1. វិញ្ញា សាៈ គណិ តវិទ្យា (វិទ្យាសាស្ត្រ្ង្គម) រយាៈពេល ៩០នាទ្យី េិន្ទុ៧៥
ពេចក្ដីណណនាាៈ
១.បេក្ខជនត្រូវេរ់ត្ក្ដាសបនេះជាពីរ រួចគូសខ្វែងខ្នែក្ខាងប ើននទំព័រទី២ឲ្យេ៉ុនត្េអេ់ខ្នែក្ខាងប ើ ននទំព័រទី១ខ្ែ និងត្រូវការ់បោ ។
ហាមសរបសរចបមលើយបៅប ើក្ខ្នលងគូសខ្វែងប េះ។
២.បេក្ខជនត្រូវគូសេ ា រ់េញ្ឈរឲ្យចំពាក្់ក្ណ្ដា ទំព័រទី២និងទំព័រទី៣សត្ាេ់សរបសរចបមលើយេនត។
I.(១០ពិន្ទុ) ក្នុងប្រអរ់មួយមាន្ខ្មៅ ដៃពណ៌ ខ្ ៀវ5ខ្ៃើម ន្ិងខ្មៅ ដៃពណ៌ ប្ក្ហម 4 ខ្ៃើម។ សិសសមាន ក្់បាន្ចារ់យក្ខ្មៅ ដៃ3ខ្ៃើម
ប្ពមគ្នន ខ្េញពីប្រអរ់ខ្ោយដេៃន្យ។
១.រក្ប្រូបារដៃលៈ សិសសយក្បាន្ខ្មៅ ដៃពណ៌ ខ្ ៀវ 2 ខ្ៃើម ន្ិងខ្មៅ ដៃពណ៌ ប្ក្ហម1ខ្ៃើម។
២.រក្ប្រូបារដៃលៈ សិសសយក្បាន្ខ្មៅ ដៃពណ៌ ៃូេគ្នន ។
II.(១៥ពិន្ទុ)
១.ខ្ោោះប្ាយសមីការឌីខ្េរ ៉ង់ដសយល 2013 'x x
e y e  ។
២.រក្េខ្មលើយមួយដន្មីការ E ខ្ោយៃឹងថាប្ការេខ្មលើយកាត់តាមគល់ក្ូអរខ្ោខ្ន្Oដន្តប្មុយ។
III.(២០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយខ្អលីរ E មាន្សមីការទូខ្ៅ 2 2
25 9 18 216 0x y y    ។
១.សរខ្សរសមីការសតង់ោដន្ខ្អលីរ E ។
២.ក្ំណត់ក្ូអរខ្ោខ្ន្េចិត I ក្ំពូល 1 2,V V ន្ិងក្ំណុំ 1 2,F F ដន្ខ្អលីរ E ។
IV.(៣០ពិន្ទុ) អន្ុគមន្៍ f ក្ំណត់េំខ្ ោះ 2, 2x x   ខ្ោយ  
2
2
4
x
y f x
x
 

ន្ិងមាន្ប្ការ C ។
១.គណនា    2 2
lim ,lim
x x
f x f x
 
ន្ិង  lim
x
f x

។ទាញរក្សមីការោសុីមតូតឈរ ន្ិងោសុីមតូតខ្ៃក្ដន្ប្ការ C ។
២.សិក្ាសញ្ញា ដន្ខ្ៃរីខ្វ  'f x ន្ិងសង់តារាងអខ្េរភាពដន្ f ។
៣.គណនា    3 , 3f f ខ្ហើយសង់ប្ការដន្អន្ុគមន្៍ f ។
ក្រ្ួង្អប់រំយុវជន និង្រីឡា លេខបនទប់់ៈ............................
ក្បឡង្្ញ្ញា បក្រមធ្យម្ិរាទ្យុរិយភូមិ ចំល េះទ្យូលៅ និង្បំលេញវិជ្ជា លេខរុ់ៈ..................................
ល្ម េះនិង្ហរថលេខាអនុររស់ៈ សម័យប្រឡងៈ០៥សីហា ២០១៣ ម ឌ េក្បឡង្់ៈ.....................
១............................................. នាមប្រកូល និងនាមខ្លួនៈ.....................................
២............................................. ថ្ងៃខខ្ឆ្ន ាំកាំណ ើ រៈ.................................................
ហរថណលខៈ.........................................................
ណរកខជនមិនប្រូវណ្វើសញ្ញា សម្គា ល់អ្វីមួយណៅណលើសនលឹកប្រឡងណឡើយ។សនលឹកប្រឡងដែខមលម្គនសញ្ញា សម្គា ល់នឹងប្រូវបានពិនទុសូនយ។
អក្សរសំងារ់
អក្សរសំងារ់
ពិនា៉ុសរ៉ុេ

