كتاب الامتحانات الوطنية العلوم الرياضية ا و ب من 2003 الى 2013 من اعداد الاستاد دبر الفاتحي

1. t
𝒆 𝒙
𝒏−𝒔
∞
𝒏=𝟎
= 𝟎 ⇒ 𝓡𝒆 𝒔 =
𝟏
𝟐
𝜋
𝑥2
+ 𝑦2
= 1 𝑦 = sin 𝑒 𝑥
𝒚 = 𝒆 𝐜𝐨𝐬 𝒙
𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒆 𝒙
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
= 𝟏

2. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(3641346006)(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012
‫مقدمة‬
‫الرحيم‬ ‫الرمحن‬ ‫اهلل‬ ‫بسم‬
ً‫الدراس‬ ‫الموسم‬ ‫منذ‬ ‫الموحد‬ ً‫الوطن‬ ‫االمتحان‬ ‫نظام‬ ‫تطبٌق‬ ً‫ف‬ ‫المغرب‬ ‫بدأ‬2002–2003ً‫ه‬ ‫الموحد‬ ً‫الوطن‬ ‫لالمتحان‬ ‫دورة‬ ‫أول‬ ‫كانت‬ ‫حٌث‬ ،
‫ٌونٌو‬ ‫دورة‬2003.‫تسمى‬ ‫أساسٌة‬ ‫قوانٌن‬ ً‫ف‬ ‫النظام‬ ‫لهذا‬ ‫المصاحبة‬ ‫اإلجراءات‬ ‫الوزارة‬ ‫قننت‬ ،‫المغرب‬ ‫أبناء‬ ‫كافة‬ ‫بٌن‬ ‫المساواة‬ ‫مبدأ‬ ‫تكرٌس‬ ‫إلى‬ ‫منها‬ ‫سعٌا‬ ‫و‬
‫دراسٌة‬ ‫مادة‬ ‫كل‬ ‫مستوى‬ ‫على‬ ‫الموحد‬ ً‫الوطن‬ ‫لالمتحان‬ ‫المرجعٌة‬ ‫باألطر‬.
‫الدقة‬ ً‫لتوخ‬ ‫ذلك‬ ‫و‬ ،‫النظام‬ ‫هذا‬ ‫مقتضٌات‬ ‫تطبٌق‬ ‫تشوب‬ ً‫الت‬ ‫االختالالت‬ ‫تصحٌح‬ ‫و‬ ‫لمراجعة‬ ‫وزارٌة‬ ‫مذكرات‬ ‫عدة‬ ‫صدرت‬ ‫الحٌن‬ ‫ذلك‬ ‫منذ‬ ‫و‬
‫عالمٌة‬ ‫جودة‬ ‫و‬ ‫مصداقٌة‬ ‫ذات‬ ‫المغربٌة‬ ‫البكالورٌا‬ ‫شهادة‬ ‫من‬ ‫تجعل‬ ً‫الت‬ ‫الظروف‬ ً‫ف‬ ‫العملٌة‬ ‫مرور‬ ‫ضمان‬ ‫و‬ ‫الموضوعٌة‬ ‫و‬.
‫بسلكٌها‬ ‫الرٌاضٌة‬ ‫العلوم‬ ‫بشعبة‬ ‫الخاص‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ً‫ف‬ ‫الموحد‬ ً‫الوطن‬ ‫االمتحان‬(‫أ‬)‫و‬(‫ب‬)‫الذي‬ ‫التلمٌذ‬ ‫طبٌعة‬ ً‫ه‬ ‫و‬ ‫حقٌقٌة‬ ‫إشكالٌة‬ ‫أمام‬ ‫ٌضعنا‬ ،
‫بنجاح‬ ‫االمتحان‬ ‫ٌجتاز‬.‫المفكر‬ ‫التلمٌذ‬ ‫هو‬ ‫هل‬ ‫أم‬ ‫مسبقا؟‬ ‫له‬ ‫بٌعت‬ ‫قد‬ ‫بضاعة‬ ‫ٌرد‬ ‫و‬ ‫الحل‬ ً‫ف‬ ‫اآلخرٌن‬ ‫طرق‬ ‫ٌجتر‬ ‫الذي‬ ً‫المٌكانٌك‬ ‫و‬ ً‫اآلل‬ ‫التلمٌذ‬ ‫هو‬ ‫هل‬
‫االستدراكٌة؟‬ ‫الدورات‬ ‫إلى‬ ‫هذا‬ ‫سلوكه‬ ‫به‬ ً‫ٌنته‬ ‫ما‬ ‫غالبا‬ ‫الذي‬ ‫و‬ ً‫لٌال‬ ‫و‬ ‫أٌاما‬ ‫الرٌاضٌاتٌة‬ ‫المسائل‬ ً‫ف‬ ‫المتأمل‬ ‫و‬ ‫المتعمق‬
‫ذاك‬ ‫و‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫ٌأخذ‬ ‫الذي‬ ‫هو‬ ‫السلٌم‬ ‫التلمٌذ‬ ‫أن‬ ‫أرى‬.‫الوقت‬ ‫تضٌٌع‬ ‫لتفادي‬ ‫الرٌاضٌات‬ ً‫ف‬ ً‫كالسٌك‬ ‫و‬ ‫تقلٌدي‬ ‫هو‬ ‫ما‬ ‫ٌحفظ‬ ‫فهو‬:‫بذلك‬ ‫أقصد‬ ‫و‬
‫التقلٌدٌة‬ ‫التمارٌن‬ ‫بعض‬ ‫على‬ ‫اإلجابة‬ ‫منهجٌات‬ ‫بعض‬ ‫و‬ ‫الخوارزمٌات‬.‫مرة‬ ‫ألول‬ ‫ربما‬ ‫وضعت‬ ً‫الت‬ ‫و‬ ‫الغرٌبة‬ ‫األسئلة‬ ً‫ف‬ ‫ٌتأمل‬ ‫و‬.
‫ساعات‬ ‫أربع‬ ‫ٌتعدى‬ ‫ال‬ ً‫زمن‬ ‫ظرف‬ ً‫ف‬ ‫ٌستطٌع‬ ‫ما‬ ‫بإنجاز‬ ‫مطالبا‬ ‫التلمٌذ‬ ‫ٌكون‬ ‫تمارٌن‬ ‫خمسة‬ ‫أو‬ ‫أربعة‬ ‫األحٌان‬ ‫غالب‬ ً‫ف‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫موضوع‬ ‫ٌضم‬.
‫األول‬ ‫التمرين‬:‫التبادلٌة‬ ‫و‬ ‫االستقرار‬ ‫و‬ ‫الجسم‬ ‫و‬ ‫الحلقة‬ ‫و‬ ‫الزمرة‬ ‫مفاهٌم‬ ‫مع‬ ‫التعامل‬ ‫على‬ ‫قدرتهم‬ ً‫ف‬ ‫التالمٌذ‬ ‫ٌمتحن‬ ‫و‬ ‫الجبرٌة‬ ‫بالبنٌات‬ ‫عادة‬ ‫ٌتعلق‬
‫المصفوفات‬ ‫كمجموعة‬ ‫اعتٌادٌة‬ ‫غٌر‬ ‫مجموعات‬ ً‫ف‬ ‫معادالت‬ ‫حل‬ ‫و‬ ‫الجزئٌة‬ ‫الزمرة‬ ‫و‬ ‫التشاكل‬ ‫و‬.
‫الثاني‬ ‫التمرين‬:‫بعض‬ ‫بحل‬ ‫ذلك‬ ‫ربط‬ ‫و‬ ً‫المثلث‬ ‫و‬ ‫الجبري‬ ‫شكلٌه‬ ً‫ف‬ ‫العقدي‬ ‫العدد‬ ‫مع‬ ‫التعامل‬ ‫على‬ ‫قدرتهم‬ ً‫ف‬ ‫التالمٌذ‬ ‫ٌمتحن‬ ‫و‬ ‫العقدٌة‬ ‫باألعداد‬ ‫عادة‬ ‫ٌتعلق‬
‫العقدي‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ ً‫التحاك‬ ‫و‬ ‫الدوران‬ ‫و‬ ‫اإلزاحة‬ ‫توظف‬ ً‫الت‬ ‫الهندسٌة‬ ‫المسائل‬.ً‫تستدع‬ ‫عقدٌة‬ ‫دراسة‬ ً‫ف‬ ‫المخروطٌات‬ ‫إدراج‬ ‫األحٌان‬ ‫بعض‬ ً‫ف‬ ‫ٌتم‬ ‫قد‬ ‫و‬
‫ممٌزاتهم‬ ‫و‬ ‫الدائرة‬ ‫و‬ ‫الهذلول‬ ‫و‬ ‫االهلٌلج‬ ‫من‬ ‫التمكن‬ ‫التلمٌذ‬ ‫من‬.
‫الثالث‬ ‫التمرين‬:‫مبرهنات‬ ‫استحضار‬ ‫التلمٌذ‬ ‫على‬ ‫ٌجب‬ ً‫الت‬ ‫األسئلة‬ ‫بعض‬ ‫تقترح‬ ‫عندها‬ ‫و‬ ‫الحسابٌات‬ ً‫ف‬ ‫تمرٌن‬ ‫ٌضم‬ ‫قد‬𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠‫و‬𝐹𝑒𝑟𝑚𝑎𝑡
‫و‬𝐵𝑒𝑧𝑜𝑢𝑡‫حلها‬ ً‫ف‬.‫بتردٌد‬ ‫بالموافقة‬ ‫الحساب‬ ‫تقنٌات‬ ‫بضبط‬ ‫مطالبٌن‬ ‫التالمٌذ‬ ‫ٌكون‬ ‫كما‬.ً‫ف‬ ‫َّزة‬ٌَ‫م‬ُ‫م‬ ‫معادالت‬ ‫حل‬ ‫هو‬ ‫و‬ ‫عام‬ ‫هدف‬ ً‫ف‬ ‫ذلك‬ ‫كل‬ ‫ٌوظف‬ ‫و‬
℞2
‫و‬℞ 𝑛℞ً‫ف‬ ‫األعداد‬ ‫من‬ ‫معٌن‬ ‫نوع‬ ‫دراسة‬ ‫أو‬ℕً‫ف‬ ‫أو‬℞.
‫سلٌمة‬ ‫بطرق‬ ‫العشوائٌة‬ ‫التجارب‬ ‫نمذجة‬ ‫و‬ ‫التفكٌر‬ ً‫ف‬ ‫التجرٌدٌة‬ ‫كفاءته‬ ‫استحضار‬ ‫التلمٌذ‬ ‫على‬ ‫ٌتحتم‬ ‫فٌها‬ ‫و‬ ‫باالحتماالت‬ ‫الثالث‬ ‫التمرٌن‬ ‫ٌتعلق‬ ‫قد‬ ‫و‬.‫ٌجب‬ ‫كما‬
‫التمرٌن‬ ً‫ف‬ ‫المقترحة‬ ‫االحتمالٌة‬ ‫الفضاءات‬ ً‫ف‬ ‫الحساب‬ ‫قواعد‬ ‫حفظ‬ ‫التالمٌذ‬ ‫على‬:ً‫الرٌاض‬ ‫األمل‬ ‫و‬ ‫االستقاللٌة‬ ‫و‬ ً‫رط‬َّ‫ش‬‫ال‬ ‫االحتمال‬ ‫بذلك‬ ‫أقصد‬ ‫و‬
‫المغاٌرة‬ ‫و‬.
‫الرابع‬ ‫التمرين‬(‫و‬‫الخامس‬‫وجد‬ ‫إن‬):‫حلول‬ ‫دراسة‬ ‫أو‬ ،ً‫الحقٌق‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ ‫عددٌة‬ ‫دالة‬ ‫تمثٌل‬ ‫األحٌان‬ ‫غالب‬ ً‫ف‬ ‫تعالج‬ ً‫ه‬ ‫و‬ ‫التحلٌل‬ ً‫ف‬ ‫مسألة‬ ‫ٌضم‬
‫بتكامل‬ ‫معرفة‬ ‫دالة‬ ‫دراسة‬ ‫أو‬ ‫تكامل‬ ‫حساب‬ ‫أو‬ ‫متتالٌة‬ ‫تقارب‬ ‫دراسة‬ ‫أو‬ ،‫معادلة‬.‫األساسٌة‬ ‫المبرهنات‬ ‫الدراسة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫توظف‬ ‫و‬:𝑅𝑜𝑙𝑙𝑒‫و‬𝑇𝐴𝐹
‫و‬𝑇𝑉𝐼‫التقارب‬ ‫و‬ ‫المتتالٌات‬ ‫مع‬ ‫التعامل‬ ‫و‬ ‫الرتابة‬ ‫دراسة‬ ‫و‬ ‫النهاٌات‬ ‫حساب‬ ‫و‬ ‫التأطٌر‬ ‫تقنٌات‬ ‫و‬.
‫متسلسلة‬ ‫فٌها‬ ‫األسئلة‬ ‫و‬ ‫متكاملة‬ ‫عادة‬ ‫تكون‬ ‫المسألة‬ ‫ألن‬ ‫السابقة‬ ‫األسئلة‬ ‫نتائج‬ ‫استغالل‬ ‫على‬ ‫التمرن‬ ‫دائما‬ ‫ٌجب‬ ‫بالتحلٌل‬ ‫المتعلقة‬ ‫المسألة‬ ً‫ف‬
‫مترابطة‬ ‫و‬.‫قابلة‬ ‫غٌر‬ ‫تكون‬ ‫أن‬ ‫بشرط‬ ‫النتائج‬ ‫بعض‬ ‫صحة‬ ‫من‬ ‫التأكد‬ ً‫ف‬ ‫تساعد‬ ‫ألنها‬ ، ‫العادٌة‬ ‫الحاسبة‬ ‫اآللة‬ ‫استعمال‬ ‫على‬ ‫التدرب‬ ‫التالمٌذ‬ ‫على‬ ‫ٌجب‬ ‫كما‬
‫للبرمجة‬.‫شٌئا‬ ‫البرهان‬ ‫من‬ ‫عنك‬ ًِ‫ن‬ْ‫غ‬ُ‫ت‬ ‫ال‬ ً‫فه‬ ‫كذلك‬ ‫كانت‬ ‫إن‬ ‫حتى‬ ‫و‬.‫إلى‬ ‫ٌؤول‬ ‫تفكٌرك‬ ‫دام‬ ‫ما‬ ‫أنه‬ ‫األخٌر‬ ً‫ف‬ ‫اعلم‬ ‫و‬20‫علٌها‬ ‫تحصل‬ ‫سوف‬ ً‫الت‬ ‫النقط‬ ‫فإن‬
‫الصفر‬ ‫إلى‬ ‫تؤول‬ ‫و‬ ‫متقاربة‬ ‫متتالٌة‬ ‫شكل‬ُ‫ت‬.‫غالب‬ ً‫ف‬ ‫تضم‬ ً‫الت‬ ‫اإلستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫على‬ ‫حال‬ُ‫ت‬ ‫أن‬ ‫من‬ ‫خٌر‬ ‫العادٌة‬ ‫الدورة‬ ً‫ف‬ ‫جٌد‬ ‫معدل‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫إن‬
‫ساعات‬ ‫أربع‬ ً‫ف‬ ‫إنجازه‬ ‫مستحٌال‬ ‫منها‬ ‫بعضا‬ ‫أرى‬ ‫أكاد‬ ‫تمارٌن‬ ‫األحٌان‬.‫االستدراكٌة‬ ‫الدورة‬ ‫موضوع‬ ‫هنا‬ ‫أستحضر‬ ‫و‬2007.
‫العام‬ ‫الصالح‬ ‫لخدمة‬ ‫بداٌة‬ ً‫التطوع‬ ‫العمل‬ ‫هذا‬ ‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫القدٌر‬ ً‫العل‬ ‫هللا‬ ‫أسأل‬.‫هللا‬ ‫عبد‬ ‫بن‬ ‫محمد‬ ‫نبٌنا‬ ‫على‬ ‫صالة‬ ‫الختام‬ ‫أجعل‬ ‫و‬:‫محمد‬ ‫على‬ ‫صل‬ ‫فاللهم‬
‫آله‬ ‫و‬.‫بركاته‬ ‫و‬ ‫هللا‬ ‫رحمة‬ ‫و‬ ‫علٌكم‬ ‫السالم‬ ‫و‬.

3. ‫املوحد‬ ‫الوطين‬ ‫اإلمتحان‬
‫البكالوريا‬ ‫شهادة‬ ‫لنيل‬
‫العادية‬ ‫الدورة‬2003
‫األول‬ ‫انتمشٌه‬:(3,0‫ن‬)
1
‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
‫د‬
2
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
1,00‫ن‬
0,75‫ن‬
٢‫ك‬ ‫ٗؼزجش‬ℕ∗ 2
‫أُؼبدُخ‬𝐸‫ا٥ر٤خ‬:𝐸 ∶ 𝑥2
𝑥2
+ 7 = 𝑦 2𝑥 + 𝑦
‫املغربية‬‫اململكة‬
‫لي‬‫ا‬‫لع‬‫ا‬‫لتعليم‬‫ا‬ ‫و‬ ‫لوطنية‬‫ا‬ ‫لرتبية‬‫ا‬ ‫وزارة‬
‫لعلمي‬‫ا‬ ‫لبحث‬‫ا‬‫و‬ ‫األطر‬‫ين‬‫و‬‫تك‬‫و‬
‫نات‬‫ا‬‫اإلمتح‬‫و‬ ‫يم‬‫و‬‫للتق‬ ‫لوطين‬‫ا‬ ‫املركس‬
‫الرياضيات‬ ‫مادة‬
‫ب‬ ‫و‬ ‫أ‬ ‫الرياضية‬ ‫العلوم‬ ‫مسلك‬
‫املعامل‬10
‫اإلجناز‬ ‫مدة‬:‫ساعات‬ ‫أربع‬
‫به‬ ‫مسموح‬ ‫للبرمجة‬ ‫القابلة‬ ‫الغير‬ ‫الحاسبة‬ ‫استعمال‬
ٌٖ٤ُ𝑥, 𝑦ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬ℕ∗ 2
ٌٖ٤ُ ٝ𝛿ٖ٣‫ُِؼذد‬ ‫األًجش‬ ‫أُشزشى‬ ْ‫اُوبع‬𝑥ٝ𝑦
‫ٗؼغ‬:𝑥 = 𝛿𝑎ٝ𝑦 = 𝛿𝑏
ٕ‫أ‬ ‫ٗلزشع‬𝑥, 𝑦‫ُِٔؼبدُخ‬ َ‫ؽ‬𝐸.
ٕ‫أ‬ ‫رؾون‬:𝑎2
𝛿2
𝑎2
+ 7 = 𝑏 2𝑎 + 𝑏
٢‫ؽج٤ؼ‬ ‫طؾ٤ؼ‬ ‫ػذد‬ ‫٣ٞعذ‬ ٚٗ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬𝑘‫ثؾ٤ش‬:𝛿2
𝑎2
+ 7 = 𝑘𝑏ٝ2𝑎 + 𝑏 = 𝑘𝑎2
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝑎 = 1
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:𝑏 + 1 2
= 𝛿2
+ 8
٢‫ك‬ َ‫ؽ‬ℕ∗ 2
‫أُؼبدُخ‬𝐸.
ً‫انثاو‬ ‫انتمشٌه‬:(3,5‫ن‬)
ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٠ُ‫ا‬ ‫ٓ٘غٞة‬ ٟٞ‫أُغز‬𝒪, 𝑖, 𝑗
٠٘‫أُ٘ؾ‬ ‫ٗؼزجش‬ٚ‫ٓؼبدُز‬ ١‫اُز‬:𝑦 =
3
4
16 − 𝑥2
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝐸ٙ‫رؾذ٣ذ‬ ْ‫٣ز‬ ‫اِٛ٤ِظ‬ ٖٓ ‫عضء‬.
٠٘‫أُ٘ؾ‬ ْ‫أسع‬𝐸.
ٌٖ‫ُز‬𝐴ٝ𝐵‫ٛٔب‬ ٢ُ‫اُزٞا‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫اؽذاص٤ز٤ٜٔب‬ ‫صٝعب‬ ٖ٤‫اُِز‬ ٖ٤‫اُ٘وطز‬:4; 0ٝ0; 3
‫اُ٘وطخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝑀1ٖٓ𝐸‫أكظُٜٞب‬ ٢‫اُز‬𝑥1‫ؽ٤ش‬𝑥1ٍ‫أُغب‬ ٠ُ‫ا‬ ٢ٔ‫٣٘ز‬0; 4.
‫ٗؼغ‬:𝑥1 = 4 cos 𝑡1‫ؽ٤ش‬:0 ≤ 𝑡1 ≤
𝜋
2
٢‫ا٥ر‬ َٓ‫اُزٌب‬ ‫ٗؼزجش‬ ٝ:
‫ثٞػغ‬ ‫رُي‬ ٝ ‫أُزـ٤ش‬ ‫ثزـ٤٤ش‬ ‫أٌُبِٓخ‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬𝑥 = 4 cos 𝑡‫ؽ٤ش‬:0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝐼 𝑥1 = 6𝑡1 − 3 sin 2𝑡1
ٌٖ‫ُز‬𝑆 𝑥1ٖ٤ٔ٤‫أُغزو‬ ٖ٤‫ث‬ ‫أُؾظٞس‬ ‫اُغطؼ‬ ‫ٓغبؽخ‬𝑂𝐴ٝ𝑂𝑀1٠٘‫أُ٘ؾ‬ ٝ𝐸.
𝐼 𝑥1 =
3
4
16 − 𝑥2
4
𝑥1
𝑑𝑥
1‫أ‬
‫ب‬
2
‫أ‬
‫ب‬
0,75‫ن‬
0,75‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,75‫ن‬
𝐸
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:002

