Chemical Engineering Processes Control Laplace Transform

1. Doç. Dr. Ibrahim BULDUK
PROSES KONTROL
LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

3. MATEMATİKSEL MODELLER
X1, w1 X2, w2
X, w
)
(
1
)
(
)
(
2
1
2
2
1
1
w
w
w
dt
dV
V
x
x
w
V
x
x
w
dt
dx











4. MATEMATİKSEL MODELLER
F, T
Fi, Ti

5.  Bir f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü aşağıdaki şekilde
tanımlanır;
 Laplace dönüşümünün uygulanmasında zaman değişkeni
ortadan kaldırılarak yeni bir alan tanıtılmıştır.
 Dinamik sistemlerin modellenmesinde diferansiyel denklemler
Laplace dönüşümü kullanılarak çözülür.
  dt
e
t
f
s
f
t
f
L st





0
)
(
)
(
)
(
LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ

6. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN
ÖZELLİKLERİ
1. Laplace dönüşümü t<0 için f(t) hakkında hiçbir bilgi içermez.
(t zamanı temsil ettiğinden bu bir sınırlama değildir).
2. Laplace dönüşümü uygun olmayan bir integralle tanımlanır.
Bu nedenle gerekli koşullar;
a. f(t) fonksiyonu parçalı sürekli olmalıdır
b. İntegralin sonlu bir değeri olmalıdır; yani f(t) fonksiyonu
zamanla e -st azalmasından daha hızlı artmaz.

7. 3. Laplace dönüşüm operatörü, t değişkeninin bir fonksiyonunu s
değişkeninin bir fonksiyonuna dönüştürür. örneğin, T(t), T(s)
olur
4. Laplace dönüşümü doğrusal bir operatördür.
5. Laplace dönüşümleri için tablolar mevcuttur. Bu tablolarda ters
dönüşümler de verilmiştir.
     
)
(
)
(
)
(
)
( 2
1
2
1 t
f
bL
t
f
aL
t
bf
t
af
L 


  )
(
)
(
1
t
f
s
f
L 

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN
ÖZELLİKLERİ

8. BAZI FONKSIYONLARIN DÖNÜŞÜMLERI
1. Sabit fonksiyon
 

 
s
a
a
L
s
L
s
s
e
t
e
dt
e
t
f
L
t
f
t
t
st
st

























1
1
1
0
)
1
(
)
(
1
)
(
0
0
0

9. 2. Basamak fonksiyonu
 
  





















0
0
)
(
)
(
0
,
0
,
0
)
(
1
)
1
(
)
(
0
,
1
0
,
0
)
(
s
a
dt
e
a
t
f
L
t
a
t
t
f
s
dt
e
t
f
L
t
t
t
f
st
st
BAZI FONKSIYONLARIN DÖNÜŞÜMLERI

10. 3. Üstel fonksiyon
 
 
a
s
A
t
f
L
Ae
t
f
if
a
s
e
a
s
dt
e
dt
e
e
t
f
L
t
e
t
t
f
at
t
t
t
a
s
t
a
s
st
at
at































)
(
,
)
(
,
1
1
)
(
0
,
0
,
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
BAZI FONKSIYONLARIN DÖNÜŞÜMLERI

11. 4. Rampa fonksiyonu
 
s
v
dt
e
dv
dt
du
t
u
du
v
v
u
udv
dt
te
t
f
L
t
t
t
t
f
st
st
st


















 

e
,
,
,
.
.
)
(
0
,
0
,
0
)
(
0
BAZI FONKSIYONLARIN DÖNÜŞÜMLERI

12.  
  2
0
2
2
0
0
0
1
)
(
1
0
1
1
)
(
s
dt
te
t
f
L
s
t
t
e
s
dt
e
s
s
e
t
dt
te
t
f
L
st
st
st
t
t
st
st









































BAZI FONKSIYONLARIN DÖNÜŞÜMLERI

13. TÜREVLERIN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERI
)
0
(
)
(
)
(
).
(
)
(
.
0
)
)(
(
0
)
(
)
(
,
,
e
u
)
(
0
0
0
st
-
0
F
s
sf
s
f
s
o
f
e
dt
e
s
t
f
t
t
t
f
e
dt
e
dt
df
t
f
v
dt
dt
dv
dv
dt
se
du
dt
e
dt
df
t
f
dt
d
L
st
st
st
st
st




