2. វិញ្ញា សាៈ គណិ តវិទ្យា(វិទ្យាសាស្ត្រ) រយាៈពេល ១៥០នាទ្យី េិន្ទុ១២៥
ពេចក្ដីណណនាាៈ
១.បេក្ខជនត្រូវេរ់ត្ក្ដាសបនេះជាពីរ រួចគូសខ្វែងខ្នែក្ខាងប ើននទំព័រទី២ ឲ្យេ៉ុនត្េអេ់ខ្នែក្ខាងប ើ ននទំព័រទី១ ខ្ែ និងត្រូវការ់បោ ។
ហាមសរបសរចបមលើយបៅប ើក្ខ្នលងគូសខ្វែងប េះ។
២.បេក្ខជនត្រូវគូសេ ា រ់េញ្ឈរឲ្យចំពាក្់ក្ណ្ដា ទំព័រទី២និងទំព័រទី៣សត្ាេ់សរបសរចបមលើយេនត។
I.(១០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយេំន្ួន្ក្ុំេលិេ 2 3 2a i  ន្ិង 2 2b i   ។
១.សរខ្សរ 2 2
4 2Z a b ai b    ជាទប្មង់ពីជគណិ ត។
២.សរខ្សរ ,a b ន្ិង ab ជាទប្មង់ប្តីខ្កាណមាប្ត។
II.(១៥ពិន្ទុ) ក្នុងប្រអរ់មួយមាន្ឃ្លីពណ៌ ស 2 ប្គ្នរ់ ដៃលមាន្េុោះខ្ល 1,2 ន្ិងឃ្លីពណ៌ ខ្មៅ 3ប្គ្នរ់ដៃលមាន្េុោះខ្ល 1,2,3។
ខ្គចារ់យក្ឃ្លី 2 ប្គ្នរ់ប្ពមគ្នន ខ្ោយដេៃន្យពីក្នុងប្រអរ់ខ្នាោះ។
១.រក្ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :A ខ្គចារ់បាន្ឃ្លីពណ៌ ៃូេគ្នន ។
២.រក្ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :B ខ្គចារ់បាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3។
៣.រក្ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :C ខ្គចារ់បាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3ខ្ោយបាន្ៃឹងថា វាមាន្ពណ៌ ៃូេគ្នន ។
III.(១៥ពិន្ទុ) ១.ក្ំណត់េំន្ួន្ពិត ,m n ន្ិង p ខ្ៃើមបីខ្ោយ
  
 
2
22
6 5
2
2 12 1
x x m nx p
x
x x xx x x
  
  
    
