8 a k_2016

ɍȾɄ 51(075.3)
ȻȻɄ 22.1ɹ723
Ʉ 77
ȿɤɫɩɟɪɬɢ, ɹɤɿ ɡɞɿɣɫɧɢɥɢ ɟɤɫɩɟɪɬɢɡɭ ɞɚɧɨɝɨ ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɚ ɩɿɞ ɱɚɫ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɹ ɤɨɧ-
ɤɭɪɫɧɨɝɨ ɜɿɞɛɨɪɭ ɩɪɨɟɤɬɿɜ ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɿɜ ɞɥɹ ɭɱɧɿɜ 8 ɤɥɚɫɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨɨɫɜɿɬɧɿɯ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ
ɡɚɤɥɚɞɿɜ ɿ ɡɪɨɛɢɥɢ ɜɢɫɧɨɜɨɤ ɩɪɨ ɞɨɰɿɥɶɧɿɫɬɶ ɧɚɞɚɧɧɹ ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɭ ɝɪɢɮɚ «Ɋɟɤɨɦɟɧɞɨ-
ɜɚɧɨ Ɇɿɧɿɫɬɟɪɫɬɜɨɦ ɨɫɜɿɬɢ ɿ ɧɚɭɤɢ ɍɤɪɚʀɧɢ»:
Ʌɟɜɢɰɶɤɚ ȱ. Ɇ., ɦɟɬɨɞɢɫɬ ɜɿɞɞɿɥɭ ɦɟɬɨɞɢɱɧɨʀ ɪɨɛɨɬɢ Ʉɍ «Ȼɚɲɬɚɧɫɶɤɢɣ ɪɚɣɨɧ-
ɧɢɣ ɫɟɪɜɿɫɧɢɣ ɰɟɧɬɪ ɩɨ ɨɛɫɥɭɝɨɜɭɜɚɧɧɸ ɡɚɤɥɚɞɿɜ ɨɫɜɿɬɢ» Ȼɚɲɬɚɧɫɶɤɨʀ ɪɚɣɨɧɧɨʀ ɪɚɞɢ
Ɇɢɤɨɥɚʀɜɫɶɤɨʀ ɨɛɥɚɫɬɿ;
ɉɨɝɨɪɿɥɹɤ Ɉ. Ɉ., ɞɨɰɟɧɬ ɤɚɮɟɞɪɢ ɬɟɨɪɿʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ
ȾȼɇɁ «ɍɠɝɨɪɨɞɫɶɤɢɣ ɧɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬ», ɤɚɧɞɢɞɚɬ ɮɿɡɢɤɨ-ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɧɚɭɤ;
Ɋɭɞɟɧɤɨ ȼ. Ɉ., ɭɱɢɬɟɥɶ Ɇɚɪ’ɹɧɿɜɫɶɤɨʀ ɡɚɝɚɥɶɧɨɨɫɜɿɬɧɶɨʀ ɲɤɨɥɢ ȱ–ȱȱȱ ɫɬɭɩɟɧɿɜ
Ɇɚɥɨɜɢɫɤɿɜɫɶɤɨʀ ɪɚɣɨɧɧɨʀ ɪɚɞɢ Ʉɿɪɨɜɨɝɪɚɞɫɶɤɨʀ ɨɛɥɚɫɬɿ, ɭɱɢɬɟɥɶ-ɦɟɬɨɞɢɫɬ, ɡɚɫɥɭɠɟ-
ɧɢɣ ɭɱɢɬɟɥɶ ɍɤɪɚʀɧɢ.
Ɋɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɧɨ
Ɇɿɧɿɫɬɟɪɫɬɜɨɦ ɨɫɜɿɬɢ ɿ ɧɚɭɤɢ ɍɤɪɚʀɧɢ
(ɧɚɤɚɡ ɆɈɇ ɍɤɪɚʀɧɢ ɜɿɞ 10.05.2016 ɪ. ʋ 491)
ȼɢɞɚɧɨ ɡɚ ɪɚɯɭɧɨɤ ɞɟɪɠɚɜɧɢɯ ɤɨɲɬɿɜ.
ɉɪɨɞɚɠ ɡɚɛɨɪɨɧɟɧɨ
Ʉɪɚɜɱɭɤ ȼ.
Ʉ 77 Ⱥɥɝɟɛɪɚ : ɩɿɞɪɭɱ. ɞɥɹ 8 ɤɥ. ɡɚɝɚɥɶɧɨɨɫɜɿɬ. ɧɚɜɱ. ɡɚɤɥ. /
ȼ. Ʉɪɚɜɱɭɤ, Ɇ. ɉɿɞɪɭɱɧɚ, Ƚ. əɧɱɟɧɤɨ. — Ɍɟɪɧɨɩɿɥɶ : ɉɿɞɪɭɱ-
ɧɢɤɢ ɿ ɩɨɫɿɛɧɢɤɢ, 2016. — 256 ɫ.
ISBN 978-966-07-3003-8
ɍȾɄ 51(075.3)
ȻȻɄ 22.1ɹ723
ISBN 978-966-07-3003-8 © Ʉɪɚɜɱɭɤ ȼ., ɉɿɞɪɭɱɧɚ Ɇ., əɧɱɟɧɤɨ Ƚ., 2016
© ȼɢɞɚɜɧɢɰɬɜɨ «ɉɿɞɪɭɱɧɢɤɢ ɿ ɩɨɫɿɛɧɢɤɢ»,
ɨɪɢɝɿɧɚɥ-ɦɚɤɟɬ, 2106

Ȍǻǥ ǲǾȁǵǥ!
Ʉɿɥɶɤɚ ɫɥɿɜ ɩɪɨ ɨɫɨɛɥɢɜɨɫɬɿ ɜɢɞɚɧɧɹ.
Ɇɚɬɟɪɿɚɥ ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɚ ɩɨɞɿɥɟɧɨ ɧɚ ɬɪɢ ɩɚɪɚɝɪɚɮɢ, ɚ ɩɚɪɚɝɪɚ-
ɮɢ — ɧɚ ɩɭɧɤɬɢ.
Ʉɨɠɧɢɣ ɩɭɧɤɬ ɪɨɡɩɨɱɢɧɚɽɬɶɫɹ ɜɢɤɥɚɞɨɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɦɚɬɟɪɿ-
ɚɥɭ. Ⱦɟɹɤɿ ɩɭɧɤɬɢ ɦɿɫɬɹɬɶ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɚɬɟɪɿɚɥ ɩɿɞ ɪɭɛɪɢɤɨɸ «Ⱦɥɹ
ɬɢɯ, ɯɬɨ ɯɨɱɟ ɡɧɚɬɢ ɛɿɥɶɲɟ».
Ⱦɚɥɿ ɣɞɟ ɪɭɛɪɢɤɚ «ɉɪɢɤɥɚɞɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɜɩɪɚɜ». ɐɟ ɩɿɞɤɚɡɤɚ.
ȼɨɧɚ ɞɨɩɨɦɨɠɟ ɜɚɦ ɨɡɧɚɣɨɦɢɬɢɫɹ ɡ ɨɫɧɨɜɧɢɦɢ ɜɢɞɚɦɢ ɜɩɪɚɜ, ɫɩɨ-
ɫɨɛɚɦɢ ʀɯ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɬɚ ɧɚɜɱɢɬɶ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɡɚɩɢɫɭɜɚɬɢ ɪɨɡɜ’ɹ-
ɡɚɧɧɹ. ɉɨɱɚɬɨɤ ɬɚ ɡɚɤɿɧɱɟɧɧɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɩɪɚɜɢ ɩɨɡɧɚɱɟɧɨ
ɤɪɭɠɟɱɤɨɦ «Ɣ».
ɍ ɤɨɠɧɨɦɭ ɩɭɧɤɬɿ ɫɢɫɬɟɦɭ ɜɩɪɚɜ ɩɨɞɿɥɟɧɨ ɧɚ ɬɪɢ ɪɿɜɧɿ ɫɤɥɚɞ-
ɧɨɫɬɿ.
ɋɩɨɱɚɬɤɭ ɜɚɪɬɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɬɢ ɭɫɧɿ ɜɩɪɚɜɢ ɿ ɩɪɨɫɬɿɲɿ ɡɚɞɚɱɿ (ɪɿ-
ɜɟɧɶ Ⱥ), ɚ ɩɨɬɿɦ ɩɟɪɟɣɬɢ ɞɨ ɫɤɥɚɞɧɿɲɢɯ (ɪɿɜɟɧɶ Ȼ). Ɂɚɞɚɱɿ ɪɿɜɧɹ

ȼ — ɞɥɹ ɧɚɣɤɦɿɬɥɢɜɿɲɢɯ, ɬɢɯ, ɯɬɨ ɯɨɱɟ ɜɦɿɬɢ ɬɚ ɡɧɚɬɢ ɛɿɥɶɲɟ ɿ ɦɚ-
ɬɢ ɧɚɣɜɢɳɿ ɨɰɿɧɤɢ. Ⱦɥɹ ɞɟɹɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɰɶɨɝɨ ɪɿɜɧɹ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɪɨɡɜ’ɹ-
ɡɚɧɧɹ.
Ⱦɥɹ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɨʀ ɪɨɛɨɬɢ ɜɞɨɦɚ ɪɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɧɨ ɡɚɞɚɱɿ, ɧɨɦɟɪɢ
ɹɤɢɯ ɜɢɞɿɥɟɧɨ ɤɨɥɶɨɪɨɦ (ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, 255).
Ɋɭɛɪɢɤɚ «ȼɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ» ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɚ ɞɥɹ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨ-
ɝɨ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɜɢɞɿɜ ɜɩɪɚɜ ɬɚ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɢ ɞɨ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɧɨ-
ɜɨɝɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɦɚɬɟɪɿɚɥɭ.
ɇɚɫɬɭɩɧɚ ɪɭɛɪɢɤɚ «ɉɨɦɿɪɤɭɣɬɟ» ɩɨɜ’ɹɡɚɧɚ ɡ ɨɫɨɛɥɢɜɢɦ ɚɫɩɟɤ-
ɬɨɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɩɿɞɝɨɬɨɜɤɢ. Ɉɫɧɨɜɧɢɦ ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɡɚɞɚɱ ɰɿɽʀ
ɪɭɛɪɢɤɢ ɽ ɜɦɿɧɧɹ ɜɢɯɨɞɢɬɢ ɡ ɧɟɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɫɢɬɭɚɰɿɣ. Ɋɨɡɜ’ɹ-
ɡɭɜɚɧɧɹ ɬɚɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɪɨɡɜɢɜɚɽ ɝɧɭɱɤɿɫɬɶ ɿ ɤɪɢɬɢɱɧɿɫɬɶ ɦɢɫɥɟɧɧɹ, ɚ
ɰɟ ɞɨɩɨɦɨɠɟ ɜɚɦ ɭ ɦɚɣɛɭɬɧɶɨɦɭ, ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɬɨɝɨ, ɹɤɭ ɩɪɨɮɟɫɿɸ
ɜɢ ɨɛɟɪɟɬɟ.
ɇɚɩɪɢɤɿɧɰɿ ɤɨɠɧɨɝɨ ɩɚɪɚɝɪɚɮɚ ɭɦɿɳɟɧɨ ɡɚɩɢɬɚɧɧɹ ɬɚ ɜɩɪɚɜɢ
ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ, ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɪɿɜɧɿɜ ɫɤɥɚɞ-
ɧɨɫɬɿ.
ɍ ɤɿɧɰɿ ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɚ ɩɨɞɚɧɨ ɜɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ ɦɚɬɟɪɿɚɥɭ ɡɚ
ɭɜɟɫɶ ɤɭɪɫ ɚɥɝɟɛɪɢ 8 ɤɥɚɫɭ, ɡɚɞɚɱɿ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɫɤɥɚɞɧɨɫɬɿ, ɞɨɜɿɞɤɨ-
ɜɢɣ ɦɚɬɟɪɿɚɥ.
ɓɢɪɨ ɛɚɠɚɽɦɨ ɭɫɩɿɯɭ!

6 § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
1. ɐɿɥɿ, ɞɪɨɛɨɜɿ ɬɚ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ. ɍ ɫɶɨɦɨɦɭ ɤɥɚɫɿ ɦɢ ɜɢɜɱɚɥɢ
ɰɿɥɿ ɜɢɪɚɡɢ. ɉɪɢɤɥɚɞɚɦɢ ɬɚɤɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ ɽ:
ɚ + b; 3ɚ2
; 2ɯ(ɯ – ɭ)2
; ;
3
c ɚ : 4; b; 3.
ɉɪɢɝɚɞɚɣɦɨ: ɰɿɥɿ ɜɢɪɚɡɢ ɦɨɠɭɬɶ ɦɿɫɬɢɬɢ ɞɿʀ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ, ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ,
ɦɧɨɠɟɧɧɹ, ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɞɿɸ ɞɿɥɟɧɧɹ, ɚɥɟ ɬɿɥɶɤɢ ɧɚ ɱɢɫɥɨ,
ɜɿɞɦɿɧɧɟ ɜɿɞ ɧɭɥɹ.
Ʉɨɠɧɢɣ ɰɿɥɢɣ ɜɢɪɚɡ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2ɯ(ɯ – ɭ)2
= 2ɯ(ɯ2
– 2ɯɭ + ɭ2
) = 2ɯ3
– 4ɯ2
ɭ + 2ɯɭ2
.
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɢɪɚɡɢ
5
1,
1
y
y
+
+ 2 2
17 ,ab
a b−
3ɚ : b, 2
( ) .xx y
x y
− −
+
ɐɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɜɿɞ ɰɿɥɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ ɬɢɦ, ɳɨ ɦɿɫɬɹɬɶ ɞɿɸ ɞɿɥɟɧɧɹ ɧɚ ɜɢ-
ɪɚɡ ɡɿ ɡɦɿɧɧɨɸ. Ɍɚɤɿ ɜɢɪɚɡɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɪɨɛɨɜɢɦɢ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ.
ɐɿɥɿ ɣ ɞɪɨɛɨɜɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ.
3
4b a+
ɐɿɥɢɣ ɜɢɪɚɡ
34 a
b
+
Ⱦɪɨɛɨɜɢɣ ɜɢɪɚɡ
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ,ab
a b+
2,3
,
( 2)x y +
5
7
a . ȼɨɧɢ ɽ ɱɚɫɬɤɚɦɢ
ɞɜɨɯ ɜɢɪɚɡɿɜ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ, ɞɿɸ ɞɿɥɟɧɧɹ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɪɢɫɤɢ ɞɪɨɛɭ. Ɍɚɤɿ
ɜɢɪɚɡɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɪɨɛɚɦɢ.
əɤɳɨ ɦɚɽɦɨ ɞɪɿɛ ,A
B
ɞɟ A ɿ B — ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɨɜɿ ɜɢɪɚɡɢ ɚɛɨ ɜɢɪɚɡɢ ɡɿ ɡɦɿɧɧɢ-
ɦɢ, ɬɨ ɜɢɪɚɡ A ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ, ɚ ɜɢɪɚɡ B — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ.
Ɉɬɠɟ, ab
a b+
— ɞɪɿɛ ɿɡ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ ab ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ a + b.

1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɞɪɨɛɢ 7
Ⱦɪɿɛ ,A
B
ɭ ɹɤɨɦɭ A ɿ B — ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɢ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɞɪɨɛɨɦ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 4 ,
3x +
,a b
a b
+
− 2 2
,
x y
x xy y
+
+ +
,
x
a 3
b
— ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɞɪɨɛɢ.
2. Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɞɪɨɛɨɜɢɣ ɜɢɪɚɡ 5 .
2a −
əɤɳɨ ɚ = 3, ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: 5
3 2−
= 5
1
= 5;
ɹɤɳɨ ɚ = –6, ɬɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: 5
6 2− −
= 5.
8
−
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 5
2a −
ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɤɪɿɦ ɚ = 2.
əɤɳɨ ɚ = 2, ɬɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɚ – 2 ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, ɚ ɧɚ ɧɭɥɶ ɞɿɥɢɬɢ ɧɟ ɦɨɠɧɚ. Ʉɚɠɭɬɶ:
ɹɤɳɨ ɚ ≠ 2, ɬɨ ɜɢɪɚɡ 5
2a −
ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ, ɚ ɹɤɳɨ ɚ = 2, ɬɨ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ
ɡɦɿɧɧɢɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɪɚɡ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧ-
ɧɢɯ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɢɯ ɜɢɪɚɡɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɿ
ʀɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɪɚɡ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ.
Ɍɚɤ, ɞɥɹ ɜɢɪɚɡɭ 5
2a −
ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɨʀ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɚ, ɤɪɿɦ ɚ = 2.
Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɢɯ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɰɿɥɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧ-
ɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ. Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɢɯ ɞɪɨɛɨɜɨɝɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɪɚ-
ɡɭ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ, ɤɪɿɦ ɬɢɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɯɨɱɚ ɛ
ɨɞɧɨɝɨ ɡ ɞɪɨɛɿɜ, ɳɨ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɞɚɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ.
3. Ɍɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɿ ɜɢɪɚɡɢ. Ɍɨɬɨɠɧɨɫɬɿ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɰɿɥɢɣ ɜɢɪɚɡ
x2
+ x(2 – x). Ɉɫɤɿɥɶɤɢ
ɯ2
+ ɯ(2 – ɯ) = ɯ2
+ 2ɯ – ɯ2
= 2ɯ,
ɬɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ x ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ ɯ2
+ ɯ(2 – ɯ)
ɿ 2x ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɨɞɧɟ ɨɞɧɨɦɭ. Ɍɚɤɿ ɰɿɥɿ ɜɢɪɚɡɢ ɦɢ ɧɚɡɢɜɚɥɢ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦɢ.
Ⱥ ɹɤɿ ɞɜɚ ɧɟ ɰɿɥɿ ɜɢɪɚɡɢ ɜɜɚɠɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦɢ?

Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɞɪɨɛɨɜɿ ɜɢɪɚɡɢ
2
(2 )
1
x x x
x
+ −
−
ɿ
2
1
x
x −
. Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ-
ɦɢ ɡɦɿɧɧɨʀ ɨɛɨɯ ɜɢɪɚɡɿɜ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ x, ɤɪɿɦ ɯ = 1. ɐɿ ɜɢɪɚɡɢ ɦɚɸɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɿ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɣ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ. Ɍɨɦɭ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɝɨ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɨɞɧɟ ɨɞɧɨɦɭ. Ɍɚɤɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦɢ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ⱦɜɚ ɜɢɪɚɡɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-
ɹɤɢɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɞɥɹ ɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚ-
ɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɨɞɧɟ ɨɞɧɨɦɭ.
əɤɳɨ ɞɜɚ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
2
(2 )
1
x x x
x
+ −
−
ɬɚ 2
1
x
x −
ɫɩɨɥɭɱɢɬɢ ɡɧɚɤɨɦ
«=», ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ
2
(2 )
1
x x x
x
+ −
−
= 2
1
x
x −
, ɹɤɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɜɫɿɯ
ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ. Ɍɚɤɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ɋɿɜɧɿɫɬɶ, ɹɤɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ
ɡɦɿɧɧɢɯ, ɳɨ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɧɟʀ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
2 2 ,
3 3 9
ab a a b
a b ab
⋅ =
⋅ 2 2
( )( )
xy xy
x y x yx y
=
− +−
— ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ.
Ɂɚɦɿɧɭ ɨɞɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦ ɣɨɦɭ ɜɢɪɚɡɨɦ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨ-
ɬɨɠɧɢɦ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹɦ ɜɢɪɚɡɭ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 28
3
x
x
+
+
, ɹɤɳɨ ɯ = 4; ɯ = 1
3
.
Ɣ əɤɳɨ ɯ = 4, ɬɨ 28
3
x
x
+
+
= 284
4 3
+
+
= 284
7
+ = 4 + 4 = 8.
əɤɳɨ ɯ = 1
3
, ɬɨ 28
3
x
x
+
+
= 1 28
3 1 3
3
+
+
= 1 28
3 10
3
+ = 1 328
3 10
+ ⋅ =
= 1 42
3 5
+ = 1 28
3 5
+ = 118 .
15
Ɣ

ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2
( )( )a b a b b
a b
− + +
+
, ɹɤɳɨ:
ɚ) a = 8; b = 32; ɛ) a = 0,6; b = –0,6.
Ɣ ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɞɚɧɢɣ ɜɢɪɚɡ:
2
( )( )a b a b b
a b
− + +
+
=
2 2 2
a b b
a b
− +
+
=
2
.a
a b+
ɚ) əɤɳɨ a = 8; b = 32, ɬɨ
2
a
a b+
=
2
8
8 32+
= 64
40
= 1,6.
ɛ) əɤɳɨ a = 0,6; b = –0,6, ɬɨ
22
0,6 0,36
0,6 0,6 0
a
a b
= =
+ −
— ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. ȼɤɚɡɚɬɢ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ:
ɚ)
4
;
3
y
y
y
+
+
−
ɛ) 2
2 1 ;a
a a
−
+
ɜ) 2
4 .
8
x
x
+
+
Ɣ ɚ) Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ, ɤɪɿɦ ɭ = 3.
ɛ) Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ:
ɚ2
+ ɚ = 0; ɚ(ɚ + 1) = 0; ɚ = 0 ɚɛɨ ɚ + 1 = 0; ɚ = 0 ɚɛɨ ɚ = –1.
Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɤɪɿɦ ɚ = 0 ɿ ɚ = –1.
ɜ) Ⱦɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
+ 8 ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɧɿɠ
8, ɚ ɬɨɦɭ ɧɟ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ. Ɉɬɠɟ, ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɦɢ ɽ ɜɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ. Ɣ
1. əɤɿ ɡ ɜɢɪɚɡɿɜ ɽ ɰɿɥɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ? ɞɪɨɛɨɜɢɦɢ? əɤɿ ɡ ɜɢɪɚɡɿɜ ɽ ɞɪɨɛɚɦɢ?
ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɞɪɨɛɚɦɢ?
ɚ) ;a b
a b
+
−
ɛ) 2
;
3
x x+ ɜ) 24 ;x
x
−
ɝ) ( )31 ;
2
b a+ ⋅ ɞ) 5 ;
( 1)x y +
ɟ) .
5
xy x+
2. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ? ɇɚɡɜɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ:
ɚ) 8;
c
ɛ) 9 ;
1
x
x
−
−
ɜ) 4 .
( 2)
b
b b
+
−

3. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 10
a
, ɹɤɳɨ a = 10; a = –1; a = 2.
4. əɤɿ ɡ ɪɿɜɧɨɫɬɟɣ ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ?
ɚ) 3 4 ;
1 1
a a a
a a
+ =
− −
ɛ) 3 3 ;
1 1
a a a
a a
⋅ =
− −
ɜ) 2
( )
b b
a a b a ab
=
+ +
.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
5. ɚ)
2
5
x
x
−
+
, ɹɤɳɨ ɯ = 0; ɯ = 5; ɯ = –3;
ɛ) 2ab
a b−
, ɹɤɳɨ ɚ = 4, b = 2; ɚ = –4, b = 6.
6. ɚ)
2
( )
4
y
y
−
−
, ɹɤɳɨ ɭ = 0; ɭ = 6; ɭ = –1; ɛ) 2
2
b c
b c
+
−
, ɹɤɳɨ b = 3, c = 4.
Ɂɚɩɨɜɧɿɬɶ ɬɚɛɥɢɰɸ:
7.
ɯ –2 –1 0 1 1,5 2
1
x
x +
8.
ɚ –4 –1 0 1 2 2,5
3
2a −
ɍɤɚɠɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ:
9. ɚ)
2
6 1;
2
x
x
+
−
ɛ) 6 1 ;
( 3)
a
a a
+
−
ɜ) 1 ;
1
b
b b
+
+
ɝ) 2
11 .
2
x
x +
10. ɚ)
3
1
;
3
y
y
−
+
ɛ) 5 1 ;
2 2x x
−
−
ɜ) ;
( 1)( 1)
m
m m− +
ɝ) 2
1 .
1
a
a
+
+
11. Ⱥɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɪɨʀɯɚɜ 195 ɤɦ ɡɚ t ɝɨɞ. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɢɪɚɡɭ ɲɜɢɞ-
ɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɰɶɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ, ɹɤɳɨ t = 3.
12. Ɉɩɟɪɚɬɨɪ ɧɚɛɪɚɜ 45 ɫɬɨɪɿɧɨɤ ɬɟɤɫɬɭ ɡɚ k ɝɨɞ. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɢɪɚɡɭ
ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɬɨɪɿɧɨɤ, ɹɤɿ ɨɩɟɪɚɬɨɪ ɧɚɛɢɪɚɜ ɡɚ 1 ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɰɶɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ, ɹɤɳɨ k = 9.

Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ?
13. ɚ) 2
4 1;
4
x
x
+
−
ɛ) 2
8 ;
5
a
a a−
ɜ) 2
5
( 6)
y
y
−
−
.
14. ɚ) 2
3 ;
7
x
x x−
ɛ) 2
2 7 ;
9
z
z
+
−
ɜ) 2
1 2
( 2)
b
b b
−
+
.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ:
15. ɚ) 2
7 ;
4 1
b b
b
+
−
ɛ) 2
3 ;
4 ( 2)
k
k− +
ɜ) 2
6 .
12
m m
mm m
+
−+
16. ɚ) 2
5 ;
4 9
c
c−
ɛ) 2
3 2 ;
(3 ) 9
−
+ −
n
n
ɜ) 2
5 1.
4
a a
aa
++
−
17. 2 3
3 1
a
a
−
+
, ɹɤɳɨ ɚ = –0,2; ɚ = 2
3
; ɚ = 13
6
.
18. 2
5 3
x
x
−
−
, ɹɤɳɨ ɯ = 0,7; ɯ = 3
7
; ɯ = 11
5
.
19. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2 2
2x xy y
y
− +
, ɹɤɳɨ:
ɚ) ɯ = 44; ɭ = 4; ɛ) ɯ = 46; ɭ = 46; ɜ) ɯ = 1,25; ɭ = 0,25.
(1 ) (1 )
4
m n n m
n
− + +
, ɹɤɳɨ:
ɚ) m = 67; n = –67; ɛ) m = 16,75; n = 0,25.
21. Ⱦɨ ɦɚɝɚɡɢɧɭ ɡɚɜɟɡɥɢ 15 ɥ ɜɢɧɨɝɪɚɞɧɨɝɨ ɫɨɤɭ ɜ ɦɚɥɢɯ ɭɩɚɤɨɜɤɚɯ ɿ 25 ɥ —
ɭ ɜɟɥɢɤɢɯ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɜɫɶɨɝɨ ɭɩɚɤɨɜɨɤ ɫɨɤɭ ɡɚɜɟɡɥɢ ɞɨ ɦɚɝɚɡɢɧɭ, ɹɤɳɨ ɤɨ-
ɠɧɚ ɦɚɥɚ ɭɩɚɤɨɜɤɚ ɦɿɫɬɢɬɶ ɚ ɥ ɫɨɤɭ, ɚ ɤɨɠɧɚ ɜɟɥɢɤɚ — b ɥ?
22. ɉɟɪɲɢɣ ɪɨɛɿɬɧɢɤ ɜɢɤɥɚɜ ɩɥɢɬɤɨɸ 48 ɦ2
ɞɨɪɿɠɤɢ ɡɚ n ɝɨɞ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — 64 ɦ2
ɡɚ m ɝɨɞ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɦɟɬɪɿɜ ɞɨɪɿɠɤɢ ɜɢɤɥɚɞɚɥɢ ɡɚ 1 ɝɨɞ ɨɛɢɞɜɚ
ɪɨɛɿɬɧɢɤɢ ɪɚɡɨɦ?
23. Ʉɚɬɟɪ ɩɪɨɣɲɨɜ 25 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 20 ɤɦ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɱɚɫ
ɪɭɯɭ ɤɚɬɟɪɚ, ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ v ɤɦ/ɝɨɞ, ɚ
ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ — u ɤɦ/ɝɨɞ.

24. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ:
ɚ) 11 1;
3
x
x
−
−
ɛ)
3
;
y
y y−
ɜ) 2
;
2
m
m m−
ɝ) 3 .
1 1
a
a
+
− +
25. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ 2 2
4 4 9
x y
x y x y
+
+ − − +
ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ
ɡɦɿɧɧɢɯ.
26. ɉɨʀɡɞ ɦɚɜ ɩɨɞɨɥɚɬɢ ɲɥɹɯ ɡɚɜɞɨɜɠɤɢ 250 ɤɦ, ɪɭɯɚɸɱɢɫɶ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
ɚ ɤɦ/ɝɨɞ. Ⱥɥɟ ɱɟɪɟɡ 2 ɝɨɞ ɩɿɫɥɹ ɩɨɱɚɬɤɭ ɪɭɯɭ ɣɨɝɨ ɧɚ ɩɟɜɧɢɣ ɱɚɫ
ɡɚɬɪɢɦɚɥɢ. ɓɨɛ ɩɪɢɛɭɬɢ ɞɨ ɦɿɫɰɹ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɱɚɫɧɨ, ɩɨʀɡɞ ɩɿɫɥɹ
ɡɚɬɪɢɦɤɢ ɡɛɿɥɶɲɢɜ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɧɚ 25 ɤɦ/ɝɨɞ. ɇɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɡɚɬɪɢɦɚɥɢ
ɩɨʀɡɞ?
27. Ɋɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ:
ɚ) ab2
– ac2
; ɛ) ɯ3
+ 8;
ɜ) xy + 8x + 9ɭ + 72; ɝ) a2
– 4b2
+ a + 2b.
28. ɉɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɞɪɨɛɢ: 7
9
ɿ 20 ;
27
11
18
ɿ 17 ;
24
7
15
ɿ 9 .
25
29. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɨɛɢ: 18 ;
48
56 ;
98
96 ;
123
175 ;
325
77 .
121
30. ɒɤɨɥɿ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɤɭɩɢɬɢ ɩɚɪɬɢ. ɉɟɪɲɚ ɮɿɪɦɚ ɩɪɨɩɨɧɭɽ ɤɭɩɢɬɢ ɩɚɪɬɢ
ɩɨ 975 ɝɪɧ ɡɚ ɤɨɠɧɭ ɿ 4% ɜɚɪɬɨɫɬɿ ɭɫɿɯ ɤɭɩɥɟɧɢɯ ɩɚɪɬ ɡɚ ɞɨɫɬɚɜɤɭ, ɚ
ɞɪɭɝɚ — ɩɨ 1010 ɝɪɧ ɡɚ ɤɨɠɧɭ ɿ ɛɟɡɤɨɲɬɨɜɧɭ ɞɨɫɬɚɜɤɭ. ɍ ɹɤɿɣ ɮɿɪɦɿ
ɜɢɝɿɞɧɿɲɟ ɤɭɩɭɜɚɬɢ ɩɚɪɬɢ?
31. ɇɚ ɱɚɪɿɜɧɿɣ ɹɛɥɭɧɿ ɪɨɫɬɭɬɶ 55 ɹɛɥɭɤ. Ɂ ɧɟʀ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɡɪɢɜɚɬɢ 2, 3, 6
ɚɛɨ 9 ɹɛɥɭɤ. Ɂɚɦɿɫɬɶ ɧɢɯ ɧɚ ɹɛɥɭɧɿ ɜɿɞɪɚɡɭ ɜɢɪɨɫɬɚɸɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ 4, 5, 2
ɚɛɨ 7 ɧɨɜɢɯ ɹɛɥɭɤ. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɡ ɹɛɥɭɧɿ ɡɿɪɜɚɬɢ ɜɫɿ ɹɛɥɭɤɚ, ɹɤɳɨ ɩɿɫɥɹ
ɡɪɢɜɚɧɧɹ ɨɫɬɚɧɧɶɨɝɨ ɜɨɧɢ ɛɿɥɶɲɟ ɧɟ ɜɢɪɨɫɬɚɸɬɶ?

2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ 13
1. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ. ɉɪɢɝɚɞɚɣɦɨ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɡɜɢ-
ɱɚɣɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ: ɹɤɳɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ
ɧɚ ɬɟ ɫɚɦɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɚɧɨɦɭ. Ɉɬ-
ɠɟ, ɹɤɳɨ a, b ɿ k — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ a ak
b bk
= ɿ .ak a
bk b
=
Ⱥɧɚɥɨɝɿɱɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɪɨɛɿɜ. Ⱥ ɫɚɦɟ:
Ⱦɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0, ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ
;
a ak
b bk
= .
ak a
bk b
=
Ⱦɚɧɿ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ ɿ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ,
ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɫɮɨɪɦɭɥɸɜɚɬɢ ɬɚɤ:
əɤɳɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ
ɜɢɪɚɡ, ɧɟ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ
ɞɚɧɨɦɭ.
2. ɋɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ak a
bk b
= ɞɪɿɛ ak
bk
ɦɨɠ-
ɧɚ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɞɪɨɛɨɦ ,a
b
ɬɨɛɬɨ ɞɪɿɛ ak
bk
ɦɨɠɧɚ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠ-
ɧɢɤ k ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
4 2 2 2 ;
2 2
n n n n
mn m n m
⋅= =
⋅
2 2
2
( )( )
.
( )
a b a ba b a b
a a b aa ab
+ −− +
= =
−−
Ɋɿɜɧɨɫɬɿ
2
4 2
2
n n
mn m
= ɿ
2 2
2
a b a b
aa ab
− +
=
−
ɽ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɹɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɢ ɽ ɩɪɚ-
ɜɢɥɶɧɢɦɢ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ (ɩɟɪɲɚ — ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ m
ɿ n, ɞɟ m ≠ 0, n ≠ 0; ɞɪɭɝɚ — ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɿ b, ɞɟ ɚ ≠ 0, a ≠ b).
ɓɨɛ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ;
2) ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɫɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ.

3. Ɂɜɟɞɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ
a ak
b bk
= ɞɪɿɛ a
b
ɦɨɠɧɚ ɡɜɨɞɢɬɢ ɞɨ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2
3 3 2 6
2 2
x x x x
y y x xy
⋅= =
⋅
— ɡɜɟɥɢ ɞɪɿɛ 3x
y
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 2ɯɭ.
Ȼɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɹɤ ɿ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɦɨɠɧɚ ɡɜɟɫ-
ɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 2
3
y
x
ɬɚ 4 .
y
Ɣ ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɚɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ʀɯɧɿɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ,
ɬɨɛɬɨ 3ɯ2
ɭ. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ ɭ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ —
3ɯ2
. Ɍɨɞɿ:
2
2 2 2
;
3 3 3
y y y y
x x y x y
⋅
= =
⋅
2 2
2 2
4 4 3 12 .
3 3
x x
y y x x y
⋅= =
⋅
Ɣ
5
8a b
ɿ 2 2
7 .
12a c
Ɣ Ɂɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɨɛɨɯ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚɦɢ, ɬɨɦɭ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɲɭɤɚɬɢɦɟɦɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ ɹɤɨɦɨɝɚ ɦɟɧɲɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. Ɂɚ ɤɨ-
ɟɮɿɰɿɽɧɬ ɰɶɨɝɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ ɜɿɡɶɦɟɦɨ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɫɩɿɥɶɧɟ ɤɪɚɬɧɟ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ ɞɚɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨɛɬɨ 24, ɚ ɤɨɠɧɭ ɡɦɿɧɧɭ ɜɿɡɶɦɟɦɨ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɚ ɜɯɨɞɢɬɶ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɜɿɡɶɦɟɦɨ a3
, b ɿ
c2
. Ɍɨɞɿ ɫɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɛɭɞɟ 24a3
bc2
. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ 3ɫ2
, ɛɨ 24a3
bc2
= 8a3
b ⋅ 3c2
; ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — 2ab, ɛɨ 24a3
bc2
=
= 12a2
c2
⋅ 2ab. Ɇɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
3 3 2 3 2
5 5 3 15 ;
8 24 24
c c
a b a bc a bc
⋅= = 2 2 3 2 3 2
7 7 2 14 .
12 24 24
ab ab
a c a bc a bc
⋅= = Ɣ
ɓɨɛ ɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɩɪɨɫɬɿɲɨɝɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ, ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ
ɹɤɢɯ ɽ ɨɞɧɨɱɥɟɧɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɧɚɣɬɢ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɫɩɿɥɶɧɟ ɤɪɚɬɧɟ (ɇɋɄ) ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;
2) ɭɬɜɨɪɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɇɋɄ ɿ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡɦɿɧ-
ɧɢɯ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɢ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;

3) ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɞɨ-
ɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ. (ɓɨɛ ɡɧɚɣɬɢ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɞɥɹ ɞɪɨɛɭ, ɩɨɬɪɿ-
ɛɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɨɞɧɨɱɥɟɧɿɜ,
ɨɞɧɢɦ ɡ ɹɤɢɯ ɽ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɚɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ. Ɍɨɞɿ ɞɪɭɝɢɣ ɨɞɧɨɱɥɟɧ ɛɭɞɟ ɞɨ-
ɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ.)
3
a ab−
ɿ 2
2 .
a ab+
Ɣ Ɋɨɡɤɥɚɞɟɦɨ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ:
2
3 3 ;
( )a a ba ab
=
−− 2
2 2 .
( )a a ba ab
=
++
ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ɚ(ɚ – b)(ɚ + b) = ɚ(ɚ2
– b2
). Ⱦɨɞɚɬ-
ɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ ɜɢɪɚɡ ɚ + b, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — ɜɢɪɚɡ ɚ – b.
ɉɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɞɨɞɚɬɤɨ-
ɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ, ɨɞɟɪɠɢɦɨ:
2 2 2
3( )3 ;
( )
a b
a ab a a b
+
=
− − 2 2 2
2( )2 .
( )
a b
a ab a a b
−
=
+ −
Ɣ
ɓɨɛ ɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɩɪɨɫɬɿɲɨɝɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ, ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ
ɹɤɢɯ ɽ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ;
2) ɭɬɜɨɪɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɨɞɟɪɠɚɧɢɯ ɦɧɨɠɧɢ-
ɤɿɜ ɡ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɡ ɹɤɢɦ ɜɨɧɢ ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ;
3) ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɤɨɠɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɣ ɞɨ-
ɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ.
4. Ɂɦɿɧɚ ɡɧɚɤɚ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɚɜɢ-
ɥɶɧɭ ɱɢɫɥɨɜɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ 1 1 .
2 2
− =− Ȳʀ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨɤɨɦɟɧɬɭɜɚɬɢ ɬɚɤ: ɹɤɳɨ ɡɦɿɧɢɬɢ
ɡɧɚɤ ɭ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ ɿ ɡɧɚɤ ɩɟɪɟɞ ɞɪɨɛɨɦ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ ɞɚɧɨɦɭ.

ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɡɦɿɧɸɸɬɶ ɡɧɚɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɛɭɞɶ-
ɹɤɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ:
,a a
b b
− =− .a a
b b
=−
−
əɤɳɨ ɡɦɿɧɢɬɢ ɡɧɚɤ ɭ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ ɚɛɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ ɿ ɡɧɚɤ ɩɟɪɟɞ ɞɪɨ-
ɛɨɦ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɞɚɧɨɦɭ.
Ⱦɨɜɟɞɟɦɨ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɿɜ. ɉɨɤɚɠɟɦɨ, ɳɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ a ak
b bk
= ɽ ɬɨɬɨɠ-
ɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɳɨ ɜɨɧɚ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0.
ɇɟɯɚɣ .a m
b
= Ɂɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɤɢ ɦɚɽɦɨ: ɚ = bm. ɉɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢ-
ɧɢ ɨɞɟɪɠɚɧɨʀ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɧɚ k, ɦɚɬɢɦɟɦɨ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɚk = (bm)k ɚɛɨ ɚk = (bk)m.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0, ɬɨ bk ≠ 0. ɍ ɬɚɤɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɡ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɚk = (bk)m ɡɧɨɜɭ ɠ ɬɚɤɢ
ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɤɢ ɦɚɽɦɨ: .akm
bk
= Ɉɬɠɟ, .a akm
b bk
= =
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɞɿɥɢɬɢ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɣ
ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ:
ɚ) 12 ;
8
a
ab
ɛ)
3
2 2
18
.
6
xy
x y
−
−
Ɣ ɚ) 12
8
a
ab
= 4 3
4 2
a
a b
⋅
⋅
= 3 .
2b
ɛ)
3
2 2
18
6
xy
x y
−
−
=
2
2
6 3
6
xy y
xy x
− ⋅
− ⋅
=
3
.
y
x
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɋɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ:
ɚ) 2 2
10 5 ;
4
b a
a b
−
−
ɛ)
2 2
3 3
.
x xy y
x y
+ +
−
Ɣ ɚ) 2 2
10 5
4
b a
a b
−
−
=
5( 2 )
( 2 )( 2 )
a b
a b a b
− −
− +
= 5
2a b
−
+
= 5 .
2a b
−
+

ɛ)
2 2
3 3
x xy y
x y
+ +
−
=
2 2
2 2
( )( )
x xy y
x y x xy y
+ +
− + +
= 1 .
x y−
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɪɿɛ 3
7
a
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 42ɚ2
b.
Ɣ Ɉɫɤɿɥɶɤɢ 42ɚ2
b = 7b ⋅ 6ɚ2
, ɬɨ, ɩɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɚ-
ɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ 6ɚ2
, ɦɚɬɢɦɟɦɨ: 3
7
a
b
=
2
2
3 6
7 6
a a
b a
⋅
⋅
=
3
2
18 .
42
a
a b
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. Ɂɜɟɫɬɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ 2 2
3
m n−
ɿ 9 .
n m−
• 2 2
3 3 ;
( )( )m n m nm n
=
− +−
9 9 .
n m m n
= −
− −
ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ
ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ (m – n)(m + n). Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ
1, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — m + n. Ɍɨɦɭ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɡɚɥɢɲɚɽɦɨ ɛɟɡ ɡɦɿɧɢ, ɚ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨ-
ɝɨ ɞɪɨɛɭ ɦɚɬɢɦɟɦɨ: 2 2
9( ) 9( )9 .
( )( )
m n m n
n m m n m n m n
+ +
= − = −
− − + −
•
32. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 5 ;
15
x
y
ɛ) ;
4
ab
b
ɜ)
( 2)
;
( 2)
m n
n n
−
−
ɝ)
2
3
18 .a
a
33. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 11
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ b2
; ɛ) 3
2
x
y
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ 4ɯɭ.
34. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) a
b
ɿ
3
b ; ɛ) 1
mn
ɿ 2
1
n
.
35. Ɂɦɿɧɿɬɶ ɡɧɚɤ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2
( )x y− −
; ɛ) 2
x y−
.

36. ȼɢɞɿɥɿɬɶ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɣ
ɫɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 3 ;
5
x
x
ɛ) 4 ;
6
a
a
ɜ) 9 ;
6
ab
b
ɝ)
2
2
10
.
15
x y
xy
−
ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
37. ɚ)
2 2
2 3
28
;
35
x y
x y
ɛ)
2 2
24 ;
36
b c
bc
ɜ)
2
2 2
15 ;
40
mn
m n
− ɝ)
2 4
4 3
8 .
12
k m
k m−
38. ɚ)
2 2
3
18 ;
12
c n
n
ɛ)
2
36
;
28
xy
xy
ɜ)
2
2 3
40 ;
24
ab
a b−
ɝ)
3
3
14 .
42
ac
bc
−
−
39. ɚ)
( )
;
a m n
m n
−
−
ɛ)
( )
;
3 ( )
b c d
b c d
+
+
ɜ) 5 ;
15 20
k
k +
ɝ)
2
.m mn
mn
−
40. ɚ)
( )
;
( )
ab a b
c a b
+
+
ɛ)
( 2 )
;
( )
m x y
m x y
−
−
ɜ) 3 9 ;
3
x
x
−
−
ɝ)
7
.
5
xy
xy y−
41. ɉɨɞɚɣɬɟ ɱɚɫɬɤɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɣ ɫɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ:
ɚ) 10ɚ2
b2
: (5ɚ3
b); ɛ) 24m2
n : (–6mn); ɜ) (–28ab3
) : (–21b4
).
42. ɚ)
3
2 2
20
4
a b
a b
, ɹɤɳɨ ɚ = 48; b = 16; ɚ = –4,2; b = 2,1.
ɛ) 15ɯ2
ɭ3
: (30ɯɭ2
), ɹɤɳɨ ɯ = 300; ɭ = 0,06.
43. ɚ)
3
2 2
18
2
bc
b c
, ɹɤɳɨ b = 3; c = 4,5; b = –1,4, c = 2,8;
ɛ) 64m2
n4
: (16mn2
), ɹɤɳɨ m = 0,25; n = 25.
44. ɚ) 6 3 ;
8 4
a b
a b
−
−
ɛ)
2
2
12 16 ;
3 4
a a
a a
−
−
ɜ)
2
2
;
xy x y
xy xy
+
−
ɝ)
2 2
;a b
a b
−
−
ɞ)
2
9 ;
7 21
a
a
−
+
ɟ) 2
10 20 ;
7 28
x
x
−
−
ɽ) 2
4 8
;
4 4
y
y y
−
− +
ɠ)
2
2
6 9.
9
x x
x
+ +
−

45. ɚ)
9 6
;
15 10
x y
x y
−
−
ɛ)
2
2
2 ;
2
c c
c c
+
−
ɜ) 2
10 10
;
x y
xy y
−
−
ɝ)
2
2
;ab a
ab b
+
+
ɞ)
2 2
;m n
n m
−
+
ɟ) 2 2
5 5
;
x y
x y
+
−
ɽ)
2
2 1;
3 3
m m
m
+ +
+
ɠ)
2
2
25 .
10 25
a
a a
−
− +
ɚ)
4
k
p
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 12p; 16p2
; ɛ) 2
5
2a
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 4ɚ4
; 10ɚ2
b.
47. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ 4
3xy
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ: 15xy; 3xy2
; 9ɯ3
y.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
48. ɚ) x
y
ɿ 2 ;
x
ɛ) m
ab
ɿ 4 ;
b
ɜ) 2
d
a
ɿ 3
1 ;
a
ɝ) 3
2c
ɿ 2
9 ;
c
ɞ) 1
3c
ɿ 2 ;
5c
ɟ) 3
8a
ɿ 1 ;
12a
ɽ) 2
18
x
a
ɿ 4
;
27
y
a
ɠ) 5
6ab
ɿ 5 ;
4b
ɡ) 2
3
p
a
ɿ .
6
q
ab
49. ɚ) 3
2a
ɿ 2 ;
b
ɛ) 7
8a
ɿ 5 ;
a
ɜ)
2
k
b
ɿ ;
3
n
b
ɝ) 8
15ab
ɿ 7 ;
20ab
ɞ) 2
5
6a
ɿ 7 ;
18a
ɟ) 3
3
4y
ɿ 2
7 .
20y
50. ɚ) 5
1a +
ɿ 4 ;
2a +
ɛ) 3
2( 1)a −
ɿ 2 ;
3( 1)a −
ɜ) 1
ab b+
ɿ 1 .
1a +
51. ɚ) 1
3c +
ɿ 2 ;
1c −
ɛ) 3
8( 2)b +
ɿ 1 ;
4( 2)b +
ɜ) 8
xy x−
ɿ 7 .
1y −
52. ɚ)
2
2 2
6 9 ;
4 9
ab b
a b
−
−
ɛ)
2 2
2 2
4 25 ;
4 20 25
c x
c cx x
−
+ +
ɜ)
3 3
2 2
2 8
;
2
x y xy
xy x y
−
−

ɝ)
3
8;
2
x
x
+
+
ɞ)
2
3
3 9 ;
27
z z
z
+ +
−
ɟ)
6
2
1
;
1
y
y
−
−
ɽ) ;
ax cx ay cy
cx cy
+ − −
−
ɠ)
2 2
2
2 ;b ab a
a ab ax bx
+ +
+ − −
ɡ) 2
8 4 .
2 2
a b
ab b ad bd
+
+ − −
53. ɚ) 2 2
14 63 ;
4 81
b c
b c
−
−
ɛ) 2
3 12 ;
8 16
kn n
k k
−
− +
ɜ)
2
2 3
6 2 ;
9
mn m
mn m
+
−
ɝ) 3
15 5 ;
27
c
c
−
−
ɞ)
2 2
2
;
x y
xy x y y
−
− + −
ɟ)
2
2
.a ac bc ab
a b abc
+ + +
+
54. ɚ)
2
2
3 9
9
a a
a
+
−
, ɹɤɳɨ ɚ = 4; ɚ = 1
3
− ;
ɛ)
2 2
2
( )
m n m n
m n
− − +
−
, ɹɤɳɨ m = 9,51; n = –0,49.
55. ɚ)
2
4
5 10
x
x
−
+
, ɹɤɳɨ ɯ = –1; ɯ = 2
9
; ɛ)
2
2 2
( )
,
a b
a b ab
+
+
ɹɤɳɨ a = 2,5; b = 4.
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
56. ɚ)
2 2
2 2
12 36 6 ;
636
a ab b a b
a ba b
+ + +=
−−
ɛ)
4
2
2
8 2 4.
2
m m m m
m m
− = + +
−
57. ɚ)
2 2
2 2
2
;
4( )4 4
x xy y x y
x yx y
− + −
=
+−
ɛ)
3
2
8 1 2 1.
4 2 1
x x
x x
+ = +
− +
ɚ) 7
x y+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɯ2
+ ɯɭ; ɛ) 2
x y+
+ 2ɯɭ + ɭ2
;
ɜ) c
a b−
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɚ2
– b2
; ɝ) n
m n−
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ m3
– n3
.
ɚ) 2a
x y+
– ɭ2
; ɛ) 1
a c+
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɚ3
+ ɫ3
.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɢ:
60. ɚ) 3
9
14a b
ɿ 2
5 ;
21ab
ɛ) 3 3
1
18x y
ɿ 4
1 ;
27xy
ɜ) 2
9
a
m n
ɿ 5 3
.
15
b
m n

61. ɚ) 3 3
8
9x y
ɿ 5
5 ;
24xy
ɛ) 3 2
16
a
m n
ɿ 4
;
24
b
m n
ɜ) 4 2
15
c
x y
ɿ 2
2 .
25x y
62. ɚ) 2
3
x xy+
ɿ 2
2 ;
xy y+
ɛ) 2 2
x
x y−
ɿ ;
y
x y+
ɜ) 2 2
2
m
m mn n+ +
ɿ ;n
m n+
ɝ) 2
4 1
c
c −
ɿ
2
;
1 2
c
c−
ɞ) 3
1
1 x−
ɿ 2 ;
1x −
ɟ) 3
8
y
y −
ɿ 2
2 .
2 4y y+ +
63. ɚ) 2 2
x
x x y+
ɿ 2
;
y
y y+
ɛ) 2
4 4
m
m m− +
ɿ 3 ;
2 m−
ɜ) 2 2
4
a
a b−
ɿ .
2
b
b a−
64. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ, ɞɟ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ:
ɚ)
2
13824 ;
15552
n
n
x
x
+
ɛ) 2
2045 ;
1755
n
n
x
x
ɜ)
2 2
2 2
3 2
;
2
x xy y
x xy y
+ +
− −
ɝ)
3 2
2
2 2
.
2
y y y
y y
+ − −
+ −
65. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɡɚɞɚɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
ɚ)
2
1;
1
xy
x
−=
−
ɛ) .
x
y
x
=
66. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
ɚ)
2
2 2
3 5 15 10 25 ;
3 3 5 5
ab a b a a
ab a b b a ab a b
+ + + + +=
+ + + + + +
ɛ)
2 3 2 3 3 2 3 2
.
2 3 4 6 3 2 6 4
xy y x xy y x
xz z x xz z x
+ + + + + +
=
+ + + + + +
67. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
ɚ) 4 2 ;
9 9
+ ɛ) 5 2;
7 7
− ɜ) 1 53 2 ;
6 6
+ ɝ) 1 54 1 .
8 8
−

68. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) 5 1 3 5;
7 9 7 9
x x− = + ɛ) ( )( ) ( )
2
1 1 1 1 .
2 2 2 2
x x x− + − − =
69. ɋɶɨɝɨɞɧɿ ɜ ɦɚɝɚɡɢɧɿ 2 ɤɝ ɩɨɦɿɞɨɪɿɜ ɿ 3 ɤɝ ɨɝɿɪɤɿɜ ɤɨɲɬɭɸɬɶ 28 ɝɪɧ.
Ɍɢɠɞɟɧɶ ɬɨɦɭ, ɤɨɥɢ ɩɨɦɿɞɨɪɢ ɣ ɨɝɿɪɤɢ ɛɭɥɢ ɞɨɪɨɠɱɢɦɢ ɧɚ 25 %, 1 ɤɝ
ɩɨɦɿɞɨɪɿɜ ɿ 2 ɤɝ ɨɝɿɪɤɿɜ ɤɨɲɬɭɜɚɥɢ 20 ɝɪɧ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɲɬɭɸɬɶ ɫɶɨɝɨɞɧɿ
1 ɤɝ ɩɨɦɿɞɨɪɿɜ ɿ ɫɤɿɥɶɤɢ 1 ɤɝ ɨɝɿɪɤɿɜ?
70. ȯ ɞɜɚ ɫɩɥɚɜɢ ɦɿɞɿ ɣ ɰɢɧɤɭ. ȼ ɨɞɢɧ ɫɩɥɚɜ ɦɿɞɶ ɿ ɰɢɧɤ ɜɯɨɞɹɬɶ ɭ
ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɿ 5 : 2, ɚ ɜ ɿɧɲɢɣ — ɭ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɿ 3 : 4. ɋɤɿɥɶɤɢ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɡɹɬɢ
ɤɿɥɨɝɪɚɦɿɜ ɤɨɠɧɨɝɨ ɫɩɥɚɜɭ, ɳɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ 28 ɤɝ ɧɨɜɨɝɨ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦ
ɭɦɿɫɬɨɦ ɦɿɞɿ ɣ ɰɢɧɤɭ?
71. ɍ ɫɶɨɦɢɯ ɿ ɜɨɫɶɦɢɯ ɤɥɚɫɚɯ ɲɤɨɥɢ ɪɚɡɨɦ ɧɚɜɱɚɸɬɶɫɹ 180 ɭɱɧɿɜ. Ʉɨɠɧɢɣ
ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤ ɞɪɭɠɢɬɶ ɿɡ 7 ɫɟɦɢɤɥɚɫɧɢɤɚɦɢ, ɚ ɤɨɠɧɢɣ ɫɟɦɢɤɥɚɫɧɢɤ —
ɿɡ 8 ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤɚɦɢ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɜɫɶɨɝɨ ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤɿɜ ɽ ɭ ɲɤɨɥɿ?
1. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ. Ⱦɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɞɨɞɚɸɬɶ ɬɚɤ ɫɚɦɨ, ɹɤ ɿ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢ-
ɤɚɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɞɨɞɚɸɬɶ ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ, ɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɡɚɥɢɲɚɸɬɶ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ:
.a c a c
b b b
++ = (1)
Ɋɿɜɧɿɫɬɶ (1) ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b ɿ ɫ, ɞɟ b ≠ 0.
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (1) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɬɚɤɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ
ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ, ɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɡɚɥɢɲɢɬɢ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ.

3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 23
2. ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ. ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ
ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ
.
a c a c
b b b
−
− = (2)
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (2) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
ɓɨɛ ɜɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɿɞ ɱɢɫɟ-
ɥɶɧɢɤɚ ɡɦɟɧɲɭɜɚɧɨɝɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɤɚ, ɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɡɚɥɢɲɢɬɢ ɬɨɣ ɫɚɦɢɣ.
3. Ɂɚɩɢɫ ɞɪɨɛɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɪɨɛɿɜ. ɍ ɤɨɠɧɿɣ ɡ ɬɨɬɨɠɧɨ-
ɫɬɟɣ (1) ɿ (2) ɩɟɪɟɫɬɚɜɢɦɨ ɦɿɫɰɹɦɢ ɥɿɜɭ ɿ ɩɪɚɜɭ ɱɚɫɬɢɧɢ:
;a c a c
b b b
+ = + .a c a c
b b b
− = −
Ɉɞɟɪɠɚɧɿ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ, ɹɤɳɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɢ
ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɞɪɨɛɿɜ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ⱦɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) 7 5 ;
a a
+ ɛ) 2 1 1 3 ;a b
ab ab ab
+ −+ + ɜ)
5 2
.
2 2
x y x y
x y x y
− −
+
− −
Ɣ ɚ) 7 5
a a
+ = 7 5
a
+ = 12.
a
ɛ) 2 1 1 3a b
ab ab ab
+ −+ + = 2 1 1 3a b
ab
+ + − + = 2 3.a b
ab
+ +
ɜ)
5 2
2 2
x y x y
x y x y
− −
+
− −
=
5 2
2
x y x y
x y
− + −
−
=
6 3
2
x y
x y
−
−
=
3(2 )
2
x y
x y
−
−
= 3. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ȼɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ:
ɚ) 2 2
4 2 3 ;
2 3 2 3
n n
n n n n
+−
− −
ɛ) 2 3 .a a
x y y x
−
− −
Ɣ ɚ) 2 2
4 2 3
2 3 2 3
n n
n n n n
+−
− −
= 2
4 (2 3)
2 3
n n
n n
− +
−
= 2 3
(2 3)
n
n n
−
−
= 1 .
n

ɛ) Ɂɦɿɧɢɜɲɢ ɡɧɚɤ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 3a a
x y y x
−
− −
= 2 3
( )
a a
x y x y
−
− − −
= 2 3a a
x y x y
+
− −
= 2 3a a
x y
+
−
= 5 .a
x y−
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɚɩɢɫɚɬɢ ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 3 5;a
a
+ ɛ) 2 2 1;a b
a b
+ +
+
ɜ) 3 1.
1
n
n
+
+
Ɣ ɚ) 3 5 3 5 53 .a a
a a a a
+ = + = +
ɛ)
2( )2 2 1 1 12 .
a ba b
a b a b a b a b
++ + = + = +
+ + + +
ɜ)
3( 1) 2 3( 1)3 1 3 3 2 2 23 .
1 1 1 1 1 1
n nn n
n n n n n n
+ − ++ + −= = = − = −
+ + + + + +
Ɣ
72. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) ;
4 4
a b+ ɛ) 9 3 ;
11 11
b b+ ɜ) 3 ;a a
x x
+ ɝ) .x a a
d d
+ +
73. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɪɿɡɧɢɰɸ ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) ;
7 7
yx − ɛ) 8 3 ;
9 9
n n− ɜ) ;
a y y
x x
+
− ɝ)
2
.
x y x
c c
+
−
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
74. ɚ) 2 3 ;b b
a a
+ ɛ) 5 3 7 1;
3 1 3 1
n n
n n
+ −+
+ +
ɜ) 2 3 4 3 ;a a
xy xy xy
− + +
ɝ) 6 3 ;
5 5
a a
p p
− ɞ) 3 3 ;
9 9
a a
a a
+ −− ɟ) 9 2.
7 7
b
b b
+−
− −
75. ɚ) 3 5 2 7 ;
5 5
n n
n n
+ −+ ɛ) 2 1 1 2 ;
1 1
x x
x x
+ −+
− −
ɜ) 2 2 ;
2 2 2
n n n
m m m
+ −+ +
ɝ) 3 ;c c
b b
+ − ɞ) 7 3 3 2 ;
4 1 4 1
b b
b b
− −−
− −
ɟ) 4 1 4 5 .
2 2 2
a a
a a a
− ++ −

3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 25
ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
76. ɚ) 7 2 5 2 ;
4 1 4 1
x x
x x
− ++
+ +
ɛ) 3 3 ;a b a b
a b a b
− −−
+ +
ɜ) 3 5 1;
3 1 3 1
a a
a a
− ++
− −
ɝ)
6 12 ;
2 2
p
p p
−
− −
ɞ) 5 5 ;a b
a b b a
+ ++
− −
ɟ) 4 3 4 .
2 2
x x
x y y x
+ −−
− −
77. ɚ) 6 1 4 ;
1 1
m m
m m
− +−
− −
ɛ)
3 7 5
;
x y x y
x y x y
+ +
+
+ +
ɜ) 8 8 ;m n
m n n m
+
− −
ɝ) 9 9.
3 3
c c
c c
− +−
− −
78. ɚ) 3 3 1
4 4
b b
b b
− −+ , ɹɤɳɨ b = –3; ɛ)
2 2
7 1 1
3 3
a a
a a
− −− , ɹɤɳɨ ɚ = 0,28.
79. ɚ) 2 2
3 3a a
a a
− ++ , ɹɤɳɨ ɚ = 5; ɛ) 4 5 2 1
2 2
c c
c c
+ −− , ɹɤɳɨ ɫ = 0,4.
80. ɚ)
2
2 1 ;
1 1
c c
c c
− −
− −
ɛ)
5 3
;
1 1
a a
a a
−
− −
ɜ)
2
2 2
9 6 ;
9 9
b b
b b
+ +
− −
ɝ)
4 2 3
2 4 2 4
12 4 ;
3 3
a a b
a b b a b b
−
− −
ɞ)
2
4 5 1 2 ;
2 1 2 1 2 1
x x x
x x x
− −+ −
+ + +
ɟ) 2 2 2 2 2 2
2 3
.
xy x xy y y
x y x y x y
− −
− −
− − −
81. ɚ)
2 2
5 14 10
;
2 2
y y
y y
− −
−
− −
ɛ)
2 2
3 3
2
;
( ) ( )
x y xy
x y x y
+
−
− −
ɜ)
2
3 3
1 ;
1 1
a a
a a
+ +
− −
ɝ)
2 4
2 2
18 2 ;
3 3
a b
a b a b
−
− −
ɞ)
2 2
21 3 ;
3 3 3
n n
n n n
−− +
− − −
ɟ) 2 2 2
8 2 3 .
(5 ) (5 ) (5 )
a b a b a b
a b a b a b
− − +− −
+ + +

82. ɚ)
2 2
( ) ( )
4;
a b a b
ab ab
+ −
− = ɛ)
3 2
2 2 2
4 4 .
( 2) ( 2) ( 2)
x x x x
x x x
− + =
− − −
83. ɚ)
2 2
2 2 2 2
( ) ( )
2;
m n m n
m n m n
+ −
+ =
+ +
ɛ)
2
2 2 2 2
4 2 2 .
24 4
a ab a
a ba b a b
− =
+− −
ɉɨɞɚɣɬɟ ɞɪɿɛ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɿ ɞɪɨɛɭ:
84. ɚ) 3 8 ;
2
x
x
+ ɛ) 5 5 2 ;m n
m n
− +
−
ɜ)
4 5
;
2
y
y
+
+
ɝ)
2
.
x y
x y
−
+
85. ɚ) 14 5;
7
b + ɛ) 3 3 ;b c a
b c
+ −
+
ɜ) 6 1;
2 1
c
c
+
+
ɝ)
4 3
.
x y
x y
−
−
86. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ:
ɚ)
2 4
2 2
1 ;
1 1
x x
x x x x
+ +
+ + + +
ɛ)
4 4 2 2
3 3 3 3
.a x a x
a x a x
+ +
+ +
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɚ) Ɇɧɨɝɨɱɥɟɧ ɯ4
+ ɯ2
+ 1 ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɡɚɩɢɫɚɜɲɢ
ɣɨɝɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ (ɯ4
+ 2ɯ2
+ 1) – ɯ2
.
ɚ) 5 3;
6 8
+ ɛ) 3 4 ;
14 21
− ɜ) 2 5 7 ;
9 6 12
− + ɝ) 1 2 57 4 .
3 11 6
⋅ −
88. ɉɨɞɚɣɬɟ ɨɞɧɨɱɥɟɧ 24ɚ7
b8
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɨɞɧɨɱɥɟɧɿɜ, ɨɞɧɢɦ ɡ
ɹɤɢɯ ɽ:
ɚ) 6ɚ4
b7
; ɛ) 4ɚ2
b5
; ɜ) 24ɚ7
b; ɝ) 8ɚb7
.
89. Ɂ Ʉɢɽɜɚ ɿ ɑɟɪɤɚɫ, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 190 ɤɦ, ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɧɚɡɭ-
ɫɬɪɿɱ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ ɜɢʀɯɚɥɢ ɚɜɬɨɛɭɫ ɬɚ ɥɟɝɤɨɜɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɿ ɡɭɫɬɪɿɥɢɫɹ
ɱɟɪɟɡ 1 ɝɨɞ 15 ɯɜ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɜ 11
9
ɪɚɡɭ
ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɚɜɬɨɛɭɫɚ.

4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 27
90. ȼɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨ ɧɨɪɦ ɚɝɪɨɬɟɯɧɿɤɢ ɡɟɪɧɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɫɢɩɚɬɢ ɧɚ ɬɪɢɜɚɥɟ
ɡɛɟɪɿɝɚɧɧɹ ɡɚ ɜɨɥɨɝɨɫɬɿ 14% (ɤɨɧɞɢɰɿɣɧɢɣ ɫɬɚɧ). Ɂɿɛɪɚɧɟ ɡɟɪɧɨ, ɦɚɫɚ
ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 43 ɬ, ɦɚɽ ɜɨɥɨɝɿɫɬɶ 24%. ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ
ɦɚɫɚ ɰɶɨɝɨ ɡɟɪɧɚ ɩɪɢ ɞɨɜɟɞɟɧɧɿ ɣɨɝɨ ɞɨ ɤɨɧɞɢɰɿɣɧɨɝɨ ɫɬɚɧɭ?
91. ɇɚ ɤɥɿɬɱɚɫɬɨɦɭ ɩɚɩɟɪɿ ɫɢɞɹɬɶ 100 ɩɚɜɭɤɿɜ, ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɭ ɤɥɿɬɢɧɰɿ. ɉɚɜɭɤɢ
ɜɨɪɨɝɭɸɬɶ, ɹɤɳɨ ɤɥɿɬɢɧɤɢ, ɭ ɹɤɢɯ ɜɨɧɢ ɫɢɞɹɬɶ, ɦɚɸɬɶ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɭ
ɫɩɿɥɶɧɭ ɜɟɪɲɢɧɭ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ ɧɢɯ ɡɚɜɠɞɢ ɦɨɠɧɚ ɜɢɛɪɚɬɢ ɧɟ
ɦɟɧɲɟ ɧɿɠ 25 ɩɚɜɭɤɿɜ, ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɜɚ ɡ ɹɤɢɯ ɧɟ ɜɨɪɨɝɭɸɬɶ.
ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿ-
ɛɧɨ ɡɜɟɫɬɢ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɿ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɿ
ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɞɨɞɚɸɬɶ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ɇɟɯɚɣ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ ,c
d
ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ. Ɂɜɟ-
ɞɟɦɨ ɰɿ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ bd. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɩɨɦɧɨɠɢɦɨ ɧɚ d, ɚ ɞɪɭɝɨɝɨ ɞɪɨɛɭ — ɧɚ b. Ɉɞɟɪɠɢɦɨ:
;=a ad
b bd
.c bc
d bd
=
Ɂɧɚɸɱɢ, ɹɤ ɞɨɞɚɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
.++ = + =a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
Ɉɬɠɟ,
.a c ad bc
b d bd
++ =
ȼɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɨ, ɚ ɫɚɦɟ:
.a c ad bc
b d bd
−− =

ɓɨɛ ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɜɟɫɬɢ ɞɪɨɛɢ ɞɨ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ;
2) ɞɨɞɚɬɢ ɚɛɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɿ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
ɚ) 5 4 ;b c
ac b
+ ɛ) 2 2 3
4 7 ;
9 12x y xy
+ ɜ) 2 2
2 2 .
xy y x xy
−
− −
• ɚ) ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ ɞɨɛɭɬɨɤ ʀɯɧɿɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɿɜ. Ɍɨɦɭ
ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɣ ɦɧɨɠɧɢɤ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ — b, ɚ ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — ɚɫ.
5b
ac
4c
b
+
b ac
=
2 2
5 4 .b ac
abc
+
ɛ) ɋɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɿɜ ɽ 36ɯ2
ɭ3
. Ⱦɨɞɚɬɤɨɜɢɦ ɦɧɨɠɧɢɤɨɦ ɞɥɹ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɽ 4ɭ, ɞɥɹ ɞɪɭɝɨɝɨ — 3ɯ.
4 7+
4y 3x
9x y 12xy32 2
= 2 3
16 21
.
36
y x
x y
+
ɜ) Ɋɨɡɤɥɚɜɲɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɞɪɨɛɿɜ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
2 2
xy y x xy
−
− −
=
2
y x y( )
2
x( )x y
x y
=
2 2
( )
x y
xy x y
−
−
=
2( )
( )
x y
xy x y
−
−
= 2 .
xy
•
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɉɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ
2
23 .
1
mm
m
+− +
−
• ȼɢɪɚɡ ɬ – 3 ɡɚɩɢɲɟɦɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ 3.
1
m − Ɍɨɞɿ:
2
23
1
mm
m
+− +
−
= m 3
1
2 +
1
m
m
1 m
+
2
=
2
( 3)(1 ) 2
1
m m m
m
− − + +
−
=
=
2 2
3 3 2
1
m m m m
m
− − + + +
−
= 4 1.
1
m
m
−
−
•

ȼɩɪɚɜɚ 3. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
2
1 .
( )
a b b
a b a a a b
+ − =
+ +
• ɉɟɪɟɬɜɨɪɢɦɨ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
1a b
a b a
+ −
+
= a
ba+
b
a
1
1
a a b( + )a a b+
+ =
2
( ) ( )
( )
a b a b a a b
a a b
+ + − +
+
=
=
2 2 2
( )
a ab b a ab
a a b
+ + − −
+
=
2
.
( )+
b
a a b
ɒɥɹɯɨɦ ɬɨɬɨɠɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɩɪɚɜɨʀ
ɱɚɫɬɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɰɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ. •
ɉɪɢɦɿɬɤɚ. ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɟɣ ɨɞɧɭ ɱɚɫɬɢɧɭ
ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɡɜɨɞɹɬɶ ɞɨ ɿɧɲɨʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɚɛɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɡɜɨɞɹɬɶ ɞɨ ɬɨɝɨ
ɫɚɦɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ, ɚɛɨ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɪɿɡɧɢɰɸ ɥɿɜɨʀ ɬɚ ɩɪɚɜɨʀ ɱɚɫɬɢɧ ɿ ɞɨɜɨɞɹɬɶ,
ɳɨ ɜɨɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ (ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ) ɞɪɨɛɿɜ:
92. ɚ) ;a m
c n
− ɛ) ;
3 12
a b+ ɜ) 5 3 ;
4 5
a b
x x
−
ɝ) 7 ;
9 6
c c
y y
− ɞ) 5 7 ;
12 18
b b
x x
+ ɟ) 4 6 .
15 25
b a
a b
−
93. ɚ) ;
6 18
c ad+ ɛ) 3 2 ;
5 3
k k
a a
+ ɜ) 5 .
24 36
n n
x x
−
94. ɚ) 2 3 ;
4
a
a
+ − ɛ)
10 37 3 ;
yx
x y
−+ + ɜ) 2 2 ;a b a b
b a
+ −−
ɝ) 2 2 ;
1 1z z
+
− +
ɞ) ;a a
a c c
−
+
ɟ)
1 2
.
2 1
y y
y y
− +
−
− +
95. ɚ) 2 1 1;
3
m
m
− + ɛ) 4 2 3 2 ;a b
a b
− ++ ɜ)
2 2
;
x y y x
x y
− −
−
ɝ) 2 1 ;
2k k
+
+
ɞ) 2 3 ;
2 1 3 2
a a
a a
−
+ +
ɟ) 1 .
1
x x
x x
+ −
−

ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
96. ɚ) 22 ;
2 1n
+
−
ɛ)
3 2
3 ;
x y
x
−
− ɜ)
2
.
2
y
y
y
−
−
97. ɚ)
5 2
2;
1
y
y
−
+
+
ɛ) 21 ;
2 3
x
x
−
+
ɜ)
2
2 3 3 .
1
c c
c
+ −
−
98. ɚ) 4 1 5 6 ;
8 12
x x
x x
− −+ ɛ) 6 18;
6 18
a a
a a
− +− ɜ) 5 4 ;
2( ) 3( )
a a
a b a b
−
+ +
ɝ)
2
2 2 ;a b a b
a ab
+ −+ ɞ) 2
1 5;c
c c
−− ɟ) 2 2
;m n m n
m n mn
+ −+
ɽ) 2
1 2 3;
3 6
y x
xy x
− ++ ɠ)
77 ;
( )
y
x x x y
−
+
ɡ) 3 3 .
( )
a
a b b a b
+
+ +
99. ɚ) 3 1 2 1;
6 4
b b
b b
− −− ɛ) 4 4 ;
5( ) 3( )
b c b c
b c b c
+ −+
− −
ɜ)
3 1;
3 3
x y x
xy x
+ −+
ɝ) 2
2 1 ;a
aa
+ − ɞ) 2
2 ;
2
a b a
abab
+ −+ ɟ) 2 1 2 .
( 1) 1
m
m m m
+ −
− −
100. ɚ) 3 3 ;
2 2 4 4
a b a b
a b a b
− ++
− −
ɛ) 1 3 ;
3 12 2 8
x x
x x
− −−
− −
ɜ) 2
4 2 ;
2 cc c
+
−
ɝ) 2
3 2 3 ;
3 3
b
b b b
−−
+ +
ɞ)
2
2
;
2 4
k k
k k
−
− −
ɟ) 2 2
4 4 .
2
m n
m nm mn n
− +
++ +
101. ɚ) 5 ;
2 2
m n m n
m n m n
+ −+
− −
ɛ) 2 3 ;
3 3 5 5
−
+ +
a a
a a
ɜ) 2
1 2 ;
1
n
n n n
−+
− −
ɝ) 2
15 3 ;
5 aa a
−
+
ɞ) 2
16 4 ;
416 xx
+
+−
ɟ) 2 2
1 .
2
x
x yx xy y
−
−− +
102. ɚ) 2 2
1 1 2 ;m
m n m n m n
+ =
− + −
ɛ) 2 2
1 1 .
11 1
b
bb b
− =
+− −
103. ɚ) 2
3 3 9 ;
3 3a a a a
− =
− −
ɛ) 2 2
1 .
( ) ( )
a b
a ba b a b
− =
−− −

ɉɟɪɟɬɜɨɪɿɬɶ ɭ ɞɪɿɛ ɜɢɪɚɡ:
104. ɚ) 2 2 2
1 1 ;a bc
a bc ab c
+ −+ ɛ) 4 2 3 3
3 14 1 ;
12 9
yx
x y x y
−+ −
ɜ) 1 1 ;c d
cm cn dm dn
+ +−
+ +
ɝ) ;
12 12 18 18
x x
x y x y
+
− +
ɞ) ;
4 4 4 4
a b a b
a b b a
− ++
+ −
ɟ) 2 2 2
1 1 .
( )b a a b
−
− −
105. ɚ) 3 2 2 3
2 1 3 1 ;
16 24
a b
a b a b
+ +− ɛ) 7 5 ;
ax ay by bx
−
− −
ɜ) 2 2 2
;b b
a b a ab
−
− +
ɝ) 2
1 .
2 2( )
x y
x yx y
−
+
++
106. ɚ)
2
2
5 3 1 ;
3 1 6 2
c c
c c c
+ −−
+ +
ɛ)
2
2
;b b
y bby y
+
−−
ɜ) 2
;
6 9 4 9
n n
n n
+
+ −
ɝ) 2
5 2 1 ;
10 225
x
xx
− −
−−
ɞ) 2 2
2 8 ;
2 4
a
a a a
− +
+ −
ɟ) 2 2
2 8 ;
8 2 4
a b a b
a ab b ab
+ ++
− −
ɽ) 2
5 15 ;
2 12 12 36m m m
−
+ + +
ɠ) 2 2 2
4 ;
9 24 16 3 4
x x
x xa a xa a
+
− + −
ɡ) 3 2
9 3 ;
27 3 9
a
a a a
−+
+ − +
ɢ)
2
3
2 2 4 .
2 8
x x
x x
+−
− −
107. ɚ) 2
1 10 ;
10
− +−
−
a a
a a a
ɛ) 2 2
1 1 ;b a
ab b ab a
+ ++
− −
ɜ) 2
9 9 ;
2 6 9
x
x x
−
+ −
ɝ) 2
5 20 ;
4 32 64b b
+
− −
ɞ) 2
5 45 ;
9 18 81
+
− − +
a a
a a a
ɟ) 2 2 2
;
4 12 9 4 6
y y
x xy y x xy
−
+ + +
ɽ) 3 2
1 ;
1 1
x
x x x
−
− + +
ɠ) 3
1 2 .
2 8
a
a a
+
+ +

108. ɚ) 5 6 1 1;
8 4 2
a a a
a a a
+ − ++ − ɛ) 1 1 ;
x y
xy x y
−
− −
ɜ) 2 2
;a b a b a b
aba b
+ + −− − ɝ) 2
2 2 5 ;m n
mn n m
− − +
ɞ) 2
3 3 ;
2 2
a b b
ab b a
+ − + ɟ) 1 2 1;
2 1
x x
x x
− −− +
+ +
ɽ)
2 2
;
x y
x y
x y
+
+ −
+
ɠ)
4
2
2
1 1.
1
aa
a
+− +
−
109. ɚ) 3 1 1;
3 3
a
a a
+ + − ɛ) 2 2 2 2
1 1 ;a b
a b ab a b
+− −
ɜ)
2
2
1 1 ;nk
k kn
−− − ɝ) 2
1 3 1 ;
3 3
x x
xy yx
− −− +
ɞ)
2
( )
;
m n
m n
m n
−
− +
+
ɟ) 2 11 .
1 1
x
x x
− + −
− +
110. ɚ) 2
2 4 1 ;
5 25 5 2525a aa
− −
− +−
ɛ) 2 2
2 3 3 1 .
2 4 4 4
x x
x x x x
+ +− +
+ − − +
111. ɚ) 2 2
1 1 3 ;
2 2 4
a
a b b a a b
− −
+ − −
ɛ) 2
3 1 2 .
3 36 9
m
m mm m
− + −
− ++ +
112. ɚ) 2
2 2 1
2 2
x x
x xx x
− −− +
+ +
, ɹɤɳɨ ɯ = 3 ;
11
−
ɛ)
2
2 2
2 3 3a a a ab
a b a b a b
+− −
− + −
, ɹɤɳɨ ɚ = –1,5; b = 11,5.
113. ɚ)
2
2
3 2 3
3 3
a a
a a a a
− −
− −
, ɹɤɳɨ a = 2 ;
17
ɛ)
2
2 2
2 6 4
3 2 9 4
x y xy y
x y x y
+ +
−
− −
, ɹɤɳɨ ɯ = 4,2; ɭ = 1,3.

114. ɚ) 2 2 2
2(2 1)2 ;
2 1 1 ( 1)( 1)
xx x
x x x x x
++= −
+ + − − +
ɛ) 2 2 2
3 1 5 3 3 1 .
1 2 2 2 ( 1)
b b
bb b b b b
− ++ − =
− + −
115. ɚ)
2
2 2 2 2
;
2 ( )
n m n m
n mn m n mn n n m
+= +
− + − −
ɛ) 2 2
1 3 4 15 21 .
3 3 9 9
a
a a a a
−− − =
+ − − −
116. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɬɚɤɿ ɱɢɫɥɚ ɚ ɿ b, ɳɨɛ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɜɢɤɨɧɭɜɚɥɚɫɹ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢ-
ɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ:
ɚ) 1
( 1)( 2)x x+ +
= ;
1 2
a b
x x
+
+ +
ɛ) 2 1
( 3)( 4)
x
x x
−
− +
= .
3 4
a b
x x
+
− +
ɚ) 1 1 1 ;
( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b
+ +
− − − − − −
ɛ) 2 4 8
1 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1x x x x x
+ + + +
− + + + +
ɜ)
3 7
2 4 8
1 1 2 4 8 ;
1 1 1 1 1
x x x
x x x x x
− − − −
− + + + +
ɝ) 1 1 1 1 ;
( 1) ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4)a a a a a a a a
+ + +
+ + + + + + +
ɞ)
2 2 3
2 3 2 3 2 4
1 1 2 .
1 1 1 1
b b b b b b
b b b b b b b b
+ − − −+ + +
− − + − + + + −
ɚ)
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c c a
b c c a c a a b a b b c
+ + ++ +
− − − − − −
= 0;
ɛ)
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b
− − −+ +
− − − − − −
= 2 2 2 .
a b b c c a
+ +
− − −
2* ȼ. Ʉɪɚɜɱɭɤ. Ⱥɥɝɟɛɪɚ. 8 ɤɥ.

ɚ) 9 24 5 ;
16 25 27
⋅ ⋅ ɛ) 4 2 16 8: : ;
9 27 17 51
−
ɜ) ( )5 10,4 8 5 0,8 5: 2 ;
8 2
+ ⋅ − ⋅ − ɝ) ( )7 2 21 8 8,9 2,6 : 34 .
8 3 5
§ ·⋅ − − ⋅¨ ¸
© ¹
120. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɿɜɧɹɧɶ:
ɚ)
2 3 12;
2 4;
x y
x y
+ =
®
− =¯
ɛ)
3 5 22;
7 2 24.
x y
x y
− =
®
+ =¯
121. ɉɪɨɬɹɝɨɦ ɪɨɤɭ ɜɤɥɚɞɧɢɤ ɡɧɹɜ ɡɿ ɫɜɨɝɨ ɪɚɯɭɧɤɭ 3
5
ɭɫɿɯ ɝɪɨɲɟɣ ɿ ɧɟ ɪɨɛɢɜ
ɧɨɜɢɯ ɜɧɟɫɤɿɜ. ɍ ɤɿɧɰɿ ɪɨɤɭ ɛɚɧɤ ɧɚɪɚɯɭɜɚɜ 12% ɪɿɱɧɢɯ, ɿ ɧɚ ɪɚɯɭɧɤɭ
ɜɤɥɚɞɧɢɤɚ ɫɬɚɥɨ 896 ɝɪɧ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɪɨɲɟɣ ɛɭɥɨ ɧɚ ɪɚɯɭɧɤɭ ɜɤɥɚɞɧɢɤɚ ɧɚ
ɩɨɱɚɬɤɭ ɪɨɤɭ?
122. Ʉɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɢɣ ɤɥɭɛ ɩɥɚɧɭɽ ɩɪɚɰɸɜɚɬɢ 9 ɝɨɞ ɧɚ ɞɟɧɶ ɣ ɨɛɫɥɭɝɨɜɭɜɚɬɢ
ɤɨɠɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɤɥɭɛɭ ɳɨɞɟɧɧɨ ɡɚ ɨɤɪɟɦɢɦ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɨɦ ɩɪɨɬɹɝɨɦ 1,5 ɝɨɞ.
əɤɭ ɧɚɣɦɟɧɲɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿɜ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ, ɹɤɳɨ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɱɥɟɧɿɜ ɤɥɭɛɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 50?
123. ɍ ɤɥɚɫɿ ɧɚɜɱɚɸɬɶɫɹ 29 ɭɱɧɿɜ. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɬɪɶɨɯ ɡ ɧɢɯ ɽ
ɩɪɢɧɚɣɦɧɿ ɞɜɨɽ ɞɪɭɡɿɜ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɭ ɤɥɚɫɿ ɡɧɚɣɞɟɬɶɫɹ ɭɱɟɧɶ, ɹɤɢɣ ɦɚɽ
ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɧɿɠ 14 ɞɪɭɡɿɜ.

Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1 35
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1
Ɋɿɜɟɧɶ 1
1. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 1
5
x
x
−
−
, ɹɤɳɨ ɯ = –4?
ɚ) 1; ɛ) –1; ɜ) 7 ;
9
ɝ) ɧɟ ɿɫɧɭɽ.
2. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ 8 ?
2 5
x
x
+
−
ɚ) ɯ = 0; ɛ) ɯ = 2; ɜ) ɯ = 2,5; ɝ) ɯ = 5.
3. ɋɤɨɪɨɬɿɬɶ ɞɪɿɛ
2
3
18 .
3
a
a
ɚ) 18;
a
ɛ) 3
1 ;
6a
ɜ) 6 ;
a
ɝ) 3
6 .
a
4. Ɂɜɟɞɿɬɶ ɞɪɿɛ 3
b
ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ b2
.
ɚ) 2
3 ;
b
ɛ) 2
3 ;b
b
ɜ)
2
2
3 ;b
b
ɝ)
2
3 .b
b
5. Ⱦɨɞɚɣɬɟ ɞɪɨɛɢ: 2 2
3 1 5 8
.
y y
y y
− −
+
ɚ) 2
4 11
;
y
y
+
ɛ) 2
4 5
;
2
y
y
−
ɜ) 4 – 5ɭ; ɝ) 2
4 5
.
y
y
−
6. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ .
2
a b a b
a a
+ −−
ɚ) ;
2
a b
a
+ ɛ) ;b
a
ɜ) 3 ;
2
a b
a
+ ɝ) 3 .
2
a b
a
+

Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. ɍɫɬɚɧɨɜɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɜɢɪɚɡɚɦɢ (1–4) ɬɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦɢ ɡɦɿɧɧɨʀ
(Ⱥ–Ⱦ), ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ.
1) 3 ;
2 3
a
a
−
−
Ⱥ) 0; –1;
2)
3
2
4 5;c
c
+ Ȼ) 3;
3) 2
11 ;
2 10
x
x x−
ȼ) 1,5;
4) 2 1 1.
1 2
z z
z z
− +−
+
Ƚ) 0; 5;
Ⱦ) 0.
ɚ)
3 2
4
27 ;
36
a b
a b
ɛ) 5 10 .
3 6
a b
a b
−
−
2
2 6
3
a a
a
−
−
, ɹɤɳɨ ɚ = 1,7.
10. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 3 2
35 ;
yx
a b ab
− ɛ) .
4 4 7 7
a b
x y x y
+
+ +
ɚ)
2
2 ;
x y
x y
+
+
−
ɛ) 2 2
8 16 .−
− −
n
m n m n
Ɋɿɜɟɧɶ 3
12. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɢɪɚɡɿ 2
14 .
( 2) 4− −
k
k
ɚ)
2 5
3
196
;
35
x y
x y
ɛ)
3 2
2 3 2
3 .
9
a a
ab a b
−
−
ɚ) 2 2
1 1 ;a a
a a a a
+ −−
− +
ɛ) 2
.
( )
mn n n
m n m nm n
+ +
− ++

15. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 2
1 1
m mn mn n
−
− −
, ɹɤɳɨ ɬ = 0,7; ɩ = 1.
3
ɚ) 2 ;aba b
a b
+ −
+
ɛ) 2 2 2
.
2
b a b
a ab b b ab
+−
− + −
Ɋɿɜɟɧɶ 4
17. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ?
ɚ) 2
15 ;
2 15a a+ −
ɛ) 3
| 7 | | |− +x x
.
ɚ)
3 2
10 4 40 ;
10
x x x
x
− − +
−
ɛ)
2 2
16 64.
8
x x a
x a
− − +
+ −
ɚ) 2 2
5 1 6 1 ;
5 5 6 12 6
x x
x x x x
− −−
+ + +
ɛ)
2 2
2 2
2 4 .
2 2 4 4
a b a b
a b a b a ab b
++ −
− + + +
20. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ
2
2 3
1 1 4 .
2 2 4 8 2
a a
a a a a a
++ − +
− + − −
21. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ 2 4 8
1 1 2 4 8 .
1 1 1 1 1
+ + + =
− + + + −x x x x x

1. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. Ʉɨɥɢ ɦɧɨɠɚɬɶ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɬɨ ɨɤɪɟɦɨ ɦɧɨɠɚɬɶ
ʀɯɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɛɭɬɨɤ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ
ɞɪɨɛɭ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 3 5 3 5 15 .
4 7 4 7 28
⋅⋅ = =
⋅
Ɍɚɤ ɫɚɦɨ ɦɧɨɠɚɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ c
d
:
.a c ac
b d bd
⋅ = (1)
Ɋɿɜɧɿɫɬɶ (1) ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b, c ɿ d, ɞɟ b ≠ 0 ɿ d ≠ 0.
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (1) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
ɓɨɛ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɞɪɿɛ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɬɢ ɨɤɪɟɦɨ ʀɯɧɿ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɢ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɛɭɬɨɤ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ, ɚ
ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ.
ɐɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɨɲɢɪɸɽɬɶɫɹ ɧɚ ɜɢɩɚɞɨɤ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɬɪɶɨɯ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɞɪɨɛɿɜ.
2. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ
ɞɪɨɛɿɜ, ɩɿɞɧɟɫɟɦɨ ɞɪɿɛ ɞɨ n-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
( )
P
N
ɪɚɡɿɜ
ɪɚɡɿɜɪɚɡɿɜ
...... .
...
n
n n
n
nn
a a a a aa a a
b b b b bb b b
= ⋅ ⋅ ⋅ = =

Ɉɬɠɟ,
( ) .
n n
n
a a
b b
= (2)
Ɂ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ (2) ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
ɓɨɛ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɪɿɛ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɨ ɰɶɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɬɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɿ ɩɟɪɲɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢ-
ɤɨɦ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɞɪɨɛɭ.

5. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ 39
ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɦɧɨɠɟɧɧɹ:
ɚ)
4 3
2 3
6 ;
8
a b c
c a
⋅ ɛ)
2
2 2 2
.ab b b
a a b
+ ⋅
−
• ɚ)
4 3
2 3
6
8
a b c
c a
⋅ =
4 3
2 3
6
8
a b c
c a
⋅
⋅
= 3 ;
4
abc
ɛ)
2
2 2 2
ab b b
a a b
+ ⋅
−
= 2
( )
( )( )
b a b b
a a b a b
+ ⋅
⋅ − +
=
2
2
( )
b
a a b
⋅
−
•
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɉɨɦɧɨɠɢɬɢ ɞɪɿɛ 3
3
x
x
+
−
ɧɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɯ – 3.
• Ɂɚɩɢɫɚɜɲɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɯ – 3 ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ 3
1
x − , ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
3 ( 3)
3
+ ⋅ −
−
x x
x
= 3 3
3 1
x x
x
+ −⋅
−
=
( 3) ( 3)
( 3) 1
x x
x
+ ⋅ −
− ⋅
= 3x + .
ɋɤɨɪɨɱɟɧɢɣ ɡɚɩɢɫ: 3 ( 3)
3
+ ⋅ −
−
x x
x
=
( 3)( 3)
3
x x
x
+ −
−
= 3x + .•
ȼɩɪɚɜɚ 3. ɉɿɞɧɟɫɬɢ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɞɪɿɛ
3
2
2
5
a b
m n
− .
•
23
2
2
5
a b
m n
§ ·
−¨ ¸
© ¹
=
23
2
2
5
§ ·
¨ ¸
© ¹
a b
m n
=
3 2
2 2
(2 )
(5 )
a b
m n
=
2 3 2 2
2 2 2 2
2 ( )
5 ( )
a b
m n
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
6 2
4 2
4 .
25
a b
m n
ɋɤɨɪɨɱɟɧɢɣ ɡɚɩɢɫ:
23
2
2
5
a b
m n
§ ·
−¨ ¸
© ¹
=
6 2
4 2
4 .
25
a b
m n
•
124. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɦɧɨɠɟɧɧɹ:
ɚ) ;a m
b n
⋅ ɛ) 5 2 ;
3 5
b
a
⋅ ɜ) 2 ;m
k
⋅ ɝ) 3 1 .
4
x
x
⋅

125. ɉɿɞɧɟɫɿɬɶ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
ɚ) ( )
2
;a
c
ɛ) ( )
2
2 ;
3
a
c
ɜ)
42
;a
c
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɝ)
32
3
3 .a
c
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɦɧɨɠɟɧɧɹ:
126. ɚ) 4 5 ;
3 16
b
a
⋅ ɛ) 3 2 ;
5 9
k
k
⋅ ɜ)
2
8 1 ;
11
b
b
⋅ ɝ)
4
2
14 ;
7
§ ·
⋅ −¨ ¸
© ¹
y
y
ɞ) 2 4
25 ;
5
c d
d c
⋅ ɟ)
3
2
1012 ;
5
yx
y x
⋅ ɽ) 3
34 ;
2
ax
x
⋅ ɠ) ( ) 25 3 .
6
m n m
n
− ⋅
127. ɚ)
4
2
3 2 ;
94
b
b
⋅ ɛ) 5
6 21;
7
k
k
⋅ ɜ)
3 2
6 ;
9
§ ·
⋅ −¨ ¸
© ¹
x a
a x
ɝ) 2
5 2 .
4
a ay
y
⋅
128. ɚ)
2 2
3 5
25 10 ;
4 15
a b
b a
⋅ ɛ) 3
4
5 3 ;
9
a ab
b
− ⋅ ɜ) 2
5
17 .
34
§ ·
− ⋅ −¨ ¸
© ¹
y
x y
x
129. ɚ)
22
2 3
272 ;
9 4
yx
y x
⋅ ɛ) 2
3
2 ( 10 );
5
a ab
b
− ⋅ − ɜ) 2
3
312 .
16
§ ·⋅ −¨ ¸
© ¹
m
mn
130. ɚ)
3
2 2
;
( )
x y a b
a x y
−
⋅
−
ɛ)
33
( )
;
m nx
m n x
+
⋅
+
ɜ)
2
3
3 3
;
x y b
x yb
+
⋅
+
ɝ) 2
2 1 7 ;
2 17
x x
xx x
− −⋅
−−
ɞ)
2
9 2 ;
2 3
m m
m m
− +⋅
+ −
ɟ)
2
2
4 4 4 .
4 4
a a a
a a
− + +⋅
+ −
131. ɚ)
4
2
;
ya b
a by
+ ⋅
+
ɛ)
4
3 2
;
( )
x y a
a x y
+
⋅
+
ɜ) 2
;ab ac k
b ck
+ ⋅
+
ɝ)
2
2 1 1;
1 1
b b x
x b
− + −⋅
− −
ɞ)
2 2
16
;
4
y b
ab y
−
⋅
−
ɟ)
2 5
3 2
2 1 .
1
c c c
c c
+ + ⋅
−
ɉɿɞɧɟɫɿɬɶ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ:
132. ɚ)
22
2 ;x
y
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɛ)
43
2 ;
3
a
b
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɜ)
32 3
;
5
n k
m
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɝ)
32 4
3
3 .
4
a b
c
§ ·
¨ ¸
© ¹

5. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ 41
133. ɚ)
2
2
3 ;m
n
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɛ)
3
2
2
2 ;x
y z
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɜ)
33
2
3 ;
5
a b
c
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɝ)
23 4
3
9
.
5
x y
a
§ ·
−¨ ¸
© ¹
134. ɚ)
23
3 2 2
512 ;
18
x ya b
x a a
⋅ ⋅ ɛ)
2
3 2
3 2 4 ;
4 3 3
m n n
n m m
§ ·⋅ − ⋅¨ ¸
© ¹
ɜ) 2 3
5 ;
10
bx byab
xy y a
+
⋅
+
ɝ)
2
2 3 2 3
;
xy a a
a a x y
+⋅
+
ɞ)
2
2
18 4 2 ;
272
a x
axx x
−⋅
−
ɟ)
2
2
3 2 .
9 6
a b ab a
a bab b
+ +⋅
++
135. ɚ)
2 3 2
3 2
6 ;
3 4
ab m mn
mn a ab
⋅ ⋅ ɛ)
2 3
2
5 5
;
15 15
x y x x
x yx x
+ +⋅
++
ɜ) 2 3
6 316 .
2 20
ymn
y y m n
+
⋅
+
136. ɚ) 2 2
3 1 1 ;
1 9 1
a a
a a
− +⋅
− −
ɛ)
22 2
;
9 9
x xyb a
x y a b
−− ⋅
− −
ɜ)
2
2 2
4
;
( ) 32
xy x xy
x y x
+
⋅
+
ɝ)
2 2 2
5
;
10
y a y
a y y
−§ ·
⋅¨ ¸−© ¹
ɞ)
2 2 2
(2 1)
;
7 7 4 2
x a b
b a x
+ −⋅
− +
ɟ)
2 2
3 2 2
4 4 2 ;
( ) 2 2
m n m mn n
m n m n
− + +⋅
+ −
ɽ)
2 23 3
2 2
;
2 2
x ym n
y x m mn n
−− ⋅
− + +
ɠ)
2 2
3 3
4 3 3 .
2
c a a b
a ca b
− +⋅
++
137. ɚ) 2 2
5 5 ;
2
x ya b
a bx xy y
−− ⋅
−− +
ɛ)
2
2 2
( )3 3 ;
5 5
a ba b
a b b a
+− ⋅
+ −
ɜ)
2 2 2
2
(4 )
;
12 3
x x y
xxy y
− −
⋅
−+
ɝ)
2 2 2
3 3
1
;
3 32 2
y a ab b
ya b
− − +⋅
−+
ɞ) ( )
2
2
15 ;
52 2
a a b
aab b
+⋅
+
ɟ)
2 2
3 2
1 1 .
1 2 1
a x x
x a a
− + +⋅
− + +

138. ɚ)
22 5
3
2 3 98 ,
7 94
a b a
b a
§ ·⋅ − ⋅¨ ¸
© ¹
ɹɤɳɨ ɚ = –1,25; b = 8;
ɛ)
2 3 2
2 2
8 16 3 12
16 4
x x x x
x x x
+ + −⋅
− +
, ɹɤɳɨ ɯ = –1; ɯ = 0,8; ɯ = 24 .
3
139. ɚ)
3 9
2 4 2
16 3 ,
2 3
yx
y x y
§ · § ·
⋅ ⋅ −¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ɹɤɳɨ ɯ = 1 ;
7
ɭ = 0,5;
ɛ)
3 3
3 2
27 4
0,2 3 9
a a
a a a
+ ⋅
− +
, ɹɤɳɨ ɚ = –4; ɚ = 5; ɚ = 1 .
4
−
ɚ)
2 2
2 2
2 2
;
2 2
x xy xz yz x xy x y
x xy xz yz x xy x y
+ + + − − +
⋅
− + − + − −
ɛ)
23 34 2 2
2 2 2
2 .
2
a a b b a b
a ab b a b
§ ·§ ·− + −§ ·⋅¨ ¸¨ ¸¨ ¸
− + −© ¹© ¹ © ¹
21
1
16 4 1616
64 4 64
n n
n
n n
+
+
§ ·+ ⋅⋅¨ ¸
− ⋅© ¹
, ɹɤɳɨ n = 74; n = 1000.
142. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
2
2
( 2) 2 2
2( 2) 2
x a x a x a x
x a xx a x a
+ + + − +
⋅ =
+ −− + +
.
143. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɱɢɫɥɚ, ɨɛɟɪɧɟɧɿ ɞɨ ɞɚɧɢɯ: 2 ;
7
4; 51 ;
6
0,2; 1,6.
ɚ) 18 4: ;
25 15
ɛ) 2 14 : 42 ;
3 6
− ɜ) 1 20,125:3 1 : 7.
8 5
−

6. Ⱦɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ 43
145. ɍ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɿ ɛɭɥɨ 480 ɥ ɜɨɞɢ, ɚ ɜ ɞɪɭɝɨɦɭ — 282 ɥ. Ɂ ɩɟɪɲɨɝɨ
ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɛɟɪɭɬɶ ɳɨɞɟɧɧɨ 25 ɥ ɜɨɞɢ, ɚ ɡ ɞɪɭɝɨɝɨ — 16 ɥ. ɑɟɪɟɡ ɫɤɿɥɶɤɢ
ɞɧɿɜ ɭ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɿ ɜɨɞɢ ɛɭɞɟ ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ?
146*. ȼɿɞ ɩɪɢɫɬɚɧɿ A ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɿɞɩɥɢɜɥɢ ɤɚɬɟɪ
ɿ ɩɥɿɬ. Ʉɨɥɢ ɱɟɪɟɡ 1,5 ɝɨɞ ɤɚɬɟɪ ɩɪɢɛɭɜ ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B, ɩɥɨɬɭ ɡɚɥɢɲɚɥɨɫɹ
ɩɪɨɩɥɢɫɬɢ ɞɨ ɰɿɽʀ ɩɪɢɫɬɚɧɿ ɳɟ 27 ɤɦ. ɇɟ ɡɚɬɪɢɦɭɸɱɢɫɶ ɧɚ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B,
ɤɚɬɟɪ ɜɢɪɭɲɢɜ ɭ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɲɥɹɯ. ɑɟɪɟɡ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɩɿɫɥɹ ɜɿɞɩɪɚɜɤɢ ɜɿɞ
ɩɪɢɫɬɚɧɿ B ɤɚɬɟɪ ɡɭɫɬɪɿɧɟ ɩɥɿɬ? ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ
ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ?
147. ɍ ɬɪɢɞɟɜ’ɹɬɨɦɭ ɤɨɪɨɥɿɜɫɬɜɿ ɤɨɠɧɿ ɞɜɚ ɦɿɫɬɚ ɡ’ɽɞɧɚɧɿ ɞɨɪɨɝɨɸ ɡ ɨɞɧɨ-
ɫɬɨɪɨɧɧɿɦ ɪɭɯɨɦ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɿɫɧɭɽ ɦɿɫɬɨ, ɡ ɹɤɨɝɨ ɜ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɧɲɟ
ɦɿɫɬɨ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨʀɯɚɬɢ ɥɢɲɟ ɨɞɧɿɽɸ ɚɛɨ ɞɜɨɦɚ ɞɨɪɨɝɚɦɢ.
Ʉɨɥɢ ɞɿɥɹɬɶ ɡɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ, ɬɨ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɦɧɨɠɚɬɶ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɨɛɟɪɧɟɧɢɣ
ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2 3 2 5 10: .
7 5 7 3 21
= ⋅ =
ɍ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɫɩɨɫɿɛ ɞɿɥɹɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɪɨɛɢ a
b
ɿ c
d
:
: .a c a d
b d b c
= ⋅
Ɉɫɬɚɧɧɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ, ɬɨɛɬɨ ɜɨɧɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚ, b, c ɿ d, ɞɟ b ≠ 0, ɫ ≠ 0 ɿ d ≠ 0. Ɂ ɰɿɽʀ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɿ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɿ-
ɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
ɓɨɛ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɨɞɢɧ ɞɪɿɛ ɧɚ ɞɪɭɝɢɣ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɲɢɣ ɞɪɿɛ ɩɨɦɧɨ-
ɠɢɬɢ ɧɚ ɞɪɿɛ, ɨɛɟɪɧɟɧɢɣ ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2 2 2
2 2 2 2 2 4: .
2
a a a b a b
b a bb b b a
⋅= ⋅ = =
⋅

ȼɩɪɚɜɚ 1. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɿɥɟɧɧɹ:
ɚ)
2 3
3
15 : ;
714
a a
cc
ɛ) 2 2
3: ;
1
ab b
a a a− −
ɜ)
2 2
4
: (2 ).
2
x y
x y
x
−
−
• ɚ)
2 3
3
15 :
714
a a
cc
=
2
3 3
15 7
14
a c
c a
⋅ =
2
3 3
15 7
14
a c
c a
⋅
⋅
= 2
15 .
2c a
ɛ) 2 2
3:
1
ab b
a a a− −
=
( 1)
( 1)( 1) 3
a aab
a a b
−
⋅
− +
=
( 1)
( 1)( 1) 3
ab a a
a a b
⋅ −
− + ⋅
=
2
3( 1)
a
a
⋅
+
ɜ)
2 2
4
:(2 )
2
x y
x y
x
−
− =
(2 )(2 ) 1
2 2
x y x y
x x y
− +
⋅
−
=
(2 )(2 )
2 (2 )
x y x y
x x y
− +
−
=
2
2
x y
x
+
⋅ •
148. ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
ɚ) : ;x m
y n
ɛ) 1 1: ;
a b
ɜ) : 2;
4
a ɝ) 33: .
x
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
149. ɚ) 2: ;
9 3
a a ɛ) 6 2: ;
5 15
ab b
c
ɜ) 2 1: ;x
x
ɝ) 9 :3;
d
ɞ) 3
2
3819 : ;
5
nn
p
ɟ) ( )
3
33 : 11 ;
12
c c
m
ɽ)
3
5 3
: ;
2 4
c c
a a
ɠ)
2 3
3 4
12 3: .
25 5
ab b
x x
150. ɚ) 4 3
3 1: ;
10 5
x
y y
ɛ)
3
4
2
1827 : ;
7
aa
b
ɜ)
2
2 3
6 3: ;
5
x x
y y
ɝ) ( )
2
2
3
5 : 10 .
7
mn n
k

151. ɚ)
3 4
4
18 6: ;
155
a a
bb
−
−
ɛ)
3 4
2 3
9 36: ;
20 5
b b
n n
− ɜ)
2 3
2 28
14 : .
5
x y
xy
z
§ ·
−¨ ¸
© ¹
152. ɚ)
2 2
2 3
8 4: ;
9 3
x x
y y
− ɛ)
3 4
2
15 9: ;
82
m m
nn
− ɜ)
3 2 4
6 3
: .
5 10
xy x y§ ·
− −¨ ¸
© ¹
153. ɚ) 4 2
6 6 : ;a b a b
c c
+ + ɛ)
2
3
: ;mn n m n
aa
− − ɜ)
2 2
2 3
: ;c d c d
k k
− +
ɝ)
6 4
2
: ;
416
x x
xx −−
ɞ)
3
2
: ;
36 9
b b
bb b −− +
ɟ)
2 2
4 4 4
: .
1 1
y y y
y y
− + −
+ +
154. ɚ)
3
: ;x x
ab ac b c+ +
ɛ)
2
4 3
4 2: ;a a
c c
− − ɜ)
2
5
1: ;m n mn m
yy
+ +
ɝ)
2
2
25 5: ;k k
k k
− + ɞ)
2 2
2
: ;
10 25
x xy y x y− + −
ɟ) 2 2
2 2: .
2 1 1
a a
a a a
− −
+ + −
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿɥɟɧɧɹ:
155. ɚ)
3 2
3 4
5 : ;
4 8
x x x
a a
− ɛ)
2 2
3 2 2
1 : ;b b b
ac a c
− + ɜ)
2
2
5 10 2: ;
( )
a a a
a ba b
− −
−−
ɝ)
2
2
3 3 : (2 2);
1
x x
x
− +
+
ɞ)
2 2
2 2
18 24: ;
1 (1 )
ab a b
x x− −
ɟ)
2 2
2 : .a ab b a b
a b ac bc
+ + +
− −
156. ɚ)
3 2 2
3 3
7 : ;
11 22
c c c
ab a b
− ɛ)
2 2
2
4 2: ;
1
x x x
xx x
− −
++
ɜ)
2
2 2
( ) 6 6: .
1
m n m n
m m m
− −
+ −
157. ɚ)
32 6 2
2
36 3: ;
25 5
a x ax
b b
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɛ) ( )
24 2
3
2 10: ;
3 9
m m
n n
§ ·
− ¨ ¸
© ¹

ɜ)
2 2
2
5 15: ;
7 142
a b a a
b bcc
§ ·
⋅¨ ¸
© ¹
ɝ)
33 4
4
39 3: : .
5 45
yx x b
y xy
§ ·
¨ ¸
© ¹
158. ɚ)
52 3 7
5: ;
2 64
mn m n§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɛ)
3 22 3
3 9: ;
2 4
a b a
c c
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ɜ)
2 2
3 4
3 65: : ;
65 5
xy x yz
yz z
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɝ)
3 2 2 2
4 2 2
27 2 3: .
4 3 4
a b a c b
c b ac
§ ·
⋅¨ ¸
© ¹
159. ɚ) 2 2 2 2
3 6 7 14: ;
2
a b a b
a b a ab b
+ +
− − +
ɛ)
2 2
2 2
4 4 1 1 4: ;
3 3
c c c
x y x y
+ + −
− −
ɜ)
2 2
3 3 2 2
4: ;mn m n
m n m mn n+ − +
ɝ) ( )
2 2
2 2
3 : ;a a ab
a b a b
+
− −
ɞ)
2 2
3 2 2
2 2 2
: ;
( ) 2
x y x xy y
x y x xy y
− − +
+ + +
ɟ)
3 2
2 2
27 3 9: .
2 4 1
a a a
a a a
− + +
− −
160. ɚ)
2 2 2
2 2 3
( )
: ;
a b a b
ab b ab b
− −
+ +
ɛ)
2
2 2
2 2( 2 )
: ;
3 3
+ +
− −
x y x y
x y x y
ɜ) 2 3
2 4 2: ;
1 1
c d ac ad
b b b
+ +
+ + −
ɝ)
2 2
2 3
: .
4 2 8
ab ac c b
a a a
− −
− + +
161. ɚ)
4 22 3
3
2 : ,
7 49
a a
b b
§ · § ·
−¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ɹɤɳɨ ɚ = –0,25; b = 4;
ɛ)
2 2
2
4 4 1 2:
10 54 1
m m m m
mm
+ + +
−−
, ɹɤɳɨ m = –5; m = 0,5; m = 1 .
15
162. ( )
2 2
2 2
2:
2 4
a a ab
a b a b
−
+ −
, ɹɤɳɨ ɚ = –3, b = 4; ɚ = 78, b = 11.
163. ɚ)
2 2
2
2 ( )5 5: ;
4 58
b a ba b a b
ab ab
−− + =
ɛ) ( )
2 2
2
1 : .
( )
m m m n m n
m n m n m n m n
− +− − =−
+ − + −

164. ɚ) ( )
2 2
16 63 12 : ;
2 4
x y xx y
x x y
−
− =
+
ɛ)
3 2
2 2
1 1 1 2 2: : .
2 42 2 1
a a a aa
aa a a
− − + −− =
+ −
ɚ)
22
6 4 2 2
0,25 0,5
: ;
1 1
x x
x x x x
− −§ ·
¨ ¸
− − + −© ¹
ɛ)
2 2
2 2
6 5 4 5: .a a a a
a ab a b a ab a b
+ + + −
− + − − − +
166. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ
2 2
2 2
3 2 3
:
22
x y x xy y
x yx xy y
+ + −
++ −
ɧɚɛɭɜɚɽ ɥɢɲɟ ɞɨɞɚɬɧɢɯ
ɡɧɚɱɟɧɶ.
167. ɇɚ ɩɪɢɱɚɥɿ Ⱥ ɫɬɨɹɬɶ ɩɿɞɧɿɦɚɥɶɧɿ ɤɪɚɧɢ ʋ 1 ɿ ʋ 2, ɚ ɧɚ ɩɪɢɱɚɥɿ Ȼ — ɩɿɞ-
ɧɿɦɚɥɶɧɿ ɤɪɚɧɢ ʋ 3 ɿ ʋ 4. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɪɚɧɚ ʋ 1 ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɜɚɧ-
ɬɚɠɢɬɢ ɛɚɪɠɭ ɧɚ 3 ɝɨɞ, 2 ɝɨɞ ɿ 1 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɜɿɞ-
ɩɨɜɿɞɧɨ ɤɪɚɧɿɜ ʋ 2, ʋ 3 ɿ ʋ 4. ɇɚ ɹɤɨɦɭ ɩɪɢɱɚɥɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɨɛɨɯ ɣɨ-
ɝɨ ɤɪɚɧɿɜ ɦɨɠɧɚ ɲɜɢɞɲɟ ɪɨɡɜɚɧɬɚɠɢɬɢ ɛɚɪɠɭ?
ɚ) 3(ɯ + 4) = 4(ɯ + 3); ɛ) 2ɯ(ɯ – 1) + ɯ(ɯ – 2) = 3ɯ2
– 2.
169. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɡɚɞɚɧɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɭ = 5ɯ – 8.
ɚ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɳɨ ɯ = –1; ɯ = 3.
ɛ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɹɤɳɨ ɭ = –3; ɭ = 6.
170. Ɏɭɬɛɨɥɤɚ ɤɨɲɬɭɽ n ɝɪɧ. əɤɳɨ ɤɭɩɭɜɚɬɢ ɞɜɿ ɮɭɬɛɨɥɤɢ, ɬɨ ɦɚɝɚɡɢɧ ɧɚ
ɞɪɭɝɭ ɮɭɬɛɨɥɤɭ ɞɚɽ ɡɧɢɠɤɭ 30%. ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɪɢɜɟɧɶ ɞɨɜɟɞɟɬɶɫɹ ɡɚɩɥɚɬɢɬɢ,
ɹɤɳɨ ɤɭɩɭɜɚɬɢ ɞɜɿ ɮɭɬɛɨɥɤɢ?
171. ȯ ɫɬɚɥɶ ɞɜɨɯ ɫɨɪɬɿɜ ɡ ɭɦɿɫɬɨɦ ɧɿɤɟɥɸ 10% ɿ 40%. ɋɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɫɬɚɥɿ
ɤɨɠɧɨɝɨ ɫɨɪɬɭ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɡɹɬɢ, ɳɨɛ ɩɿɫɥɹ ɩɟɪɟɩɥɚɜɤɢ ɨɞɟɪɠɚɬɢ 12 ɬ ɫɬɚ-
ɥɿ, ɹɤɚ ɦɿɫɬɢɥɚ ɛ 30% ɧɿɤɟɥɸ?

172. ɍ ɤɥɿɬɢɧɤɚɯ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɨɡɦɿɪɭ 3 × 3 ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ ɬɚɤ, ɳɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ
ɞɜɚ ɱɢɫɥɚ, ɡɚɩɢɫɚɧɿ ɭ ɫɭɫɿɞɧɿɯ ɩɨ ɫɬɨɪɨɧɿ ɤɥɿɬɢɧɤɚɯ, ɜɿɞɪɿɡɧɹɸɬɶɫɹ ɧɟ
ɛɿɥɶɲɟ ɧɿɠ ɧɚ 1. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɿɫɧɭɸɬɶ ɞɜɿ ɤɥɿɬɢɧɤɢ, ɭ ɹɤɢɯ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɬɟ
ɫɚɦɟ ɱɢɫɥɨ.
ɍ ɤɭɪɫɿ ɚɥɝɟɛɪɢ ɧɚɦ ɭɠɟ ɬɪɚɩɥɹɥɨɫɹ ɱɢɦɚɥɨ ɡɚɜɞɚɧɶ, ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ
ɹɤɢɯ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɛɭɥɨ ɩɟɪɟɬɜɨɪɸɜɚɬɢ ɬɨɣ ɱɢ ɿɧɲɢɣ ɜɢɪɚɡ. Ɂɨɤɪɟɦɚ, ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧ-
ɧɹ ɰɿɥɢɯ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ ɦɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɪɿɜɧɹɧɶ,
ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɬɨɬɨɠɧɨɫɬɟɣ, ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɢɪɚɡɿɜ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɞɟɹɤɿ ɡɚ-
ɞɚɱɿ, ɩɨɜ’ɹɡɚɧɿ ɡ ɬɨɬɨɠɧɢɦɢ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹɦɢ ɞɪɨɛɨɜɢɯ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ ( )
2
2
31 : 1 .
1 1
a a
a a
§ ·
+ −¨ ¸+ −© ¹
• ɋɩɨɱɚɬɤɭ ɩɨɞɚɦɨ ɜɢɪɚɡɢ ɜ ɤɨɠɧɿɣ ɞɭɠɰɿ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɿɜ, ɚ ɩɨɬɿɦ
ɡɧɚɣɞɟɦɨ ʀɯ ɱɚɫɬɤɭ:
1) 1
1
a
a
+
+
= 1
1
a a
a
+ +
+
= 2 1;
1
a
a
+
+
2)
2
2
31
1
a
a
−
−
=
2 2
2
1 3
1
a a
a
− −
−
=
2
2
1 4 ;
1
a
a
−
−
3)
2
2
2 1 1 4:
1 1
a a
a a
+ −
+ −
=
2
2
2 1 1
1 1 4
a a
a a
+ −⋅
+ −
=
(2 1) (1 )(1 )
( 1) (1 2 )(1 2 )
a a a
a a a
+ ⋅ − +
+ ⋅ − +
= 1 .
1 2
−
−
a
a
ɉɪɨɜɟɞɟɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɭɜɚɬɢ ɜ ɪɹɞɨɤ:
( )
2
2
31 : 1
1 1
a a
a a
§ ·
+ −¨ ¸+ −© ¹
=
2 2
2
1 1 3:
1 1
a a a a
a a
+ + − −
+ −
=
2
2
2 1 1 4:
1 1
a a
a a
+ −
+ −
=
=
2
2
2 1 1
1 1 4
a a
a a
+ −⋅
+ −
=
(2 1) (1 )(1 )
( 1) (1 2 )(1 2 )
a a a
a a a
+ ⋅ − +
+ ⋅ − +
= 1 .
1 2
−
−
a
a
•

7. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ 49
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɭ ɩɪɢɤɥɚɞɿ 1 ɦɢ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ
1 .
1 2
−
−
a
a
ȼɡɚɝɚɥɿ, ɛɭɞɶ-ɹɤɢɣ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨ-
ɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ⱦɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɜɢɪɚɡ
2
2 2
2 2 3
:
2
xy y x y x y
x y x yx y
− + +
+
+ +−
ɧɚɛɭɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.
• ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɞɚɧɢɣ ɜɢɪɚɡ:
2
2 2
2 2 3
:
2
xy y x y x y
x y x yx y
− + +
+
+ +−
=
( ) 2 3
( )( ) 2 2
y x y x y x y
x y x y x y x y
− + +
⋅ +
− + + +
=
=
2 3
2 2
y x y
x y x y
+
+
+ +
=
2 4
2
x y
x y
+
+
=
2( 2 )
2
x y
x y
+
+
= 2.
Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɬɨɦɭ ɫɚɦɨɦɭ ɱɢɫɥɭ (ɱɢɫɥɭ 2). •
ɉɪɢɤɥɚɞ 3. Ⱦɨɜɟɫɬɢ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ
1 1
.
1 1
b aa b
b a
a b
+
+=
−−
• ɋɩɪɨɫɬɢɦɨ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
1 1
1 1
a b
a b
+
−
= ( ) ( )1 1 1 1:
a b a b
+ − = :b a b a
ab ab
+ − = b a ab
ab b a
+ ⋅
−
= .b a
b a
+
−
ɒɥɹɯɨɦ ɬɨɬɨɠɧɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɡɜɟɥɢ ɞɨ ɩɪɚɜɨʀ
ɱɚɫɬɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɰɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɽ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ. •
173. ɚ) ( )
2
1 11 : ;
3
−+ a
a
ɛ) ( )1 1 5: ;
5 5 5a a a
−
+ − +

ɜ)
2
2
49 1 1 ;
7
a
a aa
− ⋅ −
+
ɝ) ( )2 1 6: ;
2 2 1 2
b
b b b
−
− − −
ɞ)
4 3
2
: ;
2 8 48 16
a a a
a aa a
−
− −− +
ɟ) .
x yx x
x y x y xy
+§ ·
− ⋅¨ ¸− +© ¹
174. ɚ) ( ) 2
1 41 ;
2 1b b b
− ⋅
− +
ɛ)
2
5 100 1 ;
5 10
a a
a a a
− −− ⋅
− −
ɜ)
2 2
2 9 3 ;
3 2 4
x x x
x x
+ ⋅ −
+ −
ɝ) ( )4 2 8: .
2 1 2
c
c c c
−
+ + +
2 2
12 6
2 1 3
x x x
x x
+ ⋅ −
+ +
ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɳɨ ɯ = 6.
176. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ( ) 9:
9 9 9
c c c
c c c
−
− + +
ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɳɨ ɫ = 11.
177. ɚ) 2
: 1;
9 81 918 81
a a a
a aa a
+ =
+ ++ +
ɛ)
6 4 2
2
2 1: 1.
3 3 12 1
b b b b
b bb b
+− = +
− −− +
178. ɚ) 4 1 1: 2 2 ;x x y
x y x y x y
§ ·
+ = −¨ ¸+ − +© ¹
ɛ)
2
2
5 10 3 15 5.
2
a a a
a aa
+ +⋅ − =
+
179. ɚ)
3 2
2 2 2 2 2
;
( )
§ ·−− ⋅ −¨ ¸− + − −© ¹
m m mn m n
n m m n m n m n
ɛ)
2
2 2
3 3 ;
3 2 3 3 9
a a a a a
a a a a a
+ +§ ·+ ⋅ −¨ ¸− + − −© ¹

ɜ)
2
2 2 2 2
2 4 2 1: ;
2 24 4 4
a a a
a b b aa ab b a b
§ · § ·− +¨ ¸¨ ¸+ −+ + −© ¹© ¹
ɝ) ( )
2
2 2
( )1 1 2 1 1 : ;
a b
a b a b aba b
+§ ·+ + ⋅ +¨ ¸+© ¹
ɞ) ( )
2
3 2
2 1 1 51 .
11 1
§ ·+ + + +− ⋅ + −¨ ¸ +− + +© ¹
x x x x x
x xx x x
180. ɚ)
22
2 2 2 2
: 1 ;
xy yx x
x yx y x y
− § ·
− −¨ ¸++ − © ¹
ɛ)
2
2 2 2
2 3 3 1 3 2: ;
2 4 4 4 4
x x x
x x x x x
+ + +§ ·+ +¨ ¸+ − − + −© ¹
ɜ) 2 3 3
2 6 13 15 5: ;
2 4 8 2 16
x x x
x x x x
− − −§ ·−¨ ¸
− + + +© ¹
ɝ)
4 2
3 2 2
49 3 27 40 .
427 3 9 16
a a a a
aa a a a
+ + −§ ·− ⋅ +¨ ¸ ++ − + −© ¹
181. ɚ)
1
;
11
a
b
ab
+
+
ɛ)
96
;
31
x
x
x
− +
−
ɜ)
1 1
;
1 1
m n m n
m n m n
+
+ −
−
+ −
ɝ)
2
2
.
1
m a
ma
m a
a m
+
+ −
182. ɚ) ;
1 1
a b
b a
a b
−
−
ɛ)
1 1
1 1.
1 1
1 1
c c
c c
−
− +
+
− +
183. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
a b a a b a
a b b a b b
+ ++ − ⋅
− −
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɬɨɦɭ ɫɚɦɨɦɭ ɱɢɫɥɭ.
184. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2 2 2 2
2 2
:m n m nm n mn
m n m n
§ · § ·
− −¨ ¸ ¨ ¸+ +© ¹ © ¹
ɽ ɞɨɞɚɬɧɢɦ
ɱɢɫɥɨɦ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ.

( )
2 2
2 2
1 1 4: 1 a b
a b a b a b
§ ·−+ −¨ ¸− + −© ¹
ɧɟ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɶ b.
186. ɚ)
2 2 2 2
1 · : ;m n m n m n m
mn m n n m m m n
§ ·§ ·− −− − =¨ ¸¨ ¸+ +© ¹© ¹
ɛ)
2 22
2 2 2 2
( 2)2 1 3 1· ;
3 4 4
a aa a a
a a a a a a
§ ·+ −− + −− =¨ ¸
− − −© ¹
ɜ) ( )2 2
2 1: 2 .b a b a
a b a b a ba ab b ab
§ ·− + − + =¨ ¸+ ++ +© ¹
187. ɚ) ( )3 2
1 3 3 2 1 1;
1 11 1
aa
a aa a a
−§ ·− + ⋅ − =¨ ¸+ ++ − +© ¹
ɛ) 2 2 2 2
: .
2
a a a a a n
a n a n a na n an a n
−§ · § ·− − =¨ ¸ ¨ ¸+ − ++ + −© ¹ © ¹
ɚ) 2 2 3
1 3 3: : ;
9 3 39 3 9 27
b a a a
b a aba a a b
−§ ·−¨ ¸− − +− + −© ¹
ɛ)
2
2 2
10 3 211 2 .
53 ( 5 )
y xy y
x yx xy x y
§ · § ·−
+ ⋅ ⋅ +¨ ¸ ¨ ¸−− −© ¹ © ¹
189. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ) 2
2
1 ,x
x
+ ɹɤɳɨ 1 2,5;x
x
+ = ɛ) 2
2
1 ,
4
x
x
+ ɹɤɳɨ 1 0,5.
2
x
x
− = −
ɚ) 2 2 3 2
( 3)3 4 1 1 ;
1 12 1 1 3 3 2 1
x xx
x xx x x x x x x
+§ ·−§ ·+ ⋅ + =¨ ¸ ¨ ¸+ −+ + − + − − +© ¹ © ¹

ɛ) ( )
22
2 3 2
2 1 3 21 .
2 312 4 3 6 5
a a a a a
a aa a a a a
+ − − −− = ⋅ −
− −− − + − +
191. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ: 1 .
11
11
1 x
+
−
−
ɚ) (ɯ – 1)(ɯ2
+ ɯ + 1) – ɯ3
– ɯ2
= 2ɯ; ɛ) (ɯ + 2)2
– 4 = 0;
ɜ) 4 1;
2 3
x x +− = ɝ)
3 3
6.
5 4
− +
+ =
y y
193. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɚ2
– 3ɚ)ɯ = 2ɚ – 6 ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ? ɦɚɽ ɨɞɢɧ
ɤɨɪɿɧɶ?
194. Ɂ ɩɭɧɤɬɭ A ɞɨ ɩɭɧɤɬɭ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 360 ɤɦ, ɜɢɣɲɨɜ
ɬɨɜɚɪɧɢɣ ɩɨʀɡɞ ɿ ɪɭɯɚɜɫɹ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 50 ɤɦ/ɝɨɞ. ɑɟɪɟɡ 40 ɯɜ ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ
ɣɨɦɭ ɡ ɩɭɧɤɬɭ B ɜɢɣɲɨɜ ɩɚɫɚɠɢɪɫɶɤɢɣ ɩɨʀɡɞ ɿ ɪɭɯɚɜɫɹ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
90 ɤɦ/ɝɨɞ. ɇɚ ɹɤɿɣ ɜɿɞɫɬɚɧɿ ɜɿɞ ɩɭɧɤɬɭ A ɩɨʀɡɞɢ ɡɭɫɬɪɿɥɢɫɹ?
195*. ɉɨ ɤɪɭɝɨɜɿɣ ɞɨɪɿɠɰɿ ɜɟɥɨɬɪɟɤɭ ʀɞɭɬɶ ɞɜɚ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɢ ɡɿ ɫɬɚɥɢɦɢ
ɲɜɢɞɤɨɫɬɹɦɢ. Ʉɨɥɢ ɜɨɧɢ ʀɞɭɬɶ ɭ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɧɚɩɪɹɦɤɚɯ, ɬɨ ɡɭɫɬɪɿɱɚ-
ɸɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ ɤɨɠɧɿ 10 ɫ; ɤɨɥɢ ɠ ʀɞɭɬɶ ɜ ɨɞɧɨɦɭ ɧɚɩɪɹɦɤɭ, ɬɨ ɨɞɢɧ ɧɚɡɞɨ-
ɝɚɧɹɽ ɿɧɲɨɝɨ ɱɟɪɟɡ ɤɨɠɧɿ 100 ɫ. əɤɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ,
ɹɤɳɨ ɞɨɜɠɢɧɚ ɞɨɪɿɠɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 200 ɦ?
196. ɇɚ ɞɨɲɰɿ ɧɚɩɢɫɚɧɿ ɱɢɫɥɚ 1, 2, 3, …, 25. Ⱦɨɡɜɨɥɹɽɬɶɫɹ ɫɬɟɪɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɜɚ
ɱɢɫɥɚ ɿ ɧɚɩɢɫɚɬɢ ʀɯ ɞɨɛɭɬɨɤ. ɉɨɜɬɨɪɢɜɲɢ ɬɚɤɭ ɨɩɟɪɚɰɿɸ 24 ɪɚɡɢ, ɨɞɟɪ-
ɠɢɦɨ ɨɞɧɟ ɱɢɫɥɨ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɰɟ ɱɢɫɥɨ ɞɿɥɢɬɶɫɹ ɧɚ 1 000 000.

1. ɐɿɥɿ ɬɚ ɞɪɨɛɨɜɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
2(ɯ – 7) = 3ɯ – 9; 6 4;
9
x
x
=
−
5 3
1 4
.
x x
=
− −
Ʌɿɜɚ ɿ ɩɪɚɜɚ ɱɚɫɬɢɧɢ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɰɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ.
Ɍɚɤɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦɢ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ, ɥɿɜɚ ɿ ɩɪɚɜɚ ɱɚɫɬɢɧɢ ɹɤɢɯ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɜɢ-
ɪɚɡɚɦɢ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦɢ.
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɨɞɿɥɹɸɬɶ ɧɚ ɰɿɥɿ ɣ ɞɪɨɛɨɜɿ. əɤɳɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ
ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɽ ɰɿɥɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ, ɬɨ ɬɚɤɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɰɿɥɢɦ
ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɭ ɹɤɨɝɨ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɽ
ɞɪɨɛɨɜɢɦ ɜɢɪɚɡɨɦ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɪɨɛɨɜɢɦ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ.
2(ɯ – 7) = 3ɯ – 9 — ɰɿɥɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ;
3( 2) 2( 1)
5 3
y y− +
= — ɰɿɥɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ;
6 4
9
x
x
=
−
— ɞɪɨɛɨɜɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ;
5 3
1 4x x
=
− −
— ɞɪɨɛɨɜɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
2. Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɞɪɨɛɨɜɢɯ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɭɦɨɜɢ
ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɞɪɨɛɭ ɧɭɥɸ. ɉɪɢɝɚɞɚɣɦɨ: ɞɪɿɛ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ ɬɨɞɿ ɣ ɬɿɥɶɤɢ ɬɨɞɿ,
ɤɨɥɢ ɣɨɝɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, ɚ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɜɿɞɦɿɧɧɢɣ ɜɿɞ ɧɭɥɹ.
0=a
b
ɬɨɞɿ ɣ ɬɿɥɶɤɢ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɚ = 0 ɿ b ≠ 0.
Ⱦɚɧɟ ɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɞɪɨɛɨɜɢɯ
ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2
2 0.
2
x x
x
− =
−
• ȼɢɤɨɪɢɫɬɚɽɦɨ ɭɦɨɜɭ, ɡɚ ɹɤɨʀ ɞɪɿɛ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ. ɉɪɢɪɿɜɧɹɽɦɨ ɱɢ-
ɫɟɥɶɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɧɭɥɹ:
ɯ2
– 2ɯ = 0; ɯ(ɯ – 2) = 0; ɯ = 0 ɚɛɨ ɯ = 2.

8. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 55
ɉɟɪɟɜɿɪɢɦɨ, ɱɢ ɞɥɹ ɡɧɚɣɞɟɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɯ – 2 ɜɿɞɦɿɧɧɢɣ ɜɿɞ ɧɭɥɹ.
əɤɳɨ ɯ = 0, ɬɨ ɯ – 2 = 0 – 2 = –2 ≠ 0. Ɍɨɦɭ ɯ = 0 — ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
əɤɳɨ ɯ = 2, ɬɨ ɯ – 2 = 2 – 2 = 0. Ɍɨɦɭ ɯ = 2 — ɧɟ ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 0. •
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 6 4
9
=
−
x .
x
• Ɂɜɟɞɟɦɨ ɞɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɥɿɜɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɹɤɨɝɨ ɽ ɞɪɨɛɨɦ, ɚ
ɩɪɚɜɚ — ɧɭɥɟɦ:
6 4;
9
x
x
=
−
6 4 0;
9
x
x
− =
−
6 4( 9)
0;
9
x x
x
− −
=
−
2 36 0
9
x .
x
+ =
−
ɉɪɢɪɿɜɧɹɽɦɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɞɪɨɛɭ 2 36
9
x
x
+
−
ɞɨ ɧɭɥɹ:
2ɯ + 36 = 0; 2ɯ = –36; ɯ = –18.
əɤɳɨ ɯ = –18, ɬɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɯ – 9 ɞɪɨɛɭ ɜɿɞɦɿɧɧɢɣ ɜɿɞ ɧɭɥɹ. ɋɩɪɚɜɞɿ:
ɯ – 9 = –18 – 9 = –27 ≠ 0.
Ɉɬɠɟ, ɯ = –18 — ɤɨɪɿɧɶ ɞɚɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –18. •
ɓɨɛ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɞɪɨɛɨɜɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɭɦɨɜɢ ɪɿɜɧɨɫɬɿ
ɞɪɨɛɭ ɧɭɥɸ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ:
1) ɡɜɟɫɬɢ ɣɨɝɨ ɞɨ ɜɢɝɥɹɞɭ
( )
0,
( )
f x
g x
= ɞɟ f(x) ɿ g(x) — ɰɿɥɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ
ɜɢɪɚɡɢ;
2) ɩɪɢɪɿɜɧɹɬɢ ɞɨ ɧɭɥɹ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɣ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɰɿɥɟ ɪɚ-
ɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ f(x) = 0;
3) ɜɢɤɥɸɱɢɬɢ ɡ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɬɿ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
3. Ɋɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿɫɬɶ ɪɿɜɧɹɧɶ. Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɩɪɢɤɥɚɞ 1, ɦɢ ɦɚɥɢ ɥɚɧɰɸɠɨɤ
ɪɿɜɧɹɧɶ
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ
2
2 0
2
x x
x
− =
−
ɯ2
– 2ɯ = 0 ɯ(ɯ – 2) = 0
Ʉɨɪɟɧɿ 0 0; 2 0; 2
ɉɟɪɲɟ ɡ ɰɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ — ɱɢɫɥɨ 0, ɞɪɭɝɟ ɬɚ ɬɪɟɬɽ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ ɦɚɸɬɶ ɞɜɚ ɬɿ ɫɚɦɿ ɤɨɪɟɧɿ — ɱɢɫɥɚ 0 ɿ 2.

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ⱦɜɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɬɿ ɫɚɦɿ ɤɨɪɟɧɿ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɿɜɧɨɫɢ-
ɥɶɧɢɦɢ. Ⱦɜɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɿ ɧɟ ɦɚɸɬɶ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɬɟɠ ɜɜɚɠɚɸɬɶ
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɢɦɢ.
Ɉɬɠɟ,
ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 2ɯ = 0 ɿ ɯ(ɯ – 2) = 0 ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ;
ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2
2 0
2
x x
x
− =
−
ɿ ɯ2
– 2ɯ = 0 ɧɟ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ.
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɯ + 6 = ɯ ɿ 0ɯ = 1 ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ, ɛɨ ɤɨɠɧɟ ɡ ɧɢɯ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2
2 0
2
x x
x
− =
−
ɡɜɨɞɢɬɶɫɹ ɞɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧ-
ɧɹ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 2ɯ = 0 ɿ ɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ɭɦɨɜɢ ɯ – 2 ≠ 0, ɬɨ ɤɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2
2 0
2
x x
x
− =
−
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɫɢɫɬɟɦɿ
2
2 0;
2 0.
x x
x
− =
®
− ≠¯
Ɋɨɡɜ’ɹɡɤɨɦ ɰɿɽʀ ɫɢɫɬɟɦɢ, ɹɤ ɦɢ
ɜɠɟ ɡ’ɹɫɭɜɚɥɢ, ɽ ɱɢɫɥɨ ɯ = 0.
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ
( )
0
( )
f x
g x
= ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɫɢɫɬɟɦɿ
( ) 0;
( ) 0.
f x
g x
=
®
≠¯
ɍ 7 ɤɥɚɫɿ ɦɢ ɪɨɡɝɥɹɞɚɥɢ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɪɿɜɧɹɧɶ, ɜɢɤɨɧɭɸɱɢ ɹɤɿ, ɨɞɟɪɠɭ-
ɸɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɬɢɦɢ ɫɚɦɢɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ. Ɉɬɠɟ, ɰɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɩɟɪɟɜɨɞɹɬɶ ɪɿ-
ɜɧɹɧɧɹ ɜ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɣɨɦɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɂ ɧɢɦɢ ɩɨɜ’ɹɡɚɧɿ ɬɚɤɿ ɨɫɧɨɜɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨ-
ɫɬɿ ɪɿɜɧɹɧɶ:
ȼɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ 1. əɤɳɨ ɜ ɞɟɹɤɿɣ ɱɚɫɬɢɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɬɨɬɨɠɧɟ ɩɟ-
ɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ, ɹɤɟ ɧɟ ɡɦɿɧɸɽ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ,
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɞɚɧɨɦɭ.
ȼɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ 2. əɤɳɨ ɞɟɹɤɢɣ ɞɨɞɚɧɨɤ ɩɟɪɟɧɟɫɬɢ ɡ ɨɞɧɿɽʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ɜ ɿɧɲɭ, ɡɦɿɧɢɜɲɢ ɣɨɝɨ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɣ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ,
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɞɚɧɨɦɭ.
ȼɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ 3. əɤɳɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢ-
ɬɢ ɬɟ ɫɚɦɟ, ɜɿɞɦɿɧɧɟ ɜɿɞ ɧɭɥɹ ɱɢɫɥɨ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɞɚ-
ɧɨɦɭ.

4. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɨɛɨɯ ɱɚɫɬɢɧ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚ ɜɢɪɚɡ ɡɿ ɡɦɿɧɧɨɸ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ
ɩɪɢɤɥɚɞ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 3. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
1 1 6 .
3 3 9
y
y y y
+
− =
− + −
• Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɭ2
– 9 = (ɭ – 3)(ɭ + 3), ɬɨ ɫɩɿɥɶɧɢɦ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɨɦ ɭɫɿɯ ɞɪɨɛɿɜ,
ɹɤɿ ɜɯɨɞɹɬɶ ɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɽ (ɭ – 3)(ɭ + 3). ɉɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ, ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ (ɭ – 3)(ɭ + 3) ≠ 0, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2
1 1 6 ( 3)( 3);
3 3 9
y
y y
y y y
+
− = ⋅ − +
− + −
(ɭ + 3)(ɭ + 1) – (ɭ – 3) = 6;
ɭ2
+ ɭ + 3ɭ + 3 – ɭ + 3 – 6 = 0;
ɭ2
+ 3ɭ = 0; ɭ(ɭ + 3) = 0; ɭ = 0 ɚɛɨ ɭ = –3.
əɤɳɨ ɭ = 0, ɬɨ (ɭ – 3)(ɭ + 3) = –3 ⋅ 3 ≠ 0. Ɍɨɦɭ ɭ = 0 — ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
əɤɳɨ ɭ = –3, ɬɨ (ɭ – 3)(ɭ + 3) = –6 ⋅ 0 = 0. Ɍɨɦɭ ɭ = –3 — ɧɟ ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 0. •
Ɂɜɟɪɧɟɦɨ ɭɜɚɝɭ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
1 1 6
3 3 9
y
y y y
+
− =
− + −
ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ
ɭ = 0, ɚ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɭ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɭ + 3)(ɭ + 1) – (ɭ – 3) = 6 — ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ
ɭ = 0 ɬɚ ɭ = –3. Ɉɬɠɟ, ɩɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɞɪɨɛɨɜɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚ ɫɩɿ-
ɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ, ɦɢ ɧɟ ɜɬɪɚɬɢɥɢ ɣɨɝɨ ɤɨɪɿɧɶ, ɩɪɨɬɟ ɨɞɟɪɠɚɥɢ ɫɬɨɪɨɧɧɿɣ
ɳɨɞɨ ɰɶɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɿɧɶ ɭ = –3.
ɉɪɚɜɢɥɶɧɢɦ ɽ ɬɚɤɟ ɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ:
əɤɳɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɞɟɹɤɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɧɚ ɰɿɥɢɣ ɜɢɪɚɡ ɡɿ
ɡɦɿɧɧɨɸ, ɬɨ ɦɨɠɧɚ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɧɟ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɞɚɧɨɦɭ. Ɉɞɟɪɠɚɧɟ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ: 1) ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɜɫɿ ɤɨɪɟɧɿ ɞɚɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ; 2) ɜɨɧɨ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɫɬɨɪɨɧɧɿ ɤɨɪɟɧɿ ɳɨɞɨ ɞɚɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ɋɬɨɪɨɧɧɿɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɰɿɥɢɣ
ɜɢɪɚɡ, ɧɚ ɹɤɢɣ ɦɢ ɦɧɨɠɢɦɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɧɚɛɭɜɚɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 0. ɐɿ
ɫɬɨɪɨɧɧɿ ɤɨɪɟɧɿ ɦɨɠɧɚ ɜɿɞɤɢɧɭɬɢ, ɡɪɨɛɢɜɲɢ ɩɟɪɟɜɿɪɤɭ.

ɓɨɛ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɞɪɨɛɨɜɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɦɨɠɧɚ:
1) ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɿɜ, ɹɤɿ
ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɿ ɡɚɦɿɧɢɬɢ ɣɨɝɨ ɰɿɥɢɦ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ;
2) ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɰɿɥɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ;
3) ɜɢɤɥɸɱɢɬɢ ɡ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɬɿ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɿɜ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2
2
2 2 1
22
x x .
x xx x
− + =
++
•
2
2 2 1 0;
( 2) 2
x x
x x x x
− + − =
+ +
2 2
2 2 ( 2)
0;
( 2)
x x x
x x
− + + −
=
+
2
0;
( 2)
x x
x x
+ =
+
2
0;
( 2) 0;
x x
x x
+ =
®
+ ≠¯
( 1) 0;
( 2) 0;
x x
x x
+ =
®
+ ≠¯
0 ɚɛɨ 1;
0;
2;
x x
x
x
= = −
°
≠®
° ≠ −¯
x = –1.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –1. •
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
2 2 5.
2 4
x
x x
+=
− −
• Ɋɨɡɝɥɹɞɚɬɢɦɟɦɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ 2
2 2 5
2 4
x
x x
+=
− −
ɹɤ ɩɪɨɩɨɪɰɿɸ. Ɂɚ ɨɫɧɨɜɧɨɸ
ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿʀ ɦɚɽɦɨ:
2(ɯ2
– 4) = (ɯ – 2)(2ɯ + 5), ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɯ – 2 ≠ 0 ɿ ɯ2
– 4 ≠ 0.
Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
2ɯ2
– 8 = 2ɯ2
+ 5ɯ – 4ɯ – 10; –8 = ɯ – 10; ɯ = 2.
əɤɳɨ ɯ = 2, ɬɨ ɯ – 2 = 2 – 2 = 0, ɬɨɛɬɨ ɞɥɹ ɯ = 2 ɭɦɨɜɚ ɯ – 2 ≠ 0 ɧɟ ɜɢɤɨ-
ɧɭɽɬɶɫɹ. Ɍɨɦɭ ɯ = 2 — ɧɟ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. •
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 21 ɤɦ, ɜɢʀɯɚɜ
ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬ, ɚ ɱɟɪɟɡ 20 ɯɜ ɭɫɥɿɞ ɡɚ ɧɢɦ — ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ, ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɹɤɨɝɨ ɭɬɪɢɱɿ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ. Ɂɧɚɣɬɢ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ, ɹɤɳɨ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ ɩɪɢʀɯɚɜ ɭ ɦɿɫɬɨ B ɧɚ 40 ɯɜ
ɪɚɧɿɲɟ, ɧɿɠ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬ.

• ɇɟɯɚɣ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɯ ɤɦ/ɝɨɞ, ɬɨɞɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɦɨ-
ɬɨɰɢɤɥɿɫɬɚ — 3ɯ ɤɦ/ɝɨɞ. ɒɥɹɯ ɡɚɜɞɨɜɠɤɢ 21 ɤɦ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬ ɩɨɞɨɥɚɜ ɡɚ
21
x
ɝɨɞ, ɚ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ — ɡɚ 21 7
3x x
= (ɝɨɞ). Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬ ɛɭɜ ɭ ɞɨɪɨɡɿ
ɧɚ 20 ɯɜ + 40 ɯɜ = 60 ɯɜ = 1 ɝɨɞ ɞɨɜɲɟ, ɧɿɠ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ, ɬɨ ɦɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
21 7 1− = .
x x
Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɰɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
21 7
1 0;
x x
− − =
21 7
0;
x
x
− −
=
14
0;
x
x
−
=
14 0;
0;
x
x
− =
®
≠¯
ɯ = 14.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 14 ɤɦ/ɝɨɞ. •
197. ɇɚɡɜɿɬɶ ɰɿɥɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ; ɞɪɨɛɨɜɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) 5 1;
7x
=
−
ɛ) 3( 11) 0;x − = ɜ) 1 3;
3
x− = ɝ) 2
2 0.
x
=
198. ɑɢ ɽ ɱɢɫɥɨ 1 ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ?
ɚ) 1 0;
5
x
x
− =
−
ɛ) 1 0;
4 4
x
x
− =
−
ɜ)
2
1 0;
1
x
x
− =
+
ɝ) 2 3
1 1
.
x x
=
− +
199. ɑɢ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ?
ɚ) 4 8
1
x
x
=
−
ɿ 2
1
x ;
x
=
−
ɛ) 1 3
2 1x x
=
+
ɿ 1 3 0;
2 1x x
− =
+
ɜ)
2
( 3)
0
x x
x
+
= ɿ ( 3) 0;x x + = ɝ) 2 4
2 2
x
x x
=
− −
ɿ 2ɯ = 4.
Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
200. ɚ) 8 0;
1
x
x
+ =
−
ɛ) 1 0;
8
x
x
− =
+
ɜ) 2
2 8 0.
16
x
x
− =
−
201. ɚ) 2 6 0;
3 3
x x
x x
−+ =
− −
ɛ) 3 1 2 2
1 1
x x ;
x x
+ −=
+ +
ɜ) 5 2 .
6 6
x x
x x
− =
− −
202. ɚ) 2 1 0;x
x
+ + = ɛ) 2;
1
x
x
=
+
ɜ) 10 3.x
x
− =

203. ɚ) 1 1 1;
3 4x x
+ = ɛ) 1 3 2;
5 4x x
+ = ɜ) 4 1 = 1.
3 2x x
−
204. ɚ) 2 4 0;
4
x
x
+ =
+
ɛ) 2
2 10 0;
25
x
x
− =
−
ɜ) 4 12 ;
2 2
x
x x
=
− −
ɝ) 3 4 6 ;
2 2
x x
x x
− −= ɞ) 1 2 0;
5
x
x
− + =
+
ɟ) 5 10 4;x
x
− =
ɽ) 5 4;
2 1
x
x
− = −
−
ɠ) 2 1 5;
2x x
+ = ɡ) 1 1 = 1.
2 3x x
−
205. ɚ)
2
2 4 0;
2
− =
−
x x
x
ɛ) 2 3 0;
2 2x x
− =
+ −
ɜ) 3 2
1 2 3
x x .
x x
+ =
− +
206. ɚ)
2
3 0;
2 1
x x
x
− =
+
ɛ)
2
0;
2
+ =
+
x x
x
ɜ) 5 3
2 3 1
x x .
x x
− =
+ −
207. əɤɟ ɱɢɫɥɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ 19
41
, ɳɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ
ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1
3
?
208. əɤɟ ɱɢɫɥɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɿɞɧɹɬɢ ɜɿɞ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ 3
47
, ɳɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ
ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1
4
?
209. əɤɟ ɬɟ ɫɚɦɟ ɱɢɫɥɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ 1
2
ɣ
ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɧɚ ɧɶɨɝɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɰɶɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɳɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2
3
?
210. ɇɚ ɹɤɟ ɬɟ ɫɚɦɟ ɱɢɫɥɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɞɪɨɛɭ 1
5
ɣ ɞɨɞɚɬɢ
ɣɨɝɨ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɰɶɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɳɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1
2
?
211. ɑɢ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
(2 3)
0
x x
x
−
= ɬɚ ɯ(2ɯ – 3) = 0? ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ ɨɛʉɪɭɧ-
ɬɭɣɬɟ.
212. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 3
1 1
x
x x
+ =
− −
ɬɚ ɯ + 2 = 3 ɧɟ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ.

213. ɚ) 1 4 1;
2 2 2 3
x x
x x
+ ++ =
− +
ɛ) 6 6 2;
1 1
x x
x x
+ −+ =
− +
ɜ) 2
10 2 ;
55
x x
x xx x
− + =
−−
ɝ) 2
5 3 2 ;
2 2 4
x x
x x x
+ +− =
− + −
ɞ) 2
3 1 4 3 15 ;
2 5 5 2 25 4
y y
y y y
− −
+ =
+ − −
ɟ) 2 2 2
2 5 8 ;
3 3 9x x x x x
+ =
− + −
ɽ) 2 2 2
7 3 4 ;
( 2) ( 2) 4
− =
− + −x x x
ɠ) 2 2
2 1 4 0.
2 3(2 3) 4 9
x
xx x
− + =
−+ −
214. ɚ) 5 4 4 1 1;
2 3
x x
x x
+ +− =
− +
ɛ) 6 5 2 1;
3 1 3
x x
x x
− −− =
+ −
ɜ) 2
2 9 2 1 1 ;
1 1 1
x x
x x x
− ++ =
− + −
ɝ) 2
2 3 2 3 3 ;
2 3 2 3 4 9
z z
z z z
+ −− =
− + −
ɞ) 2
2 3 3 5 ;
44
x
x xx x
− − =
++
ɟ) 2 2 2
2 5 8
1
x x .
x x x x x
− −+ =
+ − −
215. ȼɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɦɿɫɬɚɦɢ A ɬɚ B ɞɨɪɿɜɧɸɽ 720 ɤɦ. Ɂ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B
ɜɢʀɯɚɜ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɣ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɡ ɧɢɦ ɜɢɥɟɬɿɜ ɥɿɬɚɤ. Ⱥɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɪɢɛɭɜ
ɞɨ ɦɿɫɬɚ B ɧɚ 10 ɝɨɞ ɩɿɡɧɿɲɟ, ɧɿɠ ɥɿɬɚɤ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɥɿɬɚɤɚ ɬɚ
ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɥɿɬɚɤɚ ɜ 6 ɪɚɡɿɜ ɛɿɥɶɲɚ, ɧɿɠ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨ-
ɦɨɛɿɥɹ.
216. Ⱦɨ ɛɚɫɟɣɧɭ ɩɿɞɜɟɞɟɧɿ ɞɜɿ ɬɪɭɛɢ. ɑɟɪɟɡ ɩɟɪɲɭ ɬɪɭɛɭ ɛɚɫɟɣɧ ɦɨɠɧɚ
ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɜɨɞɨɸ ɜɞɜɿɱɿ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɱɟɪɟɡ ɞɪɭɝɭ. əɤɳɨ ɜɿɞɤɪɢɬɢ
ɨɛɢɞɜɿ ɬɪɭɛɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ, ɬɨ ɛɚɫɟɣɧ ɦɨɠɧɚ ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɡɚ 4 ɝɨɞ. Ɂɚ ɹɤɢɣ
ɱɚɫ ɦɨɠɧɚ ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɛɚɫɟɣɧ ɱɟɪɟɡ ɤɨɠɧɭ ɬɪɭɛɭ ɨɤɪɟɦɨ?
217. Ȼɚɬɶɤɨ ɣ ɫɢɧ ɫɤɨɩɚɥɢ ɝɪɹɞɤɭ ɡɚ 15 ɯɜ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɟ ɫɤɨɩɚɬɢ ɝɪɹɞɤɭ
ɛɚɬɶɤɨ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɫɚɦ, ɹɤɳɨ ɜɿɧ ɦɨɠɟ ɰɟ ɡɪɨɛɢɬɢ ɭɞɜɿɱɿ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɫɢɧ?
218. Ɇɨɬɨɪɧɢɣ ɱɨɜɟɧ ɩɪɨɩɥɢɜ 18 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ ɩɨɜɟɪɧɭɜɫɹ ɧɚɡɚɞ. ɇɚ
ɜɟɫɶ ɲɥɹɯ ɜɿɧ ɡɚɬɪɚɬɢɜ 1 ɝɨɞ 45 ɯɜ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ, ɹɤɳɨ
ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 21 ɤɦ/ɝɨɞ.
219. Ɍɟɩɥɨɯɿɞ ɩɪɨɣɲɨɜ 12 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 10 ɤɦ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ ɡɚ 1 ɝɨɞ.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɩɥɨɯɨɞɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ
ɪɿɱɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2 ɤɦ/ɝɨɞ.

220. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
( 1)( 2)
0
x x
x a
− −
=
−
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ
ɪɿɜɧɹɧɧɸ (ɯ – 1)(ɯ – 2) = 0.
221. ɚ)
2 2
2 2
3 1 3 2 ;
3 2 3 4
x x x x
x x x x
+ + + +=
+ + + +
ɛ) 2 2
2 2 1
2 1 2 2
.
x x x x
+ = −
− − − +
222. ɚ)
4 5
0;
1
x
x
− −
=
+
ɛ)
2 1 3
0;
2 4
x
x
+ −
=
− −
ɜ)
2
25 0;
3 2 6
x
x x
− =
− − −
ɝ) 3 2
3 4
0
2 2 1
x
.
x x x
− −
=
− − +
223. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɚ:
ɚ) 2 0;
4
x a
x
− =
−
ɛ) 3 0;
3
x
x a
− =
+
ɜ) 2 4 0;x a
x a
− + =
−
ɝ)
( )( )
1 0.
3 2 3
x a
x x
− + =
− +
Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ. ɚ) ɉɪɢɪɿɜɧɹɽɦɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɧɭɥɹ: ɯ – 2ɚ = 0; ɯ = 2ɚ. əɤɳɨ
ɯ = 2ɚ, ɬɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: ɯ – 4 = 2ɚ – 4. Ɉɞɟɪɠɚɧɢɣ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɧɭɥɸ, ɹɤɳɨ ɚ = 2. Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ ɚ = 2, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ. əɤɳɨ ɠ ɚ ≠ 2, ɬɨ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤ ɜɿɞɦɿɧɧɢɣ ɜɿɞ ɧɭɥɹ ɣ ɱɢɫɥɨ ɯ = 2ɚ ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. əɤɳɨ ɚ ≠ 2, ɬɨ ɯ = 2ɚ; ɹɤɳɨ ɚ = 2, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ.
224. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 1 0
( 1)( 3)
x a
x x
+ − =
− +
ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ?
225. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
( )( 2 7)
0
5
x a x a
x
− − −
=
−
ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ?
Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
226. ɚ) 27
+ 53
ɛ) 6 ⋅ (–3)3
; ɜ) 5 ⋅ (–0,3)2
; ɝ) ( ) ( )
4 3
2 1 .
3 3
− −
227. ɚ) 2,57
: 2,55
– 33
⋅ 0,3; ɛ) 163
: (412
: 84
);
ɜ) (0,518
: 0,56
) ⋅ (216
: 24
); ɝ) (–1,7)30
: (–1,7)25
+ 1,75
.
;

228. ɚ) (a2
b4
)3
⋅ (2a2
b)2
; ɛ) 3ɯ17
ɭ14
⋅ (4ɯɭ3
)3
;
ɜ) (5a2
– 3ab + b3
) ⋅ b3
– (b4
– 3ab2
– 5a2
) ⋅ b2
.
229. ɚ)
2
2 2
4
;
2
xy x y
xyx y
+
⋅
−
ɛ) 2 2
2 11 : 1.
1 1
a a
a a
−§ ·− +¨ ¸
+ +© ¹
230. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɩɨɤɥɚɫɬɢ 120 ɹɛɥɭɤ ɭ ɬɪɢ ɤɨɲɢɤɢ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɭ ɩɟɪɲɨɦɭ ɤɨɲɢɤɭ
ɛɭɥɨ ɧɚ 5 ɹɛɥɭɤ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ, ɿ ɧɚ 8 ɹɛɥɭɤ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɭ
ɬɪɟɬɶɨɦɭ?
231. ȼɤɥɚɞɧɢɤ ɜɧɿɫ ɞɨ ɛɚɧɤɭ 5000 ɝɪɧ ɩɿɞ 20% ɪɿɱɧɢɯ (ɧɚɤɨɩɢɱɭɜɚɥɶɧɢɣ
ɜɤɥɚɞ). ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɪɨɲɟɣ ɛɭɞɟ ɧɚ ɣɨɝɨ ɪɚɯɭɧɤɭ ɱɟɪɟɡ 2 ɪɨɤɢ?
232*.Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɚ:
ɚ) (a – 2)ɯ = ɚ2
– 2a; ɛ) ɚ2
ɯ – ɚ = ɯ + 1.
233. ɇɚ ɤɨɠɧɿɣ ɤɥɿɬɢɧɰɿ ɞɨɲɤɢ ɪɨɡɦɿɪɭ 5 × 5 ɫɢɞɢɬɶ ɠɭɤ. ɍ ɞɟɹɤɢɣ ɦɨɦɟɧɬ
ɱɚɫɭ ɤɨɠɧɢɣ ɠɭɤ ɩɟɪɟɩɨɜɡɚɽ ɧɚ ɫɭɫɿɞɧɸ (ɩɨ ɫɬɨɪɨɧɿ) ɤɥɿɬɢɧɤɭ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ,
ɳɨ ɩɿɫɥɹ ɰɶɨɝɨ: ɚ) ɯɨɱɚ ɛ ɜ ɨɞɧɿɣ ɤɥɿɬɢɧɰɿ ɛɭɞɟ ɧɟ ɦɟɧɲɟ ɞɜɨɯ ɠɭɤɿɜ;
ɛ) ɡɚɥɢɲɢɬɶɫɹ ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɧɚ ɩɨɪɨɠɧɹ ɤɥɿɬɢɧɤɚ.
Ɋɿɜɟɧɶ 1
2
3
4 · .m n
n m
ɚ)
5
2
4 ;m
n
ɛ) 2
4 ;
m
ɜ) 4 ;
m
ɝ) 4 .m
2
4
: .b b
a a
ɚ)
3
5
;b
a
ɛ)
4
;a
b
ɜ)
3
;a
b
ɝ) ɚ3
b.
33
2
2 .x
a b
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɚ)
6
5 4
6 ;x
a b
ɛ)
9
6 3
8 ;x
a b
ɜ)
9
6 3
2 ;x
a b
ɝ)
6
6 3
8 .x
a b

2
1 1 ·
2 2
a a
a a a
+ −
− −
, ɹɤɳɨ ɚ = 3.
ɚ) –3; ɛ) 1; ɜ) 4; ɝ) 3.
5. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 3 0.
3
x
x
+ =
−
ɚ) –3; 3; ɛ) –3; ɜ) 3; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
6. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
0.
3
x
x x
=
+
ɚ) –3; ɛ) 3; ɜ) 0; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. Ⱦɨɛɟɪɿɬɶ ɞɨ ɤɨɠɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ (1–4) ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɣ ɣɨɦɭ ɜɢɪɚɡ (Ⱥ–Ⱦ).
1)
3 4
3
16 ;
2
a b
b a
⋅ Ⱥ)
16
12
16 ;a
b
−
2)
3 4
3
16: ;
2
a b
b a
Ȼ)
16
12
16 ;a
b
3)
34
3
2 ;a
b
§ ·
¨ ¸
© ¹
ȼ) 3
8 ;b
4)
44
3
2 .a
b
§ ·
−¨ ¸
© ¹
Ƚ)
12
9
8 ;a
b
Ⱦ)
6
5
.
32
a
b
ɚ)
3 2 3
4 4
27 8 ;
4 9
a b ac
c b
⋅ ɛ)
2 2 2
4
18 24
: .
525
xy x y
zz
ɚ) ( )2
3 3 3 ;
3 39
x x x
x xx
+ + −⋅ +
− ++
ɛ) ( )3 : .
2 2
a aa
a a
− −
− −
3 3
1
1 2 1
y y
y y
+§ ·
+ ⋅¨ ¸+ −© ¹
, ɹɤɳɨ ɭ = 5,5.
ɚ)
2
2 0;
1
x x
x
+ =
−
ɛ) 3.
3
x
x
=
+

Ɋɿɜɟɧɶ 3
ɚ)
33 2
2 2
4 3 ;
9 4
ab ac
c b
§ ·
⋅¨ ¸
© ¹
ɛ)
23 2 7 2
3
6 9
: .
5 35
x y x y
z z
§ · § ·
− −¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ɚ) ( )
2
2
31 : 1 ;
1 1
a a
a a
§ ·
+ −¨ ¸+ −© ¹
ɛ) ( )2 .
3
a b a b
a b a
+⋅ − −
+
2 3 3 3
22 1 4
x x
xx x x
+ −⋅ −
−− + −
, ɹɤɳɨ ɯ = 1,5.
ɚ) 3 1 2;
4 6x x
+ = ɛ)
2
3 10 25 5.
5
+ − = −
+
x x x
x
16. ɉɟɪɲɢɣ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪ ɦɨɠɟ ɜɢɪɢɬɢ ɤɨɬɥɨɜɚɧ ɜ 1,5 ɪɚɡɭ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ
ɞɪɭɝɢɣ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɜɢɪɢɽ ɤɨɬɥɨɜɚɧ ɞɪɭɝɢɣ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪ, ɹɤɳɨ ɪɚɡɨɦ ɡ
ɩɟɪɲɢɦ ɜɨɧɢ ɦɨɠɭɬɶ ɣɨɝɨ ɜɢɪɢɬɢ ɡɚ 4 ɝɨɞ?
Ɋɿɜɟɧɶ 4
ɚ)
4
3 2 2
49 3 27 ;
27 3 9 16
a a a
a a a a
+ +§ ·− ⋅¨ ¸
+ − + −© ¹
ɛ) 3 2 2
1 3 3 1: .
1 1 1 1
a
a a a a a a
+§ ·− +¨ ¸+ + − + − +© ¹
2 3 2 3
2 2 2 2
: .
2
y xx x x x
x y x y y xx xy y x y
§ · § · −
− − =¨ ¸ ¨ ¸+ + ++ + −© ¹ © ¹
2
2 3 3
( 3)2 6 13 :
2 4 8 2 16
xx x
x x x x
−− −§ ·−¨ ¸
− + + +© ¹
ɧɟ
ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ.
ɚ) 2
4 5 1 5 7 ;
5 5 25
y y
y y y
− +
− =
+ − −
ɛ)
2 5 1
0.
3
x
x
− −
=
−
21. Ɇɨɬɨɪɧɢɣ ɱɨɜɟɧ ɩɪɨɩɥɢɜ 36 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ ɩɨɜɟɪɧɭɜɫɹ ɭ
ɩɨɱɚɬɤɨɜɢɣ ɩɭɧɤɬ. ɇɚ ɲɥɹɯ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ ɱɨɜɟɧ ɡɚɬɪɚɬɢɜ ɱɚɫɭ ɧɚ
1 ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɧɚ ɲɥɹɯ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ
ɜɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3 ɤɦ/ɝɨɞ.

1. ɋɬɟɩɿɧɶ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ. ɋɬɟɩɟɧɿ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡ-
ɧɢɤɨɦ ɦɢ ɜɢɜɱɚɥɢ ɭ 7 ɤɥɚɫɿ. ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ, ɳɨ ɫɬɟɩɟɧɟɦ ɱɢɫɥɚ a ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ
ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɩ, ɞɟ ɩ 1, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɨɛɭɬɨɤ ɩ ɦɧɨɠɧɢɤɿɜ, ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɹɤɢɯ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
43
= 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64.
ɍ ɜɢɪɚɡɿ 43
ɱɢɫɥɨ 4 ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɨɫɧɨɜɨɸ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɱɢɫɥɨ 3 ⎯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ
ɫɬɟɩɟɧɹ, ɚ ɜɟɫɶ ɜɢɪɚɡ ⎯ ɫɬɟɩɟɧɟɦ. ɋɬɟɩɟɧɟɦ ɱɢɫɥɚ ɚ ɡ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ 1 ɧɚɡɢɜɚ-
ɸɬɶ ɫɚɦɟ ɱɢɫɥɨ ɚ: ɚ1
= ɚ.
ɋɬɟɩɟɧɿ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦɢ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚɦɢ ɱɚɫɬɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɞɥɹ ɡɚɩɢɫɭ
ɜɟɥɢɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɬɚ ɜɟɥɢɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɜɟɥɢɱɢɧ ɭ ɤɨɦɩɚɤɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
13 841 287 201 = 712
; 10 000 000 ɬ = 107
ɬ.
əɤɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɦɚɥɟ, ɬɨ ʀʀ ɡɚɞɚɸɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɬɟɩɟɧɿɜ, ɩɨ-
ɤɚɡɧɢɤɢ ɹɤɢɯ ɧɟ ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡ ɞɨɜɿɞɤɨɜɨʀ ɥɿɬɟɪɚɬɭɪɢ
ɦɨɠɧɚ ɞɿɡɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɦɚɫɚ ɦɨɥɟɤɭɥɢ ɜɨɞɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2,99 ⋅ 10–23
ɝ. ɓɨɛ ɡɪɨɡɭɦɿ-
ɬɢ ɩɨɞɿɛɧɿ ɡɚɞɚɧɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɪɨɡɲɢɪɢɦɨ ɞɿɸ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹ-
ɧɟɦɨ, ɳɨ ɨɡɧɚɱɚɽ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɿ ɰɿɥɢɦ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡ-
ɧɢɤɨɦ.
2. ɋɬɟɩɿɧɶ ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɬɚ ɰɿɥɢɦ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ
ɫɬɟɩɿɧɶ ak
ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ. əɤɳɨ a ≠ 0, ɬɨ ɰɟɣ ɫɬɟɩɿɧɶ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚ-
ɬɢ ɹɤ ɱɚɫɬɤɭ ak + 1
: a. Ɉɬɠɟ,
ak
= ak + 1
: a, ɞɟ ɚ ≠ 0, k — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ. (1)
əɤɳɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ (1) ɩɨɲɢɪɢɬɢ ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɭ k = 0, ɬɨ ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ:
ɚ0
= a1
: a = ɚ : ɚ = 1.
ɋáɦɟ ɱɢɫɥɨ 1 ɜɜɚɠɚɸɬɶ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɫɬɟɩɟɧɟɦ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɚ, ɞɟ ɚ ≠ 0.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɋɬɟɩɿɧɶ ɱɢɫɥɚ a ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɞɟ a ≠ 0, ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ 1.
ɚ0
= 1 (ɚ ≠ 0).
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 30
= 1, (–5)0
= 1, ( )
0
2 1.
3
= ɋɬɟɩɿɧɶ ɱɢɫɥɚ 0 ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɩɨɤɚ-
ɡɧɢɤɨɦ ɧɟ ɜɢɡɧɚɱɟɧɢɣ, ɬɨɛɬɨ ɡɚɩɢɫ 00
ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ.

9. ɋɬɟɩɿɧɶ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ 67
ɉɨɲɢɪɢɦɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ (1) ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɿɜ k = –1 ɿ k = –2:
ɚ–1
= a0
: a = 1 : ɚ = 1 ;
a
ɚ–2
= a–1
: a = 1 : a
a
= 1 1⋅
a a
= 2
1 .
a
Ⱦɥɹ ɧɚɫɬɭɩɧɢɯ ɰɿɥɢɯ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ k ɦɚɥɢ ɛ: ɚ–3
= 3
1 ,
a
ɚ–4
= 4
1
a
ɿ
ɬ. ɞ. Ɉɬɠɟ, ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɩɪɢɣɧɹɬɢ ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ, ɳɨ ɚ–n
= 1 ,n
a
ɞɟ ɚ ≠ 0, n — ɧɚ-
ɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
əɤɳɨ ɚ ≠ 0 ɿ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɬɨ ɫɬɟɩɟɧɟɦ ɱɢɫɥɚ ɚ ɡ
ɰɿɥɢɦ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ –n ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɥɨ 1 ,n
a
ɬɨɛɬɨ
1−
=n
n
a
a
(ɚ ≠ 0, n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ).
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2–3
= 3
1
2
= 1;
8
6–1
= 1
1
6
= 1
6
.
ɋɬɟɩɿɧɶ ɱɢɫɥɚ 0 ɡ ɰɿɥɢɦ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɧɟ ɜɢɡɧɚɱɟɧɢɣ. Ɍɚɤ, ɡɚ-
ɩɢɫ 0–2
3. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɜɿɞ’ɽɦɧɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. ɓɨɛ ɩɿɞɧɟɫɬɢ ɞɨ ɜɿɞ’ɽɦ-
ɧɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɞɪɿɛ, ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɬɢ ɪɿɜɧɿɫɬɶ
( ) ( )
−
=
n n
a b
b a
, ɞɟ ɚ ≠ 0, b ≠ 0, n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ.
ɐɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɡ ɬɚɤɢɯ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɶ:
( )
( )
( ) ( )1 1: 1: 1 .
n n nn n n
n n n n
a a a b b b
b b ab a aa
b
−
= = = = ⋅ = =
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: ( ) ( )
1 1
2 3 3 1,5;
3 2 2
−
= = = ( ) ( )
2 2
1 4 16.
4 1
−
= =

ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɉɛɱɢɫɥɢɬɢ:
ɚ) 100 ⋅ 5–3
; ɛ) 51 :3 ;
27
−
ɜ) ( )
1
22 0,2 ;
9
−
−
+ ɝ) ( )
2
012 2 .
3
−
+
Ɣ ɚ) 100 ⋅ 5–3
= 3
1 100 4100 0,8;
125 55
⋅ = = =
ɛ) 51 :3
27
−
=
5 5
2
5 3
1 1 1 3 3: 3 9;
27 27 13 3
= ⋅ = = =
ɜ) ( ) ( ) ( )
1 1 2
2 22 9 1 90,2 5 4,5 25 29,5;
9 2 5 2
− −
−
+ = + = + = + =
ɝ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
01 7 3 9 92 2 1 1 1 1 .
3 3 7 49 49
− −
+ = + = + = + = Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ, ɩɨɞɚɬɢ ɞɪɿɛ 3
3
ab
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ
ɞɨɛɭɬɤɭ.
Ɣ 1 3
3 3
3 1 13 3 .a b
aab b
− −
= ⋅ ⋅ = Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ ( ) ( )
11 1
.x y x y
−− −
+ ⋅ +
Ɣ ( ) ( )
11 1
x y x y
−− −
+ ⋅ + = 1 1 1
x y x y
§ ·
+ ⋅¨ ¸ +© ¹
= 1y x
xy x y
+
⋅
+
= 1 .
xy
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. ɉɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ
1 1
2 2
.a b
a b
− −
− −
+
−
Ɣ
1 1
2 2
a b
a b
− −
− −
+
−
= ( ) 2 2
1 1 1 1:
a b a b
§ ·+ −¨ ¸
© ¹
=
2 2
2 2
:b a b a
ab a b
+ − =
=
2 2
( )( )
b a a b
ab b a b a
+ ⋅
− +
= .ab
b a−
Ɣ

234. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ: 24
; (–3)3
; (–1)6
; (–15)0
; 0,30
; ( )
0
1 ;
2
00
.
235. Ɂɚɦɿɧɿɬɶ ɫɬɟɩɿɧɶ ɿɡ ɰɿɥɢɦ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɧɚ ɞɪɿɛ: 5–2
; 4–1
; 3–3
; 2–4
.
236. Ɂɚɦɿɧɿɬɶ ɞɪɿɛ ɧɚ ɫɬɟɩɿɧɶ ɡ ɰɿɥɢɦ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ: 2
1 ;
3
1 ;
7 3
1 ;
4 9
1 .
2
237. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ: 5–1
; 3–2
; 4–3
; 2–4
; 1–6
.
238. ɉɨɞɚɣɬɟ ɱɢɫɥɚ 4, 8, 16, 32, 2, 1, 1 ,
2
1 ,
4
1 ,
8
1
16
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡ ɨɫɧɨ-
ɜɨɸ 2.
239. ɉɨɞɚɣɬɟ ɱɢɫɥɚ 1, 3, 9, 27, 81, 1 ,
3
1 ,
9
1
81
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ 3.
Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
240. 9–2
; 15–1
; 3–3
; 5–4
; 120
; (–2)–4
; (–3)–3
; 0,5–2
.
241. 7–2
; 2–5
; 4–1
; (–5)–2
; (–6)–1
; 0,70
.
242. ɚ) 5 ⋅ 10–2
; ɛ) 16 ⋅ 2–5
; ɜ) 5–3
: 250
; ɝ) 3 : 2–3
;
ɞ) 2–4
+ 2–2
; ɟ) 2–3
– 2–4
; ɽ) 6–1
+ 3 ⋅ 3–2
; ɠ) 4–1
– 3–2
.
243. ɚ) 14 ⋅ 7–2
; ɛ) 4 : 2–4
; ɜ) 5–1
+ 2 ⋅ 6–1
; ɝ) 2–3
– 4–2
.
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ:
244. ɚ) 4a–2
b–1
; ɛ) 7–1
ab–5
; ɜ) x–2
y–3
; ɝ) (a + b)–2
.
245. ɚ) 10x–1
y–4
; ɛ) m–3
n–4
; ɜ) 4–1
a–3
b3
; ɝ) 5(x – 1)–1
.
ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ, ɩɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɪɿɛ:
246. ɚ) 3
;a
b
ɛ) 2
4 ;
xy
ɜ) 1 ;
2ab
ɝ) 2
.
( )
a b
a b
+
−

247. ɚ) 2
2 ;
a
ɛ) ;m
ab
ɜ)
4
3
;
2
a
b
ɝ) .x
x y+
248. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ:
ɚ) b–2
; (–b) –2
; –b–2
, ɹɤɳɨ b = 4; ɛ) ɚ–3
; (–ɚ)–3
; –ɚ–3
, ɹɤɳɨ ɚ = 5.
ɚ) 8ɚ–3
+ 1, ɹɤɳɨ ɚ = –2; ɚ = 2; ɛ) (b + 1)–2
, ɹɤɳɨ b = –2; b = 0; b = 2.
250. ɚ) 256 ⋅ 2–8
; ɛ) 0,1–2
+ (–1) –24
;
ɜ) 1,5–3
: 2,5–2
; ɝ) ( )
2
2 13 ;
3
−
+
ɞ) ( ) ( ) ( )
9 3 1
1 1 1: ;
3 9 27
− − −
− ɟ) ( ) ( )
2 2
1 81 ;
7 9
− −
−
ɽ) ( ) ( )
4 1
2 13 ;
3 5
− −
− + − ɠ) ( ) ( )
2 11 2
2 2 2 2 .
− −− −
+ − +
251. ɚ) 243 ⋅ 3–4
; ɛ) 0,2–3
– (–0,5) –2
;
ɜ) (–1,6)–1
: 2,5–2
; ɝ) ( ) ( )
2 1
3 12 ;
4 4
− −
−
ɞ) ( ) ( )
3 2
5 33 ;
6 7
− −
⋅ − ɟ) ( ) ( )
4 251
1 2 1 .
− −−
− + −
252. ɚ) Ɋɨɡɬɚɲɭɣɬɟ ɜ ɩɨɪɹɞɤɭ ɫɩɚɞɚɧɧɹ: 5–2
; 52
; 5–1
; 50
; 54
.
ɛ) Ɋɨɡɬɚɲɭɣɬɟ ɜ ɩɨɪɹɞɤɭ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ: 0,5–2
; 0,52
; 0,5–1
; 0,50
; 0,54
.
253. ɚ) Ɋɨɡɬɚɲɭɣɬɟ ɜ ɩɨɪɹɞɤɭ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ: 32
; 3–2
; 30
; 3–3
; 3–1
.
ɛ) Ɋɨɡɬɚɲɭɣɬɟ ɜ ɩɨɪɹɞɤɭ ɫɩɚɞɚɧɧɹ: ( )
2
1 ;
3 ( )
2
1 ;
3
−
( )
0
1 ;
3 ( )
3
1 ;
3
−
( )
1
1 .
3
−
254. ɚ) ( ) ( )
2
5 3 15 ;a a
−
+ + ɛ) ( ) ( )2 2
: ;a b a b− −
− +
ɜ) ( ) ( )
1 1
4 4 ;b b
− −
− − + ɝ) ( ) ( )3 3 2 2
: ;x y x xy y− −
− + +

ɞ) ( )
11 1 ;
1 1
y x
x y
−§ ·
− −¨ ¸− −© ¹
ɟ)
2
2 4
11 : .
1 1
x
x x
−
−
§ ·
−¨ ¸
+ −© ¹
255. ɚ) ( ) ( )2 2 2
;a b a b
−
− − ɛ) ( )1 1
( 7) ( 7) : ;
7
aa a
a
− −
− + +
−
ɜ) ( )
2 2
1 1
3 3
: ;m nm n
m n
− − −− ɝ) 3 3 3 3
1 1 .
x y x y− − − −
−
− +
256. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ ( )1 1
2 11 2 11 2 11m n m n m n− − − −
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ
ɡɧɚɱɟɧɶ m ɿ n ɧɚɛɭɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.
257. ɑɢ ɦɨɠɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2
2
1
x
x
−
−
+
ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ 1?
258. ɑɢ ɿɫɧɭɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ( )
1
2 1 0
2 1
x
x
−
+ =
−
?
ɚ) ɯ + ɯ–1
= 2; ɛ) ( )
1
1 1 2.
1 1
x x
x x
−
+ ++ =
− −
ɚ) 53
⋅ 23
; ɛ) 44
⋅ 1,254
⋅ 24
; ɜ) 49
: (23
)3
; ɝ) 2,55
⋅ 0,72
⋅ 0,45
.
261. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɨɞɧɨɱɥɟɧɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɝɨ ɜɢɝɥɹɞɭ:
ɚ) –5ɯ3
ɭ2
⋅ 2ɯɭ3
; ɛ) (–3ɚ2
b4
)2
; ɜ) (–2ɯɭ5
)3
; ɝ) (m4
n3
)2
⋅ (–mn)3
.
262. Ɍɪɢ ɩɪɨɝɪɚɦɿɫɬɢ ɪɨɡɪɨɛɢɥɢ 45 ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɧɢɯ ɩɪɨɝɪɚɦ. Ⱦɪɭɝɢɣ ɩɪɨɝɪɚ-
ɦɿɫɬ ɪɨɡɪɨɛɢɜ ɭɞɜɿɱɿ ɦɟɧɲɟ ɩɪɨɝɪɚɦ, ɧɿɠ ɩɟɪɲɢɣ, ɿ ɧɚ 5 ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɬɪɟ-
ɬɿɣ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɩɪɨɝɪɚɦ ɪɨɡɪɨɛɢɜ ɤɨɠɧɢɣ ɩɪɨɝɪɚɦɿɫɬ?
263. Ɇɚɸɱɢ 250 ɝ ɫɨɥɿ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɪɢɝɨɬɭɜɚɬɢ ʀʀ ɞɜɚɞɰɹɬɢɜɿɞɫɨɬɤɨɜɢɣ ɪɨɡɱɢɧ.
ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɡɹɬɢ ɝɪɚɦɿɜ ɜɨɞɢ?

264. 25 ɤɚɪɬɨɤ ȼɿɤɬɨɪ ɩɪɨɧɭɦɟɪɭɜɚɜ ɱɢɫɥɚɦɢ 1, 2, ..., 25, ɩɟɪɟɬɚɫɭɜɚɜ ɤɚɪɬɤɢ,
ɪɨɡɤɥɚɜ ɱɢɫɬɢɦ ɛɨɤɨɦ ɞɨɝɨɪɢ ɿ ɡɧɨɜɭ ɩɪɨɧɭɦɟɪɭɜɚɜ ɱɢɫɥɚɦɢ 1, 2, ..., 25.
ɉɨɬɿɦ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɤɚɪɬɤɢ ɞɨɞɚɜ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɿ ɧɚ ɧɿɣ ɧɚɩɢɫɚɧɿ, ɿ ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɜ
25 ɨɞɟɪɠɚɧɢɯ ɫɭɦ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɣɞɟɧɢɣ ɧɢɦ ɞɨɛɭɬɨɤ ɽ ɩɚɪɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ.
ɋɬɟɩɟɧɿ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɦɚɸɬɶ ɭɫɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ, ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɿ ɞɥɹ ɫɬɟ-
ɩɟɧɿɜ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɚ ɫɚɦɟ:
ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɚ ≠ 0 ɬɚ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ m ɿ n ɫɩɪɚɜɞɠɭɸɬɶ-
ɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
am
ɚn
= ɚm + n
;
am
: ɚn
= ɚm – n
;
(am
)n
= ɚmn
;
ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɚ ≠ 0 ɬɚ b ≠ 0 ɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ n ɫɩɪɚɜɞɠɭ-
ɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
(ab)n
= ɚn
bn
;
( ) .
n n
n
a a
b b
=
Ⱦɥɹ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɰɢɯ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɟɣ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ
ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ.
ɉɨɤɚɠɟɦɨ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɳɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ am
ɚn
= ɚm + n
ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ, ɹɤɳɨ ɩɨ-
ɤɚɡɧɢɤɢ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɽ ɰɿɥɢɦɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. Ⱦɥɹ ɞɚɧɨɝɨ ɜɢɩɚɞɤɭ ɩɨɤɚɡɧɢ-
ɤɢ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ m = –p, n = –q, ɞɟ ɪ ɿ q — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ
ɱɢɫɥɚ. Ɂɚɥɢɲɚɽɬɶɫɹ ɞɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ p q p q
a a a− − − −
⋅ = (ɚ ≠ 0).
ɋɩɪɚɜɞɿ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ 1 ,p
p
a
a
−
= 1 ,q
q
a
a
−
= ɬɨ:
1 1p q
p q
a a
a a
− −
⋅ = ⋅ = ( )1 1 .p q p q
p q p q
a a
a a a
− + − −
+
= = =
⋅

10. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ 73
Ɍɚɤ ɫɚɦɨ ɦɨɠɧɚ ɞɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ am
ɚn
= ɚm + n
ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ, ɤɨɥɢ
ɨɞɢɧ ɡ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɫɬɟɩɟɧɹ m ɚɛɨ n ɽ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ, ɚ ɿɧɲɢɣ — ɞɨɞɚɬɧɢɦ, ɤɨɥɢ
ɨɞɢɧ ɚɛɨ ɨɛɢɞɜɚ ɩɨɤɚɡɧɢɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɧɭɥɸ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɉɛɱɢɫɥɢɬɢ:
ɚ) 3–5
· 32
: 3–4
; ɛ) (5–2
)3
· 252
; ɜ)
6 4
6
5 4
.
10
− −
−
⋅
Ɣ ɚ) 3–5
· 32
: 3–4
= 3–5 + 2 – (–4)
= 31
= 3;
ɛ) (5–2
)3
· 252
= 5–6
· (52
)2
= 5–6
· 54
= 5–6 + 4
= 5–2
= 1 ;
25
ɜ) ( ) ( )
6 4 6 66
4 4 2 4 6 8 2
6 6
5 4 5 5 1 14 4 (2 ) 2 2 2 .
10 2 410 10
− − − −−
− − − − −
− −
⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɉɨɞɚɬɢ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ ɚ:
ɚ) ɚ–14
· ɚ12
: ɚ–4
; ɛ) (ɚ5
)–2
: ɚ–7
.
Ɣ ɚ) ɚ–14
· ɚ12
: ɚ–4
= ɚ–14 + 12 – (–4)
= ɚ2
;
ɛ) (ɚ5
)–2
: ɚ–7
= ɚ–10
: ɚ–7
= ɚ–10 – (–7)
= ɚ–3
. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. ɉɨɞɚɬɢ ɫɬɟɩɿɧɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɢɪɚɡɭ, ɹɤɢɣ ɧɟ ɦɿɫɬɢɬɶ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɜɿɞ’ɽɦ-
ɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ:
ɚ) ( )
22 3
;x y
−− −
ɛ) ( )
3
4 22 .
3
m n
−
−
Ɣ ɚ) ( )
22 3 4 6
;x y x y
−− −
=
ɛ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 12
4 2 12 6 12 6
6
2 2 3 27 .
3 3 2 8
mm n m n m n
n
− −
− − −
= = = Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ 1 2 1 1
( 2 ) ( 2 )( 2 ).x x x x x x− − −
− − − +
Ɣ 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2
( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( ) 2 2 4 (( ) 4 )x x x x x x x x x x x x− − − − − −
− − − + = − ⋅ ⋅ + − − =
2 0 2 2 2 2
4 4 4 8 4.x x x x x x− −
= − + − + = − Ɣ

a) 3 2
2 2 ;−
⋅ ɛ) 4 3
3 :3 ;− −
ɜ) 8 8
5 5 ;−
⋅ ɝ) 3 5
4 : 4 ;
ɞ) ( )
11
8 ;
−−
ɟ) ( )
21
7 ;−
ɽ) 2 2
2 5 ;− −
⋅ ɠ)
2
2
8 .
4
−
−
Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
266. a) 211
⋅ 2–7
; ɛ) 415
: 417
; ɜ) ( )
21 4
3 3 ;
−− −
⋅
ɝ) ( )
43 1
5 : 5 ;
−−
ɞ) 10–6
: 10–7
⋅ 102
; ɟ) ( )
22 5 1
4 : 4 10 .
−− − −
+
267. a) 3–5
: 3–7
; ɛ) 2–7
⋅ 25
; ɜ) ( )
31 3
5 5 ;
−− −
⋅
ɝ) 4–6
: 4–4
⋅ 45
; ɞ) ( )
23 5
6 : 6 ;− −
ɟ) ( ) ( )
1 22 1
11 9 .
− −− −
−
268. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ ɚ:
ɚ) 3 7 5
: ;a a a−
⋅ ɛ) 4 6 9
: ;a a a−
⋅ ɜ) ( )
52 3
: ;a a− −
ɝ) ( )
217 8
.a a
−
⋅
269. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ b:
ɚ) 8 2 10
: ;b b b−
⋅ ɛ) 4 12 3
: ;b b b−
⋅ ɜ) ( )
27 10
;b b
−
⋅ ɝ) ( )
29 14
: .b b
−−
270. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ( )
28 14
:x x− −
ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ ɯ ɬɚ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨ-
ɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɳɨ ɯ = 0,1.
271. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ( )
43 15
y y
−
⋅ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ ɭ ɬɚ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤɳɨ ɭ = 0,5.
272. ɚ) 4 2
7 5 ;− −
⋅c c ɛ) 2 3
3 : (6 );−
b b ɜ) ( )
25 3
3 ;
−−
m n
ɝ) 2 1 2 3
5 2 ;− −
⋅x y x y ɞ) 4 5 5
0,3 15 ;− −
⋅a b a b ɟ) ( )2 2 32 3 ;
3 5
− −
⋅ −mn m n

ɽ)
2
2 3
12 ;
3
−
−
km
k m
ɠ)
2 4
2 3
8 ;
4
−
−
⋅x x
y y
ɡ)
1 3 3 2
: .
5 10
− −
§ ·
− ¨ ¸
© ¹
a b a b
273. ɚ) 5 12
3 6 ;−
⋅a a ɛ) ( )
32 3
2 ;
−−
x y ɜ) 3 4 1 5
0,5 1,2 ;− − −
⋅b c b c
ɝ) ( )3 2 2 33 5 ;
5 8
− −
⋅x y x y ɞ)
5 7
4 3
6 ;
2
−
−
− ⋅a a
b b
ɟ)
1 3
3 4
3 9: .
− −
§ ·
¨ ¸
© ¹
c c
a a
Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
274. ɚ) 1 5 2
16 2 4 ;− −
⋅ ⋅ ɛ) ( )8 1
5 : 125 : 25 ;−
ɜ) ( )3 5 2
9 : 3 : 27 ;− − −
ɝ) 5 3 5
4 3 0,25 ;− −
⋅ ⋅ ɞ) 8 8 8
2 1,25 0,4 ;− − −
⋅ ⋅ ɟ) ( ) ( )
3 3
23 11 2 .
4 3
− −
−
⋅ −
275. ɚ)
( )
32
2
2 :16
;
2
−−
ɛ)
4 4
9 9
9 4
;
2 3
− −
− −
⋅
⋅
ɜ)
4 3
5 3
5 6 .
5 3
− −
− −
⋅
⋅
276. ɚ) 4 5 1
3 9 27 ;− −
⋅ ⋅ ɛ) ( )
26 5 1
2 : 2 : 8 ;
−− −
ɜ) 5 5 1
2,5 0,4 7 ;− − −
⋅ ⋅
ɝ) ( ) ( )
5 4
52 13 ;
3 2
−
−
⋅ ⋅ ɞ) 3 8 2
6,25 2,5 1,5 ;−
⋅ − ɟ)
6 8
6 8
9 0,5
.
3 1,5
− −
− −
⋅
⋅
ɉɟɪɟɬɜɨɪɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɜɿɧ ɧɟ ɦɿɫɬɢɜ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ:
277. ɚ) ( )
23 2
5 0,4 ;− −
⋅xy x y ɛ) 5 17 1 1913 0,12 ;
3
m n m n− −
⋅
ɜ) ( )
21 2 5
0,04 5 ;x x
−− − −
⋅ ɝ) ( )
42 2 3 1 2
81 3 ;a b a b
−− − − −
⋅
ɞ)
( )
13 4
9 6
4
;
0,2
a b
a b
−− −
−
ɟ)
( )
2
23 2
0,5
.
0,25
mn
m n
−
−−
278. ɚ) ( )
1
2 4 1 21 2 ;
8
a b a b
−
− − −
⋅ ɛ) ( )
2
3 1 210,12 ;
2
a b a b
−
− − −
⋅
ɜ) ( )
13 2
0,2 · 25 ;xy x
−
ɝ)
2 3
1 4
27 .
(3 )
a b
a b
− −
−

5 3 9
4 6
2 9
3 3
− −
− −
⋅ ⋅a b b a
a b
280. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚ-
ɡɭ
3 3 54 3
2 6
5 12
4 25
− − −
−
⋅ ⋅
x y yx z
z y z
ɧɟ ɡɚɥɟɠɢɬɶ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɶ ɭ.
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɜɢɪɚɡ:
281. ɚ) 3 4
;− −
−a a ɛ) 2 2
;−
−x y ɜ) 4 2
9 ;− −
−m n ɝ) 3 3
.− −
−a b
282. ɚ) 1 3
2 ;− −
−x x ɛ) 2 2
;−
−a b ɜ) 2 2
9 4 ;− −
−b c ɝ) 3 3
.− −
+m n
283. ɚ) 1 1 2
( 1)( 1) ;a a a− − −
− + − ɛ) 3 3 3 3
( 3)( 3) ( 2);b b b b− − − −
− + − +
ɜ) 1 2 2 1 2 2
( ) ( ) ;x y x y− − − −
− − + ɝ) 1 2 1 2 1 2
( ) ( 2 )( 2 );c c c c c c− − −
− − − +
ɞ) 1 1 2 1 1 2
( )( );a b a a b b− − − − − −
− + + ɟ)
8 4 4 8
8 8
2 .a a b b
a b
− − − −
− −
+ +
−
284. ɚ) 1 1 1 1 2
( )( ) 2 ;x y x y y− − − − −
− + + ɛ) 2 2 2 4
( ) 2 ;a a a− −
− + −
ɜ) 1 1 2 1 1 2
( ) ( ) ;a b a b− − − −
− + + ɝ)
4 4
4 2 2 4
.
2
m n
m m n n
− −
− − − −
−
− +
285. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ( )( )1 1 1 1− − − −
− −m n n m n n ɽ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɱɢ-
ɫɥɨɦ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ.
286. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ:
ɚ) ( )
22
2
;
m
m ma a b
b
−
§ · ⋅¨ ¸
© ¹
ɛ) ( ) ( ) ( )
1 2 1
3 4 9 .
4 3 16
n n n− + − +
⋅ ⋅
287. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ: ( )8 1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 .− − − − − − − −
+ + + + + + + +
288. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ 4 2 1 2
4 4a a b b− − − −
− + ɧɚɛɭɜɚɽ ɥɢɲɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ.

