Aspetti vari sui razionali

Nodi, difficoltà, aspetti didattici
CIDI di Roma: La costruzione dei numeri, nodi, attività, materiali. 2016-2017

Numeri razionali
 Si prendono in considerazione solo alcuni aspetti di questo
argomento molto ricco di aspetti storici e di difficoltà
 Il passaggio dai naturali ai razionali è un “ostacolo
epistemologico” a cui si possono sommare “ostacoli
ontogenetici” e “ostacoli didattici”
 La costruzione dei concetti di questo argomento deve
nascere mediante attività che facciano emergere le idee
degli alunni e sottoporle a discussioni proficue
 Il numero razionale può essere rappresentato sia da una
frazione sia da un numero decimale

I ruoli delle frazioni
Utilizzo delle
frazioni.
Le frazioni sono
come bravi attori che
sanno interpretare
diversi ruoli.
 Le frazioni sono numeri ma le
troviamo nelle percentuali, nella
probabilità, nel calcolo della media, nel
ruolo di “operatore”, nei rapporti tra
grandezze omogenee e non, nelle
proporzioni, nelle espressioni relative
ad orari oppure al denaro.
 Le frazioni svolgono quindi vari
“ruoli” e non sempre è facile per uno
studente capire le loro diversità di
azione

Numeri razionali
 Di solito nelle classi terze o quarte della scuola elementare
vengono presentati sia i numeri decimali sia le frazioni
 In un percorso di curricolo verticale come presentare le frazioni e
i numeri decimali?

Numeri razionali

Le frazioni nella scuola elementare
Le categorie.
Spesso le frazioni
vengono presentate
come Proprie,
Improprie e
Apparenti
 Le frazioni spesso vengono descritte
e classificate. Proprie, improprie,
apparenti. Vengono presentate come
“oggetti matematici” di pura
simbologia grafica.
 Le frazioni devono essere costruite
come concetto a partire da
discussioni tra gli studenti per
delineare gli aspetti fondamentali.

Attività scuola primaria
 http://www.cidi.it/cms/doc/open/item/filename/280/frazio
nidecimalimisurapersapernedipiu-2007.pdf
 http://www.cidi.it/cms/doc/open/item/filename/1683/tiro-
alla-frazione-1compressed.pdf
 Il materiale presente è stato spesso utilizzato nelle classi
terze o quarte della scuola elementare e si basa sulla
richiesta di fornire espressioni verbali e visualizzazioni
grafiche di ciò che veniva in mente spontaneamente agli
alunni quando si dice: la metà, un terzo e un quarto.

Dove si
nascondono
alcuni
fraintendimenti ?
 Occorre accortezza nel linguaggio che sembra
non avere ambiguità, ma non è così
Un terzo ma siamo in tre …
 Nelle errate rappresentazioni
1/2 che diventa 1/3
 Nelle convinzioni ereditate dai numeri naturali

UGUALI IN COSA ?
Uguaglianza delle parti frazionarie di
un elemento intero.
Rappresentazioni classiche delle
frazioni non sono libere da errori.
Dobbiamo chiederci cosa stiamo
ottenendo dalla divisione in parti
uguali: cioè uguali in cosa? (ovvero
stiamo parlando di lunghezze, aree,
volumi, angoli ?)
 Quando tagliamo la famosa “torta”
cosa sto ottenendo? Una fetta può
essere rappresentata per il suo
peso, il suo volume (?), il suo arco
o il suo angolo al centro? Diamo
sempre per scontato che non sia
necessario precisarlo, salvo poi
meravigliarci se l’alunno non sa
cosa dire se chiediamo di essere
precisi nel riferire in cosa sono
uguali gli elementi frazionari.

Attività laboratoriali
al fine di favorire la
correttezza dell’idea
di frazione.
 Si propongono confronti tra frazioni che
agiscono sullo stesso intero
 Si cerca l’intero a partire dalla
rappresentazione di una parte frazionaria
In questi aspetti il confronto si basa sulla osservazione del denominatore e la
grandezza della parte frazionaria.
Data una parte frazionaria si chiede di ricostruire l’intero. Questa procedura deve
essere presentata più volte ponendo in essere con le figure la suddivisione in parti
equiscomponibili.

