Successfully reported this slideshow.
Upcoming SlideShare
×

# Integral

224 views

Published on

A

Published in: Education
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• D0WNL0AD FULL ▶ ▶ ▶ ▶ http://1lite.top/gbhkOr ◀ ◀ ◀ ◀

Are you sure you want to  Yes  No
• Be the first to like this

### Integral

1. 1. Tugas Matematika Integral Hal 49- 59 Disusun Oleh : POLITEKNIK MANUFAKTUR NEGERI BANGKA BELITUNG TAHUN AJARAN 2014/2015 Industri Air Kantung Sungailiat 33211 Bangka Induk, Propinsi Kepulauan Bangka Belitung Telp : +62717 93586 Fax : +6271793585 email : polman@polman-babel.ac.id http://www.polman-babel.ac.id Kelompok 7 : - Mirza ramadhan - Fery Ardiansyah - Rakam Tiano - Sarman
2. 2. Dua aturan integrasi berguna Latihan 7.7 Cari integral tak tentu yang paling umum.. 1. (3 − 5 − 21 + 36 − 10) 2. [3 − 4 (2 )] 3. 8 + 5 4. 1 √25 − + 1 100 + 5. − 6. + 7. + 8. ( + 4) = 9. 7 √ 10. 20 + √
3. 3. Penyelesaian : 1. ∫(3 − 5 − 21 + 36 − 10) = ∫ 3 − ∫ 5 − ∫ 21 + ∫ 36 − ∫ 10 = 3 ∫ − 5 ∫ − 21 ∫ + 36 ∫ − 10 ∫ = 3 − 5 − 21 + 36 − 10 + = − − 7 + 18 − 10 + 2. ∫[3 − 4 (2 )] = ∫ 3 − ∫ 4 (2 ) = 3 ∫ − 4 ∫ (2 ) = 3 − 4 2 + = − 2 sin 2 + 3. ∫ + = ∫ + ∫ = 8 ∫ + 5 ∫ = 8 + 5 | | + = −2 + 5 | | + 4. ∫ √ + = ∫ √ + ∫ = ∫ √ + ∫ = + + 5. ∫ = ∫( − ) = ∫ − ∫ = − + 6. ∫ = ∫ + ∫ = 7. ∫ ( ) = ∫( + ) = | + | + 8. ∫( + 4) = ∫ + 16 + 2. . 4 = ∫ + 8 + 16 = + + 16 + = + + 9. ∫ √ = ∫ 7 = + = + = + 10. ∫ √ = ∫(20 + ) = ∫ 20 + = + + = + + = 40 + +
4. 4. Integrasi dasar teknik Integrasi dengan substitusi Latihan 8.1 Gunakan integrasi dengan substitusi untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum. 1. 3( − 5) 2. 3. + 7 4. ( − 3 ) (5 − 3) 5. − 2 ( − 4 + 5) 6. − 2 − 4 + 5 7. cos(3 + 1 ) 8. 3 √ ( ) √ 9. 1 + 10. 6
5. 5. PENYELESAIAN 1. 3( − 5) u = x3 – 5 du = 3x2 dx = ∫ = 1 5 + = ( − 5) 5 + 2. = = 1 4 . 4 = 1 4 4 = 1 4 = 1 4 + = 1 4 + 3. + 7 = + 7 = 2 + 7
6. 6. 1 2 2 + 7 1 2 2 + 7 1 2 1 2 | | + 1 2 ( + 7) + 4. ( − 3 ) (5 − 3) = ( − 3 ) = 5 − 3 = = 4 + = 4( − 3 ) + 5. − 2 ( − 4 + 5) = − 4 + 5 = 4 − 8 = 1 4 . 4( − 2 ) = 1 4 = 1 4 | | + = 1 4 ( − 4 + 5) +
7. 7. 6. − 2 − 4 + 5 = − 4 + 5 = 4 − 8 = 4( − 2 ) = 1 4 . 4( − 2 ) − 4 + 5 = 1 4 = 1 4 | | + = 1 4 ( − 4 + 5) + 9. 1 + = 1 + ( ) = 1 + = 2. = 1 2 . 2. 1 + ( ) = 1 2 = 1 2 | | = 1 2 1 + +
8. 8. 10. 6 = − 2 = 3 = 6 = 2(3 ) = 1 3 . 3(2). (3 ). = 1 3 6 . = 1 3 . 6 = 1 3 . 6 + = 2 +
9. 9. Integrasi dengan bagian Latihan 8.2 Gunakan integrasi dengan bagian untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum. 1. ∫ 2 .sin2x dx 2. ∫ lnx dx 3. ∫ dt 4. ∫ cos x dx 5. ∫ ( ) 6. ∫ 7. ∫ ( − 3) 8. ∫ (4 ) 9. ∫ ( + 5) 10. ∫ √ + 2 .
10. 10. PENYELESAIAN 1. ∫ 2 sin 2 Misalnya : u = 2x du = x dv = sin 2x dx v= ∫ sin 2 = - cos2x ∫ . = –∫ . ∫ 2 sin 2 = (2x) (- cos 2x ) - ∫(− cos 2x ) . 2x = - cos 2x + ∫ cos 2x dx = - x cos 2x + . sin 2x = - x cos 2x + . sin 2x + c 2. ∫ Misalnya : U= inx du = dx dv= dx v = ∫ = ∫ . = –∫ . ∫ = (in x) ( ) - ∫ . dx = - . = - + c 3. ∫ Misalnya : U = t du = dt dv = dt v = ∫ dt = ∫ . = . –∫ .