4. ‫انثانث‬ ‫انتمشٌه‬:(4,5‫ن‬)
1
‫أ‬
‫ج‬
2
3
‫األول‬ ‫اجلزء‬
‫الثاني‬ ‫اجلزء‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
ٌٖ‫ُز‬ ٝ𝑆ٖ٤ٔ٤‫أُغزو‬ ٖ٤‫ث‬ ‫أُؾظٞس‬ ‫اُغطؼ‬ ‫ٓغبؽخ‬𝑂𝐴ٝ𝑂𝐵٠٘‫أُ٘ؾ‬ ٝ𝐸
‫اُ٘وطخ‬ ‫أسرٞة‬ ٕ‫أ‬ ‫رؾون‬𝑀1ٞٛ3 sin 𝑡1
‫أؽغت‬𝑆 𝑥1‫ثذالُخ‬𝑡1.
‫ه٤ٔخ‬ ‫اعز٘زظ‬𝑆.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝑆 𝑥1 =
1
2
𝑆 ⟺ 𝑡1 =
𝜋
4
٢‫اؽذاص٤ز‬ ‫ؽذد‬𝑀1ِْ‫أُؼ‬ ٢‫ك‬𝒪; 𝒪𝐴; 𝒪𝐵‫ؽبُخ‬ ٢‫ك‬:𝑡1 =
𝜋
4
ٌَُ𝑎, 𝑏ٖٓℝ2
‫أُظلٞكخ‬ ‫ٗؼزجش‬:
( ℝ , +,×)M2 ٕ‫أ‬ ‫ٗزًش‬‫ٝاؽذ٣خ‬ ‫ؽِوخ‬.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝐸, +,×‫ٝاؽذ٣خ‬ ‫رجبدُ٤خ‬ ‫ؽِوخ‬.
ٖ٤٤‫ؽو٤و‬ ٖ٣‫ػذد‬ ٌَُ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑥ٝ𝑦‫ُذ٣٘ب‬:𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
= 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦 = 0
‫اُؾِوخ‬ ٢‫ك‬ ‫ٓوِٞثب‬ َ‫روج‬ ٢‫اُز‬ ‫اُؼ٘بطش‬ ‫ؽذد‬𝐸, +,×
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:𝐸, +,×٢ُ‫رجبد‬ ْ‫عغ‬.
ٌٖ٤ُ𝜎٠ُ‫ا‬ ٢ٔ‫٣٘ز‬ ‫ال‬ ‫ػوذ٣ب‬ ‫ػذدا‬ℝ.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬1, 𝜎٢‫اُؾو٤و‬ ٢ٜ‫أُزغ‬ ‫ُِلؼبء‬ ‫أعبط‬ℂ, +,∙
‫اُزطج٤ن‬ ‫ٗؼزجش‬𝜓ٖٓ ‫أُؼشف‬𝐸ٞ‫ٗؾ‬ℂ٢ِ٣ ‫ثٔب‬:
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝜓ٖٓ ٢ِ‫روبث‬ ًَ‫رشب‬𝐸, +ٞ‫ٗؾ‬ℂ, +
٢‫ك‬ ‫ٗؼزجش‬ℂ‫أُؼبدُخ‬:𝑧2
− 𝑧 + 1 = 0
٢‫أُضِض‬ ٌَ‫اُش‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ؽِ٤ٜب‬ ‫اًزت‬ ٝ ‫أُؼبدُخ‬ ٙ‫ٛز‬ ‫اُؼوذ٣خ‬ ‫األػذاد‬ ‫ٓغٔٞػخ‬ ٢‫ك‬ َ‫ؽ‬
ٕ‫أ‬ ٍ‫اُغئا‬ ‫ٛزا‬ ٢‫ك‬ ‫ٗلزشع‬:𝜎 =
1
2
+ 𝑖
3
2
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝜓ٖٓ ًَ‫رشب‬𝐸,×ٞ‫ٗؾ‬ℂ,×
𝑀 𝑎,𝑏 =
𝑎 + 𝑏 −𝑏
𝑏 𝑎
𝜓 ∶ 𝐸 → ℂ
𝑀 𝑎,𝑏 → 𝑎 + 𝜎𝑏
( ℝ , +)M2 ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬ٖٓ ٝ( ℝ ,×)M2
‫و‬
‫هـ‬
‫د‬
‫ب‬
‫ب‬
‫ج‬
1
2
3
4
0,25‫ن‬
0,75‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,75‫ن‬
0,75‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
(ℝ)M2 ٢‫ك‬
ٌٖ‫ُز‬𝐸‫ا٥ر٤خ‬ ‫أُظلٞكبد‬ ‫ٓغٔٞػخ‬:𝐸 = 𝑀 𝑎,𝑏 ∕ 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ2
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:003

5. ‫انشاتغ‬ ‫انتمشٌه‬:(9,0‫ن‬)
1
‫أ‬
‫ب‬
‫د‬
2
4
5
0,75‫ن‬
0,50‫ن‬
0,75‫ن‬
0,25‫ن‬
7
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ٍٝ‫عذ‬ ‫اػؾ‬𝑓.
‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬ٖ٤‫ٓخزِل‬ ٖ٤ِ‫ؽ‬ ‫ثبُؼجؾ‬ َ‫روج‬𝛼ٝ𝛽‫ثؾ٤ش‬:1 < 𝛼 < 𝑒 < 𝛽 < 3
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ‫أدسط‬𝑓𝑛.
ٕ‫هبس‬ٝ𝑓𝑛+1 𝑥ْ٤‫ه‬ ‫ؽغت‬𝑥.
‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬ٖ٤‫ٓخزِل‬ ٖ٤ِ‫ؽ‬ ‫ثبُؼجؾ‬ َ‫روج‬𝑢 𝑛ٝ𝑣𝑛‫ثؾ٤ش‬:1 < 𝑢 𝑛 < 𝑒 < 𝑣𝑛
‫أُززبُ٤خ‬ ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬𝑢 𝑛 𝑛≥4‫ٜٗب٣زٜب‬ ‫ٓؾذدا‬ ‫ٓزوبسثخ‬
ٌٖ‫ُز‬𝑓٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬0; +∞٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝑓 𝑥 =
4 ln 𝑥
𝑥2
−
1
2
ٌٖ٤ُ ٝ‫اُذاُخ‬ ٠٘‫ٓ٘ؾ‬𝑓ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٢‫ك‬𝒪, 𝑖, 𝑗ٚ‫ٝؽذر‬:𝑖 = 𝑗 = 2 𝑐𝑚 C
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓′
𝑥 = 4
1 − 2 ln 𝑥
𝑥3
‫أُٔبط‬ ‫ٓؼبدُخ‬ ‫ؽذد‬𝑇٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬‫أكظُٜٞب‬ ٢‫اُز‬ ‫اُ٘وطخ‬ ٢‫ك‬1 C
ْ‫أسع‬C
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀ 𝑡 𝜖 0; +∞ ; 1 − 𝑡 ≤
1
1 + 𝑡
≤ 1
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:∀ 𝑎 𝜖 0; +∞ ; 𝑎 −
𝑎2
2
≤ ln 1 + 𝑎 ≤ 𝑎
‫طؾ٤ؼ‬ ‫ػذد‬ ٌَُ𝑛‫ثؾ٤ش‬𝑛 ≥ 4‫اُذاُخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝑓𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬0; +∞٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝑓𝑛 𝑥 =
𝑛 𝑙𝑛 𝑥
𝑥2
−
1
2
ٌٖ٤ُ ٝ‫ُِذاُخ‬ َ‫أُٔض‬ ٠٘‫أُ٘ؾ‬𝑓𝑛ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٢‫ك‬. 𝑛C
٠٘‫أُ٘ؾ‬ ‫روؼش‬ ‫أدسط‬‫أكظُٜٞب‬ ‫اٗؼطبف‬ ‫ٗوطخ‬ َ‫٣وج‬ ٚٗ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬ ٝ𝑒
5
6
𝑛C
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑢 𝑛 𝑛≥4ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ٓغزؼٔال‬ ‫هطؼب‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ ‫ٓززبُ٤خ‬3
ٍ‫ثبعزؼٔب‬𝐼𝐼ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬: 2∀𝑛 ≥ 4 ;
𝑢 𝑛 − 1 3 − 𝑢 𝑛
2
≤ ln 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛 − 1
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:∀𝑛 ≥ 4 ;
𝑢 𝑛
2
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑢 𝑛
2
𝑛 3 − 𝑢 𝑛
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀𝑛 ≥ 4 ;
1
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑒
𝑛
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀𝑛 ≥ 4 ; 𝑒
5
6 < 𝑣𝑛
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:lim
𝑛∞
𝑣𝑛 = +∞
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 ‫أؽغت‬:ٝ٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬ ٖ٤٤‫اُالٜٗبئ‬ ٖ٤‫اُلشػ‬ ‫ؽذد‬ ْ‫ص‬.C
𝑰
1
2
‫ب‬
3
4
𝑰𝑰1
𝑰𝑰𝑰
2
3‫أ‬
5
6‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
‫أ‬
‫ب‬
0,50‫ن‬
0,75‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
𝑓 𝑥 = 0
𝑓𝑛 𝑥
𝑓𝑛 𝑥 = 0
ٝ ٖ٤٤٘‫ُِٔ٘ؾ‬ ٢‫اُ٘غج‬ ‫اُٞػغ‬ ‫اعز٘زظ‬. 𝑛Cn+1C
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:004

6. ‫ُذ٣٘ب‬𝑥, 𝑦‫ُِٔؼبدُخ‬ َ‫ؽ‬𝐸.
‫األول‬ ‫التمرين‬:(3,0‫ن‬)
∎
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟎𝟓 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
1‫أ‬
∎1
‫ُذ٣٘ب‬:𝑥 ∧ 𝑦 = 𝛿
‫اُ٘ز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ∗:𝑏 ∕ 𝑎2
𝛿2
𝑎2
+ 7
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ𝑎2
∧ 𝑏 = 1‫اُ٘ز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ٝرُي‬1
‫ؽغت‬ ٚٗ‫كب‬𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠:𝑏 ∕ 𝛿2
𝑎2
+ 7
ٚ٘ٓ ٝ:∃𝑘𝜖℞ ∶ 𝛿2
𝑎2
+ 7 = 𝑘𝑏
∎1
‫اٌُزبثخ‬ ٖٓ ‫ٗ٘طِن‬:𝑘𝑎2
= 2𝑎 + 𝑏
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ:𝑎 ∧ 𝑏 = 1‫ؽغت‬ ٚٗ‫كب‬𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠:𝑎 ∕ 1
ْ‫٣وغ‬ ١‫اُز‬ ‫اُٞؽ٤ذ‬ ٢‫اُطج٤ؼ‬ ‫اُظؾ٤ؼ‬ ‫اُؼذد‬ ٕ‫أ‬ ِْ‫ٗؼ‬ ٝ1ٞٛ1ٚ‫ٗلغ‬
‫ج‬
‫ٗؼٞع‬𝑎‫ثبُؼذد‬1‫أُؼبدُخ‬ ٢‫ك‬∗‫ٗغذ‬:𝛿2
+ 7 = 𝑏 2 + 𝑏
∎1‫د‬
‫ب‬
∎2
‫اٌُزبثخ‬ ٖٓ ‫ٗ٘طِن‬:𝑏 + 1 2
= 𝛿2
+ 8
‫حاالخ‬ ‫أستغ‬ ‫تٍه‬ ‫هىا‬ ‫وفصم‬:
‫األونى‬ ‫انحانح‬:
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬:
‫انثانثح‬ ‫انحانح‬:
‫انشاتؼح‬ ‫انحانح‬:
⟺ 𝑥2
𝑥2
+ 7 = 𝑦 2𝑥 + 𝑦
⟺ 𝛿𝑎 2
𝛿𝑎 2
+ 7 = 𝛿𝑏 2𝛿𝑎 + 𝛿𝑏
⟺ 𝑎2
𝛿2
𝑎2
+ 7 = 𝑏 2𝑎 + 𝑏 ∗
⟺ 𝛿𝑎 ∧ 𝛿𝑏 = 𝛿
⟺ 𝑎 ∧ 𝑏 = 1
⟺ 𝑎2
∧ 𝑏 = 1 1
𝑘𝑏𝑎2
= 𝑏 2𝑎 + 𝑏
⟺ 𝑘𝑎2
= 2𝑎 + 𝑏
⟺ 𝑎 𝑘𝑎 − 2 = 𝑏
⟹ 𝑎 ∕ 𝑏
⟹ 𝑎 ∕ 1𝑏
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝑎 = 1
⟺ 𝑏 + 1 2
− 𝛿2
= 8
⟺ 𝑏 + 1 − 𝛿 𝑏 + 1 + 𝛿 = 8
𝑏 + 1 − 𝛿 = −8
𝑏 + 1 + 𝛿 = −1
⟺
𝑏 =
−11
2
𝛿 =
7
2
⟺
𝑥 =
7
2
∉ ℕ
𝑦 =
−77
4
∉ ℕ
𝑏 + 1 − 𝛿 = 8
𝑏 + 1 + 𝛿 = 1
⟺
𝑏 =
7
2
𝛿 =
−7
2
⟺
𝑥 =
−7
2
∉ ℕ
𝑦 =
−49
4
∉ ℕ
𝑏 + 1 − 𝛿 = 4
𝑏 + 1 + 𝛿 = 2
⟺
𝑏 = 2
𝛿 = −1
⟺
𝑥 = −1 ∉ ℕ
𝑦 = −2 ∉ ℕ
𝑏 + 1 − 𝛿 = −4
𝑏 + 1 + 𝛿 = −2
⟺
𝑏 = −4
𝛿 = 1
⟺
𝑥 = 1 𝜖 ℕ
𝑦 = −4 ∉ ℕ
ٝ‫أ‬
𝑏 + 1 − 𝛿 = −2
𝑏 + 1 + 𝛿 = −4
⟺
𝑥 = −1 ∉ ℕ
𝑦 = 4 𝜖 ℕ
⟺
𝑏 = −4
𝛿 = −1
𝑏 + 1 − 𝛿 = 2
𝑏 + 1 + 𝛿 = 4
⟺
𝑏 = 2
𝛿 = 1
⟺
𝑥 = 1 𝜖 ℕ
𝑦 = 2 𝜖 ℕ
𝑏 + 1 − 𝛿 = 1
𝑏 + 1 + 𝛿 = 8
⟺
𝑏 =
7
2
𝛿 =
7
2
⟺
𝑥 =
7
2
∉ ℕ
𝑦 =
49
4
∉ ℕ
𝑏 + 1 − 𝛿 = −1
𝑏 + 1 + 𝛿 = −8
⟺
𝑏 =
−11
2
𝛿 =
−7
2
⟺
𝑥 =
−7
2
∉ ℕ
𝑦 =
77
4
∉ ℕ
ٝ‫أ‬
ٝ‫أ‬
ٝ‫أ‬
‫أُؼبدُخ‬ ٢‫ك‬∗‫اُزؼج٤ش‬ ‫ٗؼٞع‬‫ثبُزؼج٤ش‬𝑘𝑏‫ٗغذ‬: 𝛿2
𝑎2
+ 7
⟺ 𝛿2
+ 7 = 𝑏2
+ 2𝑏
⟺ 𝛿2
+ 7 + 1 = 𝑏2
+ 2𝑏 + 1
⟺ 𝛿2
+ 8 = 𝑏 + 1 2

7. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟎𝟔 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
∎
‫الثاني‬ ‫التمرين‬:(3,5‫ن‬)
1‫أ‬
‫اشبسح‬ ٢ُ‫اُزب‬ ٍٝ‫اُغذ‬ ٖ٤‫٣ج‬ ٝ:16 − 𝑥2
= 4 − 𝑥 4 + 𝑥
‫اُزؼج٤ش‬ ٕ‫ار‬ ٌٕٞ٣16 − 𝑥2ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬ ‫َّكب‬‫ش‬َ‫ؼ‬ُٓ𝑥 𝜖 −4;4
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑦 =
3
4
16 − 𝑥2 ≥ 0
ٚ‫سإٝع‬ ٝ𝐴 4,0ٝ𝐴′ −4,0ٝ𝐵 0,3ٝ𝐵′ 0, −3
ٕ‫ار‬:𝐸ٙ‫ٓشًض‬ ١‫اُز‬ ‫ُإلِٛ٤ِظ‬ ١ِٞ‫اُؼ‬ ‫اُ٘ظق‬ ٞٛ𝒪
ٙ‫ثئسرب‬ ٝ:𝐹 7; 0ٝ𝐹′ − 7; 0
∎1‫ب‬
‫ٗؼغ‬:𝑥 = 4 cos 𝑡ٕ‫ار‬:𝑑𝑥 = −4 sin 𝑡 𝑑𝑡
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 = 𝑥1ٕ‫كب‬:𝑡 = 𝑡1ٕ‫أل‬:𝑥1 = 4 cos 𝑡1
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 = 4ٕ‫كب‬:𝑡 = 0ٕ‫أل‬:0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
ٕ‫ار‬:
‫أُضِض٤خ‬ ‫اُذاُخ‬ ‫ثبخطبؽ‬ ‫رُي‬ ٝ𝑡 → sin2
𝑡
∎‫ب‬ 2
‫ُذ٣٘ب‬𝑀1ٖٓ ‫ٗوطخ‬𝐸‫أكظُٜٞب‬ ٝ𝑥1.
ٕ‫ار‬:‫أسرٞثٜب‬𝑦1٢ِ٣ ‫ٓب‬ ‫٣ؾون‬:
⟹ 𝑦2
=
9
16
16 − 𝑥2
⟹ 𝑦2
+
9
16
𝑥2
= 9
⟹
𝑥2
42
+
𝑦2
32
= 1 ; 𝑥 𝜖 −4; 4 ; 𝑦 ≥ 0
⟹
𝑥2
42
+
𝑦2
32
= 1
𝓞 𝓲
𝓳
𝐀
𝐁
𝐁′
𝐀′ 𝐅𝐅′
𝐄
‫ُذ٣٘ب‬:𝐼 𝑥1 =
3
4
16 − 𝑥2
4
𝑥1
𝑑𝑥
𝐼 𝑥1 =
3
4
4 sin 𝑡 −4 sin 𝑡
0
𝑡1
𝑑𝑡 = −12 sin2
𝑡
0
𝑡1
𝑑𝑡
ٕ‫أ‬ ِْ‫ٗؼ‬:sin2
𝑡 =
1 − cos 2𝑡
2
ٕ‫ار‬:𝐼 𝑥1 = −12
1 − cos 2𝑡
2
0
𝑡1
𝑑𝑡
⟺ 𝐼 𝑥1 = −12
𝑡
2 𝑡1
0
−
1
2
sin2𝑡
2 𝑡1
0
⟺ 𝐼 𝑥1 = −12
−𝑡1
2
−
1
2
− sin2𝑡1
2
⟺ 𝐼 𝑥1 = 6𝑡1 − 3 sin 2𝑡1
𝑦1 =
3
4
16 − 𝑥1
2
⟺ 𝑦1 =
3
4
16 − 4 cos 𝑡1
2
⟺ 𝑦1 =
3
4
16 1 − cos2 𝑡1
⟺ 𝑦1 =
3
4
16 sin2 𝑡1
⟺ 𝑦1 =
3
4
∙ 4 sin 𝑡1
⟺ 𝑦1 = 3 sin 𝑡1
+∞
4 − 𝑥 +
−4−∞
4 + 𝑥
16 − 𝑥2
4
+ −
−
− −
+
+
+
0
0
0
0
‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ‫اُذساعخ‬ ٙ‫ٛز‬ ٖٓ ‫ٗغز٘زظ‬٢‫ك‬ ‫ٝؽ٤ذا‬ ‫ؽال‬ َ‫روج‬ℕ∗ 2
‫اُضٝط‬ ٞٛ ٝ:𝑥, 𝑦 = 1,2
𝐸
‫اُزؼج٤ش‬ ٌٕٞ٣16 − 𝑥2ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬ ‫َّكب‬‫ش‬َ‫ؼ‬ٓ16 − 𝑥2
≥ 0
∎2‫أ‬

