Fraktal

1. www.egitimhane.com

2. İçindekiler
Fraktal Nedir?
Fraktalın Tarihi
Neler Fraktal Belirtir?
Çeşitli Fraktal Örnekleri
Neler Fraktal Belirtmez?
Fraktal Olmayan Şekiller
Bazı Çıkmış Sorular ve
Çözüm Yöntemleri
İlginç Bilgiler

3. Fraktal Nedir?
Fraktal bir şeklin
orantılı olarak
küçültülmüş ya
da büyütülmüş
hallerinden bir
araya
getirilmesiyle
oluşan
örüntülerdir.

4. Fraktalın Tarihi
İlk matematiksel fraktal kavramı 1861 de
keşfedildi.Matematik anlamındada ilk çalışılan
fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845) Halle
Üniversitesi'ndeyken matematiğin temel konularından
olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan
alanı kuran bir Alman matematikçidir.
Fraktalların tarihi gelişiminde Cantor, Sierpinski, Von
Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluşturulan
fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır.
Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk
fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi
görünüş açısından diğerlerinden daha az gösterişli
olmasına ve diğerlerine göre doğal yoruma daha uzak
olmasına rağmen oldukça önemlidir

5. Neler Fraktal Belirtir?
Bir eşkenar üçgenin kenarlarının ½ oranında
küçültülmesiyle oluşan fraktalın çizgi modeli
yukarıdaki gibidir.
Bu fraktalın herhangi bir parçasını büyültüp
veya küçülttüğümüzde başka bir adımı elde
ederiz.O yüzden bu bir fraktaldır.
1.Adım 2.Adım 3.Adım 4.Adım

6. Çeşitli Fraktal Örnekleri

7. Neler Fraktal Belirtmez?
1.Adım 2.Adım 3.Adım 4.Adım
Yukarıdaki örüntünün fraktal belirtmez.
Örüntünün herhangi bir parçasını
küçülttüğümüzde veya büyüttüğümüzde
örüntünün diğer parçasını elde edemeyiz.

8. Fraktal Olmayan Şekiller
1.Adım 2.Adım 3.Adım 4.Adım 5.Adım
6.Adım
Altıgenin köşelerinin çizildiği
örüntünün herhangi bir parçası
küçültüldüğünde ya da büyütüldüğünde
örüntünün diğer parçaları elde
edilmediğinden verilen örüntü fraktal
belirtmez.

9. Bazı Çıkmış Sorular ve Çözüm Yöntemleri
Ör:Aşağıdaki verilen fraktalın 5. adımındaki
üçgen sayısını bulunuz?
1.adım 2.adım 3.adım
1.adım 1 üçgen
2.adım
3.adım
4.adım
5.adım
1 + 3= 4 üçgen
1 + 3 + 9 = 13 üçgen
1 + 3 + 9 + 27 = 40 üçgen
1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 üçgen
5.Adımda 121 üçgen
vardır.

10. Ör 2:Aşağıda verilen “Y” şeklindeki
fraktalların 5. şekil üzerinde kaç tane “Y” harfi
bulunur?
1.adım 2.adım 3.adım
1.adım
2.adım
3.adım
4.adım
5.adım
1 “Y” harfi
1 + 2= 3 “Y” harfi
1 + 2 + 4 = 7 “Y” harfi
1 + 2 + 4 + 8 = 15 “Y” harfi
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 “Y” harfi
5.Adımda 31 “Y” harfi
vardır.

11. Ör 3:Aşağıda şekil dizilerinden hangisi fraktal belirtir?
A)
B)
C)
D)
Doğru Cevap “C”
şıkkıdır.Çünkü bir
tanesini
küçülttüğümüzde
veya
büyülttüğümüzde
öbür adımı elde
ederiz.

12. Ör 4:Aşağıdaki verilen fraktalın 3. şeklinde kaç
adet nokta vardır?
1.Şekil
2.Şekil 3.Şekil
1.adım
2.adım
3.adım
5 nokta
5 + 25 = 30 nokta
5 + 25 + 125 = 155 nokta
3.Şekilde 155 nokta
bulunur.

13. İlginç Bilgiler
Biliyor musunuz?
Üçgen Sayılar
1’den başlayarak ardışık
sayıların toplamı biçiminde
yazılan sayılardır.
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
1,3,6,10,15….
üçgen sayılardır.
Üçgen sayılar
2,4,7 veya 9 ile
bitmez.

14. İplik Yumağının Boyutu
Fraktallar üzerine teoriler geliştiren Mandelbrot’un en ünlü çalışması
Mandelbrot kümesidir.Mandelbrot bir birim cinsinden ölçülemez olan
cisimlerin bir pütürlük derecesine sahip olduğunu,bunu ölçmenin
yolunu bulmuştur.Pütürlük derecesine fraktal boyut,pütürlük özelliği
gösteren cisimlere fraktal adını vermiştir.Mandelbrot’u fraktal
geometride başarıya götüren olaylardan biri de “Bir iplik yumağının
boyutu nedir?”sorusuna verdiği yanıttır.Uzaktan bakıldığında bir
nokta gibi görülen yumağın daha yakından bakıldığında yüzeyinde
küreler,daha da yakından bakıldığına tek boyutlu ayrık ipliklerden
oluştuğunu gözlemlemiştir.Bu sebeple yumağın boyutsuz olduğunu
söylemiştir.
Biliyor musunuz?

15. Mandelbrot Teorisinin Gelişimi
Fraktal
Fraktal (büyütüldü)
Fraktal (bir daha
büyütüldü)