2SAT(充足可能性問題)の解き方

1. 2-SATの解き方
吉岡恒夫(@yoshiokatsuneo) 2017/02/21

2. SATとは?
• 充足可能性問題(satisfiability problem)
• 論理式
(A∨B∨C∨…)∧(D∨E∨F∨…)∧…
# CNF, Conjunctive Normal Form, 連現標準形
• 論理式を満たす(真にする)ことができるか？
(そのような、A,B,C,D…が存在するか?)

3. 2-SATとは?
• 論理式
(A∨B)∧(D∨E)∧…
#かっこの中(クロージャ)が最大２個まで
• 論理式を満たす(真にする)ことができるか？
(そのような、A,B,C,D…が存在するか?)

4. 論理包含(implication)
• A→B (AならばB)
(注: Aが偽の場合もBは真になる)
• A→B
かつ
B→C
ならば
A→C
(三段論法)
A B A→B
真 真 真
真 偽 偽
偽 真 真
偽 真 真

5. 論理式と論理包含
• A∨B ≡ ¬B→A≡ ¬A→B
¬A B ¬A→B A B
真 真 真 偽 真
真 偽 偽 偽 偽
偽 真 真 真 真
偽 真 真 真 真

6. 2-SATの「ならば(→)」表記
• (A∨B)∧(C∨D)∧…
は
(¬B→A)∧(¬A→B)∧(¬D→C)∧(¬C→D)∧…
と表せる

7. 2-SATのグラフ表記
B ¬A A ¬B
A B A→B
真 真 真
真 偽 偽
偽 真 真
偽 真 真
• X→YでXとYが反対でも成立
するのはX:偽, Y:真の組み合
わせ
• ¬A→Aの場合、¬Aを偽に、
Aを真にする。
B ¬A A ¬B
偽 偽 真 真

8. 矛盾の検出
• ¬AとAがループしていると、¬AとAを同時に
満たす必要が出て来て矛盾する
A ¬A

9. 強連結成分分解
• 強連結成分分解で同じループの中に、Aと¬A
が存在するか検出。
A
B
C
D
E
F
G
H
強連結成分 強連結成分

10. まとめ
• 論理式: (A∨B)∧(D∨E)∧…
• ならばに変換: (¬B→A)∧(¬A→B)∧…
• グラフを作成
• 強連結成分分解でAと¬Aが同じ成分か検出
• ¬A→Aがあれば、Aを偽にする