stochastics-notes
- 1. 当我学习 stochasticprocesses 的时候,发现很多同学(包括我自己)一开始都觉得看不懂。如
果说以前学的数学是 1+1=2 这样子直观的话,stochasticprocesses(随机过程)就好像展开了
的泰勒等式。不过我想说的是,只要好好体会布朗运动是怎么一步步总结成为随机过程的基本
组成元素的话,就会发现其实这门课是很严谨的数学推导结论。所以,不要害怕,只要功夫
深,你懂的。
再多交代一下写本文的缘由和背景。我们 stochasticprocessesincontinuoustime 这门课老师用
了约十节课三十个课时上完了,把基本的内容都过了一遍(内容基本上就是 elementary
stochasticcalculuswithfinance inviewbyThomasMikosch 整本书,也就是本文的主要总结内
容),前后时间约为一个月。老师推荐了三本书,分别是:
第一本就是本文的主角,原因当然是因为页数少,只有 200+,像第二本的差不多 600 页真的
啃不动。第一本主要是介绍和总结 stochasticcalculus 主要的原理,比较简练;第二本则是
stochasticprocesses 的圣经,基本上还是要啃的,只是早晚的问题;第三本则是跟金融比较相
关了,老师介绍说是关于这些数学式子背后的金融理论和金融思想的,所以我就没有(时间和
精力)去看了。
本文主要做的事情有两个,1.在第一本书的基础上再总结和加上自己的一些心得体会,希望能
让这些原理更加容易理解。2.就是说知识这种东西,不用很快就会忘记了,所以趁还有印象,
先写下来吧。
整本书有 4 章:
1. Preliminaries
2. The stochasticintegral
3. Stochasticdifferentialequations
4. Applicationsof stochasticcalculusinfinance
先写第一章,主要是介绍相关的概率知识,布朗运动,条件期望,还有 martingales。
那么开始吧。
- 2. 1.1 Basic ConceptsfromProbabilityTheory
1.1.1 RandomVariables
随机变量这个想讲的比较少了,比较要注意的就是 p.d.f 和 c.d.f 的定义。比较有趣的是 normal
distribution 的 p.d.f
另外如何通过 uniformdistribution 和 normaldistribution 的 c.d.f 产生 p.d.f 也是有趣的。听说
excel 产生随机的𝑁(0,1)变量就是用这个。
接下来就是期望值的定义。
1.1.2 Randomvectors
注意 marginal 的定义。另外如果能记住下面这个就最好了。
- 3. 1.1.3 Independence andDependence
记住这个,如果 cov(X,Y)=0,不代表 XandY are independent; 但是反过来是成立的。因为
cov(X,Y)=0 只是说明 XandYare LINEARLYindependent。
1.2 StochasticProcesses
定义
随机过程有两个变量,ꙍ和 t。
1. 当 t 是常量,𝑋𝑡 = 𝑋𝑡( 𝜔), 𝜔 ∈ Ω是一个随机变量
2. 当𝜔 ∈ Ω是常量,𝑋𝑡 = 𝑋𝑡( 𝜔), 𝑡 ∈ T是一个关于时间的函数
1.3 BrownianMotion
1.3.1 DefiningProperties
定义.
经常用到的结论有
- 6. 1.4.3 The General Conditional Expectation
下面这个结论非常有意思
如果Z = 𝐸(𝑋|ℱ),我们知道σ(Z) ⊂ ℱ,Z包含的信息不可能比ℱ多。这个结论比较直观,但是
第二个结论就显得非常有趣,对任何一个集合A ⊂ ℱ,都有期望值E(X𝐼𝐴) = 𝐸(𝑍𝐼𝐴)。可以参照
这个
- 7. 特别的,当𝐼𝐴 = Ω,我们有E(X) = E(𝐸( 𝑋|ℱ))
证明
1.4.4 Rulesforthe Calculationof Conditional Expectations
这三个都挺好理解的。
- 11. 1.5.2 Examples
两个比较重要的例子,一个是布朗运动是 martingales;另一个则是 transformation
布朗运动是 martingales
算,就是扎扎实实的把期望值算出来就好,前面学到的 normal distributionp.d.f 派上用场了。
Transformation
套用老师的课件
这个E(Z) = 1是很重要的,因为必须要满足
ℚ(Ω) = ∫ 𝑍(𝜔) 𝑑ℙ(ω)
Ω
= ∫ 𝑑𝑍( 𝜔)ℙ(ω) = ∫ 𝑑ℚ(ω) = 1
ΩΩ
另外就是 transform 的一个重要应用就是它