Фрактальная геометрия и программирование на Python

Фрактальная геометрия
и программирование на Python
(школа учителей 2018)
Незнанов Алексей Андреевич,
доцент департамента анализа данных и искусственного интеллекта факультета
компьютерных наук НИУ ВШЭ,
старший научный сотрудник международной лаборатории интеллектуальных
систем и структурного анализа ФКН НИУ ВШЭ
© 2018, Незнанов А.А., МНУЛ ИССА ФКН НИУ ВШЭ 1

Математика и фракталы
✓ Фракталы
✓ Типы и способы задания
✓ Рекурсивные функции
✓ Дробная размерность
✓ Примеры

Фрактал
• Фрактал [fractal] -
1. множество, обладающее свойством самоподобия
2. Рекурсивно-определённое бесконечное множество,
хаусдорфова размерность которого больше топологической
размерности
• Требование не выполняется для Гильбертовых кривых, которые часто
также относят к фракталам
• На удивление хорошо представлены в Википедии:
• http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

Типы фракталов
• Обычно выделяют три основных типа фракталов:
1. Геометрический фрактал
• Рекурсивный генератор бесконечной линии или поверхности
2. Алгебраический фрактал
• Нелинейная динамическая система
3. Стохастический фрактал
• Случайный процесс с изменяющимися параметрами
• Только геометрические фракталы визуализируются
«напрямую» в виде конкретной фигуры
• Остальные типы позволяют визуализировать некоторую
«проекцию», «срез», «реализацию» и т.п.

Популярные фракталы
• Множество Кантора [Cantor set] – нигде не плотное несчётное
совершенное множество
• Кривая Коха [Koch curve] – несамопересекающаяся
непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая
касательной ни в одной точке
• Треугольник Серпинского [Sierpinski triangle] («скатерть») +
ковёр Серпинского – аналоги множества Кантора на плоскости
• Губка Менгера [Menger sponge] – аналог множества Кантора в
трёхмерном пространстве
• Функция Вейерштрасса [Weierstrass function] – нигде не
дифференцируемая непрерывная функция
• Кривая Пеано [Space-filling curve] – непрерывная кривая,
проходящая через все точки квадрата

«Снежинка Коха» – определение
• Снежинка Коха [Koch snowflake]
• Хельге фон Кох, 1904 год
• Замкнутая кривая бесконечной длины –
Геометрический фрактал в 2D
• Нигде не дифференцируема
• Коэффициент подобия = 1/3
• Хаусдорфова размерность = ln 4/ln 3 ≈ 1,26
• Итеративная процедура построения
• Начать с равностороннего треугольника
• Его стороны – начальные три отрезка
• Каждый отрезок заменяем на три новых отрезка:

«Снежинка Коха» – анимация
© 2015, Vermip

Обобщения кривой Коха
• Принципы
• Изменения угла: от 60° до 90°
• Изменения принципа разделения отрезка
• Примеры кривых:
• Квадратичная 1 типа:
• Квадратичная 2 типа:

Откуда берётся дробная размерность
• Фрактальная размерность
(http://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактальная_размерность)
• Предел отношения мощности двух бесконечных (счётных) множеств
• Сейчас не будем погружаться...
• Для понимания вопрос:
• Какова длина береговой линии?
• А если уточнить?
• «Парадокс береговой линии»
(http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_береговой_линии)

Иллюстрация
парадокса береговой линии
• Измеряем береговую линию
Великобритании
• Если используем отрезки
по 100 км, то длина ≈ 2 800 км
• Если используем отрезки
по 50 км, то длина ≈ 3 400 км
• На 600 км больше!
• И так далее до бесконечности...

Функция Вейерштрасса – определение
• Функция Вейерштрасса [Weierstrass function]
• К. Вейерштрасс, 1872 год
• Непрерывная функция, нигде не имеющая производной
• Задаётся рядом Фурье:
• 𝑤 𝑥 = σ 𝑛=0
∞
𝑎 𝑛cos(𝑏 𝑛 𝜋𝑥), где:
• 0 < 𝑎 < 1,
• 𝑏 – положительное нечётное число,
• 𝑎𝑏 > 1 +
3
2
𝜋
• В 1930 году Б. ван дер Варден предложил более простой
вариант: 𝑣 𝑥 = σ 𝑛=0
∞ {10 𝑛 𝑥}
10 𝑛 , где {} – взятие дробной части

Функция Вейерштрасса – иллюстрация

Треугольник Серпинского – определение
• Треугольник Серпинского [Sierpiński triangle]
• В. Серпинский, 1915 год
• Принцип построения известен задолго до...
• Часто использовался в орнаментах
• Итеративное вырезание из треугольника центра
(в виде треугольника) с получением трёх меньших
треугольников...
• Хаусдорфова размерность = ln 3/ln 2 ≈ 1,585
• Очевидным образом можно на границах треугольников построить
кривую Серпинского
• Связь с треугольником Паскаля
• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет,
а чётные – в белый, то образуется треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского – итерации