La richiesta dell’intero fornendo l’elemento frazionario
Test Invalsi Terza Media anno 2012

Risultati del test (terza media)
 Risposte Corrette: 30.1%
 Risposte Errate: 42.5%
 Risposte Mancate: 26.9%
 Altre non valide: 0.5%

La richiesta dell’intero fornendo l’elemento frazionario
Test Invalsi Prima Media anno 2012

Risultati del test (Prima media)
 Risposte corrette: 9.1%
 Risposte errate: 66.6%
 Risposte Mancate: 23.3%
 Altre non valide: 1%

 Molto importanti nella scuola elementare sono le frazioni
decimali
 Sono prerequisiti per la comprensione del sistema
decimale di misura della lunghezza
 Sono adeguati per riprendere la moltiplicazione e la
divisione di numeri con le potenze del dieci
 Si ritrovano in molti ambiti tra cui la notazione scientifica
con potenze di dieci, dando così una stima di valori

 La costruzione dell’abaco per gli interi e le parti decimali
risulta essere una esperienza veramente formativa e si
gettano le basi per evitare tanti fraintendimenti.

Le frazioni nella scuola media
Un’attività
laboratoriale al
fine di favorire la
correttezza
dell’idea di
frazione.
Gli alunni
sfruttano le strisce
per fare confronti.
 La suddivisione di una striscia di cartoncino lunga 60
cm e alta 10 cm in varie unità frazionarie:
1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/10 1/12 1/15 1/20 1/30 1/60
 Procedura:
a. Osservazione del valore frazionario
b. Confronto tra unità frazionarie diverse
c. Si affrontano così aspetti di confronti anche senza
alcuna scrittura simbolica delle frazioni
d. Esecuzione di addizioni e sottrazioni mediante le
strisce
e. Ricerca della frazione complementare

Evoluzione
della attività
per paragonare
la frazione 1/4
su strisce di
diversa
lunghezza
 La suddivisione di una striscia di cartoncino lunga 40
cm e alta sempre 10 cm e colorandone 1/4 :
Procedura:
a. Osservazione del valore frazionario 1/4 sulla striscia
da 60 cm e sempre 1/4 sulla striscia da 40 cm
b. Confronto di frazioni 1/4 su diverse strisce, alte
sempre 10 cm ma di lunghezze diverse (20 cm, 30
cm, 15 cm …)
c. Richiesta della scrittura delle loro osservazioni e
della loro valutazione sul significato di 1/4
d. Obiettivo: l’espressione 1/4 quindi ha senso e
valutazione misurabile solo quando si specifica su
cosa ha agito

Condizionamenti da modelli
 Talune rappresentazioni portano gli studenti ad avere dubbi
sull’uguaglianza delle parti, perché condizionati da modelli standard

 Due identiche tavolette di cioccolata vengono suddivise al loro
interno così come indicato dalle due figure seguenti:
 Si procede alla distribuzione dei diversi pezzi di cioccolata tra i
compagni, ma qualcuno avanza il dubbio che le parti non siano tutte
uguali ……….. Tu, osservando le due tavolette, cosa ne pensi?

 Così come nel quadrato suddiviso in quattro parti uguali tra loro

 Ecco come è stato proposto dall’Invalsi (Quinta elementare 2014)

 Risultati del test (Quinta elementare 2014)
Risposte corrette: 37.3% (C)
Risposte errate: 61.7%
Risposte Mancate: 1%
Questo test pone il problema di alcuni fraintendimenti:
a. Il secondo disegno viene considerato identico agli altri
perché si prende sempre un pezzo su quattro
b. Il terzo disegno mette in luce la difficoltà di considerare
l’area del triangolo uguale rispetto a quella dei rettangoli

Capita che in perfetta buona fede il docente faccia mettere in
sequenza alcune frazioni oppure numeri decimali come nell’esempio:
a. 0,1 0,2 0,3 0,4 …
b. 1/2 1/3 1/4 1/5 …
Alcuni studenti possono strutturare così l’idea che i numeri decimali
e le frazioni abbiano un successivo
a. 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 …
Questa ultima scrittura un docente può utilizzarla se abbiamo una
rappresentazione di numeri sulla retta orientata. Anche in questo
modo suggeriamo indirettamente che esista un successivo.

