1. ‫שאלון 608 שאלה 9, בגרות חורף תשע"ג‬
‫נבנה פונקצית מטרה המתארת את שני השטחים:‬
‫‪f = Scircle + Ssqure‬‬
‫שטח המעגל הוא 2‪ Scircle = πR‬והיקפו הוא ‪.Pcircle = 2πR‬‬
‫‪5π‬‬
‫נניח ולקחו חתיכה בגודל ‪ x‬מהחוט, היקף המעגל המינימלי )לפי הנתון( יהיה ‪.x = 4+π‬‬
‫נוכל לבטא את רדיוסו של המעגל כתלות ב־ ‪ ,x = 2πR ,x‬לאחר בידוד הרדיוס נקבל‬
‫‪x‬‬
‫‪ R = 2π‬ולכן שטחו של המעגל הוא:‬
‫2‪x‬‬ ‫2‪x‬‬
‫· ‪Scircle = π‬‬ ‫2‬
‫=‬ ‫)1(‬
‫‪4π‬‬ ‫‪4π‬‬
‫אם אורך החוט הוא ‪ k‬אז אורך החוט שנשאר לאחר בניית המעגל הוא ‪ ,k − x‬באורך‬
‫שנשאר בנו ריבוע ולכן שטחו של הריבוע הוא )שימו לב שלריבוע ארבע צלעות ולכן אורך‬
‫כל צלע הוא ‪:( k−x‬‬
‫4‬
‫2 ‪k−x‬‬
‫( = ‪Ssqure‬‬ ‫)‬ ‫)2(‬
‫4‬
‫נציב את )1( ו־ )2( בפונקצית המטרה ונקבל:‬
‫2‪x‬‬ ‫2 ‪k−x‬‬
‫= )‪f (x‬‬ ‫(+‬ ‫)‬ ‫)3(‬
‫‪4π‬‬ ‫4‬
‫מתקבל ערך מינימלי לפונקציה כאשר הנגזרת מתאפסת. נגזור את )3( ונקבל:‬
‫1‬ ‫‪k−x‬‬
‫= )‪f (x‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫· 2 + ‪· 2x‬‬ ‫4‬ ‫= ) 1 −( ·‬
‫4‬
‫‪2x‬‬
‫‪4π‬‬ ‫−‬ ‫‪k−x‬‬
‫8‬
‫נשווה לאפס:‬
‫‪2x‬‬ ‫‪k−x‬‬
‫‪4π‬‬ ‫−‬ ‫8‬ ‫0=‬
‫‪x(4+π)−πk‬‬
‫‪8π‬‬ ‫0=‬
‫)‪x(4+π‬‬
‫= ‪ ,k‬אך נתון לנו ההיקף המינימלי של החוט, היקף זה שווה ל־‪ x‬ולכן נוכל‬ ‫‪π‬‬ ‫ולכן‬
‫להגיד:‬
‫‪5π‬‬
‫‪4+π‬‬ ‫)‪· (4 + π‬‬
‫=‪k‬‬ ‫5=‬ ‫)4(‬
‫‪π‬‬
‫אורכו של החוט, ‪ ,k‬הוא 5.‬
‫1‬
‫© כל הזכויות שמורות – בגרות און ליין‬
‫דרך השלום 7, תל אביב | טלפון: 398-007-007-1 | פקס: 7562074-770‬
‫אתר: ‪ | www.bagrutonline.co.il‬דוא"ל: ‪office@bagrutonline.co.il‬‬