графы

Складні МережіСкладні Мережі
Complex Networks
!!!!

Складні мережі.Складні мережі.
основні поняттяосновні поняття
УУ складнихскладних системахсистемах
обоб’’єкти мають бінарнієкти мають бінарні
звзв’’язки, які можнаязки, які можна
представити у виглядіпредставити у вигляді
мережі (графу)мережі (графу) GG ((X,VX,V),),
що однозначнощо однозначно
задається множинамизадається множинами XX
((дуг, ребердуг, ребер) та V) та V
((вершинвершин))
Граф называетсяГраф называется скінченимскінченим,,
если если XX и и V –V – скінченіскінчені
множинимножини
Складні мережіСкладні мережі
(СМ)(СМ) ––графи зграфи з
нетривіальниминетривіальними
топологічнимитопологічними
властивостями.властивостями.

Топологічні властивостіТопологічні властивості СМСМ, які визначають, які визначають
функціонування систем, але не залежатьфункціонування систем, але не залежать
від їх фізичної природи євід їх фізичної природи є предметомпредметом
дослідженнядослідження Складних мереж.Складних мереж.
ПідПід топологієютопологією будемо розуміти вченнябудемо розуміти вчення
про модальні співвідношення прсторовихпро модальні співвідношення прсторових
образів та законах зв’язності, взаємногообразів та законах зв’язності, взаємного
розташування та слідування точок, ліній тарозташування та слідування точок, ліній та
їх сукупностей незалежно від мір їхїх сукупностей незалежно від мір їх
величин.величин.

Кожна вершина мережі (Кожна вершина мережі (nodenode) може бути) може бути
зв’язана з іншими вершинами деякоюзв’язана з іншими вершинами деякою
кількістю зв’язків (кількістю зв’язків (linkslinks). Зв’язки між). Зв’язки між
вершинами можуть мати напрямок.вершинами можуть мати напрямок.
 Якщо дуги графу мають напрямокЯкщо дуги графу мають напрямок
(орієнтацію), то графи називаються(орієнтацію), то графи називаються
орієнтованими абоорієнтованими або орграфамиорграфами ((directeddirected
networknetwork).). ЯкщоЯкщо зв’язок симетричний, тозв’язок симетричний, то
граф називається неорієнтованимграф називається неорієнтованим
((undirected networkundirected network).).

Дві вершини графу називаютьсяДві вершини графу називаються суміжнимисуміжними,,
якщо вони з’єднані дугою.якщо вони з’єднані дугою. Дуги, щоДуги, що
з’єднують дві однакові вершини нез’єднують дві однакові вершини не
орієнтованого графу називаютьсяорієнтованого графу називаються
кратнымикратными. Дуга, що виходить із вершини. Дуга, що виходить із вершини
та входить в неї називаєтьсята входить в неї називається петлеюпетлею..
Граф з кратними дугами та петлямиГраф з кратними дугами та петлями
називаєтьсяназивається псевдографомпсевдографом..
Граф з кратними дугами без петельГраф з кратними дугами без петель
називаєтьсяназивається мультиграфоммультиграфом

Будь-який граф (орграф) можна задатиБудь-який граф (орграф) можна задати
матрицею суміжностіматрицею суміжності..
Матрицею суміжностіМатрицею суміжності графа, щографа, що
складається зскладається з nn вершин, називаєтьсявершин, називається
квадратна матрицяквадратна матриця AA порядкупорядку n,n, у якоїу якої
, якщо вершини, якщо вершини vvіі тата vvjj суміжнісуміжні
кратностікратності kk і , якщо вони несуміжні.і , якщо вони несуміжні.0=ija
kaij =

основні напрямкиосновні напрямки
В теорії складних мереж виділяють триВ теорії складних мереж виділяють три
основні напрямки:основні напрямки:
 дослідження властивостей (мірдослідження властивостей (мір
складності), що характеризують поведінкускладності), що характеризують поведінку
мережі (графу);мережі (графу);
 створення моделі мережі;створення моделі мережі;
 передбачення поведінки мережі при змініпередбачення поведінки мережі при зміні
її структурних властивостей.її структурних властивостей.

основні характеристикиосновні характеристики
В прикладних дослідженнях як правилоВ прикладних дослідженнях як правило
застосовують такі типові для мережевогозастосовують такі типові для мережевого
аналізу характеристики, как размір мережі,аналізу характеристики, как размір мережі,
мережева щільність, ступінь центральностімережева щільність, ступінь центральності
та ін.та ін.
 При аналізі складних мереж як і в теоріїПри аналізі складних мереж як і в теорії
графів досліджують параметри окремихграфів досліджують параметри окремих
вершин (вершин (локальнілокальні); параметри мережі в); параметри мережі в
цілому (цілому (глобальніглобальні); параметри мережевих); параметри мережевих
підструктур.підструктур.

