Ejemplos matriz inversa

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Alberto Carranza Garcia

MATRICES INVERSAS

PROBLEMA 1

2 4 6
A=
4 5 6
3 1 -2

2 4 6 2 4
4 5 6 4 5
3 1 -2 3 1
A= -20+72+24-90-12+32 = 6

5 6
A11= 1 -2 (5 · -2)- (1 · 6) = -10-6 = 16

4 6
A12= - 3 -2 - [(4 · -2)- (3 · 6)] = 8 + 18 = 26

4 5
A13= (4 · 1)- (3 · 5)= 4 - 15 = -11
3 1

4 6
A21= - - [(4 · -2)- (1 · 6)] = 8 + 6 = 14
1 -2

2 6
A22= 3 -2 (2 · -2)- (3 · 6) = -4 - 18 = -22

2 4
A23 = - 3 1 - [(2 · 1)- (3 · 4)] = -2 + 12 = 10

4 6
A31= 5 6 (4 · 6)- (5 · 6) = 24 - 30 = -6

2 6
A32 = - 4 6 - [(2 · 6)- (4 · 6)] = -12 + 24 = 12

-16 14 -6 2 4 6
A-1 = 26 -22 12 4 5 6
-11 10 -6 3 1 -2

-16 (2) + 14 (4) -6 (3) = 6 -11 (2) + 10 (4) -6 (3) = 0 26 (2) -22 (4) +12 (3) = 0
-16 (4) + 14 (5) -6 (1) = 0 -11 (4) + 10 (5) -6 (1) = 0 26 (4) -22 (5) +12 (1) = 6
-16 (6) + 14 (6) -6 (-2)= 0 -11 (6) + 10 (6) -6 (-2)= 6 26 (6) -22 (6) +12 (-2)= 0

6 0 0
0 6 0
A-1 = 0 0 6

1 0 0
0 1 0
A-1 = 0 0 1

PROBLEMA 2

3 1 0
A= 1 -1 2
1 1 1

3 1 0 3 1
1 -1 2 1 -1
1 1 1 1 1
A= -3 + 2 - 6 - 1 = -8

-1 2
A11 = 1 1 (-1 · 1)- (1 · 2) = -1-2 = -3

1 2
A12 = - 1 1 - [(1 · 1)- (1 · 2)] = -1 + 2 = 1

1 2
A13 = 1 1 (-1 · 1)- (1 · 2) = -1-2 = -3

1 0
A21= - 1 1 - [(1 · 1)- (1 · 0)] = -1 + 0 = -1

3 0
A22= 1 1 (3 · 1)- (1 · 0) = 3 - 0 = 3

3 1
A23= - 1 1 - [(3 · 1)- (1 · 1)] = -3 + 1 = -2

1 0
A31= -1 2 (1 · 2)- (-1 · 0) = 2 - 0 = 2

3 0
A32= - 1 2 - [(3 · 2)- (1 · 0)] = -6 - 0 = -6

3 1
A33= 1 -1 (3 · -1)- (1 · 1) = -3 - 1 = -4

-3 -1 2 3 1 0
-1
A = 1 3 -6 1 -1 2
2 -2 -4 1 1 1

-3(3) -1 (1) + 2(1) = -8 1(3) + 3(1) - 6(1) = 0 2(3) - 2(1) - 4(1) = 0
-3(1) - 1(-1) + 2(1) = 0 1(1) + 3(-1) - 6(1) = -8 2(1) - 2(-1) - 4(1) = 0
-3(0) - 1(2) + 2(1)= 0 1(0) + 3(2) - 6 (1)= 0 2(0) - 2(2) - 4(1)= -8

-8 0 0
0 -8 0
A-1 = 0 0 -8

-1 0 0
-1
A = 0 -1 0
0 0 -1

PROBLEMA 3

1 2 3
A= 1 1 2
0 1 2

1 2 3 1 2
1 1 2 1 1
0 1 2 0 1
A= 2 + 3 - 2 - 4 = -1

1 2
A11= 1 2 (1 · 2)- (1 · 2) = 2-2 = 0

1 2
A12 = - 0 2 - [(1 · 2)- (0 · 2)] = -2 - 0 = -2

1 1
A13= 0 1 (1 · 1)- (0 · 1) = 1- 0 = 1

2 3
A21= - 1 2 - [(2 · 2)- (1 · 3)] = -4 + 3 = -1

1 3
A22= 0 2 (1 · 2)- (0 · 3) = 2 - 0 = 2

1 2
A23= - 0 1 - [(1 · 1)- (0 · 1)] = -1 - 0 = -1

2 3
A31= 1 2 (2 · 2)- (1 · 3) = 4 - 3 = 1

1 3
A32= - 1 2 - [(1 · 2)- (1 · 3)] = -2 +3 = 1

1 2
A33= 1 1 (1 · 1)- (1 · 2) = 1 - 2 = -1

0 -1 1 1 2 3
A-1 = -2 2 1 1 1 2
1 -1 -1 0 1 2

-1 (1) + 1(0) = -1 -2(1) + 2 (1) + 1(0) = 0 1(1) - 1 (1) - 1(0) = 0
- 1(1) + 1(1) = 0 -2(2) + 2(1) + 1(1) = -1 1(2) - 1(1) - 1(1) = 0
- 1(2) + 1(2)= 0 -2(3) + 2(2) + 1(2)= 0 1(3) - 1(2) - 1(2)= -1