Кривая Пеано – итерации

Папоротник Барнсли – определение
• Папоротник Барнсли [Barnsley's fern]
• Майкла Барнсли, 1988 год
• Курс «Фрактальная геометрия»
[Fractal Geometry]
• Пример системы итеративных функций
[iterated function system (IFS)]
• Самоподобие каждого фрагмента
«веточки» самой «веточке»

Папоротник Барнсли –
классический алгоритм
• Первая точка ставится в начале координат (𝑥0 = 0, 𝑦0 = 0)
• Следующие точки итеративно вычисляются путем случайного
применения одного из следующих четырех преобразований
координат:
1. 𝑥 𝑛+1 = 0 ; 𝑦 𝑛+1 = 0,16 𝑦𝑛
• В 1% случаев, указывает на точку у основания «стебля»
2. 𝑥 𝑛+1 = 0,85 𝑥 𝑛 + 0,04 𝑦𝑛 ; 𝑦 𝑛+1 = −0.04 𝑥 𝑛 + 0,85 𝑦𝑛 + 1,6
• В 85% случаев, лист
3. 𝑥 𝑛+1 = 0,2 𝑥 𝑛 − 0,26𝑦_𝑛 ; 𝑦 𝑛+1 = 0,23 𝑥 𝑛 + 0,22𝑦𝑛 + 1,6
• В 7% случаев, начало листьев с одной стороны веточки
4. 𝑥 𝑛+1 = −0,15 𝑥 𝑛 + 0,28 𝑦𝑛 ; 𝑦 𝑛+1 = 0.26 𝑥 𝑛 + 0.24 𝑦𝑛 + 0,44
• В 7% случаев, начало симметричных листьев

Пример другой IFS

Множество Мандельброта – определение
• Множество Мандельброта [Mandelbrot set]
• Множество комплексных чисел 𝑐 такое что
𝑧 𝑛+1 = 𝑧 𝑛
2 + 𝑐 при 𝑧0 = 0 задаёт
ограниченную последовательность
• П. Фату + Г. Жюлиа, 1905 г. (исследование) →
Р. Брукс, 1978 г. (первая отрисовка) →
Б. Мандельброт с коллегами, 1980
(полноценная компьютерная визуализация)
• C самоподобием у него не всё хорошо
• Особо интересны варианты т.н. «p/q-limb» (http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set)

Мандельброт в текстовом режиме
© 2018, E. Bosman

Коралл в папоротник и обратно
© 2018, Зона кода

Папоротник в треугольник и обратно
© 2018, Зона кода

Приложения фракталов
✓ Описание мира
✓ Синтез систем
✓ Сжатие данных

Фракталы для описания мира
• Всё в нашем мире – фрактал
• Листья деревьев
• Артерии и вены в нашем теле
• Облака
• Молекула ДНК
• Поведение фондового рынка
• Космологические конструкции (вселенная)
• Турбулентные вихри
• Шероховатость поверхностей
• ...

Анализ и синтез на основе фракталов
• Сжатие изображений
• Начиная с JPEG
• Изменение размера изображений
• Фильтры на основе фракталов
• Генерация изображений
• Фрактальные поверхности и фрактальные текстуры
• Производящие функции + IFS
• + Raytracing, raymatching
• …

Приложения – абстрактная живопись
• Фрактал Ляпунова – бифуркационные фракталы, порождённые
расширением логистического отображения, в которых степень
роста совокупности периодически меняет значение с 𝐴 на 𝐵 и
наоборот
• Lyapunov Exponents (http://www.efg2.com/Lab/FractalsAndChaos/Lyapunov.htm)

Приложения – генерация ландшафтов
• Минимальным объёмом кода!
• This 4-kilobyte demo squeezes a universe of fractals into the size of a Word
document (http://www.theverge.com/2012/5/14/3014698/assembly-4k-
demoscene-fractals)
• Hartverdrahtet by Akronyme Analogiker (http://www.pouet.net/prod.php?which=59086)
• Elevated by Rgba & TBC (http://www.pouet.net/prod.php?which=52938)
• Ixaleno by Rgba (http://www.pouet.net/prod.php?which=50068)

Фрактальный ландшафт
(Iñigo Quilez, 2016)

Фрактальный ландшафт и погода
• David Hoskins (http://www.shadertoy.com)

Arcane Landscape by David Hoskins, 2018

Питон и фракталы
✓ Графика при программировании на Python
✓ Черепашка
✓ Pillow
✓ Matplotlib
✓ Реализация фракталов

Графика и Python
• Подходы
• 2D- и 3D-графика
• Векторная и растровая графика
• Платформы
• Unix-like
• Windows
• MacOS
• iOS
• Android
• …
• Библиотеки
• Огромное количество!
• Рассмотрим Turtle, Pillow и MatPlotLib

Черепашка в Python
• Одна из реализаций: Python Turtle
(http://docs.python.org/3.3/library/turtle.html)
• В repl.it (http://repl.it) нужно выбрать язык
• Python (with Turtle): A dynamic language emphasizing readability

