Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

Dalla Matematochetta
gioco dell’aggiungere e del togliere
in preparazione all’addizione e alla sottrazione
alla Matematòca
gioco verso il numero sconosciuto
Parte Seconda
Giancarlo Navarra
Università di Modena e Reggio Emilia
Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015

La Matematòca
Matematica in progress - Lugo (RA) - 17 giugno 2015, 2
La Matematòca
Verso il numero sconosciuto
Argomentare
Pluralità di rappresentazioni
Tradurre
Il numero sconosciuto

Togli 1
al punteggio
del dado
Moltiplica
per 4
il punteggio
del dado
Raddoppia
il punteggio
del dado
e togli 2
Aumenta
di 2
il punteggio
del dado
Fai due volte
il punteggio
del dado
Sottrai 0
al punteggio
del dado
Le tessere ‘aritmetiche’

Start
Il campo di gioco con le tessere aritmetiche

d-1
d×4
d×2-2 d+2
d×2 d-0
Le tessere aritmetiche

d-1 d×2-2 d+2
Togli 1
al punteggio
del dado
Raddoppia
il punteggio
del dado
e togli 2
Aumenta
di 2
il punteggio
del dado
Dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico

Start
Il campo di gioco con le tessere aritmetiche e algebriche

(d-0)x4dx2+3 dx0+5
Sottrai 0
al punteggio
del dado
e moltiplica
per 4
Raddoppia
il punteggio
del dado
e aggiungi 3
Moltiplica
per 0
il punteggio
del dado
e aggiungi 5
Dal linguaggio algebrico al linguaggio naturale

Raddoppia
il punteggio del dado
Moltiplica per 2
Fai due volte
d×2
=
=
Doppio del
Punteggio
del dado
Definizioni procedurali
Definizioni relazionali
Parafrasi

Dalla Matematoca alla Matematochetta
Nella Matematochetta si mantiene
l’obiettivo di costruire le competenze
chiave della Matematoca:
• produrre/interpretare parafrasi, cioè
rappresentazioni dello stesso oggetto
matematico o dello stesso processo
facenti riferimento a codici linguistici
differenti;
• favorire la traduzione fra linguaggi
differenti;
• incontrare l’embrione dell’incognita.

Dalla Matematoca alla Matematochetta
Moltiplica per 3
la differenza
fra 6 e il
punteggio
del dado
(6-d)×3 Altri codici
linguistici

La Matematochetta
Questioni di carattere matematico

Aspetti matematici che determinano il numero delle tessere
Vediamo come sono congegnate le
tessere dal punto di vista matematico per
capire:
• quante sono quelle con la fatina,
• quante sono quelle con la streghetta,
• quali calcoli possiamo proporre agli
alunni di scuola dell’infanzia (questo
vincolo si può modificare),
• come deve essere fatto il dado.
Ma prima di tutto facciamo delle scelte.

• La somma fra il numero delle perle della
principessa e quello delle perle che porta
la fatina è minore di 10;
• quindi il minuendo nelle tessere con la
streghetta è minore di 10;
• introduciamo lo zero, quindi il punteggio
massimo del dado è 5: si sostituisce la
faccia del 6 con una vuota.

Le tessere con la fatina
Lanciando il dado le uscite possibili sono:
0 1 2 3 4 5
(rappresentano il secondo addendo)
Poiché si è deciso che la somma in ogni
tessera deve essere minore di 10

Il primo addendo
(il numero di perle della principessa)
deve essere compreso fra 0 e 4.

La somma deve essere minore di 10
0+0 0+1 0+2 0+3 0+4 0+5 sì
1+0 1+1 1+2 1+3 1+4 1+5 sì
2+0 2+1 2+2 2+3 2+4 2+5 sì
3+0 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 sì
4+0 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 sì
5+0 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 no
Quindi…

Le tessere con la fatina
… possiamo realizzare solo cinque tessere
con la fatina

Le tessere con la streghetta
Lanciando il dado le uscite possibili sono:
0 1 2 3 4 5
(rappresentano il sottraendo)
Poiché si è deciso che il minuendo in ogni
tessera deve essere minore di 10

Il minuendo
(il numero di perle della principessa)
deve essere compreso fra 5 e 9.

Il minuendo deve essere minore di 10
0-0 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 no
1-0 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 no
2-0 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 no
3-0 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 no
4-0 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 no

5-0 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 sì
6-0 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 sì
7-0 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 sì
8-0 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 sì
9-0 9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 sì
Il minuendo è compreso fra 5 e 9
Il minuendo deve essere minore di 10

Le tessere con la streghetta
… possiamo realizzare solo cinque tessere
con la streghetta

Si può arricchire il gioco con una nuova
generazione di schede nelle quali sia
sconosciuto non il numero delle perle che
regala la fatina o porta via la streghetta,
ma quello delle perle della principessa.
Come saranno le nuove tessere?
Nuovi orizzonti
p-5p+2

Le tessere con l’incognita a sinistra
Le tessere con la fatina sono sempre cinque
Non ci sono tessere con la streghetta