8. ‫ُذ٣٘ب‬:𝒮 𝑥1 = 6𝑡1
‫الثالث‬ ‫التمرين‬:(4,5‫ن‬)
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟎𝟕 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
٢ُ‫اُزب‬ ٌَ‫ثبُش‬ ٖ٤‫ٗغزؼ‬:
∎2‫ج‬
𝓞 𝓲
𝓳
𝐀
𝐁
𝐁′
𝐀′ 𝐅′
𝐄
∎2‫د‬
ٕ‫ار‬:𝒮 = 𝒮 0 =
6𝜋
2
= 3𝜋
∎2‫و‬
∎2‫هـ‬
‫ُذ٣٘ب‬:𝑀1
4 cos 𝑡1
3 sin 𝑡1
٢٘‫٣ؼ‬:𝑂𝑀1 = 4 cos 𝑡1 𝑖 + 3 sin 𝑡1 𝑗
َ‫أع‬ ٖٓ:𝑡1 =
𝜋
4
٠ِ‫ػ‬ َ‫ٗؾظ‬:𝑂𝑀1 = 2 2𝑖 +
3
2
2𝑗
ٕ‫أ‬ ِْ‫ٝٗؼ‬:𝑖 =
1
4
𝑂𝐴ٝ𝑗 =
1
3
𝑂𝐵.
ٕ‫ار‬:𝑂𝑀1 =
2
2
𝑂𝐴 +
2
2
𝑂𝐵
‫اُ٘وطخ‬ ٚ٘ٓ ٝ𝑀1‫ثبُضٝط‬ ‫خ‬َ‫ك‬َّ‫ش‬َ‫ؼ‬ُٓ:
2
2
;
2
2
ِْ‫أُؼ‬ ٢‫ك‬𝒪, 𝒪𝐴, 𝒪𝐵
ٌٖ‫ُز‬𝑀 𝑎, 𝑏ٝ𝑀 𝑐, 𝑑ٖٓ ٖ٤‫ٓظلٞكز‬𝐸
‫ُذ٣٘ب‬:
‫ًزُي‬ ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
‫ُذ٣٘ب‬𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬
ٕ‫ار‬+٢‫ك‬ ٢ِ‫داخ‬ ‫رشً٤ت‬ ٕٞٗ‫هب‬𝐸.
ٕ‫كب‬+٢‫ك‬ ٢‫رغٔ٤ؼ‬ ٝ ٢ُ‫رجبد‬𝐸.
ٕ‫كب‬:𝑀 0,0ِ‫ـ‬ُ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬ ٞٛ+٢‫ك‬𝐸.
∎2 𝑰
∎1 𝑰
𝒕 𝟏
𝐼 𝑥1
𝑴 𝟏
𝒙 𝟏
𝒚 𝟏
ٌَ‫اُش‬ ‫ٛزا‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬:𝒮 𝑥1 = 𝒮 𝒪𝑥1 𝑀1 + 𝐼 𝑥1
=
𝑥1 × 𝑦1
2
+ 𝐼 𝑥1
=
4 cos 𝑡1 × 3 sin 𝑡1
2
+ 𝐼 𝑥1
= 6 cos 𝑡1 sin 𝑡1 + 𝐼 𝑥1
= 3 sin 2𝑡1 + 𝐼 𝑥1
= 3 sin 2𝑡1 + 6𝑡1 − 3 sin 2𝑡1
= 6𝑡1
𝒮 𝑥1 =
1
2
𝒮
⟺ 6𝑡1 =
3𝜋
2
⟺ 𝑡1 =
𝜋
4
𝑀 𝑎, 𝑏 + 𝑀 𝑐, 𝑑 =
𝑎 + 𝑏 −𝑏
𝑏 𝑎
+
𝑐 + 𝑑 𝑑
𝑑 𝑐
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 − 𝑏 + 𝑑
𝑏 + 𝑑 𝑎 + 𝑐
= 𝑀 𝑎 + 𝑐 , 𝑏 + 𝑑 𝜖 𝐸
ٕ‫ار‬:𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬( ℝ , +)M2
𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 =
𝑎 + 𝑏 −𝑏
𝑏 𝑎
𝑐 + 𝑑 −𝑑
𝑑 𝑐
=
𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 − 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑
= 𝑀 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ; 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑 𝜖 𝐸
ٕ‫ار‬:𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬( ℝ ,×)M2
( ℝ , +)M2
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ:+٢‫ك‬ ٢‫رغٔ٤ؼ‬ ٝ ٢ُ‫رجبد‬ℝM2
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ𝑀 0,0ِ‫ـ‬ُ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬ ٞٛ+٢‫ك‬ℝM2

9. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟎𝟖 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
‫ٓظلٞكخ‬ ًَ ٕ‫ار‬𝑀 𝑎, 𝑏ٖٓ𝐸‫ٓٔبصِخ‬ َ‫روج‬𝑀 −𝑎, −𝑏‫ُـ‬ ‫ثبُ٘غجخ‬+
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑀 𝑎, 𝑐 × 𝑀 1,0 = 𝑀 𝑎, 𝑐
ٝ:𝑀 1,0 × 𝑀 𝑎, 𝑐 = 𝑀 𝑎, 𝑐
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
‫اُ٘زبئظ‬ ٖٓ1ٝ2ٝ3ٝ4ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
ٌٖ٤ُ𝑥ٝ𝑦‫ثؾ٤ش‬ ٖ٤٤‫ؽو٤و‬ ٖ٣‫ػذد‬:𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
= 0
‫ػكسٍا‬:ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 = 𝑦 = 0ٕ‫كب‬:𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
= 0
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:
‫ُذ٣٘ب‬:𝑀 𝑎, 𝑏 =
𝑎 + 𝑏 −𝑏
𝑏 𝑎
ٕ‫ار‬:‫أُظلٞكخ‬ ٌٕٞ‫ر‬𝑀 𝑎, 𝑏ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬ ‫ُِوِت‬ ‫هبثِخ‬𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
≠ 0
٢٘‫٣ؼ‬:𝑎 ≠ 0ٝ‫أ‬𝑏 ≠ 0
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:‫أُغٔٞػخ‬ ‫ػ٘بطش‬ ‫عٔ٤غ‬𝐸 ∖ 𝑀 0,0‫ُِوِت‬ ‫هبثِخ‬.
‫أُغٔٞػخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝐸 ∖ 𝑀 0,0 ; ×
‫ُذ٣٘ب‬:×٢‫ك‬ ٢ِ‫داخ‬ ‫رشً٤ت‬ ٕٞٗ‫هب‬𝐸 ∖ 𝑀 0,0
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑀 1,0ِ‫ـ‬ُ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬ ٞٛ×٢‫ك‬𝐸 ∖ 𝑀 0,0
‫ٓٔبصال‬ َ‫٣وج‬ ‫ػ٘ظش‬ ًَ ٝ(‫ٓوِٞثب‬)٢‫ك‬𝐸 ∖ 𝑀 0,0
ٕ‫ار‬:𝐸 ∖ 𝑀 0,0 ; ×‫صٓشح‬.
ٕ‫أ‬ ِْ‫ٗؼ‬ ٝ:𝐸, +‫رجبدُ٤خ‬ ‫صٓشح‬
‫اُ٘زبئظ‬ ٖٓ ٕ‫ار‬5ٝ6ٝ7ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:𝐸, +,×٢ُ‫رجبد‬ ْ‫عغ‬
∎𝑰𝑰1
∎3‫ب‬ 𝑰
ٌٖ٤ُ𝜎٠ُ‫ا‬ ٢ٔ‫٣٘ز‬ ‫ال‬ ‫ػوذ٣ب‬ ‫ػذدا‬ℝ
ٕ‫ار‬:∃𝜎1 𝜖ℝ , ∃𝜎2 𝜖ℝ∗
; 𝜎 = 𝜎1 + 𝑖𝜎2
ٌٖ٤ُ𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦‫ػوذ٣ب‬ ‫ػذدا‬.
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬:𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦ٕ‫كب‬:
𝑥 = 𝑚1 + 𝑚2 𝜎1
𝑦 = 𝑚2 𝜎2
ٚ٘ٓ ٝ:
𝑚1 = 𝑥 −
𝜎1
𝜎2
𝑦 𝜖 ℝ
𝑚2 =
𝑦
𝜎2
𝜖 ℝ
𝑀 𝑎, 𝑏 + 𝑀 −𝑎, −𝑏 = 𝑀 −𝑎, −𝑏 + 𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑀 0,0
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝐸, +‫ص‬‫رجبدُ٤خ‬ ‫ٓشح‬.1
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬:‫ٝاؽذ٣خ‬ ‫ؽِوخ‬. ( ℝ , +,×)M2
ٕ‫كب‬:×٠ِ‫ػ‬ ٢‫رٞص٣ؼ‬ ٝ ٢‫رغٔ٤ؼ‬+٢‫ك‬𝐸.2
ٕ‫ار‬𝑀 1,0ِ‫ـ‬ُ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬ ٞٛ×٢‫ك‬𝐸.3
𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝑀 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ; 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
= 𝑀 𝑐, 𝑑 × 𝑀 𝑎, 𝑏
ٚ٘ٓ ٝ:×٢‫ك‬ ٢ُ‫رجبد‬𝐸.4
⟺
𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
− 𝑥𝑦 = −𝑥𝑦
𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
+ 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦
⟺
𝑥2
+ 𝑦2
= −𝑥𝑦 ≥ 0
𝑥 + 𝑦 2
= 𝑥𝑦 ≥ 0
⟹ 𝑥𝑦 = 0
⟹ 𝑥2
+ 𝑦2
= 0
ٕ‫ار‬:𝑀
𝑥
𝑦‫اُذائشح‬ ٖٓ ‫ٗوطخ‬‫ٓشًضٛب‬ ٢‫اُز‬𝒪‫شؼبػٜب‬ ٝ0
.
C
ٍٞ‫ٗو‬ ٖ٤‫أُج‬ ‫اُؼجش‬ ‫ٛزا‬ ‫إل٣وبف‬ ٝ:𝑥 = 𝑦 = 0
∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2
; 𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
⟺ 𝑥 = 𝑦 = 0
⟹ det 𝑀 𝑎, 𝑏 = 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑀 𝑎, 𝑏
−1
=
1
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎 + 𝑏
=
1
𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2
𝑎 + 𝑏 + −𝑏 − −𝑏
−𝑏 𝑎 + 𝑏
= 𝑀
𝑎 + 𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
;
−𝑏
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2
ٕ‫أل‬:𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬( ℝ ,×)M2
5
6
ٕ‫أ‬ ‫ًزُي‬ ِْ‫ٗؼ‬ ٝ×٠ِ‫ػ‬ ٢‫رٞص٣ؼ‬ ٝ ٢ُ‫رجبد‬+٢‫ك‬𝐸 ∖ 𝑀 0,07
‫ٗؼغ‬:𝑧 = 𝑚1 + 𝑚2 𝜎
⟹ 𝑧 = 𝑚1 + 𝑚2 𝜎1 + 𝑖𝜎2
⟹ 𝑧 = 𝑚1 + 𝑚2 𝜎1 + 𝑖𝑚2 𝜎2
𝐸, +,×‫رجبدُ٤خ‬ ‫ٝاؽذ٣خ‬ ‫ؽِوخ‬.
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ:𝐸ٖٓ ‫عضء‬ℝM2
∎3‫ج‬ 𝑰
∎3‫أ‬ 𝑰

10. 𝑓٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ‫هبثِخ‬ ‫داُخ‬0; +∞ٍ‫اُذٝا‬ ٖٓ ‫رشٌ٤ِخ‬ ٖ‫ػ‬ ‫ػجبسح‬ ‫ألٜٗب‬
٠ِ‫ػ‬ ‫ُألشزوبم‬ ‫اُوبثِخ‬ ٝ ‫أُؼشكخ‬0; +∞
‫الرابع‬ ‫التمرين‬:(9,0‫ن‬)
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟎𝟗 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
٢٘‫٣ؼ‬:∀𝑧𝜖ℂ , ∃ 𝑚1, 𝑚2 𝜖ℝ2
; 𝑧 = 𝑚1 + 𝑚2 𝜎
ٕ‫ار‬1; 𝜎‫ُـ‬ ‫ُٓٞذح‬ ‫أعشح‬ℂ.
ٌٖ‫ُز‬𝑥 + 𝜎𝑦ِ‫ـ‬ُ ‫ٓ٘ؼذٓخ‬ ‫خط٤خ‬ ‫رؤُ٤لخ‬1ٝ𝜎٢٘‫٣ؼ‬:𝑥 + 𝜎𝑦 = 0
ٕ‫ار‬1; 𝜎‫ؽشح‬ ‫أعشح‬
ٖٓ8ٝ9ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬1; 𝜎٢ٜ‫أُزغ‬ ‫ُِلؼبء‬ ‫أعبط‬ℂ, +,∙.
⟺ 𝑥 + 𝑦 𝜎1 + 𝑖𝜎2 = 0
⟺
𝑥 + 𝑦𝜎1 = 0
𝜎2 𝑦 = 0
⟺
𝑥 = 0
𝑦 = 0
8
9
∎𝑰𝑰
ٌٖ‫ُز‬𝑀 𝑎, 𝑏ٝ𝑀 𝑐, 𝑑ٖٓ ٖ٤‫ٓظلٞكز‬𝐸
‫ُذ٣٘ب‬:𝜓 𝑀 𝑎, 𝑏 + 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝜓 𝑀 𝑎 + 𝑐 ; 𝑏 + 𝑑
ٕ‫ار‬𝜓ٖٓ ًَ‫رشب‬𝐸, +ٞ‫ٗؾ‬ℂ, +
ٌٖ٤ُ𝑎 + 𝜎𝑏ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬ℂ.
‫ُذ٣٘ب‬:𝜓 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑎 + 𝜎𝑏
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬1, 𝜎٢ٜ‫أُزغ‬ ‫ُِلؼبء‬ ‫أعبط‬ℂ, +,∙
ٖ٣‫ُِؼ٘ظش‬ ‫خط٤خ‬ ‫رؤُ٤لخ‬ ٌَ‫ش‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ٝؽ٤ذح‬ ‫ثٌ٤ل٤خ‬ ‫٣ٌزت‬ ١‫ػوذ‬ ‫ػذد‬ ًَ ٕ‫كب‬1ٝ𝜎
ٕ‫ار‬:
𝑥 = 𝑎
𝑦 = 𝑏 ٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:
ٚ٘ٓ ٝ:𝜓ٖٓ َ‫روبث‬𝐸, +ٞ‫ٗؾ‬ℂ, +
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ𝜓ٖٓ ٢ِ‫روبث‬ ًَ‫رشب‬𝐸, +ٞ‫ٗؾ‬ℂ, +
٢‫ك‬ َ‫ُ٘ؾ‬ℂ‫أُؼبدُخ‬:𝑧2
− 𝑧 + 1 = 0
‫ُذ٣٘ب‬:∆= 𝑖 3
2
ٖ٤‫ٓزشاكو‬ ٖ٤٣‫ػوذ‬ ٖ٤ِ‫ؽ‬ َ‫روج‬ ‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫ار‬:
‫ُذ٣٘ب‬:𝜎 =
1
2
+ 𝑖
3
2
ٝ
2
∎𝑰𝑰3
∎𝑰𝑰4
ٕ‫ار‬:
ٌٖ‫ُز‬𝑀 𝑎, 𝑏ٝ𝑀 𝑐, 𝑑ٖٓ ٖ٤‫ٓظلٞكز‬𝐸
‫ُذ٣٘ب‬:𝜓 𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝜓 𝑀 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 ; 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
ٟ‫أخش‬ ‫عٜخ‬ ٖٓ ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
ٕ‫أ‬ ٕ‫ار‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝜓ٖٓ ًَ‫رشب‬𝐸,×ٞ‫ٗؾ‬ℂ,×
ْ٤‫أُغزو‬ ٕ‫ار‬𝑦 =
−1
2
‫ثغٞاس‬ ٢‫أكو‬ ‫ٓوبسة‬+∞.
∎1
ٌٖ٤ُ𝑥ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬0; +∞
𝑰
∎2‫أ‬ 𝑰
= 𝑎 + 𝑐 + 𝜎 𝑏 + 𝑑
= 𝑎 + 𝜎𝑏 + 𝑐 + 𝜎𝑑
= 𝜓 𝑀 𝑎, 𝑏 + 𝜓 𝑀 𝑐, 𝑑
⟺ 𝑥 + 𝜎𝑦 = 𝑎 + 𝜎𝑏
∀ 𝑎 + 𝜎𝑏 𝜖ℂ ; ∃! 𝑀 𝑥, 𝑦 𝜖 𝐸 ∶ 𝜓 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑎 + 𝜎𝑏
𝑧1 =
1
2
− 𝑖
3
2
= cos
𝜋
3
− 𝑖 sin
𝜋
3
= cos
−𝜋
3
+ 𝑖 sin
−𝜋
3
= 𝑒
−𝑖𝜋
3
𝑧2 =
1
2
+ 𝑖
3
2
= cos
𝜋
3
+ 𝑖 sin
𝜋
3
= 𝑒
𝑖𝜋
3
ٕ‫ار‬:𝜎2
+ 1 =
1
2
+ 𝑖
3
2
2
+ 1
=
1
4
−
3
4
+ 𝑖
3
2
+ 1
=
1
2
+ 𝑖
3
2
= 𝜎
𝜎2
+ 1 = 𝜎
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝜎 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
𝜓 𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝜓 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝑎 + 𝜎𝑏 × 𝑐 + 𝜎𝑑
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝜎 + 𝑏𝑐𝜎 + 𝜎2
𝑏𝑑
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝜎 + 𝑏𝑐𝜎 + 𝜎 − 1 𝑏𝑑
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝜎 + 𝑏𝑐𝜎 + 𝑏𝑑𝜎 − 𝑏𝑑
= 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝜎 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑
𝜓 𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝜓 𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝜓 𝑀 𝑐, 𝑑
ِ‫ـ‬ُ ١‫ػٔٞد‬ ‫ٓوبسة‬ ‫األسار٤ت‬ ‫ٓؾٞس‬ ٕ‫ار‬C
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
4
𝑥
ln 𝑥
𝑥
−
1
2
=
−1
2
‫ُذ٣٘ب‬:𝑓′
𝑥 = 4
ln 𝑥
𝑥2
′
=
4 𝑥 − 2𝑥 ln 𝑥
𝑥4
=
4 1 − 2 ln 𝑥
𝑥3
‫أُؼبدُخ‬ َ‫ُ٘ؾ‬ٍٜٞ‫أُغ‬ ‫راد‬٢‫ك‬𝐸 𝜓 𝑀 𝑥, 𝑦 = 𝑎 + 𝜎𝑏
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0+
4
𝑥
ln 𝑥
𝑥
−
1
2
= −∞
+∞ −∞
‫ُذ٣٘ب‬:
0+
0+
𝑀 𝑥, 𝑦

11. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟏𝟎 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
∎2‫ب‬
‫اشبسح‬ ٕ‫ار‬𝑓′
(𝑥)‫ثبشبسح‬ ‫كوؾ‬ ‫ٓزؼِوخ‬1 − 2 ln 𝑥
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ٍٝ‫عذ‬ ٕ‫ار‬ ‫ٗغز٘زظ‬𝑓٢ِ٣ ‫ًٔب‬:
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ٍٝ‫عذ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬𝑓:
𝑓٠ِ‫ػ‬ ‫هطؼب‬ ‫رضا٣ذ٣خ‬ ٝ ‫ٓزظِخ‬ ‫داُخ‬0; 𝑒
ٕ‫ار‬𝑓ٍ‫ٓغب‬ ١‫أ‬ ٖٓ َ‫روبث‬𝐼ٖٔ‫ػ‬0; 𝑒ٚ‫طٞسر‬ ٞ‫ٗؾ‬𝑓(𝐼).
ٕ‫ار‬:𝑓ٍ‫أُغب‬ ٖٓ َ‫روبث‬1; 𝑒ٞ‫ٗؾ‬𝑓(1); 𝑓 𝑒
١‫أ‬𝑓ٖٓ َ‫روبث‬1; 𝑒ٞ‫ٗؾ‬−0,5 ; 0,2
‫اُطش٣وخ‬ ‫ث٘لظ‬ ٝ:
‫ُذ٣٘ب‬𝑓ٍ‫أُغب‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫هطؼب‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ ٝ ‫ٓزظِخ‬ ‫داُخ‬𝑒 ; +∞
ٕ‫ار‬𝑓ٍ‫ٓغب‬ ١‫أ‬ ٖٓ َ‫روبث‬𝐽ٖٔ‫ػ‬𝑒 ; +∞ٚ‫طٞسر‬ ٞ‫ٗؾ‬𝑓(𝐽)
١‫أ‬𝑓ٍ‫أُغب‬ ٖٓ َ‫روبث‬𝑒 ; 3ٍ‫أُغب‬ ٞ‫ٗؾ‬𝑓 3 ; 𝑓 𝑒
١‫أ‬𝑓ٖٓ َ‫روبث‬𝑒 ; 3ٞ‫ٗؾ‬−0,01 ; 0,2
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ0 𝜖 −0,01 ; 0,2‫ٝاؽذا‬ ‫عبثوب‬ ‫٣ٔزِي‬ ‫اُظلش‬ ٕ‫كب‬β٢‫ك‬
ٍ‫أُغب‬𝑒 ; 3َ‫ثبُزوبث‬𝑓
ٖٓ1ٝ2‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:𝑓 𝑥 = 0ٖ٤‫ٓخزِل‬ ٖ٤ِ‫ؽ‬ َ‫روج‬𝛼ٝ𝛽
∎4
‫أُٔبط‬ ‫ٓؼبدُخ‬𝑇٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬ٍٞ‫األكظ‬ ‫راد‬ ‫اُ٘وطخ‬ ٢‫ك‬1ٌَ‫ش‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫٣ٌزت‬:
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝑇 ∶ 𝑦 = 4𝑥 −
9
2
∎5
𝓞 𝓲
𝓳
𝑰𝑰
𝑰
∎3 𝑰
∎𝑰𝑰1
ٌٖ٤ُ𝑡 ≥ 0ٕ‫ار‬:−𝑡2
≤ 0ٚ٘ٓٝ:1 − 𝑡2
≤ 1
١‫أ‬:1 − 𝑡 1 + 𝑡 ≤ 1
‫أُٞعت‬ ‫اُؼذد‬ ٢‫ك‬ ٖ٤‫اُطشك‬ ‫ًال‬ ‫ٗؼشة‬
1
1+𝑡
٠ِ‫ػ‬ َ‫ٗؾظ‬:
ٖٓ1ٝ2ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
ٌٖ٤ُ𝑎ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬0; +∞
‫ُذ٣٘ب‬:∀ 𝑥 𝜖 0; +∞ ; 𝑓′
(𝑥) =
4 1 − 2 ln 𝑥
𝑥3
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬:𝑥 = 𝑒ٕ‫كب‬:𝑓′
𝑥 = 0
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬:𝑥 > 𝑒ٕ‫كب‬:𝑓′
𝑥 < 0
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬:𝑥 < 𝑒ٕ‫كب‬:𝑓′
𝑥 > 0
𝑒𝑥
2
𝑒
−
1
2
0 +∞
−1
2−∞
𝑓
+𝑓′(𝑥) 0 −
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ:0 𝜖 −0,5 ;0,2‫ٝاؽذا‬ ‫عبثوب‬ ‫٣ٔزِي‬ ‫اُظلش‬ ٕ‫كب‬𝛼ٍ‫أُغب‬ ٢‫ك‬
1; 𝑒َ‫ثبُزوبث‬𝑓١‫أ‬:∃! 𝛼 𝜖 1; 𝑒 ; 𝑓 𝛼 = 01
١‫أ‬:∃! 𝛽 𝜖 𝑒 ; 3 ; 𝑓 𝛽 = 02
C
𝑇 ∶ 𝑦 = 𝑓′
1 𝑥 − 1 + 𝑓(1)
= 4 𝑥 − 1 +
−1
2
= 4𝑥 −
9
2
𝟑
𝐞 𝛃𝛂
C
1 − 𝑡 ≤
1
1 + 𝑡
⟹ 1 − 𝑡
𝑎
0
𝑑𝑡 ≤
1
1 + 𝑡
𝑎
0
𝑑𝑡 ≤ 1 𝑑𝑡
𝑎
0
∀ 𝑡 𝜖 0; +∞ ; 1 − 𝑡 ≤
1
1 + 𝑡
≤ 1
∎𝑰𝑰2
1
‫ًزُي‬ ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ1 + 𝑡 ≥ 1ٕ‫ار‬:
1
1 + 𝑡
≤ 12
‫ُذ٣٘ب‬:∀ 𝑡 𝜖 0; +∞ ; 1 − 𝑡 ≤
1
1 + 𝑡
≤ 1
⟹ 𝑡 −
𝑡2
2 0
𝑎
≤ ln 1 + 𝑡 0
𝑎
≤ 𝑡 0
𝑎
⟹ 𝑎 −
𝑎2
2
≤ ln 1 + 𝑎 ≤ 𝑎
‫ثؾ٤ش‬:1 < 𝛼 < 𝑒 < 𝛽 < 3

12. ‫ُذ٣٘ب‬𝑓𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ‫هبثِخ‬ ‫داُخ‬0; +∞
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟎𝟏𝟏 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
∎𝑰𝑰𝑰1
٠ِ‫ػ‬ ‫ُالشزوبم‬ ‫اُوبثِخ‬ ‫االػز٤بد٣خ‬ ٍ‫اُذٝا‬ ٖٓ ‫رشً٤جخ‬ ْ‫رؼ‬ ‫ألٜٗب‬0; +∞
ٌٖ٤ُ𝑥ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬0; +∞
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬:∀ 𝑥 > 0 ;
𝑛
𝑥3 ≥ 0
‫اشبسح‬ ٕ‫كب‬𝑓𝑛
′
𝑥‫ثبشبسح‬ ‫كوؾ‬ ‫ٓزؼِوخ‬1 − 2 ln 𝑥
٢ُ‫اُزب‬ ٍٝ‫اُغذ‬ ٕ‫ار‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
∎𝑰𝑰𝑰2
‫ُـ‬ ‫اُضبٗ٤خ‬ ‫أُشزوخ‬ ‫ؽغبة‬ ٢‫٣غزذػ‬ ‫االٗؼطبف‬ ‫ٗوؾ‬ ٝ ‫اُزوؼش‬ ‫دساعخ‬𝑓𝑛
ٕ‫ار‬𝑓𝑛
′′
𝑥ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬ ّ‫ر٘ؼذ‬6 ln 𝑥 − 5 = 0
٢٘‫٣ؼ‬:ln 𝑥 =
5
6
١‫أ‬:𝑥 = 𝑒
5
6
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 > 𝑒
5
6ٕ‫كب‬:6 ln 𝑥 − 5 > 0ٚ٘ٓ ٝ:𝑓′′
𝑥 > 0
ٕ‫أ‬ ‫ٗالؽع‬𝑓𝑛
′′
𝑥ٍٞ‫األكظ‬ ‫راد‬ ‫اُ٘وطخ‬ ٢‫ك‬ ّ‫ر٘ؼذ‬𝑒
5
6‫اشبسرٜب‬ ‫رـ٤ش‬ ٝ
‫اُ٘وطخ‬ ‫رِي‬ ‫ثغٞاس‬
∎𝑰𝑰𝑰3‫أ‬
‫ُذ٣٘ب‬:
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 = 0ٕ‫كب‬
∎𝑰𝑰𝑰3
‫ُذ٣٘ب‬𝑓𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫هطؼب‬ ‫رضا٣ذ٣خ‬ ‫داُخ‬0; 𝑒
∎𝑰𝑰𝑰4
ٕ‫ار‬𝑓𝑛ٍ‫ٓغب‬ ١‫أ‬ ٖٓ َ‫روبث‬𝐼ٖٔ‫ػ‬0; 𝑒ٚ‫طٞسر‬ ٞ‫ٗؾ‬
ٚ٘ٓ ٝ𝑓𝑛ٖٓ َ‫روبث‬1; 𝑒ٞ‫ٗؾ‬−0,5 ; 0,2
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ:0 𝜖 −0,5 ; 0,2‫ٝاؽذا‬ ‫عبثوب‬ ‫٣ٔزِي‬ ‫اُظلش‬ ٕ‫كب‬𝑢 𝑛ٖٓ1 ; 𝑒.
٢٘‫٣ؼ‬:∃! 𝑢 𝑛 𝜖 1; 𝑒 ; 𝑓𝑛 𝑢 𝑛 = 0
‫انطشٌقح‬ ‫تىفس‬ ‫و‬:‫ُذ٣٘ب‬𝑓𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫هطؼب‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬𝑒 ; +∞
ٕ‫ار‬𝑓𝑛ٍ‫ٓغب‬ ١‫أ‬ ٖٓ َ‫روبث‬𝐽ٖٔ‫ػ‬𝑒 ; +∞ٚ‫طٞسر‬ ٞ‫ٗؾ‬𝑓𝑛 𝐽
ٚ٘ٓ ٝ:𝑓𝑛ٖٓ َ‫روبث‬𝑒 ; 𝑛ٞ‫ٗؾ‬𝑓𝑛 𝑛 ; 0,2
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٕٝ‫أل‬∀𝑛𝜖ℕ ;
ln 𝑛
𝑛
<
1
𝑒
<
1
2
‫ٝاؽذا‬ ‫عبثوب‬ ‫٣ٔزِي‬ ‫اُظلش‬ ٕ‫كب‬𝑣 𝑛ٖٓ𝑒 ; 𝑛
ٖٓ1ٝ2‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬𝑓𝑛 𝑥 = 0ٖ٤ِ‫ؽ‬ ‫ثبُؼجؾ‬ َ‫روج‬
𝑢 𝑛ٝ𝑣 𝑛‫ثؾ٤ش‬:1 < 𝑢 𝑛 < 𝑒 < 𝑣 𝑛
∎𝑰𝑰𝑰5
‫ُذ٣٘ب‬:𝑒 > 𝑢 𝑛 > 1‫ؽغت‬ ٕ‫ار‬:𝑓𝑛+1 𝑢 𝑛 > 𝑓𝑛 𝑢 𝑛
ٕ‫أ‬ ِْ‫ٗؼ‬ ٝ:𝑓𝑛+1 𝑢 𝑛+1 = 𝑓𝑛 𝑢 𝑛 = 0
ٕ‫ار‬:𝑓𝑛+1 𝑢 𝑛 > 𝑓𝑛+1 𝑢 𝑛+1
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ𝑓𝑛+1٠ِ‫ػ‬ ‫رضا٣ذ٣خ‬ ‫داُخ‬1 ; 𝑒ٕ‫كب‬:𝑢 𝑛 > 𝑢 𝑛+1
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝑢 𝑛 𝑛≥4‫هطؼب‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ ‫ٓززبُ٤خ‬.
∎𝑰𝑰𝑰6‫أ‬
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑢 𝑛 > 1ٕ‫ار‬:𝑢 𝑛 − 1 > 0
ٚ٘ٓ ٝ:𝑢 𝑛 − 1 −
1
2
𝑢 𝑛 − 1 2
≤ ln 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛 − 1
𝑓𝑛
′
𝑥 = 𝑛
ln 𝑥
𝑥2
′
=
𝑛 1 − 2 ln 𝑥
𝑥3
𝑒𝑥
𝑛
2𝑒
−
1
2
0 +∞
−1
2−∞
𝑓𝑛
+𝑓𝑛
′
𝑥 0 −
𝑓𝑛
′′
𝑥 =
𝑥3 −2𝑛
𝑥 − 3𝑥2
𝑛 1 − 2 ln 𝑥
𝑥6
⟺ 𝑓𝑛
′′
𝑥 =
𝑛 6 ln 𝑥 − 5
𝑥4
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 < 𝑒
5
6ٕ‫كب‬:6 ln 𝑥 − 5 < 0ٚ٘ٓ ٝ:𝑓′′
𝑥 < 0
ٕ‫ار‬٢ٛ ٝ ‫اٗؼطبف‬ ‫ٗوطخ‬ َ‫٣وج‬:𝑒
5
6 ;
5𝑛
6
𝑒
−5
3 −
1
2 𝑛C
𝑓𝑛+1 𝑥 − 𝑓𝑛 𝑥 =
ln 𝑥
𝑥2
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 > 1ٕ‫كب‬
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 < 1ٕ‫كب‬
‫ب‬
1𝑥
0
+∞
+𝑓𝑛+1 𝑥 − 𝑓𝑛 𝑥 −
𝑛 + 1C
𝑛C
𝑛C
𝑛 + 1C𝑛C
𝑛 + 1C
𝑛C
𝑛 + 1Cٝ
ٝ
ٕ‫٣زوبؽؼب‬
‫كٞم‬َ‫أعل‬
0
1
٢٘‫٣ؼ‬:∃! 𝑣 𝑛 > 𝑒 ; 𝑓𝑛 𝑣𝑛 = 02
𝑰𝑰𝑰3
‫ُذ٣٘ب‬:∀ 𝑎 𝜖 0 ; +∞ ; 𝑎 −
𝑎2
2
≤ ln 1 + 𝑎 ≤ 𝑎
⟺ ∀𝑛 ≥ 4 ;
2 𝑢 𝑛 − 1 − 𝑢 𝑛 − 1 2
2
≤ ln 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛 − 1
⟺ ∀𝑛 ≥ 4 ;
𝑢 𝑛 − 1 2 − 𝑢 𝑛+1
2
≤ ln 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛 − 1
𝑓𝑛+1 𝑥 > 𝑓𝑛 𝑥
𝑓𝑛+1 𝑥 = 𝑓𝑛 𝑥
𝑓𝑛+1 𝑥 < 𝑓𝑛 𝑥
𝑓𝑛 𝐼
0 𝜖 𝑓𝑛 𝑛 ; 0,2

13. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟏𝟐 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
ٕ‫أ‬ ِْ‫ٝٗؼ‬:𝑓𝑛 𝑢 𝑛 = 0
‫اُزؤؽ٤ش‬ ٖٓ ٢ٗ‫اُضب‬ ‫اُشن‬ ‫ؽغت‬ ‫ًزُي‬ ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ∗:
ٖٓ7ٝ8‫اُزؤؽ٤ش‬ ٠ِ‫ػ‬ َ‫ٗؾظ‬9٢ُ‫اُزب‬:
∎𝑰𝑰𝑰6‫ب‬
∎𝑰𝑰𝑰6‫ج‬
ٝ3 − 𝑢 𝑛 > 3 − 𝑒
ٖٓ9ٝ10ٝ12ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:
∎𝑰𝑰𝑰‫أ‬ 7
‫ُذ٣٘ب‬:𝑛 ≥ 4
‫ُذ٣٘ب‬ ‫اُؾبعجخ‬ ‫ا٥ُخ‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬:
20
6
𝑒
−5
3 ≈ 0,63 > 0,5
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٍٝ‫أُغب‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ ‫داُخ‬𝑒 ; +∞
‫ُذ٣٘ب‬:𝑓𝑛 𝑣𝑛 = 0
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑣 𝑛 > 𝑒
5
6ٕ‫ار‬:ln 𝑣 𝑛 >
5
6
∎𝑰𝑰𝑰7‫ب‬
⟺ ∀𝑛 ≥ 4 ;
𝑢 𝑛 − 1 3 − 𝑢 𝑛
2
≤ ln 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛 − 1
⟺
𝑛 ln 𝑢 𝑛
𝑢 𝑛
2
=
1
2
⟺ ln 𝑢 𝑛 =
𝑢 𝑛
2
2𝑛
∗
‫اُزؤؽ٤ش‬ ٖٓ ٍٝ‫األ‬ ‫اُشن‬ ٖٓ ٕ‫ار‬ ‫ٗ٘طِن‬∗:ln 𝑢 𝑛 ≤ 𝑢 𝑛 − 1
⟺
𝑢 𝑛
2
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 7
𝑢 𝑛 − 1 3 − 𝑢 𝑛
2
≤ ln 𝑢 𝑛
⟺
𝑢 𝑛 − 1 3 − 𝑢 𝑛
2
≤
𝑢 𝑛
2
2𝑛
⟺ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
2 𝑢 𝑛
2
2𝑛 3 − 𝑢 𝑛
⟺ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑢 𝑛
2
𝑛 3 − 𝑢 𝑛
8
∀𝑛 ≥ 4 ;
𝑢 𝑛
2
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑢 𝑛
2
𝑛 3 − 𝑢 𝑛
9
‫ُذ٣٘ب‬𝑢 𝑛 < 𝑒ٕ‫ار‬:
𝑢 𝑛
2
2𝑛
<
𝑒
2𝑛
10
ٖٓ10ٝ11ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
𝑢 𝑛
2
3 − 𝑢 𝑛
< 𝑒
ٕ‫ار‬:
1
3 − 𝑢 𝑛
<
1
3 − 𝑒
< 111
ٚ٘ٓ ٝ:
𝑢 𝑛
2
𝑛 3 − 𝑢 𝑛
<
𝑒
𝑛
12
1
2𝑛
≤
𝑢 𝑛
2
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑢 𝑛
2
𝑛 3 − 𝑢 𝑛
≤
𝑒
𝑛
∀𝑛 ≥ 4 ;
1
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑒
𝑛
⟹
5𝑛
6
𝑒
−5
3 ≥
20
6
𝑒
−5
3
ٕ‫كب‬:𝑒
5
6 ≤ 𝑣 𝑛
⟺
𝑛 ln 𝑣 𝑛
𝑣 𝑛
2
=
1
2
⟺ ln 𝑣 𝑛 =
𝑣 𝑛
2
2𝑛
∗
ٍ‫ثبعزؼٔب‬ ٚ٘ٓ ٝ∗‫ٗغذ‬:
𝑣 𝑛
2
2𝑛
>
5
6
⟺ 𝑣 𝑛
2
>
10
6
𝑛
⟺ 𝑣 𝑛 >
10𝑛
6
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬:lim
𝑛∞
10𝑛
6
= +∞
ٕ‫كب‬:lim
𝑛∞
𝑣 𝑛 = +∞
⟹
20
6
𝑒
−5
3 >
1
2
⟹
5𝑛
6
𝑒
−5
3 ≥
1
2
⟹
5𝑛
6
𝑒
−5
3 −
1
2
≥ 0
⟹ 𝑓𝑛 𝑒
5
6 ≥ 𝑓𝑛 𝑣 𝑛
ٕ‫ار‬:١‫أ‬: lim
𝑛∞
𝑢 𝑛 − 1 = 0lim
𝑛∞
𝑢 𝑛 = 1
‫د‬ ∎𝑰𝑰𝑰6
‫ُذ٣٘ب‬:
1
2𝑛
≤ 𝑢 𝑛 − 1 ≤
𝑒
𝑛
0 0
+∞ +∞
𝑓𝑛

14. ‫املوحد‬ ‫الوطين‬ ‫اإلمتحان‬
‫البكالوريا‬ ‫شهادة‬ ‫لنيل‬
‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬2003
‫األول‬ ‫انتمشٌه‬:(3,0‫ن‬)
1,00‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
ٕ‫ط٘ذٝهب‬ ‫ُذ٣٘ب‬𝑈ٝ𝑉.‫اُظ٘ذٝم‬𝑈٠ِ‫ػ‬ ١ٞ‫٣ؾز‬4ٝ ‫ؽٔشاء‬ ‫ًشاد‬4‫صسهبء‬ ‫ًشاد‬.‫اُظ٘ذٝم‬𝑉١ٞ‫٣ؾز‬
ٝ ٖ٣ٝ‫ؽٔشا‬ ٖ٤‫ًشر‬ ٠ِ‫ػ‬4‫صسهبء‬ ‫ًشاد‬.
‫املغربية‬‫اململكة‬
‫لي‬‫ا‬‫لع‬‫ا‬‫لتعليم‬‫ا‬ ‫و‬ ‫لوطنية‬‫ا‬ ‫لرتبية‬‫ا‬ ‫وزارة‬
‫لعلمي‬‫ا‬ ‫لبحث‬‫ا‬‫و‬ ‫األطر‬‫ين‬‫و‬‫تك‬‫و‬
‫نات‬‫ا‬‫اإلمتح‬‫و‬ ‫يم‬‫و‬‫للتق‬ ‫لوطين‬‫ا‬ ‫املركس‬
‫الرياضيات‬ ‫مادة‬
‫ب‬ ‫و‬ ‫أ‬ ‫الرياضية‬ ‫العلوم‬ ‫مسلك‬
‫املعامل‬10
‫اإلجناز‬ ‫مدة‬:‫ساعات‬ ‫أربع‬
‫به‬ ‫مسموح‬ ‫للبرمجة‬ ‫القابلة‬ ‫الغير‬ ‫الحاسبة‬ ‫استعمال‬
‫اُزبُ٤خ‬ ‫اُؼشٞائ٤خ‬ ‫اُزغشثخ‬ ‫ٗؼزجش‬" :‫اُظ٘ذٝم‬ ٖٓ ‫ًشح‬ ‫ػشٞائ٤ب‬ ‫ٗغؾت‬𝑈:٢‫ك‬ ‫ٗؼؼٜب‬ ‫ؽٔشاء‬ ‫ًبٗذ‬ ‫ارا‬
‫اُظ٘ذٝم‬𝑉‫اُظ٘ذٝم‬ ٖٓ ‫ًشح‬ ‫ػشٞائ٤ب‬ ‫ٗغؾت‬ ْ‫ص‬𝑉.‫ػشٞائ٤ب‬ ‫ٗغؾت‬ ْ‫ص‬ ‫عبٗجب‬ ‫ٗؼؼٜب‬ ‫صسهبء‬ ‫ًبٗذ‬ ‫ارا‬ ٝ
‫اُظ٘ذٝم‬ ٖٓ ‫ًشح‬𝑉. "
‫اُزبُ٤خ‬ ‫األؽذاس‬ ‫ٗؼزجش‬:
𝑅1" :ٖٓ ‫أُغؾٞثخ‬ ‫اٌُشح‬𝑈‫ؽٔشاء‬. "
𝐵1" :ٖٓ ‫أُغؾٞثخ‬ ‫اٌُشح‬𝑈‫صسهبء‬."
𝑅2" :ٖٓ ‫أُغؾٞثخ‬ ‫اٌُشح‬𝑉‫ؽٔشاء‬"
𝐵2" :ٖٓ ‫أُغؾٞثخ‬ ‫اٌُشح‬𝑉‫صسهبء‬. "
ٖ٤‫اُؾذص‬ ٍ‫اؽزٔب‬ ‫أؽغت‬𝑅1ٝ𝐵1.
ٍ‫اؽزٔب‬ ‫أؽغت‬ٕ‫أ‬ ‫ػِٔب‬𝑅1ٍ‫اؽزٔب‬ ٝ ،‫ٓؾون‬𝐵2ٕ‫أ‬ ‫ػِٔب‬𝐵1‫ٓؾون‬.
‫اعز٘زظ‬𝑃 𝑅2.
ً‫انثاو‬ ‫انتمشٌه‬:(4,5‫ن‬)
ٌٖ٤ُ𝜃‫ثؾ٤ش‬ ‫ؽو٤و٤ب‬ ‫ػذدا‬:0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋‫ٗؼغ‬ ٝ:𝑝 = 5 cos 𝜃 + 3𝑖 sin 𝜃
٢‫ك‬ ‫ٗؼزجش‬ℂ‫أُؼبدُخ‬𝐸‫اُزبُ٤خ‬:𝐸 ∶ 𝑧2
− 2𝑝𝑧 + 16 = 0
ٕ‫أ‬ ‫رؾون‬:𝑝2
− 3 cos 𝜃 + 5𝑖 sin 𝜃 2
= 16
‫أٝعذ‬𝑧1ٝ𝑧2‫أُؼبدُخ‬ ٢ِ‫ؽ‬𝐸‫ثؾ٤ش‬:𝑧1 < 𝑧2
‫ٓجبشش‬ ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٠ُ‫ا‬ ‫ٓ٘غٞة‬ ١‫اُؼوذ‬ ٟٞ‫أُغز‬𝒪, 𝑢, 𝑣.
ٖ٤‫اُ٘وطز‬ ‫ٗؼزجش‬ٝ𝑀2‫ٛٔب‬ ٢ُ‫اُزٞا‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ُؾوبٛٔب‬ ٖ٤‫اُِز‬:𝑧1ٝ𝑧2.
‫اُؼذد‬ ‫٣زـ٤ش‬ ‫ػ٘ذٓب‬ ٚٗ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝜃٢‫ك‬0; 2𝜋‫اُ٘وطخ‬ ٕ‫كب‬‫دائشح‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫رزـ٤ش‬‫ُٜب‬ ‫ٓؼبدُخ‬ ‫رؾذ٣ذ‬ ٢‫٣٘جـ‬.
ٌٖ‫ُز‬𝑃‫اُوطؼخ‬ ‫ٓ٘زظق‬𝑀1 𝑀2.ٌٖ‫ُز‬ ٝΓ‫اُ٘وؾ‬ ‫ٓغٔٞػخ‬𝑃‫اُؼذد‬ ‫٣زـ٤ش‬ ‫ػ٘ذٓب‬𝜃ٍ‫أُغب‬ ٢‫ك‬0; 2𝜋
.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬Γٕ‫اُ٘وطزب‬ ‫ٛٔب‬ ٙ‫ثئسرب‬ ‫اِٛ٤ِظ‬𝐹ٝ𝐹′‫ٛٔب‬ ٢ُ‫اُزٞا‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ُؾوبٛٔب‬ ٕ‫اُِزب‬4ٝ−4.
C
1
2
3
4
1,00‫ن‬
1‫أ‬
2
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
𝐵2
𝑀1
𝑀1
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝑃 𝐵2 =
13
21
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:13

15. ‫انثانث‬ ‫انتمشٌه‬:(3,0‫ن‬)
1
‫أ‬
‫ج‬
2
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝑀1 𝐹; 𝑀1 𝐹′ ≡ 𝜋 + 𝑀2 𝐹; 𝑀2 𝐹′ 2𝜋
‫أُٔبط‬ ‫ٓؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑇٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬Γ‫اُ٘وطخ‬ ٢‫ك‬𝑃٢ٛ:3𝑥 cos 𝜃 + 5𝑦 sin 𝜃 = 15
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:‫أُٔبط‬𝑇ْ٤‫أُغزو‬ ٠ِ‫ػ‬ ١‫ػٔٞد‬𝑀1 𝑀2.
‫ػ٘بطش‬ ‫عٔ٤غ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝐸٢‫ك‬ ‫ٓوِٞثب‬ َ‫روج‬𝐸٢ِ‫اُذاخ‬ ‫اُزشً٤ت‬ ٕٞٗ‫ُوب‬ ‫ثبُ٘غجخ‬×.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝐸,×‫رجبدُ٤خ‬ ‫صٓشح‬.
‫أُغٔٞػخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝐺 = 𝐴 𝑛
∕ 𝑛𝜖ℕ
ٕ‫أ‬ ‫رؾون‬:𝐺 ⊂ 𝐸
ٌٖ‫ُز‬𝐻‫ٓظلٞكبد‬ ‫ٓٔبصالد‬ ‫ٓغٔٞػخ‬𝐺‫ُؼِٔ٤خ‬ ‫ثبُ٘غجخ‬×٢‫ك‬𝐸.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝐺 ∪ 𝐻ٖٓ ‫عضئ٤خ‬ ‫صٓشح‬𝐸,×.
‫انشاتغ‬ ‫انتمشٌه‬:(9,5‫ن‬)
ٌٖ٤ُ𝑛𝜖ℕ∗
.‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝑔 𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬ℝ٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝑔 𝑛 𝑥 = 𝑥 + 𝑒−𝑛𝑥
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ‫أدسط‬𝑔 𝑛.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬٢‫ؽو٤و‬ ‫ػذد‬ ‫ػ٘ذ‬ ‫دٗ٤ب‬ ‫ه٤ٔخ‬ َ‫روج‬𝑢 𝑛‫ثذالُخ‬ ٙ‫رؾذ٣ذ‬ ْ‫٣ز‬𝑛.
ٖ٤٣‫ػوذ‬ ٖ٣‫ػذد‬ ٌَُ ٚٗ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑎ٝ𝑏ٖٓℂ ∖ 4‫ُذ٣٘ب‬:
𝑏 + 4
𝑏 − 4
= −
𝑎 + 4
𝑎 − 4
⟺ 𝑎𝑏 = 16
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:
𝑧2 + 4
𝑧2 − 4
= −
𝑧1 + 4
𝑧1 − 4
‫صٝط‬ ٌَُ𝑎, 𝑏ٖٓ℞2
‫أُظلٞكخ‬ ‫ٗؼزجش‬:𝑀 𝑎,𝑏 = 𝑎 𝑏 2
𝑏 2 𝑎
٢‫ك‬ٌٖ‫ُز‬𝐸٢ِ٣ ‫ثٔب‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫أُظلٞكبد‬ ‫ٓغٔٞػخ‬:𝐸 = 𝑀 𝑎,𝑏 ∕ 𝑎2
− 2𝑏2
= 1 (ℝ)M2
‫ٗؼغ‬:‫د‬ٕ‫أ‬ ‫ؽون‬:𝐴 𝜖 𝐸 𝐴 = 3 2 2
2 2 3
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬ٕٞٗ‫اُوب‬ ٕ‫أ‬ ٝ×٢‫ك‬ ٢ُ‫رجبد‬𝐸. ( ℝ ,×)M2
‫ٗؼغ‬:ٝ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝐴 𝑛+1
= 𝐴 𝑛
× 𝐴 𝐴0
=
1 0
0 1
‫ُِذاُخ‬ َ‫أُٔض‬ ٠٘‫أُ٘ؾ‬ ٌٖ٤ُ ٝ𝑔 𝑛ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٢‫ك‬𝒪, 𝑖, 𝑗. 𝑛C
‫أؽغت‬:lim
𝑥→−∞
𝑔 𝑛 𝑥lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑛 𝑥 ٝ
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝐻 = 𝐵 𝑛
∕ 𝑛𝜖ℕ‫ؽ٤ش‬:𝐵 =
3 −2 2
−2 2 3
3‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
‫أ‬ 4
‫ب‬
1
‫ب‬
‫ج‬
3
‫أ‬
‫ب‬
𝐈
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬ 2
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
𝑔 𝑛
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:14

16. 𝐈𝐈
1
‫أ‬
‫ب‬
2
3
4
5
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
(‫ٗؤخز‬:𝑖 = 𝑗 = 2 𝑐𝑚٢‫ٗؼط‬ ٝ:ln 2 ≈ 0,7)
ٌٖ‫ُز‬𝑕2‫اُذاُخ‬ ‫هظٞس‬𝑔2ٍ‫أُغب‬ ٠ِ‫ػ‬0, ln 2
‫ُـ‬ ٢ٗ‫أُج٤ب‬ َ٤‫اُزٔض‬ ٕ‫دٝسا‬ ٙ‫٣ُٞذ‬ ١‫اُز‬ ٕ‫اُذٝسا‬ ْ‫ٓغغ‬ ْ‫ؽغ‬ ‫أؽغت‬𝑕2َ٤‫األكبط‬ ‫ٓؾٞس‬ ٍٞ‫ؽ‬.
‫ٗؼغ‬:𝑣𝑛 = 𝑔 𝑛 𝑢 𝑛
ٖ٤‫أُززبُ٤ز‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗ٝ𝑣𝑛 𝑛𝜖 ℕ∗‫ٜٗب٣ز٤ٜٔب‬ ‫ؽذد‬ ٝ ٕ‫ٓزوبسثزب‬.
‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝑓𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬ℝ٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥 + 𝑒 𝑛𝑥
ٌٖ٤ُ ٝΓ𝑛‫اُذاُخ‬ ٠٘‫ٓ٘ؾ‬𝑓𝑛‫ٓجبشش‬ ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٢‫ك‬𝒪, 𝑢, 𝑣
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ‫أدسط‬𝑓𝑛.
‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬𝑓𝑛 𝑥 = 0‫ٝؽ٤ذا‬ ‫ؽال‬ َ‫روج‬𝛼 𝑛
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝛼1 – ln 2 ;
−1
2
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝑥 − 𝛼1ٝ𝑒 𝑥
+ 𝛼1‫اإلشبسح‬ ‫ٗلظ‬ ‫ُٜٔب‬.
ٌٖ‫ُز‬𝜑٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬−∞ ;
−1
2
٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝜑 𝑥 = 𝑒 𝑥
−
1
𝑒
𝑥
‫اُذاُخ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝜑َ‫ػ‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ٍٟ‫أُغب‬−∞ ;
−1
2
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:𝑒 𝑥
+ 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑥 − 𝛼1
‫ٗؼغ‬:𝛽0 =
−1
2
٢‫ؽج٤ؼ‬ ‫طؾ٤ؼ‬ ‫ػذد‬ ٌَُ ٝ𝑛:𝛽𝑛+1 = −𝑒 𝛽 𝑛
٢‫ؽو٤و‬ ‫ػذد‬ ‫٣ٞعذ‬ ٚٗ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑎‫ثؾ٤ش‬:∀𝑛𝜖ℕ ∶ 𝛽𝑛+1 − 𝛼1 ≤ 𝑎 𝛽𝑛 − 𝛼1
‫أُززبُ٤خ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝛽𝑛 𝑛𝜖ℕ‫ٜٗب٣زٜب‬ ‫ؽذد‬ ٝ ‫ٓزوبسثخ‬.
٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬ ٖ٤٤‫اُالٜٗبئ‬ ٖ٤‫اُلشػ‬ ‫ؽذد‬𝑛C
ٖ٤‫ُِذاُز‬ ٖ٤ِ‫أُٔض‬ ٝ ٖ٤٤٘‫ُِٔ٘ؾ‬ ٢‫اُ٘غج‬ ‫اُٞػغ‬ ‫أدسط‬𝑔1ٝ𝑔2 2C 1C
ٝ ٖ٤٤٘‫أُ٘ؾ‬ ِْ‫أُؼ‬ ‫ٗلظ‬ ٢‫ك‬ ْ‫أسع‬. 2C 1C
‫ثذالُخ‬ ‫أؽغت‬ ،‫ثبألعضاء‬ ‫ٌٓبِٓخ‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬𝑥َٓ‫اُزٌب‬:𝐼 𝑥 = 𝑡𝑒−2𝑡
𝑥
0
𝑑𝑡
‫ب‬
‫أ‬ 3
‫ب‬
‫أ‬ 4
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
5
‫أ‬
‫ب‬
1,00‫ن‬
0,50‫ن‬
1,00‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
𝜖
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:15

17. ‫اُزبُ٤خ‬ ‫اإلؽزٔبالد‬ ‫شغشح‬ ٍ‫اعزؼٔب‬ ٞٛ ٖ٣‫اُزٔش‬ ‫ٛزا‬ َ‫ُؾ‬ َ‫األٓض‬ ‫اُ٘ٔٞرط‬:
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟏𝟔 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
C
‫األول‬ ‫التمرين‬:(3,0‫ن‬)
∎1
∎2
∎4
‫األونى‬ ‫انطشٌقح‬:‫أُئًذ‬ ‫اُؾذس‬ ‫رو٘٤خ‬ ٍ‫اعزؼٔب‬
‫انثاوٍح‬ ‫انطشٌقح‬:(‫اُشغشح‬ ٍ‫اعزؼٔب‬)
𝑅
𝐵
𝑅
𝐵
𝑅
𝐵
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟕
𝟒
𝟕
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
َ‫ٗلؼ‬ ُْ
‫ثؼذ‬ ‫ش٤ئب‬
‫ٗغؾت‬
ٖٓ ‫ًشح‬𝑈
‫ٗغؾت‬
ٖٓ ‫ًشح‬𝑉
‫اُشغشح‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬:𝑃 𝑅1 = 𝑃 𝐵1 =
4
8
=
1
2
𝑃𝐵1
𝐵2 =
𝑃 𝐵1 ∩ 𝐵2
𝑃 𝐵1
=
1
3
1
2
=
2
3
‫ُذ٣٘ب‬:
3 ∎
𝑃𝑅1
𝐵2 =
𝑃 𝑅1 ∩ 𝐵2
𝑃 𝑅1
=
2
7
1
2
=
4
7
𝑃 𝐵2 + 𝑃 𝑅2 = 1
⟺ 𝑃 𝑅2 = 1 − 𝑃 𝐵2
⟺ 𝑃 𝑅2 = 1 −
13
21
=
8
21
𝑃 𝑅2 = 𝑃 𝑅1 ∩ 𝑅2 + 𝑃 𝐵1 ∩ 𝑅2
⟺ 𝑃 𝑅2 = 𝑃 𝑅1 × 𝑃𝑅1
𝑅2 + 𝑃 𝐵1 × 𝑃𝐵1
𝑅2
⟺ 𝑃 𝑅2 =
1
2
×
3
7
+
1
2
×
1
3
=
8
21
‫ُذ٣٘ب‬:
‫الثاني‬ ‫التمرين‬:(4,5‫ن‬)
∎1‫أ‬
∎1‫ب‬
‫ُذ٣٘ب‬:∆′
= 𝑝2
− 16 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 2
‫أُؼبدُخ‬ ٕ‫ار‬𝐸٢‫ك‬ ٖ٤ِ‫ؽ‬ َ‫روج‬ℂ.
‫ٗؼغ‬:𝑎𝑓𝑓 𝑀1 = 2𝑒−𝑖𝜃
= 𝑥 + 𝑖𝑦
ٌٖ٤ُ𝜃ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬0; 2𝜋.
∎‫أ‬ 2
ٕ‫ار‬:𝑀1
𝑥
𝑦‫اُذائشح‬ ٠ُ‫ا‬ ٢ٔ‫ر٘ز‬‫ٓشًضٛب‬ ٢‫اُز‬𝒪‫شؼبػٜب‬ ٝ2.
‫ُذ٣٘ب‬𝑃‫اُوطؼخ‬ ‫ٓ٘زظق‬ ٢ٛ𝑀1 𝑀2
∎2‫ب‬
𝑝2
− 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 2
= 5𝑐𝑜𝑠𝜃 + 3𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 2
− 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 2
= 25 cos2
𝜃 − 9 sin2
𝜃 − 9 cos2
𝜃 + 25 sin2
𝜃
= 25 cos2
𝜃 + sin2
𝜃 − 9 sin2
𝜃 + cos2
𝜃
= 25 − 9
= 16
𝑧1 = 𝑝 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2𝑒−𝑖𝜃
𝑧2 = 𝑝 − 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 8𝑒 𝑖𝜃
⟺ 2 cos −𝜃 + 2𝑖 sin −𝜃 = 𝑥 + 𝑖𝑦
⟺
2 cos 𝜃 = 𝑥
−2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑦
⟺ 𝑎𝑓𝑓 𝑃 =
𝑎𝑓𝑓 𝑀1 + 𝑎𝑓𝑓 𝑀2
2
⟺ 𝑎𝑓𝑓 𝑃 =
2𝑒−𝑖𝜃
+ 8𝑒 𝑖𝜃
2
⟺ 𝑎𝑓𝑓 𝑃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 + 4 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
⟺ 𝑎𝑓𝑓 𝑃 = 5 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 3𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃
⟺ 𝑎𝑓𝑓 𝑃 = 𝑝
⟹ 𝑥2
+ 𝑦2
= 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2
+ −2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2
⟹ 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 cos2
𝜃 + sin2
𝜃
⟹ 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
⟹ 𝑥2
+ 𝑦2
= 22
𝑃 𝐵2 = 𝑃 𝑅1 ∩ 𝐵2 + 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐵2
= 𝑃 𝑅1 × 𝑃𝑅1
𝐵2 + 𝑃 𝐵1 × 𝑃𝐵1
𝐵2
=
1
2
×
4
7
+
1
2
×
2
3
=
13
21

18. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟏𝟕 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
‫ٗؼغ‬:𝑝 = 𝑥 + 𝑖𝑦
⟺
𝑥 = 5 cos 𝜃
𝑦 = 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬:𝑝2
− 3𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜃 2
= 16
⟺ 𝑥 + 𝑖𝑦 2
−
3𝑥
5
+
5𝑖
3
𝑦
2
= 16
‫اُؼذد‬ ‫٣زـ٤ش‬ ‫ػ٘ذٓب‬ ٕ‫ار‬𝜃ٍ‫أُغب‬ ٢‫ك‬0; 2𝜋
‫اُ٘وطخ‬ ٕ‫كب‬𝑃‫اإلِٛ٤ِظ‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫رزـ٤ش‬Γٙ‫ٓشًض‬ ١‫اُز‬𝒪
ٚ‫سإٝع‬ ٝ:𝐴 5,0ٝ𝐴′
(−5,0)ٝ𝐵 0,3ٝ𝐵′
(0, −3).
ٙ‫ثئسرب‬ ٝ:𝐹 4,0ٝ𝐹′ −4,0.
(ٕ‫أل‬:𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
= 25 − 9 ⟹ 𝑐 = 4)
∎‫أ‬ 3
∎3‫ب‬
‫ُذ٣٘ب‬:𝑧1 = 2𝑒−𝑖𝜃
≠ 4ٝ𝑧2 = 8𝑒 𝑖𝜃
≠ 4.
ٕ‫ار‬:𝑧1 𝑧2 = 16𝑒 𝑖𝜃
𝑒−𝑖𝜃
= 16
∎3‫ج‬
‫اٌُزبثخ‬ ٖٓ ‫ٗ٘طِن‬. :
1‫أ‬
⟺
16
25
𝑥2
+
16
9
𝑦2
= 16
⟺
𝑥2
52
+
𝑦2
32
= 1
ٌٖ٤ُ𝑎ٝ𝑏ٖٓ ٖ٣‫ػ٘ظش‬ℂ ∖ 4‫ثؾ٤ش‬. :
𝑏 + 4
𝑏 − 4
= −
𝑎 + 4
𝑎 − 4
⟺ 𝑏 + 4 4 − 𝑎 = 𝑏 − 4 𝑎 + 4
⟺ 2𝑎𝑏 = 32
⟺ 𝑎𝑏 = 16
‫ؽغت‬ ٚ٘ٓ ٝ:. 3‫أ‬
𝑧2 + 4
𝑧2 − 4
= −
𝑧1 + 4
𝑧1 − 4
𝑧2 + 4
𝑧2 − 4
= −
𝑧1 + 4
𝑧1 − 4
⟺
4 − 𝑧1
−4 − 𝑧1
= −
4 − 𝑧2
−4 − 𝑧2
⟺
𝑧 𝐹 − 𝑧1
𝑧 𝐹′ − 𝑧1
= −
𝑧 𝐹 − 𝑧2
𝑧 𝐹′ − 𝑧2
⟺ 𝑎𝑟𝑔
𝑧 𝐹 − 𝑧1
𝑧 𝐹′ − 𝑧1
≡ 𝜋 + 𝑎𝑟𝑔
𝑧 𝐹 − 𝑧2
𝑧 𝐹′ − 𝑧2
⟺ 𝑀1 𝐹 ; 𝑀1 𝐹′ ≡ 𝜋 + 𝑀2 𝐹 ; 𝑀2 𝐹′ 2𝜋
‫أُٔبط‬ ‫ٓؼبدُخ‬ ٕ‫ار‬𝑇٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬Γ‫اُ٘وطخ‬ ٢‫ك‬𝑃٢ٛ:
∎4‫ب‬
‫ُذ٣٘ب‬:T ∶ 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 15
ٕ‫ار‬:ْ٤‫أُغزو‬ َ٤ٓ𝑇ٞٛ. :
ٕ٥‫ا‬ ‫ُ٘ؾغت‬𝑚ْ٤‫أُغزو‬ َ٤ٓ𝑀1 𝑀2.
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝑇ٝ𝑀1 𝑀2١ٝ‫٣غب‬ ‫ٓ٤ِ٤ٜٔب‬ ‫عذاء‬ ٕ‫أل‬ ٕ‫ٓزؼبٓذا‬−1.
‫ُذ٣٘ب‬:𝑃 5 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 3 sin 𝜃
𝑇 ∶
5𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃
52
+
3𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜃
32
= 1
𝑇 ∶ 𝑦 =
−3 𝑐𝑜𝑠𝜃
5 sin 𝜃
𝑥 +
3
sin 𝜃
−3 𝑐𝑜𝑠𝜃
5 𝑠𝑖𝑛𝜃
ٕ‫ار‬:𝑚 =
8 𝑠𝑖𝑛𝜃 − −2𝑠𝑖𝑛𝜃
8𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃
=
5 𝑠𝑖𝑛𝜃
3 𝑐𝑜𝑠𝜃
−3 𝑐𝑜𝑠𝜃
5 𝑠𝑖𝑛𝜃
×
5 𝑠𝑖𝑛𝜃
3 𝑐𝑜𝑠𝜃
= −1
‫الثالث‬ ‫التمرين‬:(3,0‫ن‬)
∎1
‫ٗؼغ‬:𝐴 =
3 2 2
2 2 3
‫ُذ٣٘ب‬:32
− 2 × 22
= 1
ٕ‫ار‬:𝐴 = 𝑀 3,2 𝜖 𝐸
∎‫أ‬ 2
ٌٖ‫ُز‬𝑀 𝑎, 𝑏ٝ𝑀 𝑐, 𝑑ٖٓ ٖ٤‫ٓظلٞكز‬𝐸
‫ُذ٣٘ب‬:𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 =
𝑎 𝑏 2
𝑏 2 𝑎
𝑐 𝑑 2
𝑑 2 𝑐
⟺ 𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 =
𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 2
𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 2 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑
⟺ 𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝑀 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 ; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 ∗
𝑇 ∶ 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 5𝑦 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 15
‫ُذ٣٘ب‬:ٝ. 𝑀1
2 cos 𝜃
−2 sin 𝜃
𝑀2
8 cos 𝜃
8 sin 𝜃
5 𝑠𝑖𝑛𝜃
3 𝑐𝑜𝑠𝜃
ْ٤‫أُغزو‬ َ٤ٓ ٕ‫ار‬𝑀1 𝑀2ٞٛ.
∎‫أ‬ 4

19. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟏𝟖 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
‫ثبُؼالهخ‬ ‫ثبإلعزؼبٗخ‬∗‫ُذ٣٘ب‬:
ٕٞٗ‫اُوب‬ ٕ‫ار‬×٢‫ك‬ ٢ُ‫رجبد‬𝐸.
∎2‫ب‬
ٌٖ‫ُز‬𝑀 𝑎, 𝑏ٖٓ ‫ٓظلٞكخ‬𝐸
‫ُذ٣٘ب‬:𝑀 𝑎, 𝑏
−1
=
1
𝑑𝑒𝑡𝑀 𝑎,𝑏
𝑎 −𝑏 2
−𝑏 2 𝑎
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬. ( ℝ ,×)M2
𝑀 𝑎, 𝑏 × 𝑀 𝑐, 𝑑 = 𝑀 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 ; 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
= 𝑀 𝑐𝑎 + 2𝑑𝑏 ; 𝑐𝑏 + 𝑑𝑎
= 𝑀 𝑐, 𝑑 × 𝑀 𝑎, 𝑏
=
1
𝑎2 − 2𝑏2
𝑎 −𝑏 2
−𝑏 2 𝑎
= 𝑎 −𝑏 2
−𝑏 2 𝑎
= 𝑀 𝑎, −𝑏 𝜖 𝐸
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:‫ٓظلٞكخ‬ ًَ ‫ٓوِٞة‬𝑀 𝑎, 𝑏‫أُظلٞكخ‬ ٞٛ𝑀 𝑎, −𝑏
ٕ‫ار‬:𝑀 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 ; 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 𝜖 𝐸
‫اُغبثوخ‬ ‫األعئِخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬:
∎2‫ج‬
(ℝ)M2 ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ×٢‫ك‬ ٢‫رغٔ٤ؼ‬
ٕ‫كب‬×٢‫ك‬ ‫ًزُي‬ ٢‫رغٔ٤ؼ‬𝐸.
ٕ‫كب‬𝐼 = 𝑀 1,0‫ُـ‬ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬ ٞٛ×٢‫ك‬𝐸
‫ٝؽ٤ذا‬ ‫دائٔب‬ ٌٕٞ٣ ٚٗ‫كب‬ ‫ٝعذ‬ ٕ‫ا‬ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬ ٕ‫أل‬ ‫رُي‬ ٝ.
ٕ‫أ‬ ٕ‫ار‬ ‫ٗغز٘زظ‬𝐸,×‫صٓشح‬.
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ×٢‫ك‬ ٢ُ‫رجبد‬𝐸.
ٕ‫كب‬𝐸,×‫رجبدُ٤خ‬ ‫صٓشح‬.
∎‫أ‬ 3
ٌٖ٤ُ×ٖٓ ‫ػ٘ظشا‬𝐺.
ٕ‫ار‬:∃𝑚𝜖ℕ ; 𝑋 = 𝐴 𝑚
ٕ‫أ‬ ٠ِ‫ػ‬ ٖٛ‫ٗجش‬ ٕ‫أ‬ ‫ٗش٣ذ‬∀𝑛𝜖ℕ ; 𝐴 𝑛
𝐸
َ‫أع‬ ٖٓ ‫ُذ٣٘ب‬𝑛 = 0:𝐴0
=
1 0
0 1
= 𝑀 1,0 𝜖 𝐸
ٕ‫أ‬ ‫ٗلزشع‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝐴 𝑛
𝜖 𝐸
‫ُذ٣٘ب‬:𝐴 𝑛
𝜖 𝐸ٝ𝐴 𝜖 𝐸
ٕ‫ار‬𝐴 𝑛
× 𝐴 𝐸
ٕ‫أل‬×٢‫ك‬ ٢ِ‫داخ‬ ٕٞٗ‫هب‬𝐸.
ٕ‫ار‬:𝐴 𝑛+1
𝜖 𝐸
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝐴 𝑛
𝜖 𝐸
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 = 𝐴 𝑚
𝜖 𝐸
ٍٞ‫اُو‬ ‫خالطخ‬:𝐺 ⊂ 𝐸
∎3‫ب‬
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ٗج‬ ٕ‫أ‬ ٢‫٣ٌل‬ ٍ‫اُغئا‬ ‫ٛزا‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلعبثخ‬:𝐴 𝑛 −1
= 𝐵 𝑛
َ‫أع‬ ٖٓ𝑛 = 0‫ُذ٣٘ب‬:𝐴0 −1
=
1 0
0 1
−1
=
1 0
0 1
= 𝐵0
ٕ‫أ‬ ‫ٗلزشع‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝐴 𝑛 −1
= 𝐵 𝑛
∎‫ج‬ 3
‫اُخبط٤خ‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫اُجذا٣خ‬ ٢‫ك‬ ٖٛ‫ُ٘جش‬⋕‫اُزبُ٤خ‬:
ٌٖ٤ُ𝑚ٝ𝑛ٖ٤٤‫ؽج٤ؼ‬ ٖ٤‫طؾ٤ؾ‬ ٖ٣‫ػذد‬
ٖ٤‫أعبع٤ز‬ ٖ٤‫ؽبُز‬ ٖ٤‫ث‬ ‫ٛ٘ب‬ َ‫ٗلظ‬:
×‫أُغٔٞػخ‬ ٢‫ك‬ ٢ِ‫داخ‬ ‫رشً٤ت‬ ٕٞٗ‫هب‬𝐸ٕ‫أل‬𝐸ٖٓ ‫ٓغزوش‬ ‫عضء‬( ℝ ,×)M2
‫أُظلٞكخ‬ ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ𝐼 = 𝑀 1,0ٙ١‫ُـ‬ ‫أُؾب٣ذ‬ ‫اُؼ٘ظش‬×٢‫ك‬(ℝ)M2
‫ُذ٣٘ب‬:𝐴 𝑛+1 −1
= 𝐴 𝑛
× 𝐴 −1
= 𝐴−1
× 𝐴 𝑛 −1
= 𝐵 × 𝐵 𝑛
= 𝐵 𝑛+1
∀ 𝑚, 𝑛 𝜖 ℕ2
; 𝐴 𝑚
× 𝐵 𝑛
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻⋕
‫األونى‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒎 ≥ 𝒏:
‫ُذ٣٘ب‬:𝐴 𝑚
× 𝐵 𝑛
= 𝐴 𝑚−𝑛
× 𝐴 × 𝐵 𝑛
= 𝐴 𝑚−𝑛
× 𝐼
= 𝐴 𝑚−𝑛
𝜖 𝐺 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
‫آخش‬ ‫ثزؼج٤ش‬:𝑀 𝑎, 𝑏
−1
= 𝑀 𝑎, −𝑏
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 2
− 2 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 2
= 𝑎𝑐 2
+ 4 𝑏𝑑 2
− 2 𝑏𝑐 2
− 2 𝑎𝑑 2
= 𝑐2
𝑎2
− 2𝑏2
1
+ 2𝑑2
2𝑏2
− 𝑎2
−1
= 𝑐2
− 2𝑑2
= 1
‫ػ٘ظش‬ ًَ ٕ‫أ‬ ٠ُ‫ا‬ ‫ًزُي‬ ‫رٞطِ٘ب‬ٞٛ ٝ ‫ٓٔبصال‬ َ‫٣وج‬𝑎, −𝑏 𝑀 𝑎, 𝑏
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝐴 𝑛 −1
= 𝐵 𝑛
𝜖
𝜖
𝑀

20. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟏𝟗 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
ٕ‫ار‬:𝐴 𝑚
× 𝐵 𝑛
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒎 ≤ 𝒏:
ٍ‫اُغئا‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلعبثخ‬ ‫اُضٔ٤٘خ‬ ‫اُخبط٤خ‬ ٙ‫ٛز‬ ٕ‫ار‬ َ‫ٗغزـ‬:
ٌٖ‫ُز‬𝑋ٝ𝑌ٖٓ ٖ٤‫ٓظلٞكز‬𝐺 ∪ 𝐻‫أعبع٤خ‬ ‫ؽبالد‬ ‫أسثغ‬ ٖ٤‫ث‬ َ‫ٗلظ‬ ٝ:
‫األونى‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝑿𝝐𝑮‫و‬𝒀𝝐𝑮:
ٕ‫ار‬:𝑌 = 𝐴 𝑚
ٝ∃ 𝑚, 𝑛 𝜖 ℕ2
; 𝑋 = 𝐴 𝑛
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐴 𝑛
× 𝐴 𝑚 −1
١‫أ‬:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐴 𝑛
× 𝐵 𝑚
ٕ‫ار‬:𝐴 𝑛
× 𝐵 𝑚
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻‫اُضٔ٤٘خ‬ ‫خبط٤ز٘ب‬ ‫ؽغت‬ ‫رُي‬ ٝ⋕.
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝑿𝝐𝑯‫و‬𝒀𝝐𝑯:
‫انثانثح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝑿𝝐𝑮‫و‬𝒀𝝐𝑯:
‫انشاتؼح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝑿𝝐𝑯‫و‬𝒀𝝐𝑮:
‫انقىل‬ ‫خالصح‬:‫ٗغذ‬ ‫األسثغ‬ ‫اُؾبالد‬ ٙ‫ٛز‬ ‫عٔ٤غ‬ ٢‫ك‬ ٚٗ‫أ‬ ‫ٗالؽع‬:
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝐺 ∪ 𝐻ٖٓ ‫عضئ٤خ‬ ‫صٓشح‬𝐸,×.
‫ُذ٣٘ب‬:𝐴 𝑚
× 𝐵 𝑛
= 𝐴 × 𝐵 𝑚
× 𝐵 𝑛−𝑚
= 𝐼 × 𝐵 𝑛−𝑚
= 𝐵 𝑛−𝑚
𝜖 𝐻 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
ٕ‫ار‬:𝐴 𝑚
× 𝐵 𝑛
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
‫ج‬
ٕ‫ار‬:𝑌 = 𝐵 𝑚
ٝ∃ 𝑚, 𝑛 𝜖 ℕ2
; 𝑋 = 𝐵 𝑛
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐵 𝑛
× 𝐵 𝑚 −1
١‫أ‬:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐵 𝑛
× 𝐴 𝑚
ٕ‫ار‬:𝐵 𝑛
× 𝐴 𝑚
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻‫اُضٔ٤٘خ‬ ‫خبط٤ز٘ب‬ ‫ؽغت‬ ‫رُي‬ ٝ⋕.
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
ٕ‫ار‬:𝑌 = 𝐵 𝑚
ٝ∃ 𝑚, 𝑛 𝜖 ℕ2
; 𝑋 = 𝐴 𝑛
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐴 𝑛
× 𝐵 𝑚 −1
١‫أ‬:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐴 𝑛
× 𝐴 𝑚
= 𝐴 𝑚+𝑛
𝜖 𝐺 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
ٕ‫ار‬:𝑌 = 𝐴 𝑚
ٝ∃ 𝑚, 𝑛 𝜖 ℕ2
; 𝑋 = 𝐵 𝑛
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
∀ 𝑋, 𝑌 𝜖 𝐺 ∪ 𝐻 ; 𝑋 × 𝑌−1
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻
‫الرابع‬ ‫التمرين‬:(9,5‫ن‬)
∎‫أ‬ 1
‫ُذ٣٘ب‬:𝑔 𝑛 𝑥 = 𝑥 + 𝑒−𝑛𝑥
ٕ‫ار‬𝑔 𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ‫هبثِخ‬ℝ.
٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ٖ٤‫هبثِز‬ ٖ٤‫اػز٤بد٣ز‬ ٖ٤‫داُز‬ ‫ٓغٔٞع‬ ‫ألٜٗب‬ℝ.
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:𝑔 𝑛
′
𝑥 = 1 − 𝑛𝑒−𝑛𝑥
= 𝑒−𝑛𝑥
𝑒 𝑛𝑥
− 𝑛
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬:∀𝑥𝜖ℝ , ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝑒−𝑛𝑥
> 0
‫اشبسح‬ ٕ‫كب‬𝑔 𝑛
′
𝑥‫ٓزؼِوخ‬‫كوؾ‬‫ثبشبسح‬𝑒 𝑛𝑥
− 𝑛
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 =
ln 𝑛
𝑛
ٕ‫كب‬:𝑔 𝑛
′
𝑥 = 0
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 >
ln 𝑛
𝑛
ٕ‫كب‬:𝑔 𝑛
′
𝑥 > 0٢٘‫٣ؼ‬𝑔 𝑛‫رضا٣ذ٣خ‬
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑥 <
ln 𝑛
𝑛
ٕ‫كب‬:𝑔 𝑛
′
𝑥 < 0٢٘‫٣ؼ‬𝑔 𝑛‫ر٘بهظ٤خ‬
∎1‫ب‬
‫اُذاُخ‬ ‫ُذ٣٘ب‬٠ِ‫ػ‬ ‫ٓزظِخ‬ℝ.
٠ِ‫ػ‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ ٝ−∞ ;
ln 𝑛
𝑛
.
٠ِ‫ػ‬ ‫رضا٣ذ٣خ‬ ٝ
ln 𝑛
𝑛
; +∞
٢‫ك‬ ّ‫ر٘ؼذ‬ ٝ
ln 𝑛
𝑛
ٕ‫ار‬𝑔 𝑛‫ػ٘ذ‬ ‫دٗٞ٣خ‬ ‫ه٤ٔخ‬ َ‫روج‬𝑢 𝑛 =
ln 𝑛
𝑛
٢ٛ ‫اُو٤ٔخ‬ ٙ‫ٛز‬ ٝ
𝑔 𝑛 𝑢 𝑛 =
1+ln 𝑛
𝑛
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:∀ 𝑚, 𝑛 𝜖 ℕ2
; 𝐴 𝑚
× 𝐵 𝑛
𝜖 𝐺 ∪ 𝐻⋕
ٕ‫أ‬ ‫اُٞاػؼ‬ ٖٖٓٓ ‫كبسؽ‬ ‫ؿ٤ش‬ ‫عضء‬𝐸ٕ‫أل‬:𝐺, 𝐻 ⊂ 𝐸2
𝐺 ∪ 𝐻
ٚ٘ٓ ٝ:𝑋 × 𝑌−1
= 𝐵 𝑛
× 𝐴 𝑚 −1
= 𝐵 𝑛
× 𝐵 𝑚
= 𝐵 𝑚+𝑛
𝜖 𝐻 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
𝑔 𝑛