។
២.គណនាោំងខ្តប្កាល
  
2
1
20
6 5
2 1
x x
I dx
x x x
 

   ។
IV.(២០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយសមីការឌីខ្េរ ៉ង់ដសយល  2 2
1 : ' 6 6 2 4E y y y x x      ។
១.ខ្ោោះប្ាយសមីការ 2 : " ' 6 0E y y y    ។
២.រក្ពហុធា   2
p x ax bx c   ដៃលជាេខ្មលើយមួយដន្សមីការ 1E ។ ទាញរក្េខ្មលើយទូខ្ៅដន្ 1E ។
V.(៣០ពិន្ទុ) ក្នុងតប្មុយអតូណរមា៉ ល់មាន្ទិសខ្ៅវិជជមាន្ , , ,O i j k ខ្គខ្ោយរីេំន្ុេ    1,0,1 , 0,2,2A B ន្ិង  2,1,0C ។
១.រង្ហា ញថាប្តីខ្កាណ ABC ជាប្តីខ្កាណដក្ងប្តង់ក្ំពូល A ។
២.គណនា n AB AC  រួេរក្សមីការរលង់ ABC ។
៣.រក្សមីការបា៉ រា៉ ដម៉តដន្រនាទ ត់d ដៃលកាត់តាម  1, 1,3D  ខ្ហើយដក្ងន្ិងរលង់ ABC ប្តង់ M ។រក្ក្ូអរខ្ោខ្ន្េំន្ុេ M ។
ក្រ្ួង្អប់រំយុវជន និង្រីឡា លេខបនទប់់ៈ............................
ក្បឡង្្ញ្ញា បក្រមធ្យម្ិរាទ្យុរិយភូមិ ចំល េះទ្យូលៅ និង្បំលេញវិជ្ជា លេខរុ់ៈ..................................
ល្ម េះនិង្ហរថលេខាអនុររស់ៈ សម័យប្រឡងៈ០៥សីហា ២០១៣ ម ឌ េក្បឡង្់ៈ.....................
១............................................. នាមប្រកូល និងនាមខ្លួនៈ.....................................
២............................................. ថ្ងៃខខ្ឆ្ន ាំកាំណ ើ រៈ.................................................
ហរថណលខៈ.........................................................
ណរកខជនមិនប្រូវណ្វើសញ្ញា សម្គា ល់អ្វីមួយណៅណលើសនលឹកប្រឡងណឡើយ។សនលឹកប្រឡងដែខមលម្គនសញ្ញា សម្គា ល់នឹងប្រូវបានពិនទុសូនយ។
អក្សរសំងារ់
អក្សរសំងារ់
ពិនា៉ុសរ៉ុេ

3. VI.(៣៥ពិន្ទុ) អន្ុគមន្៍ f ក្ំណត់េំខ្ ោះ 0x  ខ្ោយ   2
ln
2
x
y f x
x
   ខ្ហើយមាន្ប្ការC ។
១.គណនា  lim
x
f x

ន្ិង  0
lim
x
f x

។ រក្សមីការោសុីមតូតឈរ ន្ិងោសុីមតូតខ្ៃក្ដន្ប្ការC ។
២.គណនាខ្ៃរីខ្វ  'f x ខ្ហើយសង់តារាងអខ្េរភាពដន្អន្ុគមន្៍ f ។
៣.រក្ក្ូអរខ្ោខ្ន្េំណុ េប្រសពវរវាងប្ការC ន្ិងោសុីមតូតខ្ៃក្។ សង់ប្ការC ខ្ៅក្នុងតប្មុយក្ូអរខ្ោខ្ន្មួយ។
ខ្គខ្ោយ 0.5
2.72, 1.65e e  ។
៤.គណនាដេទប្ក្ឡាដេនក្រលង់ក្ំណត់ខ្ោយប្ការC ោសុីមតូតខ្ៃក្ រនាទ ត់ឈរ 1x  ន្ិង 0.5
x e ។

4. អក្ារំណ
I.(១០ពិន្ទុ) ខ្គខ្ោយេំន្ួន្ក្ុំេលិេ 2 3 2a i  ន្ិង 2 2b i   ។
១.សរខ្សរ 2 2
4 2Z a b ai b    ជាទប្មង់ពីជគណិ ត
       
 
2 2
2 2
4 2 2 3 2 1 4 2 3 2 2 2 2
4 2 2 3 4 8 3 8 2 2 14 2
Z a b ai b i i i i i
i i i i i
                  
        
(០៣ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ 14 2Z i  ។ (០១ពិន្ទុ)
២.សរខ្សរ ,a b ន្ិង ab ជាទប្មង់ប្តីខ្កាណមាប្ត
3 11 11
2 3 2 4 4 cos 2 sin 2 4 cos sin
2 2 6 6 6 6
i
a i i i
   
 
        
                          
(០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ
11 11
4 cos sin
6 6
a i
  
  
 
។
2 2 3 3
2 2 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 4 4 4 4
b i i i i
   
 
        
                            
(០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ
3 3
2 cos sin
4 4
b i
  
  
 