-1 0 0
0 -1 0
A-1 = 1
0 0 -1

-1 0 0
0 -1 0
A-1 =
0 0 -1

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1. MATRICES INVERSAS PROBLEMA 1 2 4 6 A= 4 5 6 3 1 -2 2 4 6 2 4 4 5 6 4 5 3 1 -2 3 1 A= -20+72+24-90-12+32 = 6 5 6 A11= 1 -2 (5 · -2)- (1 · 6) = -10-6 = 16 4 6 A12= - 3 -2 - [(4 · -2)- (3 · 6)] = 8 + 18 = 26 4 5 A13= (4 · 1)- (3 · 5)= 4 - 15 = -11 3 1 4 6 A21= - - [(4 · -2)- (1 · 6)] = 8 + 6 = 14 1 -2 2 6 A22= 3 -2 (2 · -2)- (3 · 6) = -4 - 18 = -22 2 4 A23 = - 3 1 - [(2 · 1)- (3 · 4)] = -2 + 12 = 10 4 6 A31= 5 6 (4 · 6)- (5 · 6) = 24 - 30 = -6 2 6 A32 = - 4 6 - [(2 · 6)- (4 · 6)] = -12 + 24 = 12

2. -16 14 -6 2 4 6 A-1 = 26 -22 12 4 5 6 -11 10 -6 3 1 -2 -16 (2) + 14 (4) -6 (3) = 6 -11 (2) + 10 (4) -6 (3) = 0 26 (2) -22 (4) +12 (3) = 0 -16 (4) + 14 (5) -6 (1) = 0 -11 (4) + 10 (5) -6 (1) = 0 26 (4) -22 (5) +12 (1) = 6 -16 (6) + 14 (6) -6 (-2)= 0 -11 (6) + 10 (6) -6 (-2)= 6 26 (6) -22 (6) +12 (-2)= 0 6 0 0 0 6 0 A-1 = 0 0 6 1 0 0 0 1 0 A-1 = 0 0 1 PROBLEMA 2 3 1 0 A= 1 -1 2 1 1 1 3 1 0 3 1 1 -1 2 1 -1 1 1 1 1 1 A= -3 + 2 - 6 - 1 = -8 -1 2 A11 = 1 1 (-1 · 1)- (1 · 2) = -1-2 = -3 1 2 A12 = - 1 1 - [(1 · 1)- (1 · 2)] = -1 + 2 = 1 1 2 A13 = 1 1 (-1 · 1)- (1 · 2) = -1-2 = -3

3. 1 0 A21= - 1 1 - [(1 · 1)- (1 · 0)] = -1 + 0 = -1 3 0 A22= 1 1 (3 · 1)- (1 · 0) = 3 - 0 = 3 3 1 A23= - 1 1 - [(3 · 1)- (1 · 1)] = -3 + 1 = -2 1 0 A31= -1 2 (1 · 2)- (-1 · 0) = 2 - 0 = 2 3 0 A32= - 1 2 - [(3 · 2)- (1 · 0)] = -6 - 0 = -6 3 1 A33= 1 -1 (3 · -1)- (1 · 1) = -3 - 1 = -4 -3 -1 2 3 1 0 -1 A = 1 3 -6 1 -1 2 2 -2 -4 1 1 1 -3(3) -1 (1) + 2(1) = -8 1(3) + 3(1) - 6(1) = 0 2(3) - 2(1) - 4(1) = 0 -3(1) - 1(-1) + 2(1) = 0 1(1) + 3(-1) - 6(1) = -8 2(1) - 2(-1) - 4(1) = 0 -3(0) - 1(2) + 2(1)= 0 1(0) + 3(2) - 6 (1)= 0 2(0) - 2(2) - 4(1)= -8 -8 0 0 0 -8 0 A-1 = 0 0 -8 -1 0 0 -1 A = 0 -1 0 0 0 -1

4. PROBLEMA 3 1 2 3 A= 1 1 2 0 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 0 1 A= 2 + 3 - 2 - 4 = -1 1 2 A11= 1 2 (1 · 2)- (1 · 2) = 2-2 = 0 1 2 A12 = - 0 2 - [(1 · 2)- (0 · 2)] = -2 - 0 = -2 1 1 A13= 0 1 (1 · 1)- (0 · 1) = 1- 0 = 1 2 3 A21= - 1 2 - [(2 · 2)- (1 · 3)] = -4 + 3 = -1 1 3 A22= 0 2 (1 · 2)- (0 · 3) = 2 - 0 = 2 1 2 A23= - 0 1 - [(1 · 1)- (0 · 1)] = -1 - 0 = -1 2 3 A31= 1 2 (2 · 2)- (1 · 3) = 4 - 3 = 1 1 3 A32= - 1 2 - [(1 · 2)- (1 · 3)] = -2 +3 = 1 1 2 A33= 1 1 (1 · 1)- (1 · 2) = 1 - 2 = -1

5. 0 -1 1 1 2 3 A-1 = -2 2 1 1 1 2 1 -1 -1 0 1 2 -1 (1) + 1(0) = -1 -2(1) + 2 (1) + 1(0) = 0 1(1) - 1 (1) - 1(0) = 0 - 1(1) + 1(1) = 0 -2(2) + 2(1) + 1(1) = -1 1(2) - 1(1) - 1(1) = 0 - 1(2) + 1(2)= 0 -2(3) + 2(2) + 1(2)= 0 1(3) - 1(2) - 1(2)= -1 -1 0 0 0 -1 0 A-1 = 1 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 A-1 = 0 0 -1

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