11. 11. ∫ = (t) ( ) - ∫ dt = - ∫ dt = - + c 4. ∫ cos Misalnya : U= x du = dx dv = cos x dx v = ∫ cos = sin x ∫ . = . –∫ . ∫ cos = ( x ) ( sin x ) - ∫ sin = sin x + cosx dx = sin x + cosx + c 5. ∫ ( x ) dx Misalnya : U = sin Du= cos Subtitusi du = sin du = cos ∫ dx = ∫ Salve integral = in (u) + c Subsitusi kembali U=sin = in (sin ) + 6. ∫ Misalnya : U = du = 2x dv = dx v = ∫ dx = ∫ . = u.v - ∫ .du ∫ = -∫ . 2 = -∫ 2 . = - x+c 7. ∫ ( − 3) Misalnya : U= w du= dw
12. 12. dv = ( − 3) = ∫(2 − 6 ) = − 3 ∫ . = u.v - ∫ .du ∫ ( − 3) = . ( − 3) − ∫ . = ( − 3 ) − + 8. ∫ (4 ) Misalnya : U= in4x du= dv= v = ∫ dx = ∫ . = u.v - ∫ .du ∫ (4 ) = in4x. -∫ in4x . = 4 − ∶ 16 + = 4 - + c 9. ∫ ( + 5) Misalnya : U= t du= dt dv =( + 5) = ∫ −4 − 20 = 2 + 10 ∫ . = u.v - ∫ .du ∫ ( + 5) =( t. 2 + 10 ) - ∫ 2 + 10 . = 20 + (2 + 10 + 10. ∫ √ + 2 .dx Misalnya : U = x du = dx Dv=√ + 2 dx v= ∫( + 2) =2 +0.67 ∫ . = u.v - ∫ .du ∫ √ + 2 .dx = x . 2 +0.67 - ∫ 2 + 0.67 . dx = x.2,67 - (2 + 0,67 ) dx = 2,67 - 2,67 + c
13. 13. Integrasi dengan menggunakan tabel rumus terpisahkan Latihan 8.3 Gunakan tabel rumus integral dalam Lampiran C untuk menemukan integral tak tentu yang paling umum. 1. ∫ cot 2. ∫ ( ) ( ) 3. ∫ ( ) 4. ∫ cos 5. ∫ ( ) 6. ∫ 3 7. ∫ √10 + 3 8. ∫ ( + 5) 9. ∫ √ + 2 10. 1 sin cos
14. 14. PENYELESAIAN 1. ∫ cot ( Formula nomor 7) Penyelesaian : = Misalkan : = sin = cos Subsitusi = cos , = sin cos sin = ln| | + subsitusi kembali = sin |sin | + 2. ∫ ( ) ( ) = 1 ( + 2) (2 + 5) = + 2 + 2 + 5 = 1 ( + 2) (2.2 + 5) = 1 9 = 1 (5 + 2) (2 + 5) = 1 7 Sehingga : 1 ( + 2) (2 + 5) = 1 ( + 2) (2 + 5)
15. 15. = 1 9 ( + 2) + 1 9 (2 + 5) = | + 2| + ln|2 + 5| + c 3. ∫ ( ) = ∫( ) ( ) Missal : U = ln x ⇒ = ( ) Dv = dx dv =∫ v = x ∫( ) = − ∫ (x ln ) = ( ) . x - ∫ = . ( ) - ∫ = . ( ) x - ∫ = . ( ) - + = . ( ) - ~ + = ln x ( x ln x-x ) – ∫( ln − ) . =x (ln x) - x ln x - 4. ∫ cos Penyelesaian : = → = = → = = −
16. 16. = − = + + 5. ∫ ( ) Penyelesaian : ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) = 2 + = 0 = −2 Sehingga : ( + 2) = ( + 2) – ( + 2) = + 2 → = ( + 2) – ( + 2) = – = 2 + 2 + 2 ( + 2) + ( ) + 6. ∫ 3 U = 3x dv = = 3 v = ∫ = du = 3 dx ∫ = u.v –∫
17. 17. = (3x) . ( ) – ∫ . 3 = 3x − 3 7. ∫ √10 + 3 dw ( Formula nomor 2) ∫ √10 + 3 dw = ∫(10 + 3) dw = 1 1 2 + 1 (10 + 3) + = (10 + 3) + 8. ∫ ( + 5) =∫ dt = ∫ ( + 5) Missal: U = t + 5 U= t+5 = 1 t = (u-5) = t=u→u=t+5 =5 t = 2 → u=t+5 = 7 =∫ dt = ∫ ( + 5) = ∫( − 5) = ∫ − 5 ( − 5 ) … … … … . = − ∫ −5 +1 du ∫ −5( − ) -5 (ln | | - ) -5 ( ln | + 5| - x)
18. 18. -5 ln | + 5| + x 9. ∫ √ + 2 = + 2 → = − 2 = Sehingga integral diatas dapat menjadi : = ( − 2)√ = ( − 2) = − = 2 7 − 2 3 + = ( + 2) − 2 3 ( + 2) +