14. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 13
1. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ. ɉɪɢɝɚɞɚɣɦɨ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɡɜɢ-
ɱɚɣɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ: ɹɤɳɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ
ɧɚ ɬɟ ɫɚɦɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɚɧɨɦɭ. Ɉɬ-
ɠɟ, ɹɤɳɨ a, b ɿ k — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ a ak
b bk
= ɿ .ak a
bk b
=
Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɪɨɛɿɜ. Ⱥ ɫɚɦɟ:
Ⱦɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0, ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ
;
a ak
b bk
= .
ak a
bk b
=
Ⱦɚɧɿ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ ɿ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ,
ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɬɚɤ:
əɤɳɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ
ɜɢɪɚɡ, ɧɟ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ
ɞɚɧɨɦɭ.
2. ɋɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ak a
bk b
= ɞɪɿɛ ak
bk
ɦɨɠ-
ɧɚ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɞɪɨɛɨɦ ,a
b
ɬɨɛɬɨ ɞɪɿɛ ak
bk
ɦɨɠɧɚ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠ-
ɧɢɤ k ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
4 2 2 2 ;
2 2
n n n n
mn m n m
⋅= =
⋅
2 2
2
( )( )
.
( )
a b a ba b a b
a a b aa ab
+ −− +
= =
−−
Ɋɿɜɧɨɫɬɿ
2
4 2
2
n n
mn m
= ɿ
2 2
2
a b a b
aa ab
− +
=
−
ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɢ ɽ ɩɪɚ-
ɜɢɥɶɧɢɦɢ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ (ɩɟɪɲɚ — ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ m
ɿ n, ɞɟ m ≠ 0, n ≠ 0; ɞɪɭɝɚ — ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɿ b, ɞɟ ɚ ≠ 0, a ≠ b).
ɓɨɛ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ;
2) ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɫɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ.
15. 14 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
3. Ɂɜɟɞɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ
a ak
b bk
= ɞɪɿɛ a
b
ɦɨɠɧɚ ɡɜɨɞɢɬɢ ɞɨ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
3 3 2 6
2 2
x x x x
y y x xy
⋅= =
⋅
— ɡɜɟɥɢ ɞɪɿɛ 3x
y
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 2ɯɭ.
Ȼɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɹɤ ɿ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɦɨɠɧɚ ɡɜɟɫ-
ɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 2
3
y
x
ɬɚ 4 .
y
Ɣ ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɚɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ʀɯɧɿɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ,
ɬɨɛɬɨ 3ɯ2
ɭ. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ ɭ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ —
3ɯ2
. Ɍɨɞɿ:
2
2 2 2
;
3 3 3
y y y y
x x y x y
⋅
= =
⋅
2 2
2 2
4 4 3 12 .
3 3
x x
y y x x y
⋅= =
⋅
Ɣ
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 3
5
8a b
ɿ 2 2
7 .
12a c
Ɣ Ɂɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɨɛɨɯ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚɦɢ, ɬɨɦɭ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɲɭɤɚɬɢɦɟɦɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ ɹɤɨɦɨɝɚ ɦɟɧɲɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. Ɂɚ ɤɨ-
ɟɮɿɰɿɽɧɬ ɰɶɨɝɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ ɜɿɡɶɦɟɦɨ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɫɩɿɥɶɧɟ ɤɪɚɬɧɟ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ ɞɚɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨɛɬɨ 24, ɚ ɤɨɠɧɭ ɡɦɿɧɧɭ ɜɿɡɶɦɟɦɨ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɚ ɜɯɨɞɢɬɶ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɜɿɡɶɦɟɦɨ a3
, b ɿ
c2
. Ɍɨɞɿ ɫɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɛɭɞɟ 24a3
bc2
. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ 3ɫ2
, ɛɨ 24a3
bc2
= 8a3
b ⋅ 3c2
; ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — 2ab, ɛɨ 24a3
bc2
=
= 12a2
c2
⋅ 2ab. Ɇɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
3 3 2 3 2
5 5 3 15 ;
8 24 24
c c
a b a bc a bc
⋅= = 2 2 3 2 3 2
7 7 2 14 .
12 24 24
ab ab
a c a bc a bc
⋅= = Ɣ
ɓɨɛ ɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɩɪɨɫɬɿɲɨɝɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ, ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ
ɹɤɢɯ ɽ ɨɞɧɨɱɥɟɧɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɧɚɣɬɢ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɫɩɿɥɶɧɟ ɤɪɚɬɧɟ (ɇɋɄ) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;
2) ɭɬɜɨɪɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɇɋɄ ɿ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡɦɿɧ-
ɧɢɯ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɢ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;
17. 16 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɡɧɚɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɛɭɞɶ-
ɹɤɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ:
,a a
b b
− =− .a a
b b
=−
−
əɤɳɨ ɡɦɿɧɢɬɢ ɡɧɚɤ ɭ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ ɿ ɡɧɚɤ ɩɟɪɟɞ ɞɪɨ-
ɛɨɦ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɞɚɧɨɦɭ.
Ⱦɨɜɟɞɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɿɜ. ɉɨɤɚɠɟɦɨ, ɳɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ a ak
b bk
= ɽ ɬɨɬɨɠ-
ɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɳɨ ɜɨɧɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0.
ɇɟɯɚɣ .a m
b
= Ɂɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɤɢ ɦɚɽɦɨ: ɚ = bm. ɉɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢ-
ɧɢ ɨɞɟɪɠɚɧɨʀ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɧɚ k, ɦɚɬɢɦɟɦɨ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɚk = (bm)k ɚɛɨ ɚk = (bk)m.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0, ɬɨ bk ≠ 0. ɍ ɬɚɤɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɡ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɚk = (bk)m ɡɧɨɜɭ ɠ ɬɚɤɢ
ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɤɢ ɦɚɽɦɨ: .akm
bk
= Ɉɬɠɟ, .a akm
b bk
= =
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɞɿɥɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɣ
ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ:
ɚ) 12 ;
8
a
ab
ɛ)
3
2 2
18
.
6
xy
x y
−
−
Ɣ ɚ) 12
8
a
ab
= 4 3
4 2
a
a b
⋅
⋅
= 3 .
2b
ɛ)
3
2 2
18
6
xy
x y
−
−
=
2
2
6 3
6
xy y
xy x
− ⋅
− ⋅
=
3
.
y
x
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɋɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ:
ɚ) 2 2
10 5 ;
4
b a
a b
−
−
ɛ)
2 2
3 3
.
x xy y
x y
+ +
−
Ɣ ɚ) 2 2
10 5
4
b a
a b
−
−
=
5( 2 )
( 2 )( 2 )
a b
a b a b
− −
− +
= 5
2a b
−
+
= 5 .
2a b
−
+
18. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 17
ɛ)
2 2
3 3
x xy y
x y
+ +
−
=
2 2
2 2
( )( )
x xy y
x y x xy y
+ +
− + +
= 1 .
x y−
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɪɿɛ 3
7
a
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 42ɚ2
b.
Ɣ Ɉɫɤɿɥɶɤɢ 42ɚ2
b = 7b ⋅ 6ɚ2
, ɬɨ, ɩɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɚ-
ɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ 6ɚ2
, ɦɚɬɢɦɟɦɨ: 3
7
a
b
=
2
2
3 6
7 6
a a
b a
⋅
⋅
=
3
2
18 .
42
a
a b
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 2 2
3
m n−
ɿ 9 .
n m−
• 2 2
3 3 ;
( )( )m n m nm n
=
− +−
9 9 .
n m m n
= −
− −
ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ
ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ (m – n)(m + n). Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ
1, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — m + n. Ɍɨɦɭ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɡɚɥɢɲɚɽɦɨ ɛɟɡ ɡɦɿɧɢ, ɚ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨ-
ɝɨ ɞɪɨɛɭ ɦɚɬɢɦɟɦɨ: 2 2
9( ) 9( )9 .
( )( )
m n m n
n m m n m n m n
+ +
= − = −
− − + −
•
32. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 5 ;
15
x
y
ɛ) ;
4
ab
b
ɜ)
( 2)
;
( 2)
m n
n n
−
−
ɝ)
2
3
18 .a
a
33. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 11
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ b2
; ɛ) 3
2
x
y
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 4ɯɭ.
34. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) a
b
ɿ
3
b ; ɛ) 1
mn
ɿ 2
1
n
.
35. Ɂɦɿɧɿɬɶ ɡɧɚɤ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2
( )x y− −
; ɛ) 2
x y−
.
19. 18 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
36. ȼɢɞɿɥɿɬɶ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɣ
ɫɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 3 ;
5
x
x
ɛ) 4 ;
6
a
a
ɜ) 9 ;
6
ab
b
ɝ)
2
2
10
.
15
x y
xy
−
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
37. ɚ)
2 2
2 3
28
;
35
x y
x y
ɛ)
2 2
24 ;
36
b c
bc
ɜ)
2
2 2
15 ;
40
mn
m n
− ɝ)
2 4
4 3
8 .
12
k m
k m−
38. ɚ)
2 2
3
18 ;
12
c n
n
ɛ)
2
36
;
28
xy
xy
ɜ)
2
2 3
40 ;
24
ab
a b−
ɝ)
3
3
14 .
42
ac
bc
−
−
39. ɚ)
( )
;
a m n
m n
−
−
ɛ)
( )
;
3 ( )
b c d
b c d
+
+
ɜ) 5 ;
15 20
k
k +
ɝ)
2
.m mn
mn
−
40. ɚ)
( )
;
( )
ab a b
c a b
+
+
ɛ)
( 2 )
;
( )
m x y
m x y
−
−
ɜ) 3 9 ;
3
x
x
−
−
ɝ)
7
.
5
xy
xy y−
41. ɉɨɞɚɣɬɟ ɱɚɫɬɤɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɣ ɫɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 10ɚ2
b2
: (5ɚ3
b); ɛ) 24m2
n : (–6mn); ɜ) (–28ab3
) : (–21b4
).
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
42. ɚ)
3
2 2
20
4
a b
a b
, ɹɤɳɨ ɚ = 48; b = 16; ɚ = –4,2; b = 2,1.
ɛ) 15ɯ2
ɭ3
: (30ɯɭ2
), ɹɤɳɨ ɯ = 300; ɭ = 0,06.
43. ɚ)
3
2 2
18
2
bc
b c
, ɹɤɳɨ b = 3; c = 4,5; b = –1,4, c = 2,8;
ɛ) 64m2
n4
: (16mn2
), ɹɤɳɨ m = 0,25; n = 25.
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
44. ɚ) 6 3 ;
8 4
a b
a b
−
−
ɛ)
2
2
12 16 ;
3 4
a a
a a
−
−
ɜ)
2
2
;
xy x y
xy xy
+
−
ɝ)
2 2
;a b
a b
−
−
ɞ)
2
9 ;
7 21
a
a
−
+
ɟ) 2
10 20 ;
7 28
x
x
−
−
ɽ) 2
4 8
;
4 4
y
y y
−
− +
ɠ)
2
2
6 9.
9
x x
x
+ +
−
20. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 19
45. ɚ)
9 6
;
15 10
x y
x y
−
−
ɛ)
2
2
2 ;
2
c c
c c
+
−
ɜ) 2
10 10
;
x y
xy y
−
−
ɝ)
2
2
;ab a
ab b
+
+
ɞ)
2 2
;m n
n m
−
+
ɟ) 2 2
5 5
;
x y
x y
+
−
ɽ)
2
2 1;
3 3
m m
m
+ +
+
ɠ)
2
2
25 .
10 25
a
a a
−
− +
46. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
4
k
p
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 12p; 16p2
; ɛ) 2
5
2a
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 4ɚ4
; 10ɚ2
b.
47. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ 4
3xy
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 15xy; 3xy2
; 9ɯ3
y.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
48. ɚ) x
y
ɿ 2 ;
x
ɛ) m
ab
ɿ 4 ;
b
ɜ) 2
d
a
ɿ 3
1 ;
a
ɝ) 3
2c
ɿ 2
9 ;
c
ɞ) 1
3c
ɿ 2 ;
5c
ɟ) 3
8a
ɿ 1 ;
12a
ɽ) 2
18
x
a
ɿ 4
;
27
y
a
ɠ) 5
6ab
ɿ 5 ;
4b
ɡ) 2
3
p
a
ɿ .
6
q
ab
49. ɚ) 3
2a
ɿ 2 ;
b
ɛ) 7
8a
ɿ 5 ;
a
ɜ)
2
k
b
ɿ ;
3
n
b
ɝ) 8
15ab
ɿ 7 ;
20ab
ɞ) 2
5
6a
ɿ 7 ;
18a
ɟ) 3
3
4y
ɿ 2
7 .
20y
50. ɚ) 5
1a +
ɿ 4 ;
2a +
ɛ) 3
2( 1)a −
ɿ 2 ;
3( 1)a −
ɜ) 1
ab b+
ɿ 1 .
1a +
51. ɚ) 1
3c +
ɿ 2 ;
1c −
ɛ) 3
8( 2)b +
ɿ 1 ;
4( 2)b +
ɜ) 8
xy x−
ɿ 7 .
1y −
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
52. ɚ)
2
2 2
6 9 ;
4 9
ab b
a b
−
−
ɛ)
2 2
2 2
4 25 ;
4 20 25
c x
c cx x
−
+ +
ɜ)
3 3
2 2
2 8
;
2
x y xy
xy x y
−
−
21. 20 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɝ)
3
8;
2
x
x
+
+
ɞ)
2
3
3 9 ;
27
z z
z
+ +
−
ɟ)
6
2
1
;
1
y
y
−
−
ɽ) ;
ax cx ay cy
cx cy
+ − −
−
ɠ)
2 2
2
2 ;b ab a
a ab ax bx
+ +
+ − −
ɡ) 2
8 4 .
2 2
a b
ab b ad bd
+
+ − −
53. ɚ) 2 2
14 63 ;
4 81
b c
b c
−
−
ɛ) 2
3 12 ;
8 16
kn n
k k
−
− +
ɜ)
2
2 3
6 2 ;
9
mn m
mn m
+
−
ɝ) 3
15 5 ;
27
c
c
−
−
ɞ)
2 2
2
;
x y
xy x y y
−
− + −
ɟ)
2
2
.a ac bc ab
a b abc
+ + +
+
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
54. ɚ)
2
2
3 9
9
a a
a
+
−
, ɹɤɳɨ ɚ = 4; ɚ = 1
3
− ;
ɛ)
2 2
2
( )
m n m n
m n
− − +
−
, ɹɤɳɨ m = 9,51; n = –0,49.
55. ɚ)
2
4
5 10
x
x
−
+
, ɹɤɳɨ ɯ = –1; ɯ = 2
9
; ɛ)
2
2 2
( )
,
a b
a b ab
+
+
ɹɤɳɨ a = 2,5; b = 4.
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
56. ɚ)
2 2
2 2
12 36 6 ;
636
a ab b a b
a ba b
+ + +=
−−
ɛ)
4
2
2
8 2 4.
2
m m m m
m m
− = + +
−
57. ɚ)
2 2
2 2
2
;
4( )4 4
x xy y x y
x yx y
− + −
=
+−
ɛ)
3
2
8 1 2 1.
4 2 1
x x
x x
+ = +
− +
58. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 7
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
+ ɯɭ; ɛ) 2
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
+ 2ɯɭ + ɭ2
;
ɜ) c
a b−
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɚ2
– b2
; ɝ) n
m n−
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ m3
– n3
.
59. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 2a
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
– ɭ2
; ɛ) 1
a c+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɚ3
+ ɫ3
.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
60. ɚ) 3
9
14a b
ɿ 2
5 ;
21ab
ɛ) 3 3
1
18x y
ɿ 4
1 ;
27xy
ɜ) 2
9
a
m n
ɿ 5 3
.
15
b
m n
22. 2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 21
61. ɚ) 3 3
8
9x y
ɿ 5
5 ;
24xy
ɛ) 3 2
16
a
m n
ɿ 4
;
24
b
m n
ɜ) 4 2
15
c
x y
ɿ 2
2 .
25x y
62. ɚ) 2
3
x xy+
ɿ 2
2 ;
xy y+
ɛ) 2 2
x
x y−
ɿ ;
y
x y+
ɜ) 2 2
2
m
m mn n+ +
ɿ ;n
m n+
ɝ) 2
4 1
c
c −
ɿ
2
;
1 2
c
c−
ɞ) 3
1
1 x−
ɿ 2 ;
1x −
ɟ) 3
8
y
y −
ɿ 2
2 .
2 4y y+ +
63. ɚ) 2 2
x
x x y+
ɿ 2
;
y
y y+
ɛ) 2
4 4
m
m m− +
ɿ 3 ;
2 m−
ɜ) 2 2
4
a
a b−
ɿ .
2
b
b a−
64. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ, ɞɟ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ:
ɚ)
2
13824 ;
15552
n
n
x
x
+
ɛ) 2
2045 ;
1755
n
n
x
x
ɜ)
2 2
2 2
3 2
;
2
x xy y
x xy y
+ +
− −
ɝ)
3 2
2
2 2
.
2
y y y
y y
+ − −
+ −
65. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɡɚɞɚɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
ɚ)
2
1;
1
xy
x
−=
−
ɛ) .
x
y
x
=
66. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
ɚ)
2
2 2
3 5 15 10 25 ;
3 3 5 5
ab a b a a
ab a b b a ab a b
+ + + + +=
+ + + + + +
ɛ)
2 3 2 3 3 2 3 2
.
2 3 4 6 3 2 6 4
xy y x xy y x
xz z x xz z x
+ + + + + +
=
+ + + + + +
67. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
ɚ) 4 2 ;
9 9
+ ɛ) 5 2;
7 7
− ɜ) 1 53 2 ;
6 6
+ ɝ) 1 54 1 .
8 8
−
24. 3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 23
2. ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ. ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ
ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ
.
a c a c
b b b
−
− = (2)
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (2) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
ɓɨɛ ɜɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɿɞ ɱɢɫɟ-
ɥɶɧɢɤɚ ɡɦɟɧɲɭɜɚɧɨɝɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɤɚ, ɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɡɚɥɢɲɢɬɢ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ.
3. Ɂɚɩɢɫ ɞɪɨɛɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɪɨɛɿɜ. ɍ ɤɨɠɧɿɣ ɡ ɬɨɬɨɠɧɨ-
ɫɬɟɣ (1) ɿ (2) ɩɟɪɟɫɬɚɜɢɦɨ ɦɿɫɰɹɦɢ ɥɿɜɭ ɿ ɩɪɚɜɭ ɱɚɫɬɢɧɢ:
;a c a c
b b b
+ = + .a c a c
b b b
− = −
Ɉɞɟɪɠɚɧɿ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ, ɹɤɳɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɢ
ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɪɨɛɿɜ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ⱦɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) 7 5 ;
a a
+ ɛ) 2 1 1 3 ;a b
ab ab ab
+ −+ + ɜ)
5 2
.
2 2
x y x y
x y x y
− −
+
− −
Ɣ ɚ) 7 5
a a
+ = 7 5
a
+ = 12.
a
ɛ) 2 1 1 3a b
ab ab ab
+ −+ + = 2 1 1 3a b
ab
+ + − + = 2 3.a b
ab
+ +
ɜ)
5 2
2 2
x y x y
x y x y
− −
+
− −
=
5 2
2
x y x y
x y
− + −
−
=
6 3
2
x y
x y
−
−
=
3(2 )
2
x y
x y
−
−
= 3. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ȼɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) 2 2
4 2 3 ;
2 3 2 3
n n
n n n n
+−
− −
ɛ) 2 3 .a a
x y y x
−
− −
Ɣ ɚ) 2 2
4 2 3
2 3 2 3
n n
n n n n
+−
− −
= 2
4 (2 3)
2 3
n n
n n
− +
−
= 2 3
(2 3)
n
n n
−
−
= 1 .
n
25. 24 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɛ) Ɂɦɿɧɢɜɲɢ ɡɧɚɤ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 3a a
x y y x
−
− −
= 2 3
( )
a a
x y x y
−
− − −
= 2 3a a
x y x y
+
− −
= 2 3a a
x y
+
−
= 5 .a
x y−
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɚɩɢɫɚɬɢ ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 3 5;a
a
+ ɛ) 2 2 1;a b
a b
+ +
+
ɜ) 3 1.
1
n
n
+
+
Ɣ ɚ) 3 5 3 5 53 .a a
a a a a
+ = + = +
ɛ)
2( )2 2 1 1 12 .
a ba b
a b a b a b a b
++ + = + = +
+ + + +
ɜ)
3( 1) 2 3( 1)3 1 3 3 2 2 23 .
1 1 1 1 1 1
n nn n
n n n n n n
+ − ++ + −= = = − = −
+ + + + + +
Ɣ
72. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) ;
4 4
a b+ ɛ) 9 3 ;
11 11
b b+ ɜ) 3 ;a a
x x
+ ɝ) .x a a
d d
+ +
73. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɪɿɡɧɢɰɸ ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) ;
7 7
yx − ɛ) 8 3 ;
9 9
n n− ɜ) ;
a y y
x x
+
− ɝ)
2
.
x y x
c c
+
−
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
74. ɚ) 2 3 ;b b
a a
+ ɛ) 5 3 7 1;
3 1 3 1
n n
n n
+ −+
+ +
ɜ) 2 3 4 3 ;a a
xy xy xy
− + +
ɝ) 6 3 ;
5 5
a a
p p
− ɞ) 3 3 ;
9 9
a a
a a
+ −− ɟ) 9 2.
7 7
b
b b
+−
− −
75. ɚ) 3 5 2 7 ;
5 5
n n
n n
+ −+ ɛ) 2 1 1 2 ;
1 1
x x
x x
+ −+
− −
ɜ) 2 2 ;
2 2 2
n n n
m m m
+ −+ +
ɝ) 3 ;c c
b b
+ − ɞ) 7 3 3 2 ;
4 1 4 1
b b
b b
− −−
− −
ɟ) 4 1 4 5 .
2 2 2
a a
a a a
− ++ −
26. 3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 25
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
76. ɚ) 7 2 5 2 ;
4 1 4 1
x x
x x
− ++
+ +
ɛ) 3 3 ;a b a b
a b a b
− −−
+ +
ɜ) 3 5 1;
3 1 3 1
a a
a a
− ++
− −
ɝ)
6 12 ;
2 2
p
p p
−
− −
ɞ) 5 5 ;a b
a b b a
+ ++
− −
ɟ) 4 3 4 .
2 2
x x
x y y x
+ −−
− −
77. ɚ) 6 1 4 ;
1 1
m m
m m
− +−
− −
ɛ)
3 7 5
;
x y x y
x y x y
+ +
+
+ +
ɜ) 8 8 ;m n
m n n m
+
− −
ɝ) 9 9.
3 3
c c
c c
− +−
− −
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
78. ɚ) 3 3 1
4 4
b b
b b
− −+ , ɹɤɳɨ b = –3; ɛ)
2 2
7 1 1
3 3
a a
a a
− −− , ɹɤɳɨ ɚ = 0,28.
79. ɚ) 2 2
3 3a a
a a
− ++ , ɹɤɳɨ ɚ = 5; ɛ) 4 5 2 1
2 2
c c
c c
+ −− , ɹɤɳɨ ɫ = 0,4.
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
80. ɚ)
2
2 1 ;
1 1
c c
c c
− −
− −
ɛ)
5 3
;
1 1
a a
a a
−
− −
ɜ)
2
2 2
9 6 ;
9 9
b b
b b
+ +
− −
ɝ)
4 2 3
2 4 2 4
12 4 ;
3 3
a a b
a b b a b b
−
− −
ɞ)
2
4 5 1 2 ;
2 1 2 1 2 1
x x x
x x x
− −+ −
+ + +
ɟ) 2 2 2 2 2 2
2 3
.
xy x xy y y
x y x y x y
− −
− −
− − −
81. ɚ)
2 2
5 14 10
;
2 2
y y
y y
− −
−
− −
ɛ)
2 2
3 3
2
;
( ) ( )
x y xy
x y x y
+
−
− −
ɜ)
2
3 3
1 ;
1 1
a a
a a
+ +
− −
ɝ)
2 4
2 2
18 2 ;
3 3
a b
a b a b
−
− −
ɞ)
2 2
21 3 ;
3 3 3
n n
n n n
−− +
− − −
ɟ) 2 2 2
8 2 3 .
(5 ) (5 ) (5 )
a b a b a b
a b a b a b
− − +− −
+ + +
27. 26 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
82. ɚ)
2 2
( ) ( )
4;
a b a b
ab ab
+ −
− = ɛ)
3 2
2 2 2
4 4 .
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x
x x x
− + =
− − −
83. ɚ)
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
2;
m n m n
m n m n
+ −
+ =
+ +
ɛ)
2
2 2 2 2
4 2 2 .
24 4
a ab a
a ba b a b
− =
+− −
ɉɨɞɚɣɬɟ ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɿ ɞɪɨɛɭ:
84. ɚ) 3 8 ;
2
x
x
+ ɛ) 5 5 2 ;m n
m n
− +
−
ɜ)
4 5
;
2
y
y
+
+
ɝ)
2
.
x y
x y
−
+
85. ɚ) 14 5;
7
b + ɛ) 3 3 ;b c a
b c
+ −
+
ɜ) 6 1;
2 1
c
c
+
+
ɝ)
4 3
.
x y
x y
−
−
86. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ)
2 4
2 2
1 ;
1 1
x x
x x x x
+ +
+ + + +
ɛ)
4 4 2 2
3 3 3 3
.a x a x
a x a x
+ +
+ +
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɚ) Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɯ4
+ ɯ2
+ 1 ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɡɚɩɢɫɚɜɲɢ
ɣɨɝɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ (ɯ4
+ 2ɯ2
+ 1) – ɯ2
.
87. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
ɚ) 5 3;
6 8
+ ɛ) 3 4 ;
14 21
− ɜ) 2 5 7 ;
9 6 12
− + ɝ) 1 2 57 4 .
3 11 6
⋅ −
88. ɉɨɞɚɣɬɟ ɨɞɧɨɱɥɟɧ 24ɚ7
b8
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɨɞɧɨɱɥɟɧɿɜ, ɨɞɧɢɦ ɡ
ɹɤɢɯ ɽ:
ɚ) 6ɚ4
b7
; ɛ) 4ɚ2
b5
; ɜ) 24ɚ7
b; ɝ) 8ɚb7
.
89. Ɂ Ʉɢɽɜɚ ɿ ɑɟɪɤɚɫ, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 190 ɤɦ, ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɧɚɡɭ-
ɫɬɪɿɱ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ ɜɢʀɯɚɥɢ ɚɜɬɨɛɭɫ ɬɚ ɥɟɝɤɨɜɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɿ ɡɭɫɬɪɿɥɢɫɹ
ɱɟɪɟɡ 1 ɝɨɞ 15 ɯɜ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɜ 11
9
ɪɚɡɭ
ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɚɜɬɨɛɭɫɚ.
28. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 27
90. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɧɨɪɦ ɚɝɪɨɬɟɯɧɿɤɢ ɡɟɪɧɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɫɢɩɚɬɢ ɧɚ ɬɪɢɜɚɥɟ
ɡɛɟɪɿɝɚɧɧɹ ɡɚ ɜɨɥɨɝɨɫɬɿ 14% (ɤɨɧɞɢɰɿɣɧɢɣ ɫɬɚɧ). Ɂɿɛɪɚɧɟ ɡɟɪɧɨ, ɦɚɫɚ
ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 43 ɬ, ɦɚɽ ɜɨɥɨɝɿɫɬɶ 24%. ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ
ɦɚɫɚ ɰɶɨɝɨ ɡɟɪɧɚ ɩɪɢ ɞɨɜɟɞɟɧɧɿ ɣɨɝɨ ɞɨ ɤɨɧɞɢɰɿɣɧɨɝɨ ɫɬɚɧɭ?
91. ɇɚ ɤɥɿɬɱɚɫɬɨɦɭ ɩɚɩɟɪɿ ɫɢɞɹɬɶ 100 ɩɚɜɭɤɿɜ, ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɭ ɤɥɿɬɢɧɰɿ. ɉɚɜɭɤɢ
ɜɨɪɨɝɭɸɬɶ, ɹɤɳɨ ɤɥɿɬɢɧɤɢ, ɭ ɹɤɢɯ ɜɨɧɢ ɫɢɞɹɬɶ, ɦɚɸɬɶ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɭ
ɫɩɿɥɶɧɭ ɜɟɪɲɢɧɭ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ ɧɢɯ ɡɚɜɠɞɢ ɦɨɠɧɚ ɜɢɛɪɚɬɢ ɧɟ
ɦɟɧɲɟ ɧɿɠ 25 ɩɚɜɭɤɿɜ, ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɜɚ ɡ ɹɤɢɯ ɧɟ ɜɨɪɨɝɭɸɬɶ.
ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿ-
ɛɧɨ ɡɜɟɫɬɢ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɿ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɿ
ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɞɨɞɚɸɬɶ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ɇɟɯɚɣ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ ,c
d
ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ. Ɂɜɟ-
ɞɟɦɨ ɰɿ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ bd. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɦɨ ɧɚ d, ɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɞɪɨɛɭ — ɧɚ b. Ɉɞɟɪɠɢɦɨ:
;=a ad
b bd
.c bc
d bd
=
Ɂɧɚɸɱɢ, ɹɤ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
.++ = + =a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
Ɉɬɠɟ,
.a c ad bc
b d bd
++ =
ȼɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɨ, ɚ ɫɚɦɟ:
.a c ad bc
b d bd
−− =
29. 28 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɜɟɫɬɢ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ;
2) ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) 5 4 ;b c
ac b
+ ɛ) 2 2 3
4 7 ;
9 12x y xy
+ ɜ) 2 2
2 2 .
xy y x xy
−
− −
• ɚ) ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ʀɯɧɿɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ. Ɍɨɦɭ
ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ — b, ɚ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — ɚɫ.
5b
ac
4c
b
+
b ac
=
2 2
5 4 .b ac
abc
+
ɛ) ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ 36ɯ2
ɭ3
. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ 4ɭ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — 3ɯ.
4 7+
4y 3x
9x y 12xy32 2
= 2 3
16 21
.
36
y x
x y
+
ɜ) Ɋɨɡɤɥɚɜɲɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɞɪɨɛɿɜ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
2 2
xy y x xy
−
− −
=
2
y x y( )
2
x( )x y
x y
=
2 2
( )
x y
xy x y
−
−
=
2( )
( )
x y
xy x y
−
−
= 2 .
xy
•
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɉɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ
2
23 .
1
mm
m
+− +
−
• ȼɢɪɚɡ ɬ – 3 ɡɚɩɢɲɟɦɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ 3.
1
m − Ɍɨɞɿ:
2
23
1
mm
m
+− +
−
= m 3
1
2 +
1
m
m
1 m
+
2
=
2
( 3)(1 ) 2
1
m m m
m
− − + +
−
=
=
2 2
3 3 2
1
m m m m
m
− − + + +
−
= 4 1.
1
m
m
−
−
•
30. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 29
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
2
1 .
( )
a b b
a b a a a b
+ − =
+ +
• ɉɟɪɟɬɜɨɪɢɦɨ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
1a b
a b a
+ −
+
= a
ba+
b
a
1
1
a a b( + )a a b+
+ =
2
( ) ( )
( )
a b a b a a b
a a b
+ + − +
+
=
=
2 2 2
( )
a ab b a ab
a a b
+ + − −
+
=
2
.
( )+
b
a a b
ɒɥɹɯɨɦ ɬɨɬɨɠɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɩɪɚɜɨʀ
ɱɚɫɬɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɰɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ. •
ɉɪɢɦɿɬɤɚ. ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɟɣ ɨɞɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ
ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɡɜɨɞɹɬɶ ɞɨ ɿɧɲɨʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɚɛɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɡɜɨɞɹɬɶ ɞɨ ɬɨɝɨ
ɫɚɦɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ, ɚɛɨ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɪɿɡɧɢɰɸ ɥɿɜɨʀ ɬɚ ɩɪɚɜɨʀ ɱɚɫɬɢɧ ɿ ɞɨɜɨɞɹɬɶ,
ɳɨ ɜɨɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
92. ɚ) ;a m
c n
− ɛ) ;
3 12
a b+ ɜ) 5 3 ;
4 5
a b
x x
−
ɝ) 7 ;
9 6
c c
y y
− ɞ) 5 7 ;
12 18
b b
x x
+ ɟ) 4 6 .
15 25
b a
a b
−
93. ɚ) ;
6 18
c ad+ ɛ) 3 2 ;
5 3
k k
a a
+ ɜ) 5 .
24 36
n n
x x
−
94. ɚ) 2 3 ;
4
a
a
+ − ɛ)
10 37 3 ;
yx
x y
−+ + ɜ) 2 2 ;a b a b
b a
+ −−
ɝ) 2 2 ;
1 1z z
+
− +
ɞ) ;a a
a c c
−
+
ɟ)
1 2
.
2 1
y y
y y
− +
−
− +
95. ɚ) 2 1 1;
3
m
m
− + ɛ) 4 2 3 2 ;a b
a b
− ++ ɜ)
2 2
;
x y y x
x y
− −
−
ɝ) 2 1 ;
2k k
+
+
ɞ) 2 3 ;
2 1 3 2
a a
a a
−
+ +
ɟ) 1 .
1
x x
x x
+ −
−
31. 30 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
96. ɚ) 22 ;
2 1n
+
−
ɛ)
3 2
3 ;
x y
x
−
− ɜ)
2
.
2
y
y
y
−
−
97. ɚ)
5 2
2;
1
y
y
−
+
+
ɛ) 21 ;
2 3
x
x
−
+
ɜ)
2
2 3 3 .
1
c c
c
+ −
−
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
98. ɚ) 4 1 5 6 ;
8 12
x x
x x
− −+ ɛ) 6 18;
6 18
a a
a a
− +− ɜ) 5 4 ;
2( ) 3( )
a a
a b a b
−
+ +
ɝ)
2
2 2 ;a b a b
a ab
+ −+ ɞ) 2
1 5;c
c c
−− ɟ) 2 2
;m n m n
m n mn
+ −+
ɽ) 2
1 2 3;
3 6
y x
xy x
− ++ ɠ)
77 ;
( )
y
x x x y
−
+
ɡ) 3 3 .
( )
a
a b b a b
+
+ +
99. ɚ) 3 1 2 1;
6 4
b b
b b
− −− ɛ) 4 4 ;
5( ) 3( )
b c b c
b c b c
+ −+
− −
ɜ)
3 1;
3 3
x y x
xy x
+ −+
ɝ) 2
2 1 ;a
aa
+ − ɞ) 2
2 ;
2
a b a
abab
+ −+ ɟ) 2 1 2 .
( 1) 1
m
m m m
+ −
− −
100. ɚ) 3 3 ;
2 2 4 4
a b a b
a b a b
− ++
− −
ɛ) 1 3 ;
3 12 2 8
x x
x x
− −−
− −
ɜ) 2
4 2 ;
2 cc c
+
−
ɝ) 2
3 2 3 ;
3 3
b
b b b
−−
+ +
ɞ)
2
2
;
2 4
k k
k k
−
− −
ɟ) 2 2
4 4 .
2
m n
m nm mn n
− +
++ +
101. ɚ) 5 ;
2 2
m n m n
m n m n
+ −+
− −
ɛ) 2 3 ;
3 3 5 5
−
+ +
a a
a a
ɜ) 2
1 2 ;
1
n
n n n
−+
− −
ɝ) 2
15 3 ;
5 aa a
−
+
ɞ) 2
16 4 ;
416 xx
+
+−
ɟ) 2 2
1 .
2
x
x yx xy y
−
−− +
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
102. ɚ) 2 2
1 1 2 ;m
m n m n m n
+ =
− + −
ɛ) 2 2
1 1 .
11 1
b
bb b
− =
+− −
103. ɚ) 2
3 3 9 ;
3 3a a a a
− =
− −
ɛ) 2 2
1 .
( ) ( )
a b
a ba b a b
− =
−− −
32. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 31
ɉɟɪɟɬɜɨɪɿɬɶ ɭ ɞɪɿɛ ɜɢɪɚɡ:
104. ɚ) 2 2 2
1 1 ;a bc
a bc ab c
+ −+ ɛ) 4 2 3 3
3 14 1 ;
12 9
yx
x y x y
−+ −
ɜ) 1 1 ;c d
cm cn dm dn
+ +−
+ +
ɝ) ;
12 12 18 18
x x
x y x y
+
− +
ɞ) ;
4 4 4 4
a b a b
a b b a
− ++
+ −
ɟ) 2 2 2
1 1 .
( )b a a b
−
− −
105. ɚ) 3 2 2 3
2 1 3 1 ;
16 24
a b
a b a b
+ +− ɛ) 7 5 ;
ax ay by bx
−
− −
ɜ) 2 2 2
;b b
a b a ab
−
− +
ɝ) 2
1 .
2 2( )
x y
x yx y
−
+
++
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
106. ɚ)
2
2
5 3 1 ;
3 1 6 2
c c
c c c
+ −−
+ +
ɛ)
2
2
;b b
y bby y
+
−−
ɜ) 2
;
6 9 4 9
n n
n n
+
+ −
ɝ) 2
5 2 1 ;
10 225
x
xx
− −
−−
ɞ) 2 2
2 8 ;
2 4
a
a a a
− +
+ −
ɟ) 2 2
2 8 ;
8 2 4
a b a b
a ab b ab
+ ++
− −
ɽ) 2
5 15 ;
2 12 12 36m m m
−
+ + +
ɠ) 2 2 2
4 ;
9 24 16 3 4
x x
x xa a xa a
+
− + −
ɡ) 3 2
9 3 ;
27 3 9
a
a a a
−+
+ − +
ɢ)
2
3
2 2 4 .
2 8
x x
x x
+−
− −
107. ɚ) 2
1 10 ;
10
− +−
−
a a
a a a
ɛ) 2 2
1 1 ;b a
ab b ab a
+ ++
− −
ɜ) 2
9 9 ;
2 6 9
x
x x
−
+ −
ɝ) 2
5 20 ;
4 32 64b b
+
− −
ɞ) 2
5 45 ;
9 18 81
+
− − +
a a
a a a
ɟ) 2 2 2
;
4 12 9 4 6
y y
x xy y x xy
−
+ + +
ɽ) 3 2
1 ;
1 1
x
x x x
−
− + +
ɠ) 3
1 2 .
2 8
a
a a
+
+ +
33. 32 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
108. ɚ) 5 6 1 1;
8 4 2
a a a
a a a
+ − ++ − ɛ) 1 1 ;
x y
xy x y
−
− −
ɜ) 2 2
;a b a b a b
aba b
+ + −− − ɝ) 2
2 2 5 ;m n
mn n m
− − +
ɞ) 2
3 3 ;
2 2
a b b
ab b a
+ − + ɟ) 1 2 1;
2 1
x x
x x
− −− +
+ +
ɽ)
2 2
;
x y
x y
x y
+
+ −
+
ɠ)
4
2
2
1 1.
1
aa
a
+− +
−
109. ɚ) 3 1 1;
3 3
a
a a
+ + − ɛ) 2 2 2 2
1 1 ;a b
a b ab a b
+− −
ɜ)
2
2
1 1 ;nk
k kn
−− − ɝ) 2
1 3 1 ;
3 3
x x
xy yx
− −− +
ɞ)
2
( )
;
m n
m n
m n
−
− +
+
ɟ) 2 11 .
1 1
x
x x
− + −
− +
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
110. ɚ) 2
2 4 1 ;
5 25 5 2525a aa
− −
− +−
ɛ) 2 2
2 3 3 1 .
2 4 4 4
x x
x x x x
+ +− +
+ − − +
111. ɚ) 2 2
1 1 3 ;
2 2 4
a
a b b a a b
− −
+ − −
ɛ) 2
3 1 2 .
3 36 9
m
m mm m
− + −
− ++ +
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
112. ɚ) 2
2 2 1
2 2
x x
x xx x
− −− +
+ +
, ɹɤɳɨ ɯ = 3 ;
11
−
ɛ)
2
2 2
2 3 3a a a ab
a b a b a b
+− −
− + −
, ɹɤɳɨ ɚ = –1,5; b = 11,5.
113. ɚ)
2
2
3 2 3
3 3
a a
a a a a
− −
− −
, ɹɤɳɨ a = 2 ;
17
ɛ)
2
2 2
2 6 4
3 2 9 4
x y xy y
x y x y
+ +
−
− −
, ɹɤɳɨ ɯ = 4,2; ɭ = 1,3.
34. 4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 33
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
114. ɚ) 2 2 2
2(2 1)2 ;
2 1 1 ( 1)( 1)
xx x
x x x x x
++= −
+ + − − +
ɛ) 2 2 2
3 1 5 3 3 1 .
1 2 2 2 ( 1)
b b
bb b b b b
− ++ − =
− + −
115. ɚ)
2
2 2 2 2
;
2 ( )
n m n m
n mn m n mn n n m
+= +
− + − −
ɛ) 2 2
1 3 4 15 21 .
3 3 9 9
a
a a a a
−− − =
+ − − −
116. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɬɚɤɿ ɱɢɫɥɚ ɚ ɿ b, ɳɨɛ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɭɜɚɥɚɫɹ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢ-
ɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ:
ɚ) 1
( 1)( 2)x x+ +
= ;
1 2
a b
x x
+
+ +
ɛ) 2 1
( 3)( 4)
x
x x
−
− +
= .
3 4
a b
x x
+
− +
117. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) 1 1 1 ;
( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b
+ +
− − − − − −
ɛ) 2 4 8
1 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1x x x x x
+ + + +
− + + + +
ɜ)
3 7
2 4 8
1 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1
x x x
x x x x x
− − − −
− + + + +
ɝ) 1 1 1 1 ;
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4)a a a a a a a a
+ + +
+ + + + + + +
ɞ)
2 2 3
2 3 2 3 2 4
1 1 2 .
1 1 1 1
b b b b b b
b b b b b b b b
+ − − −+ + +
− − + − + + + −
118. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
ɚ)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
+ + ++ +
− − − − − −
= 0;
ɛ)
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b
− − −+ +
− − − − − −
= 2 2 2 .
a b b c c a
+ +
− − −
2* ȼ. Ʉɪɚɜɱɭɤ. Ⱥɥɝɟɛɪɚ. 8 ɤɥ.
36. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1 35
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1
Ɋɿɜɟɧɶ 1
1. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 1
5
x
x
−
−
, ɹɤɳɨ ɯ = –4?
ɚ) 1; ɛ) –1; ɜ) 7 ;
9
ɝ) ɧɟ ɿɫɧɭɽ.
2. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ 8 ?
2 5
x
x
+
−
ɚ) ɯ = 0; ɛ) ɯ = 2; ɜ) ɯ = 2,5; ɝ) ɯ = 5.
3. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ
2
3
18 .
3
a
a
ɚ) 18;
a
ɛ) 3
1 ;
6a
ɜ) 6 ;
a
ɝ) 3
6 .
a
4. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ 3
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ b2
.
ɚ) 2
3 ;
b
ɛ) 2
3 ;b
b
ɜ)
2
2
3 ;b
b
ɝ)
2
3 .b
b
5. Ⱦɨɞɚɣɬɟ ɞɪɨɛɢ: 2 2
3 1 5 8
.
y y
y y
− −
+
ɚ) 2
4 11
;
y
y
+
ɛ) 2
4 5
;
2
y
y
−
ɜ) 4 – 5ɭ; ɝ) 2
4 5
.
y
y
−
6. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ .
2
a b a b
a a
+ −−
ɚ) ;
2
a b
a
+ ɛ) ;b
a
ɜ) 3 ;
2
a b
a
+ ɝ) 3 .
2
a b
a
+
37. 36 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. ɍɫɬɚɧɨɜɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɜɢɪɚɡɚɦɢ (1–4) ɬɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɨʀ
(Ⱥ–Ⱦ), ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ.
1) 3 ;
2 3
a
a
−
−
Ⱥ) 0; –1;
2)
3
2
4 5;c
c
+ Ȼ) 3;
3) 2
11 ;
2 10
x
x x−
ȼ) 1,5;
4) 2 1 1.
1 2
z z
z z
− +−
+
Ƚ) 0; 5;
Ⱦ) 0.
8. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
3 2
4
27 ;
36
a b
a b
ɛ) 5 10 .
3 6
a b
a b
−
−
9. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2
2 6
3
a a
a
−
−
, ɹɤɳɨ ɚ = 1,7.
10. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 3 2
35 ;
yx
a b ab
− ɛ) .
4 4 7 7
a b
x y x y
+
+ +
11. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ)
2
2 ;
x y
x y
+
+
−
ɛ) 2 2
8 16 .−
− −
n
m n m n
Ɋɿɜɟɧɶ 3
12. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ 2
14 .
( 2) 4− −
k
k
13. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
2 5
3
196
;
35
x y
x y
ɛ)
3 2
2 3 2
3 .
9
a a
ab a b
−
−
14. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2 2
1 1 ;a a
a a a a
+ −−
− +
ɛ) 2
.
( )
mn n n
m n m nm n
+ +
− ++
38. Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1 37
15. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 2
1 1
m mn mn n
−
− −
, ɹɤɳɨ ɬ = 0,7; ɩ = 1.
3
16. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) 2 ;aba b
a b
+ −
+
ɛ) 2 2 2
.
2
b a b
a ab b b ab
+−
− + −
Ɋɿɜɟɧɶ 4
17. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ?
ɚ) 2
15 ;
2 15a a+ −
ɛ) 3
| 7 | | |− +x x
.
18. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ)
3 2
10 4 40 ;
10
x x x
x
− − +
−
ɛ)
2 2
16 64.
8
x x a
x a
− − +
+ −
19. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2 2
5 1 6 1 ;
5 5 6 12 6
x x
x x x x
− −−
+ + +
ɛ)
2 2
2 2
2 4 .
2 2 4 4
a b a b
a b a b a ab b
++ −
− + + +
20. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ
2
2 3
1 1 4 .
2 2 4 8 2
a a
a a a a a
++ − +
− + − −
21. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ 2 4 8
1 1 2 4 8 .
1 1 1 1 1
+ + + =
− + + + −x x x x x
39. 38 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
1. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. Ʉɨɥɢ ɦɧɨɠɚɬɶ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɬɨ ɨɤɪɟɦɨ ɦɧɨɠɚɬɶ
ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɛɭɬɨɤ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ
ɞɪɨɛɭ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 3 5 3 5 15 .
4 7 4 7 28
⋅⋅ = =
⋅
Ɍɚɤ ɫɚɦɨ ɦɧɨɠɚɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ c
d
:
.a c ac
b d bd
⋅ = (1)
Ɋɿɜɧɿɫɬɶ (1) ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b, c ɿ d, ɞɟ b ≠ 0 ɿ d ≠ 0.
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (1) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
ɓɨɛ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɞɪɿɛ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɬɢ ɨɤɪɟɦɨ ʀɯɧɿ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɛɭɬɨɤ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ, ɚ
ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ.
ɐɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɨɲɢɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɜɢɩɚɞɨɤ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɞɪɨɛɿɜ.
2. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ
ɞɪɨɛɿɜ, ɩɿɞɧɟɫɟɦɨ ɞɪɿɛ ɞɨ n-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
( )
P
N
ɪɚɡɿɜ
ɪɚɡɿɜɪɚɡɿɜ
...... .
...
n
n n
n
nn
a a a a aa a a
b b b b bb b b
= ⋅ ⋅ ⋅ = =
Ɉɬɠɟ,
( ) .
n n
n
a a
b b
= (2)
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (2) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
ɓɨɛ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɪɿɛ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɨ ɰɶɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢ-
ɤɨɦ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ.
44. 6. Ⱦɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ 43
145. ɍ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɿ ɛɭɥɨ 480 ɥ ɜɨɞɢ, ɚ ɜ ɞɪɭɝɨɦɭ — 282 ɥ. Ɂ ɩɟɪɲɨɝɨ
ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɛɟɪɭɬɶ ɳɨɞɟɧɧɨ 25 ɥ ɜɨɞɢ, ɚ ɡ ɞɪɭɝɨɝɨ — 16 ɥ. ɑɟɪɟɡ ɫɤɿɥɶɤɢ
ɞɧɿɜ ɭ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɿ ɜɨɞɢ ɛɭɞɟ ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ?
146*. ȼɿɞ ɩɪɢɫɬɚɧɿ A ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɿɞɩɥɢɜɥɢ ɤɚɬɟɪ
ɿ ɩɥɿɬ. Ʉɨɥɢ ɱɟɪɟɡ 1,5 ɝɨɞ ɤɚɬɟɪ ɩɪɢɛɭɜ ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B, ɩɥɨɬɭ ɡɚɥɢɲɚɥɨɫɹ
ɩɪɨɩɥɢɫɬɢ ɞɨ ɰɿɽʀ ɩɪɢɫɬɚɧɿ ɳɟ 27 ɤɦ. ɇɟ ɡɚɬɪɢɦɭɸɱɢɫɶ ɧɚ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B,
ɤɚɬɟɪ ɜɢɪɭɲɢɜ ɭ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɲɥɹɯ. ɑɟɪɟɡ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɩɿɫɥɹ ɜɿɞɩɪɚɜɤɢ ɜɿɞ
ɩɪɢɫɬɚɧɿ B ɤɚɬɟɪ ɡɭɫɬɪɿɧɟ ɩɥɿɬ? ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ
ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ?
147. ɍ ɬɪɢɞɟɜ’ɹɬɨɦɭ ɤɨɪɨɥɿɜɫɬɜɿ ɤɨɠɧɿ ɞɜɚ ɦɿɫɬɚ ɡ’ɽɞɧɚɧɿ ɞɨɪɨɝɨɸ ɡ ɨɞɧɨ-
ɫɬɨɪɨɧɧɿɦ ɪɭɯɨɦ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɿɫɧɭɽ ɦɿɫɬɨ, ɡ ɹɤɨɝɨ ɜ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɧɲɟ
ɦɿɫɬɨ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨʀɯɚɬɢ ɥɢɲɟ ɨɞɧɿɽɸ ɚɛɨ ɞɜɨɦɚ ɞɨɪɨɝɚɦɢ.
Ʉɨɥɢ ɞɿɥɹɬɶ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɬɨ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɦɧɨɠɚɬɶ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɨɛɟɪɧɟɧɢɣ
ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2 3 2 5 10: .
7 5 7 3 21
= ⋅ =
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɞɿɥɹɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ c
d
:
: .a c a d
b d b c
= ⋅
Ɉɫɬɚɧɧɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b, c ɿ d, ɞɟ b ≠ 0, ɫ ≠ 0 ɿ d ≠ 0. Ɂ ɰɿɽʀ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɿ-
ɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
ɓɨɛ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɨɞɢɧ ɞɪɿɛ ɧɚ ɞɪɭɝɢɣ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɩɨɦɧɨ-
ɠɢɬɢ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɨɛɟɪɧɟɧɢɣ ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2 2 2
2 2 2 2 2 4: .
2
a a a b a b
b a bb b b a
⋅= ⋅ = =
⋅
45. 44 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɿɥɟɧɧɹ:
ɚ)
2 3
3
15 : ;
714
a a
cc
ɛ) 2 2
3: ;
1
ab b
a a a− −
ɜ)
2 2
4
: (2 ).
2
x y
x y
x
−
−
• ɚ)
2 3
3
15 :
714
a a
cc
=
2
3 3
15 7
14
a c
c a
⋅ =
2
3 3
15 7
14
a c
c a
⋅
⋅
= 2
15 .
2c a
ɛ) 2 2
3:
1
ab b
a a a− −
=
( 1)
( 1)( 1) 3
a aab
a a b
−
⋅
− +
=
( 1)
( 1)( 1) 3
ab a a
a a b
⋅ −
− + ⋅
=
2
3( 1)
a
a
⋅
+
ɜ)
2 2
4
:(2 )
2
x y
x y
x
−
− =
(2 )(2 ) 1
2 2
x y x y
x x y
− +
⋅
−
=
(2 )(2 )
2 (2 )
x y x y
x x y
− +
−
=
2
2
x y
x
+
⋅ •
148. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
ɚ) : ;x m
y n
ɛ) 1 1: ;
a b
ɜ) : 2;
4
a ɝ) 33: .
x
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
149. ɚ) 2: ;
9 3
a a ɛ) 6 2: ;
5 15
ab b
c
ɜ) 2 1: ;x
x
ɝ) 9 :3;
d
ɞ) 3
2
3819 : ;
5
nn
p
ɟ) ( )
3
33 : 11 ;
12
c c
m
ɽ)
3
5 3
: ;
2 4
c c
a a
ɠ)
2 3
3 4
12 3: .
25 5
ab b
x x
150. ɚ) 4 3
3 1: ;
10 5
x
y y
ɛ)
3
4
2
1827 : ;
7
aa
b
ɜ)
2
2 3
6 3: ;
5
x x
y y
ɝ) ( )
2
2
3
5 : 10 .
7
mn n
k
50. 7. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ 49
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ 1 ɦɢ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ
1 .
1 2
−
−
a
a
ȼɡɚɝɚɥɿ, ɛɭɞɶ-ɹɤɢɣ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨ-
ɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ⱦɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɜɢɪɚɡ
2
2 2
2 2 3
:
2
xy y x y x y
x y x yx y
− + +
+
+ +−
ɧɚɛɭɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.
• ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɞɚɧɢɣ ɜɢɪɚɡ:
2
2 2
2 2 3
:
2
xy y x y x y
x y x yx y
− + +
+
+ +−
=
( ) 2 3
( )( ) 2 2
y x y x y x y
x y x y x y x y
− + +
⋅ +
− + + +
=
=
2 3
2 2
y x y
x y x y
+
+
+ +
=
2 4
2
x y
x y
+
+
=
2( 2 )
2
x y
x y
+
+
= 2.
Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɬɨɦɭ ɫɚɦɨɦɭ ɱɢɫɥɭ (ɱɢɫɥɭ 2). •
ɉɪɢɤɥɚɞ 3. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
1 1
.
1 1
b aa b
b a
a b
+
+=
−−
• ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
1 1
1 1
a b
a b
+
−
= ( ) ( )1 1 1 1:
a b a b
+ − = :b a b a
ab ab
+ − = b a ab
ab b a
+ ⋅
−
= .b a
b a
+
−
ɒɥɹɯɨɦ ɬɨɬɨɠɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɩɪɚɜɨʀ
ɱɚɫɬɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɰɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ. •
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
173. ɚ) ( )
2
1 11 : ;
3
−+ a
a
ɛ) ( )1 1 5: ;
5 5 5a a a
−
+ − +