ɚ)
10 10 10 10
20 20 20 10 10 20
2 2 3 3
: ;
2
x y x y
x y x x y y
− − − −
− − − − − −
+ +
− − +
ɛ) ( )2
1 1
1 11 1 ;
1 1
a
a a
−
− −
§ ·− − −¨ ¸
− +© ¹
ɜ)
2 1 1 1 2 1
3 2 1 1 2 1
2 1 1 51 .
1 1
b b b b b b
b b b b b b
− − − − − −
− − − − − −
§ ·§ ·+ + + +− + −¨ ¸¨ ¸
− + + +© ¹© ¹
ɚ) 1,7 · 104
; ɛ) 3,2 · 10–2
; ɜ) 5,2 : 103
; ɝ) 0,3 : 10–4
.
291. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɿɜɧɹɧɶ
2 3;
3 2 1.
x y
x y
− =
®
+ =¯
292. Ⱦɜɚ ɫɬɚɧɤɢ-ɚɜɬɨɦɚɬɢ ɡɚ 1 ɝɨɞ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɪɨɛɨɬɢ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɸɬɶ 250 ɞɟɬɚ-
ɥɟɣ. ɉɟɪɲɢɣ ɫɬɚɧɨɤ ɡɚ 4 ɝɨɞ ɿ ɞɪɭɝɢɣ ɡɚ 2 ɝɨɞ ɪɚɡɨɦ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɸɬɶ 740
ɞɟɬɚɥɟɣ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɟɬɚɥɟɣ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɽ ɡɚ ɝɨɞɢɧɭ ɤɨɠɧɢɣ ɫɬɚɧɨɤ?
293. Ɂ ɩɭɧɤɬɭ A ɞɨ ɩɭɧɤɬɭ B ɬɭɪɢɫɬɢ ɣɲɥɢ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 6 ɤɦ/ɝɨɞ, ɚ ɧɚɡɚɞ ɩɨ-
ɜɟɪɬɚɥɢɫɹ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 5 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɩɭɧɤɬɚɦɢ, ɹɤɳɨ
ɧɚ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɲɥɹɯ ɬɭɪɢɫɬɢ ɡɚɬɪɚɬɢɥɢ ɱɚɫɭ ɧɚ 1 ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɧɚ ɲɥɹɯ
ɜɿɞ A ɞɨ B.
294. ɇɚ ɛɟɪɟɡɿ ɪɿɱɤɢ ɥɟɠɢɬɶ ɤɭɩɚ ɝɪɚɜɿɸ, ɜ ɹɤɿɣ ɽ 1001 ɤɚɦɿɧɟɰɶ. Ɂ ɤɭɩɢ ɜɢ-
ɤɢɞɚɸɬɶ ɭ ɪɿɱɤɭ ɨɞɢɧ ɤɚɦɿɧɟɰɶ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɤɭɩɭ ɞɿɥɹɬɶ ɧɚ ɞɜɿ. Ⱦɚɥɿ ɡ ɹɤɨʀ-
ɧɟɛɭɞɶ ɤɭɩɢ ɜɢɤɢɞɚɸɬɶ ɭ ɪɿɱɤɭ ɨɞɢɧ ɤɚɦɿɧɟɰɶ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɨɞɧɭ ɡ ɤɭɩ ɞɿɥɹɬɶ
ɧɚ ɞɜɿ ɿ ɬ. ɞ. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɞɨɛɢɬɢɫɹ ɬɨɝɨ, ɳɨɛ ɧɚ ɛɟɪɟɡɿ ɡɚɥɢɲɢɥɢɫɹ ɥɢɲɟ
ɤɭɩɢ ɿɡ ɬɪɶɨɯ ɤɚɦɿɧɰɿɜ?

ɍ ɧɚɭɰɿ ɣ ɬɟɯɧɿɰɿ ɞɨɜɨɞɢɬɶɫɹ ɦɚɬɢ ɫɩɪɚɜɭ ɡ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɢɯ
ɞɭɠɟ ɜɟɥɢɤɿ ɚɛɨ ɞɭɠɟ ɦɚɥɿ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
ɩɥɨɳɚ ɋɜɿɬɨɜɨɝɨ ɨɤɟɚɧɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 361 000 000 000 000 ɦ2
;
ɞɿɚɦɟɬɪ ɦɨɥɟɤɭɥɢ ɜɨɞɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,00000028 ɦɦ;
ɦɚɫɚ ɦɨɥɟɤɭɥɢ ɜɨɞɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,0000000000000000000000299 ɝ.
ɍɤɚɡɚɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɚɠɤɨ ɩɪɨɱɢɬɚɬɢ, ɚ ɜɢɤɨɧɚɧɧɹ ɧɚɞ ɧɢɦɢ ɩɟɜɧɢɯ ɞɿɣ ɩɪɢ-
ɡɜɨɞɢɬɶ ɞɨ ɝɪɨɦɿɡɞɤɢɯ ɡɚɩɢɫɿɜ. ɓɨɛ ɟɮɟɤɬɢɜɧɿɲɟ ɨɩɟɪɭɜɚɬɢ ɡ ɜɟɥɢɤɢɦɢ ɬɚ ɦɚ-
ɥɢɦɢ ɞɨɞɚɬɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ, ʀɯ ɡɪɭɱɧɨ ɡɚɩɢɫɭɜɚɬɢ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɱɢɫɥɚ
10. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
361 000 000 000 000 ɦ2
= 3,61 · 1014
ɦ2
;
0,00000028 ɦɦ = 2,8 · 10–7
ɦɦ;
0,0000000000000000000000299 ɝ = 2,99 · 10–23
ɝ.
ɉɪɨ ɱɢɫɥɚ 3,61 · 1014
, 2,8 · 10–7
, 2,99 · 10–23
ɤɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɜɨɧɢ ɡɚɩɢɫɚɧɿ ɜ ɫɬɚ-
ɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɦ ɜɢɝɥɹɞɨɦ ɞɨɞɚɬɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɯ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɣɨɝɨ
ɡɚɩɢɫ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɚ · 10ɩ
, ɞɟ 1 ≤ ɚ 10 ɿ ɩ — ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ.
ɑɢɫɥɨ ɩ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɱɢɫɥɚ ɯ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɨɪɹɞɨɤ ɱɢɫɥɚ
3,61 · 1014
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 14, ɚ ɩɨɪɹɞɨɤ ɱɢɫɥɚ 2,99 · 10–23
ɞɨɪɿɜɧɸɽ –23. ɉɨɪɹɞɨɤ ɱɢ-
ɫɥɚ ɞɚɽ ɭɹɜɥɟɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɧɚɫɤɿɥɶɤɢ ɜɟɥɢɤɢɦ ɱɢ ɧɚɫɤɿɥɶɤɢ ɦɚɥɢɦ ɽ ɰɟ ɱɢɫɥɨ.
Ɂɜɟɪɧɟɦɨ ɭɜɚɝɭ ɧɚ ɨɫɨɛɥɢɜɿɫɬɶ ɱɢɫɥɚ ɚ: ɨɫɤɿɥɶɤɢ 1 ≤ ɚ 10, ɬɨ ɜ ɰɿɥɿɣ
ɱɚɫɬɢɧɿ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɡɚɩɢɫɭ ɱɢɫɥɚ ɚ ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ ɥɢɲɟ ɨɞɧɚ ɰɢɮɪɚ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ
ɜɿɞɦɿɧɧɚ ɜɿɞ ɧɭɥɹ.
ɍ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɞɨɞɚɬɧɟ ɱɢɫɥɨ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɡɚɩɢɲɟɦɨ ɱɢɫɥɨ ɯ = 345,8 ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɚ · 10ɩ
.
ɓɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɱɢɫɥɨ ɚ, ɩɟɪɟɧɟɫɟɦɨ ɜ ɱɢɫɥɿ ɯ ɤɨɦɭ ɧɚ 2 ɰɢɮɪɢ ɥɿɜɨɪɭɱ:
ɚ = 3,458. ɑɢɫɥɨ ɚ ɭ 100 = 102
ɪɚɡɿɜ ɦɟɧɲɟ ɜɿɞ ɱɢɫɥɚ ɯ, ɬɨɦɭ ɯ = ɚ · 102
=
= 3,458 · 102
.
ȱɧɲɢɣ ɩɪɢɤɥɚɞ: 0,000235 = 2,35 · 10–4
. (ɍ ɱɢɫɥɿ ɯ = 0,000235 ɩɟɪɟɧɟɫɥɢ
ɤɨɦɭ ɩɪɚɜɨɪɭɱ ɧɚ 4 ɰɢɮɪɢ, ɨɞɟɪɠɚɥɢ ɱɢɫɥɨ ɚ = 2,35, ɹɤɟ ɭ 104
ɪɚɡɿɜ ɛɿɥɶɲɟ
ɜɿɞ ɱɢɫɥɚ ɯ. Ɍɨɦɭ ɯ = ɚ : 104
= 4
1
10
a⋅ = ɚ · 10–4
= 2,35 · 10–4
.)

11. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɱɢɫɥɚ 79
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɂɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɢɫɥɨ:
ɚ) 0,56; ɛ) 31,6; ɜ) 2000.
Ɣ ɚ) 0,56 = 5,6 · 10–1
; ɛ) 31,6 = 3,16 · 10; ɜ) 2000 = 2 · 103
. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ȼɢɤɨɧɚɬɢ ɞɿʀ ɿ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
ɚ) ( ) ( )3 6
8,4 10 2,3 10 ;−
⋅ ⋅ ⋅ ɛ) ( ) ( )5 3
4,2 10 : 8,4 10 ;−
⋅ ⋅ ɜ) 2,3 · 107
+ 5,6 · 106
.
Ɣ ɚ) ( ) ( ) ( )3 6 3 6 3
8,4 10 2,3 10 (8,4 2,3) 10 10 19,32 10− − −
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
= 3 2
1,932 10 10 1,932 10 .− −
⋅ ⋅ = ⋅
ɛ)( ) ( )
5
5 3 8 7 7
3
4,2 10
4,2 10 : 8,4 10 0,5 10 0,5 10 10 5 10 .
8,4 10
−
−
⋅
⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
⋅
ɜ) Ⱦɨɞɚɧɨɤ, ɹɤɢɣ ɦɿɫɬɢɬɶ ɛɿɥɶɲɢɣ ɫɬɟɩɿɧɶ ɱɢɫɥɚ 10 (ɩɟɪɲɢɣ ɞɨɞɚɧɨɤ),
ɡɚɥɢɲɢɦɨ ɛɟɡ ɡɦɿɧ, ɚ ɜ ɿɧɲɨɦɭ ɜɢɞɿɥɢɦɨ ɦɧɨɠɧɢɤ 107
:
5,6 · 106
= 5,6 · 10–1
· 107
= 5,6 · 0,1 · 107
= 0,56 · 107
.
Ɍɨɞɿ:
2,3 · 107
+ 5,6 · 106
= 2,3 · 107
+ 0,56 · 107
= (2,3 + 0,56) · 107
= 2,86 · 107
. Ɣ
295. əɤɟ ɡ ɱɢɫɟɥ ɡɚɩɢɫɚɧɟ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ?
a) 0,3 · 105
; ɛ) 3,8 · 10–5
; ɜ) 12 · 10–1
; ɝ) 1,0001 · 108
.
296. ɇɚɡɜɿɬɶ ɩɨɪɹɞɨɤ ɱɢɫɥɚ, ɡɚɩɢɫɚɧɨɝɨ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
a) 1,33 · 104
; ɛ) 4,5 · 10–3
; ɜ) 8,5 · 1023
; ɝ) 3,4 · 10–9
.
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɢɫɥɨ:
297. ɚ) 7500; ɛ) 110000; ɜ) 34,17; ɝ) 456000000;
ɞ) 0,035; ɟ) 0,00015; ɽ) 0,53954; ɠ) 0,0000002.
298. ɚ) 15680; ɛ) 70000; ɜ) 5350000; ɝ) 17,93;
ɞ) 0,0000011; ɟ) 0,0101; ɽ) 0,0143; ɠ) 0,00004.

Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɟɥɢɱɢɧɭ:
299. ɚ) 149 600 000 ɤɦ — ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɜɿɞ Ɂɟɦɥɿ ɞɨ ɋɨɧɰɹ;
ɛ) 510 000 000 000 000 ɦ2
— ɩɥɨɳɚ ɩɨɜɟɪɯɧɿ ɡɟɦɧɨʀ ɤɭɥɿ;
ɜ) 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 ɬ — ɦɚɫɚ ɋɨɧɰɹ;
ɝ) 0,0000000000000000000000017 ɝ — ɦɚɫɚ ɚɬɨɦɚ Ƚɿɞɪɨɝɟɧɭ.
300. ɚ) 2061 ɦ — ɜɢɫɨɬɚ Ƚɨɜɟɪɥɢ;
ɛ) 300 000 000 ɦ/ɫ — ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɫɜɿɬɥɚ;
ɜ) 73 500 000 000 000 000 000 000 ɤɝ — ɦɚɫɚ Ɇɿɫɹɰɹ;
ɝ) 0,00000006 cɦ — ɬɨɜɳɢɧɚ ɩɥɿɜɤɢ ɦɢɥɶɧɨʀ ɛɭɥɶɛɚɲɤɢ.
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɚɛɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɱɢɫɥɨ:
301. ɚ) 1,2 · 103
; ɛ) 3,5 · 105
; ɜ) 4,2 · 10–3
; ɝ) 5,7 · 10–5
.
302. ɚ) 3,3 · 102
; ɛ) 8,1 · 104
; ɜ) 1,8 · 10–2
; ɝ) 9,9 · 10–4
.
303. Ɉɤɪɭɝɥɿɬɶ ɱɢɫɥɨ ɞɨ ɞɟɫɹɬɤɿɜ ɣ ɨɞɟɪɠɚɧɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪ-
ɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
ɚ) 1427; ɛ) 155,678; ɜ) 54,23; ɝ) 4911,2.
304. Ɉɤɪɭɝɥɿɬɶ ɱɢɫɥɨ ɞɨ ɨɞɢɧɢɰɶ ɣ ɨɞɟɪɠɚɧɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪ-
ɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
ɚ) 157,415; ɛ) 8901,5; ɜ) 18,9; ɝ) 315,5.
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿʀ ɿ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
305. ɚ) 3 · 10–5
+ 5 · 10–5
; ɛ) 5,6 · 1012
+ 7,5 · 1012
;
ɜ) 8 · 109
– 4 · 109
; ɝ) 28 · 1015
· 10–4
.
306. ɚ) 4,8 · 10–7
– 2,5 · 10–7
; ɛ) 7,1 · 1015
+ 4,5 · 1015
.
ɉɨɞɚɣɬɟ:
307. ɚ) 1,9 · 1015
ɝ ɭ ɬɨɧɧɚɯ; ɛ) 2,8 · 10–1
ɬ ɭ ɤɿɥɨɝɪɚɦɚɯ;
ɜ) 5,2 · 10–3
ɦ ɭ ɫɚɧɬɢɦɟɬɪɚɯ; ɝ) 6,12 · 102
ɦ ɭ ɞɟɰɢɦɟɬɪɚɯ.
308. ɚ) 7,3 · 10–1
ɦ ɭ ɞɟɰɢɦɟɬɪɚɯ; ɛ) 1,1 · 102
ɰ ɭ ɤɿɥɨɝɪɚɦɚɯ;
ɜ) 9,3 · 102
ɤɝ ɭ ɝɪɚɦɚɯ; ɝ) 8,6 · 10–2
ɤɦ ɭ ɫɚɧɬɢɦɟɬɪɚɯ.
309. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɩɟɪɲɚ ɤɨɫɦɿɱɧɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɞɥɹ Ɂɟɦɥɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 7,9 · 103
ɦ/ɫ,
ɞɪɭɝɚ — 1,12 · 104
ɦ/ɫ, ɬɪɟɬɹ — 1,667 · 104
ɦ/ɫ. ȼɢɪɚɡɿɬɶ ɰɿ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɭ
ɤɿɥɨɦɟɬɪɚɯ ɡɚ ɫɟɤɭɧɞɭ ɣ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɨɞɟɪɠɚɧɿ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɭ ɫɬɚɧ-
ɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ.

11. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɱɢɫɥɚ 81
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿʀ ɬɚ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
310. ɚ) ( ) ( )4 7
2,3 10 1,2 10 ;−
⋅ ⋅ ⋅ ɛ) ( ) ( )5 7
5,1 10 6,8 10 ;− −
⋅ ⋅ ⋅
ɜ) ( ) ( )11 11
5,9 10 8,2 10 ;−
⋅ ⋅ ⋅ ɝ) ( ) ( )7 11
9,9 10 : 1,1 10 ;⋅ ⋅
ɞ) ( ) ( )7 3
1,3 10 : 6,5 10 ;−
⋅ ⋅ ɟ) ( ) ( )11 4
8,1 10 : 1,8 10 .− −
⋅ ⋅
311. ɚ) ( ) ( )4 8
4,2 10 4,5 10 ;−
⋅ ⋅ ⋅ ɛ) ( ) ( )3 5
1,25 10 1,6 10 ;− −
⋅ ⋅ ⋅
ɜ) ( ) ( )3 5
8,5 10 : 1,7 10 ;−
⋅ ⋅ ɝ) ( ) ( )8 4
3,4 10 : 6,8 10 .− −
⋅ ⋅
Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ, ɡɚɩɢɫɚɜɲɢ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɢ ɞɿɣ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
312. ɚ) 64 000 000 · 250 000 000 000; ɛ) 0,000008 · 52 000 000 000;
ɜ) 300 000 : 0,000002; ɝ) 0,00000045 : 0,0000000015.
313. ɚ) 480 000 000 · 0,0000045; ɛ) 0,0000064 : 80 000 000.
ȼɢɤɨɧɚɣɬɟ ɞɿʀ ɬɚ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
314. ɚ) 5,1 · 108
+ 1,4 · 109
; ɛ) 9,8 · 1016
+ 3,6 · 1015
;
ɜ) 8,3 · 107
– 5,3 · 106
; ɝ) 7,2 · 10–5
– 5 · 10–6
.
315. ɚ) 3,6 · 109
+ 4,8 · 108
; ɛ) 2,8 · 10–3
– 8,7 · 10–4
.
316. ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɦɚɫɢ ɚɬɨɦɿɜ ɞɟɹɤɢɯ ɯɿɦɿɱɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ.
ȿɥɟɦɟɧɬ Ɇɚɫɚ ɚɬɨɦɚ, ɝ
Ⱥɥɸɦɿɧɿɣ 4,48 · 10–23
Ȼɚɪɿɣ 2,28 · 10–22
Ȼɨɪ 1,79 · 10–23
Ƚɟɥɿɣ 6,64 · 10–24
ɉɥɸɦɛɭɦ 3,44 · 10–22
Ɏɟɪɭɦ 9,28 · 10–23
ɚ) əɤɢɣ ɡ ɞɚɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɦɚɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲɭ ɦɚɫɭ, ɚ ɹɤɢɣ — ɧɚɣɦɟɧɲɭ?
ɛ) ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɝɪɚɦɿɜ ɦɚɫɚ ɚɬɨɦɚ Ȼɨɪɭ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɦɚɫɢ ɚɬɨɦɚ Ȼɚɪɿɸ?
ɜ) ɍ ɫɤɿɥɶɤɢ ɪɚɡɿɜ ɦɚɫɚ ɚɬɨɦɚ Ⱥɥɸɦɿɧɿɸ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɦɚɫɢ ɚɬɨɦɚ Ƚɟɥɿɸ?
ɝ) ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɩɨɪɹɞɤɿɜ ɦɚɫɚ ɚɬɨɦɚ Ƚɟɥɿɸ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɦɚɫɢ ɚɬɨɦɚ ɉɥɸɦ-
ɛɭɦɭ?

317. ɍ ɬɚɛɥɢɰɿ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɦɚɫɢ ɩɥɚɧɟɬ ɋɨɧɹɱɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ.
ɉɥɚɧɟɬɚ Ɇɚɫɚ, ɤɝ
Ɇɟɪɤɭɪɿɣ 3,31 · 1023
ȼɟɧɟɪɚ 4,87 · 1024
Ɂɟɦɥɹ 5,98 · 1024
Ɇɚɪɫ 6,42 · 1023
ɘɩɿɬɟɪ 1,90 · 1027
ɋɚɬɭɪɧ 5,68 · 1026
ɍɪɚɧ 8,68 · 1025
ɇɟɩɬɭɧ 1,02 · 1026
ɚ) əɤɚ ɩɥɚɧɟɬɚ ɦɚɽ ɧɚɣɛɿɥɶɲɭ ɦɚɫɭ, ɚ ɹɤɚ — ɧɚɣɦɟɧɲɭ?
ɛ) ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɦɚɫɚ Ɂɟɦɥɿ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɦɚɫɢ ȼɟɧɟɪɢ?
ɜ) ɍ ɫɤɿɥɶɤɢ ɪɚɡɿɜ ɬɚ ɧɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɩɨɪɹɞɤɿɜ ɦɚɫɚ Ɂɟɦɥɿ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɦɚɫɢ
ɘɩɿɬɟɪɚ?
318. Ƚɭɫɬɢɧɚ ɫɪɿɛɥɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1,05 · 104
ɤɝ/ɦ3
. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɦɚɫɭ ɫɪɿɛɧɨɝɨ ɛɪɭɫɤɚ,
ɞɨɜɠɢɧɚ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 20 ɫɦ, ɲɢɪɢɧɚ — 5 ɫɦ, ɚ ɜɢɫɨɬɚ — 1 ɫɦ.
319. ɉɨɥɹɪɧɚ ɡɿɪɤɚ ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɚ ɧɚ ɜɿɞɫɬɚɧɿ 433 ɫɜɿɬɥɨɜɢɯ ɪɨɤɿɜ ɜɿɞ ɋɨɧɰɹ.
ȼɢɪɚɡɿɬɶ ɰɸ ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɭ ɤɿɥɨɦɟɬɪɚɯ, ɭɜɚɠɚɸɱɢ, ɳɨ 1 ɫɜɿɬɥɨɜɢɣ ɪɿɤ ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ 9,46 · 1012
ɤɦ.
320. ɉɥɨɳɚ ɑɨɪɧɨɝɨ ɦɨɪɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 4,22 · 105
ɤɦ2
, Ⱥɡɨɜɫɶɤɨɝɨ — 3,9 · 104
ɤɦ2
.
ɍ ɫɤɿɥɶɤɢ ɪɚɡɿɜ ɩɥɨɳɚ ɑɨɪɧɨɝɨ ɦɨɪɹ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɩɥɨɳɿ Ⱥɡɨɜɫɶɤɨɝɨ? Ɋɟ-
ɡɭɥɶɬɚɬ ɨɤɪɭɝɥɿɬɶ ɞɨ ɨɞɢɧɢɰɶ.
321. Ɏɭɧɤɰɿɸ ɡɚɞɚɧɨ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɭ = –2ɯ + 5.
ɚ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ:
0; 3.
ɛ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɹɤɢɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ:
–3; 1.

12. Ɏɭɧɤɰɿɹ k
xy = 83
ɜ) ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ.
ɝ) ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɝɪɚɮɿɤ, ɭɤɚɠɿɬɶ ɧɭɥɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɬɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɤɢ ɩɟ-
ɪɟɬɢɧɭ ɝɪɚɮɿɤɚ ɡ ɜɿɫɫɸ ɨɪɞɢɧɚɬ.
ɚ) 2
(4 1)(4 1) 3 15 ;x x x− + − = ɛ) 2 2
(3 2) 9 7;x x− − =
ɜ) 2 3;
3 5
x
x
+ =
+
ɝ) 3 0.
3 3 1
x x
x x
− − =
−
323. ɍ ɩɟɪɲɨɦɭ ɡɟɪɧɨɫɯɨɜɢɳɿ ɛɭɥɨ ɭɬɪɢɱɿ ɛɿɥɶɲɟ ɡɟɪɧɚ, ɧɿɠ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ. ɉɿɫɥɹ
ɬɨɝɨ ɹɤ ɡ ɩɟɪɲɨɝɨ ɡɟɪɧɨɫɯɨɜɢɳɚ ɜɢɜɟɡɥɢ 120 ɬ ɡɟɪɧɚ, ɚ ɞɨ ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɪɢɜɟɡɥɢ
140 ɬ, ɭ ɩɟɪɲɨɦɭ ɡɟɪɧɨɫɯɨɜɢɳɿ ɡɟɪɧɚ ɫɬɚɥɨ ɧɚ 130 ɬ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ.
ɋɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɡɟɪɧɚ ɛɭɥɨ ɜ ɤɨɠɧɨɦɭ ɡɟɪɧɨɫɯɨɜɢɳɿ ɫɩɨɱɚɬɤɭ?
324. ɍ ɤɨɲɢɤɭ ɽ n ɹɛɥɭɤ. Ɉɥɹ, ɚ ɡɚ ɧɟɸ ȱɪɚ ɩɨ ɱɟɪɡɿ ɛɟɪɭɬɶ ɡ ɤɨɲɢɤɚ ɜɿɞ 1 ɞɨ
10 ɹɛɥɭɤ. ɉɟɪɟɦɚɝɚɽ ɬɨɣ, ɯɬɨ ɜɿɡɶɦɟ ɨɫɬɚɧɧɽ ɹɛɥɭɤɨ. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ n
ɡɚɛɟɡɩɟɱɢɬɢ ɫɨɛɿ ɩɟɪɟɦɨɝɭ ɦɨɠɟ Ɉɥɹ?
ɍ 7 ɤɥɚɫɿ ɦɢ ɪɨɡɝɥɹɞɚɥɢ ɩɪɹɦɭ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɶ — ɮɭɧɤɰɿɸ y = kx, ɞɟ
k ≠ 0. ɐɹ ɮɭɧɤɰɿɹ ɽ ɨɤɪɟɦɢɦ, ɚɥɟ ɜɚɠɥɢɜɢɦ ɜɢɩɚɞɤɨɦ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɿ ɫɥɭ-
ɠɢɬɶ ɦɨɞɟɥɥɸ ɛɚɝɚɬɶɨɯ ɪɟɚɥɶɧɢɯ ɩɪɨɰɟɫɿɜ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ ɬɿɥɨ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ
ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 10 ɦ/ɫ, ɬɨ ɲɥɹɯ S ɦ, ɩɪɨɣɞɟɧɢɣ ɧɢɦ ɡɚ ɱɚɫ t ɫ, ɦɨɠɧɚ ɨɛɱɢɫɥɢɬɢ
ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ S = 10t. Ɂɜɟɪɧɟɦɨ ɭɜɚɝɭ, ɳɨ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɲɥɹɯɭ S ɜɿɞ ɱɚɫɭ t ɽ ɩɪɹ-
ɦɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ, ɛɨ ɹɤɳɨ ɡɛɿɥɶɲɢɦɨ (ɡɦɟɧɲɢɦɨ) ɱɚɫ t ɭ ɞɟɤɿɥɶɤɚ ɪɚɡɿɜ,
ɬɨ ɭ ɫɬɿɥɶɤɢ ɠ ɪɚɡɿɜ ɡɛɿɥɶɲɢɬɶɫɹ (ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ) ɲɥɹɯ S.
ȱɫɧɭɸɬɶ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɿɧɲɢɣ, ɚɥɟ ɞɟɳɨ ɫɯɨɠɢɣ
ɯɚɪɚɤɬɟɪ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. ɇɟɯɚɣ ɬɿɥɨ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨ ɿ ɩɪɹɦɨɥɿɧɿɣɧɨ. əɤɳɨ
ɲɥɹɯ 24 ɦ ɬɿɥɨ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɡɚ ɱɚɫ t ɫ, ɬɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɣɨɝɨ ɪɭɯɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
v = 24
t
ɦ/ɫ. ȼɿɡɶɦɟɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t = 2 ɿ t = 4 ɬɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ʀɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹ v = 12 ɿ

v = 6 — ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɨɦɭ ɱɚɫɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɞɜɿɱɿ ɦɟɧɲɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ. ɍɡɚɝɚɥɿ,
ɹɤɳɨ ɡɛɿɥɶɲɢɦɨ (ɡɦɟɧɲɢɦɨ) ɱɚɫ t ɭ ɤɿɥɶɤɚ ɪɚɡɿɜ, ɬɨ ɭ ɫɬɿɥɶɤɢ ɠ ɪɚɡɿɜ ɡɦɟɧ-
ɲɢɬɶɫɹ (ɡɛɿɥɶɲɢɬɶɫɹ) ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ v.
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. ɇɟɯɚɣ ɩɥɨɳɚ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 12 ɫɦ2
, ɚ ɞɨɜɠɢɧɚ ɨɞ-
ɧɿɽʀ ɡ ɣɨɝɨ ɫɬɨɪɿɧ — x ɫɦ, ɬɨɞɿ ɞɨɜɠɢɧɚ ɿɧɲɨʀ ɫɬɨɪɨɧɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ
12
y
x
= ɫɦ. əɤɳɨ ɡɛɿɥɶɲɭɜɚɬɢ (ɡɦɟɧɲɭɜɚɬɢ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɭ ɤɿɥɶɤɚ ɪɚɡɿɜ, ɬɨ
ɭ ɫɬɿɥɶɤɢ ɠ ɪɚɡɿɜ ɡɦɟɧɲɢɬɶɫɹ (ɡɛɿɥɶɲɢɬɶɫɹ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ.
ȼ ɨɛɨɯ ɩɪɢɤɥɚɞɚɯ ɦɚɽɦɨ ɡɚɥɟɠɧɨɫɬɿ ɦɿɠ ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ ɡ ɬɚɤɨɸ ɨɫɨɛɥɢɜɿɫ-
ɬɸ: ɹɤɳɨ ɡɛɿɥɶɲɭɜɚɬɢ (ɡɦɟɧɲɭɜɚɬɢ) ɨɞɧɭ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɜ ɤɿɥɶɤɚ ɪɚɡɿɜ, ɬɨ ɭ ɫɬɿɥɶ-
ɤɢ ɠ ɪɚɡɿɜ ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ (ɡɛɿɥɶɲɭɽɬɶɫɹ) ɞɪɭɝɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ. Ʉɨɠɧɭ ɡ ɬɚɤɢɯ ɡɚɥɟɠ-
ɧɨɫɬɟɣ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ.
ɍ ɩɪɢɤɥɚɞɿ 1 ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ v ɽ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɜɿɞ ɱɚɫɭ t, ɚ ɜ ɩɪɢɤɥɚɞɿ 2 ɞɨɜɠɢɧɚ
ɭ ɞɪɭɝɨʀ ɫɬɨɪɨɧɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ ɽ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɜɿɞ ɞɨɜɠɢɧɢ ɯ ɩɟɪɲɨʀ ɫɬɨɪɨɧɢ.
Ɉɛɢɞɜɿ ɮɭɧɤɰɿʀ ɦɨɠɧɚ ɡɚɞɚɬɢ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɜɢɞɭ .ky
x
=
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ɏɭɧɤɰɿɸ, ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɡɚɞɚɬɢ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɜɢɞɭ = ky
x
, ɞɟ ɯ —
ɧɟɡɚɥɟɠɧɚ ɡɦɿɧɧɚ, k ≠ 0 — ɞɟɹɤɟ ɱɢɫɥɨ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɨɛɟɪɧɟ-
ɧɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ.
ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ 4 .y
x
= ɋɤɥɚɞɟɦɨ ɬɚɛɥɢɰɸ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɯ ɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɭ:
ɯ –8 –4 –2 –1 –0,5 0,5 1 2 4 8
ɭ –0,5 –1 –2 –4 –8 8 4 2 1 0,5
ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɿɣ ɩɥɨɳɢɧɿ ɬɨɱɤɢ, ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɹɤɢɯ ɩɨɞɚɧɿ ɜ
ɬɚɛɥɢɰɿ (ɪɢɫ. 1).

xy = 85
Ɋɢɫ. 1 Ɋɢɫ. 2
əɤɛɢ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɤɪɿɦ ɯ = 0, ɨɛɱɢɫɥɢɥɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ
ɿ ɩɨɡɧɚɱɢɥɢ ɬɨɱɤɢ ɡ ɬɚɤɢɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɿɣ ɩɥɨɳɢɧɿ, ɬɨ ɨɞɟɪ-
ɠɚɥɢ ɛ ɥɿɧɿɸ, ɹɤɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɝɿɩɟɪɛɨɥɨɸ (ɪɢɫ. 2). ȼɨɧɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɡ ɞɜɨɯ ɜɿ-
ɬɨɤ, ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɯ ɭ ɩɟɪɲɿɣ ɬɚ ɬɪɟɬɿɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ ɱɜɟɪɬɹɯ.
ɍɡɚɝɚɥɿ, ɝɪɚɮɿɤ ɛɭɞɶ-ɹɤɨʀ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɝɿɩɟɪɛɨɥɨɸ.
ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɭ 3 ɡɨɛɪɚɠɟɧɚ ɝɿɩɟɪɛɨɥɚ, ɹɤɚ ɽ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ 4 .y
x
= − ȼɨ-
ɧɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɡ ɞɜɨɯ ɜɿɬɨɤ, ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɯ ɭ ɞɪɭɝɿɣ ɿ ɱɟɬɜɟɪɬɿɣ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ
ɱɜɟɪɬɹɯ.
Ɋɢɫ. 3

ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɮɭɧɤɰɿʀ = ky
x
(ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ).
1. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ ɯ = 0.
2. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɬɚɤɨɠ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ ɭ = 0.
3. Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɝɿɩɟɪɛɨɥɚ, ɹɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɡ ɞɜɨɯ ɜɿɬɨɤ.
4. Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɭ ȱ ɿ ȱȱȱ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ ɱɜɟɪɬɹɯ, ɹɤɳɨ
k 0; ɭ ȱȱ ɿ IV ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ ɱɜɟɪɬɹɯ, ɹɤɳɨ k 0.
5. Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɨɱɚɬɤɭ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ 5 ɩɨɞɚɧɨ ɜ ɪɭɛɪɢɰɿ «Ⱦɥɹ ɬɢɯ, ɯɬɨ ɯɨɱɟ ɡɧɚɬɢ
ɛɿɥɶɲɟ».
Ⱦɨɜɟɞɟɦɨ, ɳɨ ɝɪɚɮɿɤ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɨɱɚɬɤɭ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ (ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ 5).
ɇɟɯɚɣ (ɚ; b) — ɞɨɜɿɥɶɧɚ ɬɨɱɤɚ, ɹɤɚ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ .= ky
x
Ɍɨɞɿ ɫɩɪɚ-
ɜɞɠɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ .= kb
a
ɉɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɰɿɽʀ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɧɚ –1, ɨɞɟɪɠɢɦɨ
ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ,− =
−
kb
a
ɡ ɹɤɨʀ ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ ɝɪɚɮɿɤɭ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɿ ɬɨɱɤɚ (–ɚ; –b) —
ɬɨɱɤɚ, ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɚ ɬɨɱɰɿ (ɚ; b) ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɨɱɚɬɤɭ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 6 2 2 1.x
x
+ = +
Ɣ Ɋɿɜɧɹɧɧɹ 6 2 2 1+ = +x
x
ɪɿɜɧɨ-
ɫɢɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɸ 6 2 1.= −x
x
Ȼɭɞɭɽɦɨ
ɜ ɨɞɧɿɣ ɫɢɫɬɟɦɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɝɪɚɮɿɤɢ
ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = 6
x
ɬɚ ɭ = 2ɯ – 1 (ɪɢɫ. 4).
ɐɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɩɟɪɟɬɢɧɚɸɬɶɫɹ ɜ ɬɨɱɤɚɯ ɡ
ɚɛɫɰɢɫɚɦɢ ɯ = –1,5 ɬɚ ɯ = 2.
ɉɟɪɟɜɿɪɤɨɸ ɜɫɬɚɧɨɜɥɸɽɦɨ, ɳɨ
x = –1,5 ɬɚ x = 2 ɽ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –1,5; 2. Ɣ
Ɋɢɫ. 4

xy = 87
325. əɤɿ ɿɡ ɡɚɞɚɧɢɯ ɮɭɧɤɰɿɣ ɽ ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ?
ɚ) ɭ = 16ɯ; ɛ) 16 ;y
x
= ɜ) ;
16
xy = ɝ) 16y
x
= − .
326. ɍɤɚɠɿɬɶ ɨɛɥɚɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ: 3 ;y
x
= 10y
x
= − . ɍ ɹɤɢɯ ɱɜɟɪɬɹɯ
ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɝɪɚɮɿɤ ɤɨɠɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ?
327. ɍɤɚɠɿɬɶ ɩɪɚɜɢɥɶɧɿ ɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ:
ɚ) ɨɛɟɪɧɟɧɭ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɶ ɡɚɞɚɸɬɶ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ,ky
x
= ɞɟ k ≠ 0;
ɛ) ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ ɽ ɝɿɩɟɪɛɨɥɚ;
ɜ) ɝɪɚɮɿɤ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɩɨɱɚɬɨɤ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ;
ɝ) ɝɪɚɮɿɤ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɨɱɚɬɤɭ ɤɨ-
ɨɪɞɢɧɚɬ.
328. Ɏɭɧɤɰɿɸ ɡɚɞɚɧɨ ɮɨɪɦɭɥɨɸ 15.= −y
x
ɚ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɳɨ: ɯ = 3; ɯ = 6; ɯ = –5.
ɛ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: –5; –1; 15.
329. Ɏɭɧɤɰɿɸ ɡɚɞɚɧɨ ɮɨɪɦɭɥɨɸ 8 .=y
x
ɚ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɳɨ: ɯ = 2; ɯ = –4.
ɛ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ: 4; –1.
330. Ɏɭɧɤɰɿɸ ɡɚɞɚɧɨ ɮɨɪɦɭɥɨɸ 10.y
x
= Ɂɚɩɨɜɧɿɬɶ ɬɚɛɥɢɰɸ:
ɯ –5 1 10
ɭ –5 0,5
331. ɑɢ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ 8y
x
= − ɬɨɱɤɚ:
ɚ) A(–8; 1); ɛ) B(–4; –2); ɜ) C(–2; 4); ɝ) D(–0,5; 8)?

332. ɑɢ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ 9y
x
= ɬɨɱɤɚ:
ɚ) K(–1; 9); ɛ) L(3; 3); ɜ) M(–2; 4,5); ɝ) N(9; 1)?
333. Ɍɨɱɤɚ ɡ ɚɛɫɰɢɫɨɸ 3 ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ 24.y
x
= − Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɨɪɞɢ-
ɧɚɬɭ ɰɿɽʀ ɬɨɱɤɢ.
ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ:
334. ɚ) 8 ;y
x
= ɛ) 5 ;y
x
= − ɜ) 4 ,y
x
= − ɞɟ –4 ≤ ɯ ≤ 4 (ɯ ≠ 0).
335. ɚ) 6 ;y
x
= − ɛ) 2 ;y
x
= ɜ) 3 ,y
x
= ɞɟ –3 ≤ ɯ ≤ 3 (ɯ ≠ 0).
336. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ 5 .y
x
= Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ, ɡɧɚɣɞɿɬɶ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ: –2,5; 4.
337. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ 8 .y
x
= − Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ, ɡɧɚɣɞɿɬɶ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɹɤɢɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ: –2; 4.
338. Ȼɨɪɨɲɧɨ ɪɨɡɮɚɫɭɜɚɥɢ ɭ 45 ɩɚɤɟɬɿɜ ɩɨ 2 ɤɝ ɜ ɤɨɠɧɨɦɭ. Ƀɨɝɨ ɦɨɠɧɚ ɛɭɥɨ
ɛ ɪɨɡɮɚɫɭɜɚɬɢ ɜ ɛɿɥɶɲɿ ɩɚɤɟɬɢ ɩɨ ɚ ɤɝ ɜ ɤɨɠɧɨɦɭ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɩɨ-
ɬɪɿɛɧɨ ɛɭɥɨ ɛ ɛɿɥɶɲɢɯ ɩɚɤɟɬɿɜ?
339. Ⱥɜɬɨɦɨɛɿɥɶ, ɪɭɯɚɸɱɢɫɶ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 70 ɤɦ/ɝɨɞ, ɩɪɨʀɯɚɜ ɩɟɜɧɢɣ ɲɥɹɯ ɡɚ
2 ɝɨɞ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɪɨʀɞɟ ɰɟɣ ɲɥɹɯ, ɪɭɯɚɸɱɢɫɶ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
υ ɤɦ/ɝɨɞ?
340. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ, ɹɤɳɨ ʀʀ ɝɪɚɮɿɤɭ ɧɚɥɟɠɢɬɶ
ɬɨɱɤɚ:
ɚ) A(–3; 12); ɛ) B(8; 4).
341. Ɉɛɟɪɧɟɧɚ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɶ ɡɚɞɚɧɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ .ay
x
= Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɚ, ɹɤɳɨ ɞɥɹ
ɯ = 0,5 ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2.
342. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɨɤ ɩɟɪɟɬɢɧɭ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɮɭɧɤɰɿɣ:
ɚ) 5y
x
= − ɬɚ ɭ = ɯ – 4,5; ɛ) 12y
x
= ɬɚ ɭ = –2ɯ + 1.

xy = 89
343. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɧɚɛɭɜɚɸɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ
ɮɭɧɤɰɿʀ:
ɚ) 3y
x
= ɬɚ ɭ = 3ɯ; ɛ) 4y
x
= − ɬɚ ɭ = 5.
Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
344. ɚ) ɯ – 1 = 2 ;
x
ɛ) 5
x
+ 2ɯ = 7.
345. ɚ) 3 2;x
x
= + ɛ) 42 9 .x
x
− = −
346. Ɂɿ ɲɦɚɬɤɚ ɩɥɚɫɬɢɥɿɧɭ, ɨɛ’ɽɦ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 18 ɫɦ3
, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɢɝɨɬɨɜɢ-
ɬɢ ɦɨɞɟɥɶ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɥɟɥɟɩɿɩɟɞɚ. ɇɟɯɚɣ ɩɥɨɳɚ ɨɫɧɨɜɢ ɰɶɨɝɨ ɩɚ-
ɪɚɥɟɥɟɩɿɩɟɞɚ ɦɚɽ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ S ɫɦ2
, ɚ ɞɨɜɠɢɧɚ ɜɢɫɨɬɢ — ɯ ɫɦ. Ɂɚɞɚɣɬɟ
ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɩɥɨɳɿ S ɜɿɞ ɞɨɜɠɢɧɢ ɜɢɫɨɬɢ ɯ. ɑɢ ɽ ɰɹ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ
ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ? Ɂɧɚɣɞɿɬɶ S, ɹɤɳɨ ɯ = 4,5.
347. Ⱥɜɬɨɰɢɫɬɟɪɧɭ, ɦɿɫɬɤɿɫɬɶ ɹɤɨʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 12 ɦ3
, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɚɩɨɜɧɢɬɢ ɛɟɧ-
ɡɢɧɨɦ. ɇɟɯɚɣ ɧɚ ɰɟ ɩɨɬɪɿɛɧɨ t ɯɜ ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɡɚ ɤɨɠɧɭ ɯɜɢɥɢɧɭ ɜ ɰɢɫ-
ɬɟɪɧɭ ɩɨɫɬɭɩɚɬɢɦɟ v ɦ3
ɛɟɧɡɢɧɭ. Ɂɚɞɚɣɬɟ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɱɚɫɭ t
ɜɿɞ ɨɛ’ɽɦɭ v. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɱɚɫ ɧɚɩɨɜɧɟɧɧɹ ɰɢɫɬɟɪɧɢ, ɹɤɳɨ v = 1,6.
348. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ 5y
x
= ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɜɢɳɟ
ɜɿɞ ɝɪɚɮɿɤɚ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = 5ɯ?
349. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ:
ɚ) 2 2
40 ;
( 5) (5 )
−=
− − +
y
x x
ɛ) 2
3 9 ;
3
+=
+
xy
x x
ɜ) 2
2 7 6 ;
22
xy
xx x
−= −
−−
ɝ) 4 ;=y
x
ɞ)
2 , ɹɤɳɨ 2;
1, ɹɤɳɨ 2;
x
xy
x x
− −°
= ®
° + ≥ −¯
ɟ)
3 , ɹɤɳɨ 1;
3, ɹɤɳɨ 1 1;
3 , ɹɤɳɨ 1.
− ≤ −
°
°
= − ®
°
≥°
¯
x
x
y x
x
x

350. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 1.x
x
= +
351. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ, ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ, ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
3 4.x
x
− = −
352. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ( )
2
11 : .
1 1
mm m
m m
§ ·
+ − −¨ ¸− −© ¹
ɚ)
4;
2 1 ;
2 6
x y
yx
+ =
°
® − =°¯
ɛ)
2 2
8;
2.
x y
x y
− =
®
+ =¯
354. ɋɭɦɚ ɞɜɨɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 105,8. Ɉɞɧɟ ɿɡ ɧɢɯ ɧɚ 30 % ɛɿɥɶɲɟ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɦɟɧɲɟ ɡ ɰɢɯ ɱɢɫɟɥ.
355. ȼɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɦɨɪɫɶɤɢɦɢ ɩɨɪɬɚɦɢ A ɿ B ɞɨɪɿɜɧɸɽ 150 ɤɦ. ȼɿɞ ɩɨɪɬɭ A ɞɨ
ɩɨɪɬɭ B ɜɢɣɲɨɜ ɬɟɩɥɨɯɿɞ ɿ ɣɲɨɜ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 25 ɤɦ/ɝɨɞ. ɑɟɪɟɡ 30 ɯɜ ɜɿɞ
ɩɨɪɬɭ B ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ ɣɨɦɭ ɜɢɣɲɨɜ ɞɪɭɝɢɣ ɬɟɩɥɨɯɿɞ, ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿ-
ɜɧɸɽ 30 ɤɦ/ɝɨɞ. əɤɭ ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɩɪɨɣɞɟ ɩɟɪɲɢɣ ɬɟɩɥɨɯɿɞ ɞɨ ɡɭɫɬɪɿɱɿ?
356. ɋɟɦɟɪɨ ɩɿɪɚɬɿɜ ɯɨɱɭɬɶ ɪɨɡɞɿɥɢɬɢ ɫɤɚɪɛ, ɹɤɢɣ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɡ 55 ɡɨɥɨɬɢɯ
ɡɥɢɬɤɿɜ, ɦɚɫɢ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ 306 ɝ, 307 ɝ, … , 359 ɝ, 360 ɝ. Ʉɨɠɟɧ ɡ ɩɿ-
ɪɚɬɿɜ ɛɭɞɟ ɡɚɞɨɜɨɥɟɧɢɣ, ɹɤɳɨ ɣɨɦɭ ɞɿɫɬɚɧɟɬɶɫɹ ɩɪɢɧɚɣɦɧɿ 2,5 ɤɝ ɡɨɥɨɬɚ
(ɿ ɧɿ ɧɚ ɝɪɚɦ ɦɟɧɲɟ). ɑɢ ɦɨɠɭɬɶ ɩɿɪɚɬɢ ɬɚɤ ɪɨɡɞɿɥɢɬɢ ɫɤɚɪɛ, ɧɟ ɪɨɡɩɢ-
ɥɸɸɱɢ ɡɥɢɬɤɢ, ɳɨɛ ɤɨɠɟɧ ɛɭɜ ɡɚɞɨɜɨɥɟɧɢɣ?

ɐɿɤɚɜɨ ɡɧɚɬɢ 91
ɏɬɨ ɩɨɛɨɪɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɭ ɫɢɦɜɨɥɿɤɭ ɿ ɜɞɭ-
ɦɚɽɬɶɫɹ ɜ ɝɥɢɛɨɤɿ ɰɚɪɢɧɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɝɨ
ɫɜɿɬɭ, ɬɨɣ ɜɿɞɤɪɢɽ ɜ ɧɿɣ ɬɚɤɢɣ ɿɞɟɚɥɶɧɢɣ
ɫɜɿɬ ɿ ɬɚɤɭ ɜɟɥɢɱɚɜɭ ɩɨɟɡɿɸ, ɿ ɫɬɿɥɶɤɢ ɟɫɬɟ-
ɬɢɤɢ ɣ ɤɪɚɫɢ, ɹɤ ɜ ɧɿɹɤɿɣ ɿɧɲɿɣ ɧɚɭɰɿ.
ȼ. Ʌɟɜɢɰɶɤɢɣ
Ɂɜɢɱɚɣɧɿ ɞɪɨɛɢ ɜɦɿɥɢ ɞɨɞɚɜɚɬɢ, ɜɿɞɧɿɦɚɬɢ, ɦɧɨɠɢɬɢ ɣ ɞɿɥɢɬɢ ɳɟ ɞɚɜɧɿ
ɽɝɢɩɬɹɧɢ (2 ɬɢɫɹɱɿ ɪɨɤɿɜ ɞɨ ɧ. ɟ.). ɍ ɱɚɫɢ Ⱥɪɯɿɦɟɞɚ (287 – 212 ɪɪ. ɞɨ ɧ.ɟ.)
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɡɜɢɱɚɣɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɩɢɫɚɥɢ ɧɚɞ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɨɦ. ɋɭɱɚɫɧɟ ɠ ɩɨɡɧɚ-
ɱɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ,a
b
ɞɟ ɚ — ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ, b — ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ, ɭɩɟɪɲɟ ɦɨɠɧɚ
ɩɨɛɚɱɢɬɢ ɭ ɩɪɚɰɹɯ ɿɬɚɥɿɣɫɶɤɨɝɨ ɜɱɟɧɨɝɨ Ʌɟɨɧɚɪɞɚ ɉɿɡɚɧɫɶɤɨɝɨ (ɜɿɧ ɠɟ Ɏɿ-
ɛɨɧɚɱɱɿ) 1202 ɪɨɤɭ. ɒɢɪɨɤɨɝɨ ɩɨɲɢɪɟɧɧɹ ɬɚɤɢɣ ɡɚɩɢɫ ɧɚɛɭɜ ɭ XVI ɫɬ. ɩɿɫɥɹ
ɜɜɟɞɟɧɧɹ ɛɭɤɜɟɧɨʀ ɫɢɦɜɨɥɿɤɢ. Ɍɨɞɿ ɠ ɩɨɲɢɪɢɥɚɫɶ ɿ ɫɭɱɚɫɧɚ ɮɨɪɦɚ ɡɚɩɢɫɭ ɞɿɣ
ɿɡ ɞɪɨɛɚɦɢ.
ȱɫɚɚɤ ɇɶɸɬɨɧ
(1643 – 1727)
Ⱥɧɝɥɿɣɫɶɤɢɣ ɭɱɟɧɢɣ ȱɫɚɚɤ ɇɶɸɬɨɧ
(1643 – 1727) ɭɩɟɪɲɟ ɩɨɱɚɜ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢ ɞɪɿɛ
ɹɤ ɱɚɫɬɤɭ ɜɿɞ ɞɿɥɟɧɧɹ ɨɞɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɧɚ ɿɧ-
ɲɢɣ. ɍ ɤɧɢɠɰɿ «Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɚɪɢɮɦɟɬɢɤɚ» ɜɿɧ
ɩɢɫɚɜ: «Ɂɚɩɢɫ ɨɞɧɿɽʀ ɡ ɞɜɨɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɩɿɞ ɞɪɭ-
ɝɨɸ, ɧɢɠɱɟ ɜɿɞ ɹɤɨʀ ɦɿɠ ɧɢɦɢ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɪɢɫ-
ɤɭ, ɨɡɧɚɱɚɽ ɱɚɫɬɤɭ ɚɛɨ ɜɟɥɢɱɢɧɭ, ɹɤɚ ɜɢɧɢɤɚɽ
ɜɿɞ ɞɿɥɟɧɧɹ ɜɟɪɯɧɶɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɧɚ ɧɢɠɧɸ».
ɇɶɸɬɨɧ ɬɚɤɨɠ ɩɨɲɢɪɢɜ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɩ
,
ɭɜɟɞɟɧɟ Ɋɟɧɟ Ⱦɟɤɚɪɬɨɦ (1596 – 1650) ɞɥɹ
ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ, ɧɚ ɜɢɩɚɞɨɤ
ɜɿɞ’ɽɦɧɨɝɨ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ.
ɑɨɦɭ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɫɬɟɩɟɧɟɦ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɚ (ɚ 0) ɩɨɜɢɧɧɚ ɛɭɬɢ
ɨɞɢɧɢɰɹ? ɐɟ ɩɢɬɚɧɧɹ ɬɪɢɜɚɥɢɣ ɱɚɫ ɩɨɪɨɞɠɭɜɚɥɨ ɫɭɩɟɪɟɱɤɢ. Ⱥɞɠɟ ɜɿɞɨɦɨ,
ɳɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɫɬɟɩɟɧɹ — ɰɟ ɱɢɫɥɨ, ɹɤɟ ɩɨɤɚɡɭɽ, ɫɤɿɥɶɤɢ ɪɚɡɿɜ
ɨɫɧɨɜɭ ɦɧɨɠɚɬɶ ɫɚɦɭ ɧɚ ɫɟɛɟ. Ⱥɥɟ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɨɫɧɨɜɭ ɫɚɦɭ ɧɚ ɫɟɛɟ ɧɭɥɶ

ɪɚɡɿɜ ɧɟ ɦɨɠɧɚ, ɬɨɦɭ ɜɢɪɚɡ ɚ0
ɬɪɢɜɚɥɢɣ ɱɚɫ ɡɚɥɢɲɚɜɫɹ ɡɚɝɚɞɤɨɸ. Ȼɭɥɢ ɧɚ-
ɜɿɬɶ ɫɩɪɨɛɢ ɞɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɜɿɞɦɿɧɧɨɝɨ ɜɿɞ ɧɭɥɹ ɱɢɫɥɚ ɚ ɜɢɤɨ-
ɧɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ɚ0
= 1. Ʌɢɲɟ ɭ XVIȱȱ ɫɬ. ɫɬɚɥɨ ɡɪɨɡɭɦɿɥɨ, ɳɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɧɟ
ɞɨɜɨɞɢɬɢ, ɚ ɩɪɨɫɬɨ ɞɨɦɨɜɢɬɢɫɶ, ɳɨ ɚ0
= 1 (ɞɥɹ ɚ 0). ɐɹ ɞɨɦɨɜɥɟɧɿɫɬɶ ɽ ɡɚ-
ɪɚɡ ɡɚɝɚɥɶɧɨɩɪɢɣɧɹɬɨɸ.
ɋɭɱɚɫɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɬɟɪɦɿɧɢ, ɫɢɦɜɨɥɢ, ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɹɤ ɛɚɱɢɦɨ, ɦɚɸɬɶ
ɫɜɨɸ ɿɫɬɨɪɿɸ. ȼ ɿɫɬɨɪɿʀ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɹ ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɨʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɬɟɪɦɿɧɨɥɨɝɿʀ
ɜɚɝɨɦɭ ɪɨɥɶ ɜɿɞɜɨɞɹɬɶ ɩɪɨɮɟɫɨɪɭ Ʌɶɜɿɜɫɶɤɨɝɨ ɭɧɿɜɟɪɫɢɬɟɬɭ ȼɨɥɨɞɢɦɢɪɨɜɿ
Ʌɟɜɢɰɶɤɨɦɭ (1872 – 1956).
«Ɉɫɧɨɜɨɩɨɥɨɠɧɢɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɤɭɥɶ-
ɬɭɪɢ ɧɚɲɨɝɨ ɧɚɪɨɞɭ» — ɰɿ ɫɥɨɜɚ ɚɤɚɞɟɦɿɤɚ
Ɇɢɯɚɣɥɚ Ʉɪɚɜɱɭɤɚ ɫɬɨɫɭɸɬɶɫɹ ɫɚɦɟ ȼɨɥɨɞɢ-
ɦɢɪɚ Ʌɟɜɢɰɶɤɨɝɨ.
ɉɪɨɮɟɫɨɪ Ʌɟɜɢɰɶɤɢɣ ɩɟɪɲɢɦ ɧɚɩɢɫɚɜ
ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɨɸ ɦɨɜɨɸ ɮɚɯɨɜɭ ɫɬɚɬɬɸ ɡ ɦɚɬɟɦɚ-
ɬɢɤɢ, ɛɭɜ ɧɟɡɦɿɧɧɢɦ ɪɟɞɚɤɬɨɪɨɦ ɩɟɪɲɨɝɨ
ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɨɝɨ ɧɚɭɤɨɜɨɝɨ ɱɚɫɨɩɢɫɭ ɡ ɩɪɢɪɨɞɧɢ-
ɱɢɯ ɧɚɭɤ.
ȼɨɥɨɞɢɦɢɪ Ʌɟɜɢɰɶɤɢɣ ɧɚɩɢɫɚɜ ɩɨɧɚɞ
100 ɧɚɭɤɨɜɢɯ ɩɪɚɰɶ, ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɢ ɡ ɚɥɝɟɛɪɢ ɬɚ
ɮɿɡɢɤɢ ɞɥɹ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɲɤɨɥɢ.
ȼɨɥɨɞɢɦɢɪ Ƀɨɫɢɩɨɜɢɱ
Ʌɟɜɢɰɶɤɢɣ
(1872 – 1956)
Ɂɧɚɱɧɨɸ ɡɚɫɥɭɝɨɸ ȼɨɥɨɞɢɦɢɪɚ Ʌɟɜɢɰɶɤɨɝɨ ɽ ɬɟ, ɳɨ ɜɿɧ ɭɩɨɪɹɞɤɭɜɚɜ ɿ
ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɡɭɜɚɜ ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɭ ɬɟɪɦɿɧɨɥɨɝɿɸ, ɳɨ ɫɬɚɥɚ ɨɫɧɨɜɨɸ ɦɚ-
ɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɩɪɚɰɶ, ɹɤɿ ɜɢɞɚɜɚɥɚ Ⱥɤɚɞɟɦɿɹ ɧɚɭɤ ɍɊɋɊ.
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ ɿ ɜɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ § 1
1. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɩɪɢɤɥɚɞɢ ɞɪɨɛɨɜɢɯ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ; ɞɪɨɛɿɜ.
2. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɨɫɧɨɜɧɭ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ.
3. Ɂɚ ɹɤɢɦ ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɞɨɞɚɸɬɶ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ?
4. Ɂɚ ɹɤɢɦ ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɜɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɞɪɨɛɢ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ?
5. əɤ ɞɨɞɚɸɬɶ ɬɚ ɜɿɞɧɿɦɚɸɬɶ ɞɪɨɛɢ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ?
6. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ.

Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ ɿ ɜɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ § 1 93
7. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ.
8. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ.
9. əɤɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ? ɰɿɥɢɦ ɪɚɰɿɨ-
ɧɚɥɶɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ? ɞɪɨɛɨɜɢɦ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ?
10. əɤɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɢɦɢ? ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɩɪɢɤɥɚɞ ɞɜɨɯ
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ.
11. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɪɿɜɧɹɧɶ.
12. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɬɟɩɿɧɶ ɱɢɫɥɚ ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ?
13. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɬɟɩɿɧɶ ɚ–n
, ɞɟ ɚ ≠ 0 ɿ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ?
14. əɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ?
15. əɤɢɣ ɡɚɩɢɫ ɱɢɫɥɚ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɣɨɝɨ ɡɚɩɢɫɨɦ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢ-
ɝɥɹɞɿ?
16. əɤɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ? ɇɚɜɟɞɿɬɶ
ɩɪɢɤɥɚɞɢ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ.
17. əɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɽ ɨɛɟɪɧɟɧɚ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɶ?
357. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ ɜɢɪɚɡ?
ɚ) 6 ;
3x −
ɛ) 6 1;
2 1
a
a
−
+
ɜ) 2
4 ;
4
b
b b
+
−
ɝ) 2
11
16
x
x −
.
358. ɚ)
2
2
8
;
4
xy
x y
ɛ)
3
3
72 ;
48
ab
a
ɜ)
4
2 5
128 ;
32
mn
m n
ɝ)
2 4
4 3
75
.
175
x y z
x z
359. ɚ) 2
3 4 ;
3 4
c d
c cd
−
−
ɛ)
2
9 ;
3 9
a
a
−
+
ɜ)
2
2
16 ;
( 4)
c
c
−
+
ɝ)
2
2
6 9 ;
9
b b
b
− +
−
ɞ)
3 3
2 2
8
;
2 4
x y
x xy y
−
+ +
ɟ)
2
2 2
5 10 4 2
.
4 4
x xy y x
x xy y
− + −
− +
360*. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ:
ɚ)
2
9 3;
3
xy
x
−= +
+
ɛ)
2
4 4 1 1.
2 1
x xy
x
− += +
−

ɚ) 4 2 ;
2 1 2 1
x
x x
+
+ +
ɛ)
2
3 3 25
;
5 5
y y y
y y
− −
+
− −
ɜ)
2
( ) 4 .
2 2
b c
b c b c
+
−
+ − + −
3 3
6 4 4
5 5
a a
a a
− −− , ɹɤɳɨ ɚ = 25; ɚ = –1,8.
363. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 2 ;
3
b
a a
+ ɛ) 2
6 2 ;
x x
− ɜ) 2
1 3 ;
2 6
b
ab b
−−
ɝ)
2
;
5
x y
x y
−
− + ɞ)
2
2 ;
2
xx
x y
−
+
ɟ)
2
2
7 1.
7
bc a
bc a
− −
+
364. ɚ) 1 1 ;
1 1x x
+
− +
ɛ) 2 ;a b a b
b a b
+ +−
+
ɜ) 2 2
.
y bx b
x xy y xy
−− +
− −
365. ɚ)
2
2
;a a b a ab
b a b ab b
+ ++ −
− −
ɛ) 2
4 1 7 ;
4 4 16
a
a a a
−− +
− + −
ɜ) 2
3 3
;
4 2 10 5 1 4
y y y
y y y
+ +
− + −
ɝ) 2 2 3 3
5 3 .b a ab
a ba ab b a b
− − +
−+ + −
366. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ ɚɛɨ ɪɿɡɧɢɰɿ ɰɿɥɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɿ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 9 ;a
a
+ ɛ)
2
4 1;a a
a
+ + ɜ)
2
( 2) 3
.
2
x
x
+ +
+
ɚ) 2 2 ;
5
a b
b a
⋅ ɛ)
3 2
3 2
12 5 ;
25 18
a x
x a
⋅ ɜ)
3 2 5
4 4 4
18 4 ;
12 8
a b c b
c b a
⋅ ⋅
ɝ)
2 2
3 2 2
2 ;
2
xy x x
x x y
−
⋅
−
ɞ)
2
2
1 4 2 ;
12
x x
xx x
− −⋅
+−
ɟ)
3 3 2
2 2 2
.
x y xy x
xy y x xy y
+ −
⋅
− − +
ɚ)
32
3 ;
2
a
b
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɛ)
4
3
2
;
3
x
y
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɜ)
52 4
3
.
2
m n
k
§ ·
−¨ ¸
© ¹

ɚ)
3 2
3 4
5 15: ;
4 8
x x
a a
ɛ)
2 2
2
4 2: ;
1 1
b b b
b b
− +
− −
ɜ)
2 2
2
2 2 2
: .
2 2
x xy y x y
x y x xy
− + −
+ +
2 2
2 2 2
:
2 20
x y x y
x y xy
− −
, ɹɤɳɨ ɯ = 1
3
; ɭ = 22
3
.
ɚ) ( )2 2
2 : 2 ;b a b a
a b a ba ab b ab
§ ·− + − +¨ ¸++ +© ¹
ɛ) ( ) 3 2
2 1 1 3 3 ;
1 1 1 1
aa
a a a a a
− § ·− ⋅ − +¨ ¸+ + + − +© ¹
ɜ) 2
2 2 8 4: .
2 6 3 24
a a a a
a a aa
−§ ·+ +¨ ¸+ − −−© ¹
ɚ) 2 2
4 2
: ;
xy y xyxx y x y
x y y x y x x y
§ ·§ ·
− + − − = −¨ ¸¨ ¸+ + − −© ¹ © ¹
ɛ)
2 2
2 2 2 2
1 6 1 4 2: 1 .
2 24 4
m m n
m n m n mn m m n
§ ·+§ ·+ + + = −¨ ¸ ¨ ¸− +− −© ¹ © ¹
373. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ 2 3
1 (1 )1 1
11 2 1
a aa a
aa a a
− −+ +− ⋅
−+ − +
ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ,
ɹɤɳɨ ɚ = 2.
2
2 2 4 4
1 : 1
xy y x
x yx y x y
− § ·
− −¨ ¸++ − © ¹
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0.
375. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ 2
2 2 2 2
1 4
( ) 2( ) ( )
x
x y x y x y
⋅
+ + − + −
ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢ-
ɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɧɚɛɭɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.

376*. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) 1 ;
21
11
x
+
+
ɛ) 1 .
12
11
x
−
+
377. ɚ) 1 0;
2
x
x
+ =
−
ɛ)
3
3 0;
3
x x
x
+ =
+
ɜ) 2
2 0;
4
x
x
+ =
−
ɝ) 3 2
1
x .
x
=
−
378. ɚ) 2 3 3;
2 1 1
x x
x x
− +=
− −
ɛ) 2 4 = 0;
2 1 3 2
x x
x x
− −+
+ −
ɜ) 2
7 5 2 ;
4 4
x x
x x x x
+ +− =
+ +
ɝ)
2
2
1 4 1 2 .
5 5 25
z z z
z z z
− − −+ =
+ − −
379*. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 3
1
x a
x
− =
+
ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɚ.
380*. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 1 0
( 2)( 2 )
x a
x x a
− + =
− −
ɧɟ ɦɚɽ
ɤɨɪɟɧɿɜ?
ɚ) 81 ⋅ 3–3
; ɛ) 0,01–1
+ ( )
3
1 ;
3
−
ɜ) (–2,5)–1
: 1,5–2
;
ɝ) 3–4
⋅ 33
+ 2–4
⋅ 25
; ɞ) (4–4
)–4
: 230
; ɟ) ( ) ( ) ( )
4 4 1
5 3 11 2 .
8 5 3
− − −
− ⋅ −
382. ɉɟɪɟɬɜɨɪɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɜɿɧ ɧɟ ɦɿɫɬɢɜ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɡ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ:
ɚ)
2
;ab
c
−
ɛ)
1
1
( )
;
( )
a b
a a b
−
−
−
+
ɜ)
1
2
3
;
2
x
y
−
−§ ·
¨ ¸
© ¹
ɝ)
1 2
1
( )
.
c c
c
− −
−
+
ɚ)
32
6 74
64 ;
3
x y
x y
−−
−§ ·
⋅¨ ¸
© ¹
ɛ) ( )
1535 2
3 ;
9
ca c
−
−− − § ·
⋅¨ ¸
© ¹
− ⋅ −

ɜ) ( ) ( )
2
2 3 4 6 ;x x
−
+ + ɝ)
2 2
1 1
;a b
a b
− −
− −
−
−
ɞ) ( )
1
1 1
1 1 ;x y
x y
−
− −
§ ·
− −¨ ¸
© ¹
ɟ)
3 3
1 1
.a b
a b
− −
− −
+
+
384. ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɨɫɧɨɜɨɸ 2:
ɚ) 3
32 2 ;n−
⋅ ɛ) 1
2 64 ;n+
⋅ ɜ) 3
16 2 ;n− +
⋅ ɝ) 31 2 .
32
n−
⋅
385. ɍ ɜɢɪɚɡɿ ɯ–7
+ ɯ–5
ɜɢɧɟɫɿɬɶ ɡɚ ɞɭɠɤɢ ɦɧɨɠɧɢɤ: ɯ–3
; ɯ–5
; ɯ.
386*. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɰɿɥɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɜɢɪɚɡ ɧɚɛɭɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
ɚ)
1 2
3 7 3 7 ;
3 7
m n m n
m n
− − − −
−
⋅ + ⋅
⋅
ɛ)
1 1
1
5 7 5 7 .
35
n n n n
n
− − − − − −
− +
⋅ + ⋅
387. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɢɫɥɨ:
ɚ) 8900; ɛ) 5 640 000 000; ɜ) 0,0533; ɝ) 0,0000012.
388. ȼɢɪɚɡɿɬɶ ɱɚɫ ɭ ɫɟɤɭɧɞɚɯ ɿ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɱɢɫɥɨ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢ-
ɝɥɹɞɿ: 1 ɝɨɞ; 1 ɞɨɛɚ; 30 ɞɿɛ.
ɚ) 3 ;y
x
= − ɛ) 3 ,y
x
= ɞɟ 1 ≤ x ≤ 6.
390. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɮɨɪɦɭɥɭ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ, ɹɤɳɨ ʀʀ ɝɪɚɮɿɤ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ
ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ ( )16; .
3
B − −
391. Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ky
x
= ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ A(1; 8). ɑɢ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɝɪɚ-
ɮɿɤ ɰɿɽʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ B(0,5; 16)? C(–0,4; –20)?
392. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɮɭɧɤɰɿɣ ɜɫɬɚɧɨɜɿɬɶ, ɱɢ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
10 0,5 1x
x
= − .
393. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 4 .x
x
=
ɚ)
2
3
2 18;
9
−= −
−
xy
x x
ɛ) 4 4 .−=
−
xy
x x x

Ɋɿɜɟɧɶ 1
1. ɍɤɚɠɿɬɶ ɩɪɚɜɢɥɶɧɿ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
ɚ) 0
( 100) 1;− = ɛ) 2
4 16;−
= − ɜ) 0
( 3) 3;− = − ɝ) 2 1( 5) .
25
−
− =
2. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ: 7–2
⋅ 140
.
ɚ) 49; ɛ) 2 ;
7
ɜ) 1 ;
49
ɝ) 1 .
7
3. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 24
⋅ 2–3
+ 2–1
.
ɚ) 2; ɛ) 130; ɜ) 12 ;
2
ɝ) 12 .
4
4. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɜɢɪɚɡ b6
: b–2
.
ɚ) b8
; ɛ) b–12
; ɜ) b–3
; ɝ) b4
.
5. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɢɫɥɨ 2570.
ɚ) 25,7 ⋅ 102
; ɛ) 2,57 ⋅ 10–3
; ɜ) 0,257 ⋅ 104
; ɝ) 2,57 ⋅ 103
.
6. Ⱦɥɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ 10y
x
= ɞɨɪɿɜɧɸɽ 4?
ɚ) 40; ɛ) 2,5; ɜ) 5; ɝ) 2,4.
Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. ɍɫɬɚɧɨɜɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɜɢɪɚɡɚɦɢ (1–4) ɿ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦɢ ʀɦ ɜɢɪɚ-
ɡɚɦɢ (Ⱥ–Ⱦ).
1) 20
ɚ2
b–1
; Ⱥ) 2
2 ;b
a
2) 2–1
ɚ2
b–1
; Ȼ)
2
;
2
a
b
3) 2–1
ɚ–2
: b; ȼ)
2
2 ;a
b
4) 2 : (ɚ2
b–1
). Ƚ)
2
;a
b
Ⱦ) 2
1 .
2a b

ɚ) ( )
3
12 ;
5
−
⋅ ɛ) ( )
2
2 1( 3) 12 : .
2
−
−
− +
ɚ) ( ) ( )1 3 2 3
2 6 ;a b a b− −
⋅ ɛ) ( )2 2
( 3) 3 .b b b−
− ⋅ −
10. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɢɪɚɡɭ, ɹɤɢɣ ɧɟ ɦɿɫɬɢɬɶ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ:
ɚ) ( )
25 2
3 ;a b
−−
ɛ) ( )
3
4 21 .
3
m n
−
−
11. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ 2.y
x
= −
Ɋɿɜɟɧɶ 3
ɚ) ( )
4
228 (0,2) ;
3
−
−
⋅ + ɛ) ( )5 6 2
3 : 3 :9 .− − −
ɚ)
2 1 1
2 4
8 ;
2
a b a c
c b
− −
− −
⋅ ɛ) ( ) ( )
2
3 4 4 51 : .
3
m n m n− −
ɚ) 3 2
( 2) (5 10) ;a a−
+ ⋅ + ɛ) ( )2 2
: .
a b
a b
ab
− − −
−
15. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ ɿ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɱɢɫɥɨɦ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
ɚ) ( ) ( )4 3
2,3 10 6,1 10 ;−
⋅ ⋅ ⋅ ɛ) ( ) ( )2 3
5,1 10 : 1,7 10 .−
⋅ ⋅
16. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɨɤ ɩɟɪɟɬɢɧɭ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɮɭɧɤɰɿɣ 2=y
x
ɿ ɭ = –ɯ + 3.
Ɋɿɜɟɧɶ 4
ɚ) ( ) ( )
4 9
1 22 ;
4 3
− −
⋅ ɛ)
3 6
9 2
27 16 .
8 81
− −
− −
⋅
⋅

ɚ)
2
3 2 1
;
m
m k
k
x x y
y
−
− − +§ ·
⋅ ⋅¨ ¸
© ¹
ɛ)
12
2 2: .
n n
y b
b y
− −
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ɚ) ( )
2
2 2
4 4
( )
;
xy
x y
x y
− −
+ ⋅
−
ɛ) 2 2 4
( ) (1 ).n n n n
a a a a− −
− − +
20. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɱɢɫɥɨ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɪɿɜɧɿɫɬɶ, ɬɚ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɣɨɝɨ ɭ
ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
ɚ) 120 ɤɦ/ɯɜ = ɯ ɦ/ɫ; ɛ) 3,6 ɦ/ɝɨɞ = ɯ ɦ/ɫ.
21. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2−
x
= –2ɯ + 3.

102 § 2. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ. Ⱦɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ
ȼɢ ɡɧɚɽɬɟ, ɳɨ ɩɥɨɳɭ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɨɛɱɢɫɥɸɸɬɶ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ S = ɚ2
, ɞɟ ɚ —
ɞɨɜɠɢɧɚ ɫɬɨɪɨɧɢ ɤɜɚɞɪɚɬɚ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɨɠɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɽɞɢɧɟ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɩɥɨɳɿ S, ɬɨ S ɽ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɜɿɞ ɚ. ɉɟɪɟɣɲɨɜɲɢ ɞɨ ɩɪɢɣɧɹɬɢɯ ɩɨɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɣ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ ɮɭɧɤɰɿɸ ɭ = ɯ2
.
ɇɚɞɚɥɿ ɪɨɡɝɥɹɞɚɬɢɦɟɦɨ ɮɭɧɤɰɿɸ ɭ = ɯ2
, ɭ ɹɤɿɣ ɡɦɿɧɧɿɣ ɯ ɦɨɠɧɚ ɧɚɞɚɜɚɬɢ
ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ.
ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɫɩɨɱɚɬɤɭ ɫɤɥɚɞɟɦɨ ɬɚɛɥɢɰɸ
ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɬɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɭ:
ɯ –3
12
2
− –2
11
2
− –1
1
2
− 0
1
2
1
11
2
2
12
2
3
ɭ 9
16
4
4
12
4
1
1
4
0
1
4
1
12
4
4
16
4
9
ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɿɣ ɩɥɨɳɢɧɿ ɬɨɱɤɢ (ɪɢɫ. 5), ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɹɤɢɯ
ɩɨɞɚɧɿ ɜ ɬɚɛɥɢɰɿ. əɤɛɢ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɨɛɱɢɫɥɢɥɢ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ ɡɧɚɱɟɧ-
ɧɹ ɭ ɣ ɩɨɡɧɚɱɢɥɢ ɛ ɬɨɱɤɢ ɡ ɬɚɤɢɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɿɣ ɩɥɨɳɢɧɿ,
ɬɨ ɨɞɟɪɠɚɥɢ ɛ ɥɿɧɿɸ, ɹɤɚ ɽ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
(ɪɢɫ. 6). ɐɸ ɥɿɧɿɸ ɧɚɡɢɜɚ-
ɸɬɶ ɩɚɪɚɛɨɥɨɸ.
Ɏɭɧɤɰɿɹ ɭ = ɯ2
ɦɚɽ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ:
1. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ.
2. Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɩɚɪɚɛɨɥɚ.
3. əɤɳɨ ɯ = 0, ɬɨ ɭ = 0; ɹɤɳɨ ɯ ≠ 0, ɬɨ ɭ 0.
ȱɡ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ 3 ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ
(0; 0). ɐɸ ɬɨɱɤɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɟɪɲɢɧɨɸ ɩɚɪɚɛɨɥɢ. Ⱦɪɭɝɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ
ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɜɫɿ ɬɨɱɤɢ ɩɚɪɚɛɨɥɢ, ɤɪɿɦ ʀʀ ɜɟɪɲɢɧɢ, ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɿ ɜɢɳɟ ɜɿɞ ɨɫɿ ɯ.
4. Ɉɛɥɚɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɭɫɿ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɿ ɱɢɫɥɚ.

13. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɭ = ɯ2
103
Ɋɢɫ. 5 Ɋɢɫ. 6
5. Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɨɫɿ ɭ.
ɋɩɪɚɜɞɿ, ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɬɟ ɫɚɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɮɭɧɤɰɿʀ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɯ = –2 ɬɚ ɯ = 2 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ
ɬɟ ɫɚɦɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = 4. Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ ɝɪɚɮɿɤɭ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɬɨɱɤɚ (a; b), ɬɨ
ɣɨɦɭ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɿ ɬɨɱɤɚ (–a; b). ɐɟ ɣ ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɩɚɪɚɛɨɥɚ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɚ ɜɿɞɧɨɫɧɨ
ɨɫɿ ɭ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 6
x
x
= ?
Ɣ Ȼɭɞɭɽɦɨ ɜ ɨɞɧɿɣ ɫɢɫɬɟɦɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = ɯ2
ɬɚ ɭ =
6
x
.
ɐɿ ɝɪɚɮɿɤɢ ɩɟɪɟɬɢɧɚɸɬɶɫɹ ɜ ɨɞɧɿɣ ɬɨɱɰɿ ɡ ɚɛɫɰɢɫɨɸ ɯ ≈ 1,8. Ɉɬɠɟ, ɞɚɧɟ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ.

ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. Ɉɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ. Ɣ
ɚ) ɨɛɥɚɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ;
ɛ) ɮɭɧɤɰɿɹ ɭ = ɯ2
ɦɨɠɟ ɧɚɛɭɜɚɬɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ;
ɜ) ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɽ ɝɿɩɟɪɛɨɥɚ;
ɝ) ɬɨɱɤɚ (–1; 1) ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
.
396. Ɏɭɧɤɰɿɸ ɡɚɞɚɧɨ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɭ = ɯ2
. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ:
ɚ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ, ɹɤɟ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɬɚɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɯ: –4; –2,1; 0; 5;
ɛ) ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɹɤɢɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ: 36; 49; 100; 121.

105
397. Ⱦɥɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɡɚɩɨɜɧɿɬɶ ɬɚɛɥɢɰɸ:
ɯ –5 –1,5 4
ɭ 0 0,36
398. Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
(ɪɢɫ. 6), ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭ-
ɦɟɧɬɭ, ɹɤɢɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ: 1,5; 3,5; 7,5.
399. Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
(ɪɢɫ. 6), ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ: –2,25; 0,75; 1,25.
400. ɑɢ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ:
ɚ) A(15; 225); ɛ) B(–22; 464); ɜ) ɋ(–0,3; 0,9); ɝ) ( )1 1; ?
5 25
− −D
401. ɑɢ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ:
ɚ) K(14; 186); ɛ) L(–12; 144); ɜ) M(0,8; 0,64); ɝ) ( )2 4; ?
3 9
N −
402. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
, ɞɟ:
ɚ) –3 ≤ ɯ ≤ 2; ɛ) ɯ ≤ 0.
403. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
, ɞɟ:
ɚ) –2 ≤ ɯ ≤ 3; ɛ) ɯ • 0.
404. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɬɚ ɭ = 5ɯ ɧɚɛɭɜɚɸɬɶ ɬɨɝɨ ɫɚ-
ɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ?
ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɜ ɨɞɧɿɣ ɫɢɫɬɟɦɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɿ ɜɫɬɚɧɨɜɿɬɶ, ɫɤɿɥɶɤɢ
ɫɩɿɥɶɧɢɯ ɬɨɱɨɤ ɦɚɸɬɶ ɰɿ ɝɪɚɮɿɤɢ:
405. ɚ) ɭ = ɯ2
ɿ ɭ = ɯ – 5; ɛ) ɭ = ɯ2
ɿ ɭ = –4ɯ – 4.
406. ɭ = ɯ2
ɿ ɭ = 3ɯ + 1.
407. ɚ) 2 1
;x
x
= − ɛ) ɯ2
– 3 = –2ɯ.
408. ɚ) 2 8
;x
x
= ɛ) ɯ2
+ ɯ = 2.

409. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 4
0x
x
− = ?
410. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 2ɯ – 1 = 0?
411. ɍɤɚɠɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɦɟɧɲɿ, ɧɿɠ ɜɿɞɩɨ-
ɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = 1.
412. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ k, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = kx + 4 ɬɚ ɭ = ɯ2
ɩɟɪɟ-
ɬɢɧɚɸɬɶɫɹ ɜ ɬɨɱɰɿ ɡ ɚɛɫɰɢɫɨɸ –1.
413. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɬɨɱɤɢ ɩɚɪɚɛɨɥɢ ɭ = ɯ2
ɪɨɡɦɿɳɟɧɿ ɧɢɠɱɟ ɜɿɞ ɩɪɹɦɨʀ
ɭ = –ɯ + 6?
ɚ)
3
;= xy
x
ɛ)
3
,xy
x
= − ɞɟ x 0;
ɜ)
3 2
2 ;
2
−=
−
x xy
x
ɝ)
2
, ɹɤɳɨ 1;
2, ɹɤɳɨ 1.

= ®
− + ≥¯
x x
y
x x
415. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɚ ɩɪɹɦɚ, ɩɚɪɚɥɟɥɶɧɚ ɨɫɿ ɭ, ɩɟɪɟɬɢɧɚɽ ɩɚɪɚɛɨɥɭ
ɭ = ɯ2
.
ɚ) 2
49 0;x − = ɛ) 2
(3 2) 9 0.x − − =
ɚ) ( )2 2
3 3
1 1 : ;a ab b
a b
§ ·− + +¨ ¸
© ¹
ɛ) ( )2 1 1 .mn
m n mn n mn m
⋅ −
− − −
418. Ⱦɨɜɠɢɧɚ ɨɛɨɞɚ ɡɚɞɧɶɨɝɨ ɤɨɥɟɫɚ ɬɪɚɤɬɨɪɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2 ɦ, ɩɟɪɟɞɧɶɨɝɨ —
1,5 ɦ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɦɟɬɪɿɜ ɦɚɽ ɩɪɨʀɯɚɬɢ ɬɪɚɤɬɨɪ, ɳɨɛ ɩɟɪɟɞɧɽ ɤɨɥɟɫɨ ɡɪɨɛɢɥɨ
ɧɚ 10 ɨɛɟɪɬɿɜ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɡɚɞɧɽ?

14. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ. Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ 107
419*. Ɍɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɦɨɠɧɚ ɜɢɦɿɪɸɜɚɬɢ ɡɚ ɲɤɚɥɚɦɢ ɐɟɥɶɫɿɹ ɿ Ɏɚɪɟɧɝɟɣɬɚ. ȼɿ-
ɞɨɦɨ, ɳɨ 0 ɝɪɚɞɭɫɚɦ ɡɚ ɐɟɥɶɫɿɽɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ 32 ɝɪɚɞɭɫɢ ɡɚ Ɏɚɪɟɧɝɟɣɬɨɦ,
ɚ 100 ɝɪɚɞɭɫɚɦ ɡɚ ɐɟɥɶɫɿɽɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ 212 ɝɪɚɞɭɫɿɜ ɡɚ Ɏɚɪɟɧɝɟɣɬɨɦ.
ɚ) əɤɭ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɩɨɜɿɬɪɹ ɩɨɤɚɡɭɽ ɬɟɪɦɨɦɟɬɪ ɡɿ ɲɤɚɥɨɸ Ɏɚɪɟɧɝɟɣɬɚ,
ɹɤɳɨ ɬɟɪɦɨɦɟɬɪ ɡɿ ɲɤɚɥɨɸ ɐɟɥɶɫɿɹ ɩɨɤɚɡɭɽ 20 ɝɪɚɞɭɫɿɜ?
ɛ) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ, ɹɤɚ ɿ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ ɐɟɥɶɫɿɹ, ɿ ɡɚ ɲɤɚɥɨɸ Ɏɚɪɟɧ-
ɝɟɣɬɚ ɜɢɪɚɠɚɽɬɶɫɹ ɬɢɦ ɫɚɦɢɦ ɱɢɫɥɨɦ.
420. ɉ’ɹɬɶ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬɿɜ ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɿ ɧɚ ɮɭɬɛɨɥɶɧɨɦɭ ɩɨɥɿ ɬɚɤ, ɳɨ ɩɨɩɚɪɧɿ
ɜɿɞɫɬɚɧɿ ɦɿɠ ɧɢɦɢ ɽ ɪɿɡɧɢɦɢ. Ʉɨɠɟɧ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬ ɦɚɽ ɦ’ɹɱ. ɍ ɩɟɜɧɢɣ ɦɨ-
ɦɟɧɬ ɤɨɠɟɧ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬ ɩɚɫɭɽ ɦ’ɹɱ ɧɚɣɛɥɢɠɱɨɦɭ ɞɨ ɫɟɛɟ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬɨɜɿ.
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɩɿɫɥɹ ɩɟɪɟɩɚɫɨɜɤɢ: ɚ) ɡɧɚɣɞɟɬɶɫɹ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬ, ɹɤɢɣ ɧɟ ɦɚɽ
ɦ’ɹɱɚ; ɛ) ɡɧɚɣɞɟɬɶɫɹ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬ, ɹɤɢɣ ɦɚɽ ɩɪɢɧɚɣɦɧɿ 2 ɦ’ɹɱɿ.
1. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɚɞɚɱɭ: ɡɧɚɣɬɢ ɫɬɨɪɨɧɭ ɤɜɚɞɪɚɬɚ,
ɩɥɨɳɚ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 9 ɫɦ2
.
ɇɟɯɚɣ ɫɬɨɪɨɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɯ ɫɦ. Ɍɨɞɿ ɣɨɝɨ ɩɥɨɳɚ ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ ɯ2
ɫɦ2
,
ɳɨ ɡɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 9 ɫɦ2
. Ɉɬɠɟ,
ɯ2
= 9.
Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɝɪɚ-
ɮɿɱɧɨ. ɉɚɪɚɛɨɥɚ ɭ = ɯ2
ɩɟɪɟɬɢɧɚɽ ɩɪɹɦɭ ɭ = 9
ɭ ɞɜɨɯ ɬɨɱɤɚɯ ɡ ɚɛɫɰɢɫɚɦɢ 3 ɿ –3 (ɞɢɜ.
ɪɢɫ. 7). Ɍɨɦɭ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= 9 ɽ ɞɜɚ
ɱɢɫɥɚ ɯ = 3 ɬɚ ɯ = –3.
Ⱦɨɜɠɢɧɚ ɫɬɨɪɨɧɢ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɧɟ ɦɨɠɟ
ɜɢɪɚɠɚɬɢɫɹ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ. Ɉɬɠɟ, ɲɭ-
ɤɚɧɚ ɫɬɨɪɨɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3 ɫɦ.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɡɚɞɚɱɭ, ɦɢ ɡɧɚɣɲɥɢ
ɱɢɫɥɚ 3 ɿ –3, ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ 9.
Ɋɢɫ. 7
Ʉɨɠɧɟ ɡ ɰɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ 9.

Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɟ ɱɢɫɥɨ,
ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚ.
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɡ ɱɢɫɥɚ 9, ɹɤ ɦɢ ɜɠɟ ɩɨɤɚɡɚɥɢ, ɽ ɞɜɚ ɱɢɫɥɚ: 3 ɿ –3.
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɡ ɱɢɫɥɚ 6,25 ɽ ɱɢɫɥɚ 2,5 ɿ –2,5, ɛɨ 2,52
= 6,25 ɿ
(–2,5)2
= 6,25.
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ 0 ɽ ɬɿɥɶɤɢ ɱɢɫɥɨ 0, ɛɨ ɬɿɥɶɤɢ ɤɜɚɞɪɚɬ ɧɭɥɹ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ ɡ ɱɢɫɥɚ –9 ɧɟ ɿɫɧɭɽ, ɛɨ ɧɟɦɚɽ ɱɢɫɟɥ, ɤɜɚɞɪɚɬɢ ɹɤɢɯ
ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɥɢ ɛ ɜɿɞ’ɽɦɧɨɦɭ ɱɢɫɥɭ.
2. Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ. Ɇɢ ɜɫɬɚɧɨɜɢɥɢ, ɳɨ ɱɢɫɥɚ 3 ɿ –3
ɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɡ ɱɢɫɥɚ 9. ɇɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɣ ɡ ɰɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɬɨɛɬɨ ɱɢɫɥɨ 3,
ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ 9.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ
ɬɚɤɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚ.
Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ a ( — ɡɧɚɤ
ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ). ȼɢɪɚɡ a ɱɢɬɚɸɬɶ: ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ
ɡ ɚ (ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɛɭɥɨ ɛ: ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɚ, ɚɥɟ ɩɿɞ ɱɚɫ ɱɢ-
ɬɚɧɧɹ ɫɥɨɜɨ «ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ» ɨɩɭɫɤɚɸɬɶ).
Ɉɬɠɟ, 9 = 3 (ɱɢɬɚɸɬɶ: ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɞɟɜ’ɹɬɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɬɪɢ).
Ɂɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ:
121 = 11, ɛɨ ɱɢɫɥɨ 11 ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ (11 ≥ 0) ɿ 112
= 121;
0,36 = 0,6, ɛɨ 0,6 ≥ 0 ɿ 0,62
= 0,36;
0 = 0, ɛɨ 0 ≥ 0 ɿ 02
= 0.
ɍ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ
a = b
ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ, ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɞɜɿ ɭɦɨɜɢ:
1) b ≥ 0; 2) b2
= ɚ.

Ʉɨɪɟɧɿɜ ɿɡ ɱɢɫɥɚ –1 ɧɟ ɿɫɧɭɽ, ɬɨɦɭ ɧɟ ɿɫɧɭɽ ɣ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨ-
ɝɨ ɤɨɪɟɧɹ ɡ ɰɶɨɝɨ ɱɢɫɥɚ. Ʉɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ 1− ɧɟ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬɭ.
ɍɡɚɝɚɥɿ, ɜɢɪɚɡ a ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ, ɹɤɳɨ ɚ ≥ 0.
3. Ɍɨɬɨɠɧɿɫɬɶ ( )
2
=a a , a ≥ 0. ɐɹ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ ɜɢɩɥɢɜɚɽ ɡ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ. ɋɩɪɚɜɞɿ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ a — ɰɟ ɬɚɤɟ ɧɟ-
ɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚ, ɬɨ:
( )
2
a a= (ɚ ≥ 0).
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ( )
2
4 4,= ( )
2
1,5 1,5.=
4. Ⱦɨɛɭɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ. Ɂɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱ-
ɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ ɿɧɨɞɿ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɨɛɭɜɚɧɧɹɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ. Ⱦɨ-
ɛɭɜɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɿ ɽ ɬɨɱɧɢɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɚɦɢ, ɦɨɠɧɚ
ɡɚ ɬɚɛɥɢɰɟɸ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ (ɞɢɜ. ɮɨɪɡɚɰ). ɇɟɯɚɣ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɧɚɣɬɢ 5476 . Ɂɚ ɬɚɛɥɢ-
ɰɟɸ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ 5476 ɽ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ ɱɢɫɥɚ 74, ɬɨɦɭ
5476 = 74. Ɂɪɨɡɭɦɿɥɨ, ɳɨ ɡɚ ɬɚɛɥɢɰɟɸ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɟ ɧɟ ɽ ɬɨɱɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ ɚɛɨ ɤɜɚɞ-
ɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɧɟ ɩɨɦɿɳɟɧɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɸ.
Ⱦɥɹ ɞɨɛɭɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ ɡ ɱɢɫɥɚ ɦɨɠɧɚ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɬɢ ɤɚɥɶɤɭɥɹ-
ɬɨɪ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɱɢɫɥɨ ɜ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɧɚɬɢɫɧɭɬɢ ɤɥɚɜɿ-
ɲɭ . ɇɚ ɟɤɪɚɧɿ ɡ’ɹɜɢɬɶɫɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɪɟɧɹ.
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ 111,9 . ɍɜɟɞɟɦɨ ɜ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪ ɱɢɫɥɨ 111,9 ɿ ɧɚɬɢɫɧɟɦɨ ɤɥɚ-
ɜɿɲɭ . ɇɚ ɟɤɪɚɧɿ ɡ’ɹɜɢɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨ 10,5782796 — ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
111,9 . Ɉɞɟɪɠɚɧɢɣ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɨɤɪɭɝɥɸɸɬɶ ɞɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɡɧɚɤɿɜ. ɇɚ-
ɩɪɢɤɥɚɞ, ɨɤɪɭɝɥɢɜɲɢ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɞɨ ɬɢɫɹɱɧɢɯ, ɨɬɪɢɦɚɽɦɨ: 111,9 ≈ 10,578.
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ 11943936 . ɍɜɟɞɟɦɨ ɜ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪ ɱɢɫɥɨ 11943936 ɿ ɧɚɬɢɫ-
ɧɟɦɨ ɤɥɚɜɿɲɭ . ɇɚ ɟɤɪɚɧɿ ɡ’ɹɜɢɬɶɫɹ ɱɢɫɥɨ 3456 — ɬɨɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
11943936 .

