+h2 sen4 ( 2 )+q 2 sen2 (u(t)))]
2
3
2
2

·{csc2 ( u(t) ) csc(u(t))[−p2 r cos2 (u(t))v(t)u (t)+
2

2pr2 (cos (u(t)))v(t)u (t)−r (cos (u(t)))v(t)u (t)+p r(cos3 (u(t)))v(t)u (t)−2pr2 (cos3 (u(t)))v(t)u (t)+
r3 (cos3 (u(t)))v(t)u (t)−h2 r sen4 ( u(t) )v(t)u (t)+h2 r cos(u(t)) sen4 ( u(t) )v(t)u (t)−q 2 r(sen2 (u(t)))v(t)u (t)+
2
2
q 2 r cos(u(t)) sen2 (u(t))v(t)u (t)−p3 (cos2 (u(t)))v(t)2 u (t)+3p2 r(cos2 (u(t)))(v(t)2 )u (t)−3pr2 (cos2 (u(t)))v[t]2 u [t]+
r3 (cos2 (u(t)))v(t)2 u (t)−h2 p(sen4 ( u(t) ))v(t)2 u (t)+h2 r(sen4 ( u(t) ))v(t)2 u (t)−pq 2 (sen2 (u(t)))v(t)2 u (t)+
2
2
q 2 r(sen2 (u(t)))v(t)2 u (t) − 1 [((3h2 + 4p2 + 4q 2 − 8pr + 4r2 − 4h2 cos(u(t)) + (h2 + 4(p2 − q 2 −
8
2pr + r2 )) cos(2u(t)))2 v(t)2 (r(−1 + cos(u(t))) + (−p + r)v(t))2 64r sen2 ( u(t) ) sen(u(t))((p −
2
r)2 cos2 (u(t))+h2 sen4 ( u(t) )+q 2 sen2 (u(t)))(4r3 sen2 ( u(t) ) sen3 (u(t))+8(p−r)r2 sen2 ( u(t) )(Cos(u(t))+
2
2
2
sen3 (u(t)))v(t)+r(−h2 +2(h2 +4p2 −2q 2 −8pr+4r2 ) cos(u(t))+(h2 +4(p−r)2 ) sen2 ( u(t) ) sen3 (u(t))−
2
cos2 (u(t))(h2 + 4p2 − 4q 2 − 8pr + 4r2 − 2q sen(u(t)) + q sen(2u(t))))v(t)2 + (p − r)(−h2 + (h2 +
1

4(p2 − q 2 − 2pr + r2 )) cos(u(t)))v(t)3 ))u (t)2 ] 2 ]}
20

£
¢21 ¡


Las soluciones obtenidas llegar´ a formar ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones, como
ıan
menciona la proposiciń, vendr´ a ser las l´
o
ıa
ıneas de curvatura, por lo tanto al calcular dichas
soluciones obtenemos
u(t) = c1

v(t) = c2

donde c1 y c2 con constantes reales, con lo que concluimos que las l´
ıneas de curvatura son
las curvas coordenadas.
De la misma manera para calcular las l´
ıneas asint´ticas utilizamos la Proposiciń 1.5, por
o
o
lo tanto teniendo en cuenta los valores de la segunda forma cuadr´tica y remplazńdolos en
a
a
la siguiente ecuaciń
o
e(u )2 + 2f u v + g(v )2 = 0
Calculando las soluciones de dicha ecuaciń en funciń de u [t] obtenemos las siguientes
o
o
ecuaciones diferenciales
u(t)

u (t) = 0

u (t) =

u(t)

2r cos( 2 ) sen3 ( 2 )v (t)
v(t)(−r+r cos(u(t))−pv(t)+rv(t))

luego de resolver las ecuaciones diferenciales se obtiene
u(t) = c3

v(t) = c4

ıneas asint´ticas son las
o
curvas coordenadas.

2.2.

Superficie Generalizada de Guimard

Ahora se generalizar´ la superficie de Guimard para lo cual se debe tener en cuenta que resulta
a
imprescindible situar perfectamente los puntos de m´
ınimos de las sinusoides cil´
ındricas sobre
su proyecciń circular con el fin de introducir la correcciń necesaria que alinee el segmento
o
o
directriz con una de las generatrices formando la lima-hoya de desagë como ocurre en la
u
superficie de la Porte Dauphine. El c´lculo de los m´ximos y m´
a
a
ınimos puede simplificarse,
buscando sobre la curva alabeada los puntos de torsiń nula, lo que implica anular el producto
o
mixto de las tres primeras derivadas de la funciń vectorial de la curva sinusoidal que nos
o
sirve de representaciń param´trica.
o
e
Definiendo la superficie de la siguiente forma
h
S(u, v) = (r cos u + (p − r)v cos u, qv cos u, v(1 − cos nu))
2
se puede evitar tener que corregir la parametrizaciń de la superficie para cada valor de n
o
pues de esta manera el segmento directriz esta sobre el eje 0X la cual es la posiciń correcta
o
de la sinusoide cil´
ındrica por estar alineada el segmento con una de las generatrices y con la
que obtenemos una parametrizaciń adecuada de la superficie de Guimard que nos sirva para
o
describir vectorialmente las caracter´
ısticas de forma de tal superficie. Por lo tanto damos la
siguiente definiciń.
o

21

£
¢22 ¡


Definicion 2.2. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 , q > r y n ∈ Z+ , adem´s
a
el conjunto U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1] . La superficie S : U ⊂ R2 → R3 , generada por los
segmentos de rectas que unen los puntos de la curva τ (u) = (r cos u, 0, 0) menos los puntos
extremos con la sinuso´ cil´
ıde ındrica ζn (u) = (p cos u, q sen u, h (1−cos nu)) menos dos puntos,
2
definida por
h
S((u, v), n) = (r cos u + (p − r)v cos u, qv cos u, v(1 − cos nu))
2

se llama ”Superficie Generalizada de Guimard”.

2.2.1.

Superficie Generalizada Parametrizada Regular de Guimard

Las curvas coordenadas de la Superficie Generalizada de Guimard en el punto k0 = (u0 , v0 )
son
S((u0 , v), n)

=

(r cos u0 + (p − r)v cos u0 , qv cos u0 , h v(1 − cos nu0 ))
2

S((u, v0 ), n)

=

(r cos u + (p − r)v0 cos u, qv0 cos u, h v0 (1 − cos nu))
2

22

£
¢23 ¡


n=2

n=3

n=4

n=5
.
.
.

