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Estudos de Controle - Aula 5: Espaço de Estados

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Estudos de Controle - Aula 5: Espaço de Estados

  1. 1. Estudos de Controle– Espaço de Estados1
  2. 2. Teorias Controle• Teoria de Controle Moderno• Entradas e saídas múltiplas, podendo servariantes no tempo.• Abordagem no domínio do tempo.• Possibilidade de lidar com sistemas não-lineares.• Base no conceito de estado.2
  3. 3. Definições• Estado:• É o menor conjunto de variáveis de estado quedeterminam completamente ocomportamento do sistema.• Variáveis de estado:• Especificado o estado inicial em 𝑡 = 𝑡0 e aentrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinam ocomportamento do sistema para 𝑡 ≥ 𝑡0.3
  4. 4. Definições• Vetor de estado:• Possui como componentes as variáveis deestado.• Determinam o estado do sistema paraqualquer instante 𝑡 ≥ 𝑡0, dada a entrada e oestado inicial.• Espaço de estados:• Espaço cujos eixos coordenados representamas variáveis de estado (um eixo para cadavariável).4
  5. 5. Análise no espaço de estados• Envolve três tipos de variáveis:• Variáveis de entrada;• Variáveis de saída;• Variáveis de estado.• O sistema dinâmico deve conter elementos quememorizem seus dados.• Integradores, em um sistema de controle detempo contínuo , servem como dispositivos dememória. Portanto, a saída desses integradorespodem ser consideradas variáveis de estado.5
  6. 6. Análise no espaço de estados• O número de variáveis de estado é igual aonúmero de integradores.• Supondo um sistema com:• r entradas: 𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 , … , 𝑢 𝑟 𝑡 ;• m saídas: 𝑦1 𝑡 , 𝑦2 𝑡 , … , 𝑦 𝑚 𝑡 ;• n variáveis de estado: 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 𝑡 , … , 𝑥 𝑛 𝑡6
  7. 7. Equações no espaço de estados• O sistema pode ser escrito como:𝑥1 𝑡 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)𝑥2 𝑡 = 𝑓2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡⋮𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)𝑦1 𝑡 = 𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)𝑦2 𝑡 = 𝑔2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡⋮𝑦 𝑚 𝑡 = 𝑔 𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡) 7
  8. 8. Equações no espaço de estados• Definindo:𝒙 𝑡 =𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)⋮𝑥 𝑛(𝑡), 𝒚 𝑡 =𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡)⋮𝑦 𝑚(𝑡), 𝒖 𝑡 =𝑢1(𝑡)𝑢2(𝑡)⋮𝑢 𝑟(𝑡),𝒇(𝒙, 𝒖, 𝑡) =𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)⋮𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡),𝒈(𝒙, 𝒖, 𝑡) =𝑔1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)𝑔2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡)⋮𝑔 𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛; 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢 𝑛; 𝑡),8
  9. 9. Equações no espaço de estados• Equação de estado:𝒙 𝑡 = 𝒇 𝒙, 𝒖, 𝑡• Equação de saída:𝒚 𝑡 = 𝒈 𝒙, 𝒖, 𝑡• Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 envolveremexplicitamente o tempo t, então o sistema échamado de variante no tempo.9
  10. 10. Equações no espaço de estados• Se as equações forem linearizadas em torno deum ponto de operação, temos:𝒙 𝑡 = 𝑨 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑩 𝑡 𝒖(𝑡)𝒚 𝑡 = 𝑪 𝑡 𝒙 𝑡 + 𝑫 𝑡 𝒖(𝑡)• 𝑨 𝑡 é chamada de matriz de estado,𝑩 𝑡 de matriz de entrada, 𝑪 𝑡 de matriz desaída e 𝑫 𝑡 de matriz de transmissão direta.10
  11. 11. Equações no espaço de estados• Se as funções vetoriais 𝒇 ou 𝒈 não envolveremexplicitamente o tempo t, então o sistema échamado de invariante no tempo.• Nesse caso, temos:𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡)𝒚 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝑫𝒖(𝑡)11
  12. 12. Equações no espaço de estados• Exemplo:• Admitimos que o sistema é linear.• A força externa u(t) é a entrada.• O deslocamento y(t) da massa mé a saída.• O deslocamento é medido a partirda posição de equilíbrio, naausência da força externa.12
  13. 13. Equações no espaço de estados• Exemplo:• Equação dinâmica do sistema:𝑚𝑦 + 𝑏𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑢• Sistema de segunda ordem, comdois integradores e duasvariáves de estado:𝑥1 𝑡 = 𝑦 𝑡𝑥2 𝑡 = 𝑦(𝑡)13
  14. 14. Equações no espaço de estados• Equação de estado:𝑥1 = 𝑥2𝑥2 = −𝑘𝑚𝑥1 −𝑏𝑚𝑥2 +1𝑚𝑢• Equação de saída:𝑦 = 𝑥1• Diagrama de blocos:14
  15. 15. Equações no espaço de estados• Forma vetorial-matricial:𝑥1𝑥2=0 1−𝑘𝑚−𝑏𝑚𝑥1𝑥2+01𝑚𝑢𝑦 = 1 0𝑥1𝑥215
  16. 16. Função de Transferência• Podemos encontrar 𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)𝑈(𝑠)para a equaçãodo espaço de estados, considerando um sistemade entrada e saída únicas:𝒙 𝑡 = 𝑨𝒙 𝑡 + 𝑩𝒖(𝑡)𝑦 𝑡 = 𝑪𝒙 𝑡 + 𝐷𝑢(𝑡)𝒔𝑿(𝑠) = 𝑨𝑿 𝑠 + 𝑩𝑈(𝑠)𝑌 𝑠 = 𝑪𝑿 𝑠 + 𝐷𝑈 𝑠16
  17. 17. Função de Transferência• Isolando 𝑿(𝑠):𝒔𝑿 𝑠 − 𝑨𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈(𝑠)𝒔𝑰 − 𝑨 𝑿 𝑠 = 𝑩𝑈 𝑠𝑿(𝑠) = 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩𝑈(𝑠)• Substituindo em 𝒀 𝑠 :𝑌 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩𝑈(𝑠) + 𝐷𝑈 𝑠𝑌 𝑠 = [𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷]𝑈(𝑠)𝐺 𝑠 =𝑌(𝑠)𝑈(𝑠)= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1𝑩 + 𝐷17
  18. 18. Função de Transferência• Exemplo:• Considerando o sistema mecânicoanterior, podemos encontrar G(s):𝐺 𝑠 = 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝐷𝐺 𝑠 = 1 0𝑠 00 𝑠−0 1−𝑘𝑚−𝑏𝑚−101𝑚𝐺 𝑠 = 1 0𝑠 −1𝑘𝑚𝑠 +𝑏𝑚−101𝑚𝐺 𝑠 = 1 01𝑠2 +𝑏𝑚𝑠 +𝑘𝑚𝑠 +𝑏𝑚1−𝑘𝑚𝑠01𝑚𝐺 𝑠 =1𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘18
  19. 19. Matriz de Transferência• Considerando um sistema com múltiplasentradas e saídas:𝑮 𝒔 =𝒀(𝒔)𝑼(𝒔)= 𝑪 𝒔𝑰 − 𝑨 −1 𝑩 + 𝑫• Como o vetor de entrada tem dimensão r e ovetor de saída tem dimensão m, a matriz detransferência terá dimensões m x r.19
  20. 20. Obrigada!ays@icmc.usp.brwww.lsec.icmc.usp.br20

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