។
11 11 3 3 11 3 11 3
4 cos sin 2 cos sin 8 cos sin
6 6 4 4 6 4 6 4
22 9 22 9 7 7
8 cos sin 8 cos 2 sin cos 2
12 12 12 12 12 12
7 7
8 cos sin
12
ab i i i
i i
i
       
     
 
 
        
              
        
          
                 
          
 
12
 
 
 
(០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ
7 7
8 cos sin
12 12
ab i
  
  
 
។
II. ១.ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :A ខ្គចារ់បាន្ឃ្លីពណ៌ ៃូេគ្នន
តាមរូរមន្ត  
 
 
n A
P A
n S
 (០២ពិន្ទុ)
ខ្ោយេំន្ួន្ក្រណី ោេ    5,2 10n S C  ន្ិងេំន្ួន្ក្រណី ប្សរ      2,2 3,2 1 3 4n A C C     (០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ A គឺ  
4
0.4
10
P A   ។ (០៣ពិន្ទុ)
២.ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :B ខ្គចារ់បាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3
ប្ពឹតតិការណ៍ B ក្រណី ចារ់បាន្ (ស1, 2 )ឬ ( 1, ស 2 )ឬ( 1, 2 )ឬ (ស1, ស 2 )នាំខ្ោយ   4n B  (០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ B គឺ  
4
0.4
10
P B   ។ (០២ពិន្ទុ)

5. ៣.ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ :C ខ្គចារ់បាន្ឃ្លីមាន្េលរូក្ខ្ល ខ្សៅើ 3ខ្ោយបាន្ៃឹងថា វាមាន្ពណ៌ ៃូេគ្នន
ប្រូបារ    
 
 
2
110/ 0.5
4 2
10
P A B
P C P B A
P B

     (០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ ប្រូបារដន្ប្ពឹតតិការណ៍ C គឺ   0.5P C  ។ (០២ពិន្ទុ)
III. ១.ក្ំណត់េំន្ួន្ពិត ,m n ន្ិង p ខ្ៃើមបីខ្ោយ
  
 
2
22
6 5
2
2 12 1
x x m nx p
x
x x xx x x
  
  
    
ខ្គមាន្
  
   
  
22
22 2
2 26 5
2 12 1 2 1
m n x m p n x m px x m nx p
x x xx x x x x x
       
  
       
(០២ពិន្ទុ)
ខ្គបាន្
   
 
 
1 1 1 4
2 6 2
2 5 3
m n m n
m p n
m p
    

  

 
(០២ពិន្ទុ)
ជំន្ួសក្នុង 1 ន្ិង 2 ខ្គបាន្
 
 
3 5 21 2 6
1 2 5 2 4 3 3
n pn p n
n p n p
      
 
       
នាំខ្ោយ7 7 1p p    
 2 : 3 1 5 2n n      ន្ិង 4 : 1 1 2 3m n     ។ (០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ 3; 2; 1m n p     ។ (០១ពិន្ទុ)
២.គណនាោំងខ្តប្កាល
  
2
1
20
6 5
2 1
x x
I dx
x x x
 

  
  
   
   
2
1 1 1
2 220 0 0
2
1 1 11 2
2 0 00 0
6 5 3 2 1 3 2 1
2 1 2 12 1
12
3 3ln 2 ln 1
2 1
3ln1 ln3 3ln 2 ln1 ln3 3ln 2 ln 24
x x x x
I dx dx dx
x x x x x xx x x
d x xd x
x x x
x x x
       
       
           
 
      
  
        
  
  (០៦ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ
  
2
1
20
6 5
ln 24
2 1
x x
I dx
x x x
 
  
   ។ (០២ពិន្ទុ)
IV.ខ្គខ្ោយសមីការឌីខ្េរ ៉ង់ដសយល  2 2
1 : ' 6 6 2 4E y y y x x      ។
១.ខ្ោោះប្ាយសមីការ 2 : " ' 6 0E y y y    ។
សមីការសំគ្នល់  2 2
1 2
1 5 1 5
6 0 , 1 4 1 6 25 5 , 3; 2
2 2
r r r r
 
               
 
(០៦ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ េខ្មលើយទូខ្ៅដន្សមីការ 2E គឺ
3 2
; ,x x
y Ae Be A B IR
   ។ (០២ពិន្ទុ)
២.ពហុធា   2
p x ax bx c  
ខ្ោយ      2
' 2 " 2p x ax bx c p x ax b p x a        ខ្ហើយវាជាេខ្មលើយដន្ 1E (០៤ពិន្ទុ)

6.  
   