.
.
.

.
.
.

n = 10
.
.
.

.
.
.

.
.
.
23

£
¢24 ¡


Ahora para empezar a analizar esta superﬁcie, se empezar´ tomando la siguiente notaci´n
a
o
S((u, v), n) = (x((u, v), n), y(u, v), n), z((u, v), n)), donde:
x((u, v), n)

= r cos u + (p − r)v cos u

y((u, v), n)

= qv cos u

z((u, v), n)

=

h
2 v(1

− cos nu))

por lo tanto
∂x((u,v),n)
∂u

=

−(r + (p − r)v) sen u

∂xn
∂v

=

(p − r) cos u

∂y((u,v),n)
∂u

=

qv cos u

∂y n
∂v

=

q sen u

∂z((u,v),n)
∂u

=

hn
2 v sen nu

∂z n
∂v

=

h
2 (1

− cos nu)

con lo cual se obtiene la matriz jacobiana:


(p − r) cos u





J((u, v), n) = 






q sen u

−(r + (p − r)v) sen u










qv cos u
h
2 v sen u

h
2 (1

− cos nu)

donde la matriz J((u, v), n) tiene rango 2, pues se puede encontrar sub matrices de 2 × 2 tal
que det[ ] = 0, por ejemplo

qv cos u
q sen u

det 

h
h
2 v sen u
2 (1 − cos nu)



 = qv cos u h (1 − cos nu) − h qv sen2 u
2
2


= qv h cos u − qv h cos u cos nu − h qv sen2 u
2
2
2
= −qv[ h cos u +
2

h
2

cos u cos nu +

h
2

sen2 u]

= 0 ⇐⇒ v = 0
y en el caso que v = 0 podemos tomar el siguiente determinante la sub matriz de 2 × 2

24

£
¢25 ¡




−(r + (p − r)v) sen u (p − r) cos u


det 


qv cos u

q sen u



 = −q(r + (p − r)v) sen2 u − qv(p − r) cos2 u


= −qv(p − r) sen2 u − qv(p − r) cos2 u − qr sen2 u
= −qv(p − r) − qr sen2 u
= −q[v(p − r) + r sen2 u]
= −qr sen2 u;

si v = 0

=0
por lo tanto la superficie es regular.

2.2.2.

Plano Tangente y Vector Normal de la Superficie Generalizada de Guimard

Luego para calcular el plano tangente en el punto k0 = (u0 , v0 ) obtenemos los siguientes
resultados
Su ((u, v), n)

=

∂x((u,v),n) ∂y((u,v),n) ∂z((u,v),n)
,
,
∂u
∂u
∂u

=

−(r + (p − r)v) sen u, qv cos u, hn v sen nu
2

Sv ((u, v), n)

=

∂x((u,v),n) ∂y((u,v),n) ∂z((u,v),n)
,
,
∂v
∂v
∂v

=

(p − r) cos u, q sen u, h (1 − cos nu)
2

por lo tanto el espacio tangente en el punto d = (u0 , v0 ) es el que esta generado por
{Su ((u, v), n), Sv ((u, v), n)}. Entonces si w ∈ Td S((u, v), n)
w = an Su ((u, v), n)(u0 , v0 ) + bn Sv ((u, v), n)(u0 , v0 )

:

an , bn ∈ R

Ahora se desea encontrar el vector normal unitario a la superficie S((u, v), n) en el punto
k0 = (u0 , v0 ), dicho vector se escribe de la siguiente forma
N ((u0 , v0 ), n))

=

Su ((u,v),n)×Sv ((u,v),n)
|Su ((u,v),n)×Sv ((u,v),n)|

N ((u0 , v0 ), n))

=

(−(r+(p−r)v0 ) sen u0 ,qv0 cos u0 , h v sen u0 )×((p−r) cos u0 ,q sen u0 , h (1−cos nu0 )
2
2
|(−(r+(p−r)v0 ) sen u0 ,qv0 cos u0 , h v0 sen u0 )×((p−r) cos u0 ,q sen u0 , h (1−cos nu0 )|
2
2

En general, el vector normal unitario en un punto cualquiera d = (u0 , v0 ) esta dado por
N ((u0 , v0 ), n))

=

(N ((u0 , v0 ), n))x , N ((u0 , v0 ), n))y , N ((u0 , v0 ), n))z )
N ((u0 , v0 ), n))x =

25

£
¢26 ¡


−hqv0 (− cos u0 +cos u0 cos(nu0 )+n sen u0 sen(nu0 ))
nu0
[hqv(− cos u0 +cos u0 cos(nu0 )+n sen u0 sen(nu0 ))]2 +[h(−2(r(−1+v0 )−pv0 ) sen u0 sen2 (
)+n(p−r)v0 cos u0 sen(nu0 ))]2 +[q(r+2pv0 −2rv0 −r cos(2u0 ))]2
2

N ((u0 , v0 ), n))y =
nu0
h(−2(r(−1+v0 )−pv0 ) sen u0 sen2
+n(p−r)v0 cos u0 sen(nu0 ))
2
nu0
2

N ((u0 , v0 ), n))z =
−q(r+2pv0 −2rv0 −r cos(2u0 ))
nu0
2

2.2.3.

Primera Forma Cuadr´tica de la Superficie Generalizada de
a
Guimard

A continuaciń se calcular´ la primera forma cuadr´tica de la superficie en el punto d =
o
a
a
(u0 , v0 ). Para ello se determinarń sus coeficientes, los cuales son calculados de la siguiente
a
forma:
En (u0 , v0 )
=

= q 2 v0 2 cos2 u0 + (−r − (p − r)v0 )2 sen2 u0 +

Fn (u0 , v0 )

=

−(r + (p − r)v) sen u, qv cos u,

Fn (u0 , v0 )

h2 n2 v0 2
4

=

Su ((u, v), n), Sv ((u, v), n) (u0 , v0 )
h
hn
v sen nu , (p − r) cos u, q sen u, (1 − cos nu)
2
2
h2 nv0
4 (1

=

(u0 , v0 )

− cos(nu0 )) sen(nu0 )

Sv ((u, v), n), Sv ((u, v), n) (u0 , v0 )

h
h
(p − r) cos u, q sen u, (1 − cos nu) , (p − r) cos u, q sen u, (1 − cos nu)
2
2
Gn (u0 , v0 )

(u0 , v0 )

sen2 (nu0 )