14. )
0
(
'
'
)
0
(
'
)
0
(
)
(
)
0
(
'
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
2
3
3
3
2
2
2
f
sf
f
s
s
f
s
dt
f
d
L
f
sf
s
f
s
dt
f
d
L
f
s
sf
dt
df
L



























TÜREVLERIN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERI

15. Laplace Dönüşümü ile Diferansiyel Denklemlerin
Çözümü
 Sabit katsayılı doğrusal, adi diferansiyel denklemlerin
çözümü için Laplace Dönüşümleri uygulanır.
 Prosedür şunları içerir:
1. Denklemin her iki tarafının Laplace Dönüşümünü alın.
2. Elde edilen denklemi bilinmeyen fonksiyonun Laplace
dönüşümü için çözün. yani, x(s)'yi değerlendirin.
3. Adım 2'de elde edilen Laplace Dönüşümüne sahip x(t)
fonksiyonunu bulun.

16. ÖRNEK
Aşağıdaki denklemi çözelim.
Çözüm:
2
)
0
(
,
,
0
3 

 x
where
x
dt
dx
t
e
t
x
s
s
s
x
s
s
x
s
x
x
s
sx
3
2
)
(
3
1
.
2
3
2
)
(
2
)
3
)(
(
0
)
(
3
)
0
(
)
(












17. Kısmi Kesirlerle Ters Çevirme
Örnek
Aşağıdaki denklemi çözelim.
Çözüm:
0
)
0
(
,
,
1 

 x
where
x
dt
dx
)
1
(
1
)
(
1
)
1
)(
(
1
)
(
)
0
(
)
(







s
s
s
x
s
s
s
x
s
s
x
x
s
sx

18. Kısmi kesirler uygulanacak;
Metod I: Eşitliğin her iki yanını s ile çarpalım.
Kısmi Kesirlerle Ters Çevirme
Örnek

19. Eşitliğin her iki yanını (s+1) ile çarpalım.
Kısmi Kesirlerle Ters Çevirme
Örnek

20. 1
)
1
(
1
)
(





s
B
s
A
s
s
s
x
t
e
t
x
s
s
s
x






1
)
(
1
1
1
)
(
(Laplas Dönüşüm tablolarını kullanarak)
Metod 2
Kısmi Kesirlerle Ters Çevirme
Örnek

21. ÖRNEK
Aşağıdaki denklemi çözelim.
Eşitliğin iki yanına Laplas dönüşümünü uygulayalım.

22.  
1
2
1
2
)
(
)
1
)(
2
)(
1
)(
2
(
8
9
6
)
(
)
2
2
)(
2
(
8
9
6
)
(
)
2
(
8
9
6
2
2
2
1
4
2
2
)
(
2
4
2
3
2
4
2
4
2
2
3







































s
E
s
D
s
C
s
B
s
A
s
x
s
s
s
s
s
s
s
s
s
x
s
s
s
s
s
s
s
s
s
x
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
x
ÖRNEK

23. Belirlemek
için
Aşağıdaki ile
çarp
S değerlerini
aşağıdaki
değere ayarla
Sonuç
A S 0 -2
B S-2 2 1/12
C S+1 -1 11/3
D S+2 -2 -17/2
E S-1 1 2/3
ÖRNEK

24. particular
s
homogeneou
2
2
)
3
/
2
(
)
2
/
17
(
)
3
/
11
(
)
12
/
1
(
2
)
(
1
1
.
3
2
2
1
.
2
17
1
1
.
3
11
2
1
.
12
1
2
)
(
S
S
Solution
e
e
e
e
t
x
s
s
s
s
s
s
x
t
t
t
t





















26. ÖRNEK
Aşağıdaki denklemi çözün;
 
 
)
4
5
(
2
5
)
(
5
2
)
4
5
)(
(
2
)
(
4
)
0
(
)
(
5
2
4
5
1
)
0
(
,
2
4
5




















s
s
s
s
Y
s
s
s
Y
s
s
Y
Y
s
sY
y
dt
dy
L
y
y
dt
dy

27. ÖRNEK
t
t
t
b
t
b
e
t
y
e
t
y
b
b
b
b
s
b
s
b
s
e
b
b
b
b
e
b
b
b
b
line
8
.
0
8
.
0
3
1
2
2
1
3
2
1
2
3
1
2
1
3
5
.
0
5
.
0
)
(
)
1
(
0
8
.
0
0
4
.
0
8
.
0
0
8
.
0
4
.
0
)
(
4
.
0
,
8
.
0
,
0
)
)(
(
,
,
11 2
1
























28. Laplace dönüşümü verilen denklemin çözümünü bulunuz.
ÖRNEK

29. Laplace dönüşümü verilen denklemin çözümünü bulunuz..
ÖRNEK

30.  
 
