Shreve II, Brigo & Mercurio, Interest Rate Models - Theory and Practice With Smile, Inflation and Credit と the SABR/LIBOR Market Model の測度変換の部分をまとめたような資料となっています。 最終更新日 Jun 3, 2012

1. 測度変換と無裁定ドリフトの備忘録
—LIBOR Market Model を題材として—
2012 年 6 月 3 日
1 Forward LIBOR と Discount Bond Price
1.1 記号定義と基本的な関係式
r(t): 連続複利の無リスク金利
∫t
M(t) := e 0 r(u)du : マネー・マーケット・アカウント（M.M.A.)
1
D(t) := M(t) : 確率的ディスカウントファクター
M(t)
D(t, T) := M(T) : 時点 t から T への確率的ディスカウントファクター
P(t, T): 満期（かつ受払）時点 T の, 時点 t での無リスクの割引債価格
F(t; T, T + τ): リセット時点 T, 満期時点 T + τ の, 時点 t での金利フォワードレート
定理 1.1（無裁定条件とマルチンゲール）
無裁定である ⇐⇒ 取引可能な資産価格を基準材で割った価格（相対価格）はマルチンゲールである
定理 1.1 より, X を途中でキャッシュの受払が発生しない資産価格とし, この複製戦略を考えることで, P を
基準財 M に関する測度として, 次のよく知られたリスク中立評価式を得る.
[ ]
X(t) P X(T)
=E Ft (1)
M(t) M(T)
系 1.2（無リスクの割引債価格と無リスク金利の関係式）
[ ] [ ∫T ]
P(T, T)
P(t, T) = M(t)EP Ft = EP e− t r(u)du Ft = EP [D(t, T)|Ft ] (2)
M(T)
系 1.3（フォワードレートと割引債価格） リセット時点 T, 満期時点 T + τ とする無リスクのフォワード金利
契約を考え, そのフォワードレートを F(t; T, T + τ) とする。この契約から発生するキャッシュフローの契約時
点 t 価値が 0 になるようにフォワードレートを定義すると, 次式が成立する.
0 = EP [D(t, T) · (−1)|Ft ] + EP [D(t, T + τ) · (1 + τF(t; T, T + τ))|Ft ]
= −P(t, T) + P(t, T + τ) (1 + τF(t; T, T + τ))
( )
1 P(t, T) − P(t, T + τ)
F(t; T, T + τ) = (3)
τ P(t, T + τ)
1

2. 系 1.4（T-フォワード測度） 基準財を P(t, T) として自然に定まる測度を QT とし, この測度の下でマルチン
ゲールとなる確率過程は QT -マルチンゲールであるという. 系 1.3 より F(t; T, T + τ) は, T + τ 満期の割引債価
格で取引可能資産価格を割った形で記述できるので, QT+τ -マルチンゲールである. *1
2 LIBOR Models
基準時点を 0 として, 時点 0 = T−1 , T0 , T1 , . . . , TN をリセット時点と満期時点とするフォワードレート達の
ダイナミクスを考える.
2.1 準備
Fi (t) := F (t; Ti−1 , Ti ), Qi := QTi とし, 0 ≤ t での Fi (t), i = 1, . . . , N の時間発展に対するモデルを考える。後
の小節で個別のモデルについて述べるので, 共通する論理的帰結についてまとめておく. Fi は Qi -マルチンゲー
ルであるので, マルチンゲール表現定理より次式が成立する.
dFi (t) = σi (t, Fi (t)) dZQi (t) (4)
但し, σi (t, Fi (t)) は (1, d) 行列 , ZQi は Qi の下での d 次元ブラウン運動. このように記述することで, d 次元の
ブラウン運動によりフォワードレート達の運動を記述すると仮定したことになる. ブラウン運動の第 i 番目の
要素を第 i 番目のファクターと呼ぶことにすると, 次元数 d はファクター数となる.
上記のように, LIBOR Model は T-フォワード測度の下でマルチンゲールであるという条件を満たすモデル
として定義され, その条件はマルチンゲール表現定理により規定される. このようにマルチンゲール表現定理は
重要な役割を果たすので, 参考のためマルチンゲール表現定理の内容を以下に引用*2 しておく.
定理 2.1（Martingale representaion, multiple dimensions） Let T be a fixed positive time, and assume
that F (t), 0 ≤ t ≤ T, is the filtration generated by the d-dimensional Brownian motion W(t), 0 ≤ t ≤ T.
Let M(t), 0 ≤ t ≤ T, be a martingale with respect to this filtration under P. Then there is an adapted,
d-dimensional process Γ(u) = (Γ1 (u), . . . , Γd (u)) , 0 ≤ t ≤ T, such that
∫ t
M(t) = M(0) + Γ(u) · dW(u), 0 ≤ t ≤ T.
0
2.2 Lognormal Forward LIBOR Model(LFM)
Lognormal Forward LIBOR Model(LFM) とは, Qi ,i = 1, . . . , N の下で Fi が対数正規分布となるモデルで
ある.
*1 このように満期 T のフォワードレートがマルチンゲールとなる測度であるということを意図して, QT を T − フォワード測度 と呼
ぶ.
*2 Stochastic Calculus for Finance II Continuout-Time Models, Steven E. Shreve より. 式番号など細かい部分は一致しない.
2