ȼɩɪɚɜɚ 1. Ⱦɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ 0,04 0,2.=
Ɣ ɑɢɫɥɨ 0,2 ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɿ ɣɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,04 (0,22
= 0,04). Ɍɨɦɭ
0,04 0,2.= Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 449 0,25 .
25
⋅ −
Ɣ
4 249 0,25 7 0,5 3,5 0,4 3,1.
25 5
⋅ − = ⋅ − = − = Ɣ
421. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ ɡ ɱɢɫɥɚ; ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ
ɱɢɫɥɚ:
ɚ) 49; ɛ) 1; ɜ) 0; ɝ) –16.
422. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ:
ɚ) 81 = 9; ɛ) 0,49 = 0,7.
423. ɑɢ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɪɿɜɧɿɫɬɶ?
ɚ) 36 = 8; ɛ) 36 = –6; ɜ) 36 = 6.
424. ɑɢ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɜɢɪɚɡ?
ɚ) 256; ɛ) 16;− ɜ) 2 ( 8)− ⋅ − .
425. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɜɢɪɚɡ?
ɚ) ;x ɛ) 2
;x ɜ) ( )
2
x .
ɚ) ( )
2
3 ; ɛ) ( )
2
4,32 ; ɜ)
2
3 .
4
§ ·
¨ ¸
© ¹
Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ:
427. ɚ) 25; ɛ) 1; ɜ) 144; ɝ) 225;

ɞ) 0,09; ɟ) 0,64; ɽ) 1,21; ɠ) 4,41.
428. ɚ) 36; ɛ) 81; ɜ) 196; ɝ) 400;
ɞ) 0,01; ɟ) 0,25; ɽ) 2,25; ɠ) 3,24.
429. ɚ) 1 ;
25
ɛ) 9 ;
49
ɜ) 36;
81
ɝ) 16 .
225
430. ɚ) 9 ;
64
ɛ) 1 ;
81
ɜ) 4 ;
121
ɝ) 100.
169
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ:
431. ɚ) 3,61 = 1,9; ɛ) 0,0121 = 0,11.
432. ɚ) 20,25 = 4,5; ɛ) 0,0081 = 0,09.
433. ɚ) 36 64;+ ɛ) 196 0,25;⋅
ɜ) 3 1,69 4;− ɝ) 16 6,25 1,5 49;⋅ −
ɞ) 81 225 441;+ − ɟ) 1600 : 6400 5 0,25;−
ɽ) 0,7 0,8 0,2;⋅ − ɠ) 11,36 0,8 5,8.+ ⋅
434. ɚ) 100 49;− ɛ) 144 : 36;
ɜ) 1,96 2 1,44;+ ɝ) 0,36 900 17 9;⋅ −
ɞ) 2,7 0,5 0,09;⋅ + ɟ) 1,09 0,4 2,7.− ⋅
435. ɚ) 2 3,x + ɹɤɳɨ ɯ = 3; ɯ = –1; ɯ = 0,12;
ɛ) 2 ,a b− ɹɤɳɨ ɚ = 8, b = 2; ɚ = –3, b = –14.
436. 4 3,a − ɹɤɳɨ ɚ = 1; ɚ = 7; ɚ = 31; ɚ = 0,76.
437. ɚ) ( )
2
7 ;− ɛ) ( )
2
2 3 ; ɜ) ( )
2
3 1,5 .−
438. ɚ) ( )
2
5 2 ; ɛ) ( )
2
2 6 ;− ɜ) ( )
2
10 3,2 .

Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɬɚɛɥɢɰɿ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ:
439. ɚ) 361; ɛ) 1444; ɜ) 4096; ɝ) 8836.
440. ɚ) 576; ɛ) 2116; ɜ) 5929; ɝ) 9216.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ (ɪɟɡɭɥɶ-
ɬɚɬ ɨɤɪɭɝɥɿɬɶ ɞɨ ɫɨɬɢɯ):
441. ɚ) 6; ɛ) 50; ɜ) 1,6; ɝ) 4,38.
442. ɚ) 10; ɛ) 28; ɜ) 12,5; ɝ) 0,15.
ɚ) 5 ;x ɛ) 5 ;x− ɜ) 2
5( )x− .
ɑɢ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɜɢɪɚɡ?
444. ɚ) 2
15 17 16 ;⋅ − ɛ) ( 0,3) ( 1,8) 0,5;− ⋅ − − ɜ) ( )
2
5 1
9 3
− .
445. ɚ) 2
21 24 20;− ⋅ ɛ) 3,6 2 : ( 0,5);− − − ɜ) 3 2 2
8 9 25
⋅ − .
446. ɚ) 10 0,0049 4 0,49;+ ɛ) 16 64 1: ;
81 225 9
+
ɜ) ( )
2
2 81 1,5 2 3,24;
9
+ + ɝ) 0,09 2500 0,7 900;⋅ −
ɞ) ( )( )3 441 196 1,69 2,89 ;
7
− − ɟ) ( ) 7 10,0016 16 : 18 .
9 3
§ ·
− −¨ ¸
© ¹
447. ɚ) 13 0,0009 9 ;
10000
+ ɛ)
2
7 4 42 : ;
9 81 9
§ ·§ ·
¨ ¸+ ¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹
ɜ) 40,0144 2 0,0225 ;
9
+ ⋅ ɝ) ( )5 1640000 22500 : 1 .
9 81
§ ·
− −¨ ¸
© ¹

448. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ:
ɚ) 2
( 1)( 1)( 1) 1;− + + +x x x ɛ) 2
8 17.− +x x
449. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɪɿɜɧɿɫɬɶ?
ɚ) ;x x= − ɛ) 2 0.+ =x x
450. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ( 1)( ) 0+ − =x x a ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ?
451. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ ɚ2
, (–ɚ)2
, |a|2
, ɹɤɳɨ ɚ = –1,2.
452. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɦɟɧɲɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ) ɯ2
+ 2; ɛ) ɯ2
– 1; ɜ) (2ɯ)2
+ (3ɯ)2
.
453. Ⱦɜɚ ɩɨʀɡɞɢ ɜɢɣɲɥɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɡ ɩɭɧɤɬɿɜ A ɿ B ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ ɿ
ɡɭɫɬɪɿɥɢɫɹ ɜ ɩɭɧɤɬɿ C, ɹɤɢɣ ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɧɚ 20 ɤɦ ɛɥɢɠɱɟ ɞɨ A, ɧɿɠ ɞɨ
B. ɒɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɨʀɡɞɚ, ɳɨ ɜɢɣɲɨɜ ɡ A, ɧɚ 10 ɤɦ/ɝɨɞ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ
ɩɨʀɡɞɚ, ɳɨ ɜɢɣɲɨɜ ɡ B. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɩɨʀɡɞɚ, ɹɤɳɨ ɜɿɞ-
ɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɩɭɧɤɬɚɦɢ A ɿ B ɞɨɪɿɜɧɸɽ 340 ɤɦ.
454*. ɉɲɟɧɢɰɟɸ ɡɚɫɿɹɥɢ 65% ɩɟɪɲɨɝɨ ɩɨɥɹ ɿ 45% ɞɪɭɝɨɝɨ ɩɨɥɹ. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ
ɧɚ ɩɟɪɲɨɦɭ ɿ ɞɪɭɝɨɦɭ ɩɨɥɹɯ ɪɚɡɨɦ ɡɚɫɿɹɥɢ 53% ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɩɥɨɳɿ ɨɛɨɯ
ɩɨɥɿɜ. əɤɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɩɥɨɳɿ ɨɛɨɯ ɩɨɥɿɜ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɩɥɨɳɚ ɩɟɪɲɨ-
ɝɨ ɩɨɥɹ?
455. ɇɚ ɤɪɚɣɧɿɣ ɤɥɿɬɢɧɰɿ ɫɦɭɠɤɢ ɪɨɡɦɿɪɭ 1 × 100 ɫɬɨʀɬɶ ɮɿɲɤɚ. Ɍɚɪɚɫ, ɚ ɡɚ
ɧɢɦ Ɉɥɟɝ ɩɨ ɱɟɪɡɿ ɩɟɪɟɫɭɜɚɸɬɶ ɮɿɲɤɭ ɧɚ ɨɞɧɭ ɚɛɨ ɬɪɢ ɤɥɿɬɢɧɤɢ ɭ ɧɚ-
ɩɪɹɦɿ ɿɧɲɨɝɨ ɤɪɚɸ ɫɦɭɠɤɢ. ɉɪɨɝɪɚɽ ɬɨɣ, ɯɬɨ ɧɟ ɡɦɨɠɟ ɡɪɨɛɢɬɢ ɱɟɪɝɨ-
ɜɢɣ ɯɿɞ. ɏɬɨ ɡ ɯɥɨɩɰɿɜ ɦɨɠɟ ɡɚɛɟɡɩɟɱɢɬɢ ɫɨɛɿ ɩɟɪɟɦɨɝɭ (ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ
ɯɨɞɿɜ ɫɭɩɟɪɧɢɤɚ)?

Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= ɚ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜ ɨɞɧɿɣ ɫɢɫɬɟɦɿ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬ ɩɨɛɭɞɭɽɦɨ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = ɯ2
ɬɚ ɩɪɹɦɿ ɭ = ɚ. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɭ 8 ɡɨɛɪɚɠɟɧɚ
ɩɚɪɚɛɨɥɚ ɭ = ɯ2
ɬɚ ɩɪɹɦɿ ɭ = ɚ ɞɥɹ ɬɪɶɨɯ ɜɢɩɚɞɤɿɜ: ɚ 0, ɚ = 0 ɬɚ ɚ 0.
əɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ ɩɪɹɦɚ ɭ = ɚ ɩɟɪɟ-
ɬɢɧɚɽ ɩɚɪɚɛɨɥɭ ɭ ɞɜɨɯ ɬɨɱɤɚɯ ɡ ɚɛɫɰɢ-
ɫɚɦɢ a− ɬɚ a . Ɍɨɦɭ ɜ ɞɚɧɨɦɭ ɜɢ-
ɩɚɞɤɭ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= ɚ ɽ ɱɢɫ-
ɥɚ: x a= − ɬɚ .x a=
əɤɳɨ ɚ = 0, ɬɨ ɦɚɬɢɦɟɦɨ ɩɪɹɦɭ
ɭ = 0, ɹɤɚ ɦɚɽ ɡ ɩɚɪɚɛɨɥɨɸ ɨɞɧɭ ɫɩɿɥɶɧɭ
ɬɨɱɤɭ (0; 0). Ɉɬɠɟ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= 0 ɦɚɽ
ɽɞɢɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɯ = 0.
əɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ ɩɪɹɦɚ ɭ = ɚ ɧɟ ɩɟ-
ɪɟɬɢɧɚɽ ɩɚɪɚɛɨɥɭ. ȼ ɞɚɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ
= ɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ.
Ɉɬɠɟ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= ɚ: Ɋɢɫ. 8
1) ɦɚɽ ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ x a= − ɬɚ ,x a= ɹɤɳɨ ɚ 0;
2) ɦɚɽ ɽɞɢɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɯ = 0, ɹɤɳɨ ɚ = 0;
3) ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɹɤɳɨ ɚ 0.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
= 4 ɦɚɽ ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ 4 2x = − = − ɿ 4 2;x = =
= 3 ɦɚɽ ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ 3x = − ɿ 3;x =
= –3 ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) 2ɯ2
– 14 = 0; ɛ) 3 + 2ɯ2
= 0; ɜ) (2ɯ – 1)2
= 9.

15. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ x2
= ɚ 115
Ɣ ɚ) 2ɯ2
– 14 = 0; 2ɯ2
= 14; ɯ2
= 7; 7x = − ɚɛɨ 7.x =
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 7;− 7.
ɛ) 3 + 2ɯ2
= 0; 2ɯ2
= –3; ɯ2
= –1,5 — ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ, ɛɨ –1,5 0.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
ɜ) (2ɯ – 1)2
= 9;
1) 2 1 9;− = −x 2ɯ – 1= –3; 2ɯ = –2; ɯ = –1;
2) 2 1 9;− =x 2ɯ – 1= 3; 2ɯ = 4; ɯ = 2.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –1; 2. Ɣ
ɚ) ɯ2
= 49; ɛ) ɯ2
= 11; ɜ) ɯ2
= 0; ɝ) ɯ2
= –11.
457. ɚ) ɯ2
= 121; ɛ) ɯ2
= 0,16; ɜ) ɯ2
= 5; ɝ) ɯ2
= 0,3;
ɞ) ɯ2
= 1 ;
4
ɟ) ɯ2
= 1;
3
ɽ) ɯ2
= –1; ɠ) ɯ2
= 1,44.
458. ɚ) 3ɯ2
= 48; ɛ) ɯ2
+ 8 = 57; ɜ) 44 – ɯ2
= 8; ɝ) –2ɯ2
= 18;
ɞ) –0,4ɯ2
= –8; ɟ) 1
2
ɯ2
= 1; ɽ) 12 + 3ɯ2
= 6; ɠ) 2(ɯ2
+ 1) = 10.
459. ɚ) ɯ2
= 144; ɛ) ɯ2
= 15; ɜ) ɯ2
= 1,21; ɝ) ɯ2
= 2 ;
5
ɞ) 5ɯ2
= 20; ɟ) 2 – ɯ2
= 4; ɽ) 4ɯ2
+ 5 = 41; ɠ) 3(ɯ2
+ 4) = 9.
460. Ⱥɤɜɚɪɿɭɦ ɦɚɽ ɮɨɪɦɭ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨɝɨ ɩɚɪɚɥɟɥɟɩɿɩɟɞɚ. Ƀɨɝɨ ɞɨɜɠɢɧɚ ɭɞɜɿ-
ɱɿ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɢɪɢɧɢ, ɜɢɫɨɬɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 4 ɞɦ, ɚ ɨɛ’ɽɦ — 72 ɞɦ3
. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ
ɞɨɜɠɢɧɭ ɣ ɲɢɪɢɧɭ ɚɤɜɚɪɿɭɦɚ.
461. Ⱦɨɜɠɢɧɚ ɞɿɥɹɧɤɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɭɬɪɢɱɿ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɢɪɢɧɢ. Ɂɧɚɣ-
ɞɿɬɶ ɪɨɡɦɿɪɢ ɞɿɥɹɧɤɢ, ɹɤɳɨ ʀʀ ɩɥɨɳɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 108 ɦ2
.

462. ɚ) 2(ɯ2
– 3) + 3(2ɯ2
+ 1) = 5; ɛ) (2ɯ – 5)2
+ (2ɯ + 5)2
= 62;
ɜ) ( )( )1 1 1;
3 3 3
x x− + = ɝ) (5ɯ + 1)2
– 2 = 10ɯ.
463. ɚ) 3ɯ2
– 8 + 2(3 – ɯ2
) = 1; ɛ) (2ɯ – 1)(2ɯ + 1) = ɯ2
+ 2;
ɜ) (ɯ – 3)2
+ (ɯ + 3)2
= 146; ɝ) 9 – (0,5ɯ – 1)2
= ɯ.
464. ɚ) (2ɯ – 1)2
= 16; ɛ) (3 – ɯ)2
= 2,25.
465. ɚ) (ɯ + 2)2
= 49; ɛ) (1 – 2ɯ)2
= 121.
466. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɚ 49 ɦɟɧɲɢɣ ɜɿɞ ʀɯ ɫɭɦɢ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ
ɱɢɫɥɚ.
467. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɢɯ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɦɟɧɲɨɝɨ ɡ ɰɢɯ ɱɢ-
ɫɟɥ ɧɚ 4. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ ɱɢɫɥɚ.
ɚ) ((ɯ2
– 1)2
– 2)2
= 4; ɛ) ( )
2
2
2 1.x x x⋅ = −
469. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɦɟɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ |x2
– 8| + 4 = 21.
470. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ?
ɚ) ɯ2
= ɚ2
– 2ɚ; ɛ)
2
2 10 0.− =
−
x
x a
471. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ: 5;
8
7 ;
9
13 .
25
−
472. ɉɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɱɢɫɥɚ:
ɚ) 6098 ɿ 6980; ɛ) –82 ɿ –78; ɜ) 2,14 ɿ 2,143; ɝ) –0,72 ɿ –0,702.

16. ɑɢɫɥɨɜɿ ɦɧɨɠɢɧɢ. ȱɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɬɚ ɞɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ 117
473. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɬɢɧɭ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɪɿɜɧɹɧɶ ɯ + 2ɭ = 5
ɿ 3ɯ – ɭ = –6.
474. ɉɚɪɬɿɸ ɞɟɬɚɥɟɣ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɢ ɧɚ ɬɪɶɨɯ ɫɬɚɧɤɚɯ. ɇɚ ɩɟɪɲɨɦɭ ɫɬɚɧɤɭ ɜɢɝɨ-
ɬɨɜɢɥɢ 2
5
ɭɫɿɯ ɞɟɬɚɥɟɣ, ɧɚ ɞɪɭɝɨɦɭ — 75% ɬɿɽʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ, ɳɨ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɢ
ɧɚ ɩɟɪɲɨɦɭ, ɚ ɧɚ ɬɪɟɬɶɨɦɭ ⎯ ɧɚ 6 ɞɟɬɚɥɟɣ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɧɚ ɩɟɪɲɨɦɭ. ɋɤɿɥɶ-
ɤɢ ɜɫɶɨɝɨ ɞɟɬɚɥɟɣ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɢ?
475. ɒɦɚɬɨɤ ɫɢɪɭ ɦɚɽ ɮɨɪɦɭ ɤɭɛɚ ɪɨɡɦɿɪɭ 3 × 3 × 3, ɡ ɹɤɨɝɨ ɜɢɪɿɡɚɧɢɣ
ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɤɭɛɢɤ. Ɇɢɲɚ ɩɨɱɢɧɚɽ ɝɪɢɡɬɢ ɫɢɪ. ɋɩɨɱɚɬɤɭ ɜɨɧɚ ɡ’ʀɞɚɽ ɞɟ-
ɹɤɢɣ ɤɭɛɢɤ ɫɢɪɭ ɪɨɡɦɿɪɭ 1 × 1 × 1. ɉɿɫɥɹ ɬɨɝɨ ɹɤ ɦɢɲɚ ɡ’ʀɞɚɽ ɱɟɪɝɨɜɢɣ
ɤɭɛɢɤ, ɜɨɧɚ ɩɨɱɢɧɚɽ ʀɫɬɢ ɨɞɢɧ ɿɡ ɫɭɫɿɞɧɿɯ ɩɨ ɝɪɚɧɿ ɤɭɛɢɤɿɜ. ɑɢ ɡɦɨɠɟ
ɦɢɲɚ ɡ’ʀɫɬɢ ɜɟɫɶ ɲɦɚɬɨɤ ɫɢɪɭ?
1. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɬɚ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ. Ɇɧɨɠɢɧɢ. Ɂ ɤɭɪɫɭ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɧɚɦ ɜɿɞɨ-
ɦɨ, ɳɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɡɞɟɛɿɥɶɲɨɝɨ ɞɥɹ ɥɿɱɛɢ.
ɐɿɥɿ ɱɢɫɥɚ
... –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
— ɰɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɿ ʀɦ ɱɢɫɥɚ ɣ ɱɢɫɥɨ 0.
ɍɫɿ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɭ ɩɨ-
ɡɧɚɱɚɸɬɶ ɛɭɤɜɨɸ N; ɚ ɭɫɿ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ — ɦɧɨɠɢɧɭ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɭ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ
ɛɭɤɜɨɸ Z.
Ɍɟɪɦɿɧ «ɦɧɨɠɢɧɚ» ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ, ɤɨɥɢ ɣɞɟɬɶɫɹ ɩɪɨ ɧɚɛɿɪ, ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ
ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ, ɨɛ’ɽɞɧɚɧɢɯ ɡɚ ɩɟɜɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɦɧɨɠɢɧɚ ɭɱ-
ɧɿɜ ɲɤɨɥɢ, ɦɧɨɠɢɧɚ ɞɟɪɟɜ ɭ ɩɚɪɤɭ, ɦɧɨɠɢɧɚ ɛɭɤɜ ɚɥɮɚɜɿɬɭ, ɦɧɨɠɢɧɚ ɩɥɚɧɟɬ
ɋɨɧɹɱɧɨʀ ɫɢɫɬɟɦɢ ɬɨɳɨ. ɉɨɧɹɬɬɹ «ɦɧɨɠɢɧɚ» ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɬɚɤɢɯ ɹɤ «ɱɢɫɥɨ», «ɬɨɱɤɚ», «ɩɪɹɦɚ», ɬɨɦɭ ɣɨɝɨ ɧɟ ɨɡɧɚɱɭɸɬɶ.

Ɉɛ’ɽɤɬɢ, ɹɤɿ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɦɧɨɠɢɧɢ.
Ɍɚɤ, ɱɢɫɥɨ 5 — ɟɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɢɧɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ. Ⱦɥɹ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɦɧɨ-
ɠɢɧ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ ɜɟɥɢɤɿ ɛɭɤɜɢ ɥɚɬɢɧɫɶɤɨɝɨ ɚɥɮɚɜɿɬɭ (A, B, C, …, Z), ɚ ɞɥɹ
ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɦɧɨɠɢɧɢ — ɦɚɥɿ ɛɭɤɜɢ (ɚ, b, c, …, z).
əɤɳɨ ɟɥɟɦɟɧɬ ɚ ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ ɦɧɨɠɢɧɢ Ɇ, ɬɨ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ: a ∈ M (ɱɢɬɚ-
ɸɬɶ: ɚ ɧɚɥɟɠɢɬɶ Ɇ). Ɂɚɩɢɫ b ∉ M ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɟɥɟɦɟɧɬ b ɧɟ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɦɧɨ-
ɠɢɧɿ Ɇ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
ɧɟɯɚɣ Ɋ — ɦɧɨɠɢɧɚ ɩɪɨɫɬɢɯ ɱɢɫɟɥ; ɬɨɞɿ 7 ∈ Ɋ, 8 ∉ Ɋ;
ɧɟɯɚɣ G — ɦɧɨɠɢɧɚ ɛɭɤɜ ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɨɝɨ ɚɥɮɚɜɿɬɭ, ɹɤɿ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɝɨɥɨɫɧɿ
ɡɜɭɤɢ; ɬɨɞɿ ɟ ∈ G, ɫ ∉ G.
Ɍɨɣ ɮɚɤɬ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ 3 ɽ ɰɿɥɢɦ, ɚ ɱɢɫɥɨ 0,5 — ɧɿ, ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɬɚɤ:
3 ∈ Z, 0,5 ∉ Z.
Ɂɚɩɢɫɭɸɱɢ ɦɧɨɠɢɧɭ, ɹɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɡɿ ɫɤɿɧɱɟɧɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ,
ɰɿ ɟɥɟɦɟɧɬɢ ɛɟɪɭɬɶ ɭ ɮɿɝɭɪɧɿ ɞɭɠɤɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, Ɇ = {1; 3; 5} — ɦɧɨɠɢɧɚ,
ɹɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɡ ɬɪɶɨɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ — ɱɢɫɟɥ 1, 3 ɿ 5. Ɍɨɞɿ 1 ∈ Ɇ, 2 ∉ Ɇ.
Ʉɨɠɧɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɰɿɥɢɦ. Ɍɨɦɭ ɦɧɨɠɢɧɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ
ɱɚɫɬɢɧɨɸ (ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ) ɦɧɨɠɢɧɢ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ.
ɍɡɚɝɚɥɿ, ɹɤɳɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɣ ɟɥɟɦɟɧɬ ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ ɦɧɨɠɢɧɢ
ȼ, ɬɨ ɦɧɨɠɢɧɭ Ⱥ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɦɧɨɠɢɧɢ ȼ ɿ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ Ⱥ ⊂ ȼ
(ɱɢɬɚɸɬɶ: Ⱥ ɽ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ȼ).
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ Ⱥ = {–1; 1}, B = {–1; 0; 1; 2},
ɬɨ Ⱥ ⊂ ȼ, ɛɨ ɨɛɢɞɜɚ ɟɥɟɦɟɧɬɢ –1 ɿ 1 ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ ɽ
ɟɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɦɧɨɠɢɧɢ ȼ. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɭ 9 ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ
ɫɯɟɦɚɬɢɱɧɨ, ɳɨ N ⊂ Z. Ɋɢɫ. 9
2. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤ ɦɢ ɡɧɚɽɦɨ, — ɰɟ ɰɿɥɿ ɬɚ
ɞɪɨɛɨɜɿ ɱɢɫɥɚ. ɉɪɢɤɥɚɞɚɦɢ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ 1,2; –3,65; 2 ;
5
43 ;
7
− 2; 0; –3
ɬɨɳɨ. Ɇɧɨɠɢɧɭ ɜɫɿɯ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɛɭɤɜɨɸ Q. Ʉɨɠɧɟ ɧɚɬɭ-
ɪɚɥɶɧɟ ɿ ɤɨɠɧɟ ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ, ɬɨɦɭ N ⊂ Q ɿ Z ⊂ Q.
Ȼɭɞɶ-ɹɤɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ m
n
, ɞɟ m —
ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ, ɚ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
21
3
= 5
3
; –3,7 = 37
10
− ; 2 = 2
1
; –3 = 3
1
− .

Ɍɨɦɭ ɤɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ — ɰɟ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢ-
ɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ m
n
, ɞɟ m — ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ, ɚ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ.
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤ ɦɢ ɡɧɚɽɦɨ, ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɜɚɬɢ ɬɚɤɨɠ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɟ-
ɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
3
8
= 0,375; 18
55
= 0,32727... = 0,3(27).
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ 3
8
ɩɨɞɚɧɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɞɪɨɛɭ
0,375, ɚ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ 18
55
— ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɩɟɪɿɨ-
ɞɢɱɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ 0,3(27) ɡ ɩɟɪɿɨɞɨɦ 27.
ɋɤɿɧɱɟɧɧɢɣ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɣ ɞɪɿɛ 0,375 ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧ-
ɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɞɨɩɢɫɭɸɱɢ ɩɪɚɜɨɪɭɱ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɟɫɹɬ-
ɤɨɜɢɯ ɡɧɚɤɿɜ ɛɟɡɥɿɱ ɧɭɥɿɜ: 0,375 = 0,375000... = 0,375(0).
Ɉɬɠɟ, ɨɛɢɞɜɚ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ 3
8
ɿ 18
55
ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧ-
ɱɟɧɧɢɯ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɢɯ ɞɪɨɛɿɜ:
3
8
= 0,375000... = 0,375(0); 18
55
= 0,32727... = 0,3(27).
ɍɡɚɝɚɥɿ, ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧ-
ɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ.
ɉɪɚɜɢɥɶɧɨ ɣ ɧɚɜɩɚɤɢ: ɛɭɞɶ-ɹɤɢɣ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɢɣ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɣ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɢɣ
ɞɪɿɛ ɽ ɡɚɩɢɫɨɦ ɞɟɹɤɨɝɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
0,(6) = 2 ;
3
1,(27) = 31 ;
11
–0,2(0) = –0,2 = 1.
5
−
ɓɨɛ ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ, ɳɨ ɞɚɧɿ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɢɦɢ, ɞɨɫɢɬɶ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ
ɱɢɫɥɚ 2 ,
3
31
11
ɿ 1
5
− ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɢɯ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ.

3. ȱɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞ.
ɇɟɯɚɣ ɦɚɽɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬ ABCD, ɫɬɨɪɨɧɚ ɹɤɨɝɨ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɨɞɢɧɢɱɧɨɦɭ ɜɿɞɪɿɡɤɭ (ɪɢɫ. 10). ɉɨɡɧɚ-
ɱɢɦɨ ɞɨɜɠɢɧɭ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ AC ɱɟɪɟɡ ɯ. ɇɚ ɰɿɣ ɞɿɚ-
ɝɨɧɚɥɿ ɩɨɛɭɞɭɽɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬ ACEF, ɹɤ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ
ɪɢɫɭɧɤɭ. ɉɥɨɳɚ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ABCD ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1,
ɩɥɨɳɚ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ ACD ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1
2
— ɩɨɥɨɜɢ-
ɧɿ ɩɥɨɳɿ ɤɜɚɞɪɚɬɚ AȼCD, ɚ ɩɥɨɳɚ ɤɜɚɞɪɚɬɚ
ACEF — 14 2.
2
⋅ = Ɂ ɿɧɲɨɝɨ ɛɨɤɭ, ɩɥɨɳɚ ɤɜɚɞɪɚ-
ɬɚ ACEF ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɤɜɚɞɪɚɬɭ ɫɬɨɪɨɧɢ AC, ɬɨɛɬɨ ɯ2
.
Ɋɢɫ. 10
Ɍɨɦɭ ɯ2
= 2. Ɉɞɟɪɠɚɥɢ, ɳɨ ɞɨɜɠɢɧɚ ɯ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ AC ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɞɨɞɚɬɧɢɦ ɱɢɫ-
ɥɨɦ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2. Ɉɞɧɚɤ ɫɟɪɟɞ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɟɦɚɽ ɱɢɫɥɚ,
ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2 (ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ — ɜ ɪɭɛɪɢɰɿ «Ⱦɥɹ ɬɢɯ, ɯɬɨ ɯɨɱɟ ɡɧɚɬɢ
ɛɿɥɶɲɟ»).
Ɉɬɠɟ, ɱɢɫɥɨ ɯ, ɹɤɟ ɜɢɡɧɚɱɚɽ ɞɨɜɠɢɧɭ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɡɿ ɫɬɨɪɨɧɨɸ 1,
ɧɟ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɱɢɫɥɨ ɯ ɽ ɞɨɞɚɬɧɢɦ ɿ ɣɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2, ɬɨ ɯ = 2 . Ɍɚ-
ɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, 2 — ɧɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɬɨɛɬɨ ɣɨɝɨ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢ-
ɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ m
n
, ɞɟ m — ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ, ɚ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ.
ɑɢɫɥɨ, ɹɤɟ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ m
n
, ɞɟ m — ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ, ɚ
n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ.
ɉɪɟɮɿɤɫ «ɿɪ» ɨɡɧɚɱɚɽ ɡɚɩɟɪɟɱɟɧɧɹ: ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ — ɧɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ.
Ɉɬɠɟ, 2 — ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ. əɤɳɨ ɲɭɤɚɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ 2 ɡɚ ɞɨɩɨ-
ɦɨɝɨɸ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɚ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
2 ≈ 1,41421356.
Ɍɨɱɧɟ ɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
2 = 1,41421356...
ɩɨɞɚɽɬɶɫɹ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɧɟɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ (ɰɟɣ
ɞɪɿɛ ɧɟ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɢɦ, ɛɨ 2 — ɧɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ).

ɍɡɚɝɚɥɿ, ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ
ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɧɟɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ.
ɉɪɢɤɥɚɞɚɦɢ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ: 3 = 1,732... , 10− = –3,162... .
ɍɡɚɝɚɥɿ, ɹɤɳɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ n ɧɟ ɽ ɬɨɱɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ, ɬɨ ɱɢɫɥɚ n ɿ n−
ɽ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ.
ȱɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɽ ɬɚɤɨɠ ɱɢɫɥɚ:
π = 3,1415926... , ɹɤɟ ɜɢɪɚɠɚɽ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɞɨɜɠɢɧɢ ɤɨɥɚ ɞɨ ɣɨɝɨ ɞɿɚɦɟɬɪɚ;
0,505005000500005... (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɧɭɥɿɜ ɦɿɠ ɩ’ɹɬɿɪɤɚɦɢ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨ ɡɛɿɥɶ-
ɲɭɽɬɶɫɹ ɧɚ 1).
4. Ⱦɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨ-
ɠɢɧɭ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɭ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɛɭɤɜɨɸ R.
Ʉɨɠɧɟ ɞɿɣɫɧɟ ɱɢɫɥɨ ɚ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ
ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɞɪɨɛɭ. əɤɳɨ ɰɟɣ ɞɪɿɛ
ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɢɣ, ɬɨ ɞɿɣɫɧɟ ɱɢɫɥɨ ɚ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ;
ɹɤɳɨ ɠ ɰɟɣ ɞɪɿɛ ɧɟɩɟɪɿɨɞɢɱɧɢɣ, ɬɨ ɞɿɣɫɧɟ ɱɢɫɥɨ ɚ ɽ
ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ. Ɂɪɨɡɭɦɿɥɨ, ɳɨ ɦɧɨɠɢɧɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶ-
ɧɢɯ, ɰɿɥɢɯ ɬɚ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚɦɢ
ɦɧɨɠɢɧɢ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 11).
Ⱦɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ ɦɨɠɧɚ ɞɨɞɚɜɚɬɢ, ɜɿɞɧɿɦɚɬɢ, ɦɧɨɠɢɬɢ, ɞɿɥɢɬɢ (ɧɚ ɜɿɞɦɿɧɧɿ ɜɿɞ
ɧɭɥɹ ɱɢɫɥɚ), ɩɿɞɧɨɫɢɬɢ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ ɞɥɹ ɰɢɯ ɞɿɣ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨ-
ɫɬɿ, ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɿ ɞɥɹ ɞɿɣ ɧɚɞ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. Ɂɨɤɪɟɦɚ, ɞɥɹ ɞɿɣ ɞɨɞɚ-
ɜɚɧɧɹ ɿ ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɫɩɪɚɜɞɠɭɸɬɶɫɹ ɩɟɪɟɫɬɚɜɧɚ, ɫɩɨɥɭɱɧɚ ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɶɧɚ ɜɥɚɫɬɢ-
ɜɨɫɬɿ:
ɩɟɪɟɫɬɚɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ: a + b = b + a; ab = ba;
ɫɩɨɥɭɱɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ: (a + b) + ɫ = a + (b + c); (ab)ɫ = a(bc);
ɪɨɡɩɨɞɿɥɶɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ: a(b + ɫ) = ab + ac,
ɞɟ ɚ, b ɿ ɫ — ɛɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: 2 3 3 2;+ = + 3 ( 5 ) 3 3 5.⋅ π + = ⋅π + ⋅
Ȼɭɞɶ-ɹɤɿ ɞɜɚ ɞɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ ɦɨɠɧɚ ɩɨɪɿɜɧɹɬɢ. əɤɳɨ ɱɢɫɥɚ ɡɚɩɢɫɚɧɿ ɭ ɜɢ-
ɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɢɯ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ, ɬɨ ʀɯ ɩɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɡɚ ɬɢɦɢ ɠ ɩɪɚɜɢɥɚ-
ɦɢ, ɳɨ ɣ ɫɤɿɧɱɟɧɧɿ ɞɟɫɹɬɤɨɜɿ ɞɪɨɛɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,

5,13869... 5,14308... ,
ɛɨ ɞɚɧɿ ɱɢɫɥɚ ɦɚɸɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɰɿɥɿ ɱɚɫɬɢɧɢ, ɨɞɧɚɤɨɜɟ ɱɢɫɥɨ ɞɟɫɹɬɢɯ, ɨɞɧɚɤ
ɞɪɭɝɟ ɱɢɫɥɨ ɦɚɽ ɛɿɥɶɲɟ ɱɢɫɥɨ ɫɨɬɢɯ.
5. ȿɬɚɩɢ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɩɨɧɹɬɬɹ ɱɢɫɥɚ. ȼ ɿɫɬɨɪɿʀ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɩɨɧɹɬɬɹ ɱɢɫɥɚ ɜɿɞ-
ɩɪɚɜɧɨɸ ɬɨɱɤɨɸ ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɿ ɜɢɧɢɤɥɢ ɞɭɠɟ ɞɚɜɧɨ ɣ ɫɥɭɠɢɥɢ ɞɥɹ ɩɿɞ-
ɪɚɯɭɧɤɭ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɩɪɟɞɦɟɬɿɜ. Ʉɨɠɧɟ ɧɚɫɬɭɩɧɟ ɪɨɡɲɢɪɟɧɧɹ ɣ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹ ɩɨ-
ɧɹɬɬɹ ɱɢɫɥɚ ɩɪɨɯɨɞɢɥɨ ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ ɩɨɬɪɟɛ ɩɪɚɤɬɢɤɢ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ ɩɨ-
ɬɪɟɛ ɫɚɦɨʀ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ.
Ɍɚɤ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɶ ɬɨɱɧɿɲɟ ɜɢɦɿɪɸɜɚɬɢ ɪɨɡɦɿɪɢ ɡɟɦɟɥɶɧɢɯ ɞɿɥɹɧɨɤ, ɜɢ-
ɡɧɚɱɚɬɢ ɱɚɫ, ɜɟɫɬɢ ɬɨɪɝɨɜɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ ɬɨɳɨ ɩɪɢɜɟɥɢ ɞɨ ɜɜɟɞɟɧɧɹ ɩɨɧɹɬɬɹ
«ɞɪɨɛɨɜɟ ɞɨɞɚɬɧɟ ɱɢɫɥɨ».
ȱɞɟɹ ɜɜɟɞɟɧɧɹ ɜɿɞ’ɽɦɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɛɿɥɶɲɟ ɩɨɜ’ɹɡɚɧɚ ɡ ɩɨɬɪɟɛɚɦɢ ɫɚɦɨʀ ɦɚ-
ɬɟɦɚɬɢɤɢ — ɜɿɞ’ɽɦɧɿ ɱɢɫɥɚ ɩɨɬɪɿɛɧɿ ɛɭɥɢ ɞɥɹ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɪɿɜɧɹɧɶ.
ɍɜɟɞɟɧɧɹ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɬɚ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɥɨ ɩɪɨɛɥɟɦɭ ɜɢɦɿ-
ɪɸɜɚɧɧɹ ɞɨɜɠɢɧɢ ɜɿɞɪɿɡɤɚ, ɚɞɠɟ ɡɚ ɜɢɛɪɚɧɨʀ ɨɞɢɧɢɰɿ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɧɹ ɞɿɣɫɧɢɦ
ɱɢɫɥɨɦ ɜɢɪɚɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨɜɠɢɧɚ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɜɿɞɪɿɡɤɚ.
(Ⱦɟɬɚɥɶɧɿɲɟ ɩɪɨ ɿɫɬɨɪɿɸ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɩɨɧɹɬɬɹ ɱɢɫɥɚ ɱɢɬɚɣɬɟ ɜ ɪɨɡɞɿɥɿ «ɐɿɤɚ-
ɜɨ ɡɧɚɬɢ» ɧɚɩɪɢɤɿɧɰɿ ɩɚɪɚɝɪɚɮɚ.)
Ⱦɨɜɟɞɟɦɨ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɟɦɚɽ ɱɢɫɥɚ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2.
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ ɩɪɨɜɟɞɟɦɨ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜɿɞ ɫɭɩɪɨɬɢɜɧɨɝɨ. ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ
ɱɢɫɥɨ ɯ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2, ɿɫɧɭɽ. ɉɨɞɚɦɨ ɱɢɫɥɨ ɯ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɨɪɨɬɧɨɝɨ ɞɪɨ-
ɛɭ m
n
, ɞɟ m — ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ, n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ. Ɍɨɞɿ:
2
2;x = ( )
2
2;m
n
=
2
2
2;m
n
= 2 2
2 .m n=
Ɂ ɪɿɜɧɨɫɬɿ 2 2
2m n= ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ 2
m — ɩɚɪɧɟ ɱɢɫɥɨ. Ɍɨɞɿ ɣ ɱɢɫɥɨ m ɦɚɽ ɛɭɬɢ
ɩɚɪɧɢɦ (ɹɤɛɢ ɱɢɫɥɨ m ɛɭɥɨ ɧɟɩɚɪɧɢɦ, ɬɨ ɣ ɱɢɫɥɨ 2
m ɛɭɥɨ ɛ ɧɟɩɚɪɧɢɦ). ɇɟɯɚɣ m = 2k,
ɞɟ k — ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ. ɉɿɞɫɬɚɜɢɜɲɢ ɜ ɪɿɜɧɿɫɬɶ 2 2
2m n= ɡɚɦɿɫɬɶ m ɱɢɫɥɨ 2k, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2 2
(2 ) 2 ;k n= 2 2
4 2 ;k n= 2 2
2 .k n= Ɂ ɪɿɜɧɨɫɬɿ 2 2
2k n= ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ n2
, ɚ ɡ ɧɢɦ ɿ

ɱɢɫɥɨ n, — ɩɚɪɧɟ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɱɢɫɥɚ m ɿ n ɩɚɪɧɿ, ɬɨ ɞɪɿɛ m
n
ɦɨɠɧɚ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɧɚ 2. Ɉɞ-
ɧɚɤ ɰɟ ɫɭɩɟɪɟɱɢɬɶ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɞɪɿɛ m
n
ɧɟɫɤɨɪɨɬɧɢɣ.
Ɉɬɠɟ, ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ, ɳɨ ɿɫɧɭɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2, ɧɟ-
ɩɪɚɜɢɥɶɧɟ. Ɍɨɦɭ ɩɪɚɜɢɥɶɧɢɦ ɽ ɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ, ɹɤɟ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɛɭɥɨ ɞɨɜɟɫɬɢ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. ɉɨɪɿɜɧɹɬɢ ɱɢɫɥɚ:
ɚ) 2 ɿ 1,415; ɛ) 3− ɿ –1,75; ɜ) 6− ɿ 2,5.
Ɣ ɚ) Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɚ ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ: 2 = 1,41421... . Ɉɫɤɿɥɶɤɢ
1,41421... 1,415, ɬɨ 2 1,415.
ɛ) ɉɪɢɝɚɞɚɣɦɨ: ɿɡ ɞɜɨɯ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɛɿɥɶɲɢɦ ɽ ɬɟ ɱɢɫɥɨ, ɦɨɞɭɥɶ ɹɤɨ-
ɝɨ ɦɟɧɲɢɣ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ | 3− | = 3 = 1,732... , |–1,75| = 1,75, ɬɨ | 3− | |–1,75|,
ɚ ɬɨɦɭ 3− –1,75.
ɜ) Ɉɫɤɿɥɶɤɢ 6− 0, ɚ 2,5 0, ɬɨ 6− 2,5. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɂɧɚɣɬɢ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ a – b, ɹɤɳɨ a = 3,10346…,
b = 1,78052…, ɨɤɪɭɝɥɢɜɲɢ ɩɨɩɟɪɟɞɧɶɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ a ɿ b:
ɚ) ɞɨ ɫɨɬɢɯ; ɛ) ɞɨ ɬɢɫɹɱɧɢɯ.
Ɣ ɚ) a ≈ 3,10; b ≈ 1,78; a – b ≈ 3,10 – 1,78 = 1,32;
ɛ) a ≈ 3,103; b ≈ 1,781; a – b ≈ 3,103 – 1,781 = 1,322. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɚɩɢɫɚɬɢ ɭɫɿ ɞɜɨɯɟɥɟɦɟɧɬɧɿ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ = {1; 2; 3; 4}.
Ɣ {1; 2}; {1; 3}; {1; 4}; {2; 3}; {2; 4}; {3; 4}. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. ɍ ɤɥɚɫɿ 12 ɞɿɜɱɚɬ ɦɚɸɬɶ ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ, 10 ɞɿɜɱɚɬ — ɤɚɪɿ ɨɱɿ, 7 ɞɿɜɱɚɬ —
ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ ɿ ɤɚɪɿ ɨɱɿ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɿɜɱɚɬ ɦɚɸɬɶ ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ ɚɛɨ ɤɚɪɿ ɨɱɿ?
Ɣ ɇɟɯɚɣ ɋ — ɦɧɨɠɢɧɚ ɬɢɯ ɞɿɜɱɚɬ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ, ɚ K — ɦɧɨ-
ɠɢɧɚ ɬɢɯ ɞɿɜɱɚɬ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɤɚɪɿ ɨɱɿ. ɋɯɟɦɚɬɢɱɧɨ ɡɨɛɪɚɡɢɦɨ ɰɿ ɦɧɨɠɢɧɢ ɧɚ ɪɢ-
ɫɭɧɤɭ.

Ɂɚ ɭɦɨɜɨɸ ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ ɿ ɤɚɪɿ ɨɱɿ ɦɚɸɬɶ 7 ɞɿɜɱɚɬ, ɬɨɦɭ ɦɧɨɠɢɧɢ ɋ ɿ K
ɦɚɸɬɶ 7 ɫɩɿɥɶɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ 12 ɞɿɜɱɚɬ ɦɚɸɬɶ ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ, 7 ɞɿɜ-
ɱɚɬ — ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ ɿ ɤɚɪɿ ɨɱɿ, ɬɨ ɥɢɲɟ ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ ɦɚɸɬɶ 12 – 7 = 5 (ɞɿɜɱɚɬ).
Ʌɢɲɟ ɤɚɪɿ ɨɱɿ ɦɚɸɬɶ 10 – 7 = 3 (ɞɿɜɱɢɧɢ). Ɉɬɠɟ, ɱɨɪɧɿ ɛɪɨɜɢ ɚɛɨ ɤɚɪɿ ɨɱɿ ɦɚ-
ɸɬɶ 5 + 7 + 3 = 15 (ɞɿɜɱɚɬ).
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 15 ɞɿɜɱɚɬ. Ɣ
476. Ⱦɚɧɨ ɦɧɨɠɢɧɭ Ɇ = {1; –9; 7; 5; 3; 12}.
ɚ) Ɂɿ ɫɤɿɥɶɤɨɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɦɧɨɠɢɧɚ Ɇ?
ɛ) ɑɢ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ Ɇ ɱɢɫɥɨ 5; ɱɢɫɥɨ 9?
ɜ) ɑɢ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ Ɇ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɦɧɨɠɢɧɢ N; ɦɧɨɠɢɧɢ Z; ɦɧɨɠɢɧɢ Q?
477. əɤɿ ɡ ɱɢɫɟɥ 0; –2,5; 3 ; 3 ;
7
0,2(3); 2;− π; 0,121122111222... (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɨɞɢɧɢɰɶ ɿ ɞɜɿɣɨɤ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨ ɡɛɿɥɶɲɭɽɬɶɫɹ ɧɚ 1) ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ? ɿɪɪɚ-
ɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ? ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɿɧɲɿ ɩɪɢɤɥɚɞɢ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɬɚ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ
ɱɢɫɟɥ.
ɚ) ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɞɿɣɫɧɢɦ;
ɛ) ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɞɿɣɫɧɢɦ;
ɜ) ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɞɿɣɫɧɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ.
479. ɑɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ, ɳɨ:
ɚ) 2 ∈ N; ɛ) 0,(6) ∉ Z; ɜ) 7 ∈ Q; ɝ) 7 ∉ R;
ɞ) N ⊂ Z; ɟ) Z ⊂ Q; ɽ) Z ⊂ R; ɠ) Q ⊂ Z?
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ, ɩɟɪɟɥɿɱɢɜɲɢ ɜɫɿ ʀʀ ɟɥɟɦɟɧɬɢ:
480. ɚ) Ɇɧɨɠɢɧɭ ɩɟɪɲɢɯ ɲɟɫɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ;
ɛ) ɦɧɨɠɢɧɭ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 + 4x = 7;
ɜ) ɦɧɨɠɢɧɭ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɿ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ –3,2 x ” 2;
ɝ) ɦɧɨɠɢɧɭ ɩɟɪɲɢɯ ɩ’ɹɬɢ ɛɭɤɜ ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɨɝɨ ɚɥɮɚɜɿɬɭ;
ɞ) ɦɧɨɠɢɧɭ ɞɧɿɜ ɬɢɠɧɹ.

481. ɚ) Ɇɧɨɠɢɧɭ ɞɿɥɶɧɢɤɿɜ ɱɢɫɥɚ 6;
ɛ) ɦɧɨɠɢɧɭ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɦɨɞɭɥɶ ɹɤɢɯ ɦɟɧɲɢɣ ɜɿɞ 3;
ɜ) ɦɧɨɠɢɧɭ ɩɿɪ ɪɨɤɭ.
482. Ⱦɚɧɨ ɦɧɨɠɢɧɢ K = {2; 4; 6; 8; 10}, L = {5; 6; 7; 8}.
ɚ) Ɂɚɩɢɲɿɬɶ, ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɱɢ ɧɟ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɤɨɠɧɨʀ ɿɡ ɰɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ɱɢɫɥɨ 4;
ɱɢɫɥɨ 8; ɱɢɫɥɨ 9.
ɛ) Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ Ɇ ɜɫɿɯ ɬɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɹɤɿ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ K, ɿ
ɧɟ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ L.
ɜ) ɑɢ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ Ɇ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɦɧɨɠɢɧɢ K? ɦɧɨɠɢɧɢ L?
483. Ⱦɚɧɨ ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ = {5; 8; 11; 14; 17}, ȼ = {5; 9; 14; 20}.
ɚ) Ɂɚɩɢɲɿɬɶ, ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɱɢ ɧɟ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɤɨɠɧɨʀ ɿɡ ɰɢɯ ɦɧɨɠɢɧ ɱɢɫɥɨ 9;
ɱɢɫɥɨ 14; ɱɢɫɥɨ 19.
ɛ) Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɋ ɜɫɿɯ ɬɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɿɜ, ɹɤɿ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ Ⱥ ɿ
ɦɧɨɠɢɧɿ ȼ.
ɜ) ɑɢ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɋ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ? ɦɧɨɠɢɧɢ ȼ?
484. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭɫɿ ɬɪɶɨɯɟɥɟɦɟɧɬɧɿ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɦɧɨɠɢɧɢ ɋ = {ɚ; ɛ; ɜ; ɝ}.
485. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭɫɿ ɞɜɨɯɟɥɟɦɟɧɬɧɿ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ = {2; 4; 5; 7; 8}.
ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɱɢɫɥɨ:
486. ɚ) 2,6; ɛ) –1,48; ɜ) 6; ɝ) –40;
ɞ) 3;
8
ɟ) 13 ;
9
ɽ) 24 ;
11
− ɠ) 13 .
12
487. ɚ) 1,5; ɛ) –7,09; ɜ) 52 ;
16
ɝ) 71 .
30
−
ɉɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɱɢɫɥɚ:
488. ɚ) 8,998… ɿ 9,113…; ɛ) –0,382... ɿ 5,117...;
ɜ) –32,144... ɿ –12,543...; ɝ) –2,724... ɿ –2,725... .
489. ɚ) 7,351… ɿ 7,452...; ɛ) 0,836... ɿ –2,938...;
ɜ) –0,951... ɿ –0,953...; ɝ) –11,531... ɿ –12,938... .
əɤɟ ɡ ɱɢɫɟɥ ɛɿɥɶɲɟ?
490. ɚ) 0,6 ɱɢ
3
7
; ɛ) –0,327 ɱɢ
1
3
− ;
ɜ) 0,579... ɱɢ 0,58; ɝ) 2,72 ɱɢ 2,(72);

ɞ) 1,7 ɱɢ 3 ; ɟ) 1,8 ɱɢ 3 ;
ɽ) 6 ɱɢ –3; ɠ) 5− ɱɢ –2.
491. ɚ) 0,75 ɱɢ
5
7
; ɛ) 5,338... ɱɢ 5,(33);
ɜ)
2
1
3
− ɱɢ –1,68; ɝ) –5,(31) ɱɢ –5,31;
ɞ) 3,34 ɱɢ 10 ; ɟ) 15 ɱɢ 226 .
492. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɩɨɪɹɞɤɭ ɡɪɨɫɬɚɧɧɹ ɱɢɫɥɚ: 2,(7); 0,82; –1,95...; –0,03...; 5 .
493. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɩɨɪɹɞɤɭ ɫɩɚɞɚɧɧɹ ɱɢɫɥɚ: 4,38...; –1,32;
1
1
3
− ; 17 ; 4,(89).
ɉɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɱɢɫɥɚ:
494. ɚ) 0,7129... ɿ
5
7
; ɛ)
1
2
3
ɿ 5 ; ɜ) 2− ɿ –1,4(3).
495. ɚ) 1,5(4) ɿ
15
1
29
; ɛ) –15 ɿ 224− ; ɜ) 7,1(2) ɿ 49,8 .
496. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɿɡɧɢɰɿ x – y, ɨɤɪɭɝɥɢɜɲɢ ɡɦɟɧɲɭɜɚɧɟ ɬɚ
ɜɿɞ’ɽɦɧɢɤ ɞɨ ɫɨɬɢɯ, ɹɤɳɨ:
ɚ) x = 0,3849…; y = 1,1020…; ɛ) x = 102,3120…; y = 23,1023… .
497. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɭɦɢ x + y, ɨɤɪɭɝɥɢɜɲɢ ɞɨɞɚɧɤɢ ɞɨ ɞɟɫɹ-
ɬɢɯ, ɹɤɳɨ:
ɚ) x = 18,4105…; y = 9,9981…; ɛ) x = 0,9018…; y = 0,0799… .
498. Ɇɧɨɠɢɧɭ Ɇ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɭɫɿ ɞɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ ɯ, ɹɤɿ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɧɟɪɿɜɧɿɫɬɶ
1 ” x ” 7. əɤɿ ɿɡ ɦɧɨɠɢɧ ɽ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɚɦɢ ɦɧɨɠɢɧɢ Ɇ:
ɚ) Ⱥ = {1; 5; 7}; ɛ) B = {2,5; 4}; ɜ) ɋ = {5; 7,5}; ɝ) D = {7}?
499. ɇɟɯɚɣ Ɋ — ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɿɜ, R — ɪɨɦɛɿɜ, K — ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ.
ɑɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ, ɳɨ:
ɚ) K ⊂ Ɋ; ɛ) R ⊂ Ɋ; ɜ) K ⊂ R; ɝ) R ⊂ K?

500. ɋɟɪɟɞ 28 ɬɭɪɢɫɬɿɜ 18 ɬɭɪɢɫɬɿɜ ɜɨɥɨɞɿɸɬɶ ɚɧɝɥɿɣɫɶɤɨɸ ɦɨɜɨɸ, 14 —
ɮɪɚɧɰɭɡɶɤɨɸ, 10 — ɚɧɝɥɿɣɫɶɤɨɸ ɿ ɮɪɚɧɰɭɡɶɤɨɸ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɬɭɪɢɫɬɿɜ ɧɟ
ɜɨɥɨɞɿɸɬɶ ɠɨɞɧɨɸ ɡ ɰɢɯ ɦɨɜ?
501. Ɂ ɱɟɪɜɨɧɢɯ ɬɚ ɛɿɥɢɯ ɬɪɨɹɧɞ ɡɪɨɛɢɥɢ 30 ɛɭɤɟɬɿɜ. ȼɢɹɜɢɥɨɫɹ, ɳɨ ɱɟɪɜɨɧɿ
ɬɪɨɹɧɞɢ ɽ ɭ 20 ɛɭɤɟɬɚɯ, ɱɟɪɜɨɧɿ ɬɚ ɛɿɥɿ — ɭ 8 ɛɭɤɟɬɚɯ. ɍ ɫɤɿɥɶɤɨɯ ɛɭɤɟ-
ɬɚɯ ɽ ɛɿɥɿ ɬɪɨɹɧɞɢ?
502. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ:
ɚ) ɫɭɦɚ, ɪɿɡɧɢɰɹ, ɞɨɛɭɬɨɤ ɿ ɱɚɫɬɤɚ ɞɜɨɯ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶ-
ɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ;
ɛ) ɫɭɦɚ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɬɚ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɟɥ ɽ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫ-
ɥɨɦ.
503. ɑɢ ɦɨɠɟ ɫɭɦɚ, ɞɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɛɭɬɢ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ
ɱɢɫɥɨɦ?
504. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɚɞɚɧɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ:
ɚ) 3 ; ɛ) 2 3+ .
505. ɍ ɲɤɨɥɿ 33 ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤɢ ɜɿɞɜɿɞɭɸɬɶ ɬɪɢ ɫɩɨɪɬɢɜɧɿ ɫɟɤɰɿʀ: ɮɭɬɛɨɥɨɦ
ɡɚɣɦɚɸɬɶɫɹ 20 ɭɱɧɿɜ, ɛɚɫɤɟɬɛɨɥɨɦ — 11, ɜɨɥɟɣɛɨɥɨɦ — 14, ɮɭɬɛɨɥɨɦ ɿ
ɛɚɫɤɟɬɛɨɥɨɦ — 5, ɮɭɬɛɨɥɨɦ ɿ ɜɨɥɟɣɛɨɥɨɦ — 6, ɮɭɬɛɨɥɨɦ, ɛɚɫɤɟɬɛɨɥɨɦ ɿ
ɜɨɥɟɣɛɨɥɨɦ — 2. ɋɤɿɥɶɤɢ ɭɱɧɿɜ ɡɚɣɦɚɸɬɶɫɹ ɥɢɲɟ ɛɚɫɤɟɬɛɨɥɨɦ ɿ ɜɨɥɟɣ-
ɛɨɥɨɦ?
506. ɉɿɞɧɟɫɿɬɶ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ:
ɚ) 2
( ) ;mn ɛ) ( )
2
;m
n
ɜ) ( )
23
;m ɝ)
25
2
3 .
2
m
n
§ ·
−¨ ¸
© ¹
507. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2 3a − , ɹɤɳɨ ɚ = 5; ɚ = 1,4; ɚ = 1,6.

508. Ⱦɜɚ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɢɪɭɲɢɥɢ ɡ ɩɭɧɤɬɭ A ɞɨ ɩɭɧɤɬɭ B, ɜɿɞ-
ɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 78 ɤɦ. ɒɜɢɞɤɿɫɬɶ ɞɪɭɝɨɝɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ ɧɚ
2 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ, ɧɿɠ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɟɪɲɨɝɨ. ɉɪɢɛɭɜɲɢ ɞɨ ɩɭɧɤɬɭ B, ɞɪɭ-
ɝɢɣ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬ ɨɞɪɚɡɭ ɠ ɜɢɪɭɲɢɜ ɧɚɡɚɞ ɿ, ɩɪɨʀɯɚɜɲɢ 4 ɤɦ, ɡɭɫɬɪɿɜ
ɩɟɪɲɨɝɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɞɪɭɝɨɝɨ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ.
509. ɑɟɪɟɡ ɩɟɪɲɭ ɬɪɭɛɭ ɛɚɫɟɣɧ ɦɨɠɧɚ ɧɚɩɨɜɧɸɜɚɬɢ ɜɨɞɨɸ, ɚ ɱɟɪɟɡ ɞɪɭɝɭ —
ɜɢɩɭɫɤɚɬɢ ɜɨɞɭ ɡ ɛɚɫɟɣɧɚ. ɑɚɫ, ɡɚ ɹɤɢɣ ɧɚɩɨɜɧɸɸɬɶ ɛɚɫɟɣɧ ɱɟɪɟɡ ɩɟɪɲɭ
ɬɪɭɛɭ, ɜ 2,5 ɪɚɡɭ ɦɟɧɲɢɣ ɜɿɞ ɱɚɫɭ, ɡɚ ɹɤɢɣ ɜɢɩɭɫɤɚɸɬɶ ɜɨɞɭ ɡ ɩɨɜɧɨɝɨ
ɛɚɫɟɣɧɭ ɱɟɪɟɡ ɞɪɭɝɭ ɬɪɭɛɭ. əɤɳɨ ɜɿɞɤɪɢɬɢ ɨɛɢɞɜɿ ɬɪɭɛɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ, ɬɨ
ɛɚɫɟɣɧ ɦɨɠɧɚ ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɡɚ 12 ɝɨɞ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɧɚ ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɛɚ-
ɫɟɣɧ, ɜɿɞɤɪɢɜɲɢ ɥɢɲɟ ɩɟɪɲɭ ɬɪɭɛɭ?
510. Ɋɭɫɥɚɧɚ ɡɚɮɚɪɛɭɜɚɥɚ ɞɟɹɤɿ ɤɥɿɬɢɧɤɢ ɫɦɭɠɤɢ ɪɨɡɦɿɪɭ 1 × 50: 14 ɤɥɿɬɢ-
ɧɨɤ — ɭ ɡɟɥɟɧɢɣ ɤɨɥɿɪ, 12 — ɭ ɱɟɪɜɨɧɢɣ ɿ 10 — ɭ ɫɢɧɿɣ. ȼɢɹɜɢɥɨɫɹ, ɳɨ
ɠɨɞɧɿ ɞɜɿ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɿ ɤɥɿɬɢɧɤɢ ɪɿɡɧɨɝɨ ɤɨɥɶɨɪɭ ɧɟ ɦɟɠɭɸɬɶ ɨɞɧɚ ɡ ɨɞ-
ɧɨɸ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɟɹɤɿ ɬɪɢ ɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɿ ɤɥɿɬɢɧɤɢ, ɪɨɡɦɿɳɟɧɿ ɩɿɞɪɹɞ,
ɦɚɸɬɶ ɨɞɢɧ ɤɨɥɿɪ.
ɇɚɝɚɞɚɽɦɨ ɫɩɨɱɚɬɤɭ, ɹɤ ɦɢ ɞɨɜɨɞɢɦɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ 81 9.= Ɉɫɤɿɥɶɤɢ 1) ɩɪɚ-
ɜɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɽ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ (9 ≥ 0) ɿ 2) ɤɜɚɞɪɚɬ ɩɪɚɜɨʀ ɱɚɫɬɢɧɢ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɩɿɞɤɨɪɟɧɟɜɨɦɭ ɜɢɪɚɡɭ ɜ ɥɿɜɿɣ ɱɚɫɬɢɧɿ (92
= 81), ɬɨ ɪɿɜɧɿɫɬɶ 81 9= ɽ
ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ. Ɍɚɤɿ ɦɿɪɤɭɜɚɧɧɹ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢɦɟɦɨ ɞɥɹ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ ɜɥɚɫɬɢɜɨ-
ɫɬɟɣ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ, ɫɮɨɪɦɭɥɶɨɜɚɧɢɯ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɬɟɨɪɟɦ.
1. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɞɨɛɭɬɤɭ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 1. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɞɨɛɭɬɤɭ ɞɜɨɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɦɧɨɠɧɢɤɿɜ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɞɨɛɭɬɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ ɿɡ ɰɢɯ ɦɧɨɠɧɢɤɿɜ:
ɹɤɳɨ ɚ ≥ 0 ɿ b ≥ 0, ɬɨ ab = .a b⋅

17. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ 129
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ. 1) ȼɢɪɚɡɢ a ɿ b ɞɥɹ ɚ ≥ 0 ɿ b ≥ 0 ɦɚɸɬɶ ɡɦɿɫɬ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ
a ≥ 0 ɿ b ≥ 0, ɬɨ a b⋅ ≥ 0.
2) ( )
2
a b⋅ = ( ) ( )
2 2
a b⋅ = ɚb.
Ɉɬɠɟ, ɜɢɪɚɡ a b⋅ ɧɚɛɭɜɚɽ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ, ɿ ɤɜɚɞɪɚɬ ɰɶɨɝɨ ɜɢɪɚ-
ɡɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ab. Ɍɨɦɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ab a b= ⋅ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ. Ɣ
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 25 49 25 49 5 7 35.⋅ = ⋅ = ⋅ =
ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɬɟɨɪɟɦɭ 1, ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɯɨɞɢɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɞɨ-
ɛɭɬɤɭ, ɹɤɢɣ ɦɿɫɬɢɬɶ ɬɪɢ ɿ ɛɿɥɶɲɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɿ ɦɧɨɠɧɢɤɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ
ɚ ≥ 0, b ≥ 0, ɫ ≥ 0, ɬɨ:
abc = ( )ab c = ab c⋅ = a b c⋅ ⋅ .
ɍɡɚɝɚɥɿ, ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɞɨɛɭɬɤɭ ɤɿɥɶɤɨɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɦɧɨɠɧɢɤɿɜ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɨɛɭɬɤɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ ɡ ɰɢɯ ɦɧɨɠɧɢɤɿɜ.
2. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɿɡ ɞɪɨɛɭ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 2. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɿɡ ɞɪɨɛɭ, ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɹɤɨɝɨ ɽ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ, ɚ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ — ɞɨɞɚɬɧɢɦ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɦɭ ɤɨɪɟɧɸ ɡ ɱɢɫɟɥɶɧɢ-
ɤɚ, ɩɨɞɿɥɟɧɨɦɭ ɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ:
ɹɤɳɨ ɚ ≥ 0 ɿ b 0, ɬɨ .aa
b b
=
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ. 1) ȼɢɪɚɡ a
b
ɞɥɹ ɚ ≥ 0 ɿ b 0 ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ a ≥ 0 ɿ
b 0, ɬɨ a
b
≥ 0. 2)
2
a
b
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
( )
( )
2
2
a
b
= .a
b
Ɉɬɠɟ, ɪɿɜɧɿɫɬɶ aa
b b
= ɽ ɩɪɚɜɢ-
ɥɶɧɨɸ. Ɣ
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2525 5.
49 749
= =
3. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡɿ ɫɬɟɩɟɧɹ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ 3. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɚ2n
, ɞɟ ɚ ≥ 0 ɿ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ
ɱɢɫɥɨ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚn
:
2n
a = .n
a

Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ. 1) Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɚ ≥ 0, ɬɨ ɚn
≥ 0. 2) ( )
2 2
.n n
a a= Ɉɬɠɟ, ɪɿɜɧɿɫɬɶ
2n n
a a= ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ. Ɣ
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 4 2
5 5 25.= =
4. Ɍɨɬɨɠɧɿɫɬɶ 2
=a a . Ⱦɨɜɟɞɟɦɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ ɜɢ-
ɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ:
2
a = .a
ɋɩɪɚɜɞɿ, ɜɢɪɚɡ a ɧɚɛɭɜɚɽ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ, ɿ ɤɜɚɞɪɚɬ ɰɶɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚ2
(ɹɤɳɨ a ≥ 0, ɬɨ |a| = a ɿ (|a|)2
= a2
; ɹɤɳɨ a 0, ɬɨ |a| = –a ɿ (|a|)2
=
= (–a)2
= a2
). Ɉɬɠɟ, ɪɿɜɧɿɫɬɶ 2
a a= ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 2
1,8 1,8 1,8;= = 2
( 35) 35 35.− = − =
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ) 36 0,16;⋅ ɛ) 128 18;⋅ ɜ) 12 3.⋅
Ɣ ɚ) 36 0,16 36 0,16 6 0,4 2,4;⋅ = ⋅ = ⋅ =
ɛ) 128 18 (2 64) (2 9) 4 64 9 2 8 3 48;⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
ɜ) 12 3 12 3 36 6.⋅ = ⋅ = = Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 3 .
75
Ɣ 3 3 1 1.
75 25 575
= = = Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ) 4
1,5 ; ɛ) 6
0,1 ; ɜ) ( )
2 2
5 3− + .
Ɣ ɚ) 4 2
1,5 1,5 2,25;= =

ɛ) 6 3
0,1 0,1 0,001.= =
ɜ) ( )
2 2
5 3− + = |–5| + |3| = 5 + 3 = 8. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ 2 2
4 ( ) ,−a b ɞɟ a ≤ 0, b ≥ 0.
Ɣ 2 2 2 2
4 ( ) 4 ( ) 2 · 2 · ,a b a b a b a b− = ⋅ ⋅ − = − = ɛɨ .b b− =
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ a ≤ 0, b ≥ 0, ɬɨ ,= −a a .=b b Ɍɨɦɭ 2 2( ) 2 .a b a b ab= − = − Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 5. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2
9 6 1a a+ + , ɹɤɳɨ a = –5; a = 0,7.
Ɣ 2
9 6 1a a+ + = ( )
2
3 1a + = |3a + 1|.
əɤɳɨ a = –5, ɬɨ |3a + 1| = |3 · (–5) + 1| = |–14| = 14.
əɤɳɨ a = 0,7, ɬɨ |3a + 1| = |3 · 0,7 + 1| = |3,1| = 3,1. Ɣ
511. ɚ) 16 25;⋅ ɛ) 81 4;⋅ ɜ) 2 2;⋅ ɝ) 2 8.⋅
512. ɚ) 36;
49
ɛ) 64;
81
ɜ) 8 ;
2
ɝ) 45 .
5
513. ɚ) 2
2 ; ɛ) 4
2 ; ɜ) 6
2 ; ɝ) 8
2 .
514. ɚ) 2
12 ; ɛ)
2
2
;
3
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɜ) 2
( 3) ;− ɝ) 2
( 1,1) .−
515. ɚ) 16 49;⋅ ɛ) 121 81;⋅ ɜ) 0,04 36;⋅
ɝ) 2,25 0,16;⋅ ɞ) 1,44 0,25;⋅ ɟ) 441 0,01;⋅
ɽ) 9 25 64;⋅ ⋅ ɠ) 4 81 625;⋅ ⋅ ɡ) 0,36 225 16.⋅ ⋅

516. ɚ) 25 81;⋅ ɛ) 36 144;⋅ ɜ) 0,09 49;⋅
ɝ) 3,24 0,25;⋅ ɞ) 9 16 25;⋅ ⋅ ɟ) 64 0,04 225.⋅ ⋅
517. ɚ) 49;
81
ɛ) 196 ;
225
ɜ) 13 .
16
518. ɚ) 25;
64
ɛ) 121;
289
ɜ) 214 .
25
ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɨɛɭɬɤɭ ɤɨɪɟɧɿɜ:
519. ɚ) 2 7;⋅ ɛ) 21; ɜ) 5 .a
520. ɚ) 8 3;⋅ ɛ) 35; ɜ) 8 .b
ɉɨɞɚɣɬɟ ɜɢɪɚɡ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɚɫɬɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ:
521. ɚ) 3;
5
ɛ) 8 ;
17
ɜ) 2.
a
522. ɚ) 6;
7
ɛ) 11;
17
ɜ) .
5
b
523. ɚ) 32 2;⋅ ɛ) 3 27;⋅ ɜ) 50 0,5;⋅
ɝ) 12 0,03;⋅ ɞ) 1 5;
5
⋅ ɟ) 5 2 .
6 15
⋅
524. ɚ) 24 ;
6
ɛ) 11 ;
99
ɜ) 3 24 .
2
⋅
525. ɚ) 20 5;⋅ ɛ) 2 72;⋅ ɜ) 2,5 40;⋅
ɝ) 3 2;
8 3
⋅ ɞ) 18 ;
2
ɟ) 6 2 .
3
⋅
526. ɚ) 4
5 ; ɛ) 6
3 ; ɜ) 4
1,2 .
527. ɚ) 4
3 ; ɛ) 8
2 ; ɜ) 6
0,2 .

528. ɚ) 2
89 48;− ɛ) ( )22
107 107 ;+ − ɜ) ( )22
2 3,8 3,8 .⋅ − −
529. ɚ) 2
100 99 ;− ɛ) ( )22
67 67 ;− − ɜ) ( )22
1,9 1,9 .+ −
530. ɚ) 18 32;⋅ ɛ) 360 90;⋅ ɜ) 27 75;⋅
ɝ) 250 0,036;⋅ ɞ) 4,9 22,5;⋅ ɟ) 15 21 35.⋅ ⋅
531. ɚ) 250 160;⋅ ɛ) 28 63;⋅ ɜ) 0,08 0,72.⋅
532. ɚ) 45 125;⋅ ɛ) 48 27;⋅ ɜ) 0,4 490;⋅
ɝ) 640 810;⋅ ɞ) 32 0,08;⋅ ɟ) 22 14 77.⋅ ⋅
533. ɚ) 2 2
29 20 ;− ɛ) 2 2
65 16 ;− ɜ) 2 2
20,5 4,5 .−
534. ɚ) 2 2
20 16 ;− ɛ) 2 2
52 48 ;− ɜ) 2 2
6,5 2,5 .−
535. ɚ) 4 4
28 22 ;− ɛ) 10 2
2 ( 2,5) ;+ − ɜ) 4 2
1,8 ( 1,8) ;− −
ɝ) ( ) ( )
2 2
3 6 ;+ − ɞ) ( ) ( ) ( )
22 2
8,4 0,5 4,5 .− ⋅ − −
536. ɚ) 8 4
4 1,6 ;− ɛ) ( )
2
2 2
( 6,4) ( 5) 32 ;− ⋅ − −
ɜ) ( ) ( )
22
7 3 ;− − ɝ) ( ) ( ) ( )
2 22
90 135 0,6 .+ − ⋅
537. ɚ) 3
16 ; ɛ) 5
9 ; ɜ) 2 3
8 4 .⋅
538. ɚ) 5
4 ; ɛ) 3
25 ; ɜ) 3 2
9 3 .⋅

539. ɚ) 2 2
,a b ɞɟ ɚ ≥ 0, b ≥ 0; ɛ) 2 2
,a b ɞɟ ɚ ≥ 0, b ≤ 0;
ɜ) 4 6
4 ,x y ɞɟ ɭ 0; ɝ)
2
8
25 ,m
n
ɞɟ ɬ ≥ 0;
ɞ) 2 4
( ) ,a b− ɞɟ ɚ 0; ɟ) 2 2
0,04( ) ( ) ,x y− − ɞɟ ɯ 0, y 0.
540. ɚ) 4 2
,a b ɞɟ b 0: ɛ) 10 6
36 ,a b ɞɟ ɚ 0, b ≥ 0;
ɜ)
2
8
,x
y
ɞɟ ɯ ≥ 0; ɝ) 2 2
49( ) ,x y− ɞɟ ɯ ≥ 0, ɭ ≥ 0.
541. ɚ) ( )
2
2 3b − , ɹɤɳɨ b = –6; b = 1,6; ɛ) 2
2 1a a− + , ɹɤɳɨ a = –8; a = 2,7;
ɜ) ( )
2
10 3 10;− − ɝ) ( )
2
21 21 5 .+ −
542. ɚ) ( )
2
7b − , ɹɤɳɨ b = –1; b = 9,2; ɛ) 2
4 4x x− + , ɹɤɳɨ x = –3; x = 1,4;
ɜ) ( )
2
2 5 5;− − ɝ) ( )
2
4 15 15.− +
543. ɚ) 1 4 2 5 21 4 ;
7 7 5 7 7
⋅ − ⋅ ⋅ ɛ) 2 2
8 98 9 225 .
125 45 425 200
⋅ ⋅−
⋅ −
544. ɚ) 7 31,8 5 ;
9 5
⋅ ⋅ ɛ)
2 2
12,5 3,53 11 5 .
8 2 2 128
−
⋅ −
⋅
545. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɪɟɧɹ, ɧɟ ɤɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɤɚɥɶɤɭɥɹɬɨɪɨɦ:
ɚ) 139876; ɛ) 331776.
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɋɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɱɢɫɥɨ, ɡ ɹɤɨɝɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɛɭɬɢ ɤɨɪɿɧɶ, ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ. ɇɚ-
ɩɪɢɤɥɚɞ, 28224 4 4 4 9 49 2 2 2 3 7 168.= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
546. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɪɿɜɧɿɫɬɶ:
ɚ) 6 3
;x x= ɛ) 6 3
;x x= −
ɜ) 8 4
;x x= ɝ) ( )
2
2
;x x=
ɞ) 2
2 2 ;x x= ɟ) 2
2 2 ?x x= −

ɚ) 4 2 2
2 1 1;a a a+ + = + ɛ) 2
2 1 1.+ + = +x x x
548. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ 4 2 4 2
4 4 1 6 9.x x x x+ + − + +
ɚ) 2
4 ;x x= − ɛ) ( )
2
2
2 1.x x= −
ɚ) 2
1;y x= − ɛ) 2
.y x x= +
ɚ) (ɯ + 1)(ɯ – 2) + 3ɯ = ɯ2
; ɛ) 3ɯ(1 – 2ɯ) + ɯ(6ɯ + 1) = 1;
ɜ) 2
3 0;
2 3
x
x x
− =
− −
ɝ) 1 4 1.
1 2x x
+ =
− +
ɚ) 3(2ɚ – 1) – 2(ɚ + 5); ɛ) ( )2
(3 5) (2 3 ) 2 3 ;x x x+ + − +
ɜ) 2
2 2
;
3 3
xz yz
xy y
−
−
ɝ)
2
2
2 2 .
2 1
a ab a b
a a
− + −
+ +
553. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ |x| + |y|, ɹɤɳɨ:
ɚ) ɯ = –3; ɭ = –8; ɛ) ɯ = 2; ɭ = –1,8.
554. ɑɢ ɦɨɠɧɚ 85 ɬɭɪɢɫɬɿɜ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɬɪɢ ɝɪɭɩɢ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɭ ɞɪɭɝɿɣ ɝɪɭɩɿ ɛɭ-
ɥɨ ɜɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɟ ɬɭɪɢɫɬɿɜ, ɧɿɠ ɭ ɩɟɪɲɿɣ, ɚ ɜ ɬɪɟɬɿɣ — ɭɞɜɿɱɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ
ɭ ɞɪɭɝɿɣ?
555. Ɂ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 42 ɤɦ, ɜɢʀɯɚɜ ɜɚɧɬɚɠ-
ɧɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ, ɚ ɱɟɪɟɡ 6 ɯɜ — ɥɟɝɤɨɜɢɣ. Ⱦɨ ɦɿɫɬɚ B ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿ ɩɪɢɛɭɥɢ
ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɥɟɝɤɨɜɨɝɨ ɜ 1,2 ɪɚɡɭ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɜɚɧɬɚɠɧɨɝɨ.
556. ɍ ɤɨɠɧɿɣ ɜɟɪɲɢɧɿ ɲɟɫɬɢɤɭɬɧɢɤɚ ɫɬɨʀɬɶ ɮɿɲɤɚ. Ɂɚ ɨɞɢɧ ɯɿɞ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ ɮɿ-
ɲɤɭ ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɦɿɫɬɢɬɢ ɜ ɫɭɫɿɞɧɸ ɜɟɪɲɢɧɭ. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɡɿɛɪɚɬɢ ɜɫɿ ɮɿɲ-
ɤɢ ɜ ɨɞɧɿɣ ɜɟɪɲɢɧɿ ɪɿɜɧɨ ɡɚ 28 ɯɨɞɿɜ?

1. ɇɚɣɩɪɨɫɬɿɲɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ, ɩɨɜ’ɹɡɚɧɿ ɡ
ɞɨɞɚɜɚɧɧɹɦ, ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹɦ, ɦɧɨɠɟɧɧɹɦ, ɞɿɥɟɧɧɹɦ ɿ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹɦ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɜɢ-
ɪɚɡɿɜ, ɹɤɿ ɦɿɫɬɹɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ:
3 2 4 2 7 2;+ = 2 3 ;a a a+ =
5 3 3 3 2 3;− = 2 4 2 ;b b b− = −
4 2 5 3 20 6;⋅ = 4 ( 2 ) 8 ;a b ab⋅ − = −
( ) 15 615 6 : 3 2 5 3;
3 2
= = ( ) 1010 : 5 2;
5
xx x
x
= =
( ) ( )
2 2
2
4 2 4 2 16 2 32;= ⋅ = ⋅ = ( ) ( )
2 2
2
2 2 4 .a a a= ⋅ =
2. ȼɢɧɟɫɟɧɧɹ ɦɧɨɠɧɢɤɚ ɡ-ɩɿɞ ɡɧɚɤɚ ɤɨɪɟɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ:
18 9 2 9 2 3 2.= ⋅ = ⋅ =
ȼɢɤɨɧɚɧɟ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɢɧɟɫɟɧɧɹɦ ɦɧɨɠɧɢɤɚ ɡ-ɩɿɞ ɡɧɚɤɚ
ɤɨɪɟɧɹ. ɍ ɞɚɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɜɢɧɟɫɟɧɨ ɡ-ɩɿɞ ɡɧɚɤɚ ɤɨɪɟɧɹ ɦɧɨɠɧɢɤ 3.
ȼɢɧɟɫɟɦɨ ɦɧɨɠɧɢɤ ɡ-ɩɿɞ ɡɧɚɤɚ ɤɨɪɟɧɹ ɭ ɜɢɪɚɡɚɯ 2
3 ,b ɞɟ b 0, ɬɚ
2
24 ,a ɞɟ ɚ 0:
2 2
3 3 3 3b b b b= ⋅ = ⋅ = (ɹɤɳɨ b 0, ɬɨ b b= );
2 2
24 4 6 2 6 2 6= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = −a a a a (ɹɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ = −a a ).
3. ȼɧɟɫɟɧɧɹ ɦɧɨɠɧɢɤɚ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ:
3 2 9 2 9 2 18.= ⋅ = ⋅ =
Ɍɚɤɟ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɧɟɫɟɧɧɹɦ ɦɧɨɠɧɢɤɚ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ. Ɂɚ-
ɦɿɧɢɜɲɢ ɜɢɪɚɡ 3 2 ɧɚ ɜɢɪɚɡ 18, ɦɢ ɜɧɟɫɥɢ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ ɦɧɨɠɧɢɤ 3.

18. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ, ɹɤɿ ɦɿɫɬɹɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ 137
ȼɧɟɫɟɦɨ ɦɧɨɠɧɢɤ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ ɭ ɜɢɪɚɡɿ 3,a ɞɟ ɚ 0. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ
ɚ 0, ɬɨ 2
.a a a= = Ɍɨɦɭ 2 2
3 3 3 .a a a= ⋅ =
ȼɧɟɫɟɦɨ ɦɧɨɠɧɢɤ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ ɭ ɜɢɪɚɡɿ 2,c ɞɟ c 0. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ
c 0, ɬɨ ,c c= − ɡɜɿɞɤɢ 2
.c c c= − = − Ɍɨɦɭ 2 =c 2 2
2 2 .− ⋅ = −c c
4. Ɂɜɿɥɶɧɟɧɧɹ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɚɛɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ
ɞɪɨɛɭ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ, ɹɤɿ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɩɨɡɛɭɬɢɫɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɭ ɡɧɚ-
ɦɟɧɧɢɤɚɯ ɚɛɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚɯ ɞɪɨɛɿɜ:
2 5 2 52 ;
55 5 5
⋅= =
⋅
3 3 3 3 1 ;
6 6 3 6 3 2 3
⋅= = =
⋅
( )( ) ( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 21 .
6 4 26 2 6 2 6 2 6 2
+ + + += = = =
−− − + −
ȼɢɤɨɧɚɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɡɜɿɥɶɧɟɧɧɹɦ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ
ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɚɛɨ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ. Ʉɨɠɧɟ ɬɚɤɟ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɡɜɨɞɢɬɶɫɹ ɞɨ
ɦɧɨɠɟɧɧɹ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɧɚ ɩɟɜɧɢɣ ɜɢɪɚɡ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) 18 8 50;+ − ɛ) ( )( )2 3 3 2 3 3 ;− + ɜ) ( )
2
3 2 2 6.− +
Ɣ ɚ) 18 8 50 9 2 4 2 25 2 3 2 2 2 5 2 0;+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + − =
ɛ) ( )( ) ( )
2
2
2 3 3 2 3 3 2 3 3 4 3 9 3;− + = − = ⋅ − =
ɜ) ( )
2
3 2 2 6− + = ( ) ( )
2 2
3 2 3 2 2 2 6− ⋅ ⋅ + + =
= 3 2 6 2 2 6− + + = 5. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɋɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ:
ɚ) 18 6;− ɛ) ;m m+ ɜ) ɚ – b, ɞɟ ɚ 0; b 0.

Ɣ ɚ) ( )18 6 6 3 6 6 3 6 6 3 1 .− = ⋅ − = ⋅ − = −
ɛ) ȼɢɪɚɡ m m+ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ, ɹɤɳɨ m ≥ 0. Ⱦɥɹ ɬɚɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɬ ɫɩɪɚɜɞɠɭ-
ɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ ( )
2
,m m= ɬɨɦɭ:
( ) ( )
2
1 .m m m m m m+ = + = +
ɜ) ɍɪɚɯɭɜɚɜɲɢ, ɳɨ ɚ 0, b 0, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
( ) ( ) ( )( )
2 2
.a b a b a b a b− = − = − + Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ:
ɚ) ( )( ) ( )4 4 1 ;a a a a− + − − ɛ)
2
3 .
2 2 3
b
b
−
+
Ɣ ɚ) ( )( ) ( )4 4 1a a a a− + − − = ( ) ( )
2 2
16a a a− − + = 16.a −
ɛ) Ɋɨɡɤɥɚɜɲɢ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
( )
( )
( )( )
( )
2
2
2 3 3 3 33 .
22 2 3 2 3 2 3
b b b bb
b b b
− − + −− = = =
+ + +
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. ɋɩɪɨɫɬɢɬɢ ɜɢɪɚɡ 1 2 .
3 2 3 1
+
− +
Ɣ Ɂɜɿɥɶɧɢɜɲɢɫɶ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɯ ɞɪɨɛɿɜ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
1 2
3 2 3 1
+
− +
=
2( 3 1)3 2
( 3 2)( 3 2) ( 3 1)( 3 1)
−+ +
− + + −
=
=
2( 3 1)3 2
3 4 3 1
−+ +
− −
= 3 2 3 1− − + − = –3. Ɣ
ɚ) 3 7 2 7;+ ɛ) 9 3 4 3;− ɜ) 5 2 5;−

ɝ) 2 2 3 5;⋅ ɞ) ( )
2
2 2 ; ɟ) 3 2 : 2.
ȼɢɧɟɫɿɬɶ ɦɧɨɠɧɢɤ ɡ-ɩɿɞ ɡɧɚɤɚ ɤɨɪɟɧɹ:
558. ɚ) 50; ɛ) 48; ɜ) 160; ɝ) 300;
ɞ) 108; ɟ) 363; ɽ) 375; ɠ) 147.
559. ɚ) 8; ɛ) 45; ɜ) 250; ɝ) 192.
ȼɧɟɫɿɬɶ ɦɧɨɠɧɢɤ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ:
560. ɚ) 3 2; ɛ) 4 3; ɜ) 2 11; ɝ) 9 10;
ɞ) 4 0,1; ɟ) 0,1 3; ɽ) 12 ;
2
ɠ) 1 2.
2
561. ɚ) 4 5; ɛ) 3 7; ɜ) 0,2 10; ɝ) 13 .
3
562. ɚ) 12 3 4 3;+ ɛ) 2 3 2 5 2;− + ɜ) 4 7 3 2;⋅
ɝ) ( )
2
3 3 ; ɞ) ( )4 2 : 2 2 ; ɟ) ( )18 15 : 6 5 .
563. ɚ) 2 5 7 5 5;+ − ɛ) ( )
2
3 8 5 2 4 2 ;⋅ − ɜ) ( )10 10 : 2 5 .
564. ɚ) 2 3 4 2 3 6;⋅ − ɛ) 2 8 3 2 5 2;⋅ − ⋅
ɜ) ( )3 3 12 ;+ ɝ) ( )3 2 18 2;− ⋅
ɞ) 2 3 75;+ ɟ) 3 6 24;−
ɽ) ( )( )5 2 5 1 ;+ − ɠ) ( )( )4 7 4 7 ;− +
ɡ) ( )
2
3 1 2 3;− + ɢ) ( )
2
2 5 .−

565. ɚ) 2 8 3 2 12;⋅ − ⋅ ɛ) ( )5 20 5;+ ⋅
ɜ) 32 2 2;− ɝ) ( )( )3 1 3 5 ;− +
ɞ) ( )( )7 2 7 2 ;− + ɟ) ( )
2
5 2 4 5.+ −
566. ɚ) 2 3 ;+ −a a a ɛ) 4 3 2 ;− − +x y x y
ɜ) 4 9 49 ;− +c c c ɝ) 3 2 18 .−a a
567. ɚ) 4 9 ;−b b ɛ) 25 16 64 .+ −x x x
Ɂɜɿɥɶɧɿɬɶɫɹ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ (ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ) ɞɪɨɛɭ:
568. ɚ) 3 ;
5
ɛ) 7 ;
7
ɜ)
3
;
3
ɝ) 6 ;
3
ɞ)
1 ;
a
ɟ) ;a
b
ɽ) ;
2
a ɠ)
2
.
2
a
a
569. ɚ) 1 ;
2
ɛ) 3 ;
3
ɜ) 2 ;
4
ɝ) 10 ;
5
ɞ) 2 ;
a
ɟ) 3 ;b
c
ɽ) ;b
c
ɠ)
2
2 .b
b
570. ɚ) ( )( )1 2 2 2 2 18;+ − + ɛ) ( )
2
6 1 2 12 : 2;− +
ɜ) ( )( )3 2 2 3 3 2 2 3 ;+ − ɝ) ( )
2
2
( 5) 3 2 ;− − +
ɞ) 1 5 1 5 1;
2 2
− +⋅ + ɟ) ( )6 2 : 8 32 : 2 2 .−
571. ɚ) ( )( )3 1 2 3 1 27 ;− + + ɛ) ( )
2
3
6 3 6 ;− +

ɜ) ( )( )2 2 3 3 2 2 3 3 ;+ − ɝ) ( )
2
8 50 : 4 2 7 .−
572. ɚ) ( )2 3 3 ;a a a− + ɛ) ( ) ( )( )
2
2 2 2 ;x x x+ − − +
ɜ) ( ) ;a a b ab+ − ɝ) ( )( ) ( )
2
.+ − +a a a a a
573. ɚ) ( ) ( )
2 2
1 ;a b ab− + + ɛ) ( )( ) .m n m n n− + +
574. ɚ) 2
48 ,a b ɞɟ ɚ 0; ɛ) 2
0,09 ,xy ɞɟ y 0;
ɜ) 4 2
2 ,a b ɞɟ b 0; ɝ) 3
0,64 ;b
ɞ) 3 6
8 ,x z ɞɟ z 0; ɟ) 3 6
32 ,ab c ɞɟ b 0, c 0.
575. ɚ) 2
49 ,ab ɞɟ b 0; ɛ) 2 3
1,44 ,a b ɞɟ a 0;
ɜ) 4 2
18 ,x y ɞɟ y 0; ɝ) 3 3
0,04 ,x y ɞɟ x 0, y 0.
576. ɚ) 2 3a , ɞɟ ɚ 0; ɛ) 1;b
b
ɜ) 2
3 ;x x
ɝ) a ab , ɞɟ ɚ 0; ɞ) ( )1 1;c c+ + ɟ) a a b+ , ɞɟ ɚ 0.
577. ɚ) 5c , ɞɟ c 0; ɛ) 2 1 ;n
n
ɜ) 2 ;b b
ɝ) ab a , ɞɟ b 0; ɞ) 1x x + , ɞɟ x 0; ɟ) ( ) .n k n k+ +
Ɂɜɿɥɶɧɿɬɶɫɹ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ (ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ) ɞɪɨɛɭ:
578. ɚ) 2 ;
3 1−
ɛ) 1 ;
5 2+
ɜ) 14 ;
3 2 2−
ɝ) 2 3 1;
11
−
ɞ) 1 ;
m n−
ɟ) ;
3
a
a −
ɽ) 1 ;
x x+
ɠ) 2 .
2 3b +

579. ɚ) 2 ;
5 1+
ɛ) 7 3 ;
4
− ɜ) 1 ;
7 3−
ɝ) 8 ;
3 2 4+
ɞ) 1 ;
x y+
ɟ) ;
1
c
c−
ɽ) 2 ;
a a−
ɠ) 3.b
c
−
Ɋɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ:
580. ɚ) 6 2;− ɛ) 5 5;+ ɜ) 15 35;−
ɝ) 2 ;a a− ɞ) ;b b+ ɟ) 2 6 ;−x x
ɽ) ɯ2
– 3; ɠ) 5 – 4ɚ2
; ɡ) ɯ – 6, ɞɟ ɯ ≥ 0.
581. ɚ) 12 3;+ ɛ) 6 6;− ɜ) 21 15;−
ɝ) 3 2 ;x x− ɞ) ;c c− ɟ) 4 2 ;+b b
ɽ) ɚ2
– 5; ɠ) 2 – 9ɩ2
; ɡ) 7 – b, ɞɟ b ≥ 0.
582. ɚ) 14 2 ;
7 1
−
−
ɛ) 24 3 ;
2 3
− ɜ) 3 3 ;
21 7
+
+
ɝ)
2
2 ;
2
x
x
−
−
ɞ) 2
5 ;
5
a
a
+
−
ɟ) 2 2 3 .
3
b
b
+
−
583. ɚ) 3 15 ;
2 2 5
+
+
ɛ) 5 5;
5
− ɜ) 2 3 2 ;
3 2
−
−
ɝ) 2
7 ;
7
a
a
+
−
ɞ)
2
2 ;
2
x
x
−
−
ɟ) 5 .
5
m
m
−
+
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ:
584. ɚ) 3 2 2 2 1;+ = + ɛ) 11 4 6 3 2 2.+ = +
585. ɚ) 7 4 3 3 2;+ = + ɛ) 7 2 10 5 2.+ = +
586. ɚ) 1 1 ;
2 1 2 1
+
− +
ɛ) 1 1 ;
3 3 2 3 3 2
−
− +

ɜ) ;ab b
a b
−
−
ɝ)
( )( )
−
− +
x y
x xy y xy
(ɯ 0; ɭ 0).
587. ɚ) 1 1 ;
5 2 5 2
−
− +
ɛ) 3 2 4 2;
2 1
+ −
+
ɜ) 2 ;
2
m m
m
−
−
ɝ) .
x xy x
y xy y
+
−
+
ɚ) 9 4 5;+ ɛ) 4 2 3;−
ɜ) 1 1 1 1...
1 2 2 3 3 4 99 100
+ + + +
+ + + +
;
ɝ) 2 ;a b b
a ba b a b
+ −
−+ −
ɞ) :
xy yxy
xy
x yx xy
§ · −
−¨ ¸¨ ¸ −+© ¹
(ɯ 0; ɭ 0).
+ ++ − =
−− +
m n n m m n
m nmn m mn n mn
(m 0; n 0).
590. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ:
ɚ) 3 19 8 3 ;+ − ɛ) 7 4 3 7 4 3;+ + −
ɜ) 3 2 3 2 .
3 2 3 2
− ++
+ −
591. ȼɧɟɫɿɬɶ ɦɧɨɠɧɢɤ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ:
ɚ) 1 3
3
a , ɞɟ ɚ 0; ɛ) 1ab
ab
− , ɞɟ ɚ 0, b 0.

592. Ɂɜɿɥɶɧɿɬɶɫɹ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ:
ɚ) 1 ;
1 2 3+ +
ɛ) 1 .
5 2+
593. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= –2ɯ + 3.
594. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɨɤ ɩɟɪɟɬɢɧɭ ɩɚɪɚɛɨɥɢ ɭ = ɯ2
ɿ ɩɪɹɦɨʀ, ɹɤɚ ɩɪɨ-
ɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɢ (0; 3) ɿ (–1,5; 0).
ɚ)
2
2 2
5 4 2: : ;
39 3
ab ac c
bc ab
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɛ)
22 4 4 6
2 8: .
5 15
m n m n
k k
§ · § ·
− −¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
596. ɑɢ ɦɨɠɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ( ) 2
4:
4 4 16
x x x
x x x
−
+ − −
ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ 1?
597. ȼɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɦɨɫɬɚɦɢ ɩɥɚɜɟɰɶ ɦɨɠɟ ɩɪɨɩɥɢɜɬɢ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ
ɧɚ 16 ɯɜ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɸ ɜɿɞɫɬɚɧɶ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɩɥɚɜɰɹ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 60 ɦ/ɯɜ, ɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ —
40 ɦ/ɯɜ.
598*. ɋɩɥɚɜ ɦɿɞɿ ɣ ɰɢɧɤɭ, ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɦɚɫɚ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1,5 ɤɝ, ɦɿɫɬɢɬɶ 40%
ɦɿɞɿ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɪɚɦɿɜ ɨɥɨɜɚ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɨ ɰɶɨɝɨ ɫɩɥɚɜɭ, ɳɨɛ ɨɞɟɪ-
ɠɚɬɢ ɧɨɜɢɣ ɫɩɥɚɜ, ɹɤɢɣ ɦɿɫɬɢɜ ɛɢ 30% ɦɿɞɿ?
599. ɇɚ ɞɨɲɰɿ ɡɚɩɢɫɚɧɨ 99 ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɦɨɠɧɚ ɜɢɬɟɪɬɢ
ɨɞɧɟ ɡ ɧɢɯ ɬɚɤ, ɳɨ ɫɭɦɚ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɿ ɡɚɥɢɲɚɬɶɫɹ, ɛɭɞɟ ɩɚɪɧɨɸ.