3
2
1
)
6
11
6
(
1
)
(
1
)
(
6
)
0
(
)
(
11
)
0
(
)
0
(
)
(
6
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
0
)
0
(
)
0
(
)
0
(
,
1
6
11
6
2
3
2
2
3
2
2
3
3



































s
D
s
C
s
B
s
A
s
s
s
s
s
Y
s
s
Y
y
s
sY
y
sy
s
Y
s
y
y
s
y
s
s
Y
s
y
y
y
y
dt
dy
dt
y
d
dt
y
d
Aşağıdaki denklemi çözelim.
ÖRNEK

31. Aşağıdakini
belirlemek
için
Aşağıdaki ile
çarp
S yi
aşağıdakine
ayarla
Sonuçlar
A S 0 1/6
B S+1 -1 -1/2
C S+2 -2 1/2
D S+3 -3 1/6
t
t
t
e
e
e
t
y
s
s
s
s
s
Y
3
2
.
6
1
.
2
1
.
2
1
6
1
)
(
3
1
.
6
1
2
1
.
2
1
1
1
.
2
1
1
.
6
1
)
(














ÖRNEK

32. Örnek (Tekrarlanmış faktörler)
Laplace dönüşümü verilen denklemi çözünüz.
Heaviside açılım kuralı A için kullanılamaz, çünkü B katsayısının
paydası sonsuz olur.
s
C
s
B
s
A
s
s
s
s
s
Y 







 2
2
)
2
(
2
)
4
4
(
1
)
(
4
1
,
.
.
)
2
(
.
2
.
)
2
(
1
2
1
,
)
2
(
)
2
.(
)
2
(
)
2
.(
2
)
2
.(
)
2
(
1
2
2
2
2
2
2
2
2




















C
s
s
C
s
s
B
s
s
A
s
s
s
s
B
s
s
C
s
s
B
s
s
A
s
s
s
s

33. 1
-
A
-C,
A
C.2,
A.2
0
2)
C2(s
B
2)
A(2s
1
2)
C(s
Bs
2)
As(s
1
s
)
2
(
2
)
4
4
(
1
2
2
2






















s
C
s
B
s
A
s
s
s
s
Equalizing the derivatives gives
Taking derivative w.r.t. s gives
Further differentiation gives
Örnek (Tekrarlanmış faktörler)

34.  
 
s
s
f
dt
t
f
L
s
sY
t
y
s
sY
t
y
t
s
t
s
t
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
0
0
0
















Son Değer Teoremi
Başlangıç Değer Teoremi
Bir integralin dönüşümü

35. ÖRNEK
Aşağıdaki denklemi x(t) için çözün

36. Aşağıdaki denklemi x(t) için çözün
ÖRNEK

37. ÖRNEK
Bir karıştırma tankı için, bileşimdeki bir adım değişikliğine bağlı
olarak bileşimin zamana göre değişimini değerlendirin.
w1 x1
w x
(Sabit hacimli, bileşen dengesine sahip taşma sistemi)

38. ÖRNEK

39. Giriş akış hızlarından birinde ani bir değişim için Örnek.2.1'i göz
önünde bulundurarak, konsantrasyonun zamana göre değişimini
değerlendirin.
dt
x
V
d
wx
x
w
x
w
dt
V
d
w
w
w
)
(
)
(
2
2
1
1
2
1








Toplam Kütle Dengesi;
Bileşen Dengesi:
w1, x1
w2, x2
w, x
ÖRNEK

40. Sabit V ve ρ için;

41. Sabit V ve ρ için;

42. Örnek: Bir CSTR de konsantrasyonun zamana göre
değişimi.

43. Örnek: Bir CSTR de konsantrasyonun zamana göre
değişimi.

44. Teşekkür Ederim