= q0 2 v cos u0 sen u0 + (p − r)(−r − (p − r)v0 ) cos u0 sen u0 +

Gn (u0 , v0 )
=

Su ((u, v), n), Su ((u, v), n) (u0 , v0 )

hn
hn
v sen nu , −(r + (p − r)v) sen u, qv cos u,
v sen nu
2
2

−(r + (p − r)v) sen u, qv cos u,

En (u0 , v0 )

=

=

(p − r)2 cos2 u0 +

h2
4 (1

(u0 , v0 )

− cos2 (nu0 )) + q 2 sen2 u0

Con lo cual la Primera forma Cuadr´tica quedar´ expresada de la siguiente forma
a
ıa
Ind (w) = a2 En (u0 , v0 ) + 2abFn (u0 , v0 ) + b2 Gn (u0 , v0 )
donde
h2 n2 v0 2
4

sen2 (nu0 )

En (u0 , v0 ) =

q 2 v0 2 cos2 u0 + (−r − (p − r)v0 )2 sen2 u0 +

Fn (u0 , v0 ) =

q0 2 v cos u0 sen u0 + (p − r)(−r − (p − r)v0 ) cos u0 sen u0 +

Gn (u0 , v0 ) =

(p − r)2 cos2 u0 +

h2
4 (1

h2 nv0
4 (1

− cos(nu0 )) sen(nu0 )

− cos2 (nu0 )) + q 2 sen2 u0

Adem´s el ńgulo formado por dos curvas coordenadas de S satisface la siguiente igualdad:
a
a
26

£
¢27 ¡


cos θ =

Su ((u, v), n), Sv ((u, v), n)
=
|Su ((u, v), n)||Sv ((u, v), n)|

Fn (u0 , v0 )
En (u0 , v0 )Gn (u0 , v0 )

Adem´s el area de la superficie en una subconjunto D ⊂ U se calcula mediante
a
An (S(D))

2.2.4.

=

D

En Gn − Fn 2 dudv

Segunda Forma Cuadr´tica de la Superficie Generalizada de
a
Guimard

A continuaciń se calcular´ la segunda forma cuadr´tica de la superficie en el punto d =
o
a
a
(u0 , v0 ). Para ello se busca cuales son sus coeficientes. Para esto se necesita calcular lo siguiente:

Suu ((u, v), n)

=

∂ 2 S((u,v),n)
∂u2

=

(−r − (p − r)v0 ) cos u0 , −qv0 sen u0 , hn2 v0 cos(nu0 )

Suv ((u, v), n)

=

∂ 2 S((u,v),n)
∂u∂v

=

(−p + r) sen u0 , q cos u0 , hn sen(nu0 )
2

Svv ((u, v), n)

=

∂ 2 S((u,v),n)
∂v 2

=

(0, 0, 0)

2

Con estos valores se obtendra los coeficientes de la segunda forma cuadr´tica de la siguiente
a
manera
en (u0 , v0 )

=

Suu ((u, v), n), N ((u0 , v0 ), n)) (u0 , v0 ) =

hqv0
(−2(r+pv0 −rv0 )+(−2(−1+n2 )pv0 +r(2−2v0 +n2 (−1+2v0 ))+n2 r cos(2u0 )) cos(nu0 )+nr sen(2u0 ) sen(nu0 ))
2
nu0
[hqv0 (− cos u0 +cos u0 cos(nu0 )+n sen u0 sen(nu0 ))]2 +[h(−2(r(−1+v0 )−pv0 ) sen u0 sen2
+n(p−r)v0 cos u0 sen(nu0 ))]2 +[q(r+2pv0 −2rv0 −r cos(2u0 ))]2
2

fn (u0 , v0 )

=

Suv ((u, v), n), N ((u0 , v0 ), n)) (u0 , v0 ) =

nu0
nu0
nu0
)[−n cos(
) sen u0 +cos u0 sen(
)]
2
2
2
2 +[h(−2(r(−1+v )−pv ) sen u sen2 nu0 +n(p−r)v cos u sen(nu ))]2 +[q(r+2pv −2rv −r cos(2u ))]2
[hqv0 (− cos u0 +cos u0 cos(nu0 )+n sen u0 sen(nu0 ))]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2hqr sen u0 sen(

gn (u0 , v0 )

=

Svv ((u, v), n), N ((u0 , v0 ), n)) (u0 , v0 )

=0

Con lo cual la Segunda forma Cuadr´tica quedar´ expresada de la siguiente forma
a
ıa
IInd (w)

= a2 en (u0 , v0 ) + 2abfn (u0 , v0 ) + b2 gn (u0 , v0 )

donde
en (u0 , v0 )

=

hqv0
(−2(r+pv0 −rv0 )+(−2(−1+n2 )pv0 +r(2−2v0 +n2 (−1+2v0 ))+n2 r cos(2u0 )) cos(nu0 )+nr sen(2u0 ) sen(nu0 ))
2
nu0
2

27

£
¢28 ¡


fn (u0 , v0 )

=

nu0
nu0
nu0
)[−n cos(
) sen u0 +cos u0 sen(
)]
2hqr sen u0 sen(
2
2
2
nu0
2

gn (u0 , v0 )

=

0

entonces
IInd (w)

2.2.5.

= a2 en (u0 , v0 ) + 2abfn (u0 , v0 )

Curvatura Normal de la Superficie Generalizada de Guimard

Luego de haber calculado la Primera forma Cuadr´tica y la Segunda forma Cuadr´tica, se
a
a
calculara la funciń curvatura normal en un punto d = (u0 , v0 ) determinada por
o
knm : Td S((u, v), n) − {0} → R tal que para cada vector w ∈ Td S((u, v), n) − {0} le corresponde
knm (w) =

2.2.6.

a2 en (u0 , v0 ) + 2abfn (u0 , v0 )
IInd (w)
= 2
Ind (w)
a En (u0 , v0 ) + 2abFn (u0 , v0 ) + b2 Gn (u0 , v0 )

Curvaturas Principales de la Superficie Generalizada de Guimard;
Curvatura de Gauss, Curvatura Media

Adem´s tambiń podemos obtener la Curvatura Media y la Curvatura de Gauss en el punto
a
e
d, las cuales quedan expresadas respectivamente de la siguiente manera
H(d) =

1 en0 Gn0 − 2fn0 Fn0 + En0 gn0
1 en0 Gn0 − 2fn0 Fn0
=
2
2
2
En0 Gn0 − Fn0
2 En0 Gn0 − Fn0
K(d) =

2.2.7.