19. Ɏɭɧɤɰɿɹ y x= 145
əɤɳɨ ɜɿɞɨɦɚ ɩɥɨɳɚ S ɤɜɚɞɪɚɬɚ, ɬɨ ɞɥɹ ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɣɨɝɨ ɫɬɨɪɨɧɢ ɚ ɦɨ-
ɠɧɚ ɫɤɨɪɢɫɬɚɬɢɫɶ ɮɨɪɦɭɥɨɸ .a S= Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɨɠɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɩɥɨɳɿ S
ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɽɞɢɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɬɨɪɨɧɢ ɚ, ɬɨ ɚ ɽ ɮɭɧɤɰɿɽɸ ɜɿɞ S. ɉɟɪɟɣɲɨɜɲɢ ɞɨ
ɩɪɢɣɧɹɬɢɯ ɩɨɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɣ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ ɮɭɧɤɰɿɸ .y x=
ȼɢɪɚɡ x ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ, ɹɤɳɨ ɯ ≥ 0. Ɍɨɦɭ ɨɛɥɚɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ
y x= ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
ɉɨɛɭɞɭɽɦɨ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ,y x= ɫɤɥɚɜɲɢ ɬɚɛɥɢɰɸ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɯ ɬɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɭ:
ɯ 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9
ɭ 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɿɣ ɩɥɨɳɢɧɿ ɬɨɱɤɢ, ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɹɤɢɯ ɩɨɞɚɧɿ ɜ
ɬɚɛɥɢɰɿ (ɞɢɜ. ɪɢɫ. 12). əɤɛɢ ɞɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɨɛɱɢɫɥɢɥɢ
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ ɣ ɩɨɡɧɚɱɢɥɢ ɛ ɬɨɱɤɢ ɡ ɬɚɤɢɦɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɦɢ ɧɚ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬɧɿɣ ɩɥɨɳɢɧɿ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɚɥɢ ɛ ɥɿɧɿɸ, ɹɤɚ ɽ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ =y x (ɪɢɫ. 13).
Ɋɢɫ. 12
Ɋɢɫ. 13

Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
, ɞɟ ɯ ≥ 0, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɪɚɜɨɸ ɜɿɬɤɨɸ ɩɚɪɚɛɨɥɢ. Ƚɪɚ-
ɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɦɨɠɧɚ ɨɞɟɪɠɚɬɢ, ɹɤɳɨ ɰɸ ɜɿɬɤɭ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨ ɜɿɞɨɛɪɚɡɢɬɢ
ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɪɹɦɨʀ ɭ = ɯ (ɪɢɫ. 14). Ɍɨɦɭ ɣ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɿ-
ɬɤɨɸ ɩɚɪɚɛɨɥɢ.
Ɋɢɫ. 14
Ɏɭɧɤɰɿɹ y x= ɦɚɽ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ:
1. Ɉɛɥɚɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
2. Ɉɛɥɚɫɬɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɬɟɠ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ
ɱɢɫɟɥ. ɋɩɪɚɜɞɿ, ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɧɟ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦɢ. ɍ ɬɨɣ
ɠɟ ɱɚɫ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ ɽ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿʀ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɱɢɫɥɨ 10 ɽ
ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɞɥɹ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ ɯ = 100.
3. Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɜɿɬɤɚ ɩɚɪɚɛɨɥɢ.
4. əɤɳɨ ɯ = 0, ɬɨ ɭ = 0, ɬɨɛɬɨ ɝɪɚɮɿɤ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɩɨɱɚɬɨɤ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬ. Ƚɪɚɮɿɤ ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɭ ɩɟɪɲɿɣ ɱɜɟɪɬɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨʀ ɩɥɨɳɢɧɢ.
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ .x a= Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ,x a= ɞɟ ɚ — ɞɟɹɤɟ ɱɢɫɥɨ.
əɤɳɨ ɚ ≥ 0, ɬɨ, ɡɚ ɨɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ, ɪɿɜɧɿɫɬɶ
x a= ɛɭɞɟ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɥɢɲɟ ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɳɨ ɯ = ɚ2
. ɍ ɞɚɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ
ɽɞɢɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɯ = ɚ2
.

əɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ, ɛɨ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɧɟ
ɦɨɠɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɨɦɭ ɱɢɫɥɭ.
Ɉɬɠɟ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ :x a=
1) ɦɚɽ ɽɞɢɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɯ = ɚ2
, ɹɤɳɨ ɚ ≥ 0;
2) ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɹɤɳɨ ɚ 0.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ 5x = ɦɚɽ ɽɞɢɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɯ = 52
= 25; ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2x = −
ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ =x a ɽ ɩɪɢɤɥɚɞɨɦ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɬɚɤ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɭɫɹɤɟ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɜ ɹɤɨɦɭ ɧɟɜɿɞɨɦɟ ɦɿɫɬɢɬɶɫɹ ɩɿɞ ɡɧɚɤɨɦ ɤɨɪɟɧɹ). əɤɳɨ ɚ ≥ 0, ɬɨ ɣɨɝɨ ɦɨɠɧɚ
ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɲɥɹɯɨɦ ɩɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɨɛɨɯ ɱɚɫɬɢɧ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ: ( )
2
2
;=x a ɯ = ɚ2
.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) 3 12 0;x − = ɛ) 2 4 0;x + = ɜ) 3 2 1.x + =
Ɣ ɚ) 3 12 0;x − = 3 12;x = 4;x = ɯ = 16.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 16.
ɛ) 2 4 0;x + = 2 4;x = − 2x = − — ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
ɜ) 3 2 1;x + = 3ɯ + 2 = 1; 3ɯ = –1; 1.
3
x = −
3
− Ɣ
ɚ) ɨɛɥɚɫɬɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɞɨɞɚɬɧɢɯ ɱɢɫɟɥ;
ɛ) ɮɭɧɤɰɿɹ y x= ɧɚɛɭɜɚɽ ɥɢɲɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ;
ɜ) ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɽ ɜɿɬɤɚ ɩɚɪɚɛɨɥɢ;
ɝ) ɬɨɱɤɚ (16; 4) ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= .

601. ɑɢ ɩɟɪɟɬɢɧɚɽ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɩɪɹɦɿ: ɭ = 3; ɭ = –5?
602. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɭ 15 ɡɨɛɪɚɠɟɧɨ ɝɪɚɮɿ-
ɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = –ɯ + 2 ɬɚ .=y x
ɚ) Ⱦɥɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ ɮɭɧɤɰɿʀ
ɧɚɛɭɜɚɸɬɶ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧ-
ɧɹ? ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɰɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ?
ɛ) ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
x = –ɯ + 2? ɍɤɚɠɿɬɶ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ.
Ɋɢɫ. 15
603. Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= (ɪɢɫ. 13), ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɮɭɧɤɰɿʀ, ɹɤɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ: 3; 2,5; 0,75; 5.
604. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɡɚɞɚɧɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ .y x= Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɯ, ɹɤɳɨ ɭ = 1; ɭ = 2; ɭ = 2,5.
605. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɡɚɞɚɧɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ .y x= Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭ, ɹɤɳɨ ɯ = 1; ɯ = 4; ɯ = 9.
606. Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= (ɪɢɫ. 13), ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪ-
ɝɭɦɟɧɬɭ, ɹɤɢɦ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɬɚɤɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ: 1,5; 0,5; 2,25.
607. ɑɢ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɬɨɱɤɚ: A(50; 5); B(36; 6);
ɋ(6,25; –2,5); D(3; 9)?
608. ɑɢ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ: A(225; 15); B(4; –2);
C(12,25; 3,5)?
609. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ,y x= ɞɟ 1 ≤ ɯ ≤ 9.
610. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ,y x= ɞɟ 0 ≤ ɯ ≤ 4.
611. Ʉɨɪɢɫɬɭɸɱɢɫɶ ɝɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ,y x= ɩɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɱɢɫɥɚ:
ɚ) 3,5 ɿ 5; ɛ) 5 ɿ 2,5.

612. Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ ɡ ɚɛɫɰɢɫɨɸ 25. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ
ɨɪɞɢɧɚɬɭ ɰɿɽʀ ɬɨɱɤɢ.
613. ɍɤɚɠɿɬɶ ɭɫɿ ɰɿɥɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ y x= ɦɟɧɲɿ
ɜɿɞ 6.
614. ɚ) 0,5 0;− =x x ɛ) 8 .=x
x
615. ɚ) 3 1;x x+ = + ɛ) 2
.=x x
616. ɚ) x = 1; ɛ) x = 8; ɜ) x = –4;
ɝ) 1x − = 2; ɞ) 3 2x + = 4; ɟ) x + 9 = 7;
ɽ) 0,09x − = 0,9; ɠ) 2
1x − = 1; ɡ) 2
5x + = 2.
617. ɚ) x = 10; ɛ) x = –2; ɜ) 3x + = 2;
ɝ) 2 5x − = 0,2; ɞ) 2
2x + = 1; ɟ) 2
3x + = 2.
ɚ) y x= ɬɚ ɭ = ɯ – 12; ɛ) y x= ɬɚ ɭ = 2ɯ – 6.
ɚ) 2
;y x= ɛ) ( )
2
;y x= ɜ) .xy
x
=
620. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ .x x x=
621. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
1x a+ = ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ?
622. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ:
ɚ) 2
2 2;x x x= − − ɛ) 1.x x+ − =
ɚ) ( )2 2 0;x x− + = ɛ) ( )1 2 0;x x+ − =
ɜ) 2
2 0;x x x+ + = ɝ) 2 4
2 16 0.x x x− + − =

ɚ) ( )
2
1 ;
1
a aa
a a
−− ⋅
+
ɛ) ( )3 2 5: .
2 3 3
b b
b b b
− −−
+ + +
ɚ) (x – 5)(x + 5) + 3x = –x2
– 25; ɛ) (2x – 3)(x + 2) = x2
+ x.
626. Ɂɿ 100 ɤɝ ɫɨɧɹɲɧɢɤɨɜɨɝɨ ɧɚɫɿɧɧɹ ɨɬɪɢɦɭɸɬɶ a ɤɝ ɨɥɿʀ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɨɥɿʀ
ɨɬɪɢɦɚɸɬɶ ɡ 450 ɤɝ ɬɚɤɨɝɨ ɧɚɫɿɧɧɹ?
627. ɍ ɫɿɱɧɿ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɨ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɨ 750 ɨɞɢɧɢɰɶ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ, ɭ ɥɸɬɨɦɭ —
780 ɨɞɢɧɢɰɶ. ɇɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɜɿɞɫɨɬɤɿɜ ɡɛɿɥɶɲɢɥɨɫɹ ɜɢɪɨɛɧɢɰɬɜɨ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ ɜ
ɥɸɬɨɦɭ ɩɨɪɿɜɧɹɧɨ ɿɡ ɫɿɱɧɟɦ?
628. Ɍɪɢ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ ɚ, b, ɫ ɡɚɩɢɫɚɥɢ ɭ ɪɹɞɨɤ. ɉɿɞ ɰɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɡɚɩɢɫɚɥɢ ɧɨɜɭ
ɬɪɿɣɤɭ ɱɢɫɟɥ ɚ – b, b – ɫ, ɫ – ɚ. ɑɢɫɥɚ ɬɪɟɬɶɨɝɨ ɪɹɞɤɚ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɡ ɱɢɫɟɥ
ɞɪɭɝɨɝɨ ɪɹɞɤɚ ɡɚ ɬɢɦ ɫɚɦɢɦ ɩɪɚɜɢɥɨɦ ɿ ɬ. ɞ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ
ɜɢɯɿɞɧɨʀ ɬɪɿɣɤɢ ɱɢɫɟɥ ɩɟɪɲɨɝɨ ɪɹɞɤɚ, ɫɟɪɟɞ ɱɢɫɟɥ ɪɹɞɤɿɜ, ɳɨ ɪɨɡɬɚɲɨ-
ɜɚɧɿ ɧɢɠɱɟ ɬɪɟɬɶɨɝɨ, ɧɟ ɦɨɠɟ ɬɪɚɩɢɬɢɫɶ ɚɧɿ ɱɢɫɥɨ 1000, ɚɧɿ ɱɢɫɥɨ 1001.
ɑɢɫɥɨ ɽ ɨɞɧɢɦ ɡ ɧɚɣɡɚɝɚɥɶɧɿɲɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ. ɋɩɨɱɚɬɤɭ ɰɟ ɩɨ-
ɧɹɬɬɹ ɩɨɜ’ɹɡɭɜɚɥɨɫɶ ɬɿɥɶɤɢ ɡ ɩɪɨɰɟɫɚɦɢ ɩɿɞɪɚɯɭɧɤɭ ɚɛɨ ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɧɹ. ɋɚɦɟ
ɧɚ ɰɿɣ ɨɫɧɨɜɿ ɜɢɧɢɤɥɢ ɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɥɢɫɶ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɣ ɞɪɨɛɨɜɿ ɱɢɫɥɚ, ɞɨ ɬɨ-
ɝɨ ɠ ɞɪɨɛɨɜɿ ɱɢɫɥɚ ɪɨɡɝɥɹɞɚɥɢɫɶ ɬɿɥɶɤɢ ɹɤ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ.
ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ ɧɚɣɛɿɥɶɲɟ ɰɿɤɚɜɢɥɢ ɩɿɮɚɝɨɪɿɣɰɿɜ — ɭɱɧɿɜ ɿ ɩɨɫɥɿɞɨɜ-
ɧɢɤɿɜ ɥɟɝɟɧɞɚɪɧɨɝɨ ɞɚɜɧɶɨɝɪɟɰɶɤɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ ɿ ɮɿɥɨɫɨɮɚ ɉɿɮɚɝɨɪɚ, ɹɤɢɣ
ɠɢɜ ɧɚ ɦɟɠɿ VI–V ɫɬ. ɞɨ ɧ. ɟ. ɉɿɮɚɝɨɪɿɣɰɿ ɜɜɚɠɚɥɢ, ɳɨ ɜɫɟ ɧɚ ɫɜɿɬɿ ɩɿɞɩɨɪɹɞ-
ɤɨɜɚɧɟ ɡɚɤɨɧɚɦ, ɹɤɿ ɦɨɠɧɚ ɨɩɢɫɚɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɬɚ ʀɯɧɿɦɢ ɜɿɞɧɨ-
ɲɟɧɧɹɦɢ. Ɂɜɿɞɫɢ ɜɿɞɪɚɡɭ ɠ ɜɢɩɥɢɜɚɥɨ, ɳɨ ɞɥɹ ɩɿɡɧɚɧɧɹ ɫɜɿɬɭ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɢɜɱɚ-

ɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ. ɉɪɨɬɟ ɡɝɨɞɨɦ ɩɿɮɚɝɨɪɿɣɰɿ ɡ’ɹɫɭɜɚɥɢ, ɳɨ ɜɿɞɨɦɿ ʀɦ ɱɢɫɥɚ
ɧɟ ɬɚɤɿ ɜɠɟ ɣ ɜɫɟɫɢɥɶɧɿ, ɛɨ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɧɢɯ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɜɢɪɚɡɢɬɢ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ,
ɞɨɜɠɢɧɭ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɡɿ ɫɬɨɪɨɧɨɸ 1. Ɍɟ ɿɧɬɭʀɬɢɜɧɟ ɭɹɜɥɟɧɧɹ ɩɪɨ ɱɢɫɥɨ
(ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɿ ɞɪɨɛɨɜɟ), ɹɤɟ ɜ ɥɸɞɢɧɢ ɫɮɨɪɦɭɜɚɥɨɫɹ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɜɿɤɨɜɿɱɧɨʀ
ɩɪɚɤɬɢɤɢ, ɜɢɦɚɝɚɥɨ ɭɬɨɱɧɟɧɧɹ ɣ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹ.
ɍ ɩɨɞɚɥɶɲɨɦɭ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɩɪɚɤɬɢɱɧɢɯ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɩɪɨɛɥɟɦ ɩɪɢɜɟ-
ɥɨ ɞɨ ɞɜɨɯ ɧɚɣɫɭɬɬɽɜɿɲɢɯ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɶ ɩɨɧɹɬɬɹ ɱɢɫɥɚ. ɋɩɨɱɚɬɤɭ ɤɢɬɚɣɰɿ ɭ
ȱȱ ɫɬ. ɞɨ ɧ. ɟ. ɜɜɟɥɢ ɩɨɧɹɬɬɹ ɜɿɞ’ɽɦɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ. Ⱦɪɭɝɢɣ ɧɚɩɪɹɦ ɭɡɚɝɚɥɶɧɟɧɧɹ
ɩɨɧɹɬɬɹ ɱɢɫɥɚ ɩɪɢɜɿɜ ɞɨ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɿ ɬɢɦ ɫɚɦɢɦ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɜ ɩɪɨɛɥɟɦɭ ɜɢɦɿ-
ɪɸɜɚɧɧɹ ɞɨɜɠɢɧɢ ɜɿɞɪɿɡɤɚ.
əɤɳɨ ɨɫɧɨɜɢ ɬɟɨɪɿʀ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɩɿɮɚɝɨɪɿɣɰɿ ɡɚɤɥɚɥɢ ɳɟ ɭ V ɫɬ.
ɞɨ ɧ. ɟ., ɬɨ ɫɬɪɨɝɿ ɬɟɨɪɿʀ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɛɭɥɢ ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɿ ɥɢɲɟ ɭ ɞɪɭɝɿɣ ɩɨ-
ɥɨɜɢɧɿ ɏIɏ ɫɬ.
Ɍɟɨɪɿɸ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɪɨɡɪɨɛɢɜ ɧɿɦɟɰɶɤɢɣ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ Ʉ. ȼɟɣɽɪɲɬɪɚɫɫ (1815 – 1897). ɋɜɨʀ ɬɟɨɪɿʀ ɡ ɿɧɲɢɦɢ ɩɿɞɯɨɞɚɦɢ ɞɨ
ɜɜɟɞɟɧɧɹ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɡɚɩɪɨɩɨɧɭɜɚɥɢ ɧɿɦɟɰɶɤɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ Ɋ. Ⱦɟɞɟɤɿɧɞ
(1831 – 1916) ɿ Ƚ. Ʉɚɧɬɨɪ (1845 – 1918).
Ɂɚɡɧɚɱɢɦɨ, ɳɨ ɡ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɫɬɢɤɚɥɢɫɹ ɡɚɞɨɜ-
ɝɨ ɞɨ ɫɬɜɨɪɟɧɧɹ ɫɬɪɨɝɢɯ ɬɟɨɪɿɣ. əɤɨɸ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɫɬɨɪɨɧɚ ɤɜɚɞɪɚɬɚ, ɳɨɛ ɣɨɝɨ
ɩɥɨɳɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɥɚ ɡɚɞɚɧɨɦɭ ɱɢɫɥɭ m? Ɍɚɤɭ ɡɚɞɚɱɭ ɫɬɚɜɢɥɢ ɣ ɭɦɿɥɢ
ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɬɢ ɳɟ 2 ɬɢɫ. ɪɨɤɿɜ ɞɨ ɧ. ɟ. ɜɚɜɢɥɨɧɫɶɤɿ ɜɱɟɧɿ. ɓɨɛ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɢ ɧɚ ɡɚ-
ɩɢɬɚɧɧɹ ɡɚɞɚɱɿ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɛɭɬɢ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɱɢɫɥɚ m.
əɤɳɨ ɱɢɫɥɨ m ɛɭɥɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ, ɚɥɟ ɧɟ ɛɭɥɨ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ ɿɧɲɨɝɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨ-
ɝɨ ɱɢɫɥɚ, ɬɨ ɜɚɜɢɥɨɧɹɧɢ ɲɭɤɚɥɢ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ .m Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɜɨɧɢ ɡɚ-
ɩɢɫɭɜɚɥɢ m ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɭɦɢ a2
+ b, ɞɟ b ɞɨɜɨɥɿ ɦɚɥɟ ɩɨɪɿɜɧɹɧɨ ɡ a2
, ɚ ɩɨɬɿɦ ɜɢ-
ɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɥɢ ɬɚɤɟ ɩɪɚɜɢɥɨ:
2
.
2
b
m a b a
a
= + ≈ +
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɹɤɳɨ m = 105, ɬɨ 2 5
105 10 5 10 10,25.
2 10
= + ≈ + =
⋅
ɉɟ-
ɪɟɜɿɪɢɦɨ: 10,252
= 105,0625. ɐɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɡɧɚɯɨɞɠɟɧɧɹ ɧɚɛɥɢɠɟɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɥɢ ɣ ɭ Ⱦɚɜɧɿɣ Ƚɪɟɰɿʀ, ɣɨɝɨ ɞɟɬɚɥɶɧɢɣ ɨɩɢɫ
ɞɚɜ ɞɚɜɧɶɨɝɪɟɰɶɤɢɣ ɭɱɟɧɢɣ Ƚɟɪɨɧ (ȱ ɫɬ. ɧ. ɟ.).

Ⱦɨ ɩɨɧɹɬɬɹ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɛɥɢɡɶɤɨ ɩɿɞɿɣɲɨɜ ɭɤɪɚʀɧɫɶɤɢɣ ɭɱɟɧɢɣ
Ɏɟɨɮɚɧ ɉɪɨɤɨɩɨɜɢɱ. Ⱦɨɛɭɜɚɸɱɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ ɡ ɱɢɫɟɥ 2, 3, 5, 6 ɿ ɬ. ɞ., ɹɤɿ
ɧɟ ɽ ɤɜɚɞɪɚɬɚɦɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɜɿɧ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ ʀɯ ɬɚɤ: «Ⱦɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ ɽ ɧɚ-
ɫɬɿɥɶɤɢ ɝɥɭɯɢɦɢ, ɳɨ ɜɨɧɢ ɜɡɚɝɚɥɿ ɩɨɡɛɚɜɥɟɧɿ ɬɨɱɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ». əɤ ɜɢ ɜɠɟ ɡɧɚɽ-
ɬɟ, ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɬɚɤɢɯ ɱɢɫɟɥ ɡɚɩɢɫɭɸɬɶ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɧɟɩɟɪɿ-
ɨɞɢɱɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɞɪɨɛɭ, ɬɨɦɭ ɞɨɛɭɜɚɧɧɹ ɤɨɪɟɧɹ ɿɡ ɰɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧ-
ɧɢɦ ɩɪɨɰɟɫɨɦ.
Ɏɟɨɮɚɧ ɉɪɨɤɨɩɨɜɢɱ
(1681 – 1736)
Ɏɟɨɮɚɧ ɉɪɨɤɨɩɨɜɢɱ — ɨɞɢɧ ɡ ɧɚɣɜɿ-
ɞɨɦɿɲɢɯ ɦɢɫɥɢɬɟɥɿɜ ɤɿɧɰɹ XVII – ɩɨɱɚɬɤɭ
XVIIȱ ɫɬ., ɩɪɨɮɟɫɨɪ ɬɚ ɪɟɤɬɨɪ Ʉɢɽɜɨ-
Ɇɨɝɢɥɹɧɫɶɤɨʀ ɚɤɚɞɟɦɿʀ, ɞɟɪɠɚɜɧɢɣ ɬɚ ɰɟɪ-
ɤɨɜɧɢɣ ɞɿɹɱ. Ɏɿɥɨɫɨɮ ɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ, ɩɨɟɬ ɿ
ɩɭɛɥɿɰɢɫɬ, ɜɿɧ ɡɚɥɢɲɢɜ ɡɧɚɱɧɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɬɜɨɪɿɜ. ɇɚɣɡɧɚɱɧɿɲɨɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɸ ɪɨɛɨ-
ɬɨɸ Ɏɟɨɮɚɧɚ ɉɪɨɤɨɩɨɜɢɱɚ ɽ ɤɭɪɫ ɥɟɤɰɿɣ ɡ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ «Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɤɚ ɿ ɝɟɨɦɟɬɪɿɹ, ɞɜɚ
ɩɟɪɲɿ ɣ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɩɥɨɞɨɜɢɬɿ ɩɨɱɚɬɤɢ ɦɚɬɟ-
ɦɚɬɢɱɧɢɯ ɧɚɭɤ, ɩɨɹɫɧɟɧɿ ɭ Ʉɢɽɜɨ-
Ɇɨɝɢɥɹɧɫɶɤɿɣ ɚɤɚɞɟɦɿʀ…». Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɿ ɜɿ-
ɞɨɦɨɫɬɿ, ɩɨɦɿɳɟɧɿ ɜ ɰɶɨɦɭ ɤɭɪɫɿ, ɛɭɥɢ ɧɚ
ɬɨɣ ɱɚɫ ɧɚɣɩɨɜɧɿɲɢɦɢ ɜ ɰɚɪɫɶɤɿɣ Ɋɨɫɿʀ.
Ɉɫɧɨɜɢ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ ɡɚɤɥɚɜ ɭ ɞɪɭɝɿɣ ɩɨɥɨɜɢɧɿ ɏȱɏ ɫɬɨɥɿɬɬɹ ɭɠɟ ɡɝɚɞɚ-
ɧɢɣ ɧɿɦɟɰɶɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ Ƚɟɨɪɝ Ʉɚɧɬɨɪ.
Ƚɟғɨɪɝ Ʉɚғɧɬɨɪ
(1845 – 1918)
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɩɨɧɹɬɬɹ «ɦɧɨɠɢɧɚ» ɧɚɥɟ-
ɠɢɬɶ ɞɨ ɨɫɧɨɜɧɢɯ ɩɨɧɹɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɬɨ
ɣɨɝɨ ɧɟ ɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɱɟɪɟɡ ɿɧɲɿ ɛɿɥɶɲ ɩɪɨɫɬɿ
ɩɨɧɹɬɬɹ, ɚ ɩɨɹɫɧɸɸɬɶ ɡɦɿɫɬ ɧɚ ɩɪɢɤɥɚɞɚɯ,
ɚɩɟɥɸɸɱɢ ɞɨ ɧɚɲɨʀ ɭɹɜɢ ɬɚ ɿɧɬɭʀɰɿʀ. Ɍɚɤ,
Ƚ. Ʉɚɧɬɨɪɭ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɬɚɤɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɚ
ɩɨɧɹɬɬɹ «ɦɧɨɠɢɧɚ»: ɰɟ ɨɛ’ɽɞɧɚɧɧɹ ɩɟɜɧɢɯ,
ɪɿɡɧɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ, ɡɜɚɧɢɯ ɟɥɟɦɟɧɬɚɦɢ ɦɧɨɠɢ-
ɧɢ, ɭ ɽɞɢɧɟ ɰɿɥɟ.
Ɍɟɨɪɿɹ ɦɧɨɠɢɧ ɡɞɿɣɫɧɢɥɚ ɧɟɚɛɢɹɤɢɣ
ɜɩɥɢɜ ɧɚ ɩɨɞɚɥɶɲɢɣ ɪɨɡɜɢɬɨɤ ɭɫɿɽʀ ɦɚɬɟɦɚ-
ɬɢɱɧɨʀ ɧɚɭɤɢ. ɇɚ ʀʀ ɨɫɧɨɜɿ ɛɭɥɨ ɞɚɧɨ ɫɬɪɨɝɟ

ɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɿɣɫɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ, ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɿ ɨɫɧɨɜɧɿ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɬɟɨɪɿʀ ɮɭɧɤɰɿɣ
ɞɿɣɫɧɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ.
ɍ ɛɭɞɶ-ɹɤɿɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿɣ ɞɢɫɰɢɩɥɿɧɿ ɨɛ’ɽɤɬɢ, ɹɤɿ ɜɨɧɚ ɜɢɜɱɚɽ, ɭɬɜɨɪɸ-
ɸɬɶ ɩɟɜɧɿ ɦɧɨɠɢɧɢ. Ɍɨɦɭ ɛɚɝɚɬɨ ɚɜɬɨɪɢɬɟɬɧɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɿɜ ɭɛɚɱɚɥɢ ɜ ɤɚɧɬɨ-
ɪɨɜɿɣ ɬɟɨɪɿʀ ɦɧɨɠɢɧ ɬɭ ɨɫɧɨɜɭ, ɧɚ ɹɤɿɣ ɦɨɠɧɚ ɛɭɥɨ ɛ ɜɢɤɥɚɫɬɢ ɡ ɽɞɢɧɢɯ ɩɨɡɢ-
ɰɿɣ ɡɦɿɫɬ ɧɿɛɢɬɨ ɞɚɥɟɤɢɯ ɨɞɢɧ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɪɨɡɞɿɥɿɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ.
1. əɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɽ ɮɭɧɤɰɿɹ ɭ = ɯ2
?
2. əɤ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
?
3. ɓɨ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ?
4. ɓɨ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ?
Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɜɢɪɚɡ a ? əɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɦɨɠɟ
ɧɚɛɭɜɚɬɢ ɜɢɪɚɡ a ?
5. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= ɚ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ? ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ
ɦɚɽ ɰɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɳɨ ɚ 0; ɚ = 0; ɚ 0?
6. ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɩɪɢɤɥɚɞ ɦɧɨɠɢɧɢ ɬɚ ɞɟɹɤɨʀ ʀʀ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɢ.
7. ɍ ɜɢɝɥɹɞɿ ɹɤɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ?
8. ɍ ɜɢɝɥɹɞɿ ɹɤɢɯ ɞɪɨɛɿɜ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ?
9. əɤɿ ɱɢɫɥɚ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ?
10. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡ ɞɨɛɭɬɤɭ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɦɧɨɠ-
ɧɢɤɿɜ? Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɬɟɨɪɟɦɭ.
11. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɿɡ ɞɪɨɛɭ a
b
, ɞɟ ɚ ≥ 0, b 0?
Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɬɟɨɪɟɦɭ.
12. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɡɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɚ2n
, ɞɟ ɚ ≥ 0? Ⱦɨɜɟ-
ɞɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɭ ɬɟɨɪɟɦɭ.
13. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2
a ?
14. ɇɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɜɢɪɚɡɭ 2 b ɩɨɤɚɠɿɬɶ, ɹɤ ɜɧɟɫɬɢ ɦɧɨɠɧɢɤ ɩɿɞ ɡɧɚɤ
ɤɨɪɟɧɹ.
15. ɇɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɜɢɪɚɡɭ 16b ɩɨɤɚɠɿɬɶ, ɹɤ ɜɢɧɟɫɬɢ ɦɧɨɠɧɢɤ ɡ-ɩɿɞ
ɡɧɚɤɚ ɤɨɪɟɧɹ.

16. ɇɚ ɩɪɢɤɥɚɞɿ ɜɢɪɚɡɿɜ 1
3
ɿ 1
2b −
ɩɨɤɚɠɿɬɶ, ɹɤ ɡɜɿɥɶɧɢɬɢɫɹ ɜɿɞ
ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ.
17. əɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɦɚɽ ɮɭɧɤɰɿɹ ?y x=
629. Ⱦɚɧɨ ɱɢɫɥɚ: –25; 3,8; 8; 0; –2,1; 5 ; 2 ;
9
0,(6); 3;− 1; 12 ;
3
− π;
0,10110111011110... (ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɨɞɢɧɢɰɶ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɨ ɡɛɿɥɶɲɭɽɬɶɫɹ ɧɚ 1).
ȱɡ ɞɚɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɜɢɩɢɲɿɬɶ: ɚ) ɭɫɿ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ; ɛ) ɭɫɿ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ; ɜ) ɭɫɿ
ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ; ɝ) ɭɫɿ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ.
630. Ⱦɚɧɨ ɦɧɨɠɢɧɭ Ɇ = {–2; 1,5; 6,(25); 7; 10; 3;− 25}.
ɚ) ɑɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ, ɳɨ: 1,5 ∈ Ɇ; 6 ∈ Ɇ; 7 ∉ Ɇ; 25 ∉ Ɇ?
ɛ) Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɭ ɦɧɨɠɢɧɢ Ɇ, ɹɤɿɣ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɭɫɿ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ ɦɧɨ-
ɠɢɧɢ Ɇ; ɭɫɿ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ.
ɜ) ɑɢ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ Ɇ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɦɧɨɠɢɧɢ Q; ɦɧɨɠɢɧɢ R?
631. ɉɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɱɢɫɥɚ:
ɚ) 1,138 ɿ 1,183; ɛ) –3,4 ɿ –3,5; ɜ) 5
24
ɿ 2 ;
9
ɝ) –0,3 ɿ 1;
3
−
ɞ) 5 ɿ 2,5; ɟ) 10− ɿ –π; ɽ) 1,13745... ɿ 1,1375... .
632. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɛɥɢɠɟɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ, ɨɤɪɭɝɥɢɜɲɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɞɨ
ɫɨɬɢɯ:
ɚ) 2,7 – 5; ɛ) 5 3,6; ɜ) 10 3;− ɝ) 4,5 5,5.+
ɚ) ;x ɛ) ;x− ɜ) ;x− ɝ) 2
x .
634. ɚ) 16 625;+ ɛ) 64 2,25 10 1,21;⋅ −
ɜ) 2 981 2 ;
3 16
+ ɝ) 0,01 4900 0,1 90000;⋅ −
ɞ) ( )( )361 289 2,25 6,25 ;− − ɟ) ( ) 710000 99 : 1 1 .
9
§ ·
− −¨ ¸
© ¹

635. ɚ) 9 36;⋅ ɛ) 160 40;⋅ ɜ) 15 24 40;⋅ ⋅
ɝ) 20 500;⋅ ɞ) 24 6;⋅ ɟ) 0,02 0,32.⋅
636. ɚ) 25 16;
36 81
− ɛ) 160 60 ;
10 15
+ ɜ)
1 2 8 724 .
2 25 21 84
⋅⋅ −
⋅
637. ɚ) 10 8
2 2 ;− ɛ) 2 2
41 ( 41) ;+ − ɜ) 2 2
( 15) ( 1,2) .− ⋅ −
638. ɚ) 5 6 7 6 4 6;− + ɛ) ( )( )3 2 2 3 1 3 3;− + +
ɜ) ( )
2
5 2 2 3 4 10;+ − − ɝ) ( )( ) ( )
2
7 2 7 2 3 3 .− + +
639. ɚ) ( )3 ;a a a+ − ɛ) ( )( )4 3 1 ;b b b− + −
ɜ) ( )( )1 1 1;x x− + + ɝ) ( )
2
2
2 3 4 9 .a b a b− − −
640. ɚ) 28; ɛ) 200; ɜ) 243.
641. ɚ) 4
3 ;x ɛ) 2
8 ,a ɞɟ ɚ 0; ɜ) 2
98 ,ab ɞɟ b 0.
642. ɚ) 3 2; ɛ) 5 10; ɜ) 0,4 30.
643. ɚ) ;c c ɛ) 7,m ɞɟ m 0; ɜ) 19 ,n m ɞɟ n 0.
ɚ) 15 10;− ɛ) 10 10;+ ɜ) 7 3 ;a a−
ɝ) 4,c − ɞɟ ɫ 0; ɞ) 2
6;m − ɟ) 2 .n n+
ɚ) 21 7 ;
3 1
−
−
ɛ) 3 ;
3
b
b
−
−
ɜ) 5 ;
5
a
a
−
+
ɝ)
2
10 ;
10
c
c
−
−
ɞ) 2
2 ;
2
x
x
−
−
ɟ) ( 0).b ab b
a b
+
−

ɚ) 1 ;
8
ɛ) 5 ;
2 10
ɜ) 2 ;
5 2−
ɝ) 1 .
3 2m n−
647. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ 9 4 5 5 2.− = −
648. ɚ) 1 1 ;
2 2 3 2 2 3
−
− +
ɛ) 2 3 3 .
3 1 3 1
−
− +
649. ɚ) 1 1 ;
a b a b
−
− +
ɛ) .
xyx
x yx y
+
−+
650*. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ:
ɚ) 6 5 14 5;+ − ɛ) 11 2 10 11 2 10.+ − −
651. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ: 8 4 4
4 4 2.a a a+ + = +
652. ɚ) ɯ2
= 25; ɛ) ɯ2
= 0,09; ɜ) 3ɯ2
= 21; ɝ) 2ɯ2
= –0,2.
653. ɚ) (2ɯ – 1)2
+ (2ɯ + 1)2
= 42; ɛ) (5ɯ – 4)2
= 9 – 40ɯ.
654. ɚ) (4ɯ – 3)2
= 49; ɛ) (ɯ2
– 4)2
= 144.
655*. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (2x + ɚ)2
+ ɚ2
= 1 ɦɚɽ ɽɞɢɧɢɣ
ɤɨɪɿɧɶ.
656. ɚ) x = 4; ɛ) x = 0; ɜ) x = –2;
ɝ) 1x − = 0,5; ɞ) 2
2x + = 1; ɟ) 2
8x + = 3.
657*. ɚ) ( )1 ;x x x+ = ɛ) 2 1;x x+ + = − ɜ) 2
0.x x+ =
658. Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ (–5; 25). Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢ-
ɧɚɬɢ ɬɨɱɤɢ, ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɨʀ ɞɚɧɿɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɨɫɿ ɭ. ɑɢ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɡɧɚɣɞɟɧɚ ɬɨ-
ɱɤɚ ɝɪɚɮɿɤɭ ɡɚɞɚɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ?
659. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɬɚ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɨɤ ʀɯ ɩɟɪɟɬɢɧɭ:
ɚ) ɭ = ɯ2
ɬɚ ɭ = 1,5 – 0,5ɯ; ɛ) ɭ = 2ɯ – 1 ɬɚ .y x=

660. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
= 1,5ɯ + 1; ɛ) ɯ2
+ 2 = –3ɯ;
ɜ) 4 5;x x= − + ɝ) 1 .x
x
=
661. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭɫɬɚɧɨɜɿɬɶ, ɱɢ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2 1 2.
5
= −x x
662*.Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭɫɬɚɧɨɜɿɬɶ, ɫɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ ,= − −x x a ɹɤɳɨ ɚ = –1; ɚ = 0; ɚ = 1.
ɚ)
2
;
2
+
=
x x x
y ɛ) 2
;y x x=
ɜ)
, ɹɤɳɨ 0;
, ɹɤɳɨ 0;
x x
y
x x
°
= ®
≥°¯
ɝ)
2
.xy
x
=
664*. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = 2x + ɚ ɬɚ ɭ = x2
ɩɟ-
ɪɟɬɢɧɚɸɬɶɫɹ ɜ ɬɨɱɰɿ (3; 9). Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɿɧɲɨʀ ɬɨɱɤɢ ɩɟɪɟɬɢɧɭ
ɰɢɯ ɝɪɚɮɿɤɿɜ.
665*. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x = –ɯ – 0,1 ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.

Ɋɿɜɟɧɶ 1
1. ɍɤɚɠɿɬɶ ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɟ ɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ:
ɚ) 5 — ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ; ɛ) 2
3
— ɞɿɣɫɧɟ ɱɢɫɥɨ;
ɜ) 3 — ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ; ɝ) 5 — ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ.
2. əɤɚ ɡ ɪɿɜɧɨɫɬɟɣ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ?
ɚ) 36 4;= ɛ) 49 7;= − ɜ) 0,16 0,4;= ɝ) 0,4 0,2= .
16
⋅ + .
ɚ) 324 ;
4
ɛ) 147 ;
4
ɜ) 348 ;
4
ɝ) 60.
4. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ( ) ( )4 2 2 2 2 4− − − .
ɚ) 6 2 12;− ɛ) 2 2 12;− ɜ) 6 2 4;− ɝ) 2 2 4.−
5. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 3 2 3,− ɨɤɪɭɝɥɢɜɲɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɞɨ
ɞɟɫɹɬɢɯ.
ɚ) 5,9; ɛ) 2,5; ɜ) 2,4; ɝ) 2,8.
6. əɤɚ ɡ ɬɨɱɨɤ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤɭ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭ = ɯ2
?
ɚ) A(16; 4); ɛ) B(4; 8); ɜ) C(4; 16); ɝ) D(–4; 8).
Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. Ⱦɨɛɟɪɿɬɶ ɞɨ ɤɨɠɧɨɝɨ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ (1–4) ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ (Ⱥ–Ⱦ).
1) 25 0,49;⋅ Ⱥ) 9;
2) 9 ;
0,04
Ȼ) –9;
3) 27 ;
3
ȼ) 3,5;
4) 2
( 9) .− Ƚ) 3;
Ⱦ) 15.

ɚ) ( )( )3 2 2 3 5 16;− − − ɛ) ( )( )1 1 .a a a− + −
ɚ) 10 2 ;
5 1
−
−
ɛ) 4 80 .
1 5
−
−
ɚ) 2
2( 3) 12;x − = ɛ) ( 2)( 2) 1.x x− + = −
11. ɑɢ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ, ɡɚɞɚɧɨʀ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ,y x= ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ
(1,69; 1,3)?
Ɋɿɜɟɧɶ 3
ɚ) 2,8 6,3;⋅ ɛ) 48 16 ;
43
− ɜ) ( )
2
2 7 2 4 14.− +
ɚ) 3 2 12 48;− + ɛ) 11 11 .
2 5 3 2 5 3
−
− +
ɚ) 2 ;
6 2−
ɛ) .
2 1
x
x +
ɚ) 3 ;
3
a
a
−
+
ɛ) ,a b
a ab
−
+
ɞɟ a 0, b ≥ 0.
16. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
= –0,5ɯ + 1,5.
Ɋɿɜɟɧɶ 4
17. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɪɿɜɧɿɫɬɶ?
ɚ) 6 3
;x x= ɛ) 2 4
;x x x= − ɜ) x x= − .

ɚ) : ;
2
a ba b
a b ab a b
−−
+ + +
ɛ) ( )
2
2 3 2 3 .+ + −
ɚ) 2
2 2;− =x ɛ) ( 1)( 2) 2 1 0.− + + =x x x
20. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ( )19 8 3 4 3x x+ ⋅ − + ɧɟ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ
ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ.
21. Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɝɪɚɮɿɤɿɜ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭɫɬɚɧɨɜɿɬɶ, ɱɢ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
0,5.x x+ =

x + 10
x 600
ɯ ɯ( + 10) = 600;
ɯ ɯ2
+ 10 – 600 = 0 — ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ
§ 3.

162 § 3. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
1. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɍ 7 ɤɥɚɫɿ ɦɢ ɪɨɡɝɥɹɞɚɥɢ ɥɿɧɿɣɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɨɞ-
ɧɿɽɸ ɡɦɿɧɧɨɸ, ɬɨɛɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax = b, ɞɟ ɯ — ɡɦɿɧɧɚ, a ɿ b — ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ
(ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ). Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ax = b ɦɿɫɬɢɬɶ ɡɦɿɧɧɭ ɯ ɥɢɲɟ ɜ ɩɟɪɲɨɦɭ
ɫɬɟɩɟɧɿ, ɿ ɹɤɳɨ ɚ ≠ 0, ɬɨ ɫɚɦɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɳɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɩɟɪɲɨɝɨ ɫɬɟ-
ɩɟɧɹ ɡ ɨɞɧɿɽɸ ɡɦɿɧɧɨɸ.
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɚɞɚɱɭ, ɹɤɚ ɩɪɢɜɨɞɢɬɶ ɞɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɳɨ ɦɿɫɬɢɬɶ ɡɦɿɧɧɭ ɜ ɞɪɭ-
ɝɨɦɭ ɫɬɟɩɟɧɿ (ɭ ɤɜɚɞɪɚɬɿ).
Ɂɚɞɚɱɚ. ɉɥɨɳɚ ɞɿɥɹɧɤɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 600 ɦ2
. Ⱦɨɜɠɢɧɚ ɞɿɥɹɧ-
ɤɢ ɧɚ 10 ɦ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɢɪɢɧɢ. Ɂɧɚɣɬɢ ɲɢɪɢɧɭ ɞɿɥɹɧɤɢ.
ɇɟɯɚɣ ɲɢɪɢɧɚ ɞɿɥɹɧɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɯ ɦ. Ɍɨɞɿ ɞɨɜɠɢɧɚ ɞɿɥɹɧɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
(ɯ + 10) ɦ, ɚ ɩɥɨɳɚ — ɯ(ɯ + 10) ɦ2
. Ɂɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ ɰɹ ɩɥɨɳɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
600 ɦ2
, ɬɨɦɭ ɦɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ(ɯ + 10) = 600, ɡɜɿɞɤɢ
ɯ2
+ 10ɯ – 600 = 0.
Ɉɞɟɪɠɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ
ax2
+ bx + ɫ = 0,
ɞɟ ɯ — ɡɦɿɧɧɚ, ɚ, b ɿ c — ɞɟɹɤɿ ɱɢɫɥɚ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ ɚ ≠ 0.
ɑɢɫɥɚ ɚ, b ɣ c ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ — ɩɟɪɲɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ; b — ɞɪɭɝɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ; ɫ — ɜɿɥɶɧɢɣ ɱɥɟɧ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 7ɯ2
– 3ɯ + 5 = 0 — ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɭ ɹɤɨɦɭ ɩɟɪɲɢɣ ɤɨɟ-
ɮɿɰɿɽɧɬ ɚ = 7, ɞɪɭɝɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ b = –3, ɜɿɥɶɧɢɣ ɱɥɟɧ ɫ = 5.
əɤɳɨ ɭ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɦɭ ɪɿɜɧɹɧɧɿ ɩɟɪɲɢɣ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1, ɬɨ ɬɚɤɟ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɡɜɟɞɟɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ. Ɍɚɤ, ɯ2
+ 10ɯ – 600 = 0
— ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
Ȼɭɞɶ-ɹɤɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɟ ɧɟ ɽ ɡɜɟɞɟɧɢɦ, ɦɨɠɧɚ ɩɟɪɟɬɜɨɪɢɬɢ ɭ
ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɣɨɦɭ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ 7ɯ2
– 3ɯ + 5 = 0 ɧɟ ɽ ɡɜɟɞɟɧɢɦ. ɉɨɞɿɥɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɣɨɝɨ ɱɚɫɬɢɧɢ ɧɚ ɩɟɪɲɢɣ
ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ, ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 3 5 0.
7 7
x x− + =

20. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɇɟɩɨɜɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 163
2. ɇɟɩɨɜɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. əɤɳɨ ɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɦɭ ɪɿɜɧɹɧɧɿ
ax2
+ bx + ɫ = 0 ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɢɧ ɡ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɿɜ b ɚɛɨ ɫ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɬɚɤɟ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɧɟɩɨɜɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɯ2
+ 9ɯ = 0, 5ɯ2
– 125 = 0, 4ɯ2
= 0
ɽ ɧɟɩɨɜɧɢɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦɢ. ɍ ɩɟɪɲɨɦɭ ɪɿɜɧɹɧɧɿ c = 0, ɭ ɞɪɭɝɨ-
ɦɭ — b = 0, ɭ ɬɪɟɬɶɨɦɭ — b = 0 ɿ ɫ = 0.
Ɉɬɠɟ, ɽ ɬɪɢ ɜɢɞɢ ɧɟɩɨɜɧɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ:
1) ax2
+ bx = 0 (b ≠ 0); 2) ax2
+ ɫ = 0 (ɫ ≠ 0); 3) ax2
= 0.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɧɟɩɨɜɧɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ
ʋ ȼɢɞ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɉɪɢɤɥɚɞ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɿ ɣɨɝɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ
1. ax2
+ bx = 0
3x2
– 6x = 0.
3x(x – 2) = 0. Ɂɜɿɞɫɢ x = 0 ɚɛɨ x – 2 = 0; x = 2.
2. ax2
+ c = 0
1) 2x2
– 8 = 0.
2x2
= 8; x2
= 4. Ɂɜɿɞɫɢ x = –2 ɚɛɨ x = 2.
2) 2x2
+ 8 = 0.
2x2
= –8; x2
= –4. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
3. ax2
= 0
7x2
= 0.
x2
= 0. Ɂɜɿɞɫɢ x = 0.
Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ x2
= 0 ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ x ⋅ ɯ = 0. ɉɟɪɲɢɣ
ɦɧɨɠɧɢɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ, ɹɤɳɨ x = 0, ɞɪɭɝɢɣ — ɬɟɠ, ɹɤɳɨ ɯ = 0. Ɍɨɦɭ ɿɧɤɨɥɢ
ɤɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
= 0 ɦɚɽ ɞɜɚ ɪɿɜɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿ ɯ1 = 0 ɬɚ ɯ2 = 0.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2ɯ2
+ 11ɯ = 0.
Ɣ ɯ(2ɯ + 11) = 0. Ɂɜɿɞɫɢ ɯ = 0 ɚɛɨ: 2ɯ + 11 = 0; ɯ = –5,5.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –5,5; 0. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2,5ɯ(ɯ – 2) – 7,5 = –5ɯ.
Ɣ 2,5ɯ2
– 5ɯ – 7,5 = –5ɯ; 2,5ɯ2
– 7,5 = 0; ɯ2
= 3; ɯ1 = – 3 ; ɯ2 = 3 .
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 3;− 3. Ɣ

666. əɤɟ ɡ ɪɿɜɧɹɧɶ ɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ?
ɚ) 4ɯ + 52
= 0; ɛ) 7ɯ2
– ɯ – 3 = 0; ɜ) 2
1 2 3 0;x
x
+ − =
ɝ) 9ɯ2
= 0; ɞ) –ɯ2
+ 2 = 0; ɟ) –6ɭ2
– 24ɭ = 0.
667. əɤɟ ɡ ɪɿɜɧɹɧɶ ɽ ɧɟɩɨɜɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ? ɡɜɟɞɟɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ
ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ?
ɚ) ɯ2
+ 5ɯ – 2 = 0; ɛ) 7ɯ2
+ 1,8 = 0; ɜ) –ɯ2
– 2ɯ = 0;
ɝ) ɯ2
+ 3 ɯ = 0; ɞ) 3ɯ2
+ 7ɯ + 1 = 0; ɟ) ɯ2
= 0.
668. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɧɟɩɨɜɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– 4 = 0; ɛ) ɭ2
– 2ɭ = 0; ɜ) 5ɯ2
= 0.
669. Ɂɚɩɨɜɧɿɬɶ ɬɚɛɥɢɰɸ:
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ax2
+ bx + ɫ = 0 a b c
4 1 3
–2x2
– 3x + 1 = 0
1 0 –24
3 –5 0
5x2
– 8 = 0
7 0 0
670. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ:
ɚ) ɚ = 2; b = –3; ɫ = 1; ɛ) ɚ = 3; b = 0; ɫ = –7;
ɜ) ɚ = –1; b = 4; ɫ = 5; ɝ) ɚ = 2; b = 0; ɫ = 0.
671. ɚ) ɯ2
– 36 = 0; ɛ) 2ɯ2
– 4 = 0; ɜ) ɯ2
+ 49 = 0.
672. ɚ) ɯ2
– 64 = 0; ɛ) –6ɯ2
+ 18 = 0; ɜ) 2ɯ2
+ 8 = 0.
673. ɚ) ɯ2
– 3ɯ = 0; ɛ) –5ɯ2
+ 20ɯ = 0; ɜ) ɯ2
+ 3,5ɯ = 0.

20. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɇɟɩɨɜɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 165
674. ɚ) 4ɯ2
+ 8ɯ = 0; ɛ) 3ɯ2
– 81ɯ = 0; ɜ) 2,2ɯ2
– 8,8x = 0.
675. ɚ) 7 – 2ɯ2
= 7 + 0,5ɯ2
; ɛ) 2ɯ2
– 3ɯ = 2x; ɜ) 2x(x – 3) = x2
.
676. ɚ) 5ɯ2
– 3 = ɯ2
– 3; ɛ) ɯ2
+ 15x = 8x; ɜ) x(ɯ – 2) = –x2
.
Ɂɜɟɞɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨ ɜɢɝɥɹɞɭ ax2
+ bx + ɫ = 0:
677. ɚ) ɯ(3ɯ – 2) + 4 = 0; ɛ) 5ɯ(ɯ + 3) = 2ɯ2
+ 1; ɜ) ɯ(ɯ – 9) = 4ɯ(ɯ + 7).
678. ɚ) 7ɯ2
– 2 = 4ɯ + 5; ɛ) (ɯ + 1)ɯ = 5; ɜ) ɯ2
= 6ɯ2
– 3(ɯ – 4).
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɸ:
679. ɚ) 2ɯ2
+ 2x – 6 = 0; ɛ) –3ɯ2
– 10ɯ + 8 = 0.
680. ɚ) 5ɯ2
– 9ɯ + 2 = 0; ɛ) –ɯ2
+ 12ɯ + 6 = 0.
681. ɚ) 5ɯ2
– 7ɯ + 3 = 3ɯ2
+ 2ɯ + 3; ɛ) ɯ2
– 13ɯ + 8 = 3ɯ2
– 13ɯ;
ɜ) 2ɯ2
– (5ɯ – 1) = 17 – 5ɯ; ɝ) (ɯ + 2)2
+ (ɯ – 2)2
= 3ɯ2
– 9;
ɞ) 6ɯ2
+ 9ɯ – 1 = (2ɯ + 1)(2ɯ – 1); ɟ) ( )( )4 2 2x x− + = ɯ(1 – ɯ) – 8;
ɽ) 0,2ɯ2
– ɯ(0,5ɯ – 1) = ɯ – 9; ɠ) 0,3ɯ(ɯ – 4) + 1,2ɯ – 2,7 = 2,7.
682. ɚ) 2ɯ2
– 3ɯ + 7 = 7ɯ2
+ ɯ + 7; ɛ) 3 – 2ɯ = ɯ(ɯ – 2);
ɜ) (3ɯ – 5)(3ɯ + 5) = 6ɯ2
– 25 + 15ɯ; ɝ) ( )( )2 5 2 5− +x x = (ɯ – 1) 2
– 6;
ɞ) (ɯ + 0,4)2
+ (ɯ – 0,4)2
= 0,64; ɟ) 3ɯ(2ɯ + 0,6) – 2ɯ2
– 0,64 = 1,8ɯ.
683. ɚ) 2 3( 15)
(2 3) ;
5
x
x
+
− = ɛ)
( 1)( 2) ( 3)( 4)
.
3 7
x x x x+ + + +
=
684. ɚ) 15 6( 1)(2 5) ;
2
xx x −+ − = ɛ)
( 2)( 2) ( 1)( 3)
.
4 3
x x x x− + − +
=
685. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɦɟɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɯ2
+ 5ɯ)(ɯ2
– 36) = 0.
686. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɯ2
– 49)(ɯ2
– 8ɯ) = 0.
687. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ( 2 3 1x − )( 2 3 1x + ) ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ 17.

688. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ (2ɯ – 7)(ɯ + 4) ɞɨɪɿɜɧɸɽ –28?
689. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɯ2
– 5ɯ + 7 ɧɚ 4 ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɟ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2ɯ2
+ 4ɯ + 3?
690. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɿ ɭ 17 ɪɚɡɿɜ ɦɟɧɲɿ ɜɿɞ ɫɜɨʀɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ.
691. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɱɢɫɥɨ 2 ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ?
ɚ) ɚ2
ɯ2
– 7ɯ + 2ɚ + 14 = 0; ɛ) 3ɯ2
+ (ɚ2
– 1)ɯ – 18 = 0.
ɚ) 2ɯ2
– (ɚ2
– 3ɚ)ɯ = 0; ɛ) ɚɯ2
+ ɚ2
– 2 = 0.
ɚ) ɚɯ2
+ 1 = 0; ɛ) ɯ2
– 2ɚɯ = 0; ɜ) ɚɯ2
– ɚ3
= 0.
694. ɉɨɞɚɣɬɟ ɬɪɢɱɥɟɧ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɞɜɨɱɥɟɧɚ:
ɚ) 4m2
– 4m + 1; ɛ) 4x2
+ 12x + 9; ɜ) 49x2
– 28xy + 4y2
.
695. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
ɚ)
2
10 25
5
x x
x
− +
−
, ɹɤɳɨ ɯ = 12,5; ɛ)
2 6
6 9
y
y y
+
+ +
, ɹɤɳɨ ɭ = 1,21.
696. Ɂ ɩɭɧɤɬɿɜ A ɿ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 240 ɤɦ, ɜɢɪɭɲɚɸɬɶ ɨɞɧɨ-
ɱɚɫɧɨ ɞɜɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿ. əɤɳɨ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿ ɪɭɯɚɬɢɦɭɬɶɫɹ ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ ɨɞɢɧ ɨɞ-
ɧɨɦɭ, ɬɨ ɡɭɫɬɪɿɧɭɬɶɫɹ ɱɟɪɟɡ 2 ɝɨɞ. əɤɳɨ ɠ ɜɨɧɢ ʀɯɚɬɢɦɭɬɶ ɜ ɨɞɧɨɦɭ ɧɚ-
ɩɪɹɦɤɭ, ɬɨ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ, ɳɨ ɜɢʀɯɚɜ ɡ ɩɭɧɤɬɭ B, ɧɚɡɞɨɠɟɧɟ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ,
ɹɤɢɣ ɜɢʀɯɚɜ ɡ ɩɭɧɤɬɭ A, ɱɟɪɟɡ 12 ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɨɠɧɨɝɨ ɚɜɬɨ-
ɦɨɛɿɥɹ.
697. ɍ ɮɟɪɦɟɪɫɶɤɨɦɭ ɝɨɫɩɨɞɚɪɫɬɜɿ ɩɲɟɧɢɰɿ ɡɿɛɪɚɥɢ ɧɚ 40% ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɹɱ-
ɦɟɧɸ. 20% ɡɿɛɪɚɧɨʀ ɩɲɟɧɢɰɿ ɣ 30% ɡɿɛɪɚɧɨɝɨ ɹɱɦɟɧɸ ɩɪɨɞɚɥɢ, ɳɨ ɪɚ-
ɡɨɦ ɫɬɚɧɨɜɢɥɨ 29 ɬ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɩɲɟɧɢɰɿ ɣ ɫɤɿɥɶɤɢ ɬɨɧɧ ɹɱɦɟɧɸ ɡɿɛɪɚ-
ɥɢ ɜ ɝɨɫɩɨɞɚɪɫɬɜɿ?

21. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 167
698. ɍ ɲɤɨɥɿ ɜɿɞɛɭɥɢɫɹ ɬɪɢ ɨɥɿɦɩɿɚɞɢ. Ɂ’ɹɫɭɜɚɥɨɫɹ, ɳɨ ɜ ɤɨɠɧɿɣ ɡ ɧɢɯ ɛɪɚɥɢ
ɭɱɚɫɬɶ ɩɨ 50 ɭɱɧɿɜ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ 60 ɭɱɧɿɜ ɩɪɢɯɨɞɢɥɢ ɬɿɥɶɤɢ ɧɚ ɨɞɧɭ ɨɥɿɦɩɿɚ-
ɞɭ, ɚ 30 ɭɱɧɿɜ — ɪɿɜɧɨ ɧɚ ɞɜɿ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɭɱɧɿɜ ɛɪɚɥɢ ɭɱɚɫɬɶ ɜ ɭɫɿɯ ɬɪɶɨɯ
ɨɥɿɦɩɿɚɞɚɯ?
ȼɢɜɟɞɟɦɨ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɹɤɿ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɲɭɤɚɬɢ ɤɨɪɟɧɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬ-
ɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɡɧɚɸɱɢ ɣɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɪɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɜ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ
ɜɢɝɥɹɞɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ax2
+ bx + ɫ = 0. (1)
ɉɨɦɧɨɠɢɦɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚ 4ɚ (ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɚ ≠ 0, ɬɨ 4ɚ ≠ 0).
Ɉɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɣɨɦɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
4a2
x2
+ 4ɚbx + 4ɚɫ = 0.
ɍ ɥɿɜɿɣ ɱɚɫɬɢɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɿɥɢɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬ ɞɜɨɱɥɟɧɚ:
(2ax)2
+ 2⋅2ɚx⋅b + b2
– b2
+ 4ɚɫ = 0;
(2ax + b)2
= b2
– 4ɚɫ. (2)
ȼɢɪɚɡ b2
– 4ɚɫ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬɨɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ax2
+ bx + ɫ = 0 ɿ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɛɭɤɜɨɸ D, ɬɨɛɬɨ D = b2
– 4ɚɫ.
ȼɪɚɯɨɜɭɸɱɢ ɞɚɧɟ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ (2) ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɚɬɢ ɬɚɤ:
(2ax + b)2
= D. (3)
ɇɚɹɜɧɿɫɬɶ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚ ʀɯ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɡɧɚɤɚ ɱɢɫɥɚ D.
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɬɪɢ ɦɨɠɥɢɜɿ ɜɢɩɚɞɤɢ: D 0, D = 0, D 0.
1) əɤɳɨ D 0, ɬɨ ɡ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (3) ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
2ax + b = D− ɚɛɨ 2ax + b = ;D
2ax = –b D− ɚɛɨ 2ax = –b + ;D
2
b Dx
a
− −= ɚɛɨ
2
b Dx
a
− += .

Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ D 0, ɬɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (1) ɦɚɽ ɞɜɚ ɪɿɡɧɿ ɤɨɪɟɧɿ
1 ,
2
b Dx
a
− −= 2 .
2
b Dx
a
− +=
ɐɿ ɞɜɿ ɮɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɨɠɧɚ ɨɛ’ɽɞɧɚɬɢ ɜ ɨɞɧɭ:
,=1,2
2
b ± Dx
a
− ɞɟ D = b2
– 4ɚɫ.
Ɉɞɟɪɠɚɧɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
2) əɤɳɨ D = 0, ɬɨ ɡ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (3) ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
(2ax + b)2
= 0; 2ax + b = 0; .
2
bx
a
= −
Ɉɞɟɪɠɚɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ ɿ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɋɩɪɚɜɞɿ, ɹɤɳɨ D = 0, ɬɨ 1,2
0 .
2 2
b bx
a a
− ± −= = Ɍɨɦɭ ɿɧɨɞɿ ɤɚɠɭɬɶ:
ɹɤɳɨ D = 0, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɞɜɚ ɪɿɜɧɿ ɤɨɪɟɧɿ, ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
2
b
a
− .
Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ D = 0, ɬɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (1) ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ
2
bx
a
= −
(ɚɛɨ ɞɜɚ ɪɿɜɧɿ ɤɨɪɟɧɿ, ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
2
b
a
− ).
3) əɤɳɨ D 0, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (3) ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɛɨ ɣɨɝɨ ɥɿɜɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɧɚɛɭɜɚɽ
ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ, ɚ ɩɪɚɜɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɽ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ.
Ɉɬɠɟ, ɹɤɳɨ D 0, ɬɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (1) ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
ɉɿɞɫɭɦɨɤ: ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
Ⱦɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ
D = b2
– 4ɚɫ
Ʉɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ax2
+ bx + ɫ = 0
D 0 1,2
2
b Dx
a
− ±=
D = 0
2
bx
a
= −
D 0 Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ

Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨɰɿɥɶɧɨ ɬɚɤ:
1. Ɉɛɱɢɫɥɢɬɢ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ D = b2
– 4ɚɫ ɿ ɩɨɪɿɜɧɹɬɢ ɣɨɝɨ ɡ ɧɭɥɟɦ.
2. əɤɳɨ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɞɨɞɚɬɧɢɣ ɚɛɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɟɜɿ (D ≥ 0), ɬɨ ɫɤɨɪɢɫ-
ɬɚɬɢɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ: 1,2 .
2
b Dx
a
− ±=
əɤɳɨ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɣ, ɬɨ ɡɚɩɢɫɚɬɢ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
Ɏɨɪɦɭɥɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞ-
ɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ ɪx + q = 0. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ D = p2
– 4q =
2
4 .
4
p
q
§ ·
−¨ ¸
© ¹
əɤɳɨ
D ≥ 0, ɬɨ
2
2
1,2
2
4 .
2 2 2
p
p q p p
x q
− ± −
§ ·
= = − ± −¨ ¸
© ¹
Ɉɬɠɟ, ɞɥɹ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0 ɦɚɽɦɨ ɬɚɤɭ ɮɨɪɦɭɥɭ
ɤɨɪɟɧɿɜ:
2
1,2 .
2 2
p p
x q
§ ·
= − ± −¨ ¸
© ¹
ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɰɸ ɮɨɪɦɭɥɭ, ɡɧɚɣɞɟɦɨ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 16ɯ – 36 = 0:
1,2 8 64 36 8 10;x = − ± + = − ± ɯ1 = –18; ɯ2 = 2.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 3ɯ – 10 = 0.
Ɣ D = 32
– 4 ⋅ 1 ⋅ (–10) = 9 + 40 = 49.
1,2
3 49 3 7 ;
2 2
x − ± − ±= = 1
3 7 5;
2
x − −= = − 2
3 7 2.
2
x − += =
– 3ɯ + 7 = 0.
Ɣ D = (–3)2
– 4 ⋅ 5 ⋅ 7 = 9 – 140 = –131.

Ɉɫɤɿɥɶɤɢ D 0, ɬɨ ɞɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. Ɣ
+ 9 = 4ɯ + 10ɯ(2 – ɯ).
Ɣ 6ɯ2
+ 9 – 4ɯ – 10ɯ(2 – ɯ) = 0; 6ɯ2
+ 9 – 4ɯ – 20ɯ + 10ɯ2
= 0;
16ɯ2
– 24ɯ + 9 = 0.
D = (–24)2
– 4 ⋅ 16 ⋅ 9 = 576 – 576 = 0.
Ⱦɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ 24 0 3.
2 16 4
x ±= =
⋅
4
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 4. ɑɢ ɿɫɧɭɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ m, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 5ɯ2
– mɯ + m – 5 = 0 ɧɟ
ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ?
Ɣ Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
D = (–m)2
– 4 ⋅ 5 ⋅ (m – 5) = m2
– 20m + 100 = (m – 10)2
.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ D ≥ 0 ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ m, ɬɨ ɞɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-
ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ m ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. ɇɟ ɿɫɧɭɸɬɶ. Ɣ
699. ɑɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɡɚɩɢɫɚɧɢɣ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ D = b2
– 4ɚɫ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ?
ɚ) 2ɯ2
+ 5ɯ – 3 = 0; D = 52
– 4 ⋅ 2 ⋅ 3;
ɛ) ɯ2
– 3ɯ – 4 = 0; D = (–3)2
– 4 ⋅ 1 ⋅ (–4);
ɜ) 3ɯ2
– ɯ + 2 = 0; D = (–1)2
+ 4 ⋅ 3 ⋅ 2;
ɝ) –2ɯ2
+ 5ɯ + 7 = 0; D = 52
– 4 ⋅ (–2) ⋅ 7.
700. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ?
ɚ) 7ɯ2
– ɯ + 1 = 0; D = –27; ɛ) ɯ2
+ 4ɯ – 3 = 0; D = 28;
ɜ) ɯ2
– 6ɯ + 9 = 0; D = 0.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɿ ɜɤɚɠɿɬɶ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɪɟɧɿɜ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
701. ɚ) 2ɯ2
– 3ɯ + 1 = 0; ɛ) 4ɯ2
+ 4ɯ + 1 = 0; ɜ) –3ɯ2
+ 6ɯ – 4 = 0.

702. ɚ) ɯ2
+ 2ɯ – 3 = 0; ɛ) 2ɯ2
– 5ɯ + 4 = 0; ɜ) –ɯ2
+ 8ɯ – 16 = 0.
703. ɚ) ɯ2
– 6x + 5 = 0; ɛ) ɯ2
+ 4x – 12 = 0; ɜ) ɯ2
+ 7x + 10 = 0;
ɝ) ɯ2
– 3x + 4 = 0; ɞ) ɯ2
– 10x + 25 = 0; ɟ) ɯ2
– 4x – 21 = 0.
704. ɚ) 2ɯ2
– 5x + 3 = 0; ɛ) 2ɯ2
+ x – 1 = 0; ɜ) 3ɯ2
+ 5x – 2 = 0;
ɝ) 4ɯ2
– 4ɯ + 1 = 0; ɞ) 2ɯ2
– 3x + 2 = 0; ɟ) 7ɯ2
– 6x – 1 = 0.
705. ɚ) ɯ2
+ 4ɯ – 5 = 0; ɛ) ɯ2
+ 5ɯ + 4 = 0; ɜ) ɯ2
– 5ɯ + 6 = 0;
ɝ) ɯ2
– 2ɯ + 6 = 0; ɞ) ɯ2
– 8ɯ + 16 = 0; ɟ) ɯ2
– 10ɯ + 21 = 0;
ɽ) 2ɯ2
+ 3ɯ + 1 = 0; ɠ) 6ɯ2
– 5ɯ + 1 = 0; ɡ) 2ɯ2
+ ɯ – 3 = 0.
706. ɚ) ɯ2
= 5ɯ – 4; ɛ) 2ɯ2
+ 7ɯ = 4; ɜ) ɯ2
– 4ɯ = 2 – 3ɯ.
707. ɚ) ɯ2
– 2ɯ = 3; ɛ) ɯ2
– 4ɯ = 4ɯ – 7; ɜ) 4ɯ2
+ 3ɯ = 1.
708. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɭɤɚɠɿɬɶ ɬɿ ɡ ɧɢɯ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ:
ɚ) 9ɯ2
+ 6ɯ + 1 = 0; ɛ) 3ɯ2
– ɯ – 4 = 0; ɜ) 2ɯ2
– 16ɯ + 32 = 0.
709. əɤɟ ɡ ɪɿɜɧɹɧɶ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ?
ɚ) ɯ2
+ 2ɯ – 7 = 0; ɛ) 2ɯ2
– 3ɯ + 8 = 0; ɜ) 3ɯ2
+ 5ɯ + 4 = 0.
710. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, , ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ ɚɛɨ ɧɟ
ɦɚɸɬɶ ɠɨɞɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ:
ɚ) 3ɯ2
+ ɯ + 1 = 0; ɛ) 25ɯ2
+ 20ɯ + 4 = 0; ɜ) ɯ2
– 16ɯ + 60 = 0.
711. ɚ) ɯ2
– 2ɯ – 1 = 0; ɛ) 7ɯ2
– 18ɯ + 8 = 0; ɜ) 3ɯ2
+ 22ɯ – 16 = 0;
ɝ) ɯ2
+ 21ɯ + 90 = 0; ɞ) 3ɯ2
+ 53ɯ – 18 = 0; ɟ) –25ɯ2
+ 50ɯ + 75 = 0;
ɽ) ɯ2
+ 0,5ɯ – 1,5 = 0; ɠ) 2ɯ2
– ɯ + 1
9
= 0; ɡ) 2 2 8 0.
3 9
x x− − =
712. ɚ) ɯ2
– 6ɯ + 6 = 0; ɛ) 3ɯ2
+ 20ɯ + 12 = 0; ɜ) 4ɯ2
– 16ɯ + 7 = 0;
ɝ) ɯ2
– 16ɯ – 161 = 0; ɞ) 4ɯ2
+ 73ɯ + 18 = 0; ɟ) –12ɯ2
– 36ɯ + 48 = 0;
ɽ) ɯ2
+ 1,2ɯ + 0,2 = 0; ɠ) 3ɯ2
– ɯ – 2
3
= 0; ɡ) 2 15 2 0.
3
x x− − =
713. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 24ɚ2
– 90ɚ – 24 ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0?
714. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ b ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 3b2
– b + 2 ɞɨɪɿɜɧɸɽ 12?
ɭɤɚɠɿɬɶ ɬɿ ɡ ɧɢɯ

715. ɚ) t2
+ 3t = –4t – 6 – t2
; ɛ) 5(y2
+ 3) = –24y + 20;
ɜ) 4ɯ(ɯ – 2) + ɯ2
= 6ɯ + 3; ɝ) 6ɯ2
+ 3ɯ = 5(2ɯ + 1);
ɞ) (ɯ – 1)2
+ 4ɯ2
= 4; ɟ) (3ɯ – 2)(3ɯ + 2) = 6ɯ + 3;
ɽ) 2 21 15 0,1 4 ;
5 2
x x x x− = − + ɠ) 2
( 3 2)( 3 2) 7 11.x x x x+ − + = +
716. ɚ) 2(12ɯ2
+ ɯ – 10) = –5; ɛ) 5(ɯ2
– 2) = ɯ(1 – ɯ) + 10ɯ;
ɜ) (2ɯ + 3)2
+ 2ɯ2
= –12ɯ – (ɯ – 2)2
; ɝ) 6ɯ2
+ 20ɯ = (2ɯ – 5)(2ɯ + 5);
ɞ) ( )2 21 1 12 1 1 .
3 3 2
x x x x− + = + +
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
717. ɚ)
2
3 7 ;
2 4
t t t+ += ɛ)
2
3 7
0,3.
4 20
y y y+ −
= +
718. ɚ)
2 2
1;
3 4
x x x− −= ɛ)
2
3 3 13 .
9 6 6
y y− −
− =
719. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɿɡɧɢɰɿ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɿɜ 3ɯ2
+ 24ɯ + 48 ɿ
10ɯ + 30 ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2?
720. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɫɭɦɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɿɜ 3ɯ2
– 6ɯ ɿ 5ɯ2
– ɯ + 2 ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ 3?
721. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɨɞɢɧ ɡ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ –3:
ɚ) 20ɯ2
+ bɯ – b2
= 0; ɛ)
2 2
5 14 0.
49 7
b x bx− − =
ɚ) ɯ2
– 16ɯ + 4ɚ = 0; ɛ) ɚɯ2
+ (ɚ + 1)ɯ + 1 = 0.
ɚ) ¨ɯ2
– 4ɯ + 3¸ = 8; ɛ) ¨ɯ2
– 3ɯ – 4¸ = 6.
724. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ b:
ɚ) ɯ2
– 4bɯ + 3b2
= 0; ɛ) ɯ2
+ 2ɯ – b2
+ 2b = 0.

725. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 7ɯ + 3ɬ – 7 = 0:
ɚ) ɦɚɽ ɞɜɚ ɪɿɡɧɿ ɤɨɪɟɧɿ; ɛ) ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
726. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b:
ɚ) ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ bɯ – 3 = 0 ɦɚɽ ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ;
ɛ) ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– bɯ + b2
+ 1 = 0 ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ.
727. Ⱦɨɛɟɪɿɬɶ ɞɜɚ ɱɢɫɥɚ, ɫɭɦɚ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 8, ɚ ɞɨɛɭɬɨɤ — 12. ɉɟɪɟɜɿɪɬɟ,
ɱɢ ɽ ɰɿ ɱɢɫɥɚ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 8ɯ + 12 = 0.
728. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɿ ɞɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɜɢɪɚɡɿɜ:
ɚ) 3 2+ ɿ 3 2;− ɛ) ɯ – x ɿ ɯ + .x
729. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) 2ɯ – 3ɭ = 1; ɛ)* ¨ɯ – ɭ¸ = 1.
730*. ɇɚ ɝɭɪɬɿɜɧɿ ɞɜɚ ɩɿɞɩɪɢɽɦɰɿ ɡɚɤɭɩɢɥɢ ɪɚɡɨɦ 300 ɤɝ ɬɨɜɚɪɭ ɡɚ ɰɿɧɨɸ
25 ɝɪɧ ɡɚ 1 ɤɝ. ɉɟɪɲɢɣ ɩɿɞɩɪɢɽɦɟɰɶ ɩɟɪɟɜɨɡɢɬɶ ɬɨɜɚɪ ɧɚ ɜɿɞɫɬɚɧɶ 20 ɤɦ
ɜɿɞ ɝɭɪɬɿɜɧɿ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɧɚ ɜɿɞɫɬɚɧɶ 30 ɤɦ. ɉɟɪɟɜɟɡɟɧɧɹ 100 ɤɝ ɬɨɜɚɪɭ ɧɚ
ɜɿɞɫɬɚɧɶ 1 ɤɦ ɤɨɲɬɭɽ 5 ɝɪɧ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɿɥɨɝɪɚɦɿɜ ɬɨɜɚɪɭ ɡɚɤɭɩɢɜ ɩɟɪɲɢɣ
ɩɿɞɩɪɢɽɦɟɰɶ, ɹɤɳɨ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɜɿɧ ɜɢɬɪɚɬɢɜ ɧɚ ɡɚɤɭɩɿɜɥɸ ɿ ɩɟɪɟɜɟɡɟɧɧɹ
ɬɨɜɚɪɭ ɧɚ 2700 ɝɪɧ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɢɣ?
731. Ⱦɚɧɨ ɬɪɢ ɱɢɫɥɚ: 2, 1 2− ɿ 1 2+ . Ɂɚ ɨɞɢɧ ɤɪɨɤ ɞɨɡɜɨɥɹɽɬɶɫɹ ɧɚɩɢɫɚɬɢ
ɧɨɜɿ ɬɪɢ ɱɢɫɥɚ, ɡɚɦɿɧɢɜɲɢ ɤɨɠɧɟ ɡ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɯ ɱɢɫɟɥ ɩɿɜɫɭɦɨɸ ɞɜɨɯ ɿɧ-
ɲɢɯ. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɡɚ ɤɿɥɶɤɚ ɬɚɤɢɯ ɤɪɨɤɿɜ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɧɚɛɿɪ ɱɢɫɟɥ: 1, 2 2− ɿ
2 2+ ?

1. Ɍɟɨɪɟɦɚ ȼɿɽɬɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɜɟɞɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɯ2
+ 2ɯ – 3 = 0; ɯ2
– 7ɯ + 10 = 0; ɯ2
+ 5ɯ + 4 = 0.
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɤɨɪɟɧɿ ɤɨɠɧɨɝɨ ɿɡ ɰɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ, ɚ ɬɚɤɨɠ ɫɭɦɭ ɤɨɪɟɧɿɜ ɬɚ ʀɯ ɞɨ-
ɛɭɬɨɤ. Ɋɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɡɚɧɟɫɟɦɨ ɜ ɬɚɛɥɢɰɸ:
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ
Ʉɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɯ1; ɯ2
ɋɭɦɚ ɤɨɪɟɧɿɜ:
ɯ1 + ɯ2
Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ:
ɯ1 · ɯ2
ɯ2
+ 2ɯ – 3 = 0 –3; 1 –2 –3
ɯ2
– 7ɯ + 10 = 0 2; 5 7 10
ɯ2
+ 5ɯ + 4 = 0 –4; –1 –5 4
Ɂ ɬɚɛɥɢɰɿ ɜɢɞɧɨ, ɳɨ ɫɭɦɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɪɿɜɧɹɧɶ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɪɭɝɨɦɭ
ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɭɡɹɬɨɦɭ ɿɡ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦ ɡɧɚɤɨɦ, ɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɜɿɥɶɧɨɦɭ ɱɥɟɧɭ. ɐɟ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0, ɹɤɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ (ȼɿɽɬɚ). ɋɭɦɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
ɞɪɭɝɨɦɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɭ, ɜɡɹɬɨɦɭ ɿɡ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦ ɡɧɚɤɨɦ, ɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨ-
ɪɟɧɿɜ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɜɿɥɶɧɨɦɭ ɱɥɟɧɭ.
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0 ɿ ɧɟ-
ɯɚɣ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿ. Ɍɨɞɿ
1 ,
2
p D
x
− −
= 2 ,
2
p D
x
− +
= ɞɟ D = p2
– 4q.
(Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ, ɬɨ D ≥ 0.)
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɫɭɦɭ ɿ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ:
1 2
2
;
2 2 2
p D p D p
x x p
− − − + −
+ = + = = −
( )
2
2
2 2 2
1 2
( ) ( 4 ) 4
.
2 2 4 4 4 4
p Dp D p D p D p p q q
x x q
− −− − − + − − −
⋅ = ⋅ = = = = =
Ɉɬɠɟ, ɯ1 + ɯ2 = –ɪ, ɯ1 · ɯ2 = q. Ɍɟɨɪɟɦɭ ɞɨɜɟɞɟɧɨ. Ɣ

22. Ɍɟɨɪɟɦɚ ȼɿɽɬɚ 175
əɤɳɨ ɯ1, ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0, ɬɨ:
ɯ1 + ɯ2 = –ɪ, ɯ1 · ɯ2 = q.
Ⱦɨɜɟɞɟɧɭ ɬɟɨɪɟɦɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ «ɬɟɨɪɟɦɨɸ
ȼɿɽɬɚ» ɡɚ ɩɪɿɡɜɢɳɟɦ ɮɪɚɧɰɭɡɶɤɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ
Ɏɪɚɧɫɭɚ ȼɿɽɬɚ (1540–1603), ɹɤɢɣ ɩɟɪɲɢɦ ɩɨ-
ɦɿɬɢɜ ɡɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɬɚ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧ-
ɬɚɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ɇɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ ɦɨɠɧɚ, ɧɟ ɲɭ-
ɤɚɸɱɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɡɧɚɯɨ-
ɞɢɬɢ ʀɯ ɫɭɦɭ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɜɚɬɢ
ɬɟɨɪɟɦɭ ȼɿɽɬɚ ɦɨɠɧɚ ɥɢɲɟ ɞɥɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ
ɪɿɜɧɹɧɶ, ɹɤɿ ɦɚɸɬɶ ɤɨɪɟɧɿ.
Ɏɪɚɧɫɭɚ ȼɿɽɬ (1540–1603),
ɮɪɚɧɰɭɡɶɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ, ɧɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 5ɯ + 3 = 0. ȼɨɧɨ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ, ɛɨ
D = (–5)2
– 4·1·3 = 13 0. əɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɬɨ, ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ȼɿɽɬɚ:
ɯ1 + ɯ2 = –(–5) = 5; ɯ1 · ɯ2 = 3.
Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ 1. ɇɟɯɚɣ ɞɟɹɤɟ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ. Ɂ
ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɯ1 · ɯ2 = q ɜɢɩɥɢɜɚɽ: ɹɤɳɨ q 0, ɬɨ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ ɨɛɢɞɜɚ ɞɨɞɚɬɧɿ ɚɛɨ ɨɛɢɞ-
ɜɚ ɜɿɞ’ɽɦɧɿ; ɹɤɳɨ q 0, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿ ɦɚɸɬɶ ɪɿɡɧɿ ɡɧɚɤɢ.
Ɂɚɭɜɚɠɟɧɧɹ 2. əɤɳɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0 ɽ ɰɿɥɢɦɢ ɱɢɫ-
ɥɚɦɢ, ɬɨ ɡ ɪɿɜɧɨɫɬɿ ɯ1 · ɯ2 = q ɜɢɩɥɢɜɚɽ, ɳɨ ɰɿɥɢɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɬɚɤɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɥɢɲɟ ɱɢɫɥɚ, ɧɚ ɹɤɿ ɞɿɥɢɬɶɫɹ (ɧɚɰɿɥɨ) ɜɿɥɶɧɢɣ ɱɥɟɧ q.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɰɿɥɢɦɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + 5 = 0 ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɥɢɲɟ
ɱɢɫɥɚ 1, 5, –1 ɚɛɨ –5.
2. ɋɭɦɚ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɞɨɜɿɥɶɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɇɢ
ɞɨɜɟɥɢ ɬɟɨɪɟɦɭ ȼɿɽɬɚ ɞɥɹ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɬɟɩɟɪ
ɞɨɜɿɥɶɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɚx2
+ bx + c = 0, ɹɤɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2. Ⱦɚɧɟ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɸ 2
0.b cx x
a a
+ + =
Ɉɞɟɪɠɚɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɠɟ ɽ ɡɜɟɞɟɧɢɦ, ɚ ɬɨɦɭ ɞɥɹ ɧɶɨɝɨ ɜɢɤɨɧɭ-
ɽɬɶɫɹ ɬɟɨɪɟɦɚ ȼɿɽɬɚ: 1 2 ;
b
x x
a
+ = − 1 2 .
c
x x
a
⋅ ==

əɤɳɨ ɯ1, ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɚx2
+ bx + c = 0, ɬɨ:
1 2 ;bx x
a
+ = − 1 2 .cx x
a
⋅ =
3. Ɍɟɨɪɟɦɚ, ɨɛɟɪɧɟɧɚ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ.
Ɍɟɨɪɟɦɚ. əɤɳɨ ɫɭɦɚ ɞɜɨɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ –ɪ, ɚ ʀɯ ɞɨɛɭɬɨɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ q, ɬɨ ɰɿ ɱɢɫɥɚ ɽ
ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0.
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ. ɇɟɯɚɣ ɱɢɫɥɚ m ɿ n ɬɚɤɿ, ɳɨ m + n = –ɪ, ɚ m · n = q, ɬɨɞɿ ɪ = –(m + n),
q = mn. ɉɿɞɫɬɚɜɢɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪ ɿ q ɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
x2
+ px + q = 0, (1)
ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɣɨɦɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
x2
– (m + n)x + mn = 0.
Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚɤ:
x2
– mɯ – nx + mn = 0;
x(ɯ – m) – n(x – m) = 0;
(x – m)(x – n) = 0, (2)
ɡɜɿɞɤɢ x = m ɚɛɨ x = n. ɑɢɫɥɚ m ɿ n ɽ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (2), ɚ ɬɨɦɭ ɣ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ (1). Ɍɟɨɪɟɦɭ ɞɨɜɟɞɟɧɨ. Ɣ
ɇɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɟɨɪɟɦɢ, ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ, ɦɨɠɧɚ:
1) ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ, ɱɢ ɽ ɞɟɹɤɿ ɞɜɚ ɱɢɫɥɚ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɡɚɞɚɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ;
2) ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɲɥɹɯɨɦ ɞɨɛɨɪɭ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ;
3) ɫɤɥɚɫɬɢ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɹɤɨɝɨ ɽ ɞɟɹɤɿ ɡɚɞɚɧɿ ɞɜɚ ɱɢɫɥɚ.
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. ɑɢ ɽ ɱɢɫɥɚ –3 ɿ 5 ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 2ɯ – 15 = 0?
Ɣ Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɫɭɦɭ ɱɢɫɟɥ –3 ɿ 5 ɬɚ ʀɯ ɞɨɛɭɬɨɤ: –3 + 5 = 2; (–3) · 5 = –15. ɋɭɦɚ ɱɢɫɟɥ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɞɪɭɝɨɦɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɭɡɹɬɨɦɭ ɿɡ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦ ɡɧɚɤɨɦ, ɚ ɞɨɛɭ-
ɬɨɤ — ɜɿɥɶɧɨɦɭ ɱɥɟɧɭ. Ɍɨɦɭ ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ, ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ, ɱɢɫɥɚ –3 ɿ 5 ɽ
ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɞɚɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɣ
ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 2ɯ – 8 = 0 ɲɥɹɯɨɦ ɞɨɛɨɪɭ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ.
Ɣ ɇɟɯɚɣ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɍɨɞɿ
ɯ1 + ɯ2 = –2, ɯ1 · ɯ2 = –8.

ɉɟɪɟɜɿɪɢɦɨ, ɱɢ ɦɨɠɭɬɶ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɛɭɬɢ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ. Ɋɿɜɧɿɫɬɶ ɯ1 · ɯ2 = –8 ɽ
ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɬɚɤɢɯ ɩɚɪ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ: –1 ɿ 8; –2 ɿ 4; –4 ɿ 2; –8 ɿ 1. ȱɡ ɰɢɯ ɩɚɪ ɥɢɲɟ ɫɭ-
ɦɚ ɱɢɫɟɥ ɬɪɟɬɶɨʀ ɩɚɪɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ –2. Ɍɨɦɭ ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ, ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ,
ɱɢɫɥɚ –4 ɿ 2 ɽ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɞɚɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɉɬɠɟ, ɯ1 = –4, ɯ2 = 2.
ɉɪɢɤɥɚɞ 3. ɋɤɥɚɫɬɢ ɡɜɟɞɟɧɟ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɹɤɨɝɨ ɽ ɱɢɫɥɚ –11 ɿ 4.
Ɣ ɒɭɤɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɨɜɢɧɧɨ ɦɚɬɢ ɜɢɝɥɹɞ x2
+ px + q = 0, ɞɟ
ɪ = –(ɯ1 + ɯ2) = –(–11 + 4) = 7; q = ɯ1 · ɯ2 = –11 · 4 = –44.
Ɉɬɠɟ, ɦɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 7ɯ – 44 = 0.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. ɯ2
+ 7ɯ – 44 = 0. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 1. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 3x2
– 6x + 1 = 0, ɡɧɚɣɬɢ ɫɭɦɭ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ
ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ.
Ɣ Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɪɿɜɧɹɧɧɹ: D = (–6)2
– 4 · 3 · 1 = 36 – 12 = 24.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ D 0, ɬɨ ɞɚɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ. əɤɳɨ x1 ɬɚ x2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ,
ɬɨ ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ 1 2 ,bx x
a
+ = − 1 2
cx x
a
⋅ = ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ:
1 2
6 2;
3
x x −+ = − = 1 2
1.
3
x x⋅ = Ɣ
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 2; 1.
3
Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. Ɂɧɚɣɬɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0,
ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ –3 ɿ 6.
Ɣ ɇɟɯɚɣ x1 = –3 ɬɚ x2 = 6 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɂɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ȼɿɽɬɚ
p = –(ɯ1 + ɯ2) = –(–3 + 6) = –3, q = ɯ1ɯ2 = (–3) · 6 = –18.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. p = –3; q = –18. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 3. Ɂɧɚɣɬɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ( )
2
1 2 1 25 ,x x x x− + ɞɟ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ
– 9ɯ + 16 = 0.
Ɣ Ɂɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ȼɿɽɬɚ ɯ1 + ɯ2 = 9, ɯ1ɯ2 = 16. Ɍɨɞɿ:
( )
2
1 2 1 25 x x x x− + = 2
5 16 9− = 20 – 81 = –61.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –61. Ɣ

ȼɩɪɚɜɚ 4. Ʉɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2 ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 10ɯ + ɚ = 0 ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɭɦɨɜɭ
3ɯ1 – ɯ2 = –6. Ɂɧɚɣɬɢ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ ɬɚ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɚ.
Ɣ Ɂɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ȼɿɽɬɚ ɯ1 + ɯ2 = –10. ɍɪɚɯɭɜɚɜɲɢ ɭɦɨɜɭ 3ɯ1 – ɯ2 = –6, ɦɚ-
ɬɢɦɟɦɨ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɿɜɧɹɧɶ
1 2
1 2
3 6;
10,
x x
x x
− = −
®
+ = −¯
ɡɜɿɞɤɢ:
1
1 2
4 16;
10;
x
x x
= −
®
+ = −¯
1
2
4;
6.
x
x
= −
®
= −¯
Ɉɬɠɟ, ɯ1 = –4, ɯ2 = –6 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɍɨɞɿ ɚ = ɯ1 · ɯ2 = –4 · (–6) = 24.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –4; –6 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ; ɚ = 24. Ɣ
732. Ʉɨɠɧɟ ɡ ɧɚɫɬɭɩɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɿ ɞɨɛɭɬɨɤ ɰɢɯ ɤɨ-
ɪɟɧɿɜ:
ɚ) ɯ2
– 6ɯ + 5 = 0; ɛ) ɯ2
+ 6ɯ – 27 = 0; ɜ) 3ɯ2
– 16ɯ + 5 = 0.
733. Ɉɞɢɧ ɡ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɿɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– 10ɯ + 21 = 0; ɛ) ɯ2
– 2ɯ – 3 = 0; ɜ) ɯ2
– 6ɯ + 9 = 0.
734. Ʉɨɠɧɟ ɡ ɧɚɫɬɭɩɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ. əɤɿ ɡ ɰɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɸɬɶ ɞɨɞɚɬɧɿ
ɤɨɪɟɧɿ? ɜɿɞ’ɽɦɧɿ ɤɨɪɟɧɿ? ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɡɧɢɯ ɡɧɚɤɿɜ?
ɚ) ɯ2
– 15ɯ + 18 = 0; ɛ) ɯ2
+ 15ɯ + 18 = 0; ɜ) ɯ2
– 15ɯ – 18 = 0.
735. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɬɟɨɪɟɦɭ ȼɿɽɬɚ, ɩɨɹɫɧɿɬɶ, ɱɨɦɭ ɞɚɧɿ ɱɢɫɥɚ ɧɟ ɽ ɤɨɪɟɧɹ-
ɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɑɢɫɥɚ
ɚ) ɯ2
– 11ɯ + 10 = 0 5 ɿ 6
ɛ) ɯ2
+ 9ɯ + 14 = 0 2 ɿ 7
ɜ) ɯ2
+ 4ɯ – 21 = 0 –3 ɿ 7
Ʉɨɠɧɟ ɡ ɧɚɫɬɭɩɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɿ ɞɨɛɭɬɨɤ ɰɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ:
736. ɚ) ɯ2
+ 14ɯ + 36 = 0; ɛ) ɯ2
+ 8ɯ – 15 = 0;
ɜ) 3ɯ2
– 4ɯ + 1 = 0; ɝ) 10ɯ2
– ɯ – 3 = 0.

737. ɚ) ɯ2
– 9ɯ + 18 = 0; ɛ) ɯ2
+ 20ɯ + 25 = 0;
ɜ) 3ɯ2
– 16ɯ + 5 = 0; ɝ) 6ɯ2
– ɯ – 1 = 0.
738. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɜɿɥɶɧɢɣ ɱɥɟɧ q ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0,
ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ: 5 ɿ –3; –2 ɿ –6.
739. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ p ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0,
ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ: 1 ɿ 4; –1 ɿ 2.
ɑɢɫɥɚ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0. Ɂɧɚɣ-
ɞɿɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ p ɿ q, ɹɤɳɨ:
740. ɚ) ɯ1 + ɯ2 = 4; ɯ1 · ɯ2 = 3; ɛ) ɯ1 + ɯ2 = –7; ɯ1 · ɯ2 = 10.
741. ɚ) ɯ1 + ɯ2 = 1; ɯ1 · ɯ2 = –6; ɛ) ɯ1 + ɯ2 = –3; ɯ1 · ɯ2 = 2.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪ ɿ q ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0, ɹɤ-
ɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ:
742. ɚ) 5 ɿ 3; ɛ) –2 ɿ 6.
743. ɚ) 3 ɿ 4; ɛ) 7 ɿ –1.
ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ:
744. ɚ) 3,2ɯ2
– 4ɯ + 0,8 = 0; ɛ) 22 4 3 0.
3 9
x x− − =
745. ɚ) 0,4ɯ2
+ 1,6ɯ + 0,3 = 0; ɛ) 21 3 2 0.
4 8
x x+ − =
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪ ɿ q ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0, ɹɤ-
ɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ:
746. ɚ) 2
3
ɿ 3;
4
− ɛ) 2 5
2
− ɿ 2 5.
2
+
747. ɚ) 1
5
ɿ 2 ;
15
ɛ) 1 3− ɿ 1 3.+
748. ɑɢɫɥɨ –9 ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 10ɯ + q = 0. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɿɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ q.
749. ɑɢɫɥɨ –2 ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ ɪɯ – 6 = 0. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɿɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ɿ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɪ.

750. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ (ɯ1 + ɯ2)2
– 3ɯ1ɯ2,
ɹɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– 7ɯ + 9 = 0; ɛ) 3ɯ2
– 7ɯ + 2 = 0.
751. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 7ɯ1ɯ2 – (ɯ1 + ɯ2)2
,
ɹɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– ɯ – 4 = 0; ɛ) 2ɯ2
+ 11ɯ + 5 = 0.
752. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ( )
2
1 2 ,x x+ ɹɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– 5ɯ – 14 = 0; ɛ) 2ɯ2
– ɯ – 1 = 0.
753. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ m ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 8ɯ + 4m + 7 = 0 ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ: ɚ) 15; ɛ) 19?
754. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 3ɯ + ɚ2
– 14 = 0 ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ 2?
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭɫɿ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɿ ɦɨɠɭɬɶ ɛɭɬɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0,
ɹɤɳɨ:
755. ɚ) q = 7; ɛ) q = –9; ɜ) q = 12.
756. ɚ) q = –5; ɛ) q = 4; ɜ) q = 8.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ, ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ:
757. ɚ) ɯ2
+ 4ɯ + 3 = 0; ɛ) ɯ2
– 5ɯ + 4 = 0; ɜ) ɯ2
+ 7ɯ + 12 = 0;
ɝ) ɯ2
– 2ɯ – 3 = 0; ɞ) x2
– 10x + 21 = 0; ɟ) ɯ2
– 8ɯ – 9 = 0;
ɽ) x2
+ 5x + 4 = 0; ɠ) x2
– 2x – 8 = 0; ɡ) ɯ2
+ 2ɯ – 15 = 0.
758. ɚ) ɯ2
– 9ɯ + 14 = 0; ɛ) ɯ2
+ ɯ – 6 = 0; ɜ) ɯ2
– 8ɯ + 15 = 0;
ɝ) ɯ2
– 4ɯ – 21 = 0; ɞ) ɯ2
+ 7ɯ – 18 = 0; ɟ) ɯ2
+ 10ɯ + 16 = 0.
759. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɰɿɥɢɦɢ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚɦɢ, ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɹɤɨɝɨ ɽ
ɱɢɫɥɚ:
ɚ) 22
3
ɿ –0,125; ɛ) 3 2 5
4
− ɿ 3 2 5.
4
+
760. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ ɪɯ + 8 = 0 ɦɚɽ ɞɨɞɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ, ɨɞɢɧ ɡ ɹɤɢɯ ɭ 4 ɪɚɡɢ ɛɿɥɶɲɢɣ
ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɪ.

761. Ɉɞɢɧ ɡ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ ɪɯ – 33 = 0 ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ ɧɚ 14. Ɂɧɚɣ-
ɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɪ.
762. Ʉɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2 ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 10ɯ + b = 0 ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɭɦɨɜɭ ɯ1 – 3ɯ2 = 2.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ ɬɚ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ b.
763. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 5ɯ2
– 3ɯ – ɚ2
– 2 = 0 ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ ɦɚɽ
ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɡɧɢɯ ɡɧɚɤɿɜ.
764. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– bɯ + 3 = 0 ɦɚɽ ɥɢɲɟ ɰɿɥɿ
ɤɨɪɟɧɿ.
– 2ɯ – 5 = 0 ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ,
ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ)
1 2
1 1 ;
x x
+ ɛ) 3 2 2 3
1 2 1 2 ;x x x x+ ɜ) ( )
2
1 2 ;x x− ɝ) (ɯ1 + 2)(ɯ2 + 2).
766. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 10ɯ2
+ 3ɯ – 4 = 0, ɡɧɚɣɞɿɬɶ:
ɚ) ɫɭɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ; ɛ) ɫɭɦɭ ɤɭɛɿɜ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿɜ.
ɚ) 8ɯ2
ɭ3
– 12ɯ3
ɭ; ɛ) 3a + 6b – ca – 2cb;
ɜ) (a – b)2
– 2(a2
– b2
); ɝ) m2
– 8m + 7.
ɚ) 2 2
4 10 ;
2 4
m m
m m m
+ +−
− −
ɛ)
2
2
5 1.
510 25
a a a
aa a
− +−
−− +
ɚ)
3 10;
3 8 4;
x y
x y
− =
®
+ = −¯
ɛ) 2 2
3;
2 2 .
x y
x y x xy y
+ =
®
− = + +¯
770. ȱɡ ɞɜɨɯ ɩɨɥɿɜ ɛɭɥɨ ɡɿɛɪɚɧɨ 1900 ɰ ɩɲɟɧɢɰɿ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ ɡ ɩɟɪɲɨɝɨ ɩɨɥɹ ɡɿ-
ɛɪɚɥɢ ɩɨ 45 ɰ ɡ ɝɟɤɬɚɪɚ, ɚ ɡ ɞɪɭɝɨɝɨ — ɩɨ 40 ɰ ɡ ɝɟɤɬɚɪɚ. Ɍɨɪɿɤ ɭ ɡɜ’ɹɡɤɭ
ɡ ɩɨɫɭɯɨɸ ɭɪɨɠɚɣɧɿɫɬɶ ɩɟɪɲɨɝɨ ɩɨɥɹ ɛɭɥɚ ɦɟɧɲɨɸ ɧɚ 20%, ɞɪɭɝɨɝɨ —
ɧɚ 15%, ɚ ɜɟɫɶ ɡɿɛɪɚɧɢɣ ɭɪɨɠɚɣ ɫɬɚɧɨɜɢɜ 1570 ɰ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɥɨɳɭ ɤɨɠ-
ɧɨɝɨ ɩɨɥɹ.

771. ɍ ɩɟɪɲɿɣ ɤɭɩɿ ɽ 30 ɝɨɪɿɯɿɜ, ɭ ɞɪɭɝɿɣ — 7. Ɍɚɪɚɫ, ɚ ɡɚ ɧɢɦ ȱɝɨɪ ɩɨ
ɱɟɪɡɿ ɪɨɛɥɹɬɶ ɯɨɞɢ. Ɂɚ ɨɞɢɧ ɯɿɞ ɡ ɨɞɧɿɽʀ ɤɭɩɢ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɡɹɬɢ ɛɭɞɶ-ɹɤɭ
ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɝɨɪɿɯɿɜ, ɹɤɚ ɤɪɚɬɧɚ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɝɨɪɿɯɿɜ ɿɧɲɨʀ ɤɭɩɢ. ɉɟɪɟɦɚɝɚɽ ɬɨɣ,
ɯɬɨ ɜɿɡɶɦɟ ɨɫɬɚɧɧɿɣ ɝɨɪɿɯ ɜ ɨɞɧɿɣ ɡ ɤɭɩ. ɏɬɨ ɡ ɯɥɨɩɰɿɜ ɩɟɪɟɦɨɠɟ ɡɚ ɩɪɚ-
ɜɢɥɶɧɨʀ ɝɪɢ?
1. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɬɚ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɢɪɚɡɢ 2ɯ2
– 3ɯ + 1,
ɯ2
+ 4ɯ + 5, –ɯ2
+ ɯ + 1. Ʉɨɠɧɢɣ ɡ ɧɢɯ ɽ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɞɪɭɝɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɿ ɦɿɫɬɢɬɶ
ɬɪɢ ɱɥɟɧɢ. Ɍɚɤɿ ɜɢɪɚɡɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦɢ ɬɪɢɱɥɟɧɚɦɢ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɬɪɢɱɥɟɧɨɦ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɜɢɞɭ
ax2
+ bx + ɫ, ɞɟ x — ɡɦɿɧɧɚ, a, b ɿ ɫ — ɞɟɹɤɿ ɜɿɞɨɦɿ ɱɢɫɥɚ, ɞɨ
ɬɨɝɨ ɠ ɚ ≠ 0.
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ 2ɯ2
– 3ɯ + 1 ɞɥɹ ɯ = 1 ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
Ʉɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ 1 ɽ ɤɨɪɟɧɟɦ ɰɶɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ʉɨɪɟɧɟɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧ-
ɧɨʀ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ.
ɓɨɛ ɡɧɚɣɬɢ ɜɫɿ ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ 2ɯ2
– 3ɯ + 1, ɩɨɬɪɿɛɧɨ
ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2ɯ2
– 3ɯ + 1 = 0. Ɇɚɬɢɦɟɦɨ:
D = (–3)2
– 4⋅2⋅1 = 1; 1
3 1 1 ;
4 2
x −= = 2
3 1 1.
4
x += =
Ɉɬɠɟ, ɞɚɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɦɚɽ ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ: 1
2
ɬɚ 1.
Ⱦɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ D = b2
– 4ac ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ax2
+ bx + ɫ = 0 ɧɚɡɢ-
ɜɚɸɬɶ ɿ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬɨɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ax2
+ bx + ɫ. Ɂɪɨɡɭɦɿɥɨ: ɹɤɳɨ
D 0, ɬɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɦɚɽ ɞɜɚ ɤɨɪɟɧɿ, ɹɤɳɨ D = 0, — ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ, ɹɤ-
ɳɨ D 0, ɬɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ.
2. Ɋɨɡɤɥɚɞɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ. Ɂɧɚɸɱɢ ɤɨɪɟɧɿ
ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ, ɣɨɝɨ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɧɚ ɨɫɧɨɜɿ ɬɚɤɨʀ
ɬɟɨɪɟɦɢ:

23. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ 183
Ɍɟɨɪɟɦɚ. əɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ax2
+ bx + ɫ, ɬɨ
ax2
+ bx + ɫ = ɚ(ɯ – ɯ1)(ɯ – ɯ2).
Ⱦɨɜɟɞɟɧɧɹ. Ʉɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2 ɞɚɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɽ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ax2
+ bx + ɫ = 0. Ɍɨɦɭ ɡɚ ɬɟɨɪɟɦɨɸ ȼɿɽɬɚ
1 2 ,bx x
a
+ = − 1 2 ,cx x
a
=
ɡɜɿɞɤɢ
1 2( ),b x x
a
= − + 1 2.c x x
a
=
ɍɪɚɯɭɜɚɜɲɢ ɰɿ ɪɿɜɧɨɫɬɿ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
( ) ( )2 2 2
1 2 1 2( )b cax bx c a x x a x x x x x x
a a
+ + = + + = − + + =
( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 1 2( ) ( ) ( )( ).a x x x x x x x a x x x x x x a x x x x= − − + = − − − = − − •
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ 2ɯ2
– 3ɯ + 1 ɽ ɱɢɫɥɚ 1
2
ɣ 1, ɬɨ
( )2 12 3 1 2 ( 1) (2 1)( 1).
2
x x x x x x− + = − − = − −
Ɇɢ ɪɨɡɤɥɚɥɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ 2ɯ2
– 3ɯ + 1 ɧɚ ɞɜɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɤɨɠɧɢɣ
ɡ ɹɤɢɯ ɽ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɨɦ ɩɟɪɲɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ. əɤɳɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨ-
ɪɟɧɿɜ, ɬɨ ɣɨɝɨ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɹɤɿ ɽ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚɦɢ ɩɟɪɲɨɝɨ
ɫɬɟɩɟɧɹ.
ȼɩɪɚɜɚ 1. Ɋɨɡɤɥɚɫɬɢ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ:
ɚ) –6ɯ2
– 7ɯ + 3; ɛ) 2ɯ2
– 2ɯ + 0,5.
Ɣ ɚ) Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ –6ɯ2
– 7ɯ + 3 = 0:
D = (–7)2
– 4 · (–6) · 3 = 121; 1
7 11 1;
12 3
x −= =
− 2
7 11 3.
12 2
x += = −
−
Ɉɬɠɟ,
( )( ) ( ) ( )2 1 3 1 36 7 3 6 3 2 (3 1)(2 3).
3 2 3 2
x x x x x x x x− − + = − − + = − − ⋅ + = − − +
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –(3ɯ – 1)(2ɯ + 3) ɚɛɨ ( )( )1 36
3 2
x x− − + .

ɛ) Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2ɯ2
– 2ɯ + 0,5 = 0:
D = (–2)2
– 4 · 2 · 0,5 = 0; 1,2
2 0 0,5.
4
x ±= =
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɞɜɚ ɪɿɜɧɿ ɤɨɪɟɧɿ, ɬɨɦɭ
2ɯ2
– 2ɯ + 0,5 = 2(ɯ – 0,5)(ɯ – 0,5) = 2(ɯ – 0,5)2
.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 2(ɯ – 0,5)2
. Ɣ
ȼɩɪɚɜɚ 2. ɋɤɨɪɨɬɢɬɢ ɞɪɿɛ 2
4 2 .
2 5 3
x
x x
+
− −
Ɣ Ɋɨɡɤɥɚɞɟɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ 2ɯ2
– 5ɯ – 3 ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ:
2ɯ2
– 5ɯ – 3 = 0; D = (–5)2
– 4 · 2 · (–3) = 49; 1
5 7 1 ;
4 2
x −= = − 2
5 7 3.
4
x += =
Ɍɨɦɭ ( )2 12 5 3 2 ( 3) (2 1)( 3).
2
x x x x x x− − = + − = + −
Ɉɬɠɟ, 2
2(2 1)4 2 2 .
(2 1)( 3) 32 5 3
xx
x x xx x
++ = =
+ − −− −
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 2 .
3x −
Ɣ
772. əɤɿ ɡ ɞɚɧɢɯ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɿɜ ɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦɢ ɬɪɢɱɥɟɧɚɦɢ?
ɚ) 2ɯ2
+ ɯ – 1; ɛ) –ɯ2
– 3ɯ; ɜ) 32
+ 2ɯ + 7;
ɝ) 3ɯ2
– 3ɯ – 4ɯ3
; ɞ) 2ɭ2
+ 4; ɟ) –8z2
.
773. əɤɿ ɡ ɱɢɫɟɥ 1, 3, –2 ɽ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɯ2
– 2ɯ – 3?
774. Ʉɨɪɟɧɹɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ 2ɯ2
+ 4ɯ – 6 ɽ ɱɢɫɥɚ 1 ɿ –3. əɤɢɣ ɡ ɜɢɪɚ-
ɡɿɜ ɽ ɪɨɡɤɥɚɞɨɦ ɰɶɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ?
ɚ) 2(ɯ + 1)(ɯ – 3); ɛ) (ɯ – 1)(ɯ + 3); ɜ) 2(ɯ – 1)(ɯ + 3).
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ:
775. ɚ) ɯ2
– 8ɯ – 9; ɛ) 4ɯ2
– 8ɯ + 3; ɜ) 3ɯ2
+2ɯ+3.
776. ɚ) ɯ2
+ 3ɯ – 4; ɛ) 3ɯ2
– 8ɯ – 3; ɜ) ɯ2
– 8ɯ+16.

23. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ 185
777. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ:
ɚ) 2ɯ2
– 4ɯ + 2; ɛ) 5ɯ2
+ 2ɯ + 2; ɜ) 3ɯ2
+ 8ɯ + 4.
Ɋɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ:
778. ɚ) ɯ2
– 6ɯ + 8; ɛ) ɯ2
+ 2ɯ – 8; ɜ) ɯ2
+ 8ɯ + 15;
ɝ) 2ɯ2
– 5ɯ + 2; ɞ) 3ɯ2
– ɯ – 2; ɟ) 3ɯ2
– 6ɯ + 3.
779. ɚ) ɯ2
– 4ɯ + 3; ɛ) ɯ2
+ ɯ – 12; ɜ) 2ɯ2
+ 3ɯ – 5.
Ɋɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ:
780. ɚ) 4ɯ2
– 6ɯ + 2; ɛ) –ɯ2
– 2ɯ + 8;
ɜ) –0,3ɯ2
+ 3; ɝ) 1,2ɭ2
– 0,5ɭ – 0,7;
ɞ) 21 2 ;
3 3
x x+ + ɟ) 21 2 4.
4
x x− + −
781. ɚ) 9ɯ2
– 12ɯ + 4; ɛ) –5ɯ2
– 2ɯ + 3;
ɜ) 0,6ɬ2
– 1,3ɬ + 0,6; ɝ) 21 3 1.
8 4
x x− +
782. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ, ɹɤɿ ɽ ɦɧɨɝɨɱɥɟ-
ɧɚɦɢ ɩɟɪɲɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ?
ɚ) 3ɯ2
– 2 10 ɯ + 3; ɛ) –2ɯ2
+ 0,5ɯ – 0,04.
783. ɚ)
2
2 6 ;
4 8
a a
a
+ −
+
ɛ)
2
2
6 5 1;
4 1
x x
x
− +
−
ɜ)
2
2
7 10 ;
10 25
b b
b b
− +
− +
ɝ)
2
2
2 .
2 3 2
k k
k k
+ −
+ −
784. ɚ) 2
3 3 ;
3 4
a
a a
−
+ −
ɛ)
2
2
4 4 3.
4 8 3
x x
x x
+ −
− +
785. ɚ)
2
2
2 3 2 2 1: ;
12
m m m
mm m
+ − −
−+ −
ɛ)
2
2
6 2 .
17 6
c c
cc c
+ −
++ +
786. ɚ)
2
2
1 2 12 ;
15 6
b b
bb b
− +⋅
++ −
ɛ)
2
4 5
2 5 .
1
y y
y
y
+ −
+ −
−

ɚ) ( ) 2
1 2 1 : ;
1 2 1 2 3 1
a a a
a a a a
+ +−
− − − +
ɛ)
2
2
2 1 1 36.
6 2 14 12
b
b b bb b
−§ ·− − ⋅¨ ¸+ − ++ −© ¹
ɚ)
2
2 3 1;
2 1
x xy
x
− +=
−
ɛ)
2
2
( 4 3)( 1)
.
2 3
x x x
y
x x
+ + −
=
+ −
ɚ) ɯ2
– ɚɯ – 2ɚ2
; ɛ) 2ɯ2
+ 5ɚɯ + 2ɚ2
.
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɚ) Ɋɨɡɝɥɹɧɶɬɟ ɜɢɪɚɡ ɯ2
– ɚɯ – 2ɚ2
ɹɤ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɡ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɚ-
ɦɢ 1, –ɚ ɬɚ –2ɚ2
ɿ ɪɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɰɟɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ.
ɚ)
2 2
2 2
2 3 1;
2
a ab b
a ab b
+ + +
− −
ɛ) 2 2 2 2
3
.
3 2 2
yx
x xy y x xy y
+
− + + −
ɚ) 2 5 0;
3 1
− =
+
x
x
ɛ) 1 1.
1 1
+ =
− +
x
x x
792. ȼɿɞ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɪɭɯɚɜɫɹ ɞɟɹɤɢɣ ɱɚɫ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
60 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɋɟɲɬɭ ɲɥɹɯɭ ɜɿɧ ɩɪɨʀɯɚɜ ɡɚ ɬɚɤɢɣ ɠɟ ɱɚɫ, ɚɥɟ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
80 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɟɪɟɞɧɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ.
793. ɉɟɪɲɭ ɩɨɥɨɜɢɧɭ ɲɥɹɯɭ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ʀɯɚɜ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 60 ɤɦ/ɝɨɞ, ɚ ɞɪɭɝɭ
— ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 80 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɟɪɟɞɧɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ.
794*. əɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɦɨɠɟ ɧɚɛɭɜɚɬɢ ɜɢɪɚɡ 1x
x
− , ɹɤɳɨ 2
2
1 6x
x
+ = ?

24. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɿ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ 187
795. ɍ ɞɟɹɤɿɣ ɤɨɦɩɚɧɿʀ ɽ 6 ɞɿɜɱɚɬ ɿ 5 ɯɥɨɩɰɿɜ. ɑɢ ɦɨɠɟ ɫɬɚɬɢɫɹ ɬɚɤ, ɳɨ ɜɫɿ
ɞɿɜɱɚɬɚ ɡɧɚɣɨɦɿ ɡ ɪɿɡɧɨɸ ɤɿɥɶɤɿɫɬɸ ɯɥɨɩɰɿɜ, ɚ ɜɫɿ ɯɥɨɩɰɿ — ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɨɸ
ɤɿɥɶɤɿɫɬɸ ɞɿɜɱɚɬ?
1. Ⱦɪɨɛɨɜɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɞɟɹɤɢɯ ɞɪɨɛɨɜɢɯ ɪɚ-
ɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɡɜɨɞɢɬɶɫɹ ɞɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ. Ɋɨɡɝɥɹ-
ɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 1. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 1 12 .
1 2
x
x x
+ =
− +
Ɣ ɉɟɪɟɧɟɫɟɦɨ ɞɪɿɛ 12
2x +
ɭ ɥɿɜɭ ɱɚɫɬɢɧɭ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɿ ɡɚɩɢɲɟɦɨ ɨɞɟɪɠɚɧɭ
ɪɿɡɧɢɰɸ ɨɞɧɢɦ ɞɪɨɛɨɦ:
1 12 0;
1 2
x
x x
+ − =
− +
( 1)( 2) 12( 1)
0;
( 1)( 2)
x x x
x x
+ + − −
=
− +
2
2 2 12 12 0;
( 1)( 2)
x x x x
x x
+ + + − + =
− +
2
9 14 0.
( 1)( 2)
x x
x x
− + =
− +
Ɂɧɚɣɞɟɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɞɪɨɛɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ:
ɯ2
– 9ɯ + 14 = 0; D = (–9)2
– 4 · 1 · 14 = 25; 5;D =
1
9 5 2;
2
x −= = 2
9 5 7.
2
x += =
əɤɳɨ ɯ = 2 ɚɛɨ ɯ = 7, ɬɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ (ɯ – 1)(ɯ + 2) ɧɟ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ. Ɉɬ-
ɠɟ, ɯ1 = 2, ɯ2 = 7 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 2; 7. Ɣ
2. Ȼɿɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
Ɉɡɧɚɱɟɧɧɹ
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax4
+ bx2
+ ɫ = 0, ɞɟ ɚ ≠ 0, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɛɿɤɜɚɞ-
ɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ.
Ɂɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɡɚɦɿɧɢ ɯ2
= ɭ (ɬɨɞɿ ɯ4
= ɭ2
) ɛɿɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɨɠɧɚ
ɡɜɟɫɬɢ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ aɭ2
+ bɭ + ɫ = 0.

ɉɪɢɤɥɚɞ 2. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2ɯ4
– 11ɯ2
+ 12 = 0.
Ɣ Ɂɪɨɛɢɦɨ ɡɚɦɿɧɭ: ɯ2
= ɭ. Ɉɞɟɪɠɢɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
2ɭ2
– 11ɭ + 12 = 0.
Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
D = (–11)2
– 4 ⋅ 2 ⋅ 12 = 121 – 96 = 25; D = 5;
1
11 5 1,5;
4
y −= = 2
11 5 4.
4
y += =
ɉɨɜɟɪɬɚɸɱɢɫɶ ɞɨ ɡɚɦɿɧɢ ɯ2
= ɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
1) ɯ2
= 1,5; ɡɜɿɞɤɢ ɯ1 = 1,5;− ɯ2 = 1,5;
2) ɯ2
= 4; ɡɜɿɞɤɢ ɯ3 = –2; ɯ4 = 2.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. –2; 1,5;− 1,5; 2. Ɣ
ɒɥɹɯɨɦ ɡɚɦɿɧɢ ɯ2
= ɭ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɛɿɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡɜɨɞɢɬɶɫɹ ɞɨ ɪɨɡ-
ɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ȼɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɱɢ ɩɨɞɿɛɧɿ ɡɚɦɿɧɢ, ɚɧɚɥɨɝɿɱɧɢɦ ɫɩɨ-
ɫɨɛɨɦ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɬɢ ɣ ɞɟɹɤɿ ɿɧɲɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɩɪɢɤɥɚɞɢ.
ɉɪɢɤɥɚɞ 3. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɯ2
– 3ɯ)2
+ ɯ2
– 3ɯ – 20 = 0.
Ɣ ɇɟɯɚɣ ɯ2
– 3ɯ = ɭ. ȼɿɞɧɨɫɧɨ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ ɦɚɽɦɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɭ2
+ ɭ – 20 = 0.
Ƀɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ ɭ1 = –5, ɭ2 = 4.
ɍɪɚɯɭɜɚɜɲɢ ɡɚɦɿɧɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
1) ɯ2
– 3ɯ = –5; ɯ2
– 3ɯ + 5 = 0; D = (–3)2
– 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = –11 0.
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɣ, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ.
2) ɯ2
– 3ɯ = 4; ɯ2
– 3ɯ – 4 = 0; ɯ1 = –1; ɯ2 = 4.
ɉɪɢɤɥɚɞ 4. Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 8 0.x x− − =
Ɣ ɇɟɯɚɣ ,x y= ɬɨɞɿ ɯ = ɭ2
. Ɇɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
2 8 0,y y− − = ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɹɤɨɝɨ ɽ
ɱɢɫɥɚ ɭ1 = –2, ɭ2 = 4.
ɍɪɚɯɭɜɚɜɲɢ ɡɚɦɿɧɭ, ɦɚɬɢɦɟɦɨ:
1) 2x = − — ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ; 2) 4;x = ɯ = 16.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 16. Ɣ

796. ɚ)
2
0;
4
x x
x
− =
+
ɛ)
2
5 4 0;
5
x x
x
− + =
−
ɜ)
2
3 5 2
0;
4
y y
y
− −
=
−
ɝ)
2
3 0;
3
x x
x
− =
−
ɞ)
2
6 0;
2
x x
x
+ − =
−
ɟ)
2
4 11 3
0.
3
y y
y
+ −
=
+
797. ɚ)
2
49 0;
3
x
x
− =
+
ɛ)
2
8 7 0;
7
x x
x
− + =
−
ɜ)
2
2 9 11 0.
1
x x
x
+ − =
−
798. ɚ)
2
100 0;
3 4 3 4
x
x x
− =
− −
ɛ)
2
5 20 ;
4 4
z z
z z
=
− −
ɜ)
2
12
.
3 3
y y
y y
+
=
+ +
799. ɚ)
2
6 0;
6 6
t t
t t
+ =
+ +
ɛ)
2
7 2 6 ;
4 4
x x x
x x
+ −=
+ +
ɜ)
2
12 4 0.
6 6
x x
x x
− − =
− −
800. ɚ)
2
2
5 2;
3
x x
x
− =
+
ɛ) 2 3 ;
2
x x
x
+ =
+
ɜ) 32 12;y
y
− = −
ɝ)
2
2
18 4 3;x
x x
− =
−
ɞ)
2
7 2 ;
4
x x
x
− =
−
ɟ) 201 .y
y
− =
801. ɚ)
2
9 14;
1
x x
x
+ =
+
ɛ) 2 15 ;
6
x x
x
− =
−
ɜ) 76 .y
y
+ =
802. ɚ) ɯ4
– 5ɯ2
+ 4 = 0; ɛ) ɯ4
– 7ɯ2
– 18 = 0; ɜ) ɯ4
+ ɯ2
– 6 = 0.
803. ɚ) ɯ4
– 3ɯ2
– 4 = 0; ɛ) ɯ4
– 10ɯ2
+ 9 = 0; ɜ) ɯ4
– 7ɯ2
+ 12 = 0.
804. ɚ)
2
2
12 0;
16
x x
x
+ − =
−
ɛ)
2
2
3 8 3 0;
1
9
x x
x
+ − =
−

ɜ)
2
2
2 9 5 0;
6 5
x x
x x
+ − =
+ +
ɝ)
2
2 5 2 0.
(2 1)( 2)
x x
x x
− + =
− −
805. ɚ)
2
2
2 11 5 0;
4 1
x x
x
− + =
−
ɛ)
2
2
4 4 3 0.
4 8 3
x x
x x
− − =
+ +
806. ɚ) 8 5 9 ;
2
x x
x x
− =
+
ɛ) 5 23 12 6 ;
2 1
x x
x x
+ −=
+
ɜ) 1 2 1;
1 3x x
+ =
+ +
ɝ) 10 5.
3 2
x x
x x
−− =
− +
807. ɚ)
22( 1) 21 9 ;
1
x x
x x
− −=
+
ɛ) 27 17 1;
28
x xx
x
+ += +
ɜ) 3 29 3.
2 6 4
x
x x
+ + =
− +
808. ɚ) 2
22 4 28 2;
2 1 1 21 4 x xx
− + = −
− +−
ɛ) 2
7 27 18 8;
4 4 16x x x
+ − =
− + −
ɜ) 2 2
2 3 2 0;
3 9 3x x x x
− + =
+ − −
ɝ) 2 2
18 9 27 0.
66 36xx x x
− + =
−+ −
809. ɚ) 2
12 8 9 1;
1 11
x
x xx
−+ + = −
+ −−
ɛ) 2 2
3 5 10 0.
9 9 81x x x x
+ − =
− + −
810. ɚ) ɯ3
– 5ɯ = 0; ɛ) 4ɯ3
– 3ɯ2
– ɯ = 0.
811. ɚ) 2ɯ3
+ 4ɯ = 0; ɛ) ɯ3
– 11ɯ2
+ 30ɯ = 0.
812. ɚ) 2ɯ4
– 9ɯ2
+ 4 = 0; ɛ) 36ɯ4
– 7ɯ2
– 4 = 0;
ɜ) (ɯ – 4)4
– 3(ɯ – 4)2
– 4 = 0; ɝ) (2ɯ + 3)4
– 20(2ɯ + 3)2
+ 64 = 0.
813. ɚ) 4ɯ4
– 17ɯ2
+ 4 = 0; ɛ) 9ɯ4
+ 8ɯ2
– 1 = 0;
ɜ) (ɯ + 2)4
– 8(ɯ + 2)2
+ 7 = 0; ɝ) (3ɯ – 1)4
+ 6(3ɯ – 1)2
+ 8 = 0.
814. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɦɟɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɯ + 5)4
– 2(ɯ + 5)2
– 3 = 0.
815. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2ɯ4
+ 5ɯ2
– 3 = 0.

ɚ) 2
4 10 15 ;
1 2 2 14 4 1
x
x xx x
+ − =
− ++ +
ɛ) 2
2 7 14 0;
5 3 2 15
x
x x x x
+ + =
− + − −
ɜ) 2
6 8 1 2;
2 53 10
x x
x xx x
+ +− + =
+ −− −
ɝ)
2 2
2 2
3 2 1 2 ;
2
− + − −
+ = +
y y y y
yy y
ɞ)
2
2
3 2
2,5;
2 3
y y y
y y y
− −
+ = −
− −
ɟ)
2
2
4 9 3 2.
3 4 9
x x x
x x x
+ + −+ = −
− + +
ɚ)
2
2 3 0;x x
x a
− − =
+
ɛ)
2
( 1)
0.
2
x a x a
x
− + +
=
−
ɚ) 2 2 2
( 1) 11( 1) 24 0;x x− − − + = ɛ) 2 2 2
( ) 2( ) 8 0;x x x x− + − − =
ɜ) ( )( )2 2
5 5 2 24;x x x x+ + − = ɝ) ( )( )2 2
2 1 2 3 8;x x x x+ + + + =
ɞ) ( )
22
5 7 ( 2)( 3) 1;x x x x− + − − − = ɟ) (ɯ – 1)(ɯ – 2)(ɯ – 3)(ɯ – 4) = 120;
ɽ) (ɯ – 1)ɯ(ɯ + 1)(ɯ + 2) = 24; ɠ) (ɯ + 3)2
(ɯ + 2)(ɯ + 4) = 12.
ɚ) ɚ4
– 10ɚ2
+ 9; ɛ) (b2
+ 2b)2
– 2(b2
+ 2b) – 3.
820. ɚ) 2
3 5 3;x x− + = ɛ) 2
3 14 9 1.x x− + =
821. ɚ) 6 5 0;x x− + = ɛ) 6 0;x x+ − =
ɜ) 1 2 12;x x− + = ɝ) 20 22;x x+ + =
ɞ) 2 2
3 7 3 5;x x x x− − = − − + ɟ) 2
( 1)( 4) 3 5 2 6.x x x x+ + = + + +

ɚ)
2 6
3 4
24 ;
32
a c
a c
ɛ)
4 2
2 2
4
.
2
x y
x y y
−
+
823. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ ( )4 : .ab a ba b a b
a b a b
−− + = −
+ +
ɚ) 5 8 3 16 6 32 6 64;+ − − ɛ) ( )( )3 2 12 8 .+ −
825. Ɇɨɪɫɶɤɚ ɜɨɞɚ ɦɿɫɬɢɬɶ 5% ɫɨɥɿ (ɡɚ ɦɚɫɨɸ). ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɿɥɨɝɪɚɦɿɜ ɩɪɿɫɧɨʀ
ɜɨɞɢ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɨɞɚɬɢ ɞɨ 30 ɤɝ ɦɨɪɫɶɤɨʀ, ɳɨɛ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɪɨɡɱɢɧ, ɭ ɹɤɨɦɭ
ɜɿɞɫɨɬɤɨɜɢɣ ɭɦɿɫɬ ɫɨɥɿ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɜ ɛɢ 1,5%?
826. ȱɡ ɞɜɨɯ ɫɿɥ ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɢɪɭɲɢɥɢ ɩɿɲɨɯɿɞ ɿ ɜɟɥɨ-
ɫɢɩɟɞɢɫɬ. ɉɪɨɣɲɨɜɲɢ 2 ɤɦ, ɩɿɲɨɯɿɞ ɡɭɫɬɪɿɜ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ, ɹɤɢɣ ɧɚ ɰɟɣ
ɱɚɫ ɩɪɨʀɯɚɜ 6 ɤɦ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɿɲɨɯɨɞɚ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɧɚ 8 ɤɦ/ɝɨɞ
ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɜɟɥɨɫɢɩɟɞɢɫɬɚ.
827. Ʉɨɠɧɭ ɬɨɱɤɭ ɩɪɹɦɨʀ ɩɨɮɚɪɛɨɜɚɧɨ ɜ ɫɢɧɿɣ ɚɛɨ ɱɟɪɜɨɧɢɣ ɤɨɥɶɨɪɢ. Ⱦɨɜɟ-
ɞɿɬɶ, ɳɨ ɧɚ ɰɿɣ ɩɪɹɦɿɣ ɡɧɚɣɞɭɬɶɫɹ ɬɪɢ ɪɿɡɧɿ ɬɨɱɤɢ Ⱥ, ȼ, ɋ, ɹɤɿ ɩɨɮɚɪɛɨ-
ɜɚɧɿ ɨɞɧɢɦ ɤɨɥɶɨɪɨɦ ɿ ɬɚɤɿ, ɳɨ ɬɨɱɤɚ ɋ — ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɚ Ⱥȼ.
ȼɢ ɜɠɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɥɢ ɡɚɞɚɱɿ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɡ ɨɞɧɿɽɸ
ɡɦɿɧɧɨɸ ɬɚ ɫɢɫɬɟɦ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɿɡ ɞɜɨɦɚ ɡɦɿɧɧɢɦɢ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɡɚɞɚɱɿ,
ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɹɤɢɯ ɩɪɢɜɨɞɢɬɶ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ.
Ɂɚɞɚɱɚ 1. Ⱦɨɜɠɢɧɚ ɤɥɚɫɧɨʀ ɞɨɲɤɢ ɧɚ 1,3 ɦ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɢɪɢɧɢ. Ɂɧɚɣɬɢ ɪɨɡɦɿ-
ɪɢ ɞɨɲɤɢ, ɹɤɳɨ ʀʀ ɩɥɨɳɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3 ɦ2
.

25. Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɡɚɞɚɱ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ 193
Ɣ ɇɟɯɚɣ ɲɢɪɢɧɚ ɞɨɲɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɯ ɦ. Ɍɨɞɿ ɞɨɜɠɢɧɚ ɞɨɲɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
(ɯ + 1,3) ɦ, ɚ ɩɥɨɳɚ — ɯ(ɯ + 1,3) ɦ2
. Ɂɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ ɩɥɨɳɚ ɞɨɲɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
3 ɦ2
. Ɇɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ: ɯ(ɯ + 1,3) = 3, ɡɜɿɞɤɢ ɯ2
+ 1,3ɯ – 3 = 0. Ʉɨɪɟɧɹɦɢ ɨɞɟɪ-
ɠɚɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɽ ɱɢɫɥɚ ɯ1 = –2,5 ɬɚ ɯ2 = 1,2. ɉɟɪɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɧɟ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ
ɭɦɨɜɭ ɡɚɞɚɱɿ. Ɉɬɠɟ, ɲɢɪɢɧɚ ɞɨɲɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1,2 ɦ, ɚ ɞɨɜɠɢɧɚ — 1,2 + 1,3 =
= 2,5 (ɦ).
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 1,2 ɦ; 2,5 ɦ. Ɣ
Ɂɚɞɚɱɚ 2. Ɇɨɬɨɪɧɢɣ ɱɨɜɟɧ ɡɚ 2 ɝɨɞ ɩɪɨɣɲɨɜ 15 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 14 ɤɦ
ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ. Ɂɧɚɣɬɢ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟ-
ɱɿʀ ɪɿɱɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3 ɤɦ/ɝɨɞ.
Ɣ ɇɟɯɚɣ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɯ ɤɦ/ɝɨɞ, ɬɨɞɿ ɲɜɢɞ-
ɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ (ɯ + 3) ɤɦ/ɝɨɞ, ɚ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ —
(ɯ – 3) ɤɦ/ɝɨɞ.
ɒɥɹɯ 15 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɱɨɜɟɧ ɩɪɨɣɲɨɜ ɡɚ 15
3x +
ɝɨɞ, ɚ ɲɥɹɯ 14 ɤɦ
ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ — ɡɚ 14
3x −
ɝɨɞ. ɇɚ ɜɟɫɶ ɲɥɹɯ ɱɨɜɟɧ ɡɚɬɪɚɬɢɜ ( )15 14
3 3x x
+
+ −
ɝɨɞ,
ɳɨ ɡɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2 ɝɨɞ. Ɇɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
15 14 2.
3 3x x
+ =
+ −
15 14 2 0;
3 3x x
+ − =
+ −
15( 3) 14( 3) 2( 3)( 3)
0;
( 3)( 3)
x x x x
x x
− + + − + −
=
+ −
2
2 29 15 0;
( 3)( 3)
x x
x x
− + + =
+ −
2
2 29 15 0;
( 3)( 3) 0;
x x
x x
− + + =
®
+ − ≠¯
ɯ1 = –0,5; ɯ2 = 15.
ɑɢɫɥɨ –0,5 ɧɟ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ ɭɦɨɜɭ ɡɚɞɚɱɿ. Ɉɬɠɟ, ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹ-
ɱɿɣ ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 15 ɤɦ/ɝɨɞ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 15 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɣ
Ɂɚɞɚɱɚ 3. Ⱦɜɿ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɧɿ ɥɿɧɿʀ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɪɚɡɨɦ, ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɢ ɡɚɦɨɜɥɟɧɭ ɩɚɪ-
ɬɿɸ ɭɩɚɤɨɜɨɤ ɡɚ 4 ɞɧɿ. Ɂɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɞɧɿɜ ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚɦɨɜɥɟɧɧɹ ɤɨɠɧɚ
ɥɿɧɿɹ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ, ɹɤɳɨ ɩɟɪɲɚ ɦɨɠɟ ɰɟ ɡɪɨɛɢɬɢ ɧɚ 6 ɞɧɿɜ ɲɜɢɞ-
ɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɚ?

Ɣ Ɂɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ ɫɤɥɚɞɚɽɦɨ ɬɚɛɥɢɰɸ:
Ⱥɜɬɨɦɚɬɢɱɧɿ
ɥɿɧɿʀ
Ʉɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɞɧɿɜ
ɑɚɫɬɢɧɚ ɡɚɦɨɜɥɟɧɧɹ,
ɹɤɭ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶ ɡɚ ɨɞɢɧ ɞɟɧɶ
ȱ x
1
x
ȱȱ x + 6
1
6x +
ȱ ɿ ȱȱ 4
1
4
ɚɛɨ
1
x
+
1
6x +
Ɇɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ: 1 1 1 .
6 4x x
+ =
+
1 1 1 0;
6 4x x
+ − =
+
4( 6) 4 ( 6)
0;
4 ( 6)
x x x x
x x
+ + − +
=
+
2
2 24 0;
4 ( 6)
x x
x x
− + + =
+
2
2 24 0;
( 6) 0;
x x
x x
− + + =
®
+ ≠¯
ɯ1 = –4; ɯ2 = 6.
ɑɢɫɥɨ –4 ɧɟ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ ɭɦɨɜɭ ɡɚɞɚɱɿ. Ɉɬɠɟ, ɩɟɪɲɚ ɥɿɧɿɹ ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚ-
ɬɢ ɡɚɦɨɜɥɟɧɧɹ ɡɚ 6 ɞɧɿɜ, ɚ ɞɪɭɝɚ — ɡɚ 6 + 6 = 12 (ɞɧɿɜ).
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 6 ɞɧɿɜ; 12 ɞɧɿɜ. Ɣ
Ɂɚɞɚɱɚ 4. ɉɨʀɡɞ ɛɭɜ ɡɚɬɪɢɦɚɧɢɣ ɭ ɞɨɪɨɡɿ ɧɚ 20 ɯɜ. Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɳɨɛ ɩɪɢɛɭɬɢ ɧɚ
ɫɬɚɧɰɿɸ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɱɚɫɧɨ, ɜɿɧ ɡɚ 160 ɤɦ ɜɿɞ ɰɿɽʀ ɫɬɚɧɰɿʀ ɡɛɿɥɶɲɢɜ
ɫɜɨɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɧɚ 16 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɬɢ ɩɨɱɚɬɤɨɜɭ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɨʀɡɞɚ.
Ɣ Ɂɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ ɫɤɥɚɞɚɽɦɨ ɬɚɛɥɢɰɸ:
ɍɦɨɜɚ ɪɭɯɭ ɒɥɹɯ, ɤɦ ɒɜɢɞɤɿɫɬɶ,
ɤɦ/ɝɨɞ
ɑɚɫ, ɝɨɞ
Ȼɟɡ ɡɚɩɿɡɧɟɧɧɹ 160 ɯ
160
x
Ʌɿɤɜɿɞɨɜɭɸɱɢ
ɡɚɩɿɡɧɟɧɧɹ ɧɚ
20 ɯɜ
160 ɯ + 16
160
16x +
20 ɯɜ =
1
3
ɝɨɞ.

Ɇɚɽɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
160 160 1
.
16 3x x
− =
+
Ɋɨɡɜ’ɹɠɟɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɩɨɦɧɨɠɢɜɲɢ ɨɛɢɞɜɿ ɣɨɝɨ ɱɚɫɬɢɧɢ ɧɚ 3x(x + 16):
480(x + 16) – 480x = x(x + 16); 480x + 7680 – 480x = x2
+ 16x;
x2
+ 16x – 7680 = 0; x1 = –96; x2 = 80.
əɤɳɨ x = –96 ɚɛɨ x = 80, ɬɨ 3x(x + 16) 0, ɬɨɦɭ ɞɚɧɿ ɱɢɫɥɚ ɽ ɤɨɪɟɧɹɦɢ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
ɑɢɫɥɨ –96 ɧɟ ɡɚɞɨɜɨɥɶɧɹɽ ɭɦɨɜɭ ɡɚɞɚɱɿ. Ɉɬɠɟ, ɩɨɱɚɬɤɨɜɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɨ-
ʀɡɞɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɥɚ 80 ɤɦ/ɝɨɞ.
ȼɿɞɩɨɜɿɞɶ. 80 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɣ
828. ȼɿɞ ɤɟɪɚɦɿɱɧɨʀ ɩɥɢɬɤɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɜɿɞɪɿɡɚɥɢ ɫɦɭɝɭ ɡɚɜɲɢɪɲɤɢ
10 ɫɦ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɨɱɚɬɤɨɜɿ ɪɨɡɦɿɪɢ ɩɥɢɬɤɢ, ɹɤɳɨ ɩɥɨɳɚ ʀʀ ɱɚɫɬɢɧɢ, ɭɬɜɨ-
ɪɟɧɨʀ ɩɿɫɥɹ ɜɿɞɪɿɡɚɧɧɹ ɫɦɭɝɢ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1200 ɫɦ2
.
829. ɉɥɨɳɚ ɞɿɥɹɧɤɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 32 ɦ2
. Ⱦɨɜɠɢɧɚ ɞɿɥɹɧɤɢ ɧɚ
4 ɦ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ʀʀ ɲɢɪɢɧɢ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɪɨɡɦɿɪɢ ɞɿɥɹɧɤɢ.
830. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɬɨɪɨɧɢ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ, ɩɟɪɢɦɟɬɪ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 30 ɫɦ, ɚ ɩɥɨ-
ɳɚ — 56 ɫɦ2
.
831. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 135. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɳɨ ɨɞɧɟ ɡ ɧɢɯ ɧɚ
6 ɛɿɥɶɲɟ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ.
832. Ɉɞɧɟ ɱɢɫɥɨ ɦɟɧɲɟ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ ɧɚ 20, ɚ ʀɯ ɞɨɛɭɬɨɤ ɞɨɪɿɜɧɸɽ –91. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ
ɰɿ ɱɢɫɥɚ.
833. Ɋɿɡɧɢɰɹ ɞɜɨɯ ɞɨɞɚɬɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 23, ɚ ʀɯ ɞɨɛɭɬɨɤ — 420. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ
ɰɿ ɱɢɫɥɚ.
834. ȼɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɞɜɨɦɚ ɦɿɫɬɚɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 180 ɤɦ. ɉɚɫɚɠɢɪɫɶɤɢɣ ɩɨʀɡɞ
ɩɪɨɣɲɨɜ ɲɥɹɯ ɦɿɠ ɰɢɦɢ ɦɿɫɬɚɦɢ ɧɚ 1 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɬɨɜɚɪɧɢɣ, ɛɨ ɣɨ-
ɝɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɛɭɥɚ ɧɚ 30 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɬɨɜɚɪɧɨɝɨ. Ɂɧɚɣ-
ɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɩɨʀɡɞɿɜ.
835. ɓɨɛ ɩɨɬɪɚɩɢɬɢ ɡ ɦɿɫɬɚ ɞɨ ɫɟɥɚ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɪɨʀɯɚɬɢ 40 ɤɦ ɩɨ ɲɨɫɟ, ɚ ɩɨ-
ɬɿɦ ɳɟ 8 ɤɦ ɩɨ ʉɪɭɧɬɨɜɿɣ ɞɨɪɨɡɿ. ɇɚ ɲɥɹɯ ɜɿɞ ɦɿɫɬɚ ɞɨ ɫɟɥɚ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ

ɡɚɬɪɚɬɢɜ 1 ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬɚ ɧɚ ɲɨɫɟ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɧɚ
10 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɧɚ ʉɪɭɧɬɨɜɿɣ ɞɨɪɨɡɿ.
836. Ɍɨɤɚɪ ɡɚ ɩɟɜɧɢɣ ɱɚɫ ɦɚɜ ɜɢɝɨɬɨɜɢɬɢ 96 ɞɟɬɚɥɟɣ. ȼɢɝɨɬɨɜɥɹɸɱɢ ɳɨɝɨɞɢ-
ɧɢ ɧɚ 2 ɞɟɬɚɥɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɩɥɚɧɭɜɚɥɨɫɹ, ɜɿɧ ɜɢɤɨɧɚɜ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɧɚ 4 ɝɨɞ
ɲɜɢɞɲɟ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɟɬɚɥɟɣ ɬɨɤɚɪ ɩɥɚɧɭɜɚɜ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɬɢ ɳɨɝɨɞɢɧɢ?
837. Ⱥɧɞɪɿɣ ɧɚɛɪɚɜ ɧɚ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿ 20 ɫɬɨɪɿɧɨɤ ɬɟɤɫɬɭ ɡɚ ɩɟɜɧɢɣ ɱɚɫ. əɤɛɢ ɜɿɧ
ɧɚɛɢɪɚɜ ɳɨɝɨɞɢɧɢ ɧɚ 1 ɫɬɨɪɿɧɤɭ ɛɿɥɶɲɟ, ɬɨ ɡɚɜɟɪɲɢɜ ɛɢ ɧɚɛɿɪ ɧɚ 1 ɝɨɞ
ɲɜɢɞɲɟ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɫɬɨɪɿɧɨɤ ɧɚɛɢɪɚɜ Ⱥɧɞɪɿɣ ɡɚ 1 ɝɨɞ?
838. Ʉɚɬɟɪ ɡɚ 1 ɝɨɞ ɩɪɨɣɲɨɜ 12 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 9 ɤɦ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ. Ɂɧɚɣ-
ɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜ-
ɧɸɽ 21 ɤɦ/ɝɨɞ.
839. Ɇɨɬɨɪɧɢɣ ɱɨɜɟɧ ɡɚ 2 ɝɨɞ ɩɪɨɣɲɨɜ 24 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 6 ɤɦ ɩɪɨɬɢ ɬɟ-
ɱɿʀ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2 ɤɦ/ɝɨɞ.
840. ɇɚɜɤɨɥɨ ɫɩɨɪɬɢɜɧɨɝɨ ɦɚɣɞɚɧɱɢɤɚ, ɹɤɢɣ ɦɚɽ ɮɨɪɦɭ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ, ɡɪɨɛ-
ɥɟɧɚ ɞɨɪɿɠɤɚ ɡɚɜɲɢɪɲɤɢ 3 ɦ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɪɨɡɦɿɪɢ ɦɚɣɞɚɧɱɢɤɚ, ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ
ɞɨɜɠɢɧɚ ɧɚ 12 ɦ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɢɪɢɧɢ, ɚ ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɩɥɨɳɚ ɦɚɣɞɚɧɱɢɤɚ ɬɚ
ɞɨɪɿɠɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1260 ɦ2
.
841. ȱɡ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨɝɨ ɥɢɫɬɚ ɠɟɪɫɬɿ, ɪɨɡɦɿɪɢ ɹɤɨɝɨ
ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ 30 ɫɦ × 48 ɫɦ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɜɢɝɨ-
ɬɨɜɢɬɢ ɜɿɞɤɪɢɬɭ ɤɨɪɨɛɤɭ. Ⱦɥɹ ɰɶɨɝɨ ɩɨ ɤɭɬɚɯ
ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ ɜɢɪɿɡɭɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɢ, ɚ ɩɨɬɿɦ
ɡɚɝɢɧɚɸɬɶ ɤɪɚʀ ɥɢɫɬɚ (ɪɢɫ. 16). Ɂɧɚɣɞɿɬɶ,
ɹɤɨɸ ɡɚɜɞɨɜɠɤɢ ɦɚɽ ɛɭɬɢ ɫɬɨɪɨɧɚ ɜɢɪɿɡɚɧɨɝɨ
ɤɜɚɞɪɚɬɚ, ɳɨɛ ɩɥɨɳɚ ɞɧɚ ɤɨɪɨɛɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸ-
ɜɚɥɚ 1008 ɫɦ2
?
842. Ɉɞɧɟ ɱɢɫɥɨ ɛɿɥɶɲɟ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ ɧɚ 3. əɤɳɨ ɜɿɞ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɛɿɥɶɲɨɝɨ ɱɢɫɥɚ
ɜɿɞɧɹɬɢ ɦɟɧɲɟ ɱɢɫɥɨ, ɩɨɦɧɨɠɟɧɟ ɧɚ 10, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ 69. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ
ɱɢɫɥɚ.

843. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɜɚ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɫɭɦɢ ɹɤɢɯ ɛɿɥɶɲɢɣ
ɜɿɞ ɫɭɦɢ ʀɯɧɿɯ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɧɚ 180.
844. Ɂɧɚɦɟɧɧɢɤ ɡɜɢɱɚɣɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ 2 ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ. əɤɳɨ ɜɿɞ ɱɢ-
ɫɟɥɶɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɜɿɞɧɹɬɢ 1, ɚ ɞɨ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɨɞɚɬɢ 3, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ,
ɹɤɢɣ ɧɚ 7
20
ɦɟɧɲɢɣ ɜɿɞ ɞɚɧɨɝɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɚɧɢɣ ɞɪɿɛ.
845. ɑɢɫɟɥɶɧɢɤ ɡɜɢɱɚɣɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɧɚ 5. əɤɳɨ ɞɨ ɱɢ-
ɫɟɥɶɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɞɨɞɚɬɢ 3, ɚ ɜɿɞ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɜɿɞɧɹɬɢ 1, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ,
ɹɤɢɣ ɧɚ 6,5 ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɞɚɧɨɝɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɚɧɢɣ ɞɪɿɛ.
846. ɒɤɨɥɿ ɜɢɞɿɥɢɥɢ 72 ɬɢɫ. ɝɪɧ ɧɚ ɩɪɢɞɛɚɧɧɹ ɩɟɜɧɨʀ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɨɞɧɚɤɨɜɢɯ
ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿɜ. ɇɚ ɱɚɫ ɩɪɢɞɛɚɧɧɹ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿɜ ɰɿɧɚ ɤɨɠɧɨɝɨ ɡ ɧɢɯ ɡɦɟɧ-
ɲɢɥɚɫɶ ɧɚ 300 ɝɪɧ, ɬɨɦɭ ɤɭɩɢɥɢ ɧɚ ɨɞɢɧ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪ ɛɿɥɶɲɟ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɭ-
ɩɢɥɢ ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿɜ?
847. ɇɚ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɧɨɦɭ ɫɬɚɧɤɭ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɢ 300 ɞɟɬɚɥɟɣ. ɉɿɫɥɹ ɭɞɨɫɤɨɧɚɥɟɧɧɹ
ɫɬɚɧɤɚ ɬɚɤɭ ɫɚɦɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɞɟɬɚɥɟɣ ɜɿɧ ɜɢɝɨɬɨɜɢɜ ɧɚ 2,5 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɛɨ
ɡɚ ɝɨɞɢɧɭ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɜ ɧɚ 4 ɞɟɬɚɥɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɪɚɧɿɲɟ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɟɬɚɥɟɣ ɡɚ
ɝɨɞɢɧɭ ɩɨɱɚɜ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɬɢ ɫɬɚɧɨɤ?
848. Ⱦɜɚ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪɢ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɪɚɡɨɦ, ɜɢɪɢɥɢ ɤɚɧɚɜɭ ɡɚ 3 ɝɨɞ 45 ɯɜ. ɉɟɪ-
ɲɢɣ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɫɚɦ, ɦɨɠɟ ɜɢɪɢɬɢ ɤɚɧɚɜɭ ɧɚ 4 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ,
ɧɿɠ ɞɪɭɝɢɣ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɟ ɜɢɪɢɬɢ ɤɚɧɚɜɭ ɤɨɠɧɢɣ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪ, ɩɪɚ-
ɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ?
849. Ⱦɜɚ ɪɨɛɿɬɧɢɤɢ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɪɚɡɨɦ, ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɢ ɩɚɪɬɿɸ ɞɟɬɚɥɟɣ ɡɚ 6 ɝɨɞ.
ɉɟɪɲɢɣ ɪɨɛɿɬɧɢɤ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɫɚɦ, ɦɨɠɟ ɜɢɝɨɬɨɜɢɬɢ ɰɸ ɩɚɪɬɿɸ ɞɟɬɚɥɟɣ
ɧɚ 5 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɢɣ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɤɨɠɧɢɣ ɪɨɛɿɬɧɢɤ ɦɨɠɟ ɜɢɝɨ-
ɬɨɜɢɬɢ ɩɚɪɬɿɸ ɞɟɬɚɥɟɣ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ?
850. Ⱦɜɚ ɬɪɚɤɬɨɪɢ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɪɚɡɨɦ, ɡɨɪɚɥɢ ɡɚ 1 ɞɟɧɶ ɩɨɥɨɜɢɧɭ ɩɨɥɹ. Ɂɚ
ɫɤɿɥɶɤɢ ɞɧɿɜ ɦɨɠɟ ɡɨɪɚɬɢ ɜɫɟ ɩɨɥɟ ɤɨɠɧɢɣ ɬɪɚɤɬɨɪ ɨɤɪɟɦɨ, ɹɤɳɨ ɨɞɢɧ ɡ
ɧɢɯ ɦɨɠɟ ɰɟ ɡɪɨɛɢɬɢ ɧɚ 3 ɞɧɿ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɿɧɲɢɣ?
851. ɉɟɪɲɚ ɛɪɢɝɚɞɚ ɦɨɠɟ ɩɪɨɤɥɚɫɬɢ ɞɨɪɨɝɭ ɧɚ 3 ɞɧɿ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɚ. əɤ-
ɳɨ ɩɟɪɲɚ ɛɪɢɝɚɞɚ ɩɪɨɩɪɚɰɸɽ 6 ɞɧɿɜ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɞɪɭɝɚ 4 ɞɧɿ, ɬɨ ɜɨɧɢ ɩɪɨ-
ɤɥɚɞɭɬɶ ɭɫɸ ɞɨɪɨɝɭ. Ɂɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɞɧɿɜ ɦɨɠɟ ɩɪɨɤɥɚɫɬɢ ɞɨɪɨɝɭ ɨɞɧɚ ɩɟɪɲɚ
ɛɪɢɝɚɞɚ?

852. Ɂɚ 4 ɞɧɿ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɪɨɛɨɬɢ ɞɜɚ ɦɚɣɫɬɪɢ ɜɢɤɨɧɚɥɢ 3
5
ɭɫɶɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ. ɉɟɪ-
ɲɢɣ ɦɚɣɫɬɟɪ ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɜɫɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɧɚ 3 ɞɧɿ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɢɣ.
Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɤɨɠɧɢɣ ɦɚɣɫɬɟɪ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ?
853. Ɂ ɩɟɪɲɨʀ ɞɿɥɹɧɤɢ ɡɿɛɪɚɥɢ 2880 ɰ ɩɲɟɧɢɰɿ, ɚ ɡ ɞɪɭɝɨʀ, ɩɥɨɳɚ ɹɤɨʀ ɧɚ 12 ɝɚ
ɦɟɧɲɚ, — 2160 ɰ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɥɨɳɭ ɤɨɠɧɨʀ ɞɿɥɹɧɤɢ, ɤɨɥɢ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɡ
ɤɨɠɧɨɝɨ ɝɟɤɬɚɪɚ ɩɟɪɲɨʀ ɞɿɥɹɧɤɢ ɡɿɛɪɚɥɢ ɩɲɟɧɢɰɿ ɧɚ 4 ɰ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɡ
ɤɨɠɧɨɝɨ ɝɟɤɬɚɪɚ ɞɪɭɝɨʀ.
854. Ɇɨɬɨɪɧɢɣ ɱɨɜɟɧ ɩɪɨɩɥɢɜ 15 ɤɦ ɩɨ ɨɡɟɪɭ ɿ 30 ɤɦ ɩɨ ɪɿɱɰɿ, ɹɤɚ ɜɩɚɞɚɽ ɜ
ɨɡɟɪɨ. ɇɚ ɲɥɹɯ ɩɨ ɨɡɟɪɭ ɜɿɧ ɡɚɬɪɚɬɢɜ ɱɚɫɭ ɧɚ 1 ɝɨɞ 10 ɯɜ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɧɚ
ɲɥɹɯ ɩɨ ɪɿɱɰɿ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɱɨɜɧɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 3 ɤɦ/ɝɨɞ.
855. Ʉɚɬɟɪ ɩɪɨɩɥɢɜ 9 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 14 ɤɦ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ, ɡɚɬɪɚɬɢɜɲɢ ɧɚ
ɜɟɫɶ ɲɥɹɯ ɫɬɿɥɶɤɢ ɱɚɫɭ, ɫɤɿɥɶɤɢ ɣɨɦɭ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɞɥɹ ɩɨɞɨɥɚɧɧɹ 24 ɤɦ ɭ
ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 2 ɤɦ/ɝɨɞ.
856. Ɂ ɨɞɧɨɝɨ ɫɟɥɚ ɜ ɿɧɲɟ, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 24 ɤɦ, ɜɢʀɯɚɜ ɦɨɬɨ-
ɰɢɤɥɿɫɬ, ɚ ɱɟɪɟɡ 12 ɯɜ ɭɫɥɿɞ ɡɚ ɧɢɦ ɜɢʀɯɚɜ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ. ɍ ɞɪɭɝɟ ɫɟɥɨ ɦɨ-
ɬɨɰɢɤɥɿɫɬ ɬɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɪɢɛɭɥɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨ-
ɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɧɚ 20 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬɚ.
857. ɉɨʀɡɞ ɛɭɜ ɡɚɬɪɢɦɚɧɢɣ ɧɚ ɫɬɚɧɰɿʀ ɧɚ 6 ɯɜ. Ɂɛɿɥɶɲɢɜɲɢ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɧɚ
10 ɤɦ/ɝɨɞ, ɜɿɧ ɧɚ ɩɟɪɟɝɨɧɿ ɡɚɜɞɨɜɠɤɢ 90 ɤɦ ɥɿɤɜɿɞɭɜɚɜ ɜɿɞɫɬɚɜɚɧɧɹ ɜɿɞ
ɝɪɚɮɿɤɚ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɨʀɡɞɚ ɡɚ ɪɨɡɤɥɚɞɨɦ.
858. Ʉɨɠɧɚ ɞɿɜɱɢɧɚ 8 ɤɥɚɫɭ ɩɨɞɚɪɭɜɚɥɚ ɫɜɨɸ ɮɨɬɨɝɪɚɮɿɸ ɤɨɠɧɿɣ ɿɧɲɿɣ ɞɿɜ-
ɱɢɧɿ ɤɥɚɫɭ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɜɫɶɨɝɨ ɞɿɜɱɚɬ ɭ ɤɥɚɫɿ, ɹɤɳɨ ɡɚɝɚɥɨɦ ɜɨɧɢ ɨɛɦɿɧɹɥɢɫɹ
210 ɮɨɬɨɝɪɚɮɿɹɦɢ?
859. Ɍɨɱɤɚ C ɞɿɥɢɬɶ ɜɿɞɪɿɡɨɤ AB ɧɚ ɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɬɚɤ, ɳɨ AC : CB = CB : AB.
(Ɍɚɤɢɣ ɩɨɞɿɥ ɜɿɞɪɿɡɤɚ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ «ɡɨɥɨɬɢɦ ɩɨɞɿɥɨɦ», ɚɛɨ «ɡɨɥɨɬɢɦ ɩɟɪɟ-
ɪɿɡɨɦ».) Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹ AC : CB.

ɋɨɛɨɪ ɉɚɪɢɡɶɤɨʀ Ȼɨɝɨɦɚɬɟɪɿ (ɇɨɬɪ-Ⱦɚɦ ɞɟ ɉɚɪɿ)
860. Ⱦɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɝɥɢɛɢɧɢ ɩɿɞɡɟɦɧɨʀ ɩɨɪɨɠɧɢɧɢ ɫɩɟɥɟɨɥɨɝ ɤɢɧɭɜ ɧɚ ɞɧɨ
ɩɨɪɨɠɧɢɧɢ ɤɚɦɿɧɶ ɿ ɱɟɪɟɡ 4 ɫ ɩɨɱɭɜ ɡɜɭɤ ɜɿɞ ɣɨɝɨ ɩɚɞɿɧɧɹ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɝɥɢ-
ɛɢɧɭ ɩɨɪɨɠɧɢɧɢ ɡ ɬɨɱɧɿɫɬɸ ɞɨ 1 ɦ, ɜɜɚɠɚɸɱɢ, ɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɡɜɭɤɭ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ 340 ɦ/ɫ, ɚ ɤɚɦɿɧɶ, ɩɚɞɚɸɱɢ, ɡɚ ɩɟɪɲɿ t c ɩɪɨɥɿɬɚɽ 5t2
ɦ.
861. ȼɤɥɚɞɧɢɤ ɜɧɿɫ ɞɨ ɛɚɧɤɭ 5000 ɝɪɧ ɩɿɞ ɩɟɜɧɿ ɜɿɞɫɨɬɤɢ ɪɿɱɧɢɯ, ɿ ɱɟɪɟɡ
2 ɪɨɤɢ ɧɚ ɣɨɝɨ ɪɚɯɭɧɤɭ ɛɭɥɨ 6498 ɝɪɧ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɜɿɞɫɨɬɤɿɜ ɪɿɱɧɢɯ ɧɚɪɚɯɨ-
ɜɭɜɚɜ ɛɚɧɤ?
862. ɓɨɛ ɡɿɛɪɚɬɢ ɩɲɟɧɢɰɸ ɡ ɩɨɥɹ, ɩɟɪɲɨɦɭ ɤɨɦɛɚɣɧɭ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɧɚ 9 ɝɨɞ
ɦɟɧɲɟ ɱɚɫɭ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɨɦɭ, ɿ ɧɚ 3 ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɨɛɨɦ ɡɚ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɪɨɛɨɬɢ.
Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɤɨɠɧɢɣ ɤɨɦɛɚɣɧ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ, ɦɨɠɟ ɡɿɛɪɚɬɢ ɜɫɸ
ɩɲɟɧɢɰɸ?
863. Ⱥɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɡɚ ɩɟɜɧɢɣ ɱɚɫ ɦɚɜ ɩɨɞɨɥɚɬɢ ɲɥɹɯ 250 ɤɦ, ɪɭɯɚɸɱɢɫɶ ɡɿ ɫɬɚ-
ɥɨɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ. Ⱥɥɟ ɱɟɪɟɡ 2 ɝɨɞ ɩɿɫɥɹ ɩɨɱɚɬɤɭ ɪɭɯɭ ɜɿɧ ɛɭɜ ɡɚɬɪɢɦɚɧɢɣ
ɧɚ 5 ɯɜ ɿ, ɳɨɛ ɩɪɢɛɭɬɢ ɞɨ ɦɿɫɰɹ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɱɚɫɧɨ, ɡɛɿɥɶɲɢɜ ɲɜɢɞ-
ɤɿɫɬɶ ɧɚ 5 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ ɩɪɨɬɹɝɨɦ ɩɟɪɲɢɯ ɞɜɨɯ
ɝɨɞɢɧ ɪɭɯɭ.
864. Ȼɪɢɝɚɞɚ ɿɡ 5 ɬɨɤɚɪɿɜ ɣ ɨɞɧɨɝɨ ɭɱɧɹ ɡɚ ɩɟɜɧɢɣ ɱɚɫ ɦɚɥɚ ɜɢɝɨɬɨɜɢɬɢ
700 ɞɟɬɚɥɟɣ. Ʉɨɥɢ ɛɪɢɝɚɞɚ ɩɪɨɩɪɚɰɸɜɚɥɚ 5 ɞɧɿɜ, ɭɱɧɟɜɿ, ɹɤɢɣ ɜɢɝɨɬɨɜ-
ɥɹɜ ɡɚ ɞɟɧɶ ɧɚ 2 ɞɟɬɚɥɿ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɬɨɤɚɪɿɜ, ɞɨɪɭɱɢɥɢ ɿɧɲɭ ɪɨ-

ɛɨɬɭ, ɬɨɦɭ ɡɚ ɜɢɡɧɚɱɟɧɢɣ ɬɟɪɦɿɧ ɛɭɥɨ ɜɢɝɨɬɨɜɥɟɧɨ ɥɢɲɟ 650 ɞɟɬɚɥɟɣ.
ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɟɬɚɥɟɣ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɜ ɡɚ 1 ɞɟɧɶ ɭɱɟɧɶ?
ɚ) 42,25 0,04 3600;
9
⋅ + ⋅ ɛ) 1218 50 .
75
⋅ +
ɚ) 70 30 ;
35 15
−
−
ɛ) ( )
2
5 21 5 21 .− + +
867. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
ɚ) 1 4
1 1 1
b b
b b b
+ + ⋅
− − +
, ɹɤɳɨ b = 2;
ɛ) ( )
2
11 :
1 1
§ ·
+ − −¨ ¸− −© ¹
mm m
m m
, ɹɤɳɨ ɬ = 0,8.
( )
2
2 2
: 1a b a
a b a ba b
− −
− +−
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1.
ɚ) ɯ4
– 12ɯ2
+ 27 = 0; ɛ) 15 16 0.x x− − =
870. ɍ ɤɨɠɧɿɣ ɜɟɪɲɢɧɿ ɤɭɛɚ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɱɢɫɥɨ, ɹɤ
ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɧɚ ɪɢɫɭɧɤɭ 17. Ɂɚ ɨɞɢɧ ɤɪɨɤ ɞɨ
ɞɜɨɯ ɱɢɫɟɥ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɪɟɛɪɚ ɦɨɠɧɚ ɞɨɞɚɬɢ
ɩɨ 1. ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɡɚ ɤɿɥɶɤɚ ɬɚɤɢɯ ɤɪɨɤɿɜ ɞɨ-
ɛɢɬɢɫɹ ɬɨɝɨ, ɳɨɛ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ ɭ ɜɟɪɲɢɧɚɯ ɤɭ-
ɛɚ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɥɢ ɬɨɦɭ ɫɚɦɨɦɭ ɱɢɫɥɭ?
Ɋɢɫ. 17

Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɨɤɪɟɦɢɯ ɜɢɞɿɜ ɜɦɿɥɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɬɢ ɜɚɜɢɥɨɧɫɶɤɿ ɜɱɟɧɿ
ɳɟ ɛɥɢɡɶɤɨ 2 ɬɢɫ. ɪɨɤɿɜ ɞɨ ɧ. ɟ. ɉɿɡɧɿɲɟ ɞɚɜɧɶɨɝɪɟɰɶɤɿ ɬɚ ɿɧɞɿɣɫɶɤɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢ-
ɤɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɥɢ ɞɟɹɤɿ ɜɢɞɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɧɨ (ɡ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧ-
ɧɹɦ ɩɨɛɭɞɨɜ). ɍ IX ɫɬ. ɚɪɚɛɫɶɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ Ɇɭɯɚɦɦɟɞ ɛɟɧ Ɇɭɫɚ ɚɥ-
ɏɨɪɟɡɦɿ ɡɿɛɪɚɜ ɿ ɫɢɫɬɟɦɚɬɢɡɭɜɚɜ ɫɩɨɫɨɛɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ.
ɍ ɬɪɚɤɬɚɬɿ «Ʉɿɬɚɛ ɚɥ-ɞɠɟɛɪ ɚɥ-ɦɭɤɚɛɚɥɚ» ɜɿɧ ɩɨɹɫɧɢɜ ɩɪɢɣɨɦɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ
ɪɿɜɧɹɧɶ ɜɢɞɭ ax2
= bx, ax2
= c, ax2
+ bx = c, ax2
+ c = bx, ɞɟ ɚ, b, ɫ — ɞɨɞɚɬɧɿ
ɱɢɫɥɚ. ɉɨɞɿɥ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɧɚ ɬɚɤɿ ɜɢɞɢ ɨɛɭɦɨɜɥɟɧɢɣ ɬɢɦ, ɳɨ ɧɚ ɬɨɣ
ɱɚɫ ɧɟ ɜɢɡɧɚɜɚɥɢ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɬɨɦɭ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɜ ɪɿɜɧɹɧɧɿ ɦɚɥɢ ɛɭɬɢ ɞɨ-
ɞɚɬɧɢɦɢ. Ɂɪɨɡɭɦɿɥɨ, ɳɨ ɣ ɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ ɬɨɞɿ ɧɟ ɡɧɚɯɨɞɢɥɢ.
Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɫɟɪɟɞɧɶɨɜɿɱɧɨɝɨ ɋɯɨɞɭ ɲɭɤɚɥɢ ɬɚɤɨɠ ɫɩɨɫɨɛɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭ-
ɜɚɧɧɹ ɤɭɛɿɱɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ — ɪɿɜɧɹɧɶ ɜɢɞɭ ax3
+ bx2
+ cx + d = 0, ɞɟ a 0. ɉɪɨɬɟ
ɜɢɜɟɫɬɢ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɬɚɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ʀɦ ɧɟ ɜɞɚɥɨɫɹ.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɥɢ ɰɸ ɩɪɨɛɥɟɦɭ ɜ ȯɜɪɨɩɿ. Ɉɬɪɢɦɚɧɚ ɜ XVI ɫɬ. ɮɨɪɦɭɥɚ ɞɥɹ ɤɨ-
ɪɟɧɿɜ ɤɭɛɿɱɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɫɬɚɥɚ ɩɟɪɲɢɦ ɜɟɥɢɤɢɦ ɜɿɞɤɪɢɬɬɹɦ ɽɜɪɨɩɟɣɫɶɤɨʀ ɦɚ-
ɬɟɦɚɬɢɤɢ.
ɍ XVI ɫɬ. ɜ ȱɬɚɥɿʀ ɛɭɥɢ ɩɨɲɢɪɟɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɬɭɪɧɿɪɢ, ɧɚ ɹɤɢɯ ɩɟɪɟ-
ɦɨɠɰɟɦ ɜɢɡɧɚɜɚɥɢ ɬɨɝɨ, ɯɬɨ ɪɨɡɜ’ɹɠɟ ɛɿɥɶɲɟ ɡɚɞɚɱ, ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɯ ɫɭɩɟɪ-
ɧɢɤɨɦ. ɍɱɚɫɧɢɤ ɬɭɪɧɿɪɭ ɦɿɝ ɩɪɨɩɨɧɭɜɚɬɢ ɥɢɲɟ ɬɿ ɡɚɞɚɱɿ, ɹɤɿ ɫɚɦ ɦɿɝ ɪɨɡ-
ɜ’ɹɡɚɬɢ. Ɍɨɦɭ ɤɨɥɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ ɡɧɚɯɨɞɢɜ ɦɟɬɨɞ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɡɚɞɚɱ ɩɟɜɧɨɝɨ
ɬɢɩɭ, ɜɿɧ ɧɟ ɩɨɫɩɿɲɚɜ ɪɨɡɤɪɢɜɚɬɢ ɫɜɿɣ ɫɟɤɪɟɬ. ȼɨɥɨɞɿɸɱɢ ɬɚɽɦɧɢɰɟɸ, ɜɿɧ ɦɿɝ
ɜɢɤɥɢɤɚɬɢ ɧɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɬɭɪɧɿɪɢ ɿɧɲɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɿɜ ɿ, ɩɟɪɟɦɚɝɚɸɱɢ ʀɯ, ɡɞɨ-
ɛɭɬɢ ɫɥɚɜɭ ɧɟɩɟɪɟɜɟɪɲɟɧɨɝɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ. Ʉɨɥɢ ɨɞɧɨɦɭ ɡ ɿɬɚɥɿɣɫɶɤɢɯ ɦɚɬɟɦɚ-
ɬɢɤɿɜ ɫɬɚɜ ɜɿɞɨɦɢɣ ɫɩɨɫɿɛ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɪɿɜɧɹɧɶ ɜɢɞɭ ɯ3
+ ɪɯ = q, ɞɟ ɪ ɿ q —
ɞɨɞɚɬɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɜɿɧ ɜɢɤɥɢɤɚɜ ɧɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɬɭɪɧɿɪ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ-ɫɚɦɨɭɱɤɭ
ɇɿɤɤɨɥɨ Ɍɚɪɬɚɥɶɸ (1499 – 1557). Ɂɚ ɤɿɥɶɤɚ ɞɧɿɜ ɞɨ ɬɭɪɧɿɪɭ Ɍɚɪɬɚɥɶɹ ɡɧɚɣ-
ɲɨɜ ɡɚɝɚɥɶɧɢɣ ɦɟɬɨɞ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɤɭɛɿɱɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɿ ɩɟɪɟɦɿɝ, ɲɜɢɞɤɨ
ɪɨɡɜ’ɹɡɚɜɲɢ ɜɫɿ 30 ɡɚɞɚɱ, ɡɚɩɪɨɩɨɧɨɜɚɧɢɯ ɣɨɦɭ ɫɭɩɟɪɧɢɤɨɦ.

Ⱦɠɟɪɨɥɚɦɨ Ʉɚɪɞɚɧɨ
(1501 – 1576) —
ɿɬɚɥɿɣɫɶɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ,
ɮɿɥɨɫɨɮ, ɥɿɤɚɪ
Ɂɧɚɣɞɟɧɭ Ɍɚɪɬɚɥɶɽɸ ɮɨɪɦɭɥɭ ɞɥɹ ɤɨɪɟɧɿɜ
ɤɭɛɿɱɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɨɩɭɛɥɿɤɭɜɚɜ ɿɬɚɥɿɣɫɶɤɢɣ
ɭɱɟɧɢɣ Ⱦɠɟɪɨɥɚɦɨ Ʉɚɪɞɚɧɨ (1501 – 1576),
ɹɤɢɣ ɞɿɡɧɚɜɫɹ ʀʀ ɜɿɞ Ɍɚɪɬɚɥɶʀ. Ɂɚɪɚɡ ɰɹ ɮɨɪɦɭɥɚ
ɜɿɞɨɦɚ ɹɤ ɮɨɪɦɭɥɚ Ʉɚɪɞɚɧɨ1
. Ɂɝɨɞɨɦ Ʌɭʀɞɠɿ
Ɏɟɪɪɚɪɿ (1522 – 1565), ɭɱɟɧɶ Ʉɚɪɞɚɧɨ, ɡɧɚɣɲɨɜ
ɫɩɨɫɿɛ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɪɿɜɧɹɧɶ 4-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ.
Ɏɨɪɦɭɥɢ ɞɥɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɶ ɜɿɞ 1-ɝɨ ɞɨ
4-ɝɨ ɫɬɟɩɟɧɿɜ ɜɢɪɚɠɚɸɬɶ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ ɱɟɪɟɡ ɤɨɟɮɿ-
ɰɿɽɧɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. əɤɳɨ ɜɫɿ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɦɨɠɧɚ ɜɢɪɚɡɢɬɢ ɱɟɪɟɡ ɣɨɝɨ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɡɚ ɞɨ-
ɩɨɦɨɝɨɸ ɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɞɿɣ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ, ɜɿɞ-
ɧɿɦɚɧɧɹ, ɦɧɨɠɟɧɧɹ, ɞɿɥɟɧɧɹ ɿ ɞɨɛɭɜɚɧɧɹ ɤɨɪɟɧɹ,
ɬɨ ɤɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɰɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ
ɚɥɝɟɛɪɚʀɱɧɨ, ɚɛɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɜ ɪɚɞɢɤɚɥɚɯ.
ɇɿɥɶɫ Ƚɟɧɪɿɯ Ⱥɛɟɥɶ
(1802 – 1829),
ɧɨɪɜɟɡɶɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ
ɑɢ ɦɨɠɧɚ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɜ ɪɚɞɢɤɚɥɚɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɩ’ɹɬɨɝɨ ɿ ɜɢɳɢɯ ɫɬɟɩɟɧɿɜ? ɉɪɨɬɹɝɨɦ ɦɚɣɠɟ
ɬɪɶɨɯ ɫɬɨɥɿɬɶ ɫɩɪɨɛɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɿɜ ɜɿɞɩɨɜɿɫɬɢ ɧɚ
ɰɟ ɩɢɬɚɧɧɹ ɛɭɥɢ ɧɟɜɞɚɥɢɦɢ. Ʌɢɲɟ ɧɚ ɩɨɱɚɬɤɭ
XȱX ɫɬɨɥɿɬɬɹ ɧɨɪɜɟɡɶɤɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤ ɇɿɥɶɫ Ƚɟɧ-
ɪɿɯ Ⱥɛɟɥɶ (1802 – 1829) ɞɨɜɿɜ, ɳɨ ɬɚɤɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɜ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɜ ɪɚɞɢɤɚɥɚɯ
ɧɟɦɨɠɥɢɜɨ.
ɉɪɨɬɟ ɰɟ ɧɟ ɨɡɧɚɱɚɽ, ɳɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɶ
ɜɢɳɟ ɱɟɬɜɟɪɬɨɝɨ ɫɬɟɩɟɧɹ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɡɧɚɣɬɢ. ɇɟ
ɿɫɧɭɽ ɥɢɲɟ ɡɚɝɚɥɶɧɢɯ ɮɨɪɦɭɥ, ɹɤɿ ɜɢɪɚɠɚɥɢ ɛ
ɤɨɪɟɧɿ ɱɟɪɟɡ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
1
Ʉɚɪɞɚɧɨ ɜɿɞɨɦɢɣ ɬɚɤɨɠ ɹɤ ɜɟɥɢɤɢɣ ɜɢɧɚɯɿɞɧɢɤ: ɞɨ ɣɨɝɨ ɞɨɪɨɛɤɭ ɧɚɥɟɠɚɬɶ ɞɨɛɪɟ ɜɿ-
ɞɨɦɿ ɜɨɞɿɹɦ ɬɚ ɦɟɯɚɧɿɤɚɦ ɤɚɪɞɚɧɧɢɣ ɜɚɥ, ɤɚɪɞɚɧɧɚ ɦɭɮɬɚ, ɤɚɪɞɚɧɧɚ ɩɟɪɟɞɚɱɚ.

1. əɤɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ?
2. əɤ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ax2
+ bx + ɫ = 0?
3. ɍɤɚɠɿɬɶ ɬɢɩɢ ɧɟɩɨɜɧɢɯ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ.
4. əɤ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax2
+ bx = 0?
5. əɤ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax2
+ ɫ = 0?
6. ɍɤɚɠɿɬɶ ɤɨɪɿɧɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ax2
= 0.
7. əɤɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɡɜɟɞɟɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ?
8. Ɂɚ ɹɤɨɸ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɨɛɱɢɫɥɸɸɬɶ ɞɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ?
9. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɳɨ D 0? D 0? D = 0?
10. Ɂɚ ɹɤɨɸ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɡɧɚɯɨɞɹɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ? ȼɢ-
ɜɟɞɿɬɶ ɰɸ ɮɨɪɦɭɥɭ.
11. ɋɮɨɪɦɭɥɸɣɬɟ ɬɟɨɪɟɦɭ ȼɿɽɬɚ ɞɥɹ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɰɸ ɬɟɨɪɟɦɭ.
12. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɚ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ax2
+ bx + ɫ = 0?
13. əɤɢɣ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɬɪɢɱɥɟɧɨɦ?
14. əɤ ɪɨɡɤɥɚɫɬɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ? ɇɚɜɟɞɿɬɶ ɩɪɢ-
ɤɥɚɞ.
871. ɚ) 0,3ɯ2
– 4,8 = 0; ɛ) 20,5 – 4,1ɯ2
= 0;
ɜ) 15
3
ɯ2
– 2 = 10; ɝ) 2,4ɯ2
– 3
8
= 4,425;
ɞ) 6ɯ2
– 3,6ɯ = 0; ɟ) 5,3ɯ2
– 1,06ɯ = 0.
872. ɚ) ɯ2
– 5ɯ – 14 = 0; ɛ) ɯ2
+ 4ɯ – 60 = 0;
ɜ) 2ɯ2
– ɯ – 1 = 0; ɝ) 4ɯ2
– 11ɯ – 3 = 0;
ɞ) 5ɯ2
– 21ɯ + 4 = 0; ɟ) 3ɯ2
+ 5ɯ + 2 = 0.
873. ɑɢ ɦɨɠɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɯ2
– 5ɯ + 15 ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ 5?

ɚ) (ɯ – 4)2
– 36 = 0; ɛ) (2ɯ + 3)2
– 25 = 0;
ɜ) (ɯ + 4)(ɯ – 1) – 5ɯ = 2ɯ2
– 4; ɝ) (ɯ – 3)2
– (3ɯ – 5)2
= 0;
ɞ) (7ɯ – 1)2
– (ɯ + 9)2
= 0; ɟ) (ɯ – 5)2
– (3ɯ + 2)2
= (4ɯ – 1)(ɯ – 4).
875. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– 7ɯ – 4 = 0; ɛ) 5ɯ2
+ 24ɯ + 6 = 0.
876. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɜɿɥɶɧɢɣ ɱɥɟɧ q ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0,
ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ 15 ɿ –2.
877. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ p ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0,
ɹɤɳɨ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɽ ɱɢɫɥɚ 2 3− ɿ 2 3+ .
878. ɑɢɫɥɚ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ p ɿ q, ɹɤɳɨ:
ɚ) ɯ1 + ɯ2 = 4; ɯ1 · ɯ2 = –5; ɛ) ɯ1 + ɯ2 = –2,7; ɯ1 · ɯ2 = 0,5.
+ 3ɯ – 6 = 0 ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ,
ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ) (ɯ1 + ɯ2)3
– 3ɯ1ɯ2; ɛ) 1 2
1 2
2
.
x x
x x+
880*. ɇɟ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɱɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 4ɯ – 7 = 0, ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2 2
1 2 ,x x− −
+ ɞɟ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
881. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɭɫɧɨ):
ɚ) ɯ2
+ 3ɯ – 4 = 0; ɛ) ɯ2
+ 7ɯ + 10 = 0.
Ɋɨɡɤɥɚɞɿɬɶ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ:
882. ɚ) ɯ2
– 10ɯ + 21; ɛ) 2ɯ2
+ 3ɯ – 5; ɜ) ɯ2
– 8ɯ + 16.
883*.ɚ) ɯ4
– 7ɯ2
+ 12; ɛ) ɯ2
– 4ɚɯ + 3ɚ2
; ɜ) 2ɬ2
– mn – 10n2
.
ɚ)
2
3 18;
3
+ −
−
x x
x
ɛ)
2
2
4 3 1;
6 5
+ −
+ +
x x
x x
ɜ)
2 2
2 2
2 15 .
2 9 9
+ −
− +
a ab b
a ab b
ɚ)
2
2
2 5 3 2 8;
2 112
a a a
aa a
− − +⋅
++ −
ɛ)
2
2
6 8 2 .
13 4
x x
xx x
− + +
+− −

886. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɨʀ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
2
2
4 4 3 4 2:
2 54 4 15
m m m
mm m
− − +
++ −
887. ɚ) ɯ3
– 3ɯ = 0; ɛ) ɯ3
– 0,64ɯ = 0.
888. ɚ) ɯ4
– 3ɯ2
+ 2 = 0; ɛ) ɯ4
– 8ɯ2
– 9 = 0;
ɜ) (ɯ + 7)4
– 2(ɯ + 7)2
– 8 = 0; ɝ) (5ɯ – 2)4
– 7(5ɯ – 2)2
+ 12 = 0.
889*.ɚ) ( )
22 2
6;x x x x− + − = ɛ) ( ) ( )
22 2
3 2 4 3 2 5 0;x x x x+ − + − =
ɜ) ( )( )2 2
1 2 12;x x x x+ + + + = ɝ) 2 2
( 4 1)( 4 3) 12 0.x x x x− + − − − =
890*.ɚ) 3 4 0;x x+ − = ɛ) 2
7 7 5.x x− + =
891. ɚ)
2
5 24 0;
3
z z
z
+ − =
−
ɛ)
2
5 5 11 0;
2 2
x x
x x
− ++ =
+ +
ɜ) 7 13 ;
2 3
x x
x x
+ −=
−
ɝ) 1 2 ;
5 3
x x
x x
+=
+ −
ɞ)
2
1 3 4 ;
3 1 ( 3)( 1)
x x x x
x x x x
− + + −− =
− + − +
ɟ) 2
5( 2)2 3 0;
4 416
xx x
x xx
++ − + =
− +−
ɽ) 2
2 1 2 12 5 ;
2 5 3 10
x x x
x x x x
− + −− =
+ − − −
ɠ)
2
2
2 1 3 2 1,5.
3 2 2 1
x x
x x
− +− =
+ −
892. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ4
– 17ɯ3
+ 72ɯ2
= 0.
893. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɯ2
– 5ɯ – 24)(2ɯ2
– 5ɯ + 3) = 0.
894. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 11 3 33
2 1 1
− +− =
− −
x x .
x x
895*. Ʉɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 16ɯ + ɬ = 0 ɜɿɞɧɨɫɹɬɶɫɹ ɹɤ 1 : 7. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬ ɬ.
896*. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɫɭɦɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ (2 – ɚ – ɚ2
)ɯ – ɚ2
= 0 ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ?
897*. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ k, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (k – 3)ɯ2
+ (k2
– 4k + 3)x + 1 = 0
ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ, ɳɨ ɽ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ.
898*. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ k ɪɿɜɧɹɧɧɹ kɯ2
– 2(k – 3)x + k – 4 = 0 ɦɚɽ
ɤɨɪɟɧɿ?

899. Ɉɞɧɚ ɫɬɨɪɨɧɚ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ ɧɚ 3 ɫɦ ɞɨɜɲɚ ɜɿɞ ɿɧɲɨʀ, ɚ ɣɨɝɨ ɩɥɨɳɚ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ 130 ɫɦ2
. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɟɪɢɦɟɬɪ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ.
900. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɹɤɟ ɦɟɧɲɟ ɜɿɞ ɫɜɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɧɚ 12.
901. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɢɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ʀɯ ɫɭɦɢ ɧɚ 5.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ ɱɢɫɥɚ.
902. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɬɚɤɿ ɬɪɢ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿ ɧɟɩɚɪɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɳɨɛ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɩɟɪɲɢɯ
ɞɜɨɯ ɱɢɫɟɥ ɛɭɥɚ ɛɿɥɶɲɨɸ ɜɿɞ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɬɪɟɬɶɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɧɚ 9.
903. Ɉɞɢɧ ɤɚɬɟɬ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨɝɨ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ ɧɚ 1 ɫɦ ɤɨɪɨɬɲɢɣ ɜɿɞ ɝɿɩɨɬɟɧɭɡɢ ɿ
ɧɚ 1 ɫɦ ɞɨɜɲɢɣ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ ɤɚɬɟɬɚ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɬɨɪɨɧɢ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ.
904. ɒɢɪɢɧɚ ɤɿɦɧɚɬɢ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɞɨɜɠɢɧɢ ɧɚ 1 ɦ ɿ ɜɿɞ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ — ɧɚ 2 ɦ.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɥɨɳɭ ɤɿɦɧɚɬɢ.
905. Ɂɧɚɦɟɧɧɢɤ ɡɜɢɱɚɣɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ 7 ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ. əɤɳɨ ɞɨ ɱɢ-
ɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɞɨɞɚɬɢ 2, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ, ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ
ɞɚɧɨɝɨ ɧɚ 1
12
. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɚɧɢɣ ɞɪɿɛ.
906. ɋɭɦɚ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɡɜɢɱɚɣɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 13. əɤɳɨ ɞɨ
ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɞɨɞɚɬɢ 7, ɚ ɜɿɞ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɜɿɞɧɹɬɢ 9, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ
ɞɪɿɛ, ɹɤɢɣ ɭ ɞɨɛɭɬɤɭ ɡ ɞɚɧɢɦ ɞɪɨɛɨɦ ɞɚɽ 3. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɚɧɢɣ ɞɪɿɛ.
907. Ʉɚɬɟɪ ɩɪɨɩɥɢɜ 18 ɤɦ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɿ 16 ɤɦ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ. ɇɚ ɲɥɹɯ ɡɚ ɬɟ-
ɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ ɜɿɧ ɡɚɬɪɚɬɢɜ ɱɚɫɭ ɧɚ 15 ɯɜ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɧɚ ɲɥɹɯ ɩɪɨɬɢ ɬɟɱɿʀ.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɪɿɱɤɢ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ ɜɨɞɿ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ 20 ɤɦ/ɝɨɞ.
908. ȼɿɞ ɩɪɢɫɬɚɧɿ ɜɿɞɩɥɢɜ ɩɥɿɬ, ɚ ɱɟɪɟɡ 9 ɝɨɞ — ɦɨɬɨɪɧɢɣ ɱɨɜɟɧ, ɹɤɢɣ ɧɚɡɞɨ-
ɝɧɚɜ ɩɥɿɬ ɧɚ ɜɿɞɫɬɚɧɿ 21 ɤɦ ɜɿɞ ɩɪɢɫɬɚɧɿ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɥɨɬɭ, ɹɤɳɨ
ɜɨɧɚ ɧɚ 12 ɤɦ/ɝɨɞ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɱɨɜɧɚ ɡɚ ɬɟɱɿɽɸ ɪɿɱɤɢ.
909. ȼɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɡɚɥɿɡɧɢɱɧɢɦɢ ɫɬɚɧɰɿɹɦɢ A ɿ B ɞɨɪɿɜɧɸɽ 230 ɤɦ. Ɂɿ ɫɬɚɧɰɿʀ A
ɞɨ ɫɬɚɧɰɿʀ B ɜɢɪɭɲɢɜ ɬɨɜɚɪɧɢɣ ɩɨʀɡɞ, ɚ ɱɟɪɟɡ 1 ɝɨɞ ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ ɣɨɦɭ ɡɿ
ɫɬɚɧɰɿʀ B — ɩɚɫɚɠɢɪɫɶɤɢɣ. ɉɨʀɡɞɢ ɡɭɫɬɪɿɥɢɫɹ ɧɚ ɜɿɞɫɬɚɧɿ 140 ɤɦ ɜɿɞ
ɫɬɚɧɰɿʀ A. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɩɚɫɚɠɢɪɫɶɤɨɝɨ ɩɨʀɡɞɚ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɧɚ
20 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɬɨɜɚɪɧɨɝɨ.
910. Ⱥɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɨɞɨɥɚɜ ɲɥɹɯ ɦɿɠ ɦɿɫɬɚɦɢ A ɿ B ɡɚɜɞɨɜɠɤɢ 132 ɤɦ. ɉɨɜɟɪ-
ɬɚɸɱɢɫɶ ɧɚɡɚɞ, ɜɿɧ ɡɦɟɧɲɢɜ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɧɚ 6 ɤɦ/ɝɨɞ, ɬɨɦɭ ɡɚɬɪɚɬɢɜ ɧɚ

ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɲɥɹɯ ɧɚ 10 ɯɜ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɧɚ ɲɥɹɯ ɜɿɞ A ɞɨ B. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ
ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ ɩɿɞ ɱɚɫ ɪɭɯɭ ɜɿɞ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B.
911. ȼɚɧɬɚɠɧɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɟɪɟɜɿɡ ɜɚɧɬɚɠ ɡ ɩɭɧɤɬɭ A ɜ ɩɭɧɤɬ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ
ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 48 ɤɦ. ɉɨɜɟɪɬɚɸɱɢɫɶ ɧɚɡɚɞ, ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɩɪɨʀɯɚɜ 1
4
ɲɥɹɯɭ ɡ ɬɿɽɸ ɠ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ, ɡ ɹɤɨɸ ʀɯɚɜ ɜɿɞ A ɞɨ B, ɚ ɩɨɬɿɦ ɡɛɿɥɶɲɢɜ
ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɧɚ 12 ɤɦ/ɝɨɞ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ ɩɿɞ ɱɚɫ ɪɭɯɭ ɜɿɞ
A ɞɨ B, ɹɤɳɨ ɧɚ ɲɥɹɯ ɜɿɞ A ɞɨ B ɿ ɧɚ ɡɜɨɪɨɬɧɢɣ ɲɥɹɯ ɜɿɧ ɡɚɬɪɚɬɢɜ
1 ɝɨɞ 30 ɯɜ.
912. Ⱦɜɚ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪɢ ɪɿɡɧɨʀ ɩɨɬɭɠɧɨɫɬɿ ɦɨɠɭɬɶ ɜɢɪɢɬɢ ɤɨɬɥɨɜɚɧ ɡɚ 4 ɞɧɿ.
Ɍɪɟɬɢɧɭ ɤɨɬɥɨɜɚɧɭ ɩɟɪɲɢɣ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪ ɦɨɠɟ ɜɢɪɢɬɢ ɧɚ 2 ɞɧɿ ɲɜɢɞɲɟ,
ɧɿɠ ɞɪɭɝɢɣ. Ɂɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɞɧɿɜ ɦɨɠɟ ɜɢɪɢɬɢ ɤɨɬɥɨɜɚɧ ɤɨɠɧɢɣ ɟɤɫɤɚɜɚɬɨɪ,
ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ?
913. Ⱦɜɚ ɪɨɛɿɬɧɢɤɢ ɦɨɠɭɬɶ ɜɢɤɨɧɚɬɢ 3
5
ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɡɚ 4 ɞɧɿ. Ɂɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɞɧɿɜ
ɡɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɤɨɠɧɢɣ ɪɨɛɿɬɧɢɤ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ, ɹɤɳɨ
ɩɨɥɨɜɢɧɭ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɨɞɢɧ ɡ ɧɢɯ ɜɢɤɨɧɭɽ ɧɚ 5 ɞɧɿɜ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɿɧɲɢɣ?
914. ȼɚɧɬɚɠ, ɡɚɝɚɥɶɧɚ ɦɚɫɚ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 60 ɬ, ɦɚɥɢ ɩɟɪɟɜɟɡɬɢ ɧɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿ-
ɥɹɯ, ɡɚɜɚɧɬɚɠɭɸɱɢ ʀɯ ɩɨɪɿɜɧɭ. ȼ ɨɫɬɚɧɧɿɣ ɦɨɦɟɧɬ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɟɡɟɧɧɹ ɜɚɧ-
ɬɚɠɭ ɜɢɞɿɥɢɥɢ ɧɚ 2 ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿ ɦɟɧɲɟ, ɚ ɬɨɦɭ ɧɚɜɚɧɬɚɠɢɥɢ ɧɚ ɤɨɠɧɢɣ
ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɧɚ 1 ɬ ɜɚɧɬɚɠɭ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɩɥɚɧɭɜɚɥɢ ɪɚɧɿɲɟ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɚɜɬɨ-
ɦɨɛɿɥɿɜ ɜɢɞɿɥɢɥɢ ɞɥɹ ɩɟɪɟɜɟɡɟɧɧɹ ɜɚɧɬɚɠɭ?
915*. ɍ ɩɟɪɲɨɦɭ ɤɜɚɪɬɚɥɿ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɨ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɨ 2000 ɨɞɢɧɢɰɶ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ,
ɚ ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ ɡɛɿɥɶɲɢɥɨ ɜɢɩɭɫɤ ɧɚ ɯ%. ɍ ɬɪɟɬɶɨɦɭ ɠ ɤɜɚɪɬɚɥɿ ɩɿɞɩɪɢ-
ɽɦɫɬɜɨ ɜɢɝɨɬɨɜɢɥɨ 3000 ɨɞɢɧɢɰɶ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ, ɳɨ ɧɚ (ɯ + 5)% ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ
ɭ ɞɪɭɝɨɦɭ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɯ.
Ɋɿɜɟɧɶ 1
1. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 2ɯ = 0.
ɚ) 1; –2; ɛ) 0; –2; ɜ) 0; 2; ɝ) –1; 2.

2. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 64 = 0.
ɚ) –64; 64; ɛ) 0; 64; ɜ) –2; 2; ɝ) –8; 8.
3. Ⱦɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 3ɯ2
+ 2ɯ – 1 = 0 ɞɨɪɿɜɧɸɽ:
ɚ) 22
– 4 ⋅ 3 ⋅ (–1); ɛ) 22
– 4 ⋅ 3 ⋅ 1;
ɜ) 32
– 4 ⋅ 2 ⋅ (–1); ɝ) 12
– 4 ⋅ 3 ⋅ 2.
4. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 7ɯ – 8 = 0.
ɚ) 1; 8; ɛ) 7; 8; ɜ) –8; 1; ɝ) –1; 8.
5. ɋɭɦɚ ɿ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ 11ɯ + 30 = 0 ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɞɨɪɿɜɧɸ-
ɸɬɶ:
ɚ) 11; 30; ɛ) –11; 30; ɜ) 11; –30; ɝ) –11; –30.
6. Ʉɨɪɟɧɹɦɢ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɯ2
– ɯ – 6 ɽ ɱɢɫɥɚ –2 ɿ 3. əɤɢɣ ɡ ɜɢɪɚɡɿɜ ɽ
ɪɨɡɤɥɚɞɨɦ ɰɶɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ?
ɚ) (ɯ – 2)(ɯ + 3); ɛ) (ɯ – 1)(ɯ + 6); ɜ) (ɯ + 2)(ɯ – 3); ɝ) (ɯ – 2)(ɯ – 3).
Ɋɿɜɟɧɶ 2
7. ɍɫɬɚɧɨɜɿɬɶ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɦɿɠ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦɢ (1–4) ɬɚ ʀɯ ɤɨɪɟɧɹɦɢ (Ⱥ–Ⱦ).
1) ɯ2
– 4 = 0; Ⱥ) –2, 6;
2) ɯ2
– 4ɯ = 0; Ȼ) 0, 2;
3) ɯ2
– 4ɯ – 12 = 0; ȼ) –2, 2;
4)
2
4 12 0.
6
x x
x
− − =
−
Ƚ) 0, 4;
Ⱦ) –2.
ɚ) ɯ2
+ 6ɯ + 8; ɛ) 2ɯ2
– 5ɯ + 3.
9. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 10ɯ + 24 = 0.
ɚ) (ɯ + 3)(2ɯ – 1) = ɯ2
+ 5ɯ – 7; ɛ)
2
6 3 0.
2
x x
x
+ − + =
−
11. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ –24. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ ɱɢɫɥɚ, ɹɤɳɨ ɨɞɧɟ ɡ ɧɢɯ ɧɚ
11 ɛɿɥɶɲɟ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ.

Ɋɿɜɟɧɶ 3
ɚ) 2 16 3 0;
3
x x− + = ɛ) ɯ4
+ 5ɯ2
– 6 = 0.
1 2 1 23 3x x x x+ , ɹɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
3ɯ2
+ 5ɯ – 2 = 0.
ɚ) 3 5 ;
1 2 4
x
x x
− =
− +
ɛ) 2
8 3 5 .
3 39
x x
x xx
+− = −
+ −−
15. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɨɞɢɧ ɡ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2ɯ2
– 4ɯ + b = 0
ɭɬɪɢɱɿ ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ.
16. Ɂ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B ɜɢʀɯɚɜ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ. ɑɟɪɟɡ 18 ɯɜ ɭɫɥɿɞ ɡɚ ɧɢɦ ɜɢʀɯɚɜ
ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ, ɹɤɢɣ, ɩɪɨʀɯɚɜɲɢ 40 ɤɦ, ɧɚɡɞɨɝɧɚɜ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬɚ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ
ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɚ ɧɚ 30 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɦɨ-
ɬɨɰɢɤɥɿɫɬɚ.
Ɋɿɜɟɧɶ 4
ɚ) ( )( )2 2
2 1 2 2 2;x x x x+ − + − = ɛ) 7 8 0.x x− − =
18. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– (ɚ + 2)ɯ + ɚ + 5 = 0 ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ?
19. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ b, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 3ɯ2
– bɯ – 2 = 0 ɡɚɞɨ-
ɜɨɥɶɧɹɸɬɶ ɭɦɨɜɭ ɯ1 + 6ɯ2 = 0, ɞɟ x1 — ɦɟɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ, ɚ x2 — ɛɿɥɶɲɢɣ
ɤɨɪɿɧɶ.
20. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
1 14 20 47
.
3 7 21 4
y y y
y y y y
+ − +
+ =
+ − + −
21. Ⱦɜɚ ɬɪɚɤɬɨɪɢ ɝɨɬɭɸɬɶ ɡɟɦɥɸ ɩɿɞ ɨɡɢɦɢɧɭ. ɉɪɨɬɹɝɨɦ 3 ɝɨɞ ɜɨɧɢ ɩɪɚɰɸ-
ɜɚɥɢ ɪɚɡɨɦ, ɩɿɫɥɹ ɱɨɝɨ ɳɟ 1 ɝɨɞ ɩɪɚɰɸɜɚɜ ɥɢɲɟ ɞɪɭɝɢɣ ɬɪɚɤɬɨɪ. Ɂɚ ɜɟɫɶ
ɰɟɣ ɱɚɫ ɬɪɚɤɬɨɪɢ ɩɿɞɝɨɬɭɜɚɥɢ ɩɨɥɨɜɢɧɭ ɩɨɥɹ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɟ ɩɿɞɝɨɬɭ-
ɜɚɬɢ ɜɫɟ ɩɨɥɟ ɤɨɠɧɢɣ ɬɪɚɤɬɨɪ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ, ɹɤɳɨ ɩɟɪɲɢɣ ɦɨɠɟ
ɰɟ ɡɪɨɛɢɬɢ ɧɚ 4 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɢɣ?

Ɂɚɞɚɱɿ ɡɚ ɤɭɪɫ ɚɥɝɟɛɪɢ 8 ɤɥɚɫɭ210
ɁȺȾȺɑȱ ɁȺ ɄɍɊɋ ȺɅȽȿȻɊɂ 8 ɄɅȺɋɍ
916. əɤɿ ɡ ɞɚɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ ɽ ɰɿɥɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ? ɞɪɨɛɨɜɢɦɢ ɜɢɪɚɡɚɦɢ? ɪɚɰɿɨ-
ɧɚɥɶɧɢɦɢ ɞɪɨɛɚɦɢ?
ɚ) 2,5 +
1
;
a
ɛ)
8
;
5
x
y
ɜ)
2
;
4
a b−
ɝ) .
1
c
c+
ɚ) 3 ;
5 1
b
b +
ɛ) 2
2 ;
3
x
x x
+
+
ɜ) 2
5 ;
4a
−
−
ɝ) 2
4 .
12x +
2
2 1
4
a
a
+
−
, ɹɤɳɨ:
ɚ) a = 5; ɛ) a = –6; ɜ) a = 4,5; ɝ) 1.
3
a =
2 2
2
2
x xy y
x
+ +
, ɹɤɳɨ:
ɚ) ɯ = 4; ɭ = 6; ɛ) ɯ = –4; ɭ = 4; ɜ) ɯ = 2,5; ɭ = 0,5; ɝ) 1 3; 1 .
4 4
x y= =
920. Ⱦɜɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɜɢʀɯɚɥɢ ɡ ɦɿɫɬɚ Ɇ ɞɨ ɦɿɫɬɚ N, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ
ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ S ɤɦ. ɉɟɪɲɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
ɚ ɤɦ/ɝɨɞ, ɚ ɞɪɭɝɢɣ — ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ b ɤɦ/ɝɨɞ, ɞɟ ɚ b.
ɚ) ɑɟɪɟɡ ɫɤɿɥɶɤɢ ɝɨɞɢɧ ɞɨ ɦɿɫɬɚ N ɩɪɢʀɞɟ ɩɟɪɲɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ; ɞɪɭɝɢɣ ɚɜ-
ɬɨɦɨɛɿɥɶ?
ɛ) ɇɚ ɹɤɿɣ ɜɿɞɫɬɚɧɿ ɜɿɞ ɦɿɫɬɚ N ɩɟɪɟɛɭɜɚɬɢɦɟ ɞɪɭɝɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɭ ɦɨ-
ɦɟɧɬ ɩɪɢɛɭɬɬɹ ɞɨ ɰɶɨɝɨ ɦɿɫɬɚ ɩɟɪɲɨɝɨ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ?
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɢɪɚɡɿɜ.
921. Ɂ ɦɿɫɬ Ⱥ ɿ ȼ, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ S ɤɦ, ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɧɚɡɭɫɬɪɿɱ
ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ ɜɢʀɯɚɥɢ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ ɬɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ. Ɇɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ
ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 60 ɤɦ/ɝɨɞ, ɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ — ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ b ɤɦ/ɝɨɞ.
ɚ) ɑɟɪɟɡ ɫɤɿɥɶɤɢ ɝɨɞɢɧ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ ɬɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ ɡɭɫɬɪɿɧɭɬɶɫɹ?
ɛ) əɤɢɣ ɲɥɹɯ ɩɪɨʀɞɟ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ ɧɚ ɦɨɦɟɧɬ ɣɨɝɨ ɡɭɫɬɪɿɱɿ ɡ ɚɜɬɨɦɨɛɿ-
ɥɟɦ?
Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɜɢɪɚɡɿɜ.

Ɂɚɞɚɱɿ ɡɚ ɤɭɪɫ ɚɥɝɟɛɪɢ 8 ɤɥɚɫɭ 211
ɚ)
2 5
4 3
42
;
36
x y
x y
ɛ)
2
2 2
6 6
;
xy y
x y
+
−
ɜ)
( )
2
2
6 9 ;
2 1
a a
a
− +
− −
ɝ)
2
2
2 1 ;a a
a ab a b
− +
+ − −
ɞ)
15
10 5
1 ;
1
x
x x
−
+ +
ɟ)
10
5
5 .
5
x
x
−
−
923. ɚ) 5 2 2 ;
2 1 2 1
a a
a a
− ++
+ +
ɛ) 3 6 ;
2 2
m
m m
−
− −
ɜ) 1 1 ;b a
a b b a
− −+
− −
ɝ) ;
2 2
m k m k
m n n m
+ −−
− −
ɞ)
2
2 2
4 4 ;
4 4
c c
c c
+ +
− −
ɟ)
2 4 4
2 2
4 3 2 .
2 2
a b b
a b b a
− −
− −
924. ɚ)
2
2 3
1 1 ;a b
a b ab
+ −+ ɛ) 3 4 4 3
5 1 3 1 ;
15 9
y x
x y x y
− −−
ɜ) ;
x y y
y x y
−
+
+
ɝ)
2
( 2)
2;
2
b
b
b
−
− +
+
ɞ) 2
5 10 ;
3 9 9z z
+
+ −
ɟ)
2
2 2
2 2 5 ;
2 4 4
a a ab
a b a ab b
−−
− − +
ɽ) 2
1 1 6 ;
2 2 4
x
x x x
−− +
− + −
ɠ) 2
4 342 2 .
2 2 4
y
y y y
−
+ +
− + −
ɚ)
3 2
3 2
24( 1) 25 ;
5 18( 1)
a b a
b a
+
⋅
+
ɛ)
2 2
2
27 ;
36
x yx
xyxy y
−
⋅
+
ɜ)
2 2
2
49 3 ;
3 9 14 49
a a a
a a a
− +⋅
+ + +
ɝ)
3
2 2
27 3 .
3 27 2 6 18
b b
b b b
− +⋅
− + +
926. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ:
ɚ)
43 4
2
2 ;
5
a b
c
§ ·
¨ ¸
© ¹
ɛ)
33 2
4
;
3
xy z
t
§ ·
−¨ ¸
© ¹
ɜ)
23 4
2 5
12 ;
6
abc an
n bc
§ ·
⋅¨ ¸
© ¹
ɝ)
44 33 2
4 2
3,5
.
7
km n
k mn
§ ·§ ·
− ⋅¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹

ɚ)
43
2 3
: ;
12 16
yxx
yz z
ɛ)
3 5
4 2
2
1,8
: (6 );
a b
a b c
c
ɜ)
2
2 2
2 3 6: ;
4 16
m mn m n
m n m n
+ +
− −
ɝ)
2 2 2 2
2 2
2 : .
3
a ab b a b
ab b b
+ + −
+
ɚ) 2
6
;
2
yxb b
x yy
⋅ + ɛ)
2
2
2 : ;b a b a ab
a a b ab b
+ ++
− −
ɜ) ( )
2
2
31 : 1 ;
2 4
c c
c c
§ ·
+ −¨ ¸+ −© ¹
ɝ) 2 2 2
2 3 3 3
;
2
x y x y x y
yx xy x y
§ ·− − +
− ⋅¨ ¸
− −© ¹
ɞ) 2 2
3 3 3 2 3 2 3 ;
2 3
a b a b a b
a b a b a b
− −§ ·− ⋅ − +¨ ¸+ − −© ¹
ɟ) ( ) 2 2
2 1: 1 .m n mm n m n
m n m n
− +§ ·+ − + − +¨ ¸+ −© ¹
929. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɣɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ ɞɚɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ:
ɚ) 2
1 1 ;
12 1
a
aa a
+ −
−+ +
ɚ = 15; ɛ)
2
2
( 2)
1;
4
b
b
−
−
−
b = –1,9.
930. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɜɢɪɚɡ
2 2
2 2
a ax ab bx a ax bx ab
a ax ab bx a ax bx ab
+ + + − − +⋅
− − + + − −
ɧɚɛɭɜɚɽ ɥɢɲɟ
ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ.
2 2
3 3 2 2 2:
x y x y y x x y x
xy xy y xxy y xy x
§ ·− + + +
− + −¨ ¸ −− −© ¹
ɧɟ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ.
ɚ)
2
: ;
xy y xx y
x y x y y
§ ·§ ·
− − =¨ ¸¨ ¸+ +© ¹ © ¹
ɛ) ( )
2 2
2 2
4( )1 1 2: 1 ;
2 2 54
a b
a b a b aa b
§ ·+
+ + =¨ ¸− + −© ¹
ɜ)
2 2
2 2 2 2
1 6 2 1 4 1 .
2 2 24 4
b a b
a b a b ab a a b
§ ·++ − = − ⋅ +¨ ¸− +− −© ¹

ɚ) ( )
3
2 222 32 (0,5) ;
5
−
− −
+ ⋅ + ɛ) ( )
27 3 7 9
3 3 5 :5 ;− − −
⋅ −
ɜ) ( )5 6 2
4 : 4 : 4 ;− − −
ɝ)
3 8
10
2 2 ;
2
− −
−
⋅
ɞ)
3 4
2
5 25 ;
125
−
⋅ ɟ)
5
6 5
6 .
2 3
−
− −
⋅
ɚ) ( ) ( )3 4 2 2
2 1,5 ;a b a b− −
⋅ ɛ) ( )1 3 2 3 9
(3 ) : ;x y x y− − −
ɜ)
3 5 1 2
3 3
12 ;
4
a b a c
c b
− − −
− −
⋅ ɝ)
2
4
12 9
3
;
5
x x y
y
−
−
−
§ ·
⋅ ⋅¨ ¸
© ¹
ɞ) ( ) ( )2 1 2
1 : ;a a a a− − −
− + + ɟ)
2 4
2 4
31 : 1 .
1 1
x x
x x
− −
− −
§ · § ·
+ −¨ ¸ ¨ ¸
+ −© ¹ © ¹
935. əɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɦɨɠɟ ɧɚɛɭɜɚɬɢ ɜɢɪɚɡ 12 3 30 15 18 3 0
: 2 −
⋅ + − ⋅ +a a a a a a a ?
936. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɰɿɥɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ m ɿ n ɜɢɪɚɡ
1 1
2 3 2 3
2 3
m n m n
m n
− −
⋅ − ⋅
⋅
ɧɚɛɭ-
ɜɚɽ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.
937*. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ
( )
1 1 2 2 2
2
1 1
( )
1
2( )
a b c b c a a b c
bca b c
− −
−
− −
+ + § ·+ −+ + +¨ ¸
− + © ¹
ɧɟ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ.
938. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɱɢɫɥɨ:
ɚ) 2800; ɛ) 645 000 000; ɜ) 0,025; ɝ) 0,000005.
939. Ɉɛɱɢɫɥɿɬɶ ɿ ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɱɢɫɥɨɦ ɭ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ:
ɚ) ( ) ( )12 15
4,5 10 6,4 10 ;−
⋅ ⋅ ⋅ ɛ) ( ) ( )3 7
5,4 10 : 3 10 ;−
⋅ ⋅
ɜ) 12 12
1,2 10 9,5 10 ;⋅ + ⋅ ɝ) 8 9
2,7 10 2,5 10 .− −
⋅ − ⋅
940. ɉɨɞɚɣɬɟ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɨɝɨ ɞɟɫɹɬɤɨɜɨɝɨ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɱɢɫɥɨ:
ɚ) 7 ;
16
ɛ) 7 ;
36
− ɜ) 5 ;
27
ɝ) 13 .
40
ɚ) 2
1;x + ɛ) ;x ɜ) 1 ;
3x +
ɝ) 5
4x −
.

ɚ) 253 625 12 ;
36
− ɛ) 710 0,81 3 2 ;
9
−
ɜ) 625 0,49 90 0,016;⋅ + ⋅ ɝ) 1123 27 ;
7
⋅ +
ɞ) 2 2
1,12 ( 1,12) ;− − ɟ) ( )
2
2
28 3 ( 8) 4.− − −
943. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ 5 2 6 3 2.+ = +
944. ɚ) 2 18 3 8 3 32;+ − ɛ) ( )14 12 18 3 : 3;
2
+ −
ɜ) ( )1 132 3 4 12 2 3
2 3
− + ⋅ ; ɝ) ( )( )2 5 3 2 5 3 ;− +
ɞ) ( ) ( )2 3 7 2 3 7 ;+ − ⋅ + + ɟ) ( ) ( )
2 2
2 2 18 2 8 ;− − +
ɽ) ( )
2
2 10 2 ;− + ɠ) ( ) ( )
2 2
2 2 1 2 2 10 .− + −
945. ɚ) 3 31 236 9 ;
2 3
xx x x+ − ɛ) ( )( )3 3 2;a a a− + − +
ɜ) ( )( )4 3 ;a b a b ab+ − − ɝ) ( )
2
2
5 2 4 20 .x y y xy− − +
946. ȼɧɟɫɿɬɶ ɦɧɨɠɧɢɤ ɩɿɞ ɡɧɚɤ ɤɨɪɟɧɹ:
ɚ) 2 5; ɛ) 0,7 10; ɜ) 7,a ɞɟ ɚ 0; ɝ) ,n m ɞɟ n 0.
ɚ) 15 15 ;
15
− ɛ) 20 4 ;
5 2
−
−
ɜ) 3 ;
3
−
+
c
c
ɝ) 2
3 .
3
−
−
x
x
ɚ) 1 ;
10
ɛ) 1 ;
2 3+
ɜ) 2 ;
5 2−
ɝ) 1 .
2 −a a
ɚ) 1 1 ;
8 3 8 3
−
− +
ɛ) 3 2 ;
3 2 3 2
−
− +

ɜ) ;a b b
b a b
− +
+
ɝ)
2 2
.
22
x yx y
x y xy
+−
⋅
+ +
950*. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ:
ɚ) ( )
2
3 5 3 5 ;− + + ɛ) 28 10 3 3;− +
ɜ) 9 4 5 9 4 5;+ − − ɝ) 11 2 11 2 .
11 2 11 2
− ++
+ −
951*. ɋɩɪɨɫɬɿɬɶ ɜɢɪɚɡ
1 .
2
a b a b a a
a ab ab b ab b ab
§ ·− + ++ ⋅ +¨ ¸
− − +© ¹
952*. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɶ:
( ) ( )
3
3
( ) 2 3
3 .
a b a b a a b b ab b a b
a ba a b b a b
−
− + + + − −− = ⋅
−+ +
953. ɚ) ɯ2
= 8; ɛ) ɯ2
= –8; ɜ) 4ɯ2
= 1; ɝ) 12 – 3ɯ2
= 0;
ɞ) ɯ2
–5ɯ = 0; ɟ) 2ɯ2
= –3ɯ; ɽ) ɯ3
+ 2ɯ2
= 0; ɠ) 9ɯ3
– ɯ = 0.
954. ɚ) ɯ2
– 2ɯ – 15 = 0; ɛ) 2ɯ2
– 5ɯ – 7 = 0;
ɜ) 15ɯ2
+ 75ɯ – 90 = 0; ɝ) 3ɯ2
– 4ɯ – 8 = 0.
955. ɚ) ( ) ( )
2 2
2 7 2 ;x x− = − ɛ) ( ) ( )
2
2 12 1 0;
2
x x− + − =
ɜ) ɯ3
– 5ɯ2
+ 6ɯ = 0; ɝ) ( ) ( )2
1 5 0.− + − =x x x x
956. ɚ) ɯ4
– 7ɯ2
– 18 = 0; ɛ) 4ɯ4
– 65ɯ2
+ 16 = 0;
ɜ) (ɯ + 4)4
– 15(ɯ + 4)2
– 16 = 0; ɝ) 3(2ɯ – 5)4
– 30(2ɯ – 5)2
+ 27 = 0.
957*.ɚ) ( ) ( )
22 2
3 3 3 28 0;x x x x− + − − = ɛ) ( )( )2 2
2 4 2 3 2;x x x x− − − − =
ɜ) ( ) ( ) ( )
2 2 22 2 2
2 1 2 2 2 3 60.x x x x x x+ + + + + − + + =
958. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 4 2
10 9 0.− + =x x
959. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɦɟɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2 2
(3 4 4)(4 4 3) 0.− − − − =x x x x
960. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɬɚ ɞɨɛɭɬɨɤ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
– 4ɯ – 7 = 0; ɛ) 3ɯ2
+ 6ɯ + 1 = 0.

961. Ɉɞɢɧ ɡ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 12ɯ2
+ ɯ + ɫ = 0 ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,25. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɱɢɫɥɨ ɫ
ɬɚ ɿɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
962. ɑɚɫɬɤɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 3ɯ2
+ bx + 2 = 0 ɞɨɪɿɜɧɸɽ 6. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ
ɬɚ ɱɢɫɥɨ b.
963. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 2(ɯ1 + ɯ2)2
– 5ɯ1ɯ2, ɹɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ ɯ2
– 11ɯ + 2 = 0.
964*.Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 3 3
1 25 5x x+ , ɹɤɳɨ ɯ1 ɬɚ ɯ2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɯ2
+ 7ɯ + 3 = 0.
965*. ɑɨɦɭ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ4
– 3ɯ2
+ 1 = 0?
966*. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ?
ɚ) ɚɯ2
– (2ɚ – 1)ɯ – 2 = 0; ɛ) ɚ2
ɯ2
+ (ɚ – 1)ɯ + 1 = 0.
967*. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɚ – 3)ɯ2
– (ɚ2
– 9)ɯ + 7 = 0 ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ, ɳɨ ɽ
ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ?
968*. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
– 3ɬɯ – ɬ2
– 1 = 0 ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɬ
ɧɟ ɦɚɽ ɞɜɨɯ ɞɨɞɚɬɧɢɯ ɤɨɪɟɧɿɜ.
969. ɚ) 2
2 1 0;
4 2 1
− =
− +
x
x x
ɛ)
2
12 35 0.
7
+ + =
+
x x
x
970. ɚ) 3 9 ;
3 3
xx
x x
− =
+ +
ɛ) 5 21 ;
2 3
x
x x
+ − =
+ −
ɜ) 3 2 1;
1 3x x
− =
+ +
ɝ) 1 2,5;
1
x x
x x
++ =
+
ɞ) 2
3 12 6 3;
1 5 1 5 1 25x x x
− − =
+ − −
ɟ) 2 2
2 35 7 0;
2 2 4
− − =
+ − −x x x x
ɽ)
2
2
2 6 4 8 3 30 1 0.
1 3 3 1 1 9
x x x x
x x x
+ + + −− − =
+ − −
971*. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
2
2
( 1)
0
1
a x x a
x
+ − −
=
+
ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ?
972*. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɚ:
ɚ) 2 1 0;
3
x a
x
− + =
−
ɛ) 2
2 0.
8
x a
x ax
− =
− −
973. ɚ) 2
2 3;− =x x ɛ) 1 1.
1
x
x
+ =
−
974. ɚ) 0,3;x = ɛ) 8;x = − ɜ) 2( 1) 4 .x x− = −

975*.ɚ) 5 1;− =x ɛ) 2
2 1 2;− + =x x
ɜ) 3 10 0;x x− − = ɝ) 2 2
3 3 6 0.x x x x+ + + − =
976. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɿ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚɪɝɭɦɟɧɬɭ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ
ɮɭɧɤɰɿʀ ɧɚɛɭɜɚɸɬɶ ɬɨɝɨ ɫɚɦɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ:
ɚ) y = ɯ2
ɬɚ ɭ = 6ɯ – 5; ɛ) 2= −y
x
ɬɚ ɭ = –8ɯ.
ɚ) ɭ = –2ɯ + 35 ɬɚ y = ɯ2
; ɛ) ɭ = 2ɯ ɬɚ .=y x
978. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɝɪɚɮɿɱɧɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ɯ2
= 1,5ɯ + 1; ɛ) 4 3;= −x
x
ɜ) 0,5 4.= − +x x
979. Ƚɪɚɮɿɤ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ A(−3; 2). ɑɢ
ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɰɟɣ ɝɪɚɮɿɤ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ B(−4; 1,5)?
ɚ) 2 ;xy
x
= − ɛ) 12 ;y
x
= ɜ)
2
6 ;y
x
= −
ɝ) 2
2;y x= + ɞ) 2
4 8 ;
2
xy
x x
−=
−
ɟ) .
1
x x xy
x
−=
−
981*. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ
1 , ɹɤɳɨ 0;
, ɹɤɳɨ 0
x
xy
x x
− °
= ®
° ≥¯
ɬɚ ɡɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯ,
ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1.
982. Ⱦɨɛɭɬɨɤ ɞɜɨɯ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɢɯ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ʀɯ ɫɭɦɢ ɧɚ 11. Ɂɧɚɣ-
ɞɿɬɶ ɰɿ ɱɢɫɥɚ.
983. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩ’ɹɬɶ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɢɯ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɹɤɳɨ ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚ-
ɬɿɜ ɬɪɶɨɯ ɩɟɪɲɢɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɫɭɦɿ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɞɜɨɯ ɨɫɬɚɧɧɿɯ.
984. Ƚɿɩɨɬɟɧɭɡɚ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɨɝɨ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ ɧɚ 4 ɫɦ ɞɨɜɲɚ ɜɿɞ ɨɞɧɨɝɨ ɤɚɬɟɬɚ
ɿ ɧɚ 2 ɫɦ — ɜɿɞ ɿɧɲɨɝɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɟɪɢɦɟɬɪ ɬɪɢɤɭɬɧɢɤɚ.
985. ɒɢɪɢɧɚ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ ɧɚ 2 ɫɦ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ ɞɨɜɠɢɧɢ ɿ ɧɚ 4 ɫɦ ɦɟɧɲɚ ɜɿɞ
ɣɨɝɨ ɞɿɚɝɨɧɚɥɿ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɥɨɳɭ ɩɪɹɦɨɤɭɬɧɢɤɚ.
986. Ɂɧɚɦɟɧɧɢɤ ɡɜɢɱɚɣɧɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ 4 ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɚ. əɤɳɨ ɞɨ ɱɢ-
ɫɟɥɶɧɢɤɚ ɞɪɨɛɭ ɞɨɞɚɬɢ 1, ɚ ɜɿɞ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚ ɜɿɞɧɹɬɢ 1, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɞɪɿɛ,
ɹɤɢɣ ɧɚ 3
10
ɛɿɥɶɲɢɣ ɜɿɞ ɞɚɧɨɝɨ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɞɚɧɢɣ ɞɪɿɛ.

987. Ɍɨɤɚɪ ɩɨɜɢɧɟɧ ɜɢɝɨɬɨɜɢɬɢ ɡɚ ɩɟɜɧɢɣ ɱɚɫ 70 ɞɟɬɚɥɟɣ. ɓɨɞɧɹ ɜɿɧ ɜɢɝɨɬɨ-
ɜɥɹɜ ɧɚ 2 ɞɟɬɚɥɿ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɩɥɚɧɭɜɚɜ, ɿ ɜɢɤɨɧɚɜ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɧɚ 4 ɞɧɿ ɪɚɧɿ-
ɲɟ ɫɬɪɨɤɭ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɞɟɬɚɥɟɣ ɡɚ ɞɟɧɶ ɜɢɝɨɬɨɜɥɹɜ ɬɨɤɚɪ?
988. Ⱦɜɿ ɛɪɢɝɚɞɢ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɪɚɡɨɦ, ɦɨɠɭɬɶ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɡɚ 12 ɝɨɞ.
ɉɟɪɲɚ ɛɪɢɝɚɞɚ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɫɚɦɚ, ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɰɟ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɧɚ 10 ɝɨɞ
ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɚ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɝɨɞɢɧ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɩɟɪɲɿɣ ɛɪɢɝɚɞɿ, ɳɨɛ ɜɢɤɨ-
ɧɚɬɢ ɡɚɜɞɚɧɧɹ?
989. Ⱦɜɚ ɧɚɫɨɫɢ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɪɚɡɨɦ, ɦɨɠɭɬɶ ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɜɨɞɨɸ 7
8
ɛɚɫɟɣɧɭ ɡɚ
3 ɝɨɞ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɟ ɧɚɩɨɜɧɢɬɢ ɛɚɫɟɣɧ ɤɨɠɧɢɣ ɧɚɫɨɫ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ
ɨɤɪɟɦɨ, ɹɤɳɨ ɨɞɢɧ ɡ ɧɢɯ ɡɦɨɠɟ ɰɟ ɡɪɨɛɢɬɢ ɧɚ 2 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɿɧɲɢɣ?
990. ɓɨɛ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚɦɨɜɥɟɧɧɹ, ɞɜɚ ɦɚɣɫɬɪɢ ɩɪɨɩɪɚɰɸɜɚɥɢ ɪɚɡɨɦ 2 ɝɨɞ, ɩɿɫ-
ɥɹ ɱɨɝɨ ɩɟɪɲɢɣ ɡ ɧɢɯ ɩɪɨɩɪɚɰɸɜɚɜ ɳɟ 1 ɝɨɞ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɦɨɠɟ ɜɢɤɨɧɚɬɢ
ɡɚɦɨɜɥɟɧɧɹ ɤɨɠɧɢɣ ɦɚɣɫɬɟɪ, ɩɪɚɰɸɸɱɢ ɨɤɪɟɦɨ, ɹɤɳɨ ɞɪɭɝɢɣ ɦɨɠɟ ɰɟ
ɡɪɨɛɢɬɢ ɧɚ 2 ɝɨɞ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɩɟɪɲɢɣ?
991. ȼ ɨɡɟɪɨ ɜɩɚɞɚɸɬɶ ɞɜɿ ɪɿɱɤɢ. Ʉɚɬɟɪ ɜɿɞɩɥɢɜ ɜɿɞ ɩɪɢɫɬɚɧɿ A, ɹɤɚ ɪɨɡɦɿɳɟɧɚ
ɧɚ ɩɟɪɲɿɣ ɪɿɱɰɿ, ɩɪɨɩɥɢɜ 12 ɤɦ ɞɨ ɨɡɟɪɚ, ɩɨɬɿɦ 7 ɤɦ ɨɡɟɪɨɦ ɿ 10 ɤɦ ɞɪɭ-
ɝɨɸ ɪɿɱɤɨɸ ɞɨ ɩɪɢɫɬɚɧɿ B. ɇɚ ɜɟɫɶ ɲɥɹɯ ɤɚɬɟɪ ɡɚɬɪɚɬɢɜ 1 ɝɨɞ 20 ɯɜ.
Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɤɨɠɧɨʀ ɪɿɱɤɢ, ɹɤɳɨ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɟɱɿʀ ɩɟɪɲɨʀ ɧɚ
2 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɬɟɱɿʀ ɞɪɭɝɨʀ, ɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɤɚɬɟɪɚ ɭ ɫɬɨɹɱɿɣ
ɜɨɞɿ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 21 ɤɦ/ɝɨɞ.
992. Ɂ ɩɭɧɤɬɭ A ɞɨ ɩɭɧɤɬɭ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 30 ɤɦ, ɜɢʀɯɚɜ ɦɨ-
ɬɨɰɢɤɥɿɫɬ, ɚ ɱɟɪɟɡ 6 ɯɜ ɭɫɥɿɞ ɡɚ ɧɢɦ ɜɢʀɯɚɜ ɚɜɬɨɛɭɫ, ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɹɤɨɝɨ ɧɚ
15 ɤɦ/ɝɨɞ ɛɿɥɶɲɚ ɜɿɞ ɲɜɢɞɤɨɫɬɿ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬɚ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɚɜɬɨ-
ɛɭɫɚ, ɹɤɳɨ ɜ ɩɭɧɤɬ B ɜɿɧ ɩɪɢɛɭɜ ɧɚ 4 ɯɜ ɪɚɧɿɲɟ, ɧɿɠ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿɫɬ.
993*. ɇɚ ɡɦɚɝɚɧɧɹɯ ɡ ɜɨɥɟɣɛɨɥɭ ɛɭɥɨ ɡɿɝɪɚɧɨ 28 ɿɝɨɪ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɦɚɧɞ ɛɪɚɥɨ
ɭɱɚɫɬɶ ɭ ɡɦɚɝɚɧɧɹɯ, ɹɤɳɨ ɤɨɠɧɚ ɤɨɦɚɧɞɚ ɡɿɝɪɚɥɚ ɩɨ ɨɞɧɨɦɭ ɪɚɡɭ ɡ ɭɫɿɦɚ
ɿɧɲɢɦɢ?
994*. Ⱦɜɿ ɬɨɱɤɢ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨ ɨɛɟɪɬɚɸɬɶɫɹ ɩɨ ɞɜɨɯ ɤɨɥɚɯ. ɉɟɪɲɚ ɬɨɱɤɚ ɡɞɿɣɫ-
ɧɸɽ ɩɨɜɧɢɣ ɨɛɟɪɬ ɧɚ 5 ɫ ɲɜɢɞɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɚ, ɿ ɬɨɦɭ ɜɫɬɢɝɚɽ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɡɚ
ɯɜɢɥɢɧɭ ɧɚ 2 ɨɛɟɪɬɢ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ ɞɪɭɝɚ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɨɛɟɪɬɿɜ ɡɚ ɯɜɢɥɢɧɭ ɡɞɿɣ-
ɫɧɸɽ ɞɪɭɝɚ ɬɨɱɤɚ?

Ɂɚɞɚɱɿ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɫɤɥɚɞɧɨɫɬɿ 219
ɁȺȾȺɑȱ ɉȱȾȼɂɓȿɇɈȲ ɋɄɅȺȾɇɈɋɌȱ
ɉɚɦ’ɹɬɚɣɬɟ: ɯɨɱɟɬɟ ɧɚɜɱɢɬɢɫɹ ɩɥɚ-
ɜɚɬɢ, — ɫɦɿɥɢɜɿɲɟ ɜɯɨɞɶɬɟ ɜ ɜɨɞɭ. ɏɨ-
ɱɟɬɟ ɧɚɜɱɢɬɢɫɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, — ɛɟ-
ɪɿɬɶɫɹ ɡɚ ɡɚɞɚɱɿ. Ʉɨɠɟɧ ɪɨɡɜ’ɹɡɨɤ ɽ
ɫɜɨɽɪɿɞɧɢɦ ɦɢɫɬɟɰɬɜɨɦ ɩɨɲɭɤɭ.
Ɇ. Ʉɪɚɜɱɭɤ
Ⱦɨ § 1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɚ)
2 2 2
2
( ) ( ) 2
;
1
+ − + −
+ +
x x x x
x x
ɛ)
4 2 2 4
3 3
.x x a a
x a
+ +
+
996. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɪɿɛ ɽ ɧɟɫɤɨɪɨɬɧɢɦ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧ-
ɧɹ n:
ɚ) 2 ;
1
n
n
+
+
ɛ) 2 5;
2
n
n
+
+
ɜ) 2 3.
5 7
n
n
+
+
Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ. ɛ) ɉɪɢɩɭɫɬɢɦɨ, ɳɨ ɿɫɧɭɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ n, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɞɪɿɛ
2 5
2
n
n
+
+
ɽ ɫɤɨɪɨɬɧɢɦ. ɇɟɯɚɣ ɞɪɿɛ ɦɨɠɧɚ ɫɤɨɪɨɬɢɬɢ ɧɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ d, ɞɟ d ≥ 2. ȼɢ-
ɞɿɥɢɦɨ ɜ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ ɜɢɪɚɡ, ɹɤɢɣ ɫɬɨʀɬɶ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ:
2 5
2
n
n
+
+
= 2 4 1
2
n
n
+ +
+
=
2( 2) 1
.
2
n
n
+ +
+
Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ n + 2 ɿ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ 2(n + 2) + 1 ɞɿɥɹɬɶɫɹ ɧɚ d, ɬɨ 1 ɦɚɽ ɞɿɥɢɬɢɫɹ ɧɚ d.
Ɉɞɟɪɠɚɥɢ ɫɭɩɟɪɟɱɧɿɫɬɶ, ɛɨ 1 ɧɟ ɞɿɥɢɬɶɫɹ (ɧɚɰɿɥɨ) ɧɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ d, ɞɟ d ≥ 2.
Ɉɬɠɟ, ɧɟ ɿɫɧɭɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ n, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɞɪɿɛ 2 5
2
n
n
+
+
ɛɭɜ ɛɢ ɫɤɨɪɨɬɧɢɦ.
2 4 8 16
1 1 2 4 8 16 .
1 1 1 1 1 1x x x x x x
+ + + + +
− + + + + +
32 16
2 4 2 8 4 16 8
2
1( 1)( 1)( 1)( 1) .
1
+ +− + − + − + − + =
+ +
x xx x x x x x x x
x x

Ɂɚɞɚɱɿ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɫɤɥɚɞɧɨɫɬɿ220
999. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 1 1 1 1...
1 2 2 3 3 4 ( 1)n n
+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +
, ɹɤɳɨ n = 100.
1000. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ n ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ
3
2
1
n n
n
− +
−
ɽ ɰɿɥɢɦ
ɱɢɫɥɨɦ?
1001. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ: ɹɤɳɨ xyz = 1, ɬɨ 1 1 1
1 1 1x xy y yz z zx
+ +
+ + + + + +
= 1.
1002. ɉɪɨ ɱɢɫɥɚ ɯ, ɭ, z ɜɿɞɨɦɨ, ɳɨ .
yx z
y z x x z y x y z
= =
+ − + − + −
əɤɢɯ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɦɨɠɟ ɧɚɛɭɜɚɬɢ ɞɪɿɛ
( )( )( )x y y z z x
xyz
+ + +
?
1003. Ⱦɥɹ ɞɟɹɤɨɝɨ ɧɟ ɰɿɥɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ ɱɢɫɥɨ 1+a
a
ɽ ɰɿɥɢɦ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ
ɬɨɝɨ ɠ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ ɰɿɥɢɦ ɽ ɱɢɫɥɨ 3
3
1 .+a
a
1004. Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɹɤɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɽ ɛɿɥɶɲɢɦ ɿ ɧɚ ɫɤɿɥɶɤɢ ɛɿɥɶɲɢɦ:
( ) ( )
3 4 1 3
1 14 16
2 2
− −
§ · § ·
⋅ ⋅ ⋅¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
n n
ɱɢ ( ) ( )
5 5 4 5
1 19 27 ,
3 3
m m− −
§ · § ·
⋅ ⋅ ⋅¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
ɞɟ n ɿ m — ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ?
ɚ) ;= −
x
y x
x
ɛ)
3
2
1 .
1
xy
x x
−=
+ +
1006. Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 1 1
2
x
x a x
+ =
− −
ɡ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ ɚ.
Ⱦɨ § 2. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ. Ⱦɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ
1007. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɱɢɫɥɨ 0,123456789101112... (ɩɿɫɥɹ ɤɨɦɢ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɩɨɫɩɿɥɶ
ɭɫɿ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ) ɽ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦ.
1008. ȼɿɞɨɦɨ, ɳɨ ɚ, b, a b+ — ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɱɢɫɥɚ a
ɿ b ɬɟɠ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɦɢ.

1009. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ 15
6666 2+ ɧɟ ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ.
ɚ) 6 2 2 2 3 2 6 ;+ + + ɛ) 2 1 2.+ + +a a
1011. Ɂɜɿɥɶɧɿɬɶɫɹ ɜɿɞ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɨɫɬɿ ɭ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɭ ɞɪɨɛɭ 1 .
5 7 1+ +
1012. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɭ ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ:
ɚ) 2 2 2 2... ;
1 3 3 5 5 7 79 81
+ + + +
+ + + +
ɛ) 19 3 8 35 8 19 .− − −
2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 2.+ + + − + − + =x x x x
ɚ) 1 1 1 0 ;x x− + + + = ɛ) 2 2
1 4 3;+ + + =x x
ɜ) 1 2 3;x x+ + = ɝ) 4 4 2 2.x x+ − + =
1015. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ ɯ ɬɚ ɭ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ
2
8 4 20 0.− + − + =x x y y
1016. ɚ) Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ: ɹɤɳɨ 1 ,x x a+ + = ɬɨ 11 .x x
a
+ − =
ɛ) Ɋɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 1 2.x x+ + =
1017. ɉɨɛɭɞɭɣɬɟ ɝɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ 2
1.= − +y x x
1018. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ 9= +y x ɬɚ 2= −y x ɧɟ ɩɟɪɟɬɢɧɚɸɬɶɫɹ.
1019. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 0
2 1
x a
x a
− =
− +
ɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ?
1020. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 2
x a x= − ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ?

1021. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɚ ≥ 1 ɫɢɫɬɟɦɚ ɪɿɜɧɹɧɶ
1;y x
x y a
= −°
®
+ =°¯
ɦɚɽ ɪɨɡɜ’ɹɡɨɤ.
Ⱦɨ § 3. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
1022. Ⱦɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɚɯ2
+ bɯ + ɫ = 0 ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɧɭɥɸ ɿ
ɚ 0. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɥɿɜɚ ɱɚɫɬɢɧɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɽ ɩɨɜɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ.
1023. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ c ɪɿɜɧɹɧɧɹ
ɯ2
− (ɚ + b)ɯ + ɚb − ɫ2
= 0 ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ.
1024. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ, ɳɨ ɞɥɹ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ, b ɿ c, ɞɟ ɚ + b + ɫ ≠ 0, ɪɿɜɧɹɧɧɹ
(ɚ + b + ɫ)ɯ2
+ 2(ɚ + b)ɯ + ɚ + b − ɫ = 0 ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɣ ɰɿ ɤɨɪɟɧɿ ɽ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶ-
ɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ.
1025. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ ɚɯ + ɚ − 1 = 0 ɽ
ɧɚɣɦɟɧɲɨɸ?
1026. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɫ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
− 8ɯ + 5ɫ = 0 ɿ 2ɯ2
+ 6ɯ − ɫ = 0 ɦɚɸɬɶ
ɫɩɿɥɶɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ?
+ ɪɯ + q = 0 ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿ ɯ1 ɬɚ ɯ2. Ɂɚɩɢɲɿɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɟ ɪɿɜɧɹɧ-
ɧɹ, ɤɨɪɟɧɹɦɢ ɹɤɨɝɨ ɽ ɱɢɫɥɚ 2 2
1 2+x x ɬɚ 3 3
1 2+x x .
1028. Ʉɨɪɟɧɿ ɚ ɿ b ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ ɪɯ + q = 0 ɽ ɞɨɞɚɬɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ.
ȼɢɪɚɡɿɬɶ +a b ɱɟɪɟɡ p ɿ q.
ɚ) ( ) ( )
2 22 2
2 3 4 7 ;x x x x+ + = + + ɛ) ( ) ( )
22 2
2 1 2 5 3 0;x x x− + + − =
ɜ) 1 5 3 4 ;
1 5 3 4
+ + + ++ = +
− − − −
x x x x
x x x x
ɝ)
2 2
2 2
1 4 5;
3 2 6
+ −=
+ +
x x
x x
ɞ) ( )2
2
1 12 2;x x
xx
+ = + − ɟ)
2
2
2 1 2.
21
x x
xx
++ =
+
1030. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɫɭɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɤɨɪɟɧɿɜ ɪɿɜɧɹɧɧɹ (ɯ2
+ 2ɯ)2
− 5(ɯ2
+ 2ɯ) + 3 = 0.
1031. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
(ɯ4
+ 3ɯ3
+ ɯ2
+ 2ɯ + 3)(ɯ4
+ 4ɯ2
− 5) = 0.

1032. ɋɤɿɥɶɤɢ ɤɨɪɟɧɿɜ ɦɚɽ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ + 1 = ɯ|ɯ|?
ɚ) ɯ4
+ 3ɚɯ2
– 4ɚ2
= 0; ɛ) 2 3
2( 3)1 1 .
2 2 4
a
ax a x x x x
+
+ =
+ − −
1034. Ⱦɥɹ ɹɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɚ ɝɪɚɮɿɤɢ ɮɭɧɤɰɿɣ ɭ = ɯ3
+ ɚɯ + 1 ɣ ɭ = ɯ4
+ ɚɯ2
+ 1 ɦɚ-
ɸɬɶ ɬɪɢ ɫɩɿɥɶɧɿ ɬɨɱɤɢ?
1035. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɭɫɿ ɰɿɥɿ ɱɢɫɥɚ ɚ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɜɢɪɚɡ (ɯ − a)(ɯ − 10) + 1 ɪɨɡɤɥɚɞɚɽɬɶ-
ɫɹ ɜ ɞɨɛɭɬɨɤ (ɯ − b)(ɯ − ɫ) ɿɡ ɰɿɥɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ b ɿ ɫ.
1036. Ʉɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɯ2
+ mɯ + n + 1 = 0 ɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦɢ ɱɢɫɥɚɦɢ. Ⱦɨɜɟɞɿɬɶ,
ɳɨ ɱɢɫɥɨ m2
+ n2
ɽ ɫɤɥɚɞɟɧɢɦ.
1037. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɱɨɬɢɪɢ ɩɨɫɥɿɞɨɜɧɿ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɞɨɛɭɬɨɤ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
1680.
1038. ȱɞɭɱɢ ɜɡɞɨɜɠ ɬɪɚɦɜɚɣɧɨʀ ɤɨɥɿʀ ɨɞɧɨɝɨ ɦɚɪɲɪɭɬɭ, ɭɱɟɧɶ ɩɨɦɿɬɢɜ, ɳɨ ɱɟ-
ɪɟɡ ɤɨɠɧɢɯ 12 ɯɜ ɣɨɝɨ ɧɚɡɞɨɝɚɧɹɽ ɬɪɚɦɜɚɣ, ɚ ɱɟɪɟɡ ɤɨɠɧɿ 4 ɯɜ ɜɿɧ ɡɭɫɬɪɿ-
ɱɚɽ ɬɪɚɦɜɚɣ. Ɍɪɚɦɜɚʀ ɪɭɯɚɸɬɶɫɹ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɨɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ. ɑɟɪɟɡ ɫɤɿɥɶɤɢ
ɯɜɢɥɢɧ ɨɞɢɧ ɩɿɫɥɹ ɿɧɲɨɝɨ ɜɨɧɢ ɡɚɥɢɲɚɸɬɶ ɤɿɧɰɟɜɿ ɡɭɩɢɧɤɢ?
1039. Ɂ ɦɿɫɬɚ A ɞɨ ɦɿɫɬɚ B, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 100 ɤɦ, ɧɚ ɦɨɬɨɰɢɤɥɿ
ɜɢʀɯɚɜ ɤɭɪ’ɽɪ. ɑɟɪɟɡ 24 ɯɜ ɭɫɥɿɞ ɡɚ ɧɢɦ ɧɚ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɿ ɜɢʀɯɚɜ ɞɪɭɝɢɣ
ɤɭɪ’ɽɪ, ɹɤɢɣ ɧɚɡɞɨɝɧɚɜ ɩɟɪɲɨɝɨ, ɩɟɪɟɞɚɜ ɣɨɦɭ ɞɨɞɚɬɤɨɜɿ ɞɨɤɭɦɟɧɬɢ ɣ
ɨɞɪɚɡɭ ɠ ɜɢɪɭɲɢɜ ɧɚɡɚɞ. Ⱦɪɭɝɢɣ ɤɭɪ’ɽɪ ɩɨɜɟɪɧɭɜɫɹ ɞɨ ɦɿɫɬɚ A ɜ ɬɨɣ
ɦɨɦɟɧɬ, ɤɨɥɢ ɩɟɪɲɢɣ ɩɪɢɛɭɜ ɞɨ ɦɿɫɬɚ B. Ɂ ɹɤɨɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ ʀɯɚɜ ɩɟɪɲɢɣ
ɤɭɪ’ɽɪ, ɹɤɳɨ ɞɪɭɝɢɣ ʀɯɚɜ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 75 ɤɦ/ɝɨɞ?
1040. ɉɚɫɚɠɢɪ ɦɟɬɪɨ ɫɯɨɞɢɬɶ ɭɧɢɡ ɧɟɪɭɯɨɦɢɦ ɟɫɤɚɥɚɬɨɪɨɦ ɡɚ 42 ɫ. əɤɳɨ ɩɚ-
ɫɚɠɢɪ ɿɬɢɦɟ ɡ ɬɿɽɸ ɫɚɦɨɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ ɟɫɤɚɥɚɬɨɪɨɦ, ɳɨ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ, ɬɨ ɜɿɧ
ɡɿɣɞɟ ɡɚ 24 ɫ. Ɂɚ ɹɤɢɣ ɱɚɫ ɨɩɢɧɢɬɶɫɹ ɭɧɢɡɭ ɩɚɫɚɠɢɪ, ɫɬɨɹɱɢ ɧɚ ɟɫɤɚɥɚɬɨ-
ɪɿ, ɹɤɢɣ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ?
1041. Ʉɨɥɨɧɚ ɚɜɬɨɛɭɫɿɜ ɡɚɜɞɨɜɠɤɢ 93 ɦ ɪɭɯɚɽɬɶɫɹ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ 60 ɤɦ/ɝɨɞ.
Ɂ ɩɨɱɚɬɤɭ ɤɨɥɨɧɢ ɜ ʀʀ ɤɿɧɟɰɶ ɜɢɪɭɲɢɜ ɥɟɝɤɨɜɢɣ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɶ, ɹɤɢɣ ɫɭɩɪɨ-
ɜɨɞɠɭɽ ɤɨɥɨɧɭ. Ɂɝɨɞɨɦ ɜɿɧ ɩɨɜɟɪɧɭɜɫɹ ɧɚ ɩɨɱɚɬɨɤ ɤɨɥɨɧɢ. ɒɜɢɞɤɿɫɬɶ
ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ, ɤɨɥɢ ɜɿɧ ɪɭɯɚɜɫɹ ɜ ɤɿɧɟɰɶ ɤɨɥɨɧɢ, ɚ ɩɨɬɿɦ ɧɚ ʀʀ ɩɨɱɚɬɨɤ, ɛɭɥɚ
ɨɞɧɚɤɨɜɨɸ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɰɸ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ, ɹɤɳɨ ɱɚɫ ɪɭɯɭ ɚɜɬɨɦɨɛɿɥɹ ɜɡɞɨɜɠ
ɤɨɥɨɧɢ (ɜ ɨɛɨɯ ɧɚɩɪɹɦɤɚɯ ɪɚɡɨɦ) ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1,44 ɯɜ.
1042. Ɂ ɩɭɧɤɬɭ A ɞɨ ɩɭɧɤɬɭ B ɜɢɣɲɥɚ ɝɪɭɩɚ ɬɭɪɢɫɬɿɜ ɿ ɪɭɯɚɥɚɫɹ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ
4 ɤɦ/ɝɨɞ. ɑɟɪɟɡ ɞɟɹɤɢɣ ɱɚɫ ɡ ɩɭɧɤɬɭ A ɜɢɣɲɥɚ ɞɪɭɝɚ ɝɪɭɩɚ ɬɭɪɢɫɬɿɜ, ɚ ɳɟ

ɱɟɪɟɡ ɬɚɤɢɣ ɫɚɦɢɣ ɩɪɨɦɿɠɨɤ ɱɚɫɭ — ɬɪɟɬɹ. Ɍɪɟɬɹ ɝɪɭɩɚ ɧɚɡɞɨɝɧɚɥɚ ɞɪɭ-
ɝɭ ɧɚ ɩɿɜɲɥɹɯɭ ɜɿɞ A ɞɨ B, ɿ ɞɚɥɿ ɜɨɧɢ ɩɿɲɥɢ ɪɚɡɨɦ ɡɿ ɲɜɢɞɤɿɫɬɸ, ɳɨ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɫɟɪɟɞɧɶɨɦɭ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɦɭ ʀɯɧɿɯ ɩɨɩɟɪɟɞɧɿɯ ɲɜɢɞɤɨɫɬɟɣ. ɍɫɿ ɬɪɢ
ɝɪɭɩɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɩɪɢɛɭɥɢ ɜ ɩɭɧɤɬ B. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɩɨɱɚɬɤɨɜɭ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɞɪɭɝɨʀ
ɝɪɭɩɢ ɬɭɪɢɫɬɿɜ, ɹɤɳɨ ɩɨɱɚɬɤɨɜɚ ɲɜɢɞɤɿɫɬɶ ɬɪɟɬɶɨʀ ɝɪɭɩɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ
6 ɤɦ/ɝɨɞ.
1043. Ɂ ɛɚɤɚ, ɧɚɩɨɜɧɟɧɨɝɨ ɫɩɢɪɬɨɦ, ɜɿɞɥɢɥɢ ɱɚɫɬɢɧɭ ɫɩɢɪɬɭ ɿ ɞɨɥɢɥɢ ɞɨɳɟɧɬɭ
ɜɨɞɨɸ. ɉɨɬɿɦ ɡ ɛɚɤɚ ɜɿɞɥɢɥɢ ɫɬɿɥɶɤɢ ɠ ɥɿɬɪɿɜ ɪɨɡɱɢɧɭ, ɩɿɫɥɹ ɱɨɝɨ ɜ ɧɶɨ-
ɦɭ ɡɚɥɢɲɢɥɨɫɹ 49 ɥ ɫɩɢɪɬɭ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɥɿɬɪɿɜ ɫɩɢɪɬɭ ɜɿɞɥɢɥɢ ɩɟɪɲɨɝɨ ɪɚ-
ɡɭ, ɹɤɳɨ ɦɿɫɬɤɿɫɬɶ ɛɚɤɚ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 64 ɥ? (ɍɜɚɠɚɣɬɟ: ɹɤɳɨ ɡɦɿɲɚɬɢ 1 ɥ
ɫɩɢɪɬɭ ɣ 1 ɥ ɜɨɞɢ, ɬɨ ɭɬɜɨɪɢɬɶɫɹ 2 ɥ ɪɨɡɱɢɧɭ.)
1044. ɍ ɞɜɨɯ ɩɨɫɭɞɢɧɚɯ, ɦɿɫɬɤɿɫɬɶ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɩɨ 30 ɥ, ɛɭɥɨ ɪɚɡɨɦ 30 ɥ ɫɢ-
ɪɨɩɭ. ɉɟɪɲɭ ɩɨɫɭɞɢɧɭ ɞɨɥɢɥɢ ɞɨɳɟɧɬɭ ɜɨɞɨɸ ɣ ɨɞɟɪɠɚɧɢɦ ɪɨɡɱɢɧɨɦ
ɞɨɩɨɜɧɢɥɢ ɞɪɭɝɭ ɩɨɫɭɞɢɧɭ, ɩɨɬɿɦ ɿɡ ɞɪɭɝɨʀ ɩɨɫɭɞɢɧɢ ɜɿɞɥɢɥɢ ɜ ɩɟɪɲɭ
12 ɥ ɪɨɡɱɢɧɭ. ɋɤɿɥɶɤɢ ɫɢɪɨɩɭ ɛɭɥɨ ɜ ɩɟɪɲɿɣ ɩɨɫɭɞɢɧɿ ɫɩɨɱɚɬɤɭ, ɹɤɳɨ ɭ
ɞɪɭɝɿɣ ɩɨɫɭɞɢɧɿ ɩɿɫɥɹ ɭɫɿɯ ɩɟɪɟɥɢɜɚɧɶ ɫɢɪɨɩɭ ɫɬɚɥɨ ɧɚ 2 ɥ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ ɭ
ɩɟɪɲɿɣ?

ȼɿɞɨɦɨɫɬɿ ɡ ɤɭɪɫɭ ɚɥɝɟɛɪɢ 7 ɬɚ 8 ɤɥɚɫɿɜ 225
ȼȱȾɈɆɈɋɌȱ Ɂ ɄɍɊɋɍ ȺɅȽȿȻɊɂ 7 ɌȺ 8 ɄɅȺɋȱȼ
Ɇɧɨɠɢɧɢ
1. Ɇɧɨɠɢɧɚ — ɧɚɛɿɪ, ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɨɛ’ɽɤɬɿɜ, ɨɛ’ɽɞɧɚɧɢɯ ɡɚ ɩɟɜ-
ɧɨɸ ɨɡɧɚɤɨɸ. Ɉɛ’ɽɤɬɢ, ɹɤɿ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɟɥɟɦɟɧɬɚɦɢ
ɦɧɨɠɢɧɢ.
Ɂɚɩɢɫɢ a ∈ M, b ∉ M ɨɡɧɚɱɚɸɬɶ, ɳɨ ɟɥɟɦɟɧɬ ɚ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɦɧɨɠɢɧɿ Ɇ, ɚ
ɟɥɟɦɟɧɬ b — ɧɟ ɧɚɥɟɠɢɬɶ.
2. Ɇɧɨɠɢɧɭ Ⱥ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɿɞɦɧɨɠɢɧɨɸ ɦɧɨɠɢɧɢ ȼ, ɹɤɳɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɣ ɟɥɟ-
ɦɟɧɬ ɦɧɨɠɢɧɢ Ⱥ ɽ ɟɥɟɦɟɧɬɨɦ ɦɧɨɠɢɧɢ ȼ. Ɂɚɩɢɫɭɸɬɶ: Ⱥ ⊂ ȼ.
ɑɢɫɥɚ
3. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ: 1, 2, 3, 4, ... . Ɇɧɨɠɢɧɭ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɩɨɡɧɚɱɚ-
ɸɬɶ ɛɭɤɜɨɸ N.
4. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ, ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɿ ʀɦ ɱɢɫɥɚ ɬɚ ɱɢɫɥɨ 0 (ɧɭɥɶ) ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ
ɦɧɨɠɢɧɭ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ: ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … . Ɇɧɨɠɢɧɭ ɰɿɥɢɯ
ɱɢɫɟɥ ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɛɭɤɜɨɸ Z.
5. ɐɿɥɿ ɣ ɞɪɨɛɨɜɿ ɱɢɫɥɚ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɱɢɫɟɥ. ɉɨɡɧɚ-
ɱɚɸɬɶ ɰɸ ɦɧɨɠɢɧɭ ɛɭɤɜɨɸ Q.
Ȼɭɞɶ-ɹɤɟ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɪɨɛɭ
m
n
, ɞɟ m —
ɰɿɥɟ ɱɢɫɥɨ, n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɬɚɤɨɠ ɭ
ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɢɯ ɩɟɪɿɨɞɢɱɧɢɯ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
( )5
5 5,00... 5, 0 ;
1
= = = ( )1
0,2500... 0,25 0 ;
4
= = ( )2
0,66... 0, 6 .
3
− = − = −
6. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɬɚ ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ ɭɬɜɨɪɸɸɬɶ ɦɧɨɠɢɧɭ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
ɉɨɡɧɚɱɚɸɬɶ ɰɸ ɦɧɨɠɢɧɭ ɛɭɤɜɨɸ R.
ȱɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɱɢɫɥɚ ɦɨɠɧɚ ɩɨɞɚɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɧɟɫɤɿɧɱɟɧɧɢɯ ɧɟɩɟɪɿɨɞɢɱ-
ɧɢɯ ɞɟɫɹɬɤɨɜɢɯ ɞɪɨɛɿɜ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: 2 1,41421...;= 3,14159...;π = 2,010010001... .

ȼɿɞɨɦɨɫɬɿ ɡ ɤɭɪɫɭ ɚɥɝɟɛɪɢ 7 ɬɚ 8 ɤɥɚɫɿɜ226
ɋɬɟɩɟɧɿ
7. ɋɬɟɩɟɧɟɦ ɱɢɫɥɚ a ɡ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ n, ɛɿɥɶɲɢɦ ɜɿɞ 1, ɧɚɡɢɜɚ-
ɸɬɶ ɞɨɛɭɬɨɤ n ɦɧɨɠɧɢɤɿɜ, ɤɨɠɧɢɣ ɡ ɹɤɢɯ ɞɨɪɿɜɧɸɽ a.
ɋɬɟɩɟɧɟɦ ɱɢɫɥɚ a ɡ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ 1 ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɫɚɦɟ ɱɢɫɥɨ a.
N...n
n
a aa a= , ɹɤɳɨ n∈N, n 1; a1
= a.
8. ɋɬɟɩɿɧɶ ɱɢɫɥɚ a, ɞɟ a ≠ 0, ɡ ɧɭɥɶɨɜɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 1.
a0
= 1 (a ≠ 0).
9. əɤɳɨ a ≠ 0 ɿ n — ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɬɨ
1n
n
a
a
−
= .
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: 3
3
1 1
2
82
−
= = ; 1 1
5
5
−
= . Ɂɚɩɢɫ 2
0−
10. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ:
ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɱɢɫɥɚ a, ɞɟ a ≠ 0, ɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɰɿɥɢɯ ɱɢɫɟɥ m ɿ n ɜɢɤɨɧɭ-
ɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
;m n m n
a a a +
⋅ =
: ;m n m n
a a a −
=
( ) ;
nm mn
a a=
ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɱɢɫɟɥ a, b, ɞɟ a ≠ 0, b ≠ 0, ɿ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɰɿɥɨɝɨ ɱɢɫɥɚ n ɜɢ-
ɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ:
( ) ;
n n n
ab a b=
( ) .
n n
n
a a
b b
=
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ
11. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɚɤɟ ɱɢɫɥɨ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨ-
ɪɿɜɧɸɽ ɚ.
12. Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɤɨɪɟɧɟɦ ɡ ɱɢɫɥɚ ɚ (ɩɨɡɧɚɱɚɸɬɶ a ) ɧɚɡɢ-
ɜɚɸɬɶ ɬɚɤɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɱɢɫɥɨ, ɤɜɚɞɪɚɬ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, 0,36 0,6,= ɛɨ ɱɢɫɥɨ 0,6 ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɟ ɿ 0,62
= 0,36.

Ɋɿɜɧɿɫɬɶ a b= ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ, ɹɤɳɨ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɞɜɿ ɭɦɨɜɢ:
1) b ≥ 0; 2) b2
= a.
13. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ:
1) ab a b= ⋅ (a ≥ 0, b ≥ 0); 2)
a a
b b
= (a ≥ 0, b 0);
3) 2n n
a a= (a ≥ 0, n ∈ N); 4) 2
.a a=
ȼɢɪɚɡɢ. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ
14. ȼɢɪɚɡɢ, ɫɤɥɚɞɟɧɿ ɡ ɱɢɫɟɥ, ɡɧɚɤɿɜ ɞɿɣ ɿ ɞɭɠɨɤ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɱɢɫɥɨɜɢɦɢ ɜɢɪɚ-
ɡɚɦɢ.
ȼɢɪɚɡɢ, ɫɤɥɚɞɟɧɿ ɡ ɱɢɫɟɥ, ɡɦɿɧɧɢɯ, ɡɧɚɤɿɜ ɞɿɣ ɿ ɞɭɠɨɤ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɢɪɚ-
ɡɚɦɢ ɡɿ ɡɦɿɧɧɢɦɢ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: 1,5; 7 + 32
; (32 – 2,7) · 0,32 — ɱɢɫɥɨɜɿ ɜɢɪɚɡɢ; a; ab2
; –18c3
;
3a + 10 — ɜɢɪɚɡɢ ɡɿ ɡɦɿɧɧɢɦɢ.
15.
3
4b a+
ɐɿɥɢɣ ɜɢɪɚɡ
34 a
b
+
Ⱦɪɨɛɨɜɢɣ ɜɢɪɚɡ
Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ
ɐɿɥɢɣ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ ɜɢɪɚɡ ɧɟ ɦɿɫɬɢɬɶ ɞɿʀ ɞɿɥɟɧɧɹ ɧɚ ɜɢɪɚɡ ɡɿ ɡɦɿɧɧɨɸ.
16.
7ab2
— ɨɞɧɨɱɥɟɧ 7ab2
+ c + 1 — ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ
ɐɿɥɿ ɜɢɪɚɡɢ
17. Ⱦɜɚ ɜɢɪɚɡɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɞɨɩɭɫɬɢ-
ɦɢɯ ɞɥɹ ɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ ʀɯɧɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɪɿɜɧɸɸɬɶ ɨɞɧɟ
ɨɞɧɨɦɭ.
Ɋɿɜɧɿɫɬɶ, ɹɤɚ ɽ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɸ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɞɨɩɭɫɬɢɦɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ, ɳɨ
ɜɯɨɞɹɬɶ ɞɨ ɧɟʀ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨɠɧɿɫɬɸ.
Ɂɚɦɿɧɭ ɨɞɧɨɝɨ ɜɢɪɚɡɭ ɬɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɢɦ ɣɨɦɭ ɜɢɪɚɡɨɦ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɬɨɬɨ-
ɠɧɢɦ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹɦ ɜɢɪɚɡɭ.

18. ɉɟɪɟɦɧɨɠɢɦɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧɢ –3a2
b ɿ 4ab3
:
–3a2
b · 4ab3
= (–3 · 4) · (a2
a) · (bb3
) = –12a3
b4
.
ɉɿɞɧɟɫɟɦɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧ –5a2
b ɞɨ ɤɭɛɚ:
(–5a2
b)3
= (–5)3
· (a2
)3
· b3
= –125a6
b3
.
19. Ⱦɨɞɚɦɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɢ 4a2
– 6a + 5 ɿ –2a2
+ 3a + 2:
(4a2
– 6a + 5) + (–2a2
+ 3a + 2) = 4a2
– 6a + 5 – 2a2
+ 3a + 2 = 2a2
– 3a + 7.
ȼɿɞɧɿɦɟɦɨ ɜɿɞ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ 4x2
– 4x + 7 ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ 2x2
– 3x + 5:
(4x2
– 4x + 7) – (2x2
– 3x + 5) = 4x2
– 4x + 7 – 2x2
+ 3x – 5 = 2x2
– x + 2.
20. ɓɨɛ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɨɞɧɨɱɥɟɧ ɧɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɨɞɧɨɱɥɟɧ ɩɨɦɧɨɠɢ-
ɬɢ ɧɚ ɤɨɠɧɢɣ ɱɥɟɧ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɣ ɨɞɟɪɠɚɧɿ ɞɨɛɭɬɤɢ ɞɨɞɚɬɢ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: 2a(a2
– 3a + 4) = 2a · a2
+ 2a · (–3a) + 2a · 4 = 2a3
– 6a2
+ 8a.
21. ɓɨɛ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ ɧɚ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧ, ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɤɨɠɧɢɣ ɱɥɟɧ ɨɞɧɨ-
ɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɧɚ ɤɨɠɧɢɣ ɱɥɟɧ ɿɧɲɨɝɨ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɚ ɣ ɨɞɟɪ-
ɠɚɧɿ ɞɨɛɭɬɤɢ ɞɨɞɚɬɢ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ: (2a2
+ b2
)(2a – b) = 2a2
· 2a + 2a2
· (–b) + b2
· 2a + b2
· (–b) =
= 4a3
– 2a2
b + 2ab2
– b3
.
22. Ɏɨɪɦɭɥɢ ɫɤɨɪɨɱɟɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɧɧɹ:
(a – b)(a + b) = a2
– b2
;
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
;
(a – b)2
= a2
– 2ab + b2
;
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
;
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
.
23. ɋɩɨɫɨɛɢ ɪɨɡɤɥɚɞɚɧɧɹ ɦɧɨɝɨɱɥɟɧɿɜ ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ:
ɚ) ɜɢɧɟɫɟɧɧɹ ɫɩɿɥɶɧɨɝɨ ɦɧɨɠɧɢɤɚ ɡɚ ɞɭɠɤɢ:
2a2
b – 8ab2
= 2ab · a – 2ab · 4b = 2ab(a – 4b);
ɛ) ɝɪɭɩɭɜɚɧɧɹ:
b2
n + y2
– bny – by = (b2
n – bny) + (y2
– by) =
= bn(b – y) – y(b – y) = (b – y)(bn – y);
ɜ) ɡɚ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ:
a2
– b2
= (a – b)(a + b);
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
; a3
– b3
= (a – b)(a2
+ ab + b2
);
a2
– 2ab + b2
= (a – b)2
; a3
+ b3
= (a + b)(a2
– ab + b2
).

24. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ. Ⱦɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ ɱɢɫɟɥ a, b ɿ k, ɞɟ b ≠ 0 ɿ k ≠ 0,
ɜɢɤɨɧɭɽɬɶɫɹ ɪɿɜɧɿɫɬɶ .
a ak
b bk
=
25. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
a ɫ a c
b b b
+
+ = .
ȼɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
a ɫ a c
b b b
−
− = .
Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ:
a c ad bc
b d bd
+d b
=+ .
26. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
a ɫ ac
b d bd
⋅ = .
Ⱦɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ:
:
a c a d ad
b d b c bc
= ⋅ = .
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɬɚ ʀɯ ɫɢɫɬɟɦɢ
27. Ɋɿɜɧɿɫɬɶ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹɦ ɡɦɿɧɧɨʀ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɡ ɨɞɧɿɽɸ
ɡɦɿɧɧɨɸ (ɚɛɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɡ ɨɞɧɢɦ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦ).
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɟɪɟɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɭ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɱɢɫ-
ɥɨɜɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɨɪɟɧɟɦ, ɚɛɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɤɨɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɨɡɧɚɱɚɽ ɡɧɚɣɬɢ ɜɫɿ ɣɨɝɨ ɤɨɪɟɧɿ ɚɛɨ ɞɨɜɟɫɬɢ, ɳɨ ɤɨ-
ɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
28. Ⱦɜɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɢɦɢ, ɹɤɳɨ ɜɨɧɢ ɦɚɸɬɶ ɬɿ ɫɚɦɿ ɤɨɪɟɧɿ.
Ⱦɜɚ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɿ ɧɟ ɦɚɸɬɶ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɬɟɠ ɜɜɚɠɚɸɬɶ ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɢɦɢ.
Ɉɫɧɨɜɧɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɪɿɜɧɹɧɶ
1) əɤɳɨ ɜ ɞɟɹɤɿɣ ɱɚɫɬɢɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɤɨɧɚɬɢ ɬɨɬɨɠɧɟ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ, ɹɤɟ
ɧɟ ɡɦɿɧɸɽ ɞɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɪɿɜɧɨ-
ɫɢɥɶɧɟ ɞɚɧɨɦɭ.

2) əɤɳɨ ɞɟɹɤɢɣ ɞɨɞɚɧɨɤ ɩɟɪɟɧɟɫɬɢ ɡ ɨɞɧɿɽʀ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɜ ɿɧɲɭ,
ɡɦɿɧɢɜɲɢ ɣɨɝɨ ɡɧɚɤ ɧɚ ɩɪɨɬɢɥɟɠɧɢɣ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɪɿɜɧɨɫɢɥɶ-
ɧɟ ɞɚɧɨɦɭ.
3) əɤɳɨ ɨɛɢɞɜɿ ɱɚɫɬɢɧɢ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɨɦɧɨɠɢɬɢ ɚɛɨ ɩɨɞɿɥɢɬɢ ɧɚ ɬɟ ɫɚɦɟ,
ɜɿɞɦɿɧɧɟ ɜɿɞ ɧɭɥɹ, ɱɢɫɥɨ, ɬɨ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɟ ɞɚɧɨɦɭ.
29. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax = b, ɭ ɹɤɨɦɭ a ɿ b — ɞɟɹɤɿ ɜɿɞɨɦɿ ɱɢɫɥɚ, ɚ x — ɡɦɿɧɧɚ,
ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɥɿɧɿɣɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɡ ɨɞɧɿɽɸ ɡɦɿɧɧɨɸ.
ax = b — ɥɿɧɿɣɧɟ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ
Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ Ʉɨɪɟɧɿ
a ≠ 0
b
a
— ɽɞɢɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ
a = 0 ɿ b ≠ 0 ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ
a = 0 ɿ b = 0
ɤɨɪɟɧɟɦ ɽ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɱɢ-
ɫɥɨ (ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɛɟɡ-
ɥɿɱ ɤɨɪɟɧɿɜ)
30. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax2
+ bx + c = 0, ɞɟ x — ɡɦɿɧɧɚ, a, b, c — ɞɟɹɤɿ ɜɿɞɨɦɿ ɱɢɫ-
ɥɚ, ɞɨ ɬɨɝɨ ɠ a ≠ 0, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ.
ɇɟɩɨɜɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ:
ɚ) ax2
+ bx = 0, ɞɟ b ≠ 0; x(ax + b) = 0; x1 = 0; x2 =
b
a
− ;
ɛ) ax2
+ c = 0, ɞɟ c ≠ 0; x2
=
c
a
− ; ɹɤɳɨ
c
a
− 0, ɬɨ 1,2
c
x
a
= ± − ; ɹɤɳɨ
c
a
− 0, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ;
ɜ) ax2
= 0; x = 0 (ɚɛɨ x1 = 0; x2 = 0).
31. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ax2
+ bx + c = 0:
1,2
2
b D
x
a
− ±
= , ɞɟ D = b2
– 4ac.
Ɏɨɪɦɭɥɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ x2
+ px + q = 0:
2
1,2
2 2
p p
x q
§ ·
= − ± −¨ ¸
© ¹
.
32. Ɍɟɨɪɟɦɚ ȼɿɽɬɚ. əɤɳɨ x1, x2 — ɤɨɪɟɧɿ ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ
x2
+ px + q = 0, ɬɨ
x1 + x2 = –p; x1 · x2 = q.

əɤɳɨ x1, x2 — ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ax2
+ bx + c = 0, ɬɨ
1 2
b
x x
a
+ = − ; 1 2
c
x x
a
⋅ = .
33. əɤɳɨ x1, x2 — ɤɨɪɟɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ ax2
+ bx + c, ɬɨ
ax2
+ bx + c = a(x – x1)(x – x2).
34. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɜɢɞɭ ax + by = c, ɞɟ a, b ɿ c — ɞɟɹɤɿ ɜɿɞɨɦɿ ɱɢɫɥɚ (ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ), x ɬɚ y — ɡɦɿɧɧɿ, ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɥɿɧɿɣɧɢɦ ɪɿɜɧɹɧɧɹɦ ɿɡ ɞɜɨɦɚ ɡɦɿɧ-
ɧɢɦɢ.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɤɨɦ ɥɿɧɿɣɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɿɡ ɞɜɨɦɚ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɚɪɭ ɡɧɚ-
ɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɩɟɪɟɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɭ ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɱɢɫɥɨɜɭ
ɪɿɜɧɿɫɬɶ.
35. əɤɳɨ ɩɨɬɪɿɛɧɨ ɡɧɚɣɬɢ ɫɩɿɥɶɧɿ ɪɨɡɜ’ɹɡɤɢ ɞɜɨɯ ɪɿɜɧɹɧɶ, ɬɨ ɤɚɠɭɬɶ, ɳɨ ɩɨ-
ɬɪɿɛɧɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɬɢ ɫɢɫɬɟɦɭ ɪɿɜɧɹɧɶ.
;ax by c
mx ny k
+ =
®
+ =¯
— ɫɢɫɬɟɦɚ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɤɨɦ ɫɢɫɬɟɦɢ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɿɡ ɞɜɨɦɚ ɡɦɿɧɧɢɦɢ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɩɚɪɭ
ɡɧɚɱɟɧɶ ɡɦɿɧɧɢɯ, ɞɥɹ ɹɤɢɯ ɤɨɠɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɫɢɫɬɟɦɢ ɩɟɪɟɬɜɨɪɸɽɬɶɫɹ ɭ
ɩɪɚɜɢɥɶɧɭ ɱɢɫɥɨɜɭ ɪɿɜɧɿɫɬɶ.
əɤɳɨ
a b
m n
≠ , ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɪɨɡɜ’ɹɡɨɤ;
ɹɤɳɨ
a b ɫ
m n k
= ≠ , ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɪɿɜɧɹɧɶ ɧɟ ɦɚɽ ɪɨɡɜ’ɹɡɤɿɜ;
ɹɤɳɨ
a b ɫ
m n k
= = , ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɪɿɜɧɹɧɶ ɦɚɽ ɛɟɡɥɿɱ ɪɨɡɜ’ɹɡɤɿɜ.
36. ɋɩɨɫɨɛɢ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɫɢɫɬɟɦ ɞɜɨɯ ɥɿɧɿɣɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɿɡ ɞɜɨɦɚ ɡɦɿɧɧɢɦɢ.
ɚ) ɋɩɨɫɿɛ ɩɿɞɫɬɚɧɨɜɤɢ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
2 3;
3 2 8;
x y
x y
+ =
®
− =¯ ( )
3 2 ;
3 2 3 2 8;
y x
x x
= −
®
− − =¯
3 2 ;
7 14;
y x
x
= −
®
=¯
2;
1.
x
y
=
®
= −¯

ɛ) ɋɩɨɫɿɛ ɞɨɞɚɜɚɧɧɹ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
( )
23 4 12;
32 3 26;
x y
x y
×+ =
®
× −− = −¯
6 8 24;
6 9 78;
x y
x y
+ =
®
− + =¯
3 4 12;
17 102;
x y
y
+ =
®
=¯
3 4 6 12;
6;
x
y
+ ⋅ =
®
=¯
4;
6.
x
y
= −
®
=¯
ɜ) Ƚɪɚɮɿɱɧɢɣ ɫɩɨɫɿɛ.
ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ:
5 2 11;
3 3.
x y
x y
− =
®
− = −¯
Ȼɭɞɭɽɦɨ ɝɪɚɮɿɤɢ ɨɛɨɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɫɢɫɬɟɦɢ.
M(3; 2) — ɬɨɱɤɚ ɩɟɪɟɬɢɧɭ ɝɪɚɮɿɤɿɜ.
Ɋɨɡɜ’ɹɡɨɤ ɫɢɫɬɟɦɢ — (3; 2).
Ɏɭɧɤɰɿʀ
37. Ɂɚɥɟɠɧɿɫɬɶ ɦɿɧɧɨʀ ɭ ɜɿɞ ɡɦɿɧɧɨʀ ɯ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɮɭɧɤɰɿɽɸ, ɹɤɳɨ ɤɨɠɧɨɦɭ
ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɡɦɿɧɧɨʀ ɯ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɨɞɧɟ ɩɟɜɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɨʀ ɭ.
Ɂɦɿɧɧɭ x ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɧɟɡɚɥɟɠɧɨɸ ɡɦɿɧɧɨɸ, ɚɛɨ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɦ, ɚ ɡɦɿɧɧɭ
y — ɡɚɥɟɠɧɨɸ ɡɦɿɧɧɨɸ, ɚɛɨ ɮɭɧɤɰɿɽɸ.
38. Ʌɿɧɿɣɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ. Ɍɚɤ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɮɭɧɤɰɿɸ, ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɡɚɞɚɬɢ ɮɨɪɦɭɥɨɸ
ɭ = kx + b, ɞɟ ɯ — ɧɟɡɚɥɟɠɧɚ ɡɦɿɧɧɚ, k ɿ b — ɞɟɹɤɿ ɜɿɞɨɦɿ ɱɢɫɥɚ.
ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɥɿɧɿɣɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ:
1) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
2) əɤɳɨ k ≠ 0, ɬɨ ɨɛɥɚɫɬɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢ-
ɫɟɥ; ɹɤɳɨ k = 0, ɬɨ ɮɭɧɤɰɿɹ ɧɚɛɭɜɚɽ ɥɢɲɟ ɨɞɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɭ = b.
3) Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɩɪɹɦɚ. ɑɢɫɥɨ k ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɤɭɬɨɜɢɦ ɤɨɟɮɿɰɿɽɧɬɨɦ
ɰɿɽʀ ɩɪɹɦɨʀ.
4) Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɭɬɜɨɪɸɽ ɡ ɞɨɞɚɬɧɢɦ ɧɚɩɪɹɦɨɦ ɨɫɿ ɯ ɝɨɫɬɪɢɣ ɤɭɬ, ɹɤɳɨ
k 0, ɬɭɩɢɣ ɤɭɬ, — ɹɤɳɨ k 0. əɤɳɨ k = 0, ɬɨ ɝɪɚɮɿɤ ɩɚɪɚɥɟɥɶɧɢɣ ɨɫɿ ɯ,
ɡɨɤɪɟɦɚ, ɹɤɳɨ k = 0 ɿ b = 0, ɬɨ ɜɿɧ ɡɛɿɝɚɽɬɶɫɹ ɡ ɜɿɫɫɸ ɯ.
5x – 2y = 11 x – 3y = –3
x 1 3 x 0 –3
y –3 2 y 1 0

Ʌɿɧɿɣɧɭ ɮɭɧɤɰɿɸ, ɹɤɭ ɦɨɠɧɚ ɡɚɞɚɬɢ ɮɨɪɦɭɥɨɸ ɭ = kx, ɞɟ k ≠ 0, ɧɚɡɢɜɚ-
ɸɬɶ ɳɟ ɩɪɹɦɨɸ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɸ.
39. Ɏɭɧɤɰɿɹ ky
x
= , ɞɟ k 0. Ɍɚɤɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɨɛɟɪɧɟɧɨɸ ɩɪɨɩɨɪ-
ɰɿɣɧɿɫɬɸ.
ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɨɛɟɪɧɟɧɨʀ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɫɬɿ:
1) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɨɤɪɿɦ
ɱɢɫɥɚ 0.
2) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɬɚɤɨɠ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ, ɨɤɪɿɦ
ɱɢɫɥɚ 0.
3) Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɝɿɩɟɪɛɨɥɚ, ɹɤɚ ɫɤɥɚɞɚɽɬɶɫɹ ɿɡ ɞɜɨɯ ɜɿɬɨɤ.
4) Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɭ ȱ ɿ ȱȱȱ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ ɱɜɟɪɬɹɯ, ɹɤɳɨ
k 0; ɭ ȱȱ ɿ IV ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ ɱɜɟɪɬɹɯ, — ɹɤɳɨ k 0.
5) Ƚɪɚɮɿɤ ɮɭɧɤɰɿʀ ɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɣ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɨɱɚɬɤɭ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ.

. Ⱦɚɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɦɚɽ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ:
1) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ
ɜɫɿɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
2) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ ɜɫɿɯ
ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
3) Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɩɚɪɚɛɨɥɚ. ȼɨɧɚ ɫɢɦɟɬ-
ɪɢɱɧɚ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɨɫɿ ɭ ɿ ɩɪɨɯɨɞɢɬɶ ɱɟɪɟɡ ɬɨɱɤɭ
(0; 0), ɹɤɭ ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ ɜɟɪɲɢɧɨɸ ɩɚɪɚɛɨɥɢ.
41. Ɏɭɧɤɰɿɹ .y x= Ⱦɚɧɚ ɮɭɧɤɰɿɹ ɦɚɽ ɬɚɤɿ ɜɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ:
1) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ
ɜɫɿɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
2) Ɉɛɥɚɫɬɸ ɡɧɚɱɟɧɶ ɮɭɧɤɰɿʀ ɬɟɠ ɽ ɦɧɨɠɢɧɚ
ɜɫɿɯ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ ɞɿɣɫɧɢɯ ɱɢɫɟɥ.
3) Ƚɪɚɮɿɤɨɦ ɮɭɧɤɰɿʀ ɽ ɜɿɬɤɚ ɩɚɪɚɛɨɥɢ. Ƚɪɚɮɿɤ
ɪɨɡɬɚɲɨɜɚɧɢɣ ɭ ɩɟɪɲɿɣ ɱɜɟɪɬɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɨʀ
ɩɥɨɳɢɧɢ.

