Obchislennya mas-nebesnih-tl-za-tretm-yzagalnenim-zakonom-keplera

1. ОБЧИСЛЕННЯ МАС НЕБЕСНИХ ТІЛ
ЗА ТРЕТІМ УЗАГАЛЬНЕНИМ ЗАКОНОМ КЕПЛЕРА
Перед тим, як розглянути такий спосіб визначення мас небесних тіл, перевіримо
виконання третього закону Кеплера для випадку колового руху планети зі швидкістю vк.
1
Нехай тіло масою m рухається з лінійною швидкістю vк
навколо тіла М (m<М) по колу радіуса rк. Це можливо, якщо
рух відбувається під дією сили, яка створює стрімке
прискорення . Сила, яка створює прискорення,
є сила тяжіння, що дорівнює: .
Дорівнюючи до прискорення , створеного
тяжінням, отримуємо:
2
ê
ê
v
r
a 
2
ê
GM m
r2
ê
ê
v
r
2
ê
GM
r
ê
2
ê
GM
r
v 
Якщо період обертання тіла m навколо тіла М складає час Т, то лінійна швидкість цього тіла
по орбіті дорівнює:
ê
ê
2 r
T
v


Підставляючи у , отримуємо , абоê
ê
2 r
T
v


ê
2
ê
GM
r
v  ê
ê
2
2
r GM
T r
 
  
 
2
ê
2 2
4
GMr
T 


2. 2
Для еліптичного руху формула також є справедливою, якщо замість радіуса
кола rк підставити велику піввісь α еліптичної орбіти. У такому випадку отримаємо
співвідношення:
2
ê
2 2
4
GMr
T 

3
2 2
4
Ga
T M 

яке можна сформулювати таким чином: відношення куба великої півосі орбіти тіла до
квадрата періоду його обертання й маси центрального тіла є величиною незмінною.
Якщо масою m меншого тіла не можна нехтувати у порівнянні з масою М
центрального тіла, то в третій закон Кеплера, як показав Ньютон, замість маси М
увійде сума мас та співвідношення буде записано у вигляді:
3
2 2
4
Ga
T M 

 
3
2 2
4
Ga
T M m 

Узагальнимо формулу для двох небесних тіл масами М1 і М2,
отримаємо уточнений третій закон Кеплера:
 
3
2 2
4
Ga
T M m 

 
 
2 3
1 1 1 1
2 3
2 2 2 2
T M m
T M m
a
a




3. 3
Тобто квадрати сидеричних періодів супутників ( і ), помножені на суму мас
головного тіла й супутника ( і ), відносяться як куби великих півосей
орбіт супутників ( і ).
На основі уточненого Ньютоном третього закону Кеплера можна обчислити маси планет,
що мають супутники, а також обчислити масу Сонця.
2
1T 2
2T
1 1M m 2 2M m
3
1a
3
2a
3
2a