 
2 2
1
2 2
2 2
: ' 6 6 2 4
2 2 6 6 2 4
6 6 2 6 2 6 2 4
E y y y x x
a ax b ax bx c x x
ax b a x c b a x x
     
        
       
(០២ពិន្ទុ)
6 6 1
6 2 2 0
6 2 4 1
a a
b a b
c b a c
  
 
    
     
(០៣ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ   2
1P x x  ។
ទាញរក្េខ្មលើយទូខ្ៅដន្ 1E
េខ្មលើយដន្ 1E គឺ     3 2 2
1 , ,x x
y f x P x Ae Be x A B IR
       (០៣ពិន្ទុ)
V. ១.រង្ហា ញថាប្តីខ្កាណ ABC ជាប្តីខ្កាណដក្ងប្តង់ក្ំពូល A
 ; ;B A B A B AAB x x y y z z    នាំខ្ោយ      0 1;2 0;2 1 1,2,1 ; 1,1, 1AB AC      (០២ពិន្ទុ)
       1 1 2 1 1 1 0AB AC       (០២ពិន្ទុ)
ខ្ោយ 0AB AC AB AC   
ៃូេខ្ន្ោះ ប្តីខ្កាណ ABC ជាប្តីខ្កាណដក្ងប្តង់ A ។ (០២ពិន្ទុ)
២.គណនា n AB AC 
     1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 3
1 1 1
i j k
n AB AC i j k i k              

(០៥ពិន្ទុ)
-សមីការ ABC
តាមរូរមន្ត       0 0 0: 0ABC a x x b y y c z z      (០២ពិន្ទុ)
ខ្ោយរលង់ ABC កាត់តាម  1,0,1A ខ្ហើយដក្ងន្ិងវុិេទ័រ  3,0, 3n  
       : 3 1 0 0 3 1 0 3 3 6 0ABC x y z x z            (០២ពិន្ទុ)
នាំខ្ោយ 2 0x z  
ៃូេខ្ន្ោះ  : 2 0ABC x z   ។ (០១ពិន្ទុ)
៣.សមីការបា៉ រា៉ ដម៉តដន្រនាទ ត់d ដៃលកាត់តាម  1, 1,3D  ខ្ហើយដក្ងន្ិងរលង់ ABC ប្តង់ M
រូរមន្ត 
0
0
0
:
x x at
d y y bt t IR
z z ct
 

  
  
(០២ពិន្ទុ)
ខ្ោយ d កាត់តាម  1, 1,3D  ខ្ហើយដក្ងន្ិងរលង់ ABC ខ្នាោះ d nនាំខ្ោយ  
1 3
: 1 0
3 3
x t
d y t t IR
z t
 

   
  
(០២ពិន្ទុ)

7. ៃូេខ្ន្ោះ សមីការរនាទ ត់ d គឺ  
1 3
: 1
3 3
x t
d y t IR
z t
 

  
  
។ (០២ពិន្ទុ)
-រក្ក្ូអរខ្ោខ្ន្េំន្ុេ M
ខ្គបាន្ប្រព័ន្ធសមីការ
 2 0 1
1 3
1
3 3
M M
M
M
M
x z
x t
y
z t
   

 

 
  
(០២ពិន្ទុ)
តាម 1 នាំខ្ោយ   
1
1 3 3 3 2 0 6 2 0
3
t t t t           (០២ពិន្ទុ)
1
1 3 0
3
1
1
3 3 2
3
M
M
M
x
y
z
  
    
 
  

     
  
(០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ ក្ូអរខ្ោខ្ន្ដន្  0, 1,2M  ។ (០២ពិន្ទុ)
VI. f ក្ំណត់េំខ្ ោះ 0x  ខ្ោយ   2
ln
2
x
y f x
x
   ខ្ហើយមាន្ប្ការC
១.គណនា  lim
x
f x