Pillow – что это?
• PIL (Python Imaging Library) → Pillow
• Pillow – The friendly PIL fork (http://python-pillow.org)
• Pillow Docs (http://pillow.readthedocs.io)
• Managed by Alex Clark
• Текущая версия: 5.3.0
• Установка из PyPI: $ pip install Pillow
• Начинающим:
• Pillow Tutorial (http://pillow.readthedocs.io/en/latest/handbook/tutorial.html)
• Продолжающим
• Распараллеленная версия (http://github.com/uploadcare/pillow-simd)
• Производительность:
• Pillow Performance (http://python-pillow.org/pillow-perf/)

Pillow – Зависимости
• Libjpeg – для баззовой поддержки формата JPEG
• Zlib – для пожжержки сжатия (компрессии)
• Libtiff – для поподдержки сжатых TIFF-файлов
• Libfreetype – для поддержки шрифтов FreeType
• Littlecms – для управления цветовыми профилями (CMS)
• tcl/tk – для поддержки tkinter
• Libwebp – для поддержки формата WebP
• Openjpeg – для поддержки формата JPEG 2000
• Libimagequant – для продвинутой работы с цветом
• Libraqm – для работы со шрифтами

Pillow – как начать использовать?
• from PIL import <Модуль>
• Модули:
• Image – основной модуль, содержащий класс Image
• ImageChops – поканальные операции
• ImageColor – таблицы цветов, включая CSS3 для веба
• ImageCMS – управление цветовыми профилями
• ImageDraw – 2D векторная графика (есть отдельный модуль aggdraw на
основе знаменитого проекта Anti-Grain Geometry (AGG) М. Шиманарева)
• ImageEnhance – обработка изображений (в основном – улучшение качества)
• ImageFile – ввод/вывод
• ImageFilter – стандартные растровые фильтры
• ImageMath – алгебра над изображениями (арифметика и логика)
• ImageMorph – морфологические
• ImageFont – работа со своим собственных форматом шрифтов + FreeType
• ImagePalette – управление палитрами
• ImageStat – статистика по пикселям изображения или фрагмента
• …

Pillow – Пример создания миниатюр
1. from __future__ import print_function
2. import os, sys
3. from PIL import Image
4. size = (128, 128)
5. for infile in sys.argv[1:]:
6. outfile = os.path.splitext(infile)[0] + ".thumbnail"
7. if infile != outfile:
8. try:
9. im = Image.open(infile)
10. im.thumbnail(size)
11. im.save(outfile, "JPEG")
12. except IOError:
13. print("cannot create thumbnail for", infile)

Pillow – заготовка для рисования
1. from PIL import Image
2. XRange = 512
3. YRange = 512
4. image = Image.new("RGB", (XRange, YRange))
5. #...
6. image.putpixel((x, y), (r, g, b))
7. #...
8. image.save("name.png", "PNG")

MatPlotLib
• Matplotlib (http://matplotlib.org) –
библиотека «научной графики»
• Координировалась John Hunter
(вплоть до его смерти в 2012 году)
• Текущая версия 3.0.0
• Позволяет очень удобно строить графики функций, статистические
диаграммы и т.п.
• Поддерживает интерактивный режим работы пользователя
• Активно используется почти во всех во всех научных приложениях на
Python
• Введение на русском:
• Построение графиков в Python при помощи Matplotlib
(http://python-scripts.com/matplotlib)

Примеры реализации
• Подготовленные для экспериментов:
• Папоротник 1 (http://repl.it/@Alex_Neznanov/Fractal-Fern-Leon-Hostetler)
• Ньютон 1 (http://repl.it/@Alex_Neznanov/Newton-FractalsPyRecipe)
• Мандельброт (http://repl.it/@Alex_Neznanov/Fractal-Mandelbrot-Schurov)
• Другие
• ActiveState Recipes (http://github.com/ActiveState/code/tree/master/recipes/Python) +
поиск по слову «Fractal»
• Fractals in Python (http://github.com/danilobellini/fractal)
• Python Fractals (http://www.101computing.net/python-fractals/)
• A turtle can draw fractals
(http://blog.klipse.tech/python/2017/01/04/python-turtle-fractal.html)
• Snowflakes Fractal using Python
(http://www.geeksforgeeks.org/snowflakes-fractal-using-python/)
• Щуров И. Рисуем Мандельброта с помощью Python и Numpy. 2016
(http://ischurov.github.io/mandelbrot.html)

Папоротник 1 (Matplotlib)

Ньютонов фрактал (𝑧3 − 1) (Pillow)

Фрактал Мандельброта (Matplotlib)

Но это ещё не конец?!
Спасибо за внимание к тёмным углам
в обучении программированию!
Контакты:
•Алексей Незнанов
• International Laboratory for Intelligent System and Structural Analysis,
NRU HSE, Moscow, Russia
• School of Data Analysis and Artificial Intelligence,
Faculty of Computer Science, NRU HSE, Moscow, Russia
• E-mail: aneznanov@hse.ru
• Web-site: http://hse.ru/staff/aneznanov
• Blog: http://siberianshamanssongs.blogspot.ru (RU)

Фрактальная геометрия и программирование на Python

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Alexey Neznanov

More from Alexey Neznanov (20)

Фрактальная геометрия и программирование на Python