Dokumenak Granadako Alhambra-ren mosaiko geometrikoen egitura matematikoaz aritzen da. Mosaikoak traslazio, errotazio, reflexio eta mugimenduzko simetria erabiliz osatzen dira, 17 oinarrizko egitura geometriko sortuz. Arabeek 1000 urte lehenago ezagutu gabe, egitura horiek erabili zituzten Alhambraren diseinuetan.

1. GRANADAKO ALHAMBRA Granadako Alhambra bisitari turistentzat zoragarria izateaz gain, matematikazaleontzat izugarrizko altxorra gordetzen du bere baitan.

2. Edozein tokitara begiratzen badugu ere, mosaikoak ikusten ditugu, dena mosaiko eta irudi geometrikoez beteta.

3. Mosaiko bat fitxak erreproduzitzeko paisaia edo irudi baten osaketa da . Fitxa edo pieza txiki horiek simetria, lekualdatzeak eta biraketak planoa osatzen dutenean, mosaiko geometriko baten aurrean gaude. Plano bat osatzeko pieza txiki horiekin (planoa jostea) modu erregularrean, lau estrategia daude: 1.-Traslazioa . Eransten dugun fitxa berria aurrez zegoen baten itxura hartzen du, leku berri batera eramanda inongo biraketarik egin gabe. 2.-Errotazioa . Fitxa berria aurrez bertan zegoen beste baten biraketaz sotzen da, toki eta angelu zehatz baten erdian dagoela. 3.-Reflexioa . Fitxa berri bakoitzak aurreko baten ispilu- irudia da, emandako simetria ardatz batekin. 4.-Mugimenduzko simetria . Lehenik reflexioa bat, eta jarraian traslazioa ardatzaren norabidean. Lau estrategia hauek “planoan egindako mugimenduak” deitzen dira. Lehenengo biak orientazio mantentzen dute (zuzeneko mugimendua), eta azken biak, aldatu (alderantzizko mugimendua).

4. Eraldaketa hauek beren artean nahasten dira, eta egitura algebraikoak sortzen dituzte, “Simetrien taldeak” deiturikoak, kasu honetan talde planoak. Fedorov 1891n erakutsi zuen 17 oinarrizko egitura besterik ez daudela , nahiz eta apaintzeko moduak muga gabeak izan. “Talde kristalografiko planoak” dira . Kristalografiak izen bat eman die hauetariko bakoitzari, eta bere biraketaren arabera sailkatu daitezke. 17 talde hauek bost ataletan multzokatu daitezke, eman ditzaketen gehienezko biraketa kopuruaren arabera: - Simetria taldeak biraketarik gabe: 4 simetria taldea - 180 º biraketazko simetria-taldeak: 5 simetria taldea - 120 º biraketazko simetria-taldeak: 3 simetria taldea - 90º biraketazko simetria-taldeak: 3 simetria taldea - 60º biraketazko simetria-taldeak: 2 simetria taldea

5. Nola izan daiteke posible orain dela 1000 urte baino gehiago talde kristalografiko horiek ezagutu gabe arabeak honelako gauzak egitea? Azkarrak baziren!