ន្ិង  0
lim
x
f x

  2
ln
lim lim 2 2
x x
x
f x
x 
 
   
 
ខ្ប្ ោះ 2
ln
lim 0
x
x
x
 (០២ពិន្ទុ)
  2
0 0
ln
lim lim 2
x x
x
f x
x 
 
 
    
 
ខ្ប្ ោះ 2
0
ln
lim
x
x
x

  (០២ពិន្ទុ)
-សមីការោសុីមតូតឈរ ន្ិងោសុីមតូតខ្ៃក្ដន្ប្ការC
ខ្ោយ  lim 2
x
f x

 នាំខ្ោយ 2y  ជាោសុីមតូតខ្ៃក្។ (០១ពិន្ទុ)
ខ្ោយ  0
lim
x
f x

  នាំខ្ោយ 0x  ជាោសុីមតូតឈរ។ (០១ពិន្ទុ)
២.គណនាខ្ៃរីខ្វ  'f x
   2 4 3
ln 2 ln 1 2ln
2 '
x x x x x
f x f x
x x x
 
     (០២ពិន្ទុ)
ៃូេខ្ន្ោះ   3
1 2ln
' ; 0
x
f x x
x

  ។ (០១ពិន្ទុ)
-សង់តារាងអខ្េរភាពដន្អន្ុគមន្៍ f
  3
1 2ln
' ; 0
x
f x x
x

  ខ្ោយ  'f x យក្សញ្ញា តាម1 2ln x ខ្ប្ ោះ 0x 
-ខ្រើ   0.5
' 0 1 2ln 0f x x x e      (០១ពិន្ទុ)
-ខ្រើ   0.5
' 0 1 2ln 0f x x x e      (០១ពិន្ទុ)

8. -ខ្រើ   0.5
' 0 1 2ln 0f x x x e      (០១ពិន្ទុ)
េំខ្ ោះ  0.5 0.5 1
2 2.18
2
x e f e
e
     (០២ពិន្ទុ)
តារាងអខ្េរភាព
(០៤ពិន្ទុ)
៣.ក្ូអរខ្ោខ្ន្េំណុ េប្រសពវរវាងប្ការC ន្ិងោសុីមតូតខ្ៃក្
សមីការោរ់សុីស 2 2
ln ln
2 2 0 ln 0 ln1 0
x x
x x
x x
         ខ្ប្ ោះ 0x  (០២ពិន្ទុ)
  2
ln1
1 2 2
1
y f   
ៃូេខ្ន្ោះ ក្ូអរខ្ោខ្ន្េំន្ុេ  1,2A ។ (០២ពិន្ទុ)
-សង់ប្ការC ខ្ៅក្នុងតប្មុយក្ូអរខ្ោខ្ន្មួយ
(០៦ពិន្ទុ)
៤.គណនាដេទប្ក្ឡាដេនក្រលង់ក្ំណត់ខ្ោយប្ការC ោសុីមតូតខ្ៃក្ រនាទ ត់ឈរ 1x  ន្ិង 0.5
x e
ខ្គបាន្  
0.5 0.5 0.5
2 21 1 1
ln ln
2 2
e e ex x
S f x y dx dx
x x
  
          
  
   (០២ពិន្ទុ)
តាមរូរមន្ត udv uv vdu   តាង 2
1
ln ;
dx dx
u x du dv v
x x x
       (០៤ពិន្ទុ)
ខ្នាោះខ្គបាន្
0.5 0.5
0.5 0.5
2 21 1
1 1
ln ln ln 1
0.08
e e
e ex x dx x
S dx
x x x x
 
       ឯក្តាដេទ។ (០១ពិន្ទុ)
x
 'f x
 f x
0 0.5
e 

2.18
2
 0
  2
ln
2
x
f x
x
 2y 

9. ភ្នំខ្ពញ.ដេៃទី១២ ដ សីហា ឆ្ន ំ២០១៣
ខ្លខាក្ត់ប្តា
ដ ម ពុទឋី