21. ∎2‫أ‬
lim
𝑥→−∞
𝑔 𝑛 𝑥 = lim
𝑥→−∞
𝑥 + 𝑒−𝑛𝑥
= lim
𝑥→−∞
𝑥 1 +
𝑛
𝑛𝑥𝑒 𝑛𝑥
= −∞ 1 +
𝑛
0−
= −∞ −∞
= +∞
lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑛 𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑥 + 𝑒−𝑛𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥 1 +
𝑛
𝑛𝑥𝑒 𝑛𝑥
= +∞ 1 +
𝑛
+∞
= +∞ 1
= +∞
∎2‫ب‬
‫ُذ٣٘ب‬:lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑛 𝑥 = +∞
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟐𝟎 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑛 𝑥 − 1𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑒−𝑛𝑥
= 0 ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
ِْ‫ُِٔؼ‬ ٍٝ‫األ‬ ‫أُ٘ظق‬ ٕ‫ار‬𝑦 = 𝑥‫ثغٞاس‬ ِ‫ـ‬ُ َ‫ٓبئ‬ ‫ٓوبسة‬+∞.
lim
𝑥→−∞
𝑔 𝑛 𝑥 = +∞ ٟ‫أخش‬ ‫عٜخ‬ ٖٓ ‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
lim
𝑥→−∞
𝑔 𝑛 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→−∞
1 +
𝑛
𝑛𝑥𝑒 𝑛𝑥
= −∞ ٝ
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬:∀𝑥𝜖ℝ ; 𝑒−𝑥
> 0‫اُلشم‬ ‫اشبسح‬ ٕ‫كب‬𝑔1 𝑥 − 𝑔2 𝑥
‫ثبشبسح‬ ‫كوؾ‬ ‫ٓزؼِوخ‬1 − 𝑒−𝑥
‫ؽبالد‬ ‫صالس‬ ٖ٤‫ث‬ ‫ٛ٘ب‬ َ‫ٗلظ‬ ٝ:
‫األونى‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒙 = 𝟎
ٕ‫كب‬:1 − 𝑒−𝑥
= 0ٚ٘ٓ ٝ𝑔1 𝑥 = 𝑔2 𝑥:
ٕ‫ار‬:‫اُ٘وطخ‬ ٢‫ك‬ ٕ‫٣زوبؽؼب‬ ٝ0,1.
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒙 > 0
ٕ‫كب‬:1 − 𝑒−𝑥
> 0ٚ٘ٓ ٝ𝑔1 𝑥 > 𝑔2 𝑥:
ٕ‫ار‬:‫كٞم‬ ‫٣ٞعذ‬
‫انثانثح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒙 < 0
ٕ‫كب‬:1 − 𝑒−𝑥
< 0ٚ٘ٓ ٝ𝑔1 𝑥 < 𝑔2 𝑥:
ٕ‫ار‬:َ‫أعل‬ ‫٣ٞعذ‬
‫خالصح‬:
∎‫ب‬ 3
𝓞 𝓲
𝓳
∎‫أ‬ 4
2C1C
0𝑥 +∞
+𝑔1 𝑥 − 𝑔2 𝑥 0−
٢‫اُ٘غج‬ ‫اُٞػغ‬
ٝ ‫ُـ‬1C2C
−∞
1C
2C1C
2C 1C2C
٢‫ك‬ ٕ‫٣زوبؽؼب‬ ‫كٞم‬‫كٞم‬
𝑛C
ٕ‫ار‬:‫األسار٤ت‬ ‫ٓؾٞس‬ ٙ‫ارغب‬ ٢‫ك‬ ‫شِغٔ٤ب‬ ‫كشػب‬ َ‫٣وج‬. 𝑛C
1C2C
1C2C
1C2C
0,1
lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑛 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→+∞
1 +
𝑛
𝑛𝑥𝑒 𝑛𝑥
= 1 +
𝑛
+∞
= 1
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:
ٖ٤٤٘‫ُِٔ٘ؾ‬ ٢‫اُ٘غج‬ ‫اُٞػغ‬ ‫ُذساعخ‬ٝ
‫ٗذسط‬‫ا‬‫اُلشم‬ ‫شبسح‬:𝑔1 𝑥 − 𝑔2 𝑥
‫ُذ٣٘ب‬:
1C2C
𝑔1 𝑥 − 𝑔2 𝑥 = 𝑥 + 𝑒−𝑥
− 𝑥 + 𝑒−2𝑥
= 𝑒−𝑥
− 𝑒−2𝑥
= 𝑒−𝑥
1 − 𝑒−𝑥
𝐼 𝑥 = 𝑡
𝑢
𝑒−2𝑡
𝑣′
𝑥
0
𝑑𝑡
⟺ 𝐼 𝑥 =
−𝑡𝑒−2𝑡
2 0
𝑥
+
1
2
𝑒−2𝑡
𝑥
0
𝑑𝑡
⟺ 𝐼 𝑥 =
−𝑡𝑒−2𝑡
2 0
𝑥
+
1
2
−𝑒−2𝑡
2 0
𝑥
⟺ 𝐼 𝑥 =
−𝑥𝑒−2𝑥
2
+
1
2
−𝑒−2𝑥
2
+
1
2
∎‫أ‬ 3

22. ‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟐𝟏 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
⟺ 𝐼 𝑥 =
−𝑒−2𝑥
4
2𝑥 + 1 − 𝑒2𝑥
‫ُذ٣٘ب‬:∀ 𝑥 𝜖 0; ln 2 ; 𝑕2 𝑥 = 𝑥 + 𝑒−2𝑥
ٝ∀ 𝑥 𝜖 0; ln 2 ; 𝑕2 𝑥 > 0
‫ُـ‬ ٢ٗ‫أُج٤ب‬ َ٤‫اُزٔض‬ ٕ‫دٝسا‬ ٙ‫٣ُٞذ‬ ١‫اُز‬ ٕ‫اُذٝسا‬ ْ‫ٓغغ‬ ْ‫ؽغ‬ ٕ‫ار‬𝑕2
ٞٛ َ٤‫األكبط‬ ‫ٓؾٞس‬ ٍٞ‫ؽ‬:
ٕ‫ار‬𝑢 𝑛 𝑛𝜖ℕٝ𝑣 𝑛 𝑛𝜖ℕ‫اُظلش‬ ٠ُ‫ا‬ ‫ٓؼب‬ ٕ‫رئٝال‬ ٝ ٕ‫ٓزوبسثزب‬ ٕ‫ٓززبُ٤زب‬.
𝐈𝐈 ∎1
‫ُذ٣٘ب‬:𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥 + 𝑒 𝑛𝑥
ٕ‫ار‬
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ٍٝ‫عذ‬ ٕ‫ار‬ ‫ٗغز٘زظ‬٢ِ٣ ‫ًٔب‬:
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ٍٝ‫عذ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬𝑓𝑛:
𝐈𝐈 ∎2
𝑓𝑛٠ِ‫ػ‬ ‫هطؼب‬ ‫رضا٣ذ٣خ‬ ٝ ‫ٓزظِخ‬ ‫داُخ‬ℝ
ٕ‫ار‬𝑓𝑛ٖٓ َ‫روبث‬ℝٞ‫ٗؾ‬ℝ.
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ:0‫ٝاؽذا‬ ‫عبثوب‬ َ‫٣وج‬ ٚٗ‫كب‬ ٢‫ؽو٤و‬ ‫ػذد‬𝛼 𝑛َ‫ثبُزوبث‬𝑓𝑛
‫آخش‬ ‫ثزؼج٤ش‬:∃! 𝛼 𝑛 𝜖 ℝ ; 𝑓𝑛 𝛼 𝑛 = 0
𝐈𝐈 ∎3‫أ‬
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ٖٓ َ‫روبث‬ℝٞ‫ٗؾ‬ℝ
ٕ‫كب‬ٍ‫ٓغب‬ ١‫أ‬ ٖٓ َ‫روبث‬𝐼ٖٓℝٚ‫طٞسر‬ ٞ‫ٗؾ‬𝑓𝑛 (𝐼).
ٍ‫أُغب‬ ‫ٗؤخذ‬− ln 2 ;
−1
2
َ‫أع‬ ٖٓ ٍٞ‫ٗو‬ ٝ𝑛 = 1:
𝑓1ٖٓ َ‫روبث‬− ln 2 ;
−1
2
ٚ‫طٞسر‬ ٞ‫ٗؾ‬
1
2
− ln 2 ;
−1
2
+ 𝑒
−1
2
٠ِ‫ػ‬ َ‫ٗؾظ‬ ‫أُوشثخ‬ ْ٤‫اُو‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬ ٝ:
𝑓1ٖٓ َ‫روبث‬− ln 2 ;
−1
2
ٞ‫ٗؾ‬−0,2 ; 0,1
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ0 𝜖 −0,2 ;0,1‫ٝاؽذا‬ ‫عبثوب‬ ‫٣ٔزِي‬ ٚٗ‫كب‬𝛼1ٖٓ− ln 2 ;
−1
2
٢٘‫٣ؼ‬:∃! 𝛼1 𝜖 – ln 2 ;
−1
2
; 𝑓1 𝛼1 = 0
𝐈𝐈 ∎3‫ب‬
‫ُذ٣٘ب‬𝑓1 𝛼1 = 0ٕ‫ار‬:𝛼1 + 𝑒 𝛼1 = 0ٚ٘ٓ ٝ:−𝛼1 = 𝑒 𝛼1
‫األونى‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒙 − 𝜶 𝟏 > 0
ٕ‫كب‬:𝑥 > 𝛼1ٚ٘ٓ ٝ𝑒 𝑥
> 𝑒 𝛼1
٢٘‫٣ؼ‬:𝑒 𝑥
> −𝛼1ٕ‫ار‬:𝑒 𝑥
+ 𝛼1 > 0
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬:‫كان‬ ‫إرا‬𝒙 − 𝜶 𝟏 < 0
ٕ‫كب‬:𝑥 < 𝛼1ٚ٘ٓ ٝ𝑒 𝑥
< 𝑒 𝛼1
٢٘‫٣ؼ‬:𝑒 𝑥
< −𝛼1ٕ‫ار‬:𝑒 𝑥
+ 𝛼1 < 0
ٖ٤‫أٌُ٤ز‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫اُؾبُز‬ ٖ٤‫ٛبر‬ ٖٓ ‫ٗغز٘زظ‬𝑥 − 𝛼1ٝ𝑒 𝑥
+ 𝛼1
‫اإلشبسح‬ ‫ٗلظ‬ ‫ُٜٔب‬.
𝐈𝐈 ∎‫أ‬ 4
١‫أ‬:∀ 𝑥 𝜖 −∞ ;
−1
2
; 𝜑′
(𝑥) ≤ 0
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝜑ٍ‫أُغب‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ر٘بهظ٤خ‬ ‫داُخ‬−∞ ;
−1
2
ٕ‫ار‬𝑕2ٍ‫أُغب‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ٓزظِخ‬:0; ln 2
𝑉 = 𝜋 𝑕2 𝑥
2
ln 2
0
𝑑𝑥
⟺ 𝑉 = 𝜋 𝑥 + 𝑒−2𝑥 2
ln 2
0
𝑑𝑥
⟺ 𝑉 = 𝜋 𝑥2
+ 𝑒−4𝑥
+ 2𝑥𝑒−2𝑥
ln 2
0
𝑑𝑥
⟺ 𝑉 = 𝜋
𝑥3
3 0
ln 2
+
−𝑒−4𝑥
4 0
ln 2
+ 2𝐼 ln 2
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬: 1‫ب‬
𝑢 𝑛 =
ln 𝑛
𝑛
‫و‬ 𝑣 𝑛 = 𝑔 𝑛 𝑢 𝑛 =
1 + ln 𝑛
𝑛
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ:ٝlim
𝑛∞
ln 𝑛
𝑛
= 0 lim
𝑛∞
1 + ln 𝑛
𝑛
= 0
𝑥 +∞
−∞
𝑓𝑛
+𝑓𝑛
′
(𝑥)
+∞
−∞
‫ُذ٣٘ب‬:𝜑 𝑥 = 𝑒 𝑥
−
1
𝑒
𝑥
ٕ‫ار‬:𝜑′ 𝑥 = 𝑒 𝑥
−
1
𝑒
َ‫أع‬ ٖٓ:𝑥 ≤
−1
2
‫ُذ٣٘ب‬:𝑒 𝑥
≤ 𝑒
−1
2 =
1
𝑒
ٚ٘ٓ ٝ:𝑒 𝑥
−
1
𝑒
≤ 0
⟺ 𝑉 = 𝜋
ln 2 3
3
−
ln 2
4
+
39
64
∎4‫ب‬
∎5
𝑓𝑛
′
𝑥 = 1 + 𝑛𝑒 𝑛𝑥
> 0
𝑓𝑛
𝑓𝑛
𝑓𝑛

23. ‫اُذاُخ‬ ٕ‫أ‬ ِْ‫ٗؼ‬𝐸𝑥𝑝٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ‫هبثِخ‬ℝ.
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟐𝟐 ‫االستدراكية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2003
𝐈𝐈 ∎4‫ب‬
ٖٓ ٍ‫ٓغب‬ ١‫أ‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫أُ٘زٜ٤خ‬ ‫اُزضا٣ذاد‬ ‫ٓجشٛ٘خ‬ ‫رطج٤ن‬ ‫ٗغزط٤غ‬ ٕ‫ار‬ℝ.
ٙ‫ؽشكب‬ ١‫اُز‬ ٍ‫أُغب‬ ‫ٗخزبس‬𝛼1ٝ𝑥‫ثؾ٤ش‬:𝑥 𝜖 −∞ ;
−1
2
‫٣ٞعذ‬ ٕ‫ار‬𝑐ٖ٤‫ث‬ ‫ٓؾظٞس‬𝛼1ٝ𝑥‫ثؾ٤ش‬:
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ𝑒 𝑥
+ 𝛼1ٝ𝑥 − 𝛼1ٕ‫كب‬ ‫اإلشبسح‬ ‫ٗلظ‬ ‫ُٜٔب‬:
‫ُذ٣٘ب‬ ٟ‫أخش‬ ‫عٜخ‬ ٖٓ:𝑐 𝜖 −∞ ;
−1
2
ٕ‫ار‬:𝑐 <
−1
2
ٚ٘ٓ ٝ:𝑒 𝑐
<
1
𝑒
‫أُٞعت‬ ‫اُؼذد‬ ٢‫ك‬ ‫أُزلبٝرخ‬ ٙ‫ٛز‬ ٢‫ؽشك‬ ‫ٗؼشة‬𝑥 − 𝛼1٠ِ‫ػ‬ َ‫ٗؾظ‬:
ٖ٤‫اُ٘ز٤غز‬ ٖٓ∗ٝ∗∗ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
𝐈𝐈 ∎‫أ‬ 5
ٕ‫أ‬ ٠ِ‫ػ‬ ٖٛ‫ٗجش‬ ٕ‫أ‬ ‫٣غت‬ ‫اُجذا٣خ‬ ٢‫ك‬:
َ‫أع‬ ٖٓ:𝑛 = 0‫ُذ٣٘ب‬:
−1
𝑒
≤ 𝛽0 =
−1
2
≤
−1
2
ٕ‫أ‬ ‫ٗلزشع‬:∀𝑛𝜖ℕ ∶
−1
𝑒
≤ 𝛽𝑛 ≤
−1
2
ٕ‫ار‬:𝑒
−1
𝑒 ≤ 𝑒 𝛽 𝑛 ≤ 𝑒
−1
2
ٚ٘ٓ ٝ:
−1
𝑒
≤ −𝑒 𝛽 𝑛 ≤ −𝑒
−1
𝑒
‫ٗغذ‬ ‫اُؾبعجخ‬ ‫ثب٥ُخ‬ ‫ثبالعزؼبٗخ‬:−𝑒
−1
𝑒 ≈ −0,54 <
−1
2
ٕ‫ار‬:
−1
𝑒
≤ −𝑒 𝛽 𝑛 ≤
−1
2
١‫أ‬:∀𝑛𝜖ℕ ∶
−1
𝑒
≤ 𝛽𝑛+1 ≤
−1
2
‫اُزشعغ‬ ‫ٓجذأ‬ ‫ؽغت‬ ٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:∀𝑛𝜖ℕ ∶
−1
𝑒
≤ 𝛽𝑛 ≤
−1
2
‫اُشن‬ ٞٛ ‫اُزؤؽ٤ش‬ ‫ٛزا‬ ٢‫ك‬ ‫٣ٜٔ٘ب‬ ‫ٓب‬:𝛽𝑛 ≤
−1
2
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫رطج٤ن‬ َ‫أع‬ ٖٓ ‫رُي‬ ٝ
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬:
َ‫أع‬ ٖٓ ٕ‫ار‬:𝑥 = 𝛽𝑛٠ُ‫ا‬ ٢ٔ‫أُ٘ز‬−∞ ;
−1
2
‫ؽغت‬⋆‫ٗغذ‬:
‫اُ٘ز٤غخ‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬ ‫ُذ٣٘ب‬777:
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬𝛼1 < 0ٕ‫كب‬:
1
2
+ 𝛼1 <
1
2
𝑒 𝑥
− 𝑒 𝛼1
𝑥 − 𝛼1
= 𝑒 𝑐
⟺
𝑒 𝑥
+ 𝛼1
𝑥 − 𝛼1
= 𝑒 𝑐
⟹
𝑒 𝑥
+ 𝛼1
𝑥 − 𝛼1
= 𝑒 𝑐
⟺ 𝑒 𝑥
+ 𝛼1 = 𝑒 𝑐
𝑥 − 𝛼1
∗∗ 𝑒 𝑐
𝑥 − 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑥 − 𝛼1
∀ 𝑥 𝜖 −∞ ;
−1
2
; 𝑒 𝑥
+ 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑥 − 𝛼1
∀𝑛𝜖ℕ ∶
−1
𝑒
≤ 𝛽𝑛 ≤
−1
2
‫ب‬
‫ب‬
∀ 𝑥 𝜖 −∞ ;
−1
2
; 𝑒 𝑥
+ 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑥 − 𝛼1
𝑒 𝛽 𝑛 + 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝛽𝑛 − 𝛼1
⟺ −𝑒 𝛽 𝑛 − 𝛼1 = 𝑒 𝛽 𝑛 + 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝛽𝑛 − 𝛼1
⟺ 𝛽𝑛+1 − 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝛽𝑛 − 𝛼1
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:∃𝑎 =
1
𝑒
𝜖 ℝ 𝛽𝑛+1 − 𝛼1 ≤ 𝑎 𝛽𝑛 − 𝛼1
ٕ‫ار‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛽𝑛 − 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑛
−1
2
− 𝛼1
⟺ ∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛽𝑛 − 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑛
1
2
+ 𝛼1
ٕ‫أ‬ ‫ٗالؽع‬:‫أُٞعت‬ ‫اُؼذد‬ ‫أعبعٜب‬ ‫ٛ٘ذع٤خ‬ ‫ٓززبُ٤خ‬
ٖٓ ‫األطـش‬ ٝ1:
1
𝑒
𝑛+1
1
𝑒
ٕ‫ار‬:lim
𝑛∞
1
𝑒
𝑛+1
= 0
‫اُزؤؽ٤ش‬ ‫ؽغت‬ ٚ٘ٓ ٝ1111ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:lim
𝑛∞
𝛽𝑛 − 𝛼1 = 0
∗
⋆
777
ٚ٘ٓ ٝ:∀𝑛𝜖ℕ ; 𝛽𝑛 − 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝑛+1
1111
١‫أ‬:lim
𝑛∞
𝛽𝑛 = 𝛼1
⟺ 𝛽𝑛 − 𝛼1 ≤
1
𝑒
𝛽𝑛−1 − 𝛼1
≤
1
𝑒
2
𝛽𝑛−2 − 𝛼1
≤
1
𝑒
3
𝛽𝑛−3 − 𝛼1
⋮ ⋮
≤
1
𝑒
𝑛
𝛽0 − 𝛼1