La Matematochetta
Considerazioni generali
di carattere linguistico

I materiali del gioco
START

L’organizzazione del gioco
START

L’argomentazione: episodio 1
La principessa ha sei
perle magiche… per
vedere quante perle
porta via la streghetta
lancio il dado… è
venuto due… allora
porta via due perle…
sei meno due fa
quattro… faccio
quattro passi…

Adesso cerco un disegno come
quello della tessera… Prendo
questo perché ci sono sei gnomi e
stacco questi due qui… e così
rimangono quattro gnomi…

Metto insieme sei bambini, che è
come il numero delle perle della
principessa… poi faccio come la
streghetta e porto via due bambini e
ne restano quattro come le perle…

I disegni
Rappresentare
Il mio disegno
vuol dire che…
Non capisco il
suo disegno…
Argomentare

Parafrasare
Nel castello ci sono
tre perle e la fatina
ne porta cinque…
Analogia strutturale

Parafrasare
quattro perle e la
fatina ne porta tre…
Parafrasare il contenuto di una tessera
porta ad esplorare le relazioni fra gli
elementi del problema (sviluppo del
pensiero relazionale) e a scoprire
l’analogia strutturale con altre
rappresentazioni (sviluppo del pensiero
analogico).
Viene favorita in questo modo l’evoluzione
del balbettio logico-linguistico.

Parafrasare
quattro perle e la
Il controllo di rappresentazioni diverse della
stessa situazione e la traduzione fra
rappresentazioni facenti riferimento a
linguaggi diversi (naturale, iconico,
gestuale, grafico, ecc), costantemente
supportati dall’argomentazione,
favoriscono l’interiorizzazione dei concetti.

Parafrasare
quattro perle e la
La ricchezza e la coerenza del linguaggio
usato dipendono non solo dalle
competenze espressive dell’alunno, ma dal
fatto che l’argomentazione sia un valore
condiviso all’interno di un contratto
didattico basato più sui processi verbali
che sui prodotti verbali.
↓
due esempi

Contratto didattico: episodio 1
Tiziano lancia il dado e fa
otto passi senza parlare.
Tiziano si è limitato al prodotto del suo
pensiero, opaco rispetto alle ragioni
che lo hanno determinato.

Contratto didattico: episodio 2
Anna lancia il dado e dice “La
principessa ha cinque perle
magiche, la fatina le regala tre perle
e in tutto sono otto” poi fa otto passi.
Anna ha verbalizzato il suo processo
mentale, la cui trasparenza può aiutare
compagni meno competenti, e quindi
favorisce una costruzione sociale della
conoscenza.

Quarta fase
Situazioni problematiche
nell’ambiente della Matematochetta
Argomentare
Tradurre

La Matematochetta: Situazioni problematiche
Le situazioni problematiche che seguono
sono di tre tipi:
A. Riflessione su una tessera
B. Confronto fra due tessere
C. Analisi di un episodio
In linea di massima le situazioni sono esposte
in ordine crescente di difficoltà.

Quale punteggio del dado vorresti ottenere per
fare più passi?
Argomenta la risposta.
La discussione che segue è tratta da una
Trascrizione relativa ad una prima primaria.
A1 – Riflessione su una tessera (Tavarado, Trieste)

I: Vuoi descrivere la tessera, Aleksandar?
Aleksandar: La principessa aveva cinque
perline e la fatina le porta zero.
I: Non sappiamo che cosa porta la fatina
perché non c’è ancora il punteggio del
dado. Pensa: hai la pedina su questa
tessera… stai per lanciare e dici: “Mi
piacerebbe tanto che uscisse il numero…”
Ajnishan: Io vorrei che uscisse il 3.
I: Tu vorresti che uscisse il 3. Perché?
Ajnishan: Perché così diventano un pochino
di più perline. 


Julia: Io vorrei che uscisse il numero 6.
I: Il numero 6… ma ce l’abbiamo il 6?
Riccardo: No, il nostro dado è speciale.
Milos: Ha fino a 5!
Mathilde: Io vorrei che uscisse il 5, così puoi
fare 10 passi.
Sofia: Io vorrei come Mathilde.
I: C’è qualcuno che ha un’altra idea?
Saif: Io vorrei il 3, così facevo 8 passi.
I: Ed è meglio fare 8 passi o 10 passi?
Vari: 10! 

fare più passi?

I: Chissà, forse Saif preferisce farne 8. Saif, tu
cosa dici?
Saif: Tutte e due preferisco.
I: No, “preferisco” vuol dire “mi piace di
più”. Giocando, che cosa ti piace di più?
Saif: (dopo lungo silenzio e alcuni
scuotimenti del capo) 10.
I: 10 perché?
Saif: Perché potrò andare in avanti e fare 10
passi. E vinciamo.

fare più passi?

Alicya: Io vorrei che esce il zero.
I: Tu vorresti che uscisse lo zero.
Alicya: Io… Sì, che così la streghetta non
prende nessuna perlina.
Riccardo: Così puoi fare più passi avanti.
Alessio: È la migliore questa idea.
Vari: Anche per me.
I: Quindi in molti siete d’accordo con Alicya.
Qualcuno preferisce un altro numero?
Era: Vorrei che uscisse 4… viene anche 10.
I: Spiegaci bene.