Il successivo, discussione …
Ricordiamo il problema ideato dal Prof. Giuliano Spirito che come attività di
discussione in classe permette di fare scoperte sui razionali e dell’importanza della
classe di equivalenza. Il problema esiste anche nella forma con numeri decimali.
“Una gita nel Paese dei matematici.”
<<A volte, per evitare discussioni, all'entrata del negozio o dell'ufficio postale
vengono distribuiti dei numeretti. Nel paese dei matematici, dove Giulia e Paolo sono
in gita, usano molto questo sistema; purtroppo i numeretti che distribuiscono sono...
frazioni! Ora, succede che a Giulia venga assegnato il numero 5/11 e a Paolo il
numero 6/11. Per capire a che punto della fila toccherà a loro, i nostri due amici
stanno ripassando mentalmente tutti i metodi per fare i confronti tra frazioni. Sono
pieni di dubbi, ma di una cosa sono sicuri: subito dopo Giulia toccherà a Paolo; in-
fatti, non può esserci nessuna frazione compresa tra 5/11 e 6/11! Ti chiediamo:
a) Giulia e Paolo hanno ragione a pensare di essere in due posizioni immediatamente
consecutive nella fila?
b) se Giulia e Paolo hanno torto, quante persone al massimo possono stare in mezzo
a loro nella fila?

Le frazioni come operatori
 Le frazioni che di un elemento ne prendono una parte
 Lo studente sa che l’elemento su cui opera deve essere diviso
in tante parti dettate dal denominatore e di queste ne prenderà
quante ne specifica il numeratore
 Ma nella pratica quotidiana scolastica ci sono sempre elementi
che sono multipli del denominatore quasi mai chiediamo i 3/5
di 14 persone ma i 3/5 di 15 persone; ma se chiedessimo 3/5 di
14 euro … forse si può fare, ma anche in questo caso non
chiederemmo mai i 3/7 di 13 euro …
 E’ evidente che sviluppiamo subito un “controllo” perché le
incertezze di calcolo relative alla divisione non presentino
ulteriori problemi nell’esecuzione degli algoritmi

La distribuzione
Un secondo problema “discussione”:
 Un gruppo di 7 amici si dividono tra loro le biglie regalate
loro dalla maestra. Quando arriva il loro amico Lorenzo
vogliono dividere di nuovo le biglie tra loro che ora sono
diventati 8. Lorenzo chiede ai 7 compagni che gli diano
ciascuno di loro 1/7 delle loro biglie. Ma i 7 amici non sono
d’accordo. Chi ha ragione, Lorenzo o i 7 amici?
Le biglie non si possono certamente spezzare, quale numero di biglie
permette di essere distribuito sia tra 7 e sia tra 8 amici?

Numeri decimali : la comunicazione
 I numeri decimali o numeri con la virgola spesso vengono
“letti” nella parte decimale come se fossero numeri naturali:
 4,753 viene letto come “Quattro virgola
settecentocinquantatre”
 Questa lettura è corretta?
 Cosa succede quando lo studente considera 2,276
maggiore di 2,3 ?
 Cosa può accadere nel caso che tali numeri vogliano
esprimere una lunghezza?

La misura e i numeri decimali
 “Due spaghi sono lunghi il primo 1,27 m e il secondo 1,8 m.
Qual è lo spago più lungo?”
La maggior parte degli studenti che iniziano la scuola media
risponde che è più lungo il primo.
Questa serie di fraintendimenti è da attribuire a tanti fattori tra cui
anche l’abitudine di riferirsi a misure in metri e centimetri, quasi
mai a decimetri.
Per cui la scrittura 1,8 m non viene considerata come 1 metro e 80
centimetri ma come 1 metro e 8 centimetri che sono più corti di 27
centimetri. Quindi si confonde 1,08 m con 1,8 m
Esempio tratto da “Ricomincio da zero” pag.70 (vedi bibliografia) che cita uno studio di
Boero.
Ricordiamo che per legge la scrittura in euro prevede la scrittura
decimale di due cifre per evitare tali fraintendimenti.

