1. LAPLACE TRANSFORMS
Definition of the Laplace transform:
0
[ ( )] ( ) ( )st
L f t f t e dt F s


 
 
0
0 0
a t
U t
t
  
 
   
0
[ ( )] ( ) ( )st
L u t u t e dt U s


 
0
0
( )
st
st ae a
U s ae dt
s s
 
 
  

2. ( )
( )
0 0 0
1
[ ]
s a t
at at st s a e
L e e e dt e dt
s s 
   
    
   
  
Aşağıdaki rampa (ramp) fonksiyonu analitik yöntemle çözünüz
 
0
0 0
bt t
f t
t
  
 
   
0 0
( ) ( ) st st
F s f t e dt bte dt
 
 
  
 0
0 0
1
(1)
st
st ste
b te dt bt b e dt
s s
 
 
 
  
20
0
0
( ) ( )
st
stb b e b b
e dt
s s s s s s
 

     
 

3. Properties of Laplace transforms:
1) Linearity : a sabit bir sayı veya s ve t den bağımsız ise
L[af(t)]=aL[f(t)]=aF(s)
2) Süperpozisyon : her iki fonksiyonunda laplace dönüşümü
alınabiliyorsa
1 2 1 2 1 2[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( )L f t f t L f t L f t F s F s    

4. 3)Translation in time:
[ ( )] ( )as
L f t a e F s
 
4)Complex Differention:
[ ( )] ( )
d
L tf t F s
ds
 
5)Translation in the s domain:
[ ( ) ( )at
L e f t F s a
 

5. 6)Real differantiation:
2 2
[ ( )] ( ) (0 )
[ ( )] ( ) (0) (0)
L Df t sF s f
L D f t s F s sf Df

 
  
7)Final value Theorem:
0
( ) ( )lim lims s
sF s f t
 


6. Example:
3
( )
( 2)
Y s
s s


Solution:
0 0 0
3 3 3
( ) ( ) ( )
( 2) 2 2lim lim lim lims s s s
y t sY s s
s s s   
   
 
8)Initial value Theorem:
0
( ) ( )lim lims s
sF s f t
 


7. Laplace Transforms of Most Common Functions of Time
Continuous Function Laplace Transform
Impulse 1
Step
s
1
t 2
1
s
2
t 3
2
s
at
e
as 
1
at
te 2
)(
1
as 
Sin(wt)
)( 22
ws
w

Cos(wt)
)( 22
ws
s


8. Örnek: 2
3
( )
( 2 5)
f s
s s s

 
1 2 3
2 2
3
( 2 5) 2 5
K K s K
s s s s s s

 
   
1 2 3
2 2
3 ( )
( 2 5) 2 5
K K s K
s s s
s s s s s s

 
   
 1
3
5
K 
2
2 3
3 6
3 ( ) ( ) 3
5 5
K s K s    

9. 1 2 3
2 2
3
( 2 5) 2 5
K K s K
s s s s s s

 
   
2 2
1 1 1 2 33 2 5K s K s K K s K s    
 1
3
5
K  idi.
2
2 3
3 3
3 ( ) 3 (2 )
5 5
K s x K s    
2
2 3
3 6
3 ( ) 3 ( )
5 5
K s K s    

10. 2
3
5
K   3
6
5
K  
2 2
3
3 3 25( )
( 2 5) 5 2 5
s
f s
s s s s s s

  
   
2 2
( )
[ cos ]
( )
at A s a
L Ae wt
s a w
 

 
2 2
[ sin ]
( )
at Bw
L Be wt
s a w


 

11. 2 2
( )
[ cos sin ]
( )
at at A s a Bw
L Ae wt Be wt
s a w
   
 
 
2 2
2
3 ( 1)35 2( )
5 ( 1) 2
s
F s
s s
 
 
 
3 3 1
( ) (cos2 sin 2 )
5 5 2
t
f t e t t
  
Örnek: 2
2
( )
( 1)( 2)
f s
s s

 
1 2 3
2 2
2
( )
( 1)( 2) ( 1) ( 2) 2
K K K
f s
s s s s s
   
    

12. 2 1
2 3
2
( 2) ( 2)
1 1
K
s K s K
s s
    
 
1 2
1
2 2
2
( 1)( 2) ( 1 2)s
K
s s 
  
   
 1 2K 
2s    2 2K  
1 32 2
2 ( 2)
( 1) ( 1)
s s
K K
s s
 
 
 

13. 2 2 2 21 2 3
2 2
2
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2)
K K K
s x s s s
s s s s s
      
    
1
2 3
2
( 2) ( 2)
( 1) 1
K
s K s K
s s
    
 
İşleminin türevi alındığında
s = -2’ye yaklaşır.
3 2K  

14. 1 2 3
2 2
2
( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
( 1)( 2) 1 ( 2) ( 2)
K K K
s s s s
s s s s s
      
    
2s   için ; 30 0 K   
2 1
2 3
2
( 2) ( 2)
1 ( 1)
K
s K s K
s s
    
 
3 12 2
(0)( 1) (1)(2) [0( 1) 1]
0 (2 4)
( 1) ( 1)
s s
K K s
s s
   
   
 