локальні характеристикилокальні характеристики
Ступінь зв’язності вершинСтупінь зв’язності вершин
НеографиНеографи
 числочисло d(v)d(v) ребер графа,ребер графа,
яким інцидентна цяяким інцидентна ця
вершина.вершина.
 Вершина, для якоїВершина, для якої
d(v)d(v)=0 називається=0 називається
ізольованоюізольованою, а при, а при
d(vd(v)=1 вершина)=1 вершина висячависяча
ОрграфиОрграфи
 чисочисо dd --
(v)(v) ––вхіднийвхідний
ступінь звступінь зв’’язностіязності
вершини, чисовершини, чисо dd ++
(v)(v) ––
вихідний ступіньвихідний ступінь
звзв’’язності вершини.язності вершини.

Важливою характеристикою мережі єВажливою характеристикою мережі є
функція розподілу ступенівфункція розподілу ступенів ((DegreeDegree
distribution of nodesdistribution of nodes) вершин) вершин P(k)P(k), яка, яка
визначається як ймовірність того, щовизначається як ймовірність того, що
вершинавершина ii має ступіньмає ступінь kkіі = k= k. Розподіл. Розподіл
ступенівступенів P(k)P(k) відображає частку вершин ізвідображає частку вершин із
ступенемступенем kk..
 P(k)P(k) в деких випадках має розподілв деких випадках має розподіл
ПуассонаПуассона
або експоненційний розподілабо експоненційний розподіл
( ) !/)( kekP k
λλ−
=
λ/
)( k
ekP −
∝

В мережі можлива ситуація, коли вершини зВ мережі можлива ситуація, коли вершини з
великим ступенем (зірки, концентратори)великим ступенем (зірки, концентратори)
зв’язані переважно з зірками. Такі мережізв’язані переважно з зірками. Такі мережі
називаютьназивають асортативнимиасортативними. Можлива також і. Можлива також і
зворотня ситуація: зірки зв’язані з іншимизворотня ситуація: зірки зв’язані з іншими
зірками через вершини, що мають малузірками через вершини, що мають малу
кількість «сусідів». Такі мережі називаютькількість «сусідів». Такі мережі називають
дисасортативнимидисасортативними. Для характеристики цієї. Для характеристики цієї
властивості використовуютьвластивості використовують коефіцієнткоефіцієнт
кореляціїкореляції Пірсона між ступенями сусідніхПірсона між ступенями сусідніх
вершин. За означеннямвершин. За означенням ..11 ≤≤− r

Дункан Уоттс і Стів Строгатс визначилиДункан Уоттс і Стів Строгатс визначили
коефіцієнт кластерностікоефіцієнт кластерності, який, який
характеризує тенденцію утворення групхарактеризує тенденцію утворення груп
взпємозввзпємозв’’язаних вершинязаних вершин -- клік (clіque).клік (clіque).
 Нехай вершинаНехай вершина іі має ступіньмає ступінь kk,, тобтотобто уу
неїнеї kk сусідів, максимальна кількістьсусідів, максимальна кількість
звзв’’язків між якимиязків між якими . Тоді. Тоді
деде nnii -- число звчисло зв’’язківязків між сусідамиміж сусідами
вершини. Очевидно, щовершини. Очевидно, що
( ) 2/1−ii kk
( )
,
1
2
−
=
ii
i
i
kk
n
C
.10 ≤≤ iC

Характеристикою вершини мережі, якаХарактеристикою вершини мережі, яка
відображає роль вершини у встановленнівідображає роль вершини у встановленні
зв’язків у мережі (показує, скількизв’язків у мережі (показує, скільки
найкоротших шляхів проходить через цейнайкоротших шляхів проходить через цей
вузол) євузол) є посередництвопосередництво ((betweennessbetweenness))..
ПосередництвоПосередництво σσkk вершинивершини kk визначимо яквизначимо як
ВеличинуВеличину σσkk також називають навантаженнямтакож називають навантаженням
((loadload) чи центральністю посередництва) чи центральністю посередництва
((betweennessbetweenness centralitycentrality).).
),(/),,( jiBjkiB
ji
k ∑
≠
=σ

В теорії складних мереж відстань міжВ теорії складних мереж відстань між
двома вершинами дорівнює числу ребер удвома вершинами дорівнює числу ребер у
найкоротшому шляху між ниминайкоротшому шляху між ними
((геодезична відстаньгеодезична відстань).).
ЭксцентриситетЭксцентриситет вершини євершини є
максимальна геодезична відстань між неюмаксимальна геодезична відстань між нею
та рештою вершин графа.та рештою вершин графа.

Характеристикою вершини є такожХарактеристикою вершини є також
віддаленістьвіддаленість ((farnessfarness ) її від інших вершин) її від інших вершин
графу, яка визначається як сума всіх їїграфу, яка визначається як сума всіх її
геодезичних відстаней.геодезичних відстаней.
ЦентрованістьЦентрованість ((ссloseness centralityloseness centrality))
визначається як обернена віддаленість. Такимвизначається як обернена віддаленість. Таким
чином, чим показник центраванності нижчийчином, чим показник центраванності нижчий
тим більша загальна геодезична відстаньтим більша загальна геодезична відстань
вершинивершини
Центрованість може інтерпритуватися як міраЦентрованість може інтерпритуватися як міра
швидкості передачі інформації у мережі.швидкості передачі інформації у мережі.

глобальні характеристикиглобальні характеристики
Для харатеристики мережі необхідноДля харатеристики мережі необхідно
перевірити її належність до наступнихперевірити її належність до наступних
класів:класів:
 ЗвЗв’’язний графязний граф ––граф, що містить тількиграф, що містить тільки
одну компоненту зводну компоненту зв’’язності, тобто між будь-язності, тобто між будь-
якою парою вершин графа існує хача бякою парою вершин графа існує хача б
один шлях.один шлях.
 Простий графПростий граф –– граф, який не міститьграф, який не містить
кратних дуг та петель.кратних дуг та петель.

 Регулярний (однорідний) графРегулярний (однорідний) граф ––граф,граф,
ступені вершин якого рівні. Ступіньступені вершин якого рівні. Ступінь
регулярності є інваріантом графарегулярності є інваріантом графа rr((GG))..
 Повний графПовний граф –– прстий граф, в якому кожнапрстий граф, в якому кожна
пара вершин суміжна. Повний граф єпара вершин суміжна. Повний граф є
регулярним.регулярним.
 Ейлеровий графЕйлеровий граф –– граф , що міститьграф , що містить
ейлеровий цикл (замкнутий шлях, щоейлеровий цикл (замкнутий шлях, що
проходить по всім ребрам графа і тількипроходить по всім ребрам графа і тільки
один раз).один раз).

Числові пЧислові парметри, що характеризуютьарметри, що характеризують
мережу в цілому є фактично аналітичнимимережу в цілому є фактично аналітичними
узагальненнями її локальнихузагальненнями її локальних
характеристик.характеристик.
Діаметр графаДіаметр графа є максимальноює максимальною
геодезичною відстанню між парами йогогеодезичною відстанню між парами його
вершин, тобто це геодезична відстань міжвершин, тобто це геодезична відстань між
двома вершинами графу, макмимальнодвома вершинами графу, макмимально
віддаленими одна від одної.віддаленими одна від одної.

Для характеристики мережі в ціломуДля характеристики мережі в цілому
можна ввести поняттяможна ввести поняття середнього шляхусереднього шляху,,
як середнього значення геодезичнихяк середнього значення геодезичних
відстаней по всім парам вершинвідстаней по всім парам вершин
( ) ∑
≥+
=
ji
ijd
nn
l
1
2_

Деякі мережі можуть виявитися незвДеякі мережі можуть виявитися незв’’язними,язними,
а отже значення середнього шляхуа отже значення середнього шляху
дорівнюватиме ∞. Для таких випадківдорівнюватиме ∞. Для таких випадків
вводоться поняттявводоться поняття глобальної ефективностіглобальної ефективності
мережімережі
Ця характеристика відображає ефективністьЦя характеристика відображає ефективність
мережі при передачі інформації.мережі при передачі інформації.
( )
.
1
1
1
∑
≠−
=
ji ijdnn
E

Серед важливих числових характеристикСеред важливих числових характеристик
складних мереж такожскладних мереж також
 Середній ступінь вершин мережіСередній ступінь вершин мережі
 Коефіцієнт кластерності мережі.Коефіцієнт кластерності мережі.
Очевидно, що ці числові характеристикиОчевидно, що ці числові характеристики
є усередненими характеристикамиє усередненими характеристиками
вершин мережівершин мережі

Дякую за увагуДякую за увагу
Зауваження ?Зауваження ?

графы

More Related Content

Viewers also liked

Similar to графы

More from Dmitry Chabanenko

графы