L’intero o gli Interi?
 Prendo i 13/4 di una torta, devo prendere più torte uguali
(uguali in cosa?) prima di tutto, ma avrò così 3 torte intere
e 1/4 di una quarta torta. Qual è l’intero ? E poi con 16/4
di torta ne prendo in realtà 4 torte, l’intero è 4?

L’intero o il tutto
Molti problemi interessanti ci
sono stati tramandati sulle
frazioni. Questo è il più
famoso.
 Il racconto.
Un uomo voleva dividere i suoi
cammelli tra i figli in modo che il
primo avesse 1/2 del loro numero, il
secondo 1/3 e il terzo figlio ne
prendesse 1/9. I cammelli da
dividere tra i figli sono 35.
Tratto dal libro: “L’uomo che
sapeva contare” di Melba Tahan

Rappresentazione delle frazioni
 La notazione semplice a/b non è libera da equivoci
 La notazione a/b non è l’unica rappresentazione del
numero razionale
 4/5 non è l’unica rappresentazione del numero 0,8 (ma
qualsiasi 4k/5k con k numero intero diverso da zero)
 La classe di equivalenza creata permette di operare con le
frazioni e consente di avere più rappresentazioni dello
stesso numero razionale

Comunicazione
La frazione nei
suoi vari aspetti
 Noi docenti proponiamo e mostriamo le
frazioni come operatori, oppure come
“parte su un tutto”, oppure come
percentuale, come rapporto, come misura
ed altro ancora, si fa fatica poi a
coordinare tutti questi aspetti che la
frazione riveste in campo matematico con
il suo essere rappresentante di un numero.
 Tutti i diversi ruoli rivestiti dalle frazioni
devono confluire nella comprensione di
questa particolare struttura numerica ma
sapendo distinguerne le differenze e le
peculiarità

Test vari Terza media 2016
Risposte corrette:
41.1% (B)
Risposte errate :
54.3%
Risposte Mancate:
4.5%
Altre non valide:
0.1%

Risposte Mancate: 5.9%

Test vari Prima media 2010
Risposte corrette: 42.6% (D)
Risposte errate : 53.3%

Test vari Terza media 2008 impiegati libreria
Risposta corretta: 6
Risposte totali non accettabili:
62,7 %

Risposte corrette: 41.7% (D)

Test vari Terza media 2013 scarpe Europa-USA
Risposte corrette:
Prima richiesta
utilizzo frazione come operatore: 66,6%
Seconda richiesta
trovare l’intero da una frazione impropria :43,9%
Terza richiesta
relazione tra Europa e USA,
riconoscimento della stessa differenza numerica: 15,2%

Risposte corrette: 42% (D)

Test vari Quinta elementare 2009
Risposte corrette: 33% (B)
Altre non valide: 0.1%

Risposte corrette:
41.7% (C)
Risposte errate :
57.4%
Risposte Mancate:
0.9%

Risposte errate : 42.3%
Risposte Mancate: 1%
Altre non valide: 0.1%

Risposte corrette: 33.2%

BIBLIOGRAFIA - SITOGRAFIA
a. Vinicio Villani-Maurizio Berni “Ricomincio da zero” Pitagora
Editrice Bologna
b. Malba Tahan “L’uomo che sapeva contare” edizione: Salani
c. Martha Isabel Fandiño Pinilla: “ Le frazioni - aspetti concettuali e
didattici”
d. Carl B. Boyer “Storia della matematica” Oscar Mondadori
e. Angela Pesci: “Lo sviluppo del pensiero proporzionale nella
discussione di classe” Editore: Pitagora
f. Rosetta Zan: “Difficoltà in matematica” Springer edizioni
g. Giuliano Spirito – Margherita D’Onofrio – Grazia Petrini: “Il racconto
della matematica” Numeri secondo volume Ed. La Nuova Italia
h. www.cidi.it
i. http://utenti.quipo.it/base5/index.htm

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