2 2
2
( 2) 2( 2)( 1) 1( 2)
( 1) ( 1)
s s s s
s s
    

 

15. =
2 2
2
2( 2 2) ( 2)
( 1)
s s s s
s
    

=
2 2
2
2 2 2 4 4
( 1)
s s s s s
s
     

2
( 2)
( 1)
s
s


=
2
2
2
( 1)
s s
s
 


16. Bir Fonksiyonun Tekil Noktaları ve Kutupları
S düzleminde tekil noktalar, fonksiyonun yada türevinin bulunmadığı
noktalardır.Kutup, tekil noktadır.
G(s) s civarında analitik ve tek değerlidir.
[( ) ( )]limi
r
i
s s
s s G s


2
10( 2)
( )
( 1)( 2)
s
G s
s s s


 
fonksiyonunun sıfırları s=-2 de bir sonlu ve
sonsuzda 3 sıfırı vardır. s=-3 de katlı, s=0 da ve s=-1 de katsız kutbu
vardır.G(s) fonksiyonu bu noktalar dışında analitiktir denir.

17. 3
10
( ) 0lim lims s
G s
s 
 
Adi Doğrusal Diferansiyel Denklemler:
Seri RLC devresini ele alalım;
( ) 1
( ) ( ) ( )
di t
Ri t L id t e t
dt C
   ……….( )
İkinci mertebeden bir diferansiyel denklem:
1
1
11
( ) ( ) ( )
... ( ) ( )
n n
n nn n
d y t a d y t dy t
a a y t f t
dt dt dt


     ………(  )

18. Katsayılar y(t)’nin bir fonksiyonu olmadığı sürece doğrusal adi
diferansiyel denklemdir.
( )’da 1( ) ( )x t i t dt 
ve 1
2
( )
( ) ( )
dx t
x t i t
dt
 
2
1 2
( ) 1 1
( ) ( ) ( )
dx t R
x t x t e t
dt LC L L
   

19. 1. mertebeden durum değişkenleri;
1
2
( ) ( )
( )
( )
x t y t
dy t
x t y
dt

  
(   ) .
.
.
1
1
1
( )
( )
n
n
n n
d y t
x t y
dt



 

20. 1 2
2 3
x x
x x




.
.
.
1n nx x

 
1 1....n n nx a x a x u

    
Dinamik Sistemlerin Matematiksel Modeli
Lineer Sistemler: Bir sisteme süperpozisyon teoremi uygulanıyorsa
sistem lineerdir.

21. 1 1( ) ( )x t y t
İse 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t y t y t  
2 2( ) ( )x t y t
Lineer zamanla değişmeyen ve lineer zamanla değişen sistemler:
Bir diferansiyel denklemin katsayıları sabit ise veya fonksiyonları
bağımsız değişkenlerden oluşuyorsa lineerdir.( Zamanla değişen
sistemlere örnek:Uzay aracı kontrol sistemidir.Yakıt tüketiminden
dolayı uzay aracının kütlesi değişir.)
Doğrusal olmayan sistemler:Bir sisteme süperpozisyon teoremi
uygulanamıyorsa sistem nonlineerdir.

22. 22
2
sin
d x dx
x A wt
dt dt
 
   
 
2
2
2
( 1) 0
d x dx
x x
dt dt
   
2
3
2
0
d x dx
x x
dt dt
   

23. Dinamik Sistemlerin Durum Uzayı Gösterimi
1( )x t ve 2 ( )x t durum değişkenleri olsun;
u(t); Giriş, 11 12 21 22 11 21, , , , ,a a a a b b ise sabit katsayılar:
1
11 1 12 2 11
( )
( ) ( ) ( )
dx t
a x t a x t b u t
dt
  
2
21 1 22 2 21
( )
( ) ( ) ( )
dx t
a x t a x t b u t
dt
  
1
2
( )
( )
( )
x t
x t
x t
 
  
 

24. Durum denklemleri;
( )
( ) ( ) ( )
dx t
x t Ax t Bu t
dt

   ile ifade edilir.
1
2
n
x
x
x
x
 
 
 
 
  
 
 
 
 
,

25. A =
1 2
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n n n n xa a a a  
   
   
 
    
 
    
    
 
   
       

26. B =
0
0
0
1
 
 
 
 
  
 
 
 
  
çıkış ( y= Cx) Y =  
1
2
1 0 0
n
x
x
x
x
 
 
 
 
    
 
 
 
 

27. Filename: kon_sis_tem_2.doc
Directory: C:Documents and
SettingsAdministratorDesktopFUNDAMENTALS OF CONTROL
SYSTEMSkontrol_temelleri
Template: C:Documents and SettingsAdministratorApplication
DataMicrosoftTemplatesNormal.dotm
Title: LAPLACE TRANSFORMS
Subject:
Author: hp
Keywords:
Comments:
Creation Date: 09.10.2009 11:01:00
Change Number: 39
Last Saved On: 08.07.2010 15:34:00
Last Saved By: PERFECT
Total Editing Time: 541 Minutes
Last Printed On: 08.07.2010 15:40:00
As of Last Complete Printing
Number of Pages: 26
Number of Words: 752 (approx.)
Number of Characters: 4.293 (approx.)