ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )

SVEUČILIŠTE U SPLITU
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I
BRODOGRADNJE
ZAVRŠNI RAD
MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH
KOMPONENTI
Duje Markov
Split, srpanj 2015.

S V E U Č I LI Š T E U S P LIT U
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I
BRODOGRADNJE
Preddiplomski studij: Strojarstvo – stručni studij
Smjer/Usmjerenje: Strojarstvo
Oznaka programa: 530
Akademska godina: 2014./2015.
Ime i prezime: Duje Markov
Broj indeksa: 622-2010
ZADATAK ZAVRŠNOG RADA
Naslov: MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI
Zadatak: Dati kratak pregled vrsta paralelnih veza komponenti u tehničkom sustavu. Osvrnuti
se na temeljne postavke različitih modela. Opisati Markov modele paralelnih veza
koji se navode u standardu IEC 61508. Prikazati kako se ti modeli rješavaju.
Prijava rada: Split, 05.03.2015.
Rok za predaju rada: 14.07.2015.
Rad predan: 14.07.2015.
Mentor:
Dr. sc. Jani Barle, red. prof.

SADRŽAJ:
1. UVOD................................................................................................................................. 1
2. VRSTE PARALELNIH VEZA KOMPONENTI U TEHNIČKOM SUSTAVU........ 5
2.1. Visoka i niska redudancija........................................................................................ 7
2.2. k od n paralelna veza................................................................................................. 9
2.3. Neobnovljivi sustavi koji djele opterećenje ........................................................... 11
2.3.1. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema istim komponentama ................ 12
2.3.2. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema različitim komponentama ........ 15
2.4. Obnovljivi sustavi koji dijele opterećenje ............................................................. 18
2.5. Sustavi u pripremi koji su neobnovljivi................................................................. 21
2.5.1. Paralelni sustavi u pripremi sa pravovremenim priključivanjem............... 22
2.5.2. Paralelni sustavi u pripremi sa pogreškama u priključivanju..................... 25
2.6. Sustavi u pripremi koji su obnovljivi..................................................................... 29
2.6.1. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem........................30
2.6.2. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem...................... 34
2.6.3. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa zakašnjelim priključivanjem............................ 37
2.6.4. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi koji djeli opterećenje sa pravovremenim priključivanjem ... 40
3. ZAKLJUČAK................................................................................................................. 43
LITERAURA
POPIS OZNAKA I KRATICA
SAŽETAK
PRILOG

1
1. UVOD
Razvitkom tehnike počeli su se graditi sve veći i složeniji tehnički sustavi, strojevi, aparati i
druge tehničke naprave. U vezi s tim je vrlo brzo uočeno da s povećanjem složenosti tehničkog
sustava njegova pouzdanost brzo pada. Strojevi s puno elemenata i složenom strukturom imali
su više zastoja od onih s jednostavnom strukturom i malo elemenata. Promatrajući takve sustave
oko sebe, može se primjetiti da oni izvršavaju određenu funkciju kroz određeno vremensko
razdoblje. Nerijetko se možemo uvjeriti da se oni kvare, odnosno ne izvršavaju funkciju ili je
ne izvršavaju na zadovoljavajući način. Jasno nam je da će svi takvi sustavi prije ili poslije
pretrpjeti kvar, bilo neki neočekivani, bilo očekivani, zbog trošenja dijelova sustava. [1]
Da bi bilo moguće razumjeti zadanu temu završnog rada trebalo bi se bolje upoznati sa nekim
stanjima sustava te posljedicama koje one nose (slika 1.1). Prvo od njih je oštećenje (engl.
Damage) tj. promjena stanja tehničkom sustava ili njegovih djelova koja još ne smeta
funkcioniranje tehničkog sustava. To znači da će taj sustav biti funkcionalan iako su mu neki
podsustavi ili neke komponente neispravne. A ako oštećenje prijeđe u kvar (engl. Failure,
Breakdown) tj. promjenu stanja tehničkog sustava ili njegovih dijelova koja bitno ometa ili
onemogućava njegovo funkcioniranje, tada takav sustav nebi smio raditi. Najgore stanje koje
se može dogoditi je havarija tj. teži oblik kvara tehničkog sustava kod kojega dolazi do
njegovog potpunog oštećenja (ili do potpunog oštećenja vitalnih komponenti) i/ili dolazi do
pogubnog utjecaja na sigurnost ili na okoliš.
Slika 1.1 Oštećenje,kvar i neispravnost [2]

2
Da nebi došlo do „havarije“ ili bilo kojeg drugog stanja gdje bi se mogli ugrozili ljudski životi,
prouzročiti velike materijalne štete ili štete na okoliš tu su standardi i razni pravilnici koji
omogućuju sigurnost. U ovom radu razrađene su paralelne veze ovisnih komponenti i njezine
podjele, Markov modele poudanosti te prikazane paralelne veze koje se navode u standardu
IEC 61 508. Razina integriteta sigurnosti (SIL) je temeljni koncept u IEC 61508 standardu i on
je definiran kao vjerojatnost usko povezane sigurnosti sustava koje na zadovoljavjući način
obavlja potrebne sigurnosne funkcije pod svim navedenim uvjetima u određenom vremenskom
razdoblju. Definirane su četiri razine sigurnosti, sa SIL 4 kao najovisniji i SIL 1 kao najmanje
ovisan. U tablici 1.1 prikazani su integriteti razine sigurnosti kod niskih i visokih zahtjeva te na
slici 1.2 primjer izračunavanja SIL-a.
Slika 1.2 Primjer određivanja SIL-a [2]
Tablica 1.1 Integritet razine sigurnosti kod niskog i visokog zahtjeva
Integritet razine sigurnosti
(SIL)
Niski zahtjevi Visoki zahtjevi
4 ≥ 10−5
𝑧𝑎 < 10−4
≥ 10−9
𝑧𝑎 < 10−8
3 ≥ 10−4
𝑧𝑎 < 10−3
≥ 10−8
𝑧𝑎 < 10−7
2 ≥ 10−3
𝑧𝑎 < 10−2
≥ 10−7
𝑧𝑎 < 10−6
1 ≥ 10−2
𝑧𝑎 < 10−1
≥ 10−6
𝑧𝑎 < 10−5
U tehničkom sustavu, potrebno je dizajnirati takve sustave i podsustave bilo one mehaničke,
električne, hidrauličke, pneumatičke ili računalne i sl., koje će raditi na zadovoljavajući način

3
te koje je moguće dovesti u ispravno stanje kako bi se nastavio rad, a također je potrebno moći
procjeniti koliko sustav može raditi i kada se statistički može očekivati da sustav više neće
raditi.
Slika 1.3 Podjela redudancije
Zato postavljanjem sustava u paralelnu vezu povećava se pouzdanost jer je mnogo bolja od
serijske, zato što, kod serijske veze, ako se jedna komponenta pokvari cijeli sustav dolazi u
neipravnost, drugim riječima sve komponente moraju raditi da bi sustav bio ispravan, dok u
paralelnoj vezi sve komponente moraju otkazati da sustav nebi funkcionirao. Iz tog razloga
komponente se u sustavu postavljaju u paralenu ili redudantnu vezu. Dakle, redudancija je
pojam koji označava da se s povećanjem broja komponenti u paralelnoj vezi, sustav ima veću
pouzdanost. Taj najefikasniji način povećanja pouzdanosti prikazan na slici 1.3 može se dobiti
na dva načina. Prvi način je da svaka komponenta uključena u sustav može imati jednu ili više
paralelnih komponenti dok druga je opcija da se cijeli sustav može staviti u paralelu sa jednim
ili više paralelnih sustava. Prvi slučaj naziva se niska redudancija, a druga visoka redudancija.
Još jedan od načina kako poboljšati pouzdanost je k od n paralelna veza. To je posebna
konfiguracija sustava od n elemenata kod koje da bi sustav funkcionirao treba raditi 1 od n
elemenata. Stim da se serijska konfiguracija može prikazati kao n od n, a paralelna je 1 od n.
Jako je pouzdana metoda te se koristi kod dizajniranja sustava motora, pumpi, generatora, gdje
nam sustav mora biti u funkciji iako su neke komponente neispravne. [2]

4
Takve veze prikazuju se pomoću blok dijagrama pouzdanosti (RBD)1
ili sa analizom stabla
kvarova (FTA)2
. U mnogim praktičnim aplikacijama preporuča se raditi sa analizom stabla
kvarova umjesto blok dijagrama pouzdanosti. Kod konstruiranja stabla kvara tražu se
potencijalni uzroci specifičnih kvarova sustava. Misli se u smislu propusta i često se otkriva
potencijalni uzroci kvarova nego ako se misli u smislu funkcioniranja sustava, kao kada
postavljamo blok dijagram pouzdanosti. Konstrukcija stabla kvara dati će bolje razumijevanje
potencijalnih uzroka kvarova. Ako se analiza izvodi u fazi projektiranja, analitičar može vidjeti
dizajn sustava u funkciji te poduzeti akcije kako bi se uklonile potecijalne opasnosti.
Postavljanjem blok dijagram pouzdanosti, misli se u smislu funcioniranja toga sustava te se
često zaboravlja pomoćna uloga opreme koja, ili bi trebala biti, postavljena da zaštiti ostalu
opremu, ljude ili okoliš. Ove dvije metode samo pružaju statičnu sliku uzroka kvara odnosno
zahtjeve za funkciju sustava i stoga nisu napravljene za analizu s dinamičnim značajkama, kao
što su sustavi koji podliježu održavanju ili popravcima. Zbog tog razloga, kao i kada su
komponente u jednu ruku ovisne jedna o drugoj, jedna od najmočnijih metoda je Markovljeva
analiza pouzdanosti. Markovljeva analiza sustav razmatra preko njegovih diskretnih stanja i
tranzicija koje su među njima moguće. Temeljna pretpostavka u Markovljevim modelima
pouzdanosti je vjerojatnost sustava da prelazi iz jednog stanja u drugo ovisi samo o trenutnom
stanju ali ne i o prijašnjim stanjima kroz koje je prošao. Drugim riječima, vjerojatnost tranzicije
ne ovisi o prošlom stanju sustava. To je ekvivalentno zaboravljivosti eksponencijalne
distribucije, dakle ne iznenađuje činjenica da eksponencijalna vremena do kvara zadovoljava
Markovljevo svojstvo. Osim redudancija koja su pikazana u prethodnim odlomcima postoji još
dva načina kako poboljšati sustav koje se rješavaju pomoću Markov modela pouzdanosti, a to
su sustavi koje dijele opterećenje i sustavi u pričuvi. Prvi navedeni sustavi dijele opterećenje
tako da su postavljeni u paralelnu vezu te kada se dogodi kvar jedne komponente druga
preuzima cijelo opterećenje te se više troši i smanjuje joj se vijek trajanja. Takve komponente
ovisne su jedano o drugom. Drugi sustavi koji su navedeni, su mnogo prikladniji. Dok je jedna
komponenta u funkciji druga je u pričuvi. Nastankom kvara u prvoj komponenti druga
komponenta koja je u pričuvi preuzima funkciju. Ovisno da li se radi o obnovljivim sustavima
u tom slučaju druga komponenta je u funkciji dok se prva komponenta ne popravi. Popravci se
vrše korektivno iz razloga tog što je učestalost kvarova konstatna.
1
RBD – blok dijagrami pouzdanosti (engl. Reliability Block Diagrams)
2
FTA – analiza stabla kvarova (engl. Fault Tree Analysis) ; za ostale pojmove pogledati u popis oznaka i kratica

5
2. VRSTE PARALELNIH VEZA KOMPONENTI U TEHNIČKOM
SUSTAVU
Redudancija je pojam koji označava da se s povećanjem broja komponenti u paralelnoj
vezi, sustav ima veću pouzdanost. Ako se za primjer uzmu dvije ili više komponenti u paralelnoj
ili redudantnoj vezi prikazano na slici 2.1, sve komponente moraju otkazati da sustav bude u
kvaru, dok u serijskoj vezi, ako jedna komponenta nije ispravna cijeli sustav prestaje
funkcionirati. Kod pouzdanosti sustava od n neovisnih komponenti uzima se kao vjerojatnost
da barem jedna komponenta je neispravna (1 minus vjerojatnost da svih n komponenata budu
neispravne). [4]
1
2
n
Slika 2.1 Paralelna veza komponenata prikazana pomoću RBD - a
Redudancija je prikazana pomoću RBD-a jer daje najbolji uvid u fizički izgled sustava
tj.raspodjelu komponenti u sustavu.
𝑅𝑆( 𝑡) = 𝑃( 𝐸1 ∪ 𝐸2) =
= 1 − 𝑃( 𝐸1 ∪ 𝐸2) 𝐶
=
= 1 − 𝑃( 𝐸1 ∩ 𝐸2) 𝐶
= (2.1)
= 1 − 𝑃( 𝐸1
𝐶) ∙ ( 𝐸2
𝐶) =
Generalizirano,
𝑅 𝑠( 𝑡) = 1 − (1 − 𝑅1)(1 − 𝑅2) … (1 − 𝑅 𝑛) = 1 − ∏ (1 − 𝑅𝑖)𝑛
𝑖=1 (2.2)
𝑅 𝑠( 𝑡) ≥ 𝑚𝑎𝑥{ 𝑅1( 𝑡), 𝑅2( 𝑡), … , 𝑅 𝑛( 𝑡)} (2.3)
s tim da član 1 − ∏ (1 − 𝑅𝑖)𝑛
𝑖=1 mora biti manji od vjerojatnosti kvara od najpouzdanije
komponente.

6
Slika 2.2 Pouzdanost komponente u relaciji sa pouzdanosti sustava u paralelnoj vezi
Dakle, zaključno. Povećanjem broja komponenata n tj. redudancijom, pouzdanost sustava raste
kao što je prikazano na slici 2.2. [2]
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Pouzdanostsustava
Pouzdanost komponente
n=1
n=2
n=3
n=4
n=6
n=10
n=15
n=20

7
2.1. Visoka i niska redudancija
Najbolje rješenje za povećanje pouzdanosti sustava je postavljanje u redudantnu vezu, koja se
djeli na visoku ili nisku. Dakle, redudantan sustav može se dobiti na dva načina. Prvi način je
da svaka komponenta uključena u sustav može imati jednu ili više paralelnih komponenti, a
drugi način je da se cijeli sustav može staviti u paralelu sa jednim ili više identičnih sustava.
Kod niske redudancije sustav je sastavljen od dvije serijske komponente A i B koje imaju
pouzdanost R:
𝑅 𝐿𝑂𝑊 = [1 − (1 − 𝑅)2]2
= [1 − (1 − 2𝑅 + 𝑅2)]2
= (2𝑅 − 𝑅2)2
(2.4)
Na slici 2.3 prikazana je primjena jednadžbe (2.4) koja duplicira pouzdanost tj. četiri opcije
rada su moguće ako zakažu određeni elementi a to su:
 Opcija 1 – Ako je donja komponenta označena sa A u kvaru, sustav će biti ispravan i
veza će se održavati sa gornjom komponentom A te sa komponentom B koja može biti
gornja ili donja.
 Opcija 2 – Ako je gornja komponenta označena sa A u kvaru, sustav će biti ispravan i
veza će se održavati sa donjom komponentom A te sa komponentom B koja može biti
gornja ili donja.
 Opcija 3 - Ako gornja komponenta označena sa B u kvaru, sustav biti ispravan i veza će
se održavati sa donjom komponentom B te sa komponentom A koja može biti gornja ili
donja.
 Opcija 4 - Ako je donja komponenta označena sa B u kvaru, sustav će biti ispravan i
veza će se održavati sa gornjom komponentom B te sa komponentom A koja može biti
gornja ili donja.
Zaključak je da sustav neće raditi ako su obje komponente A ili obje komponente B
neispravne.[2]
A B
A B
Slika 2.3 Dvije komponente u niskoj redudanciji (RBD)

8
Za visoku redudanciju, pouzdanost sustava predstavlja:
𝑅 𝐻𝐼𝐺𝐻 = 1 − (1 − 𝑅2)2
= 1 − [1 − 2𝑅2
+ 𝑅4] = 2𝑅2
− 𝑅4
(2.5)
Iz dobivene jednadžbe (2.5) koja je pokazana na slici 2.4 visoko redudantni sustav može
zakazati i ako jedna komponenta A i jedna komponenta B zakažu na različitim granama.
A B
A B
Slika 2.4 Dvije komponente u visokoj redudanciji (RBD)
Uspoređivanjem jednadžbi (2.4) i (2.5) može se pokazati da je pouzdanost sa niskom
redudancijom veća od pouzdanosti sustava visoke redudancije.
𝑅 𝐿𝑂𝑊 − 𝑅 𝐻𝐼𝐺𝐻 = (2𝑅 − 𝑅2)2
− (2𝑅2
− 𝑅4) =
= 𝑅2(2 − 𝑅)2
− 𝑅2(2 − 𝑅2) =
= 𝑅2(4 − 4𝑅 + 𝑅2
− 2 + 𝑅2) = (2.6)
= 2𝑅2( 𝑅2
− 2𝑅 + 1) =
= 2𝑅2( 𝑅 − 1)2
≥ 0
Primjer:
Radio uređaj sastoji se od tri osnovne komponente: napajanja, prijemnika, pojačala sa
odgovarajućim pouzdanostima 0.8, 0.9, 0.85. Izračunati pouzdanost sustava za visoku i nisku
redudanciju sa dvije paralelno spojene komponente.
Visoka redudancija:
𝑅 𝐻𝐼𝐺𝐻 = 1 − [1 − (0.8) ∙ (0.9) ∙ (0.85)]2
= 0.849
Niska redudancija:
𝑅 𝐿𝑂𝑊 = [1 − (1 − 0.8)2] ∙ [1 − (1 − 0.9)2] ∙ [1 − (1 − 0.85)2] = 0.929

9
2.2. k od n paralelna veza
Sustav kojemu radi k od zadanih n elemenata zove se k od n paralelna veza. Serijska se veza
može prikazati kao n od n dok paralelna 1 od n. Paralelna veza k od n može se prikazati kao na
funkcija:
𝑅𝑆( 𝑡) = {
1 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 ∑ 𝑅𝑖 ≥ 𝑘𝑛
𝑖=1
0 𝑎𝑘𝑜 𝑗𝑒 ∑ 𝑅𝑖 < 𝑘𝑛
𝑖=1
(2.7)
Ako za primjer odaberemo 2 od 3 paralelnu vezu prikazana na slici 2.5 u tom slučaju kvar
jedne komponente se tolerira stim da 2 ili više komponenti u kvaru dovode cijeli sustav u
neispravnost. Blok dijagram 2 od 3 paralelne veze prikazan na slici 2.6 je u alternativnom
obliku. [4]
1 2
1 3
2 3
Slika 2.5 Paralelna veza 2 od 3 (RBD)
1
2
3
2/3
Slika 2.6 Paralelna veza 2 od 3 (alternativni prikaz - RBD)

10
Binomnom distribucijom dobijena su riješenja k od n paralelnog sustava. U seriji diskretnih
pokušaja dva su rezultata, ispravnost ili kvar. Ako je vjerojatnost uspjeha p=1-q, a kvara q=1-
p i ako je provedeno n pokušaja, potpuna vjerojatnost je:
( 𝑝 + 𝑛) 𝑛
= ∑ ( 𝑛
𝑘
) ∙ 𝑝 𝑖
∙ 𝑞 𝑛−𝑖
= 1𝑛
𝑖=0 (2.8)
gdje je k-ti član P(k,n) vjerojatnost točno k uspjeha od n pokušaja.
𝑃( 𝑘, 𝑛) = ( 𝑛
𝑘
) ∙ 𝑝 𝑘
∙ 𝑞 𝑛−𝑘
(2.9)
Iz toga se može zaključiti da je vjerojatnost uspjeha više nego isto od k komponenti:
𝑃( 𝑘 ≥ 𝑖 ≥ 𝑛, 𝑛) = 𝑅( 𝑘, 𝑛) = ∑ ( 𝑛
𝑖
) ∙ 𝑝 𝑘
∙ (1 − 𝑝) 𝑛−𝑖𝑛
𝑖=𝑘 (2.10)
Primjer:
Zrakoplov da bi se održao na određenoj visini mora imati 3 od 4 glavna motora u funkcionalnom
stanju, ako je pouzdanost svakoga motora p=0.97. Odrediti pouzdanost sustava.
𝑅 𝑠 = 𝑅( 𝑘, 𝑛) = ∑ ( 𝑛
𝑖
) ∙ 𝑝 𝑘
∙ (1 − 𝑝) 𝑛−𝑖𝑛
𝑖=𝑘 (2.10)
𝑅(3,4) = ∑ (
4
3
) ∙ 0.973
∙ (1 − 0.97)4−3
4
𝑖=3
+ (
4
4
) ∙ 0.974
∙ (1 − 0.97)4−4
= 4 ∙ 0.974
∙ 0.03 + 0.974
= 0.9948

11
2.3. Neobnovljivi sustavi koji djele opterećenje
Do sada načini poboljšavanja pouzdanosti bili su prikazani pomoću blok dijagrama ali u ovom
i u daljnim poglavljima detaljnije će biti govora o sustavima koje dijele opterećenje upotrebom
Markovljevih modela pouzdanosti. Dok blok dijagrami pouzdanosti prikazuju sustav kao
njegov fizički oblik raspodjele komponenata, Markov modeli pouzdanosti prikazuju sustav kroz
njegova stanja i kojem se stanju trenutno nalazi. Uzme li se u obzir paralelni sustav sa dvije
jednake komponente koje dijele zajedničko opterećenje. Ako se jedna komponenta pokvari,
druga preuzima cijelo opterećenje na sebe te joj se vjerojatnost kvara naglo povećava, što u ni
u kojem slučaju nije dobro niti poželjno. Zato se kaže da su to ovisne komponente jer neuspjeh
ovisi jedno o drugom. Takvih primjera koje dijele opterećenje ima mnogo u tehničkoj praksi,
a to mogu biti pumpe, kompresori, električni generatori itd. [4]

12
2.3.1. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema istim komponentama
Pretpostavkom da svaka komponenta ima konstatnu učestalost kvarova λi, može se prikazati
sustav sa dvije komponente koristeći dijagram stanja na slici 2.7 koja predstavlja sustav sa 4
stanja dok strelice predstavljaju tranzicije (λi) iz jednog stanja u drugo.
Slika 2.7 Dijagram stanja sa dvije iste komponente koje dijele opterećenje
Tablica 2.1 Moguća stanja dvije iste komponente u paralelnoj vezi koja dijele opterećenje
Stanje Komponenta A Komponenta B Sustav
0 ispravan ispravan ispravan
1 neispravan ispravan ispravan
2 ispravan neispravan ispravan
3 neispravan neispravan neispravan
Iz dijagrama stanja mogu se složiti elemente matrice tranzicija koji su van dijagonale:
𝐴 = [
𝑎00 𝜆 𝐴 𝜆 𝐵 0
0 𝑎11 0 𝜆 𝐵
0 0 𝑎22 𝜆 𝐴
0 0 0 𝑎33
] (2.11)
U jednadžbi (2.11) prikazana je matrica sa četiri retka i četiri stupca. Stanje 0 prestavlja stanje
u kojem su sve komponente ispravne. Tranzicije λA, λB, u stanje 1 i 2 prestavljaju stanje gdje su
jedna komponenta neispravna a druga ispravna što je u tablici 2.1 jasno prikazano. U matrici
tranzicija negativan predznak opisuje tranziciju iz stanja čija se vjerojatnost izračunava, drugim
riječima dio se može pokvariti samo ako je funkcionalan.
Zatim se dobiju dijagonalni elementi:

13
𝐴 = [
−(𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵) 𝜆 𝐴 𝜆 𝐵 0
0 −𝜆 𝐵 0 𝜆 𝐵
0 0 −𝜆 𝐴 𝜆 𝐴
0 0 0 0
] (2.12)
Sustav je neispravan kada su mu sve komponente u kvaru (u stanju 3). Tada se definira stanje
3 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac u matrici tranzicija prikazano u jednadžbi (2.13).
𝐴 𝑅 = [
−(𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵) 𝜆 𝐴 𝜆 𝐵
0 −𝜆 𝐵 0
0 0 −𝜆 𝐴
] (2.13)
Za trajno rješenje Markovljeva modela nije potrebno tražiti rješenje sustava diferencijalnih
jednadžbi jer je sustav sa protokom vremena sve manje ovisan o početnom stanju,
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
𝑃( 𝑡) = 𝑃 , te se uz pomoć jednadžbe 𝑃̇( 𝑡) = 𝑃( 𝑡) ∙ 𝐴 𝑅 dobije homogeni
sustav linearnih jednadžbi:
{ 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } = [
−(𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵) 𝜆 𝐴 𝜆 𝐵
0 −𝜆 𝐵 0
0 0 −𝜆 𝐴
] = {0, 0, 0} (2.14)
Pomoću programog alata MATLAB dobiju se simbolička rješenja:
𝑃0( 𝑡) = 𝑒−(𝜆 𝐴+𝜆 𝐵)𝑡
(2.15)
𝑃1( 𝑡) = 𝑒−𝜆 𝐵 𝑡
− 𝑒−(𝜆 𝐴+𝜆 𝐵)𝑡
(2.16)
𝑃2( 𝑡) = 𝑒−𝜆 𝐴 𝑡
− 𝑒−(𝜆 𝐴+𝜆 𝐵)𝑡
(2.17)
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova u jednadžbe (2.15), (2.16) i (2.17) moguće je dobiti
tranzijetna rješenja prikazana na slici 2-8, ako je 𝜆 𝐴 = 0.001, 𝜆 𝐵 = 0.002.

14
Slika 2.8 Dijagram rješenja dvije iste komponente koje dijele opterećenje
Za paralelni sustav funkcija pouzdanosti je,
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) + 𝑃2( 𝑡) = 𝑒−𝜆 𝐴 𝑡
+ 𝑒−𝜆 𝐵 𝑡
−𝑒−(𝜆 𝐴+𝜆 𝐵)𝑡
(2.18)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃3( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) − 𝑃2( 𝑡) (2.19)

15
2.3.2. Sustavi koji dijele opterećenje sa dvijema različitim komponentama
Prikazana su četiri stanja sustava kao i prije. Dijagram stanja na slici 2.9, gdje λ3A i λ4B
predstavljaju intezitete kvara komponente A i komponente B, odnosno, kao rezultat povećanog
opterećenja.
Slika 2.9 Dijagram stanja sa dvije različite komponente koje dijele opterećenje
Tablica 2.2 Moguća stanja dvije različite komponente u paralelnoj vezi koja dijele
opterećenje
Stanje Komponenta A Komponenta B Sustav
0 ispravan ispravan ispravan
3 neispravan neispravan neispravan
Iz dijagrama stanja možemo složiti elemente matrice tranzicija koji su van dijagonale:
𝐴 = [
𝑎00 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵 0
0 𝑎11 0 𝜆4𝐵
0 0 𝑎22 𝜆3𝐴
0 0 0 𝑎33
] (2.20)
u kojem su sve komponente ispravne. Tranzicije λ1A, λ2B, u stanje 1 i 2 prestavljaju stanje gdje
su jedna komponenta neispravna a druga ispravna što se u tablici 2.2 jasno vidi, te tranzicije
λ3A, λ4B u stanje 3 koje se definira kad je sustav u kvaru. U matrici tranzicija negativan predznak

16
opisuje tranziciju iz stanja čija se vjerojatnost izračunava, drugim riječima dio se može pokvariti
samo ako je funkcionalan.
𝐴 = [
−( 𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵) 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵 0
0 −𝜆4𝐵 0 𝜆4𝐵
0 0 −𝜆3𝐴 𝜆3𝐴
0 0 0 0
] (2.21)
3 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac u matrici tranzicija koje je prikazano u jednadžbi
(2.22).
𝐴 𝑅 = [
−( 𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵) 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵
0 −𝜆4𝐵 0
0 0 −𝜆3𝐴
] (2.22)
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
{ 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } ∙ [
−( 𝜆1𝐴 + 𝜆2𝐵) 𝜆1𝐴 𝜆2𝐵
0 −𝜆4𝐵 0
0 0 −𝜆3𝐴
] = {0, 0, 0} (2.23)
𝑃0( 𝑡) = 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡
(2.24)
𝑃1( 𝑡) =
𝜆1
𝜆1+𝜆2−𝜆4𝐵
[𝑒−𝜆4𝐵 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡
] (2.25)
𝑃2( 𝑡) =
𝜆2
𝜆1+𝜆2−𝜆3𝐴
[𝑒−𝜆3𝐴 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡
] (2.26)
tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.10, ako je 𝜆1𝐴 = 0.001, 𝜆2𝐵 = 0.002, 𝜆3𝐴 =
0.008 𝑖 𝜆4𝐵 = 0.006.

17
Slika 2.10 Dijagram rješenja dvije različite komponente koje dijele opterećenje
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) + 𝑃2( 𝑡)=
= 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡
+
𝜆1
𝜆1+𝜆2−𝜆4𝐵
[𝑒−𝜆4𝐵 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡
] +
𝜆2
𝜆1+𝜆2−𝜆3𝐴
[𝑒−𝜆3𝐴 − 𝑒−(𝜆1𝐴+𝜆2𝐵)𝑡
] (2.27)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃3( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) − 𝑃2( 𝑡) (2.28)

18
2.4. Obnovljivi sustavi koji dijele opterećenje
Ako se uzme u obzir paralelni sustav sa dvije identične kompnente koje dijele zajedničko
opterećenje. Vrsta redudancije u kojoj dvije ili više komponenata dijele opterećenje u paralelnoj
vezi zove se aktivna redudancija. Ove komponente dijele opterećenje od samog početka sve
dok jedna od njih ne dođe u stanje kvara. Kada zakaže jedna komponenta druga preuzima
opterećenje cijelog sustava, što u ovom slučaju nije dobro jer joj se naglo povećava vjerojatnost
kvara u kratkom vremenu.
Pretpostavljene su sljedeći inteziteti kvarova:
λn = intezitet kvara pri normalnom opterećenju (kada su obje komponente u funkciji)
λf = intezitet kvara pri punom opterećenju (kada je jedna komponenta neispravna)
Slika 2.11 Dijagram stanja sa dvije ovisne komponente koje dijele opterećenje
Neka μn predstavlja intezitet popravka komponente kada je samo jedna u kvaru i neka μf
predstavlja intezitet popravka kada su obje komponente u kvaru. Neka broj komponenata koje
funkcioniraju predastavljaju stanje sustava a to su (0,1,2). Kada se sustav pokvari (stanje 2),
sva moguća raspoloživa sredstva se uključe da poprave jednu od komponenti (obično
komponentu koja se pokvari prva). Sustav se podiže (u stanje 1) ponovo kada se komponenta
popravi.

19
Tablica 2.3 Moguća stanja dvije ovisne komponente u paralelnoj vezi koja dijele opterećenje
Stanje Sustav
0 ispravan (obje komponente ispravne)
1
ispravan (samo jedna komponenta ispravna, druga se
popravlja)
2 neispravan (popravljaju se oba dijela)
Iz dijagrama stanja sa slike 2.11 moguće je napisati matricu tranzicija
𝐴 = [
𝑎00 2𝜆 𝑛 0
𝜇 𝑛 𝑎11 𝜆𝑓
0 𝜇 𝑓 𝑎22
] (2.29)
𝐴 = [
−2𝜆 𝑛 2𝜆 𝑛 0
𝜇 𝑛 −(𝜆𝑓 + 𝜇 𝑛) 𝜆𝑓
0 𝜇 𝑓 𝜇 𝑓
] (2.30)
2 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac koje sadrži to stanje 2 u matrici tranzicija.
𝐴 𝑅 = [
−2𝜆 𝑛 2𝜆 𝑛
𝜇 𝑛 −(𝜆𝑓 + 𝜇 𝑛)
] (2.31)
Postavi se sustav jednadžbi koje se lako riješavaju.
[ 𝑃0(0), 𝑃1(0)] ∙ (
−2𝜆 𝑛 2𝜆 𝑛
𝜇 𝑛 −(𝜆𝑓 + 𝜇 𝑛)
) = [0,1] (2.32)
𝑃0( 𝑡) =
1
𝜆 𝑓
(2.33)
𝑃1( 𝑡) =
𝜆 𝑓+𝜇 𝑛
2𝜆 𝑛 𝜆 𝑓
(2.34)

20
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) =
1
𝜆 𝑓
+
𝜆 𝑓+𝜇 𝑛
2𝜆 𝑛 𝜆 𝑓
(2.35)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃2( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) (2.36)
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i učestalosti popravka u jednadžbe (2.33), (2.34)
moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.12, ako je 𝜆 𝑛 = 0.001, 𝜆𝑓 =
0.002, 𝜇 𝑛 = 0.008.
Slika 2.12 Dijagram rješenja sa dvije ovisne komponente koje dijele opterećenje

21
2.5. Sustavi u pričuvi koji su neobnovljivi
Sustavi u pričuvi su važno područje proučavanja u pouzdanosti. Ovisno o vjerojatnosti kvara
koji je nastao kada se prebacuje na komponentu u pričuvi, ovi sustavi su općenito mnogo
pouzdaniji od aktivno redudantnog sustava. Sustav u pričuvi sa dvije komponente razlikuje se
od aktivnog redudantong sustava o kojemu je ranije bilo riječi, o komponeti u pričuvi koja neće
imati nikakvih kvarova dok je u pričuvi. Jednom kad je aktivna, rezervna komponenta može
doživjeti isti intezitet kvara kao glavni sustav (ako su jednake komponente) ili ako ima različit
intezitet rada. Ovisnost raste zato što intezitet kvara od komponente u pričuvi ovisi o stanju
glavne komponente.Sustav u pričuvi sa n komponenata prikazane pomoću blok dijagrama
pouzdanosti može se vidjeti na slici 2.14.
Slika 2.13 Sustav u pripremi sa dvije komponente (RBD)
1
2
n
s
Slika 2.14 Sustav u pripremi sa n komponenata (RBD)

22
2.5.1. Paralelni sustavi u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem
Ako se uzme u obzir paralelni sustav u pričuvi sa slike 2-13.prikazan pomoću blok dijagrama
pouzdanosti.
Slika 2.15 Dijagram stanja sustava u pričuvi sa dvije komponente koji ima kvarove u pričuvi
Iz dijagrama stanja prikazanog na slici 2.15 moguće je dobiti elemente matrice tranzicija koje
su van dijagonale:
𝐴 = [
𝑎00 𝜆1 𝜆2
′
0
0 𝑎11 0 𝜆2
0 0 𝑎22 𝜆1
0 0 0 𝑎33
] (2.37)
Tablica 2.4 Moguća stanja sustava u pričuvi sa dvije komponente koji ima kvarove u pričuvi
Stanje
Komponenta A
(glavni)
Komponenta B
(u pričuvi)
Sustav
0 ispravan
(nije uključen)
ispravan
ispravan
1 neispravan
(uključen)
ispravan
ispravan
2 ispravan
(nije uključen)
neispravan
ispravan

23
u kojem su sve komponente ispravne. Tranzicije λ1, 𝜆2
′
, u stanje 1 i 2 prestavljaju stanje gdje su
jedna komponenta neispravna a druga ispravna što u tablici 2.2 se jasno vidi, te tranzicije λ1 i
λ2 predstavljaju u stanje 3 koje je definirano kao da je sustav cijeli u kvaru. U matrici tranzicija
negativan predznak opisuje tranziciju iz stanja čija se vjerojatnost izračunava, drugim riječima
dio se može pokvariti samo ako je funkcionalan.
𝐴 = [
−(𝜆1 + 𝜆2
′
) 𝜆1 𝜆2
′
0
0 −𝜆2 0 𝜆2
0 0 −𝜆1 𝜆1
0 0 0 0
] (2.37)
(2-38).
𝐴 𝑅 = [
−(𝜆1 + 𝜆2
′
) 𝜆1 𝜆2
′
0 −𝜆2 0
0 0 −𝜆1
] (2.38)
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
{ 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } ∙ [
−(𝜆1 + 𝜆2
′
) 𝜆1 𝜆2
′
0 −𝜆2 0
0 0 −𝜆1
] = {0, 0, 0} (2.39)
𝑃0( 𝑡) = 𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
(2.40)
𝑃1( 𝑡) =
𝜆1
𝜆1+𝜆2
′ −𝜆2
[𝑒−(𝜆2)𝑡
𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
] (2.41)
𝑃2( 𝑡) = 𝑒−(𝜆1)𝑡
−𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
(2.42)

24
Za paralelni sustav funkcija pouzdanost je,
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) + 𝑃2( 𝑡) =
= 𝑒−(𝜆1)𝑡
+
𝜆1
𝜆1+𝜆2
′ −𝜆2
[𝑒−(𝜆2)𝑡
𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
] (2.43)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃3( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) − 𝑃2( 𝑡) (2.44)
tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.16, ako je 𝜆1 = 0.001, 𝜆2 = 0.002, 𝜆2
′
= 0.008
.
Slika 2.16 Dijagram rješenja paralelnog sustava u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

25
2.5.2. Paralelni sustavi u pričuvi sa pogreškama u priključivanju
Nije rijedak slučaj u sustavima u pričuvi da ima vjerojatnost p kao zahtjev da se kvar od
prekidača stavi u funkciju. Ako se uzme u obzir paralelni sustav u pričuvi sa slike 2.13 te
dijagram promjene stanja je prikazan na slici 2.17. koji je malo modificiraniji oblik od
dijagrama stanja na slici 2.15.
Gdje je:
𝑝 = vjerojatnost pogreške ukapčanja B
𝜆1 = učestalost kvara A (B nema utjecaja)
𝜆2
′
= učestalost kvara B kada nije u pogonu
𝜆2 = učestalost kvara B kada je u pogonu
Slika 2.17 Dijagram stanja dviju komponenti s kvarovima u pričuvi i pogreškama
priključivanja
Iz dijagrama stanja mogu se složiti elementi matrice tranzicija koji su van dijagonale:
𝐴 = [
𝑎00 (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2
′
𝑝𝜆1
0 𝑎11 0 𝜆2
0 0 𝑎22 𝜆1
0 0 0 𝑎33
] (2.45)

26
Tablica 2.5 Moguća stanja dviju komponenti s kvarovima u pričuvi i pogreškama
priključivanja
Stanje
Komponenta A
(glavni)
Komponenta B
(u pričuvi)
Sustav
0 ispravan
(nije uključen)
ispravan
ispravan
1 neispravan
(uključen)
ispravan
ispravan
2 ispravan
(nije uključen)
neispravan
ispravan
3 neispravan
(nije uključen)
neispravan
neispravan
𝐴 = [
−[(1 − 𝑝)𝜆1 + 𝜆2
′
+ 𝑝𝜆1] (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2
′
𝑝𝜆1
0 −𝜆2 0 𝜆2
0 0 −𝜆1 𝜆1
0 0 0 0
] (2.46)
Sustav je neispravan kada su mu sve komponente neispravne (u stanju 3). Tada definiramo
stanje 3 kao absorbirajuće te se uklanja red i stupac u matrici tranzicija koje je prikazano u
jednadžbi (2-47).
𝐴 𝑅 = [
−[(1 − 𝑝)𝜆1 + 𝜆2
′
+ 𝑝𝜆1] (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2
′
0 −𝜆2 0
0 0 −𝜆1
] (2.47)
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
{ 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, } ∙ [
−[(1 − 𝑝)𝜆1 + 𝜆2
′
+ 𝑝𝜆1] (1 − 𝑝)𝜆1 𝜆2
′
0 −𝜆2 0
0 0 −𝜆1
] = {0, 0, 0} (2.48)

27
𝑃0( 𝑡) = 𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
(2.49)
𝑃1( 𝑡) =
(1−𝑝)𝜆1
𝜆1+𝜆2
′ −𝜆2
[𝑒−(𝜆2)𝑡
− 𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
] (2.50)
𝑃2( 𝑡) = 𝑒−(𝜆1)𝑡
−𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
(2.51)
U prilogu A prikazan je programski kod rješavanja simbolički zatim numerički. Zamjenom
učestalosti kvarova i popravaka stim i broj stupaca i redatka matrice moguće je riješiti istim
načinom više primjera.
Funkcija pouzdanosti je
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) + 𝑃2( 𝑡) =
= 𝑒−(𝜆1)𝑡
+
(1−𝑝)𝜆1
𝜆1+𝜆2
′ −𝜆2
[𝑒−(𝜆2)𝑡
𝑒−(𝜆1+𝜆2
′ )𝑡
] (2.52)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃3( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) − 𝑃2( 𝑡) (2.53)
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.49), (2.50) i (2.51)
moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2.12, ako je 𝜆1 = 0.001, 𝜆2 =
0.002, 𝜆2
′
= 0.008, 𝑝 = 0.006 (vidi prilog A). Ako je p=1, sustav u pričuvi nema nikakvu
ulogu nego je cijela pouzdanost sustava na glavnoj komponenti samo.

28
Slika 2.18 Dijagram rješenja paralelnog sustava u pričuvi s pogreškama u priključivanju

29
2.6. Sustavi u pričuvi koji su obnovljivi
U nekim strukturama, pojedinačni dijelovi, bile one komponente ili neki podsustav, mogu imati
puno veću sposobnost da funkcioniraju bolje od drugih. U ovom poglavlju biti će rečeno nešto
o sustavima u pričuvi koje rade na principu da jedna od dvije ili više komponenti stoji u pričuvi
sve dok komponente koje su u funkciji ne zakažu. Takva redudancija zove se pasivna. Za
komponentu koja je u pričuvi kaže se da je u „hladnom čekanju“. Ako je komponenta koja je u
pričuvi, opterećena sa jako malim opterećenjem u periodu u kojem čeka, tada se to može nazvati
djelomično opterećena redudancija. U sljedećih nekoliko podnaslova biti će prikazano nekoliko
tipova ovih redudancija pomoću Markovljevih modela pouzdanosti uzimajući u obzir
jednostavne primjere. [4]
Sustavi u pričuvi koji su prikazani u poglavlju 2.5 su neobnovljivi. U ovom poglavlju govoriti
će se o obnovljivim sustavima u pričuvi.
Sustav u pričuvi može biti u funkciji i popravljan na mnogo načina:
 može biti u „hladnom čekanju“ ili u dijelomično opterećenom stanju.
 prekidač za prebacivanje može biti u više faza kvara, prvi je da se dogodi kvar da uopće
ne prebaci, drugo je da lažno prebaci i treće da je isključen.
 kvar komponente u pričuvi može biti skriven (neotkriven) ili otkriven. [4]

30
2.6.1. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem
Kada je komponenta u pričuvi pasivna pretpostavlja se da ne zakaže dok je u tom stanju.
Priključivanje mora biti pravovremeno. Kvar aktivne komponente istog trena se otkriva te se
komponenta u pričuvi aktivira sa vjerojatnosti od 1. Intezitet kvara komonente i u
funkcionalnom stanju obilježen sa λi za i=A,B. Kada aktivna komponenta dođe u neispravno
stanje, popravak se pokreće odmah. Vrijeme popravka je eksponencijalno raspoređeno sa
intezitetom popravka mi za i=A,B. Kada se popravak izvrši, komponenta se postavlja u pričuvno
stanje. Moguća stanja sustava prikazana su u tablici 2.6. Kvar sustava se događa kada se
operativna komponenta pokvari prije nego se druga komponenta popravila. Stanje sustava kada
je u kvaru (stanje 4) prikazano je u tablici 2.6. Kada su obje komponente u kvaru, obnavljaju
se istovremeno te se vraćaju ponovo u stanje 0. Intezitet popravka u ovom slučaju je m.
Dijagram stanja obnovljivog sustava u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem prikazan je
na slici 2.19.
Slika 2.19 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem
Iz dijagrama stanja moguće je složiti elemente matrice tranzicija koji su van dijagonale:
𝐴 =
[
𝑎00 𝜆 𝐴 0 0 0
0 𝑎11 𝜇 𝐴 0 𝜆 𝐵
0 0 𝑎22 𝜆 𝐵 0
𝜇 𝐵 0 0 𝑎33 𝜆 𝐴
𝜇 0 0 0 𝑎44]
(2.54)

31
𝐴 =
[
−𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 0 0 0
0 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 𝜇 𝐴 0 𝜆 𝐵
0 0 −𝜆 𝐵 𝜆 𝐵 0
𝜇 𝐵 0 0 −𝜆 𝐴 𝜆 𝐴
𝜇 0 0 0 −𝜇]
(2.55)
Tablica 2- 6 Moguća stanja dviju komponenti u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem
Stanje
Komponenta A
(glavna)
Komponenta B
(u pričuvi)
Sustav
0 ispravan
(nije uključen)
ispravan
ispravan
2
(nije uključen)
ispravan
ispravan ispravan
4 neispravan neispravan
(oba se obnavljaju)
neispravan
(2-56).
𝐴 𝑅 = [
−𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 0 0
0 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 𝜇 𝐴 0
0 0 −𝜆 𝐵 𝜆 𝐵
𝜇 𝐵 0 0 −𝜆 𝐴
] (2.56)
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
{ 𝑃0, 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3} ∙ [
−𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 0 0
0 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 𝜇 𝐴 0
0 0 −𝜆 𝐵 𝜆 𝐵
𝜇 𝐵 0 0 −𝜆 𝐴
] = {1,0, 0, 0} (2.57)

32
𝑃0( 𝑡) =
1+𝜇 𝐵
𝜆 𝐴
∙
𝜇 𝐴
𝜆 𝐴 𝜆 𝐵+𝜆 𝐴 𝜇 𝐴+𝜆 𝐵 𝜇 𝐵
(2.58)
𝑃1( 𝑡) =
𝜆 𝐴+𝜇 𝐵
𝜇 𝐴
∙
𝜇 𝐴
(2.59)
𝑃2( 𝑡) =
𝜆 𝐴+𝜇 𝐵
𝜆 𝐵
∙
𝜇 𝐴
(2.60)
𝑃3( 𝑡) =
𝜇 𝐴
(2.61)
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) + 𝑃2( 𝑡) + 𝑃3( 𝑡) =
=
1 + 𝜇 𝐵
𝜆 𝐴
∙
𝜇 𝐴
𝜆 𝐴 𝜆 𝐵 + 𝜆 𝐴 𝜇 𝐴 + 𝜆 𝐵 𝜇 𝐵
+
𝜆 𝐴 + 𝜇 𝐵
𝜇 𝐴
∙
𝜇 𝐴
𝜆 𝐴 𝜆 𝐵 + 𝜆 𝐴 𝜇 𝐴 + 𝜆 𝐵 𝜇 𝐵
+
𝜆 𝐴+𝜇 𝐵
𝜆 𝐵
∙
𝜇 𝐴
+
𝜇 𝐴
(2.62)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃4( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) − 𝑃2( 𝑡) − 𝑃3( 𝑡) (2.63)
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.58), (2.59), (2.60) i
(2.61) moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-20, ako je 𝜆 𝐴 =
0.001, 𝜆 𝐵 = 0.002, 𝜇 𝐴 = 0.008, 𝜇 𝐵 = 0.006.

33
Slika 2.20 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

34
2.6.2. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem
Ako se razmotri sustav u pričuvi sa slike 2.13 te pretpostavi da je dio A glavna operativna
komponenta. To znači da se dio B jedino koristi kada je glavna komponenta u stanju kvara i
pod popravkom. Dio A će biti stavljen u operativno stanje kada se popravi. Kvar sustava se
događa kada se operativna komponenta B pokvari prije nego se druga komponenta popravila.
Kvar sustava je prikazan u tablici 2.6 kao stanje 4. Kada su obje komponente u kvaru,
obnavljaju se istovremeno te se vraćaju ponovo u stanje 0. Intezitet popravka u ovom slučaju
je m.Stanje 1 i stanje 2 u tablici 2.6 su dakle neznatni za sustav. Dijagram stanja obnovljivog
sustava u pričuvi sa pravovremenim priključivanjem gdje je dio A glavna operativna
komponenta prikazan je na slici 2.21.
Slika 2.21 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem
𝐴 = [
𝑎00 𝜆 𝐴 0
𝜇 𝐴 𝑎11 𝜆 𝐵
𝜇 0 𝑎44
] (2.64)
𝐴 = [
−𝜆 𝐴 𝜆 𝐴 0
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 𝜆 𝐵
𝜇 0 −𝜇
] (2.65)

35
(2-56).
𝐴 𝑅 = [
−𝜆 𝐴 𝜆 𝐴
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴)
] (2.66)
Za trajna rješenja Markovljeva modela nije potrebno tražiti rješenje sustava diferencijalnih
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
𝑃( 𝑡) = 𝑃, te se uz pomoć jednadžbe 𝑃̇( 𝑡) = 𝑃( 𝑡) ∙ 𝐴 𝑅 dobije homogeni
{ 𝑃0, 𝑃1} ∙ [
−𝜆 𝐴 𝜆 𝐴
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴)
] = {1,0} (2.67)
𝑃0( 𝑡) =
1
𝜆 𝐴
+
𝜇 𝐴
𝜆 𝐴 𝜆 𝐵
(2.68)
𝑃1( 𝑡) =
1
𝜆 𝐵
(2.69)
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) =
=
1
𝜆 𝐴
+
𝜇 𝐴
𝜆 𝐴 𝜆 𝐵
+
1
𝜆 𝐵
(2.70)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃4( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) (2.71)

36
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.68), (2.69) moguće je
dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-22, ako je 𝜆 𝐴 = 0.001, 𝜆 𝐵 = 0.002, 𝜇 𝐴 =
0.008.
Slika 2.22 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi s pravovremenim priključivanjem

37
2.6.3. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi sa zakašnjelim priključivanjem
Ako se razmotri sustav u pručuvi sa slike 2.13 te pretpostavimo da prebacivanje više nije
pravovremneno. Kada se aktivna komponenta A pokvari, komponenta B u pričuvi će se
aktivirati valjano sa vjerojatnosti (1-p). Vjerojatnost p isto sadržava vjerojatnost „zakašnjelog
priključivanja“ komponente u pričuvi. Dijagram stanja obnovljivog sustava u pričuvi sa
zakašnjelim priključivanjem gdje je dio A glavna operativna komponenta prikazan je na slici
2.23. Tranzicija iz stanja 0 u stanje 1 prestavljena je sa stopom prijelaza (1-p)λA i u stanje 4 sa
stopom prijelaza pλA.
Slika 2.23 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi s zakašnjelim priključivanjem
𝐴 = [
𝑎00 (1 − 𝑝)𝜆 𝐴 𝑝𝜆 𝐴
𝜇 𝐴 𝑎11 𝜆 𝐵
𝜇 0 𝑎44
] (2.72)
𝐴 = [
−((1 − 𝑝) 𝜆 𝐴 + 𝑝𝜆 𝐴) (1 − 𝑝)𝜆 𝐴 𝑝𝜆 𝐴
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 𝜆 𝐵
𝜇 0 −𝜇
] (2.73)

38
(2-74).
𝐴 𝑅 = [
−((1 − 𝑝) 𝜆 𝐴 + 𝑝𝜆 𝐴) (1 − 𝑝)𝜆 𝐴
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴)
] (2.74)
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
{ 𝑃0, 𝑃1} ∙ [
−((1 − 𝑝) 𝜆 𝐴 + 𝑝𝜆 𝐴) (1 − 𝑝)𝜆 𝐴
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴)
] = {1,0} (2.75)
𝑃0( 𝑡) =
𝜆 𝐵+𝜇 𝐴
𝜆 𝐴(𝜆 𝐵+𝑝𝜇 𝐴)
(2.76)
𝑃1( 𝑡) =
1−𝑝
𝜆 𝐵+𝑝𝜇 𝐴
(2.77)
Za paralelni sustav funkcija pouzadanosti je,
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) =
=
𝜆 𝐵+𝜇 𝐴
𝜆 𝐴(𝜆 𝐵+𝑝𝜇 𝐴)
+
1−𝑝
𝜆 𝐵+𝑝𝜇 𝐴
(2.78)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃4( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) (2.79)

39
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.76), (2.77) moguće je
dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-24, ako je 𝜆 𝐴 = 0.001, 𝜆 𝐵 = 0.002, 𝜇 𝐴 =
0.008, 𝑝 = 0.006.
Slika 2.24 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi s zakašnjelim priključivanjem

40
2.6.4. Obnovljivi paralelni sustav u pričuvi koji djeli opterećenje sa pravovremenim
priključivanjem
Ako se razmotri sustav sa slike 2.13 i pretpostavi da se komponenta B može pokvariti dok je u
pričuvi te da ima skrivenu grešku dok se aktivira. Intezitet kvara u tom u tom slučaju je 𝜆 𝐵
𝑆
te
je obično manja odgovarajuća stopa neuspjeha tijekom rada. Dodatak na sliku 2.16 dijagrama
stanja,ovaj sustav ima još dvije tranzicije stanja iz stanja 0 u stanje 3 te iz stanja 3 u stanje 4
gdje se obnavlja. Dijagram stanja je prikazan na slici 2.25.
Slika 2.25 Dijagram stanja dviju komponenti u pričuvi koje dijele opterećenje s
pravovremenim priključivanjem
𝐴 =
[
𝑎00 𝜆 𝐴 𝜆 𝐵
𝑆
0
𝜇 𝐴 𝑎11 0 𝜆 𝐵
0 0 𝑎33 𝜆 𝐴
𝜇 0 0 𝑎44]
(2.80)
𝐴 =
[
−(𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵
𝑆
) 𝜆 𝐴 𝜆 𝐵
𝑆
0
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 0 𝜆 𝐵
0 0 −𝜆 𝐴 𝜆 𝐴
𝜇 0 0 −𝜇]
(2.81)

41
(2-56).
𝐴 𝑅 = [
−(𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵
𝑆
𝑆
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 0
0 0 −𝜆 𝐴
] (2.82)
lim
𝑡→∞
𝑃̇( 𝑡) = {0} i lim
𝑡→∞
{ 𝑃0, 𝑃1, 𝑃3} ∙ [
−(𝜆 𝐴 + 𝜆 𝐵
𝑆
𝑆
𝜇 𝐴 −(𝜆 𝐵 + 𝜇 𝐴) 0
0 0 −𝜆 𝐴
] = {1,0,0} (2.83)
𝑃0( 𝑡) =
𝜆 𝐵+𝜇 𝐴
𝜆 𝐴 𝜆 𝐵+𝜆 𝐵 𝜆 𝐵
𝑆 +𝜆 𝐵
𝑆 𝜇 𝐴
(2.84)
𝑃1( 𝑡) =
𝜆 𝐴
𝑆 +𝜆 𝐵
𝑆 𝜇 𝐴
(2.85)
𝑃3( 𝑡) =
𝜆 𝐵
𝑆
𝜆 𝐴
(𝜆 𝐵+𝜇 𝐴)
𝑆 +𝜆 𝐵
𝑆 𝜇 𝐴
(2.86)
𝑅( 𝑡) = 𝑃0( 𝑡) + 𝑃1( 𝑡) + 𝑃3( 𝑡) =
=
(
𝜆 𝐵
𝑆
𝜆 𝐴
+1)(𝜆 𝐵+𝜇 𝐴)+𝜆 𝐴
𝑆 +𝜆 𝐵
𝑆 𝜇 𝐴
(2.87)
te nepouzdanosti,
𝑄( 𝑡) = 𝑃4( 𝑡) = 1 − 𝑃0( 𝑡) − 𝑃1( 𝑡) − 𝑃3( 𝑡) (2.88)

42
Uvrštavanjem zadanih učestalosti kvarova i popravaka u jednadžbe (2.84), (2.85) i (2.86)
moguće je dobiti tranzijetna rješenja koja su prikazana na slici 2-26, ako je 𝜆 𝐴 = 0.001, 𝜆 𝐵 =
0.002, 𝜇 𝐴 = 0.008, 𝜆 𝐵
𝑆
= 0.006 .
Slika 2.26 Dijagram rješenja dviju komponenti u pričuvi koje dijele opterećenje s
pravovremenim priključivanjem

43
3. ZAKLJUČAK
U ovo doba visoke tehnologije većina industrijskih procesa je sigurnosno čuvano cijelo vrijeme.
Ako važni parametri nisu postavljeni pravilno, procesi bi mogli prouzročiti ozbiljne probleme
i opasnost za okolinu. Glavni cilj takvih sustava je da se stave pod konrolu te da ne ugrožavaju
sigurnost ljudi i okoliša. Kako bi se kategorilizirali faktori za smanjenje rizika tu su razni
sigurnosni standardi. U ovom radu korišten je IEC 61508 standard koji ima definirane razine
sigurnosti kao što je SIL. SIL 4 kao najviše ovisan te SIL 1 kao najmanje ovisan. Pokazalo se
da je iznimno teško potvrditi SIL sigurnosne funkcije. Za to napraviti nužno je izračunati
vjerojatnost kvarova. Razni broj tehnika nam je na raspolaganju za obavaljanje tih izračuna,
uključujući FTA, RBD te Markovljeve modele pouzdanosti. Ovaj završni rad bazira se na
Markovljevim modelima pouzdanosti koje pomažu da se dobiju rezultati koje se kasnije mogu
analizirati te određenim formulama kao na primjer preko MTTF doći do SIL-a. Kako
povećanjem komponenti sustava, rapidno raste broj stanja, korišten je kompjutorski alat
MATLAB koji uz pomoć odgovarajućeg kôda bilo simbolički ili numerički daje rezultat u
analitičkoj ili grafičkoj formi. Postavljanjem sustava u paralelnu ili redudantnu vezu pokazalo
se da je vrlo korisno jer daje sigurnost. Ako se radi o vrlo ozbiljnom sustavu koji mora raditi
24 sata dnevno i 365 dana u godini bitno je da ne dođe cijeli sustav u kvar. Vrlo su korisne
tehnike postavljanja u k od n redudantne veze, sustave koje dijele opterećenje i sustave u pričuvi
jer omogućavaju da druga komponenta preuzima opterećenje dok se prva koja je u kvaru,
popravlja. To daje veliku fleksibilnost i sigurnost.

44
LITERATURA
[1] V. Mikuličić, Z. Šimić: “Modeli pouzdanosti i raspoloživosti rizika u
elektroenergetskom sustavu“, Kigen, Zagreb, 2008
[2] Jani Barle: “Pouzdanost i održavanje tehničkih sustava „ FESB, Split 2006.
[3] Marvin Rausand: ''System reliability theory: models, statistical methods, and
applications, Wiley – interscience, New Jersey, 2003
[4] Charles E. Ebeling: ''An Introduction to Reliability and Maintainability Engineering'',
McGraw-Hill, Boston i dr., 1997
POPIS OZNAKA I KRATICA
OZNAKE
A− matrica tranzicija
AR− matrica tranzicija bez absorbirajućeg stanja
P(t) − vjerojatnost (engl. Probability)
𝑝 − vjerojatnost pogreške ukapčanja B komponente
R(t) − funkcija pouzdanosti (engl. Reliability)
RHIGH – pouzdanost sustava za visoku redudanciju
RLOW – pouzdanost sustava za nisku redudanciju
RS – pouzdanost sustava
Q(t) – funkcija nepouzdanosti (engl. Unreliability)
λ(t) – učestalost kvara
λn – intezitet kvara pri normalnom opterećenju (kada su obje komponente u funkciji)
λf – intezitet kvara pri punom opterećenju (kada je jedna komponenta neispravna)
μ(t) – učestalost popravka

45
μf – učestalost popravka kada su obje komponente neispravne
μn – učetalost popravka kada je jedna komponenta neispravna
KRATICE
FTA – analiza stabla kvara (engl. Fault Tree Analysis)
MTTF – srednje vrijeme do kvara (engl. Mean Time To Failure)
RBD – blok dijagram pouzdanosti (engl. Reliability block diagram)
SIL – razina integriteta sigurnosti (engl. Safety Integrity Level)
SAŽETAK
U radu je prikazan kratak pregled vrsta paralelnih veza komponenti u tehničkom sustavu uz
pomoć blok dijagrama te Markovljevih modela pouzdanosti koje se navode u standardu IEC
61508. Sustave koje dijele opterećenje i sustave u pričuvi riješeni su pomoću Markovljevih
modela pouzdanosti sa programskim alatom MATLAB.
Ključne riječi: Markovljevi modeli pouzdanosti, pouzdanost sustava, paralelna veza,
redudancija

46
PRILOG A
Programski kôd riješenja neobnovljivog paralelnog sustava u pričuvi s pogreškama u
priključivanju uz pomoć programskog alata MATLAB. Zadani primjer je prikazan u poglavlju
2.5.2.
Simbolički
Gdje je 𝜆1 = 𝐿1, 𝜆2 = 𝐿2, 𝜆2
′
= 𝐿3, 𝑝 = 𝑃
syms L1 L2 L3 P t
A = sym([-((1-P)*L1+L3+P*L1), (1-P)*L1 , L3 ;...
0 , -L2 , 0 ;...
0, 0 , -L1]');
x0 = [1; 0 ; 0];
x = expm(t*A)*x0
pretty (x)
Numerički
Gdje je 𝜆1 = 𝐿1 = 0.001, 𝜆2 = 𝐿2 = 0.002, 𝜆2
′
= 𝐿3 = 0.008, 𝑝 = 𝑃 = 0.006
L1 = 0.001; L2 = 0.002; L3 = 0.008; P = 0.006;
A = [-((1-P)*L1+L3+P*L1), (1-P)*L1 , L3 ;...
0 , -L2 , 0 ;...
0, 0 , -L1]';
x0 = [1; 0 ; 0];
tt = [0:1:700];
p = poly(A);
r = roots(p);
v = [];
ima = size(A,1);
for i = 1: ima
v = [v, null(A - r(i)*eye(ima),'r')];
end
[V,E] = eig(A);
eb = diag(E);
c = Vx0;
pp = zeros(ima,size(tt,2));
for i = 1: ima
pp = pp + V(:,i)*c(i)*exp(eb(i)*tt);
end
plot(tt, 1-sum(pp,1), '-r','LineWidth',3)
hold on
plot(tt, pp(1,:), '-b','LineWidth',3)
plot(tt, pp(2,:), '-c','LineWidth',3)
plot(tt, pp(3,:), '-g','LineWidth',3)

ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )

Similar to ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI ) (7)

ZAVRSNI RAD (MODELI PARALELNE VEZE OVISNIH KOMPONENTI )