В данной работе исследуются геометрические паркеты. Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов. Ставится практическая задача - как на практике, используя формулы, можно рассчитать количество мягких плиток для волейбольной спортивной площадки.
2. Содержание
Цели проекта
Что такое геометрический паркет?
Правильные паркеты
Какими правильными многоугольниками можно заполнить плоскость?
Полуправильные паркеты
Паркет из неправильных равных многоугольников
Какими неправильными многоугольниками можно заполнить плоскость?
Геометрические паркеты в жизни
Примеры геометрических паркетов
Геометрические паркеты в искусстве
Картины Эшера «Всадники», «Летящие птицы», «Ящерицы»
Серебряная пагода
Наш проект
Вывод
Ссылки
ВпередНазад
3. Цели проекта
Развитие умений и навыков
исследовательской работы;
Расширение теоретической базы,
аналитический обзор литературы по
теме;
Изучить геометрические приёмы
составления паркетов;
Знакомство с практическим применением
геометрических паркетов.
Назад ВпередСодержание
4. Введение
Выдвинута проблема: определить количество правильных паркетов.
Задачи:
1. Изучить литературу о паркетах.
2. Найти исторический материал.
3. Научиться решать задачи.
Выдвигаю гипотезу: количество правильных паркетов бесчисленное множество.
Объект исследования - паркеты.
Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и
анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод
аналогии.
Назад ВпередСодержание
5. Что такое геометрический
?паркет
В математике паркетом называется такое заполнение
плоскости многоугольниками, при котором любые два
многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют
общую вершину, либо не имеют общих точек.
СодержаниеНазад Вперед
6. П равильные паркеты
Паркет называется правильным, если он состоит из
правильных многоугольников (многоугольники, у которых
все углы равны и все стороны равны) и вокруг каждой
вершины правильные многоугольники расположены
одним и тем же способом.
Примеры правильных паркетов дают заполнения
плоскости квадратами, равносторонними треугольниками,
правильными шестиугольниками.
СодержаниеНазад Вперед
7. Какими правильными
многоугольниками можно
?заполнить плоскость
Докажем, что не всеми равными правильными
многоугольниками можно заполнить плоскость.
Действительно, углы правильного n - угольника равны
180°(n- 2)/n. Заполним таблицу, состоящую из
углов a правильных n-угольников.
N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a 60° 90° 108° 120° 1284
/7° 135° 140° 144° 1473
/11° 150°
СодержаниеНазад Вперед
8. Какими правильными
многоугольниками можно
?заполнить плоскость
Если в одной вершине паркета сходится m правильных n -
угольников, то должно выполняться равенство
откуда
Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и
6. Значит, можно получить паркеты, составленные из
правильных треугольников, квадратов или правильных
шестиугольников. При остальных
значениях n число m оказывается дробным.
СодержаниеНазад Вперед
9. П олуправильные паркеты
Паркет называется полуправильным, если он состоит из
правильных многоугольников (возможно с разным числом
сторон), одинаково расположенных вокруг каждой
вершины.
СодержаниеНазад Вперед
10.
П аркет из неправильных
равных многоугольников
Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет,
состоящий из четырехугольников равных исходному.
Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы
можно заполнить всю плоскость.
СодержаниеНазад Вперед
11. Какими неправильными
многоугольниками можно заполнить
?плоскость
Пусть дан четырехугольник АВСD (рис.1).
Рассмотрим центрально симметричный ему
четырехугольник относительно середины
стороны АВ. Исходный четырехугольник АВСD
обозначим цифрой 1, а симметричный –
цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим
симметрично относительно середины
его стороны ВС. Полученный
четырехугольник обозначим цифрой 3
и отразим его симметрично
относительно середины его стороны
CD. Полученный четырехугольник
обозначим цифрой 4.
Рис. 1
СодержаниеНазад Вперед
12. Какими неправильными
многоугольниками можно заполнить
?плоскость
Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к
общей вершине углами А, В, С и D. А так
как сумма углов четырехугольника равна
360° , то эти четырехугольники заполнят
часть плоскости вокруг общей вершины.
Такое же построение можно провести
вокруг каждой новой вершины, что и даст
искомое заполнение плоскости.
четырехугольники, закрашенные одним
цветом (рис. 1), получаются друг из
друга параллельным переносом.
Рис. 1
СодержаниеНазад Вперед
13. Геометрические паркеты в
жизни
С паркетами мы встречаемся и в повседневной
жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет
собой простейший паркет. Элементом паркета
здесь является квадрат. Можно придумать
множество различных паркетов.
Назад ВпередСодержание
15. Геометрические паркеты в
искусстве
Заполнение плоскости может быть произведено не только
многоугольниками, но и фигурами более сложного вида.
Повторяющиеся равные фигуры являются основой
составления орнаментов, с давних времен привлекавших к
себе внимание людей. Знаменитый голландский художник
Мариус Эшер (1898-1972) посвятил орнаментам несколько
своих картин.
СодержаниеНазад Вперед
16. « »Всадники , «Летящие
»птицы , « »Ящерицы
Назад Содержание Вперед
17. Серебряная пагода
Серебряная пагода - официальный буддийский храм
короля Камбоджи в Пномпене. Главной особенностью
пагоды является пол, инкрустированный более чем пятью
тысячами серебряных плит (блоков) весом более 6 тонн. Пол
имеет вид квадратного геометрического паркета.
СодержаниеНазад Вперед
18. Наш проект
Изучив геометрические паркеты
из правильных многоугольников,
мы решили рассчитать площадь
школьной площадки для
волейбола.
Ширина поля – 14 целых плиток
и 1 неполная
Длина поля – 26 целых плиток и
1 неполная
СодержаниеНазад Вперед
19. Плитка имеет форму правильного
четырехугольника, то есть квадрата, со
стороной 50 см. Кроме того, имеется
неполная плитка в виде прямоугольника со
сторонами 50 см и 10 см.
50 см
50см
50см
10 см
СодержаниеНазад Вперед
20. Вначале найдем длину (d) и ширину (k) площадки. Для этого надо
сторону плитки умножить на количество плиток в длину и в ширину. Не
забывайте, что есть и неполная плитка.
Длина площадки = d = (50 см x 26 пл.) + (10 см x 1 пл.) = 1300 см + 10
см = 1400 см = 14 м
Ширина площадки = k = (50 см x 14 пл.) + (10 см x 1 пл.) = 700 см + 10
см = 800 см = 8 м
Из этого следует, что площадка прямоугольная.
Далее, находим площадь площадки по формуле нахождения площади
прямоугольника (S).
Площадь площадки = S = длина x ширина = d x k = 14 м x 8 м = 112 м²
Теперь нам известна площадь площадки для волейбола, а значит в
будущем мы сможем найти наиболее рациональный способ ее
заполнения правильными (или неправильными) паркетами и переделать
ее, убрав неполную плитку.
СодержаниеНазад Вперед
21. Если принять длину плитки за a, а ширину за b.
То в длину получается плиток, а в ширину плиток.
Если и целые числа. Общее количество плиток
получается , где S1 площадь плитки.
Теперь нам известно как определить количество
плиток для волейбольной площадки, а значит, в
будущем мы сможем найти наиболее
рациональный способ ее заполнения правильными
(или неправильными) паркетами и переделать ее,
убрав неполную плитку.
1S
S
da
kd
=
⋅
⋅
Назад Содержание Вперед
22. Вывод
Мы подробно изучили паркеты, поняли
принципы их построения, а самое главное, узнали
много нового. Паркетов великое множество, но
мы считаем, что паркет производит приятное
впечатление, если он достаточно симметричен,
т.е. если он составлен из правильных
многоугольников.
СодержаниеНазад Вперед
23. Ссылки
1. Паркет (геометрия) -https://ru.wikipedia.org/wiki/Паркет_(геометрия)
2. Паркеты – http://geometry-and-art.ru/parquett.html
3. Математические мозаики – http://log-in.ru/articles/matematicheskie-mozaiki/
4. ПАРКЕТЫ - http://geometry2006.narod.ru/Lecture/Parkety/Parkety.htm
5. Исследовательская работа Геометрические паркеты -
http://newfound.ru/shkolniku/11-klass/issledovatelskaia-rabota-geometricheskie-
parkety/
6. Серебряная пагода -https://ru.wikipedia.org/wiki/Серебряная_пагода
7. Журнал //Квант. 1979. - № 2. - С.9; 1980. - № 2. - С.25; 1986 - № 8 - С 3* 1987. - № 6.
- С.27; 1987. - № 11. - С.21; 1989. - № 11. - С.57.
8. Журнал //Математика в школе. 1967. – № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;
9. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. - 1999. - № 2. - С.32.
10. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. - М.- Наука, 1966, с. 100.
11. Смирнова И.М. В мире многогранников. - М.: Просвещение, 1995.
12. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом
редакторе "Paint" //Математика в школе. - 2000. - № 8. - С.54.
СодержаниеНазад Вперед
