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Limit1
- 1. 無限に近づけるって？
- 2. 極限がわかりません 唐突だね。詳しく話を聞こうか。 はい。例えば、 だったら に1を代入して 2と求めれるんですが、 とか無限が出て くるとわけわかめです。 lim x→1 x2 + 1 x lim x→∞ x2 + 1 では今日は無限の話をしましょう。
- 3. その前に極限について確認しておこう。 極限とはある値まで限りなく近づけることをいい ます。 例えばさっきの は を限りなく1に近づけた時、 はどんな値 に近づくかという話ですね。 lim x→1 x2 + 1 x x2 + 1
- 4. 本来、極限では のとき のとき… と確かめていってそこからどの値に近づくかを 求めます。 しかし のとき なので、 は2 に近づくといえます。 このように、代入によって近づく値を求められ る場合もあります。 しかし、代入は極限の本質ではありません。 なので無限など特殊なものが出てくると代入は 使えません。 lim x→1 x2 + 1 x = 0.9 x = 0.99 x = 1 x2 + 1 = 2 x2 + 1
- 8. を∞に近づけるので のとき、 の ときと大きくしていったらどうなるかを考えま す。この時、 , となっ ていきます。 大事なのは がどうなっているかです。よく見 るとドンドン大きくなっていることがわかり、 このまま を大きくしていくと はとても大きく なる、つまり無限になることがわかります。 ただし、これを数学では「発散する」といい、 上の式のような書き方はあまりしません。 lim x→∞ x2 x x = 100 x = 1000 x2 = 10000 x2 = 1000000 x2 x x2 lim x→∞ x2 = ∞
- 10. に10を代入すると0.1ですね。n では、もう一つ を考えてみましょう。 例えば のときはどうでしょう？ lim n→∞ 1 n n = 10 そうです。では では？n = 100 に100を代入すると0.01ですね。n そうです。さて、nをもっと大きくしていくとどう なりそうですか？
- 13. 既にわかっていること lim n→∞ 1 n = 0 上のことは既にわかっているのでこれを使って次 の問題をといてみましょう。 問題 lim n→∞ 2n + 1 n うわ！教科書に出てきそう。
- 14. 分母分子に をかける なので0になる このように式の中に の形を作ってあげることで、既にわ かっている を使い簡単に求めることができま す。式変形の目的を を作ることにすることがポイントで す。 lim n→∞ 2n + 1 n = lim n→∞ 2 + 1 n 1 1 n = 2 + 0 1 lim n→∞ 1 n = 0 = 2 1 n lim n→∞ 1 n = 0 1 n
- 15. おお！ を使ってならできそうですね！lim n→∞ 1 n = 0 もちろん や なども成り立 つので、分子の値は気にせず扱ってもらって結構 です。もちろんこれじゃ解けない問題もあります が、それはまたの機会に lim n→∞ 5 n = 0 lim n→∞ 365 n = 0 はい！ありがとうございました。