Era: C’è la principessa che ha 6 perle…
I: E poi? Tu vuoi che esca il 4…
Era: … così arriva sul 10.
I: Facci vedere come arriva sul 10. Vai a
disegnare là, sulla LIM.
Era: (arrivata alla LIM) Ah… ma c’è la
strega… non posso mettere di più!

Sebastiano ha lanciato il dado e ha ottenuto un 3.
Su quale tessera preferiresti essere per fare più
passi?
Argomenta le risposte.
B1 – Confronto fra due tessere (Navarra, Castel S. Pietro 2012)

Saif: Eh… Fatina.
I: Fai un discorso completo, Saif?
Saif: Voglio la fatina perché puoi fare più
passi e poi puoi vincere e…
Sofia: È giusto, anche perché, se va dalla
streghetta, non si può fare 9 passi avanti.
I: Quindi sei d’accordo con Saif… Ripetimi
questa cosa della streghetta…
Sofia: La streghetta ne toglie 3 a va a 6 ed è
più 9 che 6.
I: Chi vuol rispondere a Sofia o a Saif?



Elettra: Per me non va bene perché c’è la
streghetta e… non… eh… (scuotendo la
testa).
Mathilde: Quello che stava dicendo Elettra
era il contrario di quello che ha detto Saif,
perché Saif ha detto: “Io vorrei la fatina… la
carta della fatina, perché così… va avanti
(sottolineando la parola con un gesto della
mano) e se prendi la streghetta te ne porta
via delle perline, allora la principessa ne ha
meno”.



I: Avete capito quello che ha detto
Mathilde? Intanto ci fa notare che
l’intervento di Elettra era diverso da quello
di Saif. Ma tu, Mathilde, con chi sei
d’accordo?
Mathilde: Con Saif e Sofia.
Maya: Anch’io sceglierei quella della fatina
perché puoi fare più passi avanti e invece in
quello (indicando la tessera della
streghetta) non puoi fare tanti passi avanti.



Alicya: Invece io preferisco la streghetta,
perché ti toglie 3 ma rimangono 6 che è di
più di quello che porta la fatina, allora
preferisco la streghetta.
I: Ah, che bel ragionamento… Calcoliamo
insieme ad Alicya: quanti passi facciamo
dalla tessera con la fatina se aggiungiamo il
punteggio del dado?
Saif: Fai 5, se fai 2 più 3.
Alicya: Invece 9 meno 3 è uguale a 6.



Si scrive sulla LIM:
2+3=5 9-3=6
Alessia: Io sono d’accordo con Alicya.
Nina: Sono d’accordo con Alicya perché 6
passi sono più di 5.
I: Questo mi sembra importante (scrive)
6>5
Sebastian: Sì, è di più il 5… cioè è meno di 6.
Maya: Non mi ero accorta che con la
streghetta si fanno più passi e allora adesso
sono d’accordo con Alicya.

Sebastiano ha lanciato il dado e ha
ottenuto un 3.
Su quale tessera preferireste essere per
fare più passi?
Argomentate le risposte.
B2 - Matematochetta: Situazione problematica 2m

C1 - Matematochetta: Situazione problematica 1
Cristina è partita
dalla tessera dove
ora c’è Michele e
ha fatto cinque
passi.
Nessuno ha fatto in
tempo a vedere il
punteggio del dado.
Si può ricostruire il punteggio del dado?

Quarta fase
Situazioni problematiche
nell’ambiente della Matematoca
Argomentare
Tradurre

Dopo il lancio del dado, su quale tessera
preferireste che fosse il vostro segnalino
per fare il numero maggiore?
Su quale preferireste non essere?
Argomentate le risposte.
d-1
d
d+d
La Matematoca: situazione problematica 1

La Matematoca: situazione problematica 2
Immaginate di lanciare il dado senza
mostrare il punteggio.
I vostri compagni vi vedono fare 5 passi.
Come si può rappresentare in linguaggio
matematico questa situazione in modo
che Brioshi capisca quello che è
successo?
Argomentate la risposta.
Aggiungi 2 al
punteggio del
dado e poi togli 1
d+2 -1=5

La Matematoca: situazione problematica 3A

La Matematoca: situazione problematica 3B

Conclusioni
La ricchezza della Matematochetta e della
Matematòca si manifesta a tre livelli:
• nella loro preparazione;
• nel corso del gioco;
• nei loro sviluppi successivi (situazioni
problematiche stimolanti per formulare
congetture).

I giochi in sé sono in fondo, di tutta
l’attività, la parte meno significativa.
Sono i momenti di coagulo e di verifica
delle esperienze sviluppate in
precedenza, ma sono soprattutto il
volano per espansioni costruite attorno a
situazioni problematiche che favoriscano,
attraverso la riflessione collettiva, un
approccio significativo a competenze
matematiche destinate a fondamentali
sviluppi negli anni successivi.
Conclusioni

Matematochetta lugo 20150617_06_def_parte-2

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