ȼɿɞɩɨɜɿɞɿ 235
ȼȱȾɉɈȼȱȾȱ
§ 1
15. ɛ) ɍɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ −4 ɿ 0; ɜ) ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ −2, 0 ɿ 1. 16. ɛ) ɍɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ −6 ɿ 0;
ɜ) ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ −2, 0 ɿ 2. 19. ɚ) 400; ɛ) 0; ɜ) 4. 20. ɚ) 0; ɛ) 17. 21. ( )15 25
a b
+ ɭɩɚɤɨɜɨɤ.
22. ( )48 64
n m
+ ɦ2
. 23. ( )25 20
u u
+
+ −v v
ɝɨɞ. 24. ɚ) ɍɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ −3 ɿ 3; ɛ) ɭɫɿ ɜɿɞ’ɽɦɧɿ
ɱɢɫɥɚ; ɜ) ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ, ɤɪɿɦ −2, 0 ɿ 2; ɝ) ɭɫɿ ɱɢɫɥɚ. 26. ( )250 250 22
25
a
a a
−− +
+
ɝɨɞɢɧ.
27. ɜ) (ɭ + 8)(ɯ + 9); ɝ) (ɚ + 2b)(a − 2b + 1). 30. ɍ ɞɪɭɝɿɣ ɮɿɪɦɿ. 31. Ɇɨɠɧɚ. 37. ɚ) 4 ;
5y
ɛ) 2 ;
3
bc ɜ) 3 ;
8m
− ɝ) 2
2 .
3
m
k
− 38. ɚ)
2
3 ;
2
c
n
ɛ)
9
;
7
y
ɜ) 5 ;
3ab
− ɝ) .
3
a
b
39. ɚ) ɚ; ɛ) 1;
3
ɜ) ;
3 4
k
k +
ɝ) .m n
n
− 40. ɚ) ;ab
c
ɛ)
2
;
x y
x y
−
−
ɜ) 3; ɝ) 7 .
5
x
x −
44. ɚ) 3;
4
ɛ) 4; ɜ) 1 ;
1
x
y
+
−
ɝ) ɚ + b; ɞ) 3;
7
a − ɟ) 10 ;
7( 2)x +
ɽ) 4 ;
2y −
ɠ) 3.
3
x
x
+
−
45. ɚ) 3;
5
ɛ) 2;
2
c
c
+
−
ɜ) 10;
y
ɝ) ;a
b
ɞ) m − n; ɟ) 5 ;
x y−
ɽ) 1;
3
m + ɠ) 5.
5
a
a
+
−
52. ɚ) 3 ;
2 3
b
a b+
ɛ) 2 5 ;
2 5
c x
c x
−
+
ɜ) −2(x + 2y);
ɝ) 2
2 4;x x− + ɞ) 1 ;
3 z−
ɟ) 4 2
( 1);y y− + + ɽ) ;a c
c
+ ɠ) ;a b
a x
+
−
ɡ) 4 .
b d−
53. ɚ) 7 ;
2 9b c+
ɛ) 3 ;
4
n
k −
ɜ) 2 ;
3n m−
ɝ) 2
5 ;
3 9c c
−
+ +
ɞ) ;
1
x y
y
+
−
ɟ) .a b
ab
+ 58. ɚ) 2
7 ;x
x xy+
ɛ) 2 2
2( )
;
2
x y
x xy y
+
+ +
ɜ) 2 2
( )
;
c a b
a b
+
−
ɝ)
2 2
3 3
( )
.
n m mn n
m n
+ +
−
59. ɚ) 2 2
2 ( )
;
a x y
x y
−
−
ɛ)
2 2
3 3
.a ac c
a c
− +
+
64. ɚ)
2
8 ;
9
x ɛ) 409 ;
351 n
x
ɜ)
2
;
2
x y
x y
+
−
ɝ) 1.y + 68. ɚ) 12 ;
3
ɛ) 1. 69. 8 ɝɪɧ.; 4 ɝɪɧ. 70. 7 ɤɝ;
21 ɤɝ. 71. 96 ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤɿɜ. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɇɟɯɚɣ ɭ ɲɤɨɥɿ ɧɚɜɱɚɸɬɶɫɹ ɯ ɫɟɦɢɤɥɚɫɧɢɤɿɜ ɬɚ
ɭ ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤɿɜ. Ɉɫɤɿɥɶɤɢ ɤɨɠɧɢɣ ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤ ɞɪɭɠɢɬɶ ɿɡ 7 ɫɟɦɢɤɥɚɫɧɢɤɚɦɢ, ɬɨ
ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ «ɞɪɭɠɛ» ɦɿɠ ɜɨɫɶɦɢɤɥɚɫɧɢɤɚɦɢ ɿ ɫɟɦɢɤɥɚɫɧɢɤɚɦɢ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 7ɭ. ɍɪɚɯɭɣɬɟ,

ȼɿɞɩɨɜɿɞɿ236
ɳɨ ɡ ɿɧɲɨɝɨ ɛɨɤɭ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɬɚɤɢɯ «ɞɪɭɠɛ» ɞɨɪɿɜɧɸɽ 8ɯ. 76. ɚ) 12 ;
4 1
x
x +
ɛ) −2; ɜ) 2; ɝ) 6;
ɞ) 1; ɟ) 4 .
2
x
x y−
77. ɚ) 5; ɛ) 8; ɜ) 8; ɝ) 2 .
3
c
c −
78. ɚ) 11 ;
3
ɛ) 0,56. 79. ɚ) 0,4; ɛ) 8,5.
80. ɚ) ɫ − 1; ɛ) ɚ3
(ɚ + 1); ɜ) 3;
3
b
b
+
−
ɝ)
2
4 ;a
b
ɞ) 2ɯ + 1; ɟ) 3 .
x y
−
+
81. ɚ) 6(ɭ + 2);
ɛ) 1 ;
x y−
ɜ) 1 ;
1a −
ɝ) 2(3ɚ + b2
); ɞ) 2(n + 3); ɟ) 1 .
5a b+
86. ɚ) ɯ2
− ɯ + 1; ɛ)
2 2
.a x ax
a x
+ +
+
89. 80 ɤɦ/ɝɨɞ. 90. 5 ɬ. 91. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɂɚɮɚɪɛɭɣɬɟ ɤɨɠɧɭ ɤɥɿɬɢɧɤɭ ɜ ɨɞɢɧ ɿɡ ɱɨɬɢɪɶɨɯ ɤɨ-
ɥɶɨɪɿɜ ɬɚɤ: ɭ ɤɨɠɧɿɣ ɫɦɭɡɿ ɱɟɪɟɡ ɨɞɧɭ ɤɥɿɬɢɧɤɢ ɡɚɮɚɪɛɭɣɬɟ ɩɨɱɟɪɝɨɜɨ ɭ ɤɨɥɶɨɪɢ 1, 2, ɚ
ɜ ɿɧɲɢɯ ɫɦɭɝɚɯ — ɩɨɱɟɪɝɨɜɨ ɭ ɤɨɥɶɨɪɢ 3, 4. Ɍɨɞɿ ɠɨɞɧɿ ɞɜɿ ɤɥɿɬɢɧɤɢ ɨɞɧɨɝɨ ɤɨɥɶɨɪɭ
ɧɟ ɦɚɬɢɦɭɬɶ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɜɟɪɲɢɧɢ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɧɟ ɦɟɧɲɟ, ɧɿɠ 25 ɩɚɜɭɤɿɜ ɫɢɞɹɬɶ ɧɚ ɤɥɿ-
ɬɢɧɤɚɯ ɨɞɧɨɝɨ ɤɨɥɶɨɪɭ. 94. ɚ) 8;
4
a
a
+ ɛ)
7 10
;
y x
xy
+
ɜ)
2 2
;a b
ab
+ ɝ) 2
4 ;
1
z
z −
ɞ)
2
;
( )
a
c a c
−
+
ɟ) 3 .
( 2)( 1)y y− +
95. ɚ) 7 3;
3
m
m
− ɛ) 4 3 ;b a
ab
+ ɜ)
2 2
;
x y
xy
−
ɝ) 3 4 ;
( 2)
k
k k
+
+
ɞ) ;
(2 1)(3 2)
a
a a+ +
ɟ) 1 .
( 1)x x
−
−
96. ɚ) 4 ;
2 1
n
n −
ɛ)
2
;
y
x
ɜ)
2
.
2
y
y −
97. ɚ) 7 ;
1y +
ɛ) 3 ;
2 3x +
ɜ) 3 2.
1
c
c
+
−
98. ɚ) 7 ;
24x
ɛ) 2;
9
− ɜ) 7 ;
6( )
a
a b+
ɝ) 1;b
b
+ ɞ) 2
5 ;
c
ɟ)
2 2
2 2
;m n
m n
+
ɽ) 2
2 3
;
6
x y
x y
+
ɠ) 7 ;
x y+
ɡ) 3.
b
99. ɚ) 1 ;
12b
ɛ) 8 ;
15
ɜ)
3
;
3
y
y
+
ɝ) 2
2 ;
a
ɞ) 2
2;
2
b
b
+
ɟ) 1 .
( 1)m m −
100. ɚ) 3;
4
ɛ) 7 ;
6( 4)
x
x
−
−
ɜ) 2 ;
2c −
ɝ) 1;
b
ɞ) 2
2 ;
4
k
k −
ɟ) 2
5 .
( )
m
m n+
101. ɚ) 3;
2
ɛ) ;
15( 1)
a
a +
ɜ) 2;
n
ɝ) 3 ;
5a
−
+
ɞ) 2
4 ;
16
x
x −
ɟ) 2
.
( )
y
x y−
104. ɚ) 2 2 2
;a bc
a b c
+ ɛ) 4 3
3 4
;
36
y x
x y
+
ɜ) ;
( )
d c
cd m n
−
+
ɝ)
2
2 2
5
;
36( )
x xy
x y
+
−
ɞ) 2 2
;ab
b a−
ɟ) 2 2
2 .
( )( )
b
a b a b− −
105. ɚ) 3 3
3 2 ;
48
b a
a b
−
ɛ) 7 5 ;
( )
b a
ab x y
+
−
ɜ)
2
2 2
;
( )
b
a a b−
ɝ) 2
3
.
2( )
x y
x y
−
+
106. ɚ) 3 1;
2
c
c
+ ɛ) ;b
y
ɜ)
2
2
2 ;
3(4 9)
n
n −

ɝ) 3 ;
2( 5)x
−
+
ɞ) 2 ;
( 2)
a
a a
+
−
ɟ) 4 ;
2
a b
ab
+− ɽ) 2
5 ;
2( 6)
m
m +
ɠ)
2
2
3 ;
(3 4 )
x
a x a−
ɡ)
2
3
;
27
a
a +
ɢ) 3
8 .
8x −
107. ɚ) 12;
10
a
a
−
−
ɛ) 1 ;
ab
ɜ) 9 ;
2(3 )x−
ɝ) 5 ;
4( 8)b +
ɞ)
2
2
5 ;
( 9)
a
a −
ɟ)
2
2
3
;
2 (2 3 )
y
x x y
−
+
ɽ) 3
1 ;
1x −
ɠ)
2
3
4.
8
a
a
+
+
108. ɚ) 3;
8
ɛ) 2;
x
− ɜ)
3 3
2 2
;b a
a b
− ɝ) 2
5 ;m
m
−
ɞ) 2
2 ;
2
a b
a
+ ɟ)
2
3 5 ;
( 1)( 2)
x x
x x
+ +
+ +
ɽ)
2
;
xy
x y+
ɠ) 2
2 .
1 a−
109. ɚ) 2 ;
a
ɛ) 2
2 ;
ab
− ɜ)
2 2
2
1;k n
kn
−
ɝ) 2
;
xy x y
x y
+ −
ɞ) 4 ;mn
m n+
ɟ) 2
2 .
1x −
110. ɚ) 1 ;
5( 5)a +
ɛ)
2
2
6 4 .
( 2) ( 2)
x
x x
+
− +
111. ɚ) 2 2
;
4
a
b a−
ɛ) 2
36 .
( 3) ( 3)m m+ −
112. ɚ) 1; ɛ) 0,3. 113. ɚ) –17; ɛ) 0,42. 116. ɚ) ɚ = 1; b = −1; ɛ) 5;
7
a =
21 .
7
b = 117. ɚ) 0; ɛ) 16
16 ;
1 x−
ɜ)
15
16
16 ;
1
x
x−
ɝ) 4 ;
( 4)a a +
ɞ) 2
.
1
b
b −
120. ɚ) (3; 2); ɛ) (4; –2).
121. 2000 ɝɪɧ. 122. 9 ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿɜ. 123. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɶɬɟ ɞɜɚ ɜɢɩɚɞɤɢ: 1) ɭɫɿ ɭɱɧɿ
ɤɥɚɫɭ ɽ ɞɪɭɡɹɦɢ; 2) ɿɫɧɭɸɬɶ ɭɱɧɿ, ɹɤɿ ɧɟ ɽ ɞɪɭɡɹɦɢ. ɍ ɞɪɭɝɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɪɨɡɝɥɹɧɶɬɟ
ɞɜɨɯ ɭɱɧɿɜ Ⱥ ɿ ȼ, ɹɤɿ ɧɟ ɞɪɭɠɚɬɶ ɨɞɢɧ ɡ ɨɞɧɢɦ. ɍɪɚɯɭɣɬɟ: ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɫɟɪɟɞ ɛɭɞɶ-ɹɤɢɯ
ɬɪɶɨɯ ɭɱɧɿɜ ɽ ɞɜɨɽ ɞɪɭɡɿɜ, ɬɨ ɪɟɲɬɭ 27 ɭɱɧɿɜ ɞɪɭɠɚɬɶ ɚɛɨ ɡ ɭɱɧɟɦ Ⱥ, ɚɛɨ ɡ ɭɱɧɟɦ ȼ.
1. ɚ). 2. ɜ). 3. ɜ). 4. ɛ). 5. ɝ). 6. ɜ). 7. 1) — ȼ); 2) — Ⱦ); 3) — Ƚ); 4) — Ⱥ). 8. ɚ)
3
4
b
a
; ɛ)
5
3
.
9. 3,4. 10. ɚ)
2
3 2
5 3bx a y
a b
−
; ɛ)
( )
7 4
28
a b
x y
+
+
. 11. ɚ)
3x
x y−
; ɛ)
8
m n+
. 12. ɍɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɤɪɿɦ
k = 0 ɿ k = 4. 13. ɚ)
4
28
;
5
y
x
ɛ)
( )2
1 3
a
b a
−
+
. 14. ɚ) 2
4
1a −
; ɛ)
( ) ( )
2 2
2
3m n mn
m n m n
+
+ −
. 15.
2
4
7
− .
16. ɚ)
2 2
a b
a b
+
+
; ɛ)
( )
2
2
a
b a b−
. 17. ɚ) a = –5 ɿ a = 3; ɛ) ɜɢɪɚɡ ɦɚɽ ɡɦɿɫɬ ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ x.
18. ɚ) 4 – x2
; ɛ) x – a – 8. 19. ɚ)
( )2
29 6
;
30 1
x
x x
−
+
ɛ)
( )( )
2
2
16
.
2 2
a b
a b a b− +
20.
1
2a
.

128. ɚ) 3
25 ;
6a b
ɛ)
2
5 ;
3
a
b
− ɜ)
2
3
.
2
y
x
129. ɚ) 3 ;
2x
ɛ)
2
4 ;a
b
ɜ) 3
9 .
4
m
n
− 130. ɜ) 3;
b
ɝ) 1 ;
x
ɞ) 3;m + ɟ) 2.
2
a
a
−
+
131. ɜ) ;a
k
ɝ) b − 1; ɞ)
( 4)
;
b y
a
+
ɟ)
2
( 1)
.
1
c c
c
+
−
134. ɚ)
10
;
3
by
ax
ɛ) 3
2 ;
3
n
m
− ɜ)
2
2
;
2
b
a y
ɝ) 2
1 ;
axy
ɞ) 2
4 ;
3
a
x
ɟ) .
3
a
b
135. ɚ)
3
3
;
2
m n
a
ɛ) ;
3
x ɜ) 2
12 .
5m y
136. ɚ) 1 ;
( 1)(3 1)a a− +
ɛ)
( )
;
9
x a b+
− ɜ) ;
8( )
y
x y+
ɝ)
5 ( )
;
2( )
y a y
a y
+
−
ɞ)
(2 1)( )
;
14
x a b+ +
−
ɟ) 2
2 ;
( )m n+
ɽ)
( )( )
;
2
n m x y− +
ɠ) 2 2
3( 2 )
.
c a
a ab b
−
− +
137. ɚ) 5 ;
x y−
ɛ) 3;
5
− ɜ)
(4 )( )
;
3
x x y
y
− −
ɝ)
1
;
6( )
y
a b
+
+
ɞ)
3( )
;
10
a b
ab
+
ɟ) 1 .
( 1)( 1)
a
x a
−
− +
138. ɚ) −17,5; ɛ) −3; 2,4; 14. 139. ɚ) −7;
ɛ) −20; 160; 55. 140. ɚ) 1; ɛ) 1. 141. 1.
9
145. 12 ɞɧɿɜ. 146. 1,5 ɝɨɞ; 18 ɤɦ/ɝɨɞ.
147. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɋɟɪɟɞ ɦɿɫɬ ɤɨɪɨɥɿɜɫɬɜɚ ɿɫɧɭɽ ɦɿɫɬɨ, ɡ ɹɤɨɝɨ ɜɢɯɨɞɢɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɚ ɤɿɥɶ-
ɤɿɫɬɶ ɞɨɪɿɝ. ɉɨɡɧɚɱɢɦɨ ɰɟ ɦɿɫɬɨ ɱɟɪɟɡ N ɿ ɧɟɯɚɣ ɡ ɧɶɨɝɨ ɜɢɯɨɞɢɬɶ n ɞɨɪɿɝ. ɉɪɢɩɭɫɬɿɬɶ,
ɳɨ ɿɫɧɭɽ ɦɿɫɬɨ A, ɜ ɹɤɟ ɧɟ ɦɨɠɧɚ ɩɪɨʀɯɚɬɢ ɡ ɦɿɫɬɚ N ɨɞɧɿɽɸ ɚɛɨ ɞɜɨɦɚ ɞɨɪɨɝɚɦɢ. Ɉɛ-
ʉɪɭɧɬɭɣɬɟ, ɳɨ ɬɨɞɿ ɡ ɦɿɫɬɚ A ɨɛɨɜ’ɹɡɤɨɜɨ ɜɢɯɨɞɢɬɶ ɳɨɧɚɣɦɟɧɲɟ n + 1 ɞɨɪɨɝɚ. ɐɟ ɫɭ-
ɩɟɪɟɱɢɬɶ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɡ ɦɿɫɬɚ N ɜɢɯɨɞɢɬɶ ɧɚɣɛɿɥɶɲɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɞɨɪɿɝ. 149. ɚ) 1;
6
ɛ) 9 ;a
c
ɜ) 3
;x ɝ) 3 ;
d
ɞ)
2 2
5
;
2
p n
ɟ)
2
;
4
c
m
ɽ)
2
2
2 ;c
a
ɠ) 4 .
5
ax
b
150. ɚ) 3 ;
2
x
y
ɛ)
2
21 ;
2
ab ɜ)
2
;
5
xy
ɝ) 3
.
14
m
k
151. ɚ) 3
9 ;
ab
ɛ) ;
16
n
b
− ɜ) 5 .
2
z
xy
− 152. ɚ)
2
;
3
y
− ɛ) 20 ;
3mn
− ɜ) 4 .
xy
153. ɚ) 2
6 ;
c
ɛ) 2
;n
a
ɜ) ( );k c d− ɝ)
2
;
4
x
x +
ɞ)
2
;
3
b
b −
ɟ)
2
.
2
y
y
−
+
154. ɚ)
2
;x
a
ɛ) 2 ;a
c
+ ɜ) 4
;mn
y
ɝ) ( 5);k k − ɞ)
5( )
;
2
x y−
ɟ) 1.
1
a
a
−
+
155. ɚ)
2
2 (5 )
;
−a x
x
ɛ)
(1 )
;
−a b
bc
ɜ) ;
2( )−
a
a b
ɝ) 2
3( 1)
;
2( 1)
−
+
x
x
ɞ)
3 (1 )
;
4 (1 )
−
+
b x
a x
ɟ) ( ).+c a b 156. ɚ)
2
2
2 (7 1)
;
a c
b
−
ɛ) 2
2;+x
x
ɜ)
( )( 1)
.
6
− −m n m
m
157. ɚ)
5
20 ;
3
b
a
− ɛ) 2
0,16 ;n ɜ) ;
3
ab
c
ɝ) 2
9 .
4bx
158. ɚ) 2 3
0,4 ;m n− ɛ)
3
2 ;
3
b
c
ɜ) 3 ;
5x
ɝ)
6
2
6 .a
b c

159. ɚ)
3( )
;
7( )
−
+
a b
a b
ɛ)
(2 1)( )
;
3(1 2 )
+ +
−
c x y
c
ɜ) ;
4 ( )+
n
m m n
ɝ) 9 ;
−
a
a b
ɞ) 2 2
2 ;
−x y
ɟ)
(3 )(1 2 )
.
a a
a
− +
160. ɚ)
( )
;
b a b
a b
−
+
ɛ) ;
6( 2 )
+
+
x y
x y
ɜ)
2(1 )
;
− b
a
ɝ)
( 2)
.
+
−
+
a a
c b
161. ɚ) 16;
ɛ) −1; 10; 75. 162. −0,6; 0,78. 165. ɚ) 2
0,5
;
( 1)( 0,5)
+
+ −
x
x x
ɛ) 1. 167. ɇɚ ɩɪɢɱɚɥɿ Ⱥ. 168. ɚ) 0;
ɛ) 0,5. 170. 1,7n ɝɪɧ. 171. 4 ɬ; 8 ɬ. 172. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. əɤɳɨ ɭ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɿɣ ɤɥɿɬɢɧɰɿ ɡɚɩɢɫɚɧɨ
ɱɢɫɥɨ m, ɬɨ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɿɧɲɟ ɱɢɫɥɨ ɦɨɠɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ m, m + 1, m – 1, m + 2 ɚɛɨ m – 2.
Ɍɨɦɭ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ, ɧɿɠ 5 ɪɿɡɧɢɯ ɱɢɫɟɥ. 173. ɚ) 3 ;
( 1)a a −
ɛ) 2 ;
5a
−
−
ɜ) 2
7 ;
a
−
ɝ) 1 ;
2(2 1)b −
ɞ)
3
;
4
a
a −
ɟ) 2 .
x y−
174. ɚ) 4 ;
( 1)b b −
ɛ) 25 20 ;
( 5)
a
a a
−
−
ɜ) 12 ;
4
x
x
−
−
ɝ) 1 .
4( 1)c +
175. 18 ;
3
x
x +
12. 176. 2 ;
9c −
1. 179. ɚ) 2 ;m
n m−
ɛ) −1; ɜ)
2 ( 2 )
;
2
−
+
a b a
b a
ɝ) 1 ;
ab
ɞ) 1 .
( 1)
−
+
x
x x
180. ɚ)
2
2 2
;
−
+
y
x y
ɛ) 2 ;
2x −
ɜ)
2(3 )
;
5
− x
ɝ) 10. 181. ɚ) ɚ; ɛ) ɯ − 3; ɜ) ;m
n
− ɝ) .m a
a
+
182. ɚ) −ɚ − b; ɛ) 1.
c
188. ɚ)
2
3 9;+ +
−
b b
b a
ɛ)
4
.
( 5 )
x y
x x y
−
−
189. ɚ) 4,25; ɛ) 1,25; 191. .
2 1−
x
x
192. ɚ) −1; ɛ) −4; 0; ɜ) 14; ɝ) 13. 193. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɧɟ ɦɚɽ ɤɨɪɟɧɿɜ, ɹɤɳɨ ɚ = 0; ɦɚɽ ɨɞɢɧ ɤɨ-
ɪɿɧɶ, ɹɤɳɨ ɚ ≠ 0 ɿ ɚ ≠ 3. 194. 150 ɤɦ. 195. 11 ɦ/ɫ; 9 ɦ/ɫ. 196. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ
ɩɿɫɥɹ ɤɨɠɧɨʀ ɜɤɚɡɚɧɨʀ ɨɩɟɪɚɰɿʀ ɞɨɛɭɬɨɤ ɭɫɿɯ ɱɢɫɟɥ, ɡɚɩɢɫɚɧɢɯ ɧɚ ɞɨɲɰɿ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 25. 202. ɚ) −1; ɛ) −2; ɜ) −5. 203. ɚ) 7 ;
12
ɛ) 19 ;
40
ɜ) 5.
6
204. ɚ) −2; ɛ) ɤɨɪɟɧɿɜ
ɧɟɦɚɽ; ɜ) 3; ɝ) −1; ɞ) −3; ɟ) 10; ɽ) 1; ɠ) 1 ;
2
ɡ) 1.
6
205. ɚ) 0; ɛ) −10; ɜ) 9 .
11
− 206. ɚ) 0; 3;
ɛ) −1; 0; ɜ) 5 .
22
209. 3. 210. 5. 213. ɚ) 1;
9
− ɛ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɜ) 1; ɝ) 12 ;
3
− ɞ) 0; 5;
6
ɟ) –9; ɽ) −0,8; ɠ) 0,3. 214. ɚ) −0,8; ɛ) 2; ɜ) −1,5; ɝ) 0,125; ɞ) −2,5; ɟ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
215. 360 ɤɦ/ɝɨɞ; 60 ɤɦ/ɝɨɞ. 216. 6 ɝɨɞ; 12 ɝɨɞ. 217. 22,5 ɯɜ. 218. 3 ɤɦ/ɝɨɞ.
219. 22 ɤɦ/ɝɨɞ. 220. ɍɫɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɚ, ɤɪɿɦ ɚ = 1 ɿ ɚ = 2. 221. ɚ) −3; 0; ɛ) 0; 2. ȼɤɚɡɿɜɤɢ.
ɚ) ɉɨɡɧɚɱɬɟ ɜɢɪɚɡ ɯ2
+ 3ɯ ɱɟɪɟɡ ɭ, ɡɚɩɢɲɿɬɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɡ ɧɟɜɿɞɨɦɢɦ ɭ ɬɚ ɪɨɡɜ’ɹɠɿɬɶ ɣɨɝɨ.

ɛ) ɉɨɡɧɚɱɬɟ ɜɢɪɚɡ ɯ2
− 2ɯ ɱɟɪɟɡ ɭ. 222. ɚ) 9; ɛ) 1; ɜ) −5; ɝ) 7. 223. ɛ) əɤɳɨ ɚ ≠ −1, ɬɨ
ɯ = 3; ɹɤɳɨ ɚ = −1, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɜ) ɹɤɳɨ ɚ ≠ 4, ɬɨ ɯ = 2ɚ − 4; ɹɤɳɨ ɚ = 4, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ
ɧɟɦɚɽ; ɝ) ɹɤɳɨ ɚ ≠ −0,5 ɿ ɚ ≠ 4, ɬɨ ɯ = ɚ − 1; ɹɤɳɨ ɚ = −0,5 ɚɛɨ ɚ = 4, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
224. ɚ = 0 ɿ ɚ = 2. 225. ɚ = −7, ɚ = −1 ɿ ɚ = 5. 227. ɚ) −1,85; ɛ) 1; ɜ) 1; ɝ) 0. 229. ɛ) ɚ.
230. Ɍɚɤ. 231. 7200 ɝɪɧ. 232. ɚ) əɤɳɨ ɚ ≠ 2, ɬɨ ɯ = ɚ; ɹɤɳɨ ɚ = 2, ɬɨ ɤɨɪɟɧɟɦ ɽ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ
ɱɢɫɥɨ; ɛ) ɹɤɳɨ ɚ ≠ −1 ɿ ɚ ≠ 1, ɬɨ ɯ = 1 ;
1−a
ɹɤɳɨ ɚ = −1, ɬɨ ɤɨɪɟɧɟɦ ɽ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɱɢɫɥɨ;
ɹɤɳɨ ɚ = 1, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 233. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɶɬɟ ɲɚɯɨɜɟ ɪɨɡɮɚɪɛɭɜɚɧɧɹ ɞɨɲɤɢ.
ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɡ ɱɨɪɧɨʀ ɤɥɿɬɢɧɤɢ ɠɭɤ ɦɨɠɟ ɩɟɪɟɩɨɜɡɬɢ ɥɢɲɟ ɧɚ ɛɿɥɭ, ɚ ɡ ɛɿɥɨʀ — ɥɢɲɟ
ɧɚ ɱɨɪɧɭ.
1. ɜ). 2. ɜ). 3. ɛ). 4. ɛ). 5. ɛ). 6. ɝ). 7. 1) — ȼ); 2) — Ⱦ); 3) — Ƚ); 4) — Ȼ). 8. ɚ)
4
2
6a
b ɫ
;
ɛ) 3
3
20xz
. 9. ɚ)
2
3x −
; ɛ)
1
a
. 10. 3,6. 11. ɚ) –2; 0; ɛ) –4,5. 12. ɚ)
4 4
3
3
16
a c
b
; ɛ)
2
28
5
y z
x
− .
13. ɚ)
1
2 1
a
a
−
−
; ɛ)
2 6
3
a
a
−
. 14. –6. 15. ɚ)
11
24
; ɛ) 0. 16. 10 ɝɨɞ. 17. ɚ)
( )10
4
a a
a
+
+
; ɛ) 1.
20. ɚ) 0,4; ɛ) 2. 21. 15 ɤɦ/ɝɨɞ.
250. ɚ) 1; ɛ) 101; ɜ) 231 ;
27
ɝ) 18; ɞ) 0; ɟ) 1 ;
2
− ɽ) 34 ;
4
ɠ) 64 .
225
− 251. ɚ) 3; ɛ) 121;
ɜ) 293 ;
32
− ɝ) 11 ;
3
ɞ) 0,147; ɟ) 15. 254. ɚ) 3 ;
5+a
ɛ) 2 2
;−b a
a b
ɜ) 2
8 ;
16−b
ɝ) 3 3
;
−y x
x y
ɞ) 1 ;
( 1)( 1)− −x y
ɟ) 2 2
(1 ).−x x 255. ɚ) ;+
−
a b
a b
ɛ) 2 ;
7+a
ɜ)
2 2
;m n
m n
−
+
ɝ)
6 3
6 6
2
.
x y
y x−
257. ɇɟ
ɦɨɠɟ. 258. ɇɟ ɿɫɧɭɸɬɶ. 259. ɚ) 1; ɛ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 262. 20, 10 ɿ 15 ɩɪɨɝɪɚɦ.
263. 1000 ɝ. 264. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ ɡɚɞɚɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ 12 ɩɚɪɧɢɯ ɿ 13 ɧɟɩɚɪ-
ɧɢɯ, ɬɨɦɭ ɩɪɢɧɚɣɦɧɿ ɧɚ ɨɞɧɿɣ ɡ ɤɚɪɬɨɤ ɛɭɞɭɬɶ ɧɚɩɢɫɚɧɿ ɞɜɚ ɧɟɩɚɪɧɿ ɱɢɫɥɚ.
273. ɜ) 0,6b–4
c–1
; ɝ) 1 13 ;
8
− −
x y ɞ) −3ɚ2
b; ɟ) 21 .
3
ac 274. ɚ) 1;
8
ɛ) 125; ɜ) 243; ɝ) 27; ɞ) 1;

ɟ) 3.
4
275. ɚ) 1; ɛ) 6; ɜ) 5.
8
276. ɚ) 27; ɛ) 4; ɜ) 1 ;
7
ɝ) 1 ;
512
ɞ) 4; ɟ) 9. 277. ɚ) 3 2
2 ;
x y
ɛ) 0,4m4
n2
; ɜ) 3
25;
x
ɝ) 81ɚ2
b5
; ɞ)
12
2
5 ;
4
a
b
ɟ)
7
6
.
32
m
n
278. ɚ) 0,5ɚb; ɛ) 3
12 ;
25
a
b
ɜ) 3
125 ;x
y
ɝ)
2
7
.
3
a
b
281. ɜ) (3m–2
− n–1
)(3m–2
+ n–1
). 282. ɜ) (3b–1
− 2c–1
)(3b–1
+ 2c–1
). 283. ɚ) −1;
ɛ)
3
3
9 2;b
b
+− ɜ) 2
4 ;
xy
− ɝ) 4 2
4 2;+ −c c ɞ)
3 3
3 3
;b a
a b
− ɟ)
4 4
4 4
.+
−
b a
b a
284. ɚ)
2 2
2 2
;
x y
x y
+
ɛ) ɚ4
;
ɜ)
2 2
2 2
2( )
;
a b
a b
+
ɝ)
2 2
2 2
.+
−
n m
n m
286. ɚ) 3 4
( ) ;m
a b ɛ) ( )
3 3
3 .
4
n+
287. 511. 289. ɚ)
10 10
10 10
2( )
;
3( )
y x
y x
−
+
ɛ)
2
2
3 1;a
a
− ɜ)
2
.
1
−
+
b b
b
291. (1; −1). 292. 120 ɿ 130 ɞɟɬɚɥɟɣ. 293. 30 ɤɦ. 294. ɇɟ ɦɨɠɧɚ.
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɉɪɢɩɭɫɬɿɬɶ, ɳɨ ɤɭɩɢ ɥɢɲɟ ɿɡ ɬɪɶɨɯ ɤɚɦɿɧɰɿɜ ɨɞɟɪɠɚɬɢ ɦɨɠɧɚ ɿ ɞɥɹ ɰɶɨɝɨ ɩɨ-
ɬɪɿɛɧɨ n ɤɪɨɤɿɜ. Ɍɨɞɿ ɧɚ ɛɟɪɟɡɿ ɛɭɞɟ n + 1 ɤɭɩɚ ɿɡ ɬɪɶɨɯ ɤɚɦɿɧɰɿɜ, ɚ ɜɫɿɯ ɤɚɦɿɧɰɿɜ ɛɭɞɟ
1001 – n. Ɂɚɥɢɲɚɽɬɶɫɹ ɩɨɤɚɡɚɬɢ, ɳɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ 3(n + 1) = 1001 – n ɧɟ ɦɚɽ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ
ɤɨɪɟɧɹ. 307. ɚ) 1,9 ⋅ 109
ɬ; ɛ) 2,8 ⋅ 102
ɤɝ; ɜ) 5,2 ⋅ 10−1
ɫɦ; ɝ) 6,12 ⋅ 103
ɞɦ. 308. ɚ) 7,3 ɞɦ;
ɛ) 1,1 ⋅ 104
ɤɝ; ɜ) 9,3 ⋅ 105
ɝ; ɝ) 8,6 ⋅ 103
ɫɦ. 309. 7,9 ɤɦ/ɫ; 1,12 ⋅ 10 ɤɦ/ɫ; 1,667 ⋅ 10 ɤɦ/ɫ.
310. ɚ) 2,76 ⋅ 10−3
; ɛ) 3,468 ⋅ 10−11
; ɜ) 4,838 ⋅ 10; ɝ) 9 ⋅ 10–4
; ɞ) 2 ⋅ 109
; ɟ) 4,5 ⋅ 10−7
.
311. ɚ) 1,89 ⋅ 105
; ɛ) 2 ⋅ 10−8
; ɜ) 5 ⋅ 10−8
; ɝ) 5 ⋅ 10−5
. 314. ɚ) 1,91 ⋅ 109
; ɛ) 1,016 ⋅ 1017
;
ɜ) 7,77 ⋅ 107
; ɝ) 6,7 ⋅ 10–5
. 315. ɚ) 4,08 ⋅ 109
; ɛ) 1,93 ⋅ 10–3
. 318. 1,05 ɤɝ. 322. ɚ) −2; 2;
ɛ) −0,25; ɜ) −0,5; ɝ) 0,3. 323. 585 ɬ; 195 ɬ. 324. Ɉɥɹ ɦɨɠɟ ɡɚɛɟɡɩɟɱɢɬɢ ɫɨɛɿ ɩɟɪɟɦɨɝɭ,
ɹɤɳɨ ɱɢɫɥɨ ɹɛɥɭɤ ɧɟ ɤɪɚɬɧɟ 11. 338. 90
a
ɩɚɤɟɬɿɜ. 339. 140
v
ɝɨɞ. 340. ɚ) 36;y
x
= −
ɛ) 32.y
x
= 341. ɚ = 1. 342. ɚ) (2; −2,5) ɿ (2,5; −2); ɛ) ɝɪɚɮɿɤɢ ɧɟ ɩɟɪɟɬɢɧɚɸɬɶɫɹ.
343. ɚ) −1; 1; ɛ) −0,8. 344. ɚ) –1; 2; ɛ) 1; 2,5. 345. ɚ) –3; 1; ɛ) 0,5; 4. 346. 18;S
x
= ɹɤɳɨ
ɯ = 4,5, ɬɨ S = 4. 347. 12;t =
v
ɹɤɳɨ v = 1,6, ɬɨ t = 7,5. 348. ɯ −1; 0 ɯ 1. 350. 1.
351. Ɍɪɢ ɤɨɪɟɧɿ. 352. −m. 353. ɚ) (1; 3); ɛ) (3; –1). 354. 46. 355. 75 ɤɦ. 356. ɇɟ ɦɨɠɭɬɶ.
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɏɬɨɫɶ ɿɡ ɩɿɪɚɬɿɜ ɨɛɨɜ’ɹɡɤɨɜɨ ɨɞɟɪɠɢɬɶ ɧɟ ɛɿɥɶɲɟ ɫɟɦɢ ɡɥɢɬɤɿɜ. Ɂɧɚɣɞɿɬɶ ɦɚɫɭ

ɫɟɦɢ ɧɚɣɜɚɠɱɢɯ ɡɥɢɬɤɿɜ. 359. ɚ) 1;
c
ɛ) 3;
3
−a ɜ) 4;
4
−
+
c
c
ɝ) 3;
3
−
+
b
b
ɞ) 2 ;−x y ɟ) 5 2 .
2
−
−
x
x y
362. 625; 3,24. 364. ɚ) 2
2 ;
1−
x
x
ɛ)
2
;
( )
a
b a b+
ɜ) .b
xy
365. ɚ) −1; ɛ) 2
4 13;
16
+
−
a
a
ɜ)
17
;
10(2 1)
y
y +
ɝ)
2 2
3 3
2( )
.
+
−
a b
a b
366. ɚ) 91 ;+
a
ɛ) 14 ;+ +a
a
ɜ) 32 .
2
+ +
+
x
x
367. ɛ) 2 ;
15
a
x
ɜ) 3 ;
4
c
ab
ɝ) 1 ;
x y
−
+
ɞ)
2(1 )
;
− x
x
ɟ)
( )
.
x x y
y
+
− 369. ɚ) 2 ;
3
ax ɛ)
(2 )(1 )
;
− +b b
b
ɜ)
( )
.
4
−x x y
370. 90. 371. ɚ) 1 ;
+a b
ɛ) 1; ɜ) 4 .
3( 4)−
a
a
373. 2
2 ;
( 1)
a
a −
4. 376. ɚ) 1 ;
3 1
+
+
x
x
ɛ) 1.
2
x
x
+
+
377. ɚ) −1; ɛ) 0; ɜ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɝ) −2. 378. ɚ) 0,6; ɛ) 0; 3; ɜ) 14 ;
3
− ɝ) −2,8. 379. əɤɳɨ
ɚ ≠ –2, ɬɨ ɯ = –ɚ – 3; ɹɤɳɨ ɚ = –2, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 380. ɚ = –1; ɚ = 3. 381. ɛ) 127;
ɜ) −0,9; ɝ) 12 ;
3
ɞ) 4; ɟ) 4.
7
382. ɚ) 2
;a
b c
ɛ) 2 2
;
−
a
a b
ɜ) 2 3
2 ;x y ɝ)
3
2 2
.
( 1)+
c
c
383. ɚ)
12
10
27 ;x
y
ɛ)
15
;
3
a c ɜ) 2 ;
2 3+x
ɝ) ;a b
ab
+ ɞ) 1; ɟ)
2 2
2 2
.a ab b
a b
− + 384. ɚ) 2n + 2
; ɛ) 2n + 7
;
ɜ) 27 − n
; ɝ) 2n − 8
. 385. 3 4 2
( );− − −
+x x x 5 2
( 1);− −
+x x 8 6
( ).− −
+x x x 388. 3,6 ⋅ 103
ɫ;
8,64 ⋅ 104
ɫ; 2,592 ⋅ 106
ɫ. 390. 2.y
x
= 393. –2; 2.
1. ɚ); ɝ). 2. ɜ). 3. ɜ). 4. ɚ). 5. ɝ). 6. ɛ). 7. 1)–Ƚ); 2)–Ȼ); 3)–Ⱦ); 4)–Ⱥ). 8. ɚ) 250; ɛ)
1
3
9
.
9. ɚ) 12a; ɛ)
3
b
b −
. 10. ɚ)
10
4
9
a
b
; ɛ)
6
12
27n
m
. 12. ɚ) 65,5; ɛ)
1
27
. 13. ɚ) 4ab3
c3
; ɛ)
3
2
9
n
m
.
14. ɚ)
25
2a +
; ɛ)
a b
ab
+
− . 15. ɚ) 1,403 · 102
; ɛ) 3 · 10–5
. 16. (1; 2); (2; 1). 17. ɚ) 1,5; ɛ)
2
2
3
.
18. ɚ) 3m
y
x +
; ɛ)
3 2
2 1
2
n
n
b
y
−
−
. 19. ɚ) 2 2
1
x y−
; ɛ) –2. 20. ɚ) x = 2·103
; ɛ) x = 10–3
. 21. 2.

§ 2
404. ɯ=0; ɯ=5. 412. k=3. 413. −3ɯ2. 416. ɛ) 1;
3
− 21 .
3
417. ɚ) 3 3
;−b a
a b
ɛ) 2 .
( 1)( 1)
−
− −m n
418. 60 ɦ. 419. ɚ) 68°; ɛ) −40°. 420. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ⱦɜɚ ɮɭɬɛɨɥɿɫɬɢ, ɜɿɞɫɬɚɧɶ ɦɿɠ ɹɤɢɦɢ ɽ
ɧɚɣɦɟɧɲɨɸ, ɩɚɫɭɸɬɶ ɦ’ɹɱɿ ɨɞɢɧ ɨɞɧɨɦɭ. Ⱦɚɥɿ ɪɨɡɝɥɹɧɶɬɟ ɜɢɩɚɞɤɢ: 1) ɿɧɲɿ 3 ɮɭɬɛɨɥɿɫɬɢ
ɪɨɡɩɚɫɨɜɭɸɬɶ ɦ’ɹɱɿ ɦɿɠ ɫɨɛɨɸ; 2) ɯɨɱɚ ɛ ɨɞɢɧ ɡ ɰɢɯ 3 ɮɭɬɛɨɥɿɫɬɿɜ ɜɿɞɩɚɫɭɜɚɜ ɦ’ɹɱ ɨɞ-
ɧɨɦɭ ɡ ɩɟɪɲɢɯ ɞɜɨɯ. 446. ɚ) 3,5; ɛ) 11 ;
6
ɜ) 7,1; ɝ) −6; ɞ) −1,2; ɟ) −0,99. 447. ɚ) 0,18;
ɛ) 2,5; ɜ) 0,32; ɝ) 50. 449. ɚ) x = 0; ɛ) x = 0. 450. ɚ 0. 452. ɚ) 2; ɛ) –1; ɜ) 0.
453. 80 ɤɦ/ɝɨɞ; 90 ɤɦ/ɝɨɞ. 454.
2
5
. 455. Ɍɚɪɚɫ. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɮɿɲɤɨɸ ɩɨɬɪɿɛ-
ɧɨ ɩɪɨɣɬɢ 99 ɤɥɿɬɢɧɨɤ, ɿ ɳɨ Ɍɚɪɚɫ ɦɨɠɟ ɞɨɩɨɜɧɸɜɚɬɢ ɯɨɞɢ Ɉɥɟɝɚ ɞɨ 4 ɤɥɿɬɢɧɨɤ.
460. 6 ɞɦ; 3 ɞɦ. 461. 18 ɦ; 6 ɦ. 462. ɚ) −1; 1; ɛ) 1,5;− 1,5; ɜ) 2;
3
− 2;
3
ɝ) 1;
5
− 1.
5
463. ɚ) 3;− 3; ɛ) −1; 1; ɜ) −8; 8; ɝ) 32;− 32. 464. ɚ) –1,5; 2,5; ɛ) 1,5; 4,5.
465. ɚ) –9; 5; ɛ) –5; 6. 466. –7; 7. 467. –2 ɿ –1; 2 ɿ 3. 468. ɚ) 3;− –1; 1; 3; ɛ) 1. 469. –5.
470. ɚ) ɚ = 0; ɚ = 2; ɛ) ɚ = 5;− ɚ = 5. 473. (−1; 3). 474. 60 ɞɟɬɚɥɟɣ. 475. ɇɟ ɡɦɨɠɟ.
ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɂɚɮɚɪɛɭɣɬɟ ɤɭɛɢɤɢ ɞɚɧɨɝɨ ɤɭɛɚ ɜ ɲɚɯɨɜɨɦɭ ɩɨɪɹɞɤɭ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ:
ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɣ ɤɭɛɢɤ ɜɢɪɿɡɚɥɢ, ɬɨɦɭ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɤɭɛɢɤɿɜ ɱɨɪɧɨɝɨ ɬɚ ɛɿɥɨɝɨ ɤɨɥɶɨɪɭ ɜɿɞɪɿɡ-
ɧɹɸɬɶɫɹ ɧɚ 2; ɩɿɫɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɱɨɪɧɨɝɨ ɤɭɛɢɤɚ ɫɢɪɭ ɦɢɲɚ ɦɨɠɟ ɡ’ʀɫɬɢ ɥɢɲɟ ɛɿɥɢɣ ɤɭ-
ɛɢɤ, ɚ ɩɿɫɥɹ ɤɨɠɧɨɝɨ ɛɿɥɨɝɨ — ɱɨɪɧɢɣ. 500. 6 ɬɭɪɢɫɬɿɜ. 501. ɍ 18 ɛɭɤɟɬɚɯ.
502. ɛ) ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɋɤɨɪɢɫɬɚɣɬɟɫɹ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜɿɞ ɫɭɩɪɨɬɢɜɧɨɝɨ. 503. Ɍɚɤ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ,
2 2 0;− + = ( )2 2 2− ⋅ = − . 505. 1 ɭɱɟɧɶ. 508. 20,5 ɤɦ/ɝɨɞ. 509. 7,2 ɝɨɞ.
510. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɉɪɢɩɭɫɬɿɬɶ, ɳɨ ɜɤɚɡɚɧɢɯ ɬɪɶɨɯ ɤɥɿɬɢɧɨɤ ɧɟɦɚɽ. Ɍɨɞɿ ɨɞɢɧ ɤɨɥɿɪ ɦɨɠɭɬɶ
ɦɚɬɢ ɳɨɧɚɣɛɿɥɶɲɟ ɞɜɿ ɤɥɿɬɢɧɤɢ, ɹɤɿ ɪɨɡɦɿɳɟɧɿ ɩɿɞɪɹɞ. ɍɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɫɦɭɠɤɚ ɦɚɽ
14 ɧɟɡɚɮɚɪɛɨɜɚɧɢɯ ɤɥɿɬɢɧɨɤ, ɹɤɿ ɦɨɠɭɬɶ ɪɨɡɞɿɥɹɬɢ ɳɨɧɚɣɛɿɥɶɲɟ 15 ɩɚɪ ɤɥɿɬɢɧɨɤ ɨɞ-
ɧɨɝɨ ɤɨɥɶɨɪɭ. 530. ɚ) 24; ɛ) 180; ɜ) 45; ɝ) 3; ɞ) 10,5; ɟ) 105. 531. ɚ) 200; ɛ) 42; ɜ) 0,24.
532. ɚ) 75; ɛ) 36; ɜ) 14; ɝ) 720; ɞ) 1,6; ɟ) 154. 533. ɚ) 21; ɛ) 63; ɜ) 20. 534. ɚ) 12; ɛ) 20;
ɜ) 6. 535. ɚ) 300; ɛ) 34,5; ɜ) 1,44; ɝ) 3; ɞ) –0,3. 536. ɚ) 253,44; ɛ) 0; ɜ) 2; ɝ) 171.

537. ɚ) 64; ɛ) 243; ɜ) 64. 538. ɚ) 32; ɛ) 125; ɜ) 81. 539. ɚ) ɚb; ɛ) −ɚb; ɜ) −2ɯ2
ɭ3
; ɝ) 4
5 ;m
n
ɞ) −ɚb2
; ɟ) −0,2ɯɭ. 540. ɚ) −ɚ2
b; ɛ) −6ɚ5
b3
; ɜ) 4
;x
y
ɝ) 7ɯɭ. 543. ɚ) 2; ɛ) 19 .
75
544. ɚ) 2,8;
ɛ) 2. 545. ɚ) 374; ɛ) 576. 546. ɚ) x ≥ 0; ɛ) x ≤ 0; ɜ) ɞɥɹ ɜɫɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ x; ɝ) x ≥ 0; ɞ) x ≥ 0;
ɟ) x ≤ 0. 548. x2
– 2. 549. ɚ) –2; 2; ɛ) 1. 551. ɚ) 1; ɛ) 0,25; ɜ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɝ) 0; 4.
552. ɜ) 2 ;
3
z
y
ɝ) 2 .
1
−
+
a b
a
554. ɇɟ ɦɨɠɧɚ. 555. 84 ɤɦ/ɝɨɞ; 70 ɤɦ/ɝɨɞ. 556. ɇɟ ɦɨɠɧɚ. ȼɤɚ-
ɡɿɜɤɚ. Ɉɛʉɪɭɧɬɭɣɬɟ: ɳɨɛ ɡɿɛɪɚɬɢ ɜɫɿ ɮɿɲɤɢ ɜ ɨɞɧɿɣ ɜɟɪɲɢɧɿ ɩɨɬɪɿɛɧɚ ɧɟɩɚɪɧɚ ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ
ɯɨɞɿɜ. 564. ɚ) 5 6; ɛ) −26; ɜ) 9; ɝ) 0; ɞ) 7 3; ɟ) 6; ɽ) 3 5;+ ɠ) 9; ɡ) 4; ɢ) 7 2 10.−
565. ɚ) 2 6; ɛ) 15; ɜ) 2 2; ɝ) 4 3 2;− ɞ) 5; ɟ) 9. 570. ɚ) 6 2 2;− ɛ) 7; ɜ) 6; ɝ) 2 6;−
ɞ) 0; ɟ) 1. 571. ɚ) 5 2 3;+ ɛ) 15; ɜ) −19; ɝ) 3. 572. ɚ) 2ɚ; ɛ) 4 8;+x ɜ) ɚ; ɝ) ɚ2
.
573. ɚ) ɚ + b + ab + 1; ɛ) m. 574. ɚ) 4 3 ;a b ɛ) 0,3 ;− y x ɜ) 2
2;a b ɝ) 0,8 ;b b
ɞ) 3
2 2 ;xz x− ɟ) 3
4 2 .bc ab 575. ɚ) 7 ;− b a ɛ) 1,2 ;ab b ɜ) 2
3 2;x y− ɝ) 0,2 .xy xy
576. ɚ) 2
12 ;a ɛ) ;b ɜ) 5
9 ;x ɝ) 3
;a b ɞ) ( )
3
1 ;c + ɟ) 3 2
.a a b+ 577. ɚ) 2
5 ;c
ɛ) 3
;n ɜ) 3
2 ;b ɝ) 3 2
;a b ɞ) 3 2
;x x+ ɟ) ( )
3
.n k+ 578. ɚ) 3 1;+ ɛ) 5 2 ;
3
−
ɜ) 14(3 2 2);+ ɝ) 1 ;
2 3 1+
ɞ) ;+
−
m n
m n
ɟ)
( 3)
;
9
+
−
a a
a
ɽ) 2
;−
−
x x
x x
ɠ) 4 6.
4 9
−
−
b
b
579. ɚ) 5 1;
2
− ɛ) 1 ;
7 3+
ɜ) 7 3 ;
4
+ ɝ) ( )4 3 2 4 ;− ɞ) ;
−
−
x y
x y
ɟ)
(1 )
;
1
c c
c
+
−
ɽ) 2
2( )
;
a a
a a
+
−
ɠ)
( )
9 .
3
b
c b
−
+
580. ɜ) 5( 3 7);− ɟ) 2 ( 3).−x x 581. ɜ) 3( 7 5);−
ɟ) 2 (2 ).+b b 582. ɚ) 2; ɛ) 8 1;
2
− ɜ) 3 ;
7
ɝ) 2;+x ɞ) 1 ;
5−a
ɟ) 2 .
3 − b
583. ɚ) 3 ;
2
ɛ) 1 5;− ɜ) 2;− ɝ) 1 ;
7−a
ɞ) 2;− −x ɟ) 5.−m 586. ɚ) 2 2;

ɛ) 4 ;
23
ɜ) ;b ɝ) 1 .
xy
587. ɚ) 4; ɛ) 2; ɜ) ;− m ɝ) 0. 588. ɚ) 2 5;+ ɛ) 3 1;− ɜ) 9;
ɝ) 1; ɞ) ɯ. 591. ɚ)
2
;
3
− a ɛ) .− −ab 592. ɚ) 2 2 6 ;
4
+ − ɛ)
3( 5 2)
.
3
−
593. –3; 1.
594. (–1; 1); (3; 9). 596. ɇɿ. 597. 400 ɦ. 598. 500 ɝ. 599. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɋɨɡɝɥɹɧɶɬɟ ɞɜɚ ɜɢɩɚɞ-
ɤɢ: ɫɭɦɚ ɡɚɩɢɫɚɧɢɯ ɱɢɫɟɥ ɽ 1) ɩɚɪɧɨɸ; 2) ɧɟɩɚɪɧɨɸ. 614. ɚ) 0; 4; ɛ) 4. 615. ɚ) 4; ɛ) 0; 1.
616. ɝ) 5; ɞ) 24 ;
3
ɟ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɽ) 0,9; ɠ) 2;− 2; ɡ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 617. ɜ) 1;
ɝ) 2,52; ɞ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɟ) −1; 1. 618. ɚ) (16; 4); ɛ) (4; 2). 620. 0; 1. 621 ɚ = 1.
623. ɚ) −2; 2; ɛ) 2; ɜ) 0. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ȼɢɪɚɡɢ x ɿ 2
2x x+ ɧɚɛɭɜɚɸɬɶ ɥɢɲɟ ɧɟɜɿɞ’ɽɦɧɢɯ
ɡɧɚɱɟɧɶ. Ɍɨɦɭ ʀɯ ɫɭɦɚ x + 2
2x x+ ɦɨɠɟ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ ɧɭɥɸ ɥɢɲɟ ɬɨɞɿ, ɤɨɥɢ ɨɞɧɨ-
ɱɚɫɧɨ ɜɢɤɨɧɭɸɬɶɫɹ ɪɿɜɧɨɫɬɿ x = 0 ɿ 2
2x x+ = 0, ɬɨɛɬɨ x = 0 ɿ x2
+ 2x = 0. ɝ) 2.
624. ɚ) (ɚ − 1)2
; ɛ) 1 .
2b
−
+
627. 4%. 628. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. Ɉɛʉɪɭɧɬɭɣɬɟ, ɳɨ ɜɫɿ ɱɢɫɥɚ ɜɤɚɡɚɧɢɯ
ɪɹɞɤɿɜ ɞɿɥɹɬɶɫɹ ɧɚ 3. 634. ɛ) 1; ɜ) 7,5; ɝ) −23; ɞ) −2; ɟ) 3. 636. ɚ) 7 ;
18
ɛ) 6; ɜ) 1 .
35
637. ɚ) 16; ɛ) 82; ɜ) 18. 638. ɜ) 10; ɝ) 30. 639. ɛ) 4b − 3; ɝ) 12 .− ab 641. ɛ) 2 2;a
ɜ) 7 2 .− b a 643. ɛ) 2
7 ;m ɜ) 2
19 .− mn 644. ɛ) 10( 10 1);+ ɝ) ( 2)( 2);− +c c
ɞ) ( 6)( 6).− +m m 645. ɚ) 7; ɛ) 1 ;
3+b
ɜ) 5;−a ɝ) 10;+c ɞ) 1 ;
2
−
+x
ɟ) .
−
b
a b
646. ɚ) 2 ;
4
ɛ) 10 ;
4
ɜ) 2( 5 2);+ ɝ) 3 2 .
9 4
+
−
m n
m n
648. ɚ) −6; ɛ) 3 3 3 .
2
+
649. ɚ) 2 ;
−
b
a b
ɛ) .
−
x
x y
653. ɚ) 5;− 5; ɛ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 655. ɚ = –1; ɚ = 1.
656. ɝ) 1,25; ɞ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɟ) −1; 1. 657. ɚ) 0; ɛ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɜ) 0. 659. ɚ) (1; 1);
(–1,5; 2,25); ɛ) (1; 1). 661. ɇɟ ɦɚɽ. 662. əɤɳɨ ɚ = –1 ɚɛɨ ɚ = 0, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ 1 ɤɨɪɿɧɶ;
ɹɤɳɨ ɚ = 1, ɬɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ ɦɚɽ. 664. ɚ = 3; (–1; 1).

1. ɝ). 2. ɜ). 3. ɜ). 4. ɝ). 5. ɛ). 6. ɜ). 7. 1)–ȼ); 2)–Ⱦ); 3)–Ƚ); 4)–A). 8. ɚ) 9 3− ; ɛ) –1.
9. ɚ) 2 ; ɛ) 4. 10. ɚ) –3; 3; ɛ) 3− ; 3 . 11. Ɍɚɤ. 12. ɚ) 4,2; ɛ) 1,5; ɜ) 30. 13. ɚ) 3 ;
ɛ) 6. 14. ɚ)
6 2
2
+
; ɛ)
( )2 1
4 1
x x
x
−
−
. 15. ɚ) 3a − ; ɛ)
a b
a
−
. 16. –1,5; 1.
17. ɚ) x ≥ 0; ɛ) x ≤ 0; ɜ) x = 0. 18. ɚ) 1; ɛ) 6. 19. ɚ) 6− ; 6 ; ɛ) –0,5; 1. 20. ȼɤɚɡɿɜɤɚ.
( )
2
19 8 3 4 3+ = + . 21. Ɇɚɽ.
§ 3
681. ɚ) 0; 4,5; ɛ) −2; 2; ɜ) 2 2;− 2 2; ɝ) 17;− 17; ɞ) −4,5; 0; ɟ) 0; 0,2; ɽ) 30;−
30; ɠ) 3 2;− 3 2. 682. ɚ) −0,8; 0; ɛ) 3;− 3; ɜ) 0; 5; ɝ) 2;
3
− 0; ɞ) −0,4; 0,4;
ɟ) −0,4; 0,4. 683. ɚ) 0; 3,15; ɛ) 5,5;− 5,5. 684. ɚ) −2,5; 2,5; ɛ) –8; 0. 685. −6. 686. 8.
687. 1,5;− 1,5. 688. −0,5; 0. 689. −9; 0. 690. 0; 17. 691. ɚ) −0,5; 0; ɛ) −2; 2. 692. ɚ) 0; 3;
ɛ) 2;− 2. 693. ɚ) əɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ ɯ1 = 1 ;
a
− − ɯ2 = 1 ;
a
− ɹɤɳɨ ɚ ≥ 0, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟ-
ɦɚɽ; ɛ) ɯ1 = 0; ɯ2 = 2ɚ ɞɥɹ ɛɭɞɶ-ɹɤɨɝɨ ɚ; ɜ) ɹɤɳɨ ɚ = 0, ɬɨ ɤɨɪɟɧɟɦ ɽ ɛɭɞɶ-ɹɤɟ ɱɢɫɥɨ; ɹɤ-
ɳɨ ɚ ≠ 0, ɬɨ ɯ1 = −ɚ; ɯ2 = ɚ. 696. 70 ɤɦ/ɝɨɞ; 50 ɤɦ/ɝɨɞ. 697. 70 ɬ; 50 ɬ. 698. 10 ɭɱɧɿɜ. ȼɤɚ-
ɡɿɜɤɚ. ɇɟɯɚɣ ɜ ɭɫɿɯ ɬɪɶɨɯ ɨɥɿɦɩɿɚɞɚɯ ɛɪɚɥɢ ɭɱɚɫɬɶ ɯ ɭɱɧɿɜ. Ɍɨɞɿ ɡɚ ɭɦɨɜɨɸ ɡɚɞɚɱɿ
60 + 2⋅30 + 3ɯ = 150. 703. ɚ) 1; 5; ɛ) −6; 2; ɜ) −5; −2; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɞ) 5; ɟ) −3; 7.
704. ɚ) 1; 1,5; ɛ) −1; 0,5; ɜ) −2; 1;
3
ɝ) 0,5; ɞ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɟ) 1 ;
7
− 1. 705. ɚ) −5; 1;
ɛ) −1; −4; ɜ) 2; 3; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɞ) 4; ɟ) 3; 7; ɽ) −1; −0,5; ɠ) 1 ;
2
1;
3
ɡ) −1,5; 1.
706. ɚ) 1; 4; ɛ) −4; 0,5; ɜ) −1; 2. 707. ɚ) −1; 3; ɛ) 1; 7; ɜ) −1; 0,25. 711. ɚ) 1 2;− 1 2;+
ɛ) 4;
7
2; ɜ) −8; 2;
3
ɝ) −15; −6; ɞ) −18; 1;
3
ɟ) −1; 3; ɽ) −1,5; 1; ɠ) 1;
6
1;
3
ɡ) 2;
3
− 11 .
3
712. ɚ) 3 3;− 3 3;+ ɛ) −6; 2;
3
− ɜ) 0,5; 3,5; ɝ) −7; 23; ɞ) −18; −0,25; ɟ) −4; 1;

ɽ) −1; −0,2; ɠ) 1;
3
− 2;
3
ɡ) 3;
5
− 2.
3
713. −0,25; 4. 714. 21 ;
3
− 2. 715. ɚ) −2; −1,5;
ɛ) −5; 0,2; ɜ) −0,2; 3; ɝ) 1 ;
2
− 21 ;
3
ɞ) −0,6; 1; ɟ) 1 2 2 ;
3
− 1 2 2 ;
3
+ ɽ) −0,5; 0,2;
ɠ) −5; 1,5. 716. ɚ) 5;
6
− 3;
4
ɛ) 2;
3
− 2,5; ɜ) 61 ;
7
− −1; ɝ) 10 5 2 ;
2
− − 10 5 2 ;
2
− +
ɞ) 1 ;
2
2.
3
717. ɚ) −3,5; 1; ɛ) −3; 0,6. 718. ɚ) 1; 3; ɛ) −4,5; 6. 719. 22 ;
3
− −2. 720. 1;
8
− 1.
721. ɚ) −15; 12; ɛ) 116 ;
3
− 24 .
3
722. ɚ) 16; ɛ) 0; 1. 723. ɚ) –1; 5; ɛ) –2; 1; 2; 5.
724. ɚ) ɯ1 = b; ɯ2 = 3b; ɛ) ɯ1 = –b; ɯ2 = b – 2. 730. 100 ɤɝ. 731. ɇɟ ɦɨɠɧɚ. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. əɤɳɨ
ɦɚɽɦɨ ɧɚɛɿɪ ɱɢɫɟɥ ɚ, b, ɫ, ɬɨ ɡɚ ɨɞɢɧ ɤɪɨɤ ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɧɚɛɿɪ ,
2
b c+ ,
2
a c+ .
2
a b+ ɋɭɦɚ
ɱɢɫɟɥ ɨɛɨɯ ɧɚɛɨɪɿɜ ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɚ + b + ɫ. Ɉɬɠɟ, ɡɚ ɜɤɚɡɚɧɢɯ ɤɪɨɤɿɜ ɫɭɦɚ ɱɢɫɟɥ ɧɟ ɡɦɿɧɸ-
ɽɬɶɫɹ. ɉɨɪɿɜɧɹɣɬɟ ɫɭɦɢ ɡɚɞɚɧɢɯ ɬɪɿɣɨɤ ɱɢɫɟɥ. 748. −1 — ɿɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ; q = 9.
749. 3 — ɿɧɲɢɣ ɤɨɪɿɧɶ ɪɿɜɧɹɧɧɹ; p = −1. 750. ɚ) 22; ɛ) 43 .
9
751. ɚ) −29; ɛ) 312 .
4
−
752. ɚ) 5; ɛ) 0,5. 753. ɚ) m = 2; ɛ) ɬɚɤɢɯ ɡɧɚɱɟɧɶ m ɧɟ ɿɫɧɭɽ. 760. 2 ɿ 4 2 — ɤɨɪɟɧɿ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ; p = 5 2.− 761. −11 ɿ 3 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ, p = 8 ɚɛɨ −3 ɿ 11 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜ-
ɧɹɧɧɹ, p = –8. 762. 8 ɿ 2 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ; b = 16. 764. b = –4; b = 4. 765. ɚ) −0,4; ɛ) 50;
ɜ) 24; ɝ) 3. 766. ɚ) 0,89; ɛ) –0,387. 767. ɛ) (a + 2b)(3 – c); ɜ) −(a – b)(a + 3b);
ɝ) (m − 1)(m − 7). 768. ɚ) 4 ;
( 2)m m
−
+
ɛ) 1 .
5a −
769. ɚ) (4; –2); ɛ) (4; –1). 770. 20 ɝɚ; 25 ɝɚ.
771. ɉɟɪɟɦɨɠɟ Ɍɚɪɚɫ. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɇɚɹɜɧɿɫɬɶ ɭ ɩɟɪɲɿɣ ɬɚ ɞɪɭɝɿɣ ɤɭɩɚɯ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ m ɬɚ n
ɝɨɪɿɯɿɜ ɩɨɡɧɚɱɚɬɢɦɟɦɨ ɩɚɪɨɸ (m, n). ɏɨɞɢ ɯɥɨɩɰɿɜ: (30, 7) → (9, 7) → (2, 7) → (2, 3) →
→ (2, 1) → (0, 1). (ɏɨɞɢ ȱɝɨɪɹ ɽ ɜɢɦɭɲɟɧɢɦɢ.) 776. ɚ) −4; 1; ɛ) 1;
3
− 3; ɜ) 4.
778. ɝ) (2ɯ − 1)(ɯ − 2); ɞ) (3ɯ + 2)(ɯ − 1); ɟ) 3(ɯ − 1)2
. 779. ɚ) (ɯ − 1)(ɯ − 3);
ɛ) (ɯ + 4)(ɯ − 3); ɜ) (2ɯ + 5)(ɯ − 1). 780. ɚ) (2ɯ − 1)(2ɯ − 2); ɛ) −(ɯ + 4)(ɯ − 2);
ɜ) 0,3( 10)( 10);x x− − + ɝ) (ɭ − 1)(1,2ɭ + 0,7); ɞ) 1 ( 1)( 2);
3
x x+ + ɟ) 21 ( 4) .
4
x− −

781. ɚ) (3ɯ − 2)2
; ɛ) −(ɯ + 1)(5ɯ − 3); ɜ) 0,1(3m − 2)(2m − 3); ɝ) 1 ( 2)( 4).
8
x x− −
783. ɚ) 2 3;
4
a − ɛ) 3 1;
2 1
x
x
−
+
ɜ) 2;
5
b
b
−
−
ɝ) 1 .
2 1
k
k
−
−
784. ɚ) 3 ;
4a +
ɛ) 2 3.
2 3
x
x
+
−
785. ɚ) 1;
ɛ) 2.
1
c
c
−
+
786. ɚ) 2; ɛ) ɭ. 787. ɚ) 2; ɛ) 12 2 .
2
b
b
−
−
789. ɚ) (ɯ + ɚ)(ɯ − 2ɚ); ɛ) (2ɯ + ɚ)(ɯ + 2ɚ).
790. ɚ) 2 ;
−
a
a b
ɛ) 2 2
6
.
4
+
−
x y
x y
791. ɛ) 0. 792. 70 ɤɦ/ɝɨɞ. 793. 468
7
ɤɦ/ɝɨɞ. 794. −2; 2.
795. Ɍɚɤ. 796. ɚ) 0; 1; ɛ) 1; 4; ɜ) 1;
3
− 2; ɝ) 0; ɞ) –3; ɟ) 0,25. 797. ɚ) −7; 7; ɛ) 1; ɜ) −5,5.
798. ɚ) −10; 10; ɛ) 0; ɜ) 4. 799. ɚ) 0; ɛ) −3; −2; ɜ) −2. 800. ɚ) −3; −2; ɛ) −1; 2; ɜ) 4; 8;
ɝ) −6; 3; ɞ) 1; 7; ɟ) −4; 5. 801. ɚ) −2; 7; ɛ) 3; 5; ɜ) –7; 1. 802. ɚ) −2; –1; 1; 2;
ɛ) –3; 3; ɜ) 2;− 2. 803. ɚ) −2; 2; ɛ) –3; –1; 1; 3; ɜ) –2; 3;− 3; 2. 804. ɚ) 3;
ɛ) –3; ɜ) 0,5; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 805. ɚ) 5; ɛ) 1,5. 806. ɚ) 1; 10; ɛ) –1; 6; ɜ) –2; 1; ɝ) 0; 4.
807. ɚ) –11; 2; ɛ) –7; –4; ɜ) 1,8; 10. 808. ɚ) –7; 1; ɛ) –0,75; 5; ɜ) 1,5; 2; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
809. ɚ) –5; 3; ɛ) –15; 1. 810. ɚ) 5;− 0; 5; ɛ) –0,25; 0; 1. 811. ɚ) 0; ɛ) 0; 5; 6. 812. ɚ) –2;
1 ;
2
− 1 ;
2
2; ɛ) 2;
3
− 2;
3
ɜ) 2; 6; ɝ) –3,5; –2,5; –0,5; 0,5. 813. ɚ) –2; –0,5; 0,5; 2;
ɛ) 1;
3
− 1;
3
ɜ) 2 7;− − 2 7;− + –3; –1; ɝ) ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 814. 5 3.− − 815. 1 .
2
816. ɚ) 7 ;
18
− 3; ɛ) 5;
7
4; ɜ) –4; 25 ;
3
ɝ) –1; 2;
3
ɞ) 1; 7 33 ;
4
− 7 33 ;
4
+ 4; ɟ) –3; –2.
817. ɚ) əɤɳɨ ɚ = –3, ɬɨ ɯ = –1; ɹɤɳɨ ɚ = 1, ɬɨ ɯ = 3; ɹɤɳɨ ɚ –3 ɿ ɚ 1, ɬɨ ɯ1 = –1;
ɯ2 = 3; ɛ) ɹɤɳɨ ɚ = 1 ɚɛɨ ɚ = 2, ɬɨ ɯ = 1; ɹɤɳɨ ɚ 1 ɿ ɚ 2, ɬɨ ɯ1 = 1; ɯ2 = ɚ. 818. ɚ) –3;
–2; 2; 3; ɛ) –1; 2; ɜ) –6; –4; –1; 1; ɝ) –1; 0,5; ɞ) 2; 3; ɟ) –1; 6; ɽ) –3; 2; ɠ) –5; –1.
819. ɚ) (ɚ − 3)(ɚ − 1)(ɚ + 1)(ɚ + 3); ɛ) (b + 3)(b − 1)(b + 1)2
. 820. ɚ) –1; 4; ɛ) 2;
3
4. 821. ɚ) 1;
25; ɛ) 4; ɜ) 5; ɝ) 16; ɞ) –1; 4; ɟ) –7; 2. 822. ɚ)
2
3 ;
4
c
a
ɛ)
2
2
.
x y
y
−
824. ɚ) 36 14 2;− − ɛ) 2.
825. 70 ɤɝ. 826. 4 ɤɦ/ɝɨɞ. 827. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ɉɪɢɩɭɫɬɿɬɶ, ɳɨ ɬɚɤɢɯ ɬɨɱɨɤ ɧɟ ɿɫɧɭɽ. Ɋɨɡɝɥɹ-
ɧɶɬɟ ɞɜɿ ɬɨɱɤɢ M, N ɨɞɧɨɝɨ ɤɨɥɶɨɪɭ ɿ ɬɚɤɿ ɬɨɱɤɢ Ⱥ, ȼ, ɋ, ɳɨ ȼ — ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɚ ɆN,

Ɇ — ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɚ ȺN, N — ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɜɿɞɪɿɡɤɚ Ɇɋ. 828. 40 ɫɦ. 829. 4 ɦ; 8 ɦ.
830. 7 ɫɦ; 8 ɫɦ. 831. –15 ɿ –9; 9 ɿ 15. 832. –13 ɿ 7; –7 ɿ 13. 833. 12; 35. 834. 60 ɤɦ/ɝɨɞ;
90 ɤɦ/ɝɨɞ. 835. 50 ɤɦ/ɝɨɞ. 836. 6 ɞɟɬɚɥɟɣ. 837. 4 ɫɬɨɪɿɧɤɢ. 838. 3 ɤɦ/ɝɨɞ. 839. 14 ɤɦ/ɝɨɞ.
840. 24 ɦ; 36 ɦ. 841. 3 ɫɦ. 842. –6 ɿ –3; 10 ɿ 13. 843. 9; 10. 844. 3.
5
845. 7.
2
846. 16 ɤɨɦɩ’ɸɬɟɪɿɜ. 847. 24 ɞɟɬɚɥɿ. 848. 6 ɝɨɞ; 10 ɝɨɞ. 849. 10 ɝɨɞ; 15 ɝɨɞ. 850. 3 ɞɧɿ;
6 ɞɧɿɜ. 851. 9 ɞɧɿɜ. 852. 12 ɞɧɿɜ; 15 ɞɧɿɜ. 853. 120 ɝɚ ɿ 108 ɝɚ ɚɛɨ 72 ɝɚ ɿ 60 ɝɚ.
854. 18 ɤɦ/ɝɨɞ. 855. 16 ɤɦ/ɝɨɞ. 856. 60 ɤɦ/ɝɨɞ. 857. 90 ɤɦ/ɝɨɞ. 858. 15 ɞɿɜɱɚɬ.
859. 5 1.
2
− 860. ≈72 ɦ. 861. 14 %. 862. 9 ɝɨɞ; 18 ɝɨɞ. 863. 75 ɤɦ/ɝɨɞ. 864. 10 ɞɟɬɚɥɟɣ.
866. ɛ) 14. 867. ɚ) 1;
1
b
b
−
+
1;
3
ɛ) –m; –0,8. 869. ɚ) –3; 3;− 3; 3; ɛ) 256. 870. ɇɟ ɦɨɠ-
ɧɚ. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɡɚ ɜɤɚɡɚɧɢɯ ɤɪɨɤɿɜ ɫɭɦɚ ɜɨɫɶɦɢ ɱɢɫɟɥ ɭ ɜɟɪɲɢɧɚɯ ɤɭɛɚ
ɡɚɜɠɞɢ ɛɭɞɟ ɧɟɩɚɪɧɨɸ. 871. ɚ) –4; 4; ɛ) 5;− 5; ɜ) –1,5; 1,5; ɝ) 2;− 2; ɞ) 0; 0,6;
ɟ) 0; 0,2. 872. ɚ) –2; 7; ɛ) –10; 6; ɜ) –0,5; 1; ɝ) –0,25; 3; ɞ) 0,2; 4; ɟ) –1; 2.
3
− 874. ɚ) –2;
10; ɛ) –4; 1; ɜ) –2; 0; ɝ) 1; 2; ɞ) –1; 21 ;
3
ɟ) 51 ;
12
− 1. 879. ɚ) –9; ɛ) 4. 880. 30.
49
882. ɚ) (ɯ − 3)(ɯ − 7); ɛ) (2ɯ + 5)(ɯ − 1); ɜ) (ɯ − 4)2
. 883. ɚ) ( 2)( 3)( 3)( 2);− − + +x x x x
ɛ) (ɯ – ɚ)(ɯ − 3ɚ); ɜ) (m + 2n)(2m − 5n). 884. ɚ) –ɯ − 6; ɛ) 4 1;
5
−
+
x
x
ɜ) 5 .
2 3
+
−
a b
a b
885. ɚ) 2;
ɛ) .
1
x
x +
887. ɚ) 3;− 0; 3; ɛ) –0,8; 0; 0,8. 888. ɚ) 2;− –1; 1; 2; ɛ) –3; 3; ɜ) –9;
–5; ɝ) 0; 0,8; 2 3 ;
5
− 2 3 .
5
+ 889. ɚ) –1; 2; ɛ) 21 ;
3
− 1; ɜ) –2; 1; ɝ) –1; 1; 3; 5. 890. ɚ) 1;
ɛ) –2; 9. 891. ɚ) –8; ɛ) –3; ɜ) 3; 14 ;
3
ɝ) 21 ;
3
− –1; ɞ) –4; ɟ) –2; 2; ɽ) –1; 11; ɠ) 3;
4
−
3 19 ;
2
− 0; 3 19 .
2
+ 892. 9. 893. 7,5. 894. 1. 895. 2, 14 — ɤɨɪɟɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ; m = 28.
896. –2; 1. 897. 1. 898. 1; 2; 3; 4. 899. 46 ɫɦ. 900. 4. 901. 3; 4. 902. 7; 9; 11. 903. 3 ɫɦ;
4 ɫɦ; 5 ɫɦ. 904. 12 ɦ2
. 905. 5 .
12
906. 3 .
10
907. 4 ɤɦ/ɝɨɞ. 908. 2 ɤɦ/ɝɨɞ. 909. 90 ɤɦ/ɝɨɞ.

910. 72 ɤɦ/ɝɨɞ. 911. 60 ɤɦ/ɝɨɞ. 912. 6 ɞɧɿɜ; 12 ɞɧɿɜ. 913. 10 ɞɧɿɜ; 20 ɞɧɿɜ. 914. 10 ɚɜ-
ɬɨɦɨɛɿɥɿɜ. 915. 20.
1. ɜ). 2. ɝ). 3. ɚ). 4. ɜ). 5. ɛ). 6. ɜ). 7. 1)–ȼ); 2)–Ƚ); 3)–Ⱥ); 4)–Ⱦ). 8. ɚ) (ɯ + 2)(ɯ + 4);
ɛ) (ɯ – 1)(2ɯ − 3). 9. x1 + x2 = 10; x1x2 = 24. 10. ɚ) Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɛ) –6. 11. –3 ɿ 8; –8 ɿ 3.
12. ɚ)
1
6
;
1
3
; ɛ) –1; 1. 13.
1
3
3
. 14. ɚ) –11; 2; ɛ) 1; 1,5. 15. b = 1,5. 16. 80 ɤɦ/ɝɨɞ. 17. ɚ) –3;
–2; 0; 1; ɛ) 64. 18. a = –4; a = 4. 19. b = –5. 20. –2; 0,5. 21. 12 ɝɨɞ; 16 ɝɨɞ.
Ɂɚɞɚɱɿ ɡɚ ɤɭɪɫ ɚɥɝɟɛɪɢ 8 ɤɥɚɫɭ
919. ɚ) 12,5; ɛ) 0; ɜ) 1,8; ɝ) 8. 920. ɛ) ( )SS b
a
− ⋅ ɤɦ. 921. ɚ)
60
S
b +
ɝɨɞ; ɛ) 60
60
S
b
⋅
+
ɤɦ.
922. ɚ)
2
2
7
;
6
y
x
ɛ)
6
;
y
x y−
ɜ) 3;
1
a
a
−
−
ɝ) 1 ;a
a b
−
+
ɞ) ɯ5
− 1; ɟ) 5
5.x + 923. ɚ) 6 ;
2 1
a
a +
ɛ) 3;
ɜ) 1; ɝ) 2 ;
2
m
m n−
ɞ) 2;
2
c
c
+
−
ɟ) 2
2 .a b+ 924. ɚ)
2
2 3
;a b
a b
+ ɛ) 4 4
5 3
;
45
y x
x y
−
ɜ)
2
;
( )
x
y x y+
ɝ) 8 ;
2
b
b +
ɞ) 5 ;
3( 3)z −
ɟ) 2
;
( 2 )
ab
a b−
ɽ) 1 ;
2x +
ɠ) 2
34 .
4y −
925. ɚ)
20 ( 1)
;
3
a a
b
+
ɛ) 2
3( )
;
4
x y
y
−
ɜ)
( 7)
;
3( 7)
a a
a
−
+
ɝ) 1.
6
926. ɜ)
4 4
4
4 ;a n
c
ɝ)
8
4
.
16
m
k
927. ɚ) 2
4 ;
3
z
xy
ɛ)
3
3
0,3
;
b
ac
ɜ)
(4 )
;
3
m m n+
ɝ) 3 .b
a b−
928. ɚ) 4 ;b
y
ɛ) 3 ;b
a
ɜ) 2 ;
2 2
c
c
−
−
ɝ) 3;
x
ɞ) 3(a − b); ɟ) .
1
n m
m n
−
− +
929. ɚ) 2
2 ;
1 a−
1 ;
112
− ɛ) 4 ;
2b
−
+
−40. 933. ɝ) 1 ;
2
ɞ) 1;
5
ɟ) 2. 934. ɜ) 2 2
3 ;a b c−
ɝ) 4 15
25 ;x y−
ɞ) 1 ;
1a +
ɟ)
2
2
1.
2
x
x
−
−
935. 1. 941. ɜ) x ≥ 0; ɝ) x ≥ 0; x ≠ 16. 942. ɚ) 65; ɛ) 4;
ɜ) 18,7; ɝ) 13; ɞ) 0; ɟ) 22. 944. ɚ) 0; ɛ) 4 2 6;+ ɜ) 46 4 6;+ ɝ) 17; ɞ) 4 3; ɟ) –16;
ɽ) 10; ɠ) 9. 945. ɚ) 2 ;x x ɛ) –7; ɜ) 4 ;a b− ɝ) 25ɯ. 947. ɚ) 15 1;− ɛ) 2; ɜ) 3;c −
ɝ) 1 .
3x +
949. ɚ) −6; ɛ) 5; ɜ) ;a
ab b+
ɝ) .x y− 950. ɚ) 10; ɛ) 5; ɜ) 4; ɝ) 82 .
9

951. 1.−b
ab
954. ɚ) −3; 5; ɛ) −1; 3,5; ɜ) −6; 1; ɝ) 2 2 7 ;
3
− 2 2 7 .
3
+ 955. ɚ) 3; 5; ɛ) 0,5;
ɜ) 0; 2; 3; ɝ) −3; 0; 2. 956. ɚ) –3; 3; ɛ) –4; –0,5; 0,5; 4; ɜ) –8; 0; ɝ) 1; 2; 3; 4. 957. ɚ) −1; 4;
ɛ) 1 6;− 1 3;− 1 3;+ 1 6;+ ɜ) −4; 2. 958. 3. 959. 2.
3
− 961. ɫ = −1; 1
3
− — ɞɪɭɝɢɣ
ɤɨɪɿɧɶ. 962. 2 ɿ 1
3
— ɤɨɪɟɧɿ, b = −7 ɚɛɨ −2 ɿ 1
3
− — ɤɨɪɟɧɿ, b = 7. 963. 232. 964. −1400.
965. 6. 966. ɚ) ɚ = −0,5; ɚ = 0; ɛ) ɚ = −1; ɚ = 0; ɚ = 1.
3
967. ɚ = −3. 970. ɚ) 3; ɛ) 1; ɜ) −4;
1; ɝ) −2; 1; ɞ) 1,2; ɟ) −7; −5; ɽ) 1; 5. 971. ɚ = –1; ɚ = –0,5. 972. ɚ) əɤɳɨ ɚ 2, ɬɨ
ɯ = 2ɚ – 1; ɹɤɳɨ ɚ = 2, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɛ) ɹɤɳɨ ɚ –2 ɿ ɚ 2, ɬɨ ɯ = 2ɚ; ɹɤɳɨ ɚ = –2
ɚɛɨ ɚ = 2, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ. 973. ɚ) −1; 3; ɛ) 0. 974. ɜ) 4. 975. ɚ) 6; ɛ) −1; 3; ɜ) 25;
ɝ) −4; 1. 977. ɚ) (−7; 49); (5; 25); ɛ) (0; 0); (0,25; 0,5). 978. ɚ) −0,5; 2; ɛ) −1; 4; ɜ) 4.
979. Ɍɚɤ. 982. −3 ɿ −2 ɚɛɨ 4 ɿ 5. 983. −2, −1, 0, 1, 2 ɚɛɨ 10, 11, 12, 13, 14. 984. 24 ɫɦ.
985. 48 ɫɦ2
. 986. 1.
5
987. 7 ɞɟɬɚɥɟɣ. 988. 20 ɝɨɞ. 989. 6 ɝɨɞ; 8 ɝɨɞ. 990. 6 ɝɨɞ; 4 ɝɨɞ.
991. 3 ɤɦ/ɝɨɞ; 1 ɤɦ/ɝɨɞ. 992. 60 ɤɦ/ɝɨɞ. 993. 8 ɤɨɦɚɧɞ. 994. 4 ɨɛɟɪɬɢ.
Ɂɚɞɚɱɿ ɩɿɞɜɢɳɟɧɨʀ ɫɤɥɚɞɧɨɫɬɿ
995. ɚ) ɯ2
+ ɯ − 2; ɛ)
2 2
.x ax a
x a
+ +
+
997. 32
32 .
1 x−
999. 100.
101
1000. n = 2; n = 3. 1001. ȼɤɚ-
ɡɿɜɤɚ. ɉɨɦɧɨɠɬɟ ɱɢɫɟɥɶɧɢɤ ɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤ ɩɟɪɲɨɝɨ ɞɪɨɛɭ ɧɚ z, ɚ ɞɪɭɝɨɝɨ — ɧɚ xz. Ɍɨɞɿ ɧɚ
ɨɫɧɨɜɿ ɭɦɨɜɢ xyz = 1 ɭɫɿ ɬɪɢ ɞɪɨɛɢ ɦɚɬɢɦɭɬɶ ɨɞɧɚɤɨɜɿ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɢ. 1002. −1; 8. 1006. əɤɳɨ
ɚ –1, ɚ 0 ɿ ɚ 2, ɬɨ 3 ;
1
ax
a
=
+
ɹɤɳɨ ɚ = –1, ɚ = 0 ɚɛɨ ɚ = 2, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ.
1009. ȼɤɚɡɿɜɤɚ. ȼɪɚɯɭɣɬɟ, ɳɨ ɡɚɩɢɫ ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɧɟ ɦɨɠɟ ɡɚɤɿɧɱɭɜɚ-
ɬɢɫɹ ɰɢɮɪɨɸ 8. 1010. ɚ) 1 2 3;+ + ɛ) 1 1a + + . 1011.
( 5 7 1)(2 5 1)
19
− + +
.
1014. ɚ) Ʉɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɛ) 0; ɜ) 4; ɝ) −2; 14. 1015. ɯ = 4; ɭ = 4. 1016. ɛ) 9 .
16
1019. əɤɳɨ
ɚ 0 ɚɛɨ ɚ = 1, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɹɤɳɨ ɚ ≥ 0 ɿ ɚ ≠ 1 — 1 ɤɨɪɿɧɶ. 1020. ɚ 0. 1025. ɚ = 1.
1026. ɫ = 0; ɫ = −4. 1027. x2
+ (p3
– p2
– 3pq + 2q)x – p(p2
– 2q)(p2
– 3q) = 0.

1028. 2 .q p− 1029. ɚ) −3, 1; ɛ) 0,5; ɜ) 0; 7 2 3;− 7 2 3;+ ɝ) 2;− 2; ɞ) 1; ɟ) 1.
1030. 18. 1031. 1. 1032. Ɉɞɢɧ ɤɨɪɿɧɶ. 1033. ɚ) əɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ 1 ,x a= − 2 ;x a= ɹɤɳɨ
ɚ = 0, ɬɨ x = 0; ɹɤɳɨ ɚ 0, ɬɨ 1 2 ,x a= − − 2 2 ;x a= − ɛ) ɹɤɳɨ ɚ –4, ɚ –2, ɚ –1,
ɚ 0 ɿ ɚ 1, ɬɨ ɯ1 = –2ɚ, ɯ2 = ɚ + 2; ɹɤɳɨ ɚ = –4, ɬɨ x = 8; ɹɤɳɨ ɚ = –2, ɬɨ x = 4; ɹɤɳɨ
ɚ = –1, ɬɨ x = 1; ɹɤɳɨ ɚ = 0, ɬɨ ɤɨɪɟɧɿɜ ɧɟɦɚɽ; ɹɤɳɨ ɚ = 1, ɬɨ x = 3. 1034. ɚ = −1.
1035. ɚ = 8; ɚ = 12. 1037. 5; 6; 7; 8. 1038. 6 ɯɜ. 1039. 50 ɤɦ/ɝɨɞ. 1040. 56 ɫ.
1041. 64 ɤɦ/ɝɨɞ. 1042. 3 2 ɤɦ/ɝɨɞ. 1043. 8 ɥ. 1044. 10 ɥ ɚɛɨ 20 ɥ.

ɉɪɟɞɦɟɬɧɢɣ ɩɨɤɚɠɱɢɤ 253
ɉɊȿȾɆȿɌɇɂɃ
ɉɈɄȺɀɑɂɄ
ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ
— ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ
ɤɨɪɟɧɹ..........................................128
— ɪɿɜɧɹɧɶ ..................................56
— ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢ-
ɤɨɦ .................................................72
ȼɢɪɚɡ
— ɞɪɨɛɨɜɢɣ.................................6
— ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ..........................6
Ƚɿɩɟɪɛɨɥɚ ......................................85
Ⱦɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ..............................43
Ⱦɢɫɤɪɢɦɿɧɚɧɬ .............................167
Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ
— ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ 22
— ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ .....27
Ⱦɨɩɭɫɬɢɦɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɡɦɿɧɧɢɯ ........7
Ⱦɪɿɛ..................................................6
— ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɣ..........................7
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ .....................108
— ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ....................108
Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ ..................182
Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ .........................38
Ɇɧɨɠɢɧɚ .....................................117
Ɉɛɟɪɧɟɧɚ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɿɫɬɶ............84
Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ .........13
ɉɿɞɦɧɨɠɢɧɚ ................................118
ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ......38
ɉɚɪɚɛɨɥɚ .....................................102
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ
— ɛɿɤɜɚɞɪɚɬɧɿ..........................187
— ɞɪɨɛɨɜɿ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ.............54
— ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ.............................162
— ɧɟɩɨɜɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ.............. 163
— ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ........................... 54
— ɹɤɿ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬ-
ɧɢɯ............................................... 187
— ɪɿɜɧɨɫɢɥɶɧɿ .......................... 56
— ɯ2
= ɚ ................................... 114
— x a= ................................ 146
Ɋɨɡɤɥɚɞɚɧɧɹ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɬɪɢɱɥɟɧɚ
ɧɚ ɦɧɨɠɧɢɤɢ .............................. 182
ɋɤɨɪɨɱɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ...................... 13
ɋɬɟɩɿɧɶ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ....... 66
ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɱɢɫɥɚ ......... 78
Ɍɟɨɪɟɦɚ
— ȼɿɽɬɚ.................................... 174
— ɨɛɟɪɧɟɧɚ ɞɨ ɬɟɨɪɟɦɢ ȼɿɽɬɚ. 176
Ɍɨɬɨɠɧɿɫɬɶ ..................................... 8
Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ..... 8
— ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ........................ 48
— ɹɤɿ ɦɿɫɬɹɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ
ɤɨɪɟɧɿ.......................................... 136
Ɍɨɬɨɠɧɨ ɪɿɜɧɿ ɜɢɪɚɡɢ.................... 8
Ɏɨɪɦɭɥɚ ɤɨɪɟɧɿɜ
— ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ....... 168
— ɡɜɟɞɟɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ
ɪɿɜɧɹɧɧɹ...................................... 169
Ɏɭɧɤɰɿɹ
— ky
x
= .................................... 84
— 2
y x= ................................. 102
— y x= ................................ 145
ɑɢɫɥɚ
— ɞɿɣɫɧɿ .................................. 121
— ɿɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ..................... 120
— ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ......................... 118

ɁɆȱɋɌ
§ 1. ɊȺɐȱɈɇȺɅɖɇȱ ȼɂɊȺɁɂ
1. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɜɢɪɚɡɢ. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɞɪɨɛɢ.....................................................6
2. Ɉɫɧɨɜɧɚ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɞɪɨɛɭ.......................................................................13
3. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɨɞɧɚɤɨɜɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ...............22
4. Ⱦɨɞɚɜɚɧɧɹ ɿ ɜɿɞɧɿɦɚɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ ɡ ɪɿɡɧɢɦɢ ɡɧɚɦɟɧɧɢɤɚɦɢ......................27
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 1..................................................35
5. Ɇɧɨɠɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. ɉɿɞɧɟɫɟɧɧɹ ɞɪɨɛɭ ɞɨ ɫɬɟɩɟɧɹ...................................38
6. Ⱦɿɥɟɧɧɹ ɞɪɨɛɿɜ. ..........................................................................................43
7. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ .........................................48
8. Ɋɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.................................................................................54
9. ɋɬɟɩɿɧɶ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ.....................................................................66
10. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɫɬɟɩɟɧɹ ɡ ɰɿɥɢɦ ɩɨɤɚɡɧɢɤɨɦ .............................................72
11. ɋɬɚɧɞɚɪɬɧɢɣ ɜɢɝɥɹɞ ɱɢɫɥɚ......................................................................78
12. Ɏɭɧɤɰɿɹ ky
x
= ........................................................................................83
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ ɿ ɜɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ § 1 ..................................................92
§ 2. ɄȼȺȾɊȺɌɇȱ ɄɈɊȿɇȱ. ȾȱɃɋɇȱ ɑɂɋɅȺ
13. Ɏɭɧɤɰɿɹ ɭ = x2
.........................................................................................102
14. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ. Ⱥɪɢɮɦɟɬɢɱɧɢɣ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɤɨɪɿɧɶ....................107
15. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ x2
= a........................................................................................114
16. ɑɢɫɥɨɜɿ ɦɧɨɠɢɧɢ. ȱɪɪɚɰɿɨɧɚɥɶɧɿ ɬɚ ɞɿɣɫɧɿ ɱɢɫɥɚ...............................117
17. ȼɥɚɫɬɢɜɨɫɬɿ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨɝɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɤɨɪɟɧɹ ..............................128

18. Ɍɨɬɨɠɧɿ ɩɟɪɟɬɜɨɪɟɧɧɹ ɜɢɪɚɡɿɜ, ɹɤɿ ɦɿɫɬɹɬɶ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɤɨɪɟɧɿ........... 136
19. Ɏɭɧɤɰɿɹ y x= .................................................................................... 145
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ ɿ ɜɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ § 2................................................ 153
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 4 ............................................... 158
§ 3. ɄȼȺȾɊȺɌɇȱ Ɋȱȼɇəɇɇə
20. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ. ɇɟɩɨɜɧɿ ɤɜɚɞɪɚɬɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ.............................. 162
21. Ɏɨɪɦɭɥɚ ɤɨɪɟɧɿɜ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɝɨ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ............................................. 167
22. Ɍɟɨɪɟɦɚ ȼɿɽɬɚ ........................................................................................ 174
23. Ʉɜɚɞɪɚɬɧɢɣ ɬɪɢɱɥɟɧ.............................................................................. 182
24. Ɋɿɜɧɹɧɧɹ, ɹɤɿ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ............................................... 187
25. Ɋɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɧɧɹ ɡɚɞɚɱ ɡɚ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ ɪɿɜɧɹɧɶ
ɬɚ ɪɿɜɧɹɧɶ, ɹɤɿ ɡɜɨɞɹɬɶɫɹ ɞɨ ɤɜɚɞɪɚɬɧɢɯ............................................... 192
Ɂɚɩɢɬɚɧɧɹ ɿ ɜɩɪɚɜɢ ɞɥɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɧɹ § 3................................................ 203
Ɂɚɜɞɚɧɧɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɩɟɪɟɜɿɪɤɢ ʋ 5 ............................................... 207
ɁȺȾȺɑȱ ɁȺ ɄɍɊɋ ȺɅȽȿȻɊɂ 8 ɄɅȺɋɍ ......................................................... 210
ɁȺȾȺɑȱ ɉȱȾȼɂɓȿɇɈȲ ɋɄɅȺȾɇɈɋɌȱ......................................................... 219
ȼȱȾɈɆɈɋɌȱ Ɂ ɄɍɊɋɍ ȺɅȽȿȻɊɂ 7 ɌȺ 8 ɄɅȺɋȱȼ....................................... 225
ȼȱȾɉɈȼȱȾȱ......................................................................................................... 235
ɉɊȿȾɆȿɌɇɂɃ ɉɈɄȺɀɑɂɄ.......................................................................... 253

ɇɚɜɱɚɥɶɧɟ ɜɢɞɚɧɧɹ
Ʉɪɚɜɱɭɤ ȼɚɫɢɥɶ Ɋɨɫɬɢɫɥɚɜɨɜɢɱ
ɉɿɞɪɭɱɧɚ Ɇɚɪɿɹ ȼɚɫɢɥɿɜɧɚ
əɧɱɟɧɤɨ Ƚɚɥɢɧɚ Ɇɢɯɚɣɥɿɜɧɚ
ȺɅȽȿȻɊȺ
ɉɿɞɪɭɱɧɢɤ ɞɥɹ 8 ɤɥɚɫɭ
ɡɚɝɚɥɶɧɨɨɫɜɿɬɧɿɯ ɧɚɜɱɚɥɶɧɢɯ ɡɚɤɥɚɞɿɜ
Ɋɟɤɨɦɟɧɞɨɜɚɧɨ
Ɇɿɧɿɫɬɟɪɫɬɜɨɦ ɨɫɜɿɬɢ ɿ ɧɚɭɤɢ ɍɤɪɚʀɧɢ
ȼɢɞɚɧɨ ɡɚ ɪɚɯɭɧɨɤ ɞɟɪɠɚɜɧɢɯ ɤɨɲɬɿɜ.
ɉɪɨɞɚɠ ɡɚɛɨɪɨɧɟɧɨ
Ɋɟɞɚɤɬɨɪɢ: əɪɨɫɥɚɜ Ƚɚɩ’ɸɤ, əɪɨɫɥɚɜ Ƚɪɢɧɱɢɲɢɧ, ɋɟɪɝɿɣ Ɇɚɪɬɢɧɸɤ
Ʌɿɬɟɪɚɬɭɪɧɟ ɪɟɞɚɝɭɜɚɧɧɹ Ʌɸɞɦɢɥɢ Ɉɥɿɣɧɢɤ
Ɉɛɤɥɚɞɢɧɤɚ ɋɜɿɬɥɚɧɢ Ⱦɟɦɱɚɤ
ȼɿɞɩɨɜɿɞɚɥɶɧɢɣ ɡɚ ɜɢɩɭɫɤ ɋɟɪɝɿɣ Ɇɚɪɬɢɧɸɤ
ȼɢɝɨɬɨɜɥɟɧɨ ɡɝɿɞɧɨ ɿɡ ɋɈɍ 22.2-02477019-07:2012
Ɏɨɪɦɚɬ 60×84/16. 14,88 ɭɦ. ɞɪ. ɚɪɤ., 12,25 ɨɛɥ.-ɜɢɞ. ɚɪɤ. Ɍɢɪɚɠ 17 768. Ɂɚɦɨɜɥɟɧɧɹ ʋ 20-16
ȼɢɞɚɜɟɰɶ ɿ ɜɢɝɨɬɨɜɥɸɜɚɱ Ɋɟɞɚɤɰɿɹ ɝɚɡɟɬɢ «ɉɿɞɪɭɱɧɢɤɢ ɿ ɩɨɫɿɛɧɢɤɢ».
46000, ɦ. Ɍɟɪɧɨɩɿɥɶ, ɜɭɥ. ɉɨɥɿɫɶɤɚ, 6ɚ. Ɍɟɥ.: (0352) 43-15-15; 43-10-21.
Ɂɛɭɬ: zbut@pp-books.com.ua Ɋɟɞɚɤɰɿɹ: red@pp-books.com.ua
ȼɢɪɨɛɧɢɰɬɜɨ: print@pp-books.com.ua
www.pp-books.com.ua
ɋɜɿɞɨɰɬɜɨ ɩɪɨ ɜɧɟɫɟɧɧɹ ɫɭɛ’ɽɤɬɚ ɜɢɞɚɜɧɢɱɨʀ ɫɩɪɚɜɢ
ɞɨ ɞɟɪɠɚɜɧɨɝɨ ɪɟɽɫɬɪɭ ɜɢɞɚɜɰɿɜ, ɜɢɝɨɬɿɜɧɢɤɿɜ ɿ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɭɜɚɱɿɜ ɜɢɞɚɜɧɢɱɨʀ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ
ɫɟɪɿɹ ȾɄ ʋ 4678 ɜɿɞ 21.01.2014 ɪ.
Ʉɧɢɝɚ-ɩɨɲɬɨɸ: ɚ/ɫ 376, Ɍɟɪɧɨɩɿɥɶ, 46011.
Ɍɟɥ.: (0352) 42-43-76; 097-50-35-376
post@pp-books.com.u
ɇɚɞɪɭɤɨɜɚɧɨ ɡ ɝɨɬɨɜɢɯ ɮɚɣɥɿɜ ɧɚ ɉɪȺɌ «Ʌɶɜɿɜɫɶɤɚ ɤɧɢɠɤɨɜɚ ɮɚɛɪɢɤɚ «Ⱥɬɥɚɫ»
79005, ɦ. Ʌɶɜɿɜ, ɜɭɥ. Ɂɟɥɟɧɚ, 20
ɬɟɥ. (032) 276-45-79, 276-45-80
atlas_book_2@ukr.net
ɋɜɿɞɨɰɬɜɨ ɩɪɨ ɜɧɟɫɟɧɧɹ ɫɭɛ’ɽɤɬɚ ɜɢɞɚɜɧɢɱɨʀ ɫɩɪɚɜɢ
ɞɨ ɞɟɪɠɚɜɧɨɝɨ ɪɟɽɫɬɪɭ ɜɢɞɚɜɰɿɜ, ɜɢɝɨɬɿɜɧɢɤɿɜ ɿ ɪɨɡɩɨɜɫɸɞɠɭɜɚɱɿɜ ɜɢɞɚɜɧɢɱɨʀ ɩɪɨɞɭɤɰɿʀ
ɫɟɪɿɹ ȾɄ ʋ 1110 ɜɿɞ 08.11.2002 ɪ.

8 a k_2016

More Related Content

Viewers also liked

8 a k_2016