24. ‫املوحد‬ ‫الوطين‬ ‫اإلمتحان‬
‫البكالوريا‬ ‫شهادة‬ ‫لنيل‬
‫العادية‬ ‫الدورة‬2004
‫األول‬ ‫انتمشٌه‬:(3,0‫ن‬)
‫أ‬
‫ب‬
0,50‫ن‬
‫املغربية‬‫اململكة‬
‫لي‬‫ا‬‫لع‬‫ا‬‫لتعليم‬‫ا‬ ‫و‬ ‫لوطنية‬‫ا‬ ‫لرتبية‬‫ا‬ ‫وزارة‬
‫لعلمي‬‫ا‬ ‫لبحث‬‫ا‬‫و‬ ‫األطر‬‫ين‬‫و‬‫تك‬‫و‬
‫نات‬‫ا‬‫اإلمتح‬‫و‬ ‫يم‬‫و‬‫للتق‬ ‫لوطين‬‫ا‬ ‫املركس‬
‫الرياضيات‬ ‫مادة‬
‫ب‬ ‫و‬ ‫أ‬ ‫الرياضية‬ ‫العلوم‬ ‫مسلك‬
‫املعامل‬10
‫اإلجناز‬ ‫مدة‬:‫ساعات‬ ‫أربع‬
‫به‬ ‫مسموح‬ ‫للبرمجة‬ ‫القابلة‬ ‫الغير‬ ‫الحاسبة‬ ‫استعمال‬
ٌٖ٤ُ𝑛‫ؽج٤ؼ٤ب‬ ‫طؾ٤ؾب‬ ‫ػذدا‬.
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬ ٚٗ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑛ٕ‫كب‬ ‫كشد٣ب‬ ‫ػذدا‬𝑛2
≡ 1 8.
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬ ٚٗ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑛ٕ‫كب‬ ‫صٝع٤ب‬ ‫ػذدا‬𝑛2
≡ 0 8ٝ‫أ‬𝑛2
≡ 4 8.
ٌٖ٤ُ𝑎ٝ𝑏ٝ𝑐‫كشد٣خ‬ ‫ؽج٤ؼ٤خ‬ ‫طؾ٤ؾخ‬ ‫أػذاد‬.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
‫ًبٓال‬ ‫ٓشثؼب‬ ‫ُ٤ظ‬.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐 ≡ 6 8.
(ٕ‫أ‬ ‫الؽع‬:𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐‫ًبٓال‬ ‫ٓشثؼب‬ ‫ُ٤ظ‬.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐‫ًبٓال‬ ‫ٓشثؼب‬ ‫ُ٤ظ‬.
‫انتمشٌه‬ً‫انثاو‬:(3,0‫ن‬)
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀ 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ∗2
; 𝑀𝑎 × 𝑀𝑏 = 𝑀𝑎𝑏.
ٌٖ٤ُ𝜑ٖٓ ‫أُؼشف‬ ‫اُزطج٤ن‬ℝ∗
ٞ‫ٗؾ‬𝐸٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝜑 𝑎 = 𝑀𝑎.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝜑ٖٓ ًَ‫رشب‬ℝ∗
,×ٞ‫ٗؾ‬𝐸,×.
‫ُـ‬ ‫اُغجش٣خ‬ ‫اُج٘٤خ‬ ‫اعز٘زظ‬𝐸,×.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬∀ 𝑎, 𝑏 𝜖ℝ∗2
; 𝑁𝑎 × 𝑁𝑏 = 𝑀 𝑏
𝑎
.
‫ٗؼغ‬ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬ ،:𝐺,×‫صٓشح‬.
َٛ𝐺,×‫؟‬ ‫رجبدُ٤خ‬ ‫صٓشح‬
ٌٖ‫ُز‬𝐸ٌَ‫ش‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫رٌزت‬ ٢‫اُز‬ ‫أُظلٞكبد‬ ‫ٓغٔٞػخ‬:𝑀𝑎 =
𝑎
1
3
𝑎 −
1
𝑎
0
1
𝑎
ٝ𝐹٢ِ٣ ‫ثٔب‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫أُظلٞكبد‬ ‫ٓغٔٞػخ‬:𝑁𝑎 =
𝑎
1
3
𝑎 −
1
𝑎
−𝑎 3 −𝑎
1
2
‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
‫د‬
‫أ‬ 1
‫ب‬
‫ج‬
‫أ‬ 2
‫ب‬
‫ج‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
𝐺 = 𝐸 ∪ 𝐹
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:23

25. 𝑰
‫انثانث‬ ‫انتمشٌه‬:(3,5‫ن‬)
1
‫أ‬
‫ب‬
‫د‬
2
4
0,75‫ن‬٢‫ك‬ َ‫ؽ‬ℂ‫أُؼبدُخ‬:𝑧2
+ 𝑧 + 1 = 0.
١‫ػوذ‬ ‫ػذد‬ ٌَُ𝑧‫ؽ٤ش‬:𝑧 = 𝑒 𝒾𝜃
= cos 𝜃 + 𝒾 sin 𝜃
ٕ‫أ‬ ‫رؾون‬:1 + 𝑧 + 𝑧2
= 1 + 𝑧 + 𝑧.
‫ػٔذح‬ ٝ ‫ٓؼ٤بس‬ ‫اؽغت‬𝑧′‫ثذالُخ‬𝜃.
‫ٗؼغ‬:𝑧′
= 𝑥 + 𝒾𝑦‫ؽ٤ش‬𝑥, 𝑦 𝜖ℝ2
.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:𝑥2
+ 𝑦2
= 1 − 2𝑥 2
.
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬𝑀‫اُِؾن‬ ‫راد‬𝑧′ٚ٤‫ٓوبسث‬ ٝ ٚ٤‫سأع‬ ٝ ٙ‫ٓشًض‬ ‫رؾذ٣ذ‬ ْ‫٣ز‬ ٍُٞ‫ٛذ‬ ٠ُ‫ا‬ ٢ٔ‫ر٘ز‬.
‫انتمشٌه‬‫انشاتغ‬:(10‫ن‬)
‫ٜٗب٣بد‬ ‫أؽغت‬𝑓‫رؼش٣لٜب‬ ‫ٓغٔٞػخ‬ ‫ٓؾذاد‬ ‫ػ٘ذ‬𝒟𝑓.
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ‫أدسط‬𝑓.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀𝑥𝜖ℝ ; 𝑒 𝑥
≥ 𝑥 + 1.
‫أُززبُ٤خ‬ ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝑢 𝑛‫ٜٗب٣زٜب‬ ‫ؽذد‬ ٝ ‫ٓزوبسثخ‬.
‫أُززبُ٤خ‬ ‫ٜٗب٣خ‬ ‫ؽذد‬𝑣𝑛.
ٌٖ٤ُ‫ُِذاُخ‬ َ‫أُٔض‬ ٠٘‫أُ٘ؾ‬𝑓ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٢‫ك‬. C
٠٘‫ُِٔ٘ؾ‬ ‫اُالٜٗبئ٤خ‬ ‫اُلشٝع‬ ‫أدسط‬. C
‫أٗش٠ء‬. C
‫ٓغ‬:ٝٝ𝜃 ≠
−2𝜋
3
−𝜋 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋𝜃 ≠
2𝜋
3
‫ٗؼزجش‬𝑓٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬ℝ∗
٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝑓 𝑥 =
𝑒−𝑥
𝑥
ٌٖ‫ُز‬𝑢 𝑛٢ِ٣ ‫ثٔب‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫اُؼذد٣خ‬ ‫أُززبُ٤خ‬:𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛
2
𝑓 𝑢 𝑛 = 𝑢 𝑛 𝑒−𝑢 𝑛 ; ∀𝑛𝜖ℕ
𝑢0 = 1
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬:∀𝑥 > 0 ; 𝑥2
𝑓 𝑥 ≤
𝑥
𝑥 + 1
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬ ‫ثبُزشعغ‬ ٕ‫اُجشٛب‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬:∀𝑛𝜖ℕ ; 0 < 𝑢 𝑛 ≤
1
𝑛 + 1
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀𝑛𝜖ℕ∗
; 𝑣𝑛 = ln
1
𝑢 𝑛
3
2
1
‫أ‬
‫ب‬
𝑰𝑰
1
2
3‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
0,75‫ن‬
0,75‫ن‬
0,75‫ن‬‫ج‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,75‫ن‬
0,75‫ن‬
0,50‫ن‬
‫ٗؼغ‬:𝑧′
=
1
𝑧2 + 𝑧 + 1
‫ػ٘ظش‬ ًَ َ‫أع‬ ٖٓ ‫ٗؼغ‬𝑛ٖٓℕ∗
:𝑣𝑛 = 𝑢 𝑘
𝑛−1
𝑘=0
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:24
𝑧

26. 1‫أ‬
‫ب‬
2
3
4
5
‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬ ‫ٗؼزجش‬𝐹٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬0, +∞٢ِ٣ ‫ثٔب‬:
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀𝑥 > 0 ; −3𝑥2
≤ 𝐹 𝑥 − 2 ln 2 ≤ 0.
ٕ‫أ‬ ‫اعز٘زظ‬𝐹٢‫ك‬ ٖ٤ٔ٤ُ‫ا‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ‫هبثِخ‬ ٝ ‫ٓزظِخ‬0.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬∀𝑡 ≥ 1 ; 𝑡 < 𝑒−𝑡
.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬𝐹ٍ‫أُغب‬ ٠ِ‫ػ‬ ‫ُإلشزوبم‬ ‫هبثِخ‬0, +∞‫اؽغت‬ ٝ𝐹′ 𝑥.
‫اُذاُخ‬ ‫رـ٤شاد‬ ٍٝ‫عذ‬ ‫اػؾ‬𝐹.
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬:∀𝑥 > 0 ; 𝐺 𝑥 = 𝐹 𝑥 − 𝑒−4𝑥
𝑙𝑛 4𝑥 + 𝑒−𝑥
𝑙𝑛 𝑥.
‫اعز٘زظ‬:lim
𝑥→0
𝑥>0
𝐺(𝑥)
‫اُزبُ٤خ‬ ‫اُٜ٘ب٣خ‬ ‫أؽغت‬:lim
𝑥→0
𝑥>0
𝑒−𝑥
− 𝑒−4𝑥
ln 𝑥
ٌٖ‫ُز‬𝐺٠ِ‫ػ‬ ‫أُؼشكخ‬ ‫اُؼذد٣خ‬ ‫اُذاُخ‬0, +∞٢ِ٣ ‫ثٔب‬:𝐺 𝑥 = 𝑒−𝑡
ln 𝑡
4𝑥
𝑥
𝑑𝑡
ٕ‫أ‬ ‫رؾون‬:∀𝑥 > 0 ;
1
𝑡
4𝑥2
𝑥2
𝑑𝑡 = 2 ln 2
‫اُزبُ٤خ‬ ‫اُٜ٘ب٣خ‬ ‫اعز٘زظ‬:lim
𝑥→+∞
𝐹(𝑥)
∀𝑥 > 0 ; 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡
4𝑥2
𝑥2
𝑑𝑡𝐹 0 = 2 ln 2 ٝ
ٕ‫أ‬ ٖ٤‫ث‬ ٢ٗ‫اُضب‬ ‫اُغضء‬ ٖٓ ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ٍ‫ثبعزؼٔب‬:∀t > 0 ; −𝑡 < 𝑒−𝑡
− 1 ≤ 0. 1
‫ج‬‫أٗش٠ء‬ْ‫ٓٔ٘ظ‬ ‫ٓزؼبٓذ‬ ِْ‫ٓؼ‬ ٢‫ك‬. C 𝐹
𝑰𝑰𝑰
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
‫أ‬
‫ب‬
‫ج‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
0,25‫ن‬
0,50‫ن‬
0,75‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,50‫ن‬
0,25‫ن‬
𝑓
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫اقتراح‬ ‫من‬ ‫األجوبة‬-http:/www.professeurbadr.blogspot.com-‫رمضان‬2012-‫الصفحة‬:25

27. ٌٖ٤ُ𝑛‫كشد٣ب‬ ‫ػذدا‬
‫الفاتحي‬ ‫الدين‬ ‫بدر‬ ‫األستاذ‬ ‫إعداد‬ ‫من‬:(http:/www.professeurbadr.blogspot.com)‫رمضان‬2012‫الصفحة‬:𝟐𝟔 ‫العادية‬ ‫الدورة‬ ‫أجوبة‬2004
ٕ‫ار‬:∃𝑘𝜖ℕ ; 𝑛 = 2𝑘 + 1
𝑘ٝ𝑘 + 1١‫كشد‬ ‫أؽذٛٔب‬ ٕ‫ار‬ ٕ‫ٓززبثؼب‬ ٝ ٕ‫ؽج٤ؼ٤ب‬ ٕ‫طؾ٤ؾب‬ ٕ‫ػذدا‬
٢‫صٝع‬ ‫ا٥خش‬ ٝ.‫اُغذاء‬ ٕ‫كب‬ ٚ٘ٓ ٝ𝑘 𝑘 + 1‫دائٔب‬ ٢‫صٝع‬ ‫ػذد‬.
ٕ‫ار‬:∃𝑚𝜖ℕ ; 𝑘(𝑘 + 1) = 2𝑚
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ:𝑛2
= 4𝑘 𝑘 + 1 + 1 = 8𝑚 + 1
ٌٖ٤ُ𝑛‫صٝع٤ب‬ ‫ػذدا‬.
ٕ‫أ‬ ٢٘‫٣ؼ‬ ‫ٛزا‬:∃𝑘𝜖ℕ ; 𝑛 = 2𝑘
٢‫اُطج٤ؼ‬ ‫اُظؾ٤ؼ‬ ‫اُؼذد‬𝑘‫صٝع٤ب‬ ٝ‫أ‬ ‫كشد٣ب‬ ٌٕٞ٣ ٕ‫أ‬ ٌٖٔ٣.
‫األونى‬ ‫انحانح‬:𝒌ً‫صوج‬ ‫ػذد‬
ٕ‫ار‬:∃𝑝𝜖ℕ ; 𝑘 = 2𝑝
ٚ٘ٓ ٝ:𝑛 = 4𝑝٢٘‫٣ؼ‬:𝑛2
= 16𝑝2
= 8 2𝑝2
ٕ‫ار‬:8 ∕ 𝑛2
ٚ٘ٓ ٝ:𝑛2
≡ 0 8
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬:𝒌‫فشدي‬ ‫ػذد‬
ٕ‫ار‬:∃𝑞𝜖ℕ ; 𝑘 = 2𝑞 + 1
ٚ٘ٓ ٝ:𝑛 = 4𝑞 + 2٢٘‫٣ؼ‬:𝑛2
− 4 = 8 2𝑞2
+ 2𝑞
ٕ‫ار‬:8 ∕ 𝑛2
− 4ٚ٘ٓ ٝ:𝑛2
≡ 4 8
‫انخالصح‬:
ٕ‫ًب‬ ‫ارا‬𝑛ٕ‫كب‬ ‫صٝع٤ب‬ ‫ػذدا‬:𝑛2
≡ 0 8ٝ‫أ‬𝑛2
≡ 4 8
١‫كشد‬ ‫ػذد‬ ٞٛ ‫كشد٣خ‬ ‫أػذاد‬ ‫صالصخ‬ ‫ٓغٔٞع‬ ٕ‫أ‬ ‫اُجذا٣خ‬ ٢‫ك‬ ُ‫ش‬ًَِّ‫ز‬ُٗ
‫كشد٣ب‬ ‫ػذدا‬ ‫دائٔب‬ ٌٕٞ٣ ١‫كشد‬ ‫ػذد‬ ١‫أ‬ ‫ٓشثغ‬ ٕ‫أ‬ ٝ.
⟺ ∃𝑘𝜖ℕ ; 𝑛2
= 2𝑘 + 1 2
⟺ ∃𝑘𝜖ℕ ; 𝑛2
= 4𝑘2
+ 4𝑘 + 1
⟺ ∃𝑘𝜖ℕ ; 𝑛2
= 4𝑘 𝑘 + 1 + 1
⟺ 𝑛2
− 1 = 8𝑚
⟺ 𝑛2
≡ 1 8
ٕ‫أ‬ ‫ٗلزشع‬َٓ‫ًب‬ ‫ٓشثغ‬.
ٕ‫ار‬:∃𝑑𝜖ℕ ; 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
= 𝑑2
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬𝑎ٝ𝑏ٝ𝑐‫أ‬ٕ‫كب‬ ‫كشد٣خ‬ ‫ػذاد‬‫ًزُي‬ ١‫كشد‬ ‫ػذد‬.
ٕ‫ار‬:𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≡ 3 8
‫ُذ٣٘ب‬𝑑ٝ𝑑2
ٕ‫كشد٣ب‬ ٕ‫ػذدا‬
ٖٓ1ٝ2ٝ3ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:3 ≡ 1 8
ٕ‫أ‬ ٢٘‫٣ؼ‬:8 ∕ 2ٚ‫ؽذٝص‬ َ٤‫ٓغزؾ‬ ‫ٛزا‬ ٝ
٢ُ‫ثبُزب‬ ٝ𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
‫ًبٓال‬ ‫ٓشثؼب‬ ‫ُ٤ظ‬.
‫ُذ٣٘ب‬𝑎ٝ𝑏ٝ𝑐‫كشد٣خ‬ ‫أػذاد‬.
ٚ٘ٓ ٝ:𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≡ 3 8
ٕ‫أ‬ ‫ثٔب‬ ٝ𝑎ٝ𝑏ٝ𝑐ٕ‫كب‬ ‫كشد٣خ‬ ‫أػذاد‬𝑎 + 𝑏 + 𝑐‫ًزُي‬ ١‫كشد‬ ‫ػذد‬
ٖٓ4ٝ5ٕ‫أ‬ ‫ٗغز٘زظ‬:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
− 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≡ 1 − 3 8
٢٘‫٣ؼ‬:𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
− 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≡ −2 8
ٕ‫أ‬ ِْ‫ٗؼ‬ ٝ:−2 ≡ 6 8
ٕ‫ار‬:𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
− 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
≡ 6 8
ٕ‫أل‬:𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
= 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
+ 2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
‫اُؼذد‬ ٕ‫أ‬ ‫ٗلزشع‬2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐َٓ‫ًب‬ ‫ٓشثغ‬.
ٕ‫ار‬:∃𝑚𝜖ℕ ; 2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑚2
‫ُذ٣٘ب‬ ٝ2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐٢‫صٝع‬ ‫ػذد‬
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ٕ‫ار‬:
𝑚2
≡ 0 8ٝ‫أ‬𝑚2
≡ 4 8
‫األونى‬ ‫انحانح‬ ً‫ف‬:𝒎 𝟐
≡ 𝟎 𝟖
ٕ‫ار‬:6 ≡ 0 8َ٤‫ٓغزؾ‬ ‫ٛزا‬ ٝ.ٕ‫أل‬8ْ‫روغ‬ ‫ال‬6
‫انثاوٍح‬ ‫انحانح‬ ً‫ف‬:𝒎 𝟐
≡ 𝟒 𝟖
ٕ‫ار‬:6 ≡ 4 8َ٤‫ٓغزؾ‬ ‫ٛزا‬ ٝ.ٕ‫أل‬8ْ‫روغ‬ ‫ال‬2
ً‫تانتان‬ ‫و‬:2 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐‫ًبٓال‬ ‫ٓشثؼب‬ ‫ُ٤ظ‬.
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ٚ٘ٓ ٝ1‫أ‬
𝑎2
≡ 1 8
𝑏2
≡ 1 8
𝑐2
≡ 1 8
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ٕ‫ار‬𝑑2
≡ 1 8 1‫أ‬3
2
1
1‫ب‬ ∎
‫ب‬ 2 ∎
‫األول‬ ‫التمرين‬:(3,0‫ن‬)
1‫أ‬ ∎
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ٕ‫ار‬: 1‫أ‬
𝑎2
≡ 1 8
𝑏2
≡ 1 8
𝑐2
≡ 1 8
4
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ٚ٘ٓ ٝ𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2
≡ 1 8 ‫أ‬ 15
ٚ٘ٓ ٝ:𝑚ٝ𝑚2
ٕ‫ػذدا‬ٕ‫صٝع٤ب‬.
1‫ب‬
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬𝑚2
≡ 6 8 2‫ب‬
ٍ‫اُغئا‬ ‫ٗز٤غخ‬ ‫ؽغت‬ ‫ُذ٣٘ب‬𝑚2
≡ 6 8 2‫ب‬
ٚ٘ٓ ٝ:2 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 ≡ 6 8⋆
‫ج‬ 2 ∎
∎‫أ‬ 2
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2