2
2
en0 gn0 − fn0
−fn0
2 = E G
2
E0n Gn0 − Fn0
n0 n0 − Fn0

Clasificaciń de Puntos de la Superficie Generalizada de Guimard
o

Luego de esto si u =

2iπ
n

con i = 1, n y v = 0, el coeficiente de la segunda forma cuadr´tica
a

fn (u0 , v0 ) = 0 y en (u0 , v0 ) = 0 , por tanto
H(d) =

1 en0 Gn0 − 2fn0 Fn0
=0
2
2 En0 Gn0 − Fn0

K(d) =
Por lo tanto si u =

2iπ
n

2
−fn0
2 =0
En0 Gn0 − Fn0

∈ U con i = 1, n y v = 0 dichos puntos son planares.

De igual manera si u =

2iπ
n

con i = 1, n, el coeficiente de la segunda forma cuadr´tica
a

fn0 (u0 , v0 ) = 0, por tanto la curvatura Gaussiana
K(u0 , v0 ) =

2
en0 gn0 − fn0
en0 (0) − (0)2
2 = E G
2 =0
En0 Gn0 − Fn0
n0 n0 − Fn0

28

£
¢29 ¡


Por lo tanto si u =

2iπ
n

∈ U con i = 1, n y ∀ v ∈ [0, 1] y v = 0 dichos puntos son parab´licos.
o

Tambiń se puede asegurar que la superficie no es una Superficie M´
e
ınima, pues la curvatura
media no es nula en toda la superficie.
Adem´s dado que
a
K(d) =

2
−fn0
2
En0 Gn0 − Fn0

2
y En0 Gn0 − Fn0 > 0 entonces d = (u0 , v0 ) es un punto Hiperb´lico si fn0 (u0 , v0 ) = 0.
o

2.2.8.

L´
ıneas Asint´ticas, Geod´sicas de la
o
e
Superficie Generalizada de Guimard

Para encontrar las l´
ıneas de curvatura, haremos uso de la Proposiciń 1.3. Por lo tanto
o
teniendo en cuenta los siguientes valores :
h2 n2 v 2
4

En (u, v) =

q 2 v 2 cos2 u + (−r − (p − r)v)2 sen2 u +

Fn (u, v) =

q0 2 v cos u sen u + (p − r)(−r − (p − r)v) cos u sen u +

Gn (u, v) =

(p − r)2 cos2 u +

h2
4 (1

sen2 (nu)
h2 nv
4 (1

− cos(nu)) sen(nu)

− cos2 (nu)) + q 2 sen2 u
en (u, v)

=

hqv
(−2(r+pv−rv)+(−2(−1+n2 )pv+r(2−2v+n2 (−1+2v))+n2 r cos(2u)) cos(nu)+nr sen(2u) sen(nu))
2
[hqv(− cos u+cos u cos(nu)+n sen u sen(nu))]2 +[h(−2(r(−1+v)−pv) sen u sen2 nu +n(p−r)v0 cos u sen(nu))]2 +[q(r+2pv−2rv−r cos(2u))]2
2

fn (u, v)

=

2hqr sen u sen( nu )[−n cos( nu ) sen u+cos u sen( nu )]
2
2
2
[hqv(− cos u0 +cos u0 cos(nu)+n sen u sen(nu))]2 +[h(−2(r(−1+v)−pv) sen u sen2 nu +n(p−r)v cos u sen(nu))]2 +[q(r+2pv−2rv−r cos(2u))]2
2

gn (u, v)

=

0

los reemplazamos en el determinante y lo calculamos, obteniendo
(v )2

−u v

(u )2

En

Fn

Gn

en

fn

gn

=

0

obteniendo
1
1
2
2
2 hq{ 4 v(t)(r(−2 + (2 − n + n cos(2u(t))) cos(nu(t)) + n sen(2u(t)) sen(nu(t))) − 2(p − r)(1 +
2
(−1 + n ) cos(nu(t)))v(t))u (t)[ 1 (4(p − r)r sen(2u(t)) + [4(p2 − q 2 − 2pr + r2 ) sen(2u(t)) +
2

29

£
¢30 ¡


h2 n(−2 sen(nu(t)) + sen(2nu(t)))]v(t))u (t) − (h2 + 4(p − r)2 cos2 (u(t)) − 2h2 cos(nu(t)) +
1
1
h2 (cos2 (nu(t))) + 4q 2 (sen2 (u(t)))v (t))] − 4r sen(u(t)) sen( 2 nu(t))(−n cos( 2 nu(t)) sen(u(t)) +
1
cos(u(t)) sen( 1 nu(t)))((−q 2 cos2 (u(t))v(t)2 − 4 h2 n2 sen2 (nu(t))v(t)2 − sen2 (u(t))(r + (p −
2

r)v(t))2 )u (t)2 + ((p − r)2 cos2 (u(t)) + q 2 sen2 (u(t)) + h2 sen( 1 nu(t))4 )v (t)2 )} = 0
2
calculamos las soluciones de la ecuaci´n en funci´n de v [t], se obtiene :
o
o
1
v (t) = − 64 {r(3h2 + 4p2 + 4q 2 − 8pr + 4r2 + 4(p2 − q 2 − 2pr + r2 ) cos(2u(t)) − 4h2 cos(nu(t)) +
1
h2 cos(2nu(t))) sen(u(t)) sen( 2 nu(t))(2n cos( 1 nu(t)) sen(u(t))−2 cos(u(t)) sen( 1 nu(t)))}−1 [3h2 +
2
2

4p2 +4q 2 −8pr+4r2 +4(p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))]v(t)[−2r(−2+
(2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)(1+(−1+n2 ) cos(nu(t)))v(t)]u (t)−
{[3h2 +4p2 +4q 2 −8pr+4r2 +4(p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))][(3h2 +
4p2 +4q 2 −8pr+4r2 +4(p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t)))v(t)2 (r(−2+
(2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p−r)(1+(−1+n2 ) cos(nu(t)))v(t))2 −
1
8r sen(u(t)) sen( 2 nu(t))(2n cos( 1 nu(t)) sen(u(t)) − 2 cos(u(t)) sen( 1 nu(t)))(−16r3 sen(u(t))3
2
2

(−2 cos(u(t)) sen( 1 nu(t))2 +n sen(u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)r2 sen(u(t))(cos(u(t))3 (−2+(2+
2
n2 ) cos(nu(t))) − cos(u(t))(−1 + 3 cos(2u(t)) + cos(nu(t))(−2 + n2 + 3(2 + n2 ) sen(u(t))2 )) +
9n cos(u(t))2 sen(u(t)) sen(nu(t)) − n sen(u(t))(5 + 3 sen(u(t))2 ) sen(nu(t)))v(t) + r(−4(4p2 −
2q 2 −8pr+4r2 +((−4+3n2 )p2 −(−2+n2 )q 2 +(8−6n2 )pr+(−4+3n2 )r2 ) cos(nu(t))) sen(2u(t))+
2n2 (p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos[nu[t]] sen(4u(t))+32q 2 cos(u(t))3 sen(u(t)) sen( 1 nu(t))2 +32p2 cos(u(t)) sen(u(t))3
2
1
1
sen( 2 nu(t))2 −64pr cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 1 nu(t))2 +32r2 cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 2 nu(t))2 +
2

4h2 n sen(nu(t))+2h2 n(2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))2 sen(nu(t))−16np2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+
32npr sen(u(t))4 sen(nu(t))−16nr2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+4n(p2 −2q 2 −2pr+r2 ) sen(2u(t))2 sen(nu(t))−
4h2 n3 sen(u(t))2 sen(nu(t))3 −4h2 n sen(2nu(t))+h2 n3 sen(2nu(t))−h2 n3 cos(2u(t)) sen(2nu(t)))v(t)2 −
2(p − r)(1 + (−1 + n2 ) cos(nu(t)))(4(p2 − q 2 − 2pr + r2 ) sen(2u(t)) + h2 n(−2 sen(nu(t)) +
1

sen(2nu(t))))v(t)3 )]u (t)2 } 2

1
v (t) = − 64 {r(3h2 + 4p2 + 4q 2 − 8pr + 4r2 + 4(p2 − q 2 − 2pr + r2 ) cos(2u(t)) − 4h2 cos(nu(t)) +
1
h2 cos(2nu(t))) sen(u(t)) sen( 2 nu(t))(2n cos( 1 nu(t)) sen(u(t))−2 cos(u(t)) sen( 1 nu(t)))}−1 [3h2 +
2
2

4p2 +4q 2 −8pr+4r2 +4(p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))]v(t)[−2r(−2+
(2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)(1+(−1+n2 ) cos(nu(t)))v(t)]u (t)+
{[3h2 +4p2 +4q 2 −8pr+4r2 +4(p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t))][(3h2 +
4p2 +4q 2 −8pr+4r2 +4(p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos(2u(t))−4h2 cos(nu(t))+h2 cos(2nu(t)))v(t)2 (r(−2+
(2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))+n sen(2u(t)) sen(nu(t)))−2(p−r)(1+(−1+n2 ) cos(nu(t)))v(t))2 −
1
8r sen(u(t)) sen( 2 nu(t))(2n cos( 1 nu(t)) sen(u(t)) − 2 cos(u(t)) sen( 1 nu(t)))(−16r3 sen(u(t))3
2
2

(−2 cos(u(t)) sen( 1 nu(t))2 +n sen(u(t)) sen(nu(t)))+4(p−r)r2 sen(u(t))(cos(u(t))3 (−2+(2+
2
n2 ) cos(nu(t))) − cos(u(t))(−1 + 3 cos(2u(t)) + cos(nu(t))(−2 + n2 + 3(2 + n2 ) sen(u(t))2 )) +
9n cos(u(t))2 sen(u(t)) sen(nu(t)) − n sen(u(t))(5 + 3 sen(u(t))2 ) sen(nu(t)))v(t) + r(−4(4p2 −
2q 2 −8pr+4r2 +((−4+3n2 )p2 −(−2+n2 )q 2 +(8−6n2 )pr+(−4+3n2 )r2 ) cos(nu(t))) sen(2u(t))+
2n2 (p2 −q 2 −2pr+r2 ) cos[nu[t]] sen(4u(t))+32q 2 cos(u(t))3 sen(u(t)) sen( 1 nu(t))2 +32p2 cos(u(t)) sen(u(t))3
2
1
1
sen( 2 nu(t))2 −64pr cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 1 nu(t))2 +32r2 cos(u(t)) sen(u(t))3 sen( 2 nu(t))2 +
2

4h2 n sen(nu(t))+2h2 n(2−n2 +n2 cos(2u(t))) cos(nu(t))2 sen(nu(t))−16np2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+
32npr sen(u(t))4 sen(nu(t))−16nr2 sen(u(t))4 sen(nu(t))+4n(p2 −2q 2 −2pr+r2 ) sen(2u(t))2 sen(nu(t))−

30

£
¢31 ¡


4h2 n3 sen(u(t))2 sen(nu(t))3 −4h2 n sen(2nu(t))+h2 n3 sen(2nu(t))−h2 n3 cos(2u(t)) sen(2nu(t)))v(t)2 −
2(p − r)(1 + (−1 + n2 ) cos(nu(t)))(4(p2 − q 2 − 2pr + r2 ) sen(2u(t)) + h2 n(−2 sen(nu(t)) +
1

sen(2nu(t))))v(t)3 )]u (t)2 } 2

Las soluciones obtenidas llegar´ a formar ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones, como
ıan
menciona la proposiciń, vendr´ a ser las l´
o
ıa
ıneas de curvatura, por lo tanto al calcular dichas
soluciones obtenemos
u(t) = c1

v(t) = c2

ıneas de curvatura son
las curvas coordenadas.
De la misma manera para calcular las l´
ıneas asint´ticas utilizamos la Proposiciń 1.5, por
o
o
lo tanto teniendo en cuenta los valores de la segunda forma cuadr´tica y remplazńdolos en
a
a
la siguiente ecuaciń
o
e(u )2 + 2f u v + g(v )2 = 0
Calculando las soluciones de dicha ecuaciń en funciń de u [t] obtenemos las siguientes
o
o
ecuaciones diferenciales
u (t) = 0
1
1
u (t) = {8(nr cos( 2 nu(t)) sen2 (u(t)) sen( 1 nu(t))v (t)−r cos(u(t)) sen(u(t)) sen2 ( 2 nu(t))v (t))}{(−2rv(t)+
2

2r cos(nu(t))v(t)−n2 r cos(nu(t))v(t)+n2 r cos(2u(t)) cos(nu(t))v(t)+nr sen(2u(t)) sen(nu(t))v(t)−
2pv(t)2 +2rv(t)2 +2p cos(nu(t))v(t)2 −2n2 p cos(nu(t))v(t)2 −2r cos(nu(t))v(t)2 +2n2 r cos(nu(t))v(t)2 )}−1
luego de resolver las ecuaciones diferenciales se obtiene
u(t) = c3

v(t) = c4

ıneas asint´ticas son las
o
curvas coordenadas.

31

Cap´
ıtulo 3

3.1.

Aplicacion en la Arquitectura

Dado que al estudiar las Superficies de Guimard, se ha demostrado que casi en su totalidad sus
puntos son hiperb´licos, y puesto que las Superficies de Guimard no son ań muy aplicadas,
o
u
podemos valernos de estudios de superficies cuyos puntos en su mayor´ o en su totalidad
ıa
sean puntos hiperb´licos, para hacer el an´lisis respectivo de sus aplicaciones al momento de
o
a
utilizarlas en construcciones arquitectńicas.
o
Es por eso que hablaremos de la superficie m´s semejante posible la cuan es el paraboloide
a
hiperb´lico el cual es una superficie reglada formada por las rectas que se apoyan, de forma
o
ordenada, en dos rectas que se cruzan en el espacio (esto que hace que las rectas generadoras
sean todas paralelas a un plano dado perpendicular a una de las rectas generatrices, en el
caso de la las Superficies de Guimard las dos rectas las deformar´
ıamos y las unir´
ıamos en
sus extremos formando la sinusoide cil´
ındrica). El paraboloide es una superficie doblemente
reglada, luego como en el caso del hiperboloide de una hoja genera una estructura de malla
que le da fuerza a la construcciń. Tambiń es una superficie cuadr´tica, es decir, soluciń
o
e
a
o
de una ecuaciń polin´mica de segundo grado y se puede utilizar en arquitectura, aparte de
o
o
para otras cuestiones, para realizar cubiertas de doble curvatura del segundo tipo, es decir,
el caso de la curvatura de Gauss negativa. Uno de los aspectos novedosos y que le hace
ser una forma destacada para su utilizaciń en arquitectura (en combinaciń con las otras
o
o
propiedades que presenta) es el hecho de que es una superficie muy cercana a una superficie
minimal (exactamente la superficie de Schwartz), con lo cual es estable y al ser de ´rea
a
m´
ınima ahorra material. De hecho, el paraboloide hiperb´lico ha sido, y sigue siendo, una de
o
las superficies m´s utilizadas en la Arquitectura del siglo XX, en particular en el diseõ de
a
n
cubiertas (recordemos superficie de doble curvatura, estable y de ´rea m´
a
ınima, doblemente
reglada).
El paraboloide hiperb´lico es una de las superficies m´s originales e importantes utilizadas
o
a
por Gaud´ Por supuesto que era una superficie bien conocida por los matem´ticos, pero no
ı.
a
tanto por los arquitectos e ingenieros. Al igual que para el hiperboloide de una hoja, el que
fuera doblemente reglada le permit´ hacer fćilmente y de forma natural modelos de hilo,
ıa
a

32

£
¢33 ¡


alambre y yeso para que utilizaran los trabajadores de sus construcciones.
Siendo superficies como estas beneficiosas al momento de edificar algunas construcciones,
muchos arquitectos las utilizaron, uno de los m´s importantes es el arquitecto madrileõ,
a
n
pero que vivi´ tras la guerra civil espaõla en M´xico, F´lix Candela, que vino a ser conocido
o
n
e
e
como el principal diseãdor de cascarones en el mundo, puede que sea una de las personas
n
que mejor haya comprendido el mecanismo resistente de las estructuras en general y de las
de hormigń en particular. Fue adem´s mundialmente conocido por sus cubiertas con formas
o
a
obtenidas a partir del paraboloide hiperb´lico. El mismo lleg´ a decir que todas las obras
o
o
que env´ estń hechas de paraboloides hiperb´licos, y la posibilidad de combinaciones que
ıo
a
o
den apariencias muy diversas es bastante grande, aunque no inagotable. Entre sus obras m´s
a
grandiosas, podemos mencionar su obra p´stuma en la cual Candela colabor´ con Santiago
o
o
Calatrava en la Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia, en particular, es indudable
que el Parque Oceanogr´fico es su canto del cisne (dicha obra es semejante a la de la Superficie
a
de Guimard, para n = 3 o n = 6).

33

£
¢34 ¡


Como se menciono lo importante de estas superficies son sus propiedades, una de las cuales
son las propiedades estructurales las que inicialmente los diseãdores de estas estructuras
n
tuvieron que desarrollar tćnicas para la verificaciń de sus diseõs como por ejemplo el uso
e
o
n
de maquetas, que se probaban bajo carga para probar su seguridad.
Pero, la superficie funicular para las cargas muertas no es la misma que para determinadas
cargas puntuales como la carga de viento o nieve. Esta falta de un m´todo realmente see
guro, obligaba a los diseãdores a desarrollar una intuiciń estructural a la hora de proponer
n
o
una forma inicial, esta intuiciń se basaba fundamentalmente en un amplio conocimiento
o
de las superficies geom´tricas de trabajo. Hoy en d´ los m´todos de an´lisis por elementos
e
ıa,
e
a
finitos con la ayuda de los ordenadores, se han impuesto en el c´lculo de superficies lama
inares. El modelizado de las superficies de doble curvatura suele hacerse por triangulaciń
o
o cuadril´teros. Con los primeros, se puede modelizar cualquier superficie ya que siempre se
a
pueden contener 3 puntos en la superficie.
Ademas de las benificosas propiedades de estas superficies, tambien bien brindan hoy en
dia facilidades el momento de la construccion, para la cual se tiene en cuenta los siguientes
aspectos de construcion como el encofrado y el moldeo, que ha sido siempre una unidad
de obra de alto coste. Algunos m´todos, como el prefabricado, el proyectado de hormigń
e
o
sobre elementos hinchables o jaulas de acero reforzado, se han utilizado para minimizar este
inconveniente. El hecho de 10 que las superficies tratadas en esta investigaciń sean regladas,
o
ayuda a rebajar el coste, con respecto a otras superficies doblemente curvadas, adem´s ofrece
a
la posibilidad de un doble pretensado de las armaduras en las direcciones de las familias de
rectas, ventaja esta, que ha sido utilizada con frecuencia para lograr la estanqueidad en los
dep´sitos, como el de Eduardo Torroja en Marruecos en 1956 (Garc´ Reig, 1999). Encofrados
o
ıa
y moldeo del hormigń.
o
Estas superficies, tal y se comentaba con anterioridad, tiene la dificultad de su moldeo y
conformaciń cuando son construidas con hormigń armado. Esta dificultad, podr´ ser solo
o
ıa
ventada con las nuevas tćnicas de producciń de elementos por control num´rico (Kolarevic,
e
o
e
2003). Ejemplo del uso de esta tecnolog´ en la fabricaciń de elementos de hormigń con
ıa
o
o

34

£
¢35 ¡


doble curvatura, lo tenemos en el edificio de oficinas de Gehry en Dusseldorf, Alemania. Pero
estos intentos de mejora, parecen no haber encontrado su aplicaciń en los grandes edificios,
o
teniendo por ejemplo el caso del Edificio de Santiago Calatrava que realiz´ junto 11 con
o
F´lix Candela para el Oceanogr´fico de Valencia, en donde se puede apreciar la similitud del
e
a
proceso de encofrado con otros edificios realizados por candela cincuenta aõs antes.
n

Otra aplicaciń de una de las Superficies de Guimard, es cuando n = 2, del cual se hizo el
o
siguiente proyecto:
PABELLON DE CINE EN UNIVERSIDAD BAUHAUS DE WEIMAR.- Profesores J¨rgen Ruth y Rainer Gumpp, junto con los estudiantes de la universidad en el aõ 2009.
u
n
El proyecto resuelve el diseõ de una carpa temporal para la organizaciń de proyecciones
n
o
cinematogr´ficas y otras actividades culturales al aire libre. Este proyecto, se ha seleccionado,
a
por representar la plasmaciń de la idea subyacente en esta investigaciń que la geometr´ ha
o
o
ıa
de estar presente en la formaciń de todo arquitecto o ingeniero, sirviendo como disciplina
o
organizadora y articuladora de procesos creativos.

Con este trabajo arquitectńico, se pretende demostrar como la arquitectura y la ingenier´
o
ıa
civil pueden interactuar con las energ´ renovables y ofrecer funcionalidad, y soluciones
ıas
35

£
¢36 ¡


sostenibles. Uno de los condicionantes de la estructura, era que ten´ que ser resistente y
ıa
fćil de montar con una longitud de 13 metros, por lo que se escogi´ una geometr´ de sua
o
ıa
perficie cuadr´tica reglada, fćil de generar y de construir. La estructura toma la forma de
a
a
un paraboloide hiperb´lico construido con listones de madera y estabilizada con tensores de
o
acero. Esta c´scara estructural queda revestida interiormente por una membrana impermea
able de color rojo. El pavimento est´ compuesto por una tarima de madera y el suministro
a
de la energ´ elćtrica necesaria se obtiene mediante la instalaciń de paneles fotovoltaicos
ıa e
o
flexibles dispuestos en la cara exterior.

En este caso, el uso de la geometr´ de superficies de doble curvatura, no solo no ha encarecido
ıa
el proyecto, sino que lo ha abaratado y simplificado en su ejecuciń, aportńdole belleza y
o
a
resistencia.
Una de las cosas que m´s impresionan de este proyecto, es que se consiguen dimensiones
a
relativamente grandes casi sin necesidad de una estructura auxiliar, ya que los operarios
pueden ir fijando las l´
ıneas de la madera usando la propia estructura.

Como se menciona las aplicaciones de las Superficies de Guimard podr´ ser enumerables,
ıan
pero aun pocos arquitectos o ingenieros se aventuran a utilizarlas por el poco conocimiento
que se tiene de estas superficies, debido a la poca informaciń que se tiene al respecto, pero
o
como se ha demostrado, estas superficies son como un tesoro escondido esperando a ser
descubierto y revelado al mundo entero.

36

Conclusiones
Despu´s de analizar a detalle la familia de superficies denominadas Superficies de Guimard,
e
podemos reconocer que a pesar de la forma simple de expresarla, es interesante por su belleza
y por las propiedades de su forma y estructura, y aunque hoy en d´ no comń utilizarlas,
ıa
u
notamos que brinda muchas facilidades en tu construcciń, aparte de de belleza y apariencia
o
futur´
ıstica, es por ello que finalizaremos mencionando algunas conclusiones extra´
ıdas del
trabajo que se a desarrollado.
Luego de construir la Superficie de Guimard, se ha podido llegar a la conclusiń de que
o
una familia de superficies puede ser generara a partir de la variaciń de un par´metro
o
a
n, el cual es nada m´s que la variaciń de la sinusoide cil´
a
o
ındrica, y continuando con los
pasos siguientes de las misma forma en todas las superficies, es por tanto que podemos
concluir que dicha familia de superficies viene a ser generada de la siguiente manera
Definicion 3.1. Sean los valores h, p, q, r ∈ R tal que p > r > 0 , q > r y n ∈ Z+ ,
adem´s el conjunto U =]0, π[∪]π,2π[×[0, 1] . La superficie S : U ⊂ R2 → R3 , generada
a
por los segmentos de rectas que unen los puntos de la curva τ (u) = (r cos u, 0, 0) menos
los puntos extremos con la sinuso´ cil´
ıde ındrica ζn (u) = (p cos u, q sen u, h (1 − cos nu))
2
menos dos puntos, definida por
h
S((u, v), n) = (r cos u + (p − r)v cos u, qv cos u, v(1 − cos nu))
2

37

£
¢38 ¡

Conclusiones

Como se noto, una de las caracter´
ısticas m´s importantes al aplicar una superficie
a
como esta, es que en el uso de la geometr´ de superficies de doble curvatura, no solo
ıa
no ha encarecido el proyecto, sino que lo ha abaratado y simplificado en su ejecuciń,
o
aportńdole belleza y resistencia. Adem´s al momento de desarrollar algń proyecto
a
a
u
utilizando alguna superficie de Guimard, se puede conseguir dimensiones relativamente
grandes casi sin necesidad de una estructura auxiliar, ya que los operarios pueden ir
construyendo la superficie usando la propia estructura como apoyo, lo cual resulta en
ahorros econ´micos.
o
Finalmente dado que hoy en d´ se puede apreciar que las superficies de curvas regladas
ıa
estń interesando a la nueva generaciń de arquitectos e ingenieros, es provechoso dar
a
o
a conocer nuevas formas de c´mo utilizar superficies geom´tricas de las cuales hoy en
o
e
d´ poco se conocen, pero aun as´ muy valiosas al momento de utilizarlas para construir
ıa
ı
edificaciones, las cuales sin duda serń reconocidas y valoradas por su belleza y fortaleza.
a
Se deseara que trabajos como este, animen a los futuros arquitectos e ingenieros a seguir
usando geometr´ que dan belleza y eficiencia a la arquitectura e ingenier´
ıas
ıa.

38

Apńdice A
e

Hector Guimard
Hector Guimard (Lyon,1867 - Nueva York, 1942)
es el representante m´s significativo y personal del
a
Art Nouveau franc´s. Si bien es verdad que sieme
pre se valoraron los elementos decorativos de sus
obras, este arquitecto innovador, curioso, brillante
y sorprendente fue olvidado despu´s de su muerte y
e
redescubierto a partir de la segunda mitad del siglo
pasado. Como no es nuestro inter´s entrar a valorar
e
ahora lo estrictamente arquitectńico de sus trabao
jos, hemos seleccionado solamente dos fragmentos
significativos de algunas de sus obras m´s represena
tativas para mostrar su personalidad y el contexto
estil´
ıstico en el que se desarrollaron. Unos de ellos es el fascinante diseõ de la puerta principal
n
del Castel B´ranguer, en Par´ obra terminada en
e
ıs,
1898 y la primera que le dio fama aunque una fama
Figura A.1: Puerta principal del Castel

no exenta de pol´mica. La segunda pertenece a la
e

B´ranguer
e

maison Coilliot en Lille, acabada en 1900 sobre la

que puede observarse tambiń el diseõ de las letras con una geometr´ peculiar que despu´s
e
n
ıa
e
se convertir´ tambiń en representativa de un estilo.
a
e
Pero la obra que hizo famoso el nombre de Guimard fue el diseõ completo y la decoraciń
n
o
de las entradas y ed´
ıculos del metro de Paris. Desde 1890 se hab´ presentado numerosas
ıan
ideas a la Soci´t´ Centrale des Architectes, pero fueron finalmente estos diseõs de Guimard
ee
n
completamente innovadores y personal´
ısimos los que fueron aceptados. Guimard dise˜´ ´
no ıntegramente estas entradas con una decoraciń distinta para cada estaciń: l´
o
o ıneas curvas, tallos
nervados, motivos florales, m´stiles, faros flexibles y en general una exuberante explosiń
a
o
de formas que supuso el triunfo del llamado .ornamento estructural”. Estos accesos que se
convertir´ en s´
ıan
ımbolo del .estilo Guimard”, se convertirń tambiń, de alguna manera, en
a
e
´
s´
ımbolo del Paris de final de siglo y de la Belle Epoque o de su preludio. Estas entradas,

40

£
¢41 ¡

Conclusiones

Figura A.3: Abbesses y Porte Dauphine

muchas de ellas perdidas, fueron en su d´ muy admiradas por la mayor parte de los artistas
ıa
innovadores y vanguardistas.
Entre las entradas de Guimard que, m´s o menos,
a
de una u otra manera han sobrevivido, hay b´sicaa
mente 11 tipos distintos de los que tres son pabellones cubiertos. Teniendo en cuenta que el tejado del ed´
ıculo de Chˆtelet fue reconstruido en el
a
2000 siguiendo otro modelo, destacamos aqu´ soı
lamente dos tipos de accesos cubiertos: Abbesses
y Porte Dauphine. Este ultimo, que es monumen´
to hist´rico desde 1978, posee la cubierta invertida
o
que puede ser objeto de an´lisis y generalizaciń.
a
o
Se puede reconstruir circunstancialmente la cubierta invertida de la Porte Dauphine con mejor o peor
fortuna pero lo importante no es tratar de imitarla

Figura A.2: Puerta de la maison Coilliot en Lille

sino captar su estructura b´sica y analizar cuales son las caracter´
a
ısticas fundamentales de tal
superficie. El resultado del primer an´lisis nos muestra que puede asimilarse a unasuperficie
a
reglada generada con dos directrices una de las cuales es un segmento rectil´
ıneo y la otra
una curva que podemos situar en un cilindro recto de secciń el´
o
ıptica de manera que una
de las generatrices que une un extremo de la directriz recta se alinee con ella, en tanto la
directriz del extremo opuesto marque una l´
ınea de cumbrera. Todo ello es consecuencia de
su funcionalidad ya que es un recipiente que dispone de una lima-hoya corrida para permitir
la salida de las aguas.
Pero a pesar de este fuego artificial de innovaciones y demostraciones en todos los ´mbitos, la
a
prensa y el p´blico se desv´ r´pidamente de Guimard: menos que la obra, es el hombre que
u
ıan a
irrita. Y en digno representante del Art Nouveau, ´l mismo es v´
e
ıctima de las contradicciones
inherentes a los ideales del movimiento: sus creaciones m´s perfectas son financieramente
a
inaccesibles a la mayor parte de la gente, y al rev´s sus tentativas de standardizaciń corree
o

41

£
¢42 ¡


sponden mal con su vocabulario muy personal. Es finalmente completamente olvidado cuando
muere en Nueva York en 1942, dńde el temor de la guerra lo hac´ exiliarse (su mujer era
o
ıa
jud´
ıa).
Tras demasiado numerosas destrucciones, exploradores aislados (los primeros hector´logos )
o
van a redescubrimiento del artista y su universo hacia los aõs 1960-1970 y reconstituyen
n
pacientemente su historia. Si lo m´s importante se hizo en este ´mbito, sin embargo, ciento
a
a
aõs despu´s del ”gesto magn´
n
e
ıfico”del Art Nouveau (Le Corbusier), la mayor´ de los edificios
ıa
de Hector Guimard siguen siendo inaccesibles al p´blico, y ań no se inaugur´ un Museo
u
u
o
Guimard en Francia.

42

B. o Julca C´rdova Pedro, Huancas Su´rez Fernando, Damiń Sandoval Leonardo,
o
a
a
¨
Santamaria Santisteban Oscar, Introducciń a la geometr´ diferencial de curvas y
o
ıa
superficies”, 2008-02-15
@ http://www.rodrigocadiz.com/imc/html/Sinusoides.html
@ http://www.epdlp.com/arquitecto.php?id=55
@ http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/maic/index.html
@ http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/MAIC/CONGRESOS/
%C3 %8Dndice %20SEG.htm
@ http://www.unirioja.es/cu/luhernan/gdfolder/gd.pdf
@ mat.uab.es/ret/sites/default/files/.../Poster Catiana 2010.pdf
@ http://imarrero.webs.ull.es/sctm04/modulo1/10/ribanez.pdf

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