3. 定義 2.2（LFM）
dFi (t) = σi (t)Fi (t)dZQi (t)
i
(5)
σi (t) : 確定的な実数値関数
( )
ZQi (t) = ZQi (t), . . . , ZQi (t) : Qi の下での N 次元ブラウン運動
i 1 N
市場で価格建値に用いられている Black モデルによる Caplet 価格式と整合的な Fi (t) を解析的に求めること
ができる. 後に記すように, 測度変換により特定の測度の下でのブラウン運動を用いて全フォワードレートの
SDE を記述することで, フォワードレート間の相関がモデル式に現れることを確認できる. それを見越して明
示的に N 次元ブラウン運動 ZQi (t) としておく.
2.3 Stochastic alpha, beta, and Rho Model(SABR Model)
Stochastic alpha, beta, and Rho Model(SABR Model) は, i = 1, . . . , N として次のように与えられる.
定義 2.3（SABR）
dFi (t) = αi (t)(Fi (t))βi dZQi (t) (6)
dαi (t)
= νi dW Qi (t)
αi (t)
dZQi (t)dW Qi (t) = Ri dt
νi > 0 : ボラティリティのボラティリティ
βi ∈ [0, 1]
Ri ∈ [−1, 1] 相関係数
ZQi (t) : Qi の下での 1 次元ブラウン運動
W Qi (t) : Qi の下での 1 次元ブラウン運動
νi が定数であるため, αi (t) については解析的に求めることができる. νi = 0 の場合は αi は定数となり CEV モ
デルに帰着する. LFM と違い N 次元ブラウン運動を考えておらず, 各 i 毎に別のモデルとして定式化してい
る*3 .
2.4 LMM-SABR
全フォワードレートに対する SABR モデルを, LFM のように１つのモデルとして記述するモデルが
LMM-SABR モデルであり i = 1, . . . , N として次のように与えられる.
*3 言い換えると, 1 つのフォワードレートに対して LIBOR とそのボラティリティそれぞれに 1 ファクターずつの 2 ファクターモデル
として定式化しており, 全フォワードレートを同時に定式化するモデルではない.
3

4. 定義 2.4（LMM-SABR）
dFi (t) = si (t)(Fi (t))βi dZQi (t)
i
(7)
si (t) = g(t, Ti−1 )ki (t)
dki (t)
= h(t, Ti−1 )dWiQi (t)
ki (t)
g(t, T) > 0, h(t, T) > 0, βi ∈ [0, 1]
ρ jk , r jk , R jk ∈ [−1, 1], j, k = 1, . . . , N : 相関係数
( )
ZQi (t) = ZQi (t), . . . , ZQi (t) : Qi の下での N 次元ブラウン運動
1 N
( Q Q
)
W Qi (t) = W1 i (t), . . . , WN i (t) : Qi の下での N 次元ブラウン運動
dZQi (t)dZQi (t) = ρ jk dt
j k
dW Qi (t)dWk i (t) = r jk dt
j
Q
dZQi (t)dWk i (t) = R jk dt
j
Q
si そのものを SABR モデルの確率ボラティリティとはせずに, s = gk の形にして k を通して確率的にボラティ
リティが変動するモデルとなっている*4 .
3 測度変換と基準財の変更
1 つの資産価格 X(t) が次の SDE に従う場合を考える.
dX(t) =µQ (t, X(t))dt + σX (t, X(t))dZQ (t)
X
(8)
µQ (t, x)
X
: (1 × 1) 実行列値関数
σX (t, x) : (1 × d) 実行列値関数
ZQ (t) : (d × 1) ブラウン運動
′
dZQ (t)dZQ (t) = ρdt, 但し’ は転置を表す
dP
Radon-Nikodym 微分*5 dQ により定まる測度 P の下で, X(t) が従う SDE を求めたい. このように元々考えて
いる測度 Q から, それと同値な測度 P に測度を変えることを, Q から P への測度変換と呼ぶことにする. その
際に検討対象となる量 X の SDE がどのように変わるかを調べる. 測度変換の必要性はいろいろあるが, イメー
ジしやすいと思われるものとして, 例えば以下を挙げておく;
• Monte Carlo 法でプライシングを行う際に, 同一の測度の下でのシナリオ・シミュレーションを行う.
金融工学でよく使われる測度変換は, 元の測度 Q の下でのブラウン運動から新しい測度 P の下でのブラウン
運動が定義できるものである*6 . このような測度変換は Girsanov の定理から得られる. そこでまず Girsanov
の定理から導かれる内容について触れ, 次に本稿の主題である基準財の変更に伴う測度変換について述べる.
*4 g によって全フォワードレートに共通するボラティリティの期間構造を当てはめた上で, そこからのずれを確率的に記述するとい
うモデルである.
*5 念のため Girsanov の定理の節で述べておく. Girsanov の定理に依存せず定義される概念である.
*6 その他の測度変換の（有用な）例については, 多少興味はあるが未検討.
4

5. 3.1 Girsanov の定理
Radon-Nikodym 微分について簡単に備忘録を残しておく. 必要に応じて参照.
定義 3.1（Radon-Nikodym 微分） (Ω, F , Q) を確率空間, ζ を次の性質を満たす確率変数とする.
ζ > 0, a.s.
EQ [ζ] = 1
このような ζ により同値な測度 P を次式で定義することができる;
∫
P(A) := ζ(ω)dQ(ω) for all A ∈ F
A
このとき ζ は P の Q に関する Radon-Nikodym 微分であるといい, 次のように記す.
dP
ζ= (9)
dQ
確率変数 X の P の下での期待値について次式が成立する.
EP [X] = EQ [ζX] (10)
定義 3.2（Radon-Nikodym 微分過程） (Ω, F , {Ft }0≤t≤T , Q) をフィルター付き確率空間, Radon-Nikodym
微分を ζ = dP
dQ とする. 次式で定義される ζ(t) を P の Q に関する Radon-Nikodym 微分過程と呼ぶ.
[ ]
dP dP
ζ(t) := := EQ Ft (11)
dQ Ft dQ
系 3.3 ζ(t) は Q-マルチンゲールである.
系 3.4（重要） X(t) を Ft -適合確率過程とすると次式が成立する.*7
EP [ζ(T)X(T)|Ft ]
EQ [X(T)|Ft ] = (12)
ζ(t)
次の Girsanov の定理により, ある種の測度変換であれば, 新しい測度の下でのブラウン運動を元の測度の下
でのブラウン運動と付加項で表せるということが分かる.
′
定理 3.5（Girsanov, multiple dimensions.） Let T be a fixed positive time, let W(t) = (W1 (t), . . . , Wd (t))
be a d-dimensional standard*8 Brownian motion on a probability space (Ω, F , P), and let Θ(t) =
′
(Θ1 (t), . . . , Θd (t)) be a d-dimensional adapted process. Define
{ ∫ t ′
∫
1 t }
Z(t) := exp − Θ(u) dW(u) − ||Θ(u)||2 du , (13)
0 2 0
∫ t
W(t) := W(t) +
˜ Θ(u)du, (14)
0
*7 条件付き期待値の iterated conditioning を用いて証明できる.
*8 引用元の定理中には明示されていないが, 定理の外の説明や Z(t) の P-マルチンゲール性から各要素が互いに独立なブラウン運動,
すなわち標準ブラウン運動であると考えておく.
5

6. and assume that ∫ T
E ||Θ(u)||2 Z2 (u)du < ∞. (15)
0
Set Z := Z(T). Then E[Z] = 1, and under the probability measure P given by
˜
∫
˜
P(A) := Z(ω)dP(ω) for all A ∈ F ,
A
′ 1
the process W(t) is a d-dimensional standard Brownnian motion. 但し ||Θ(u)|| = (Θ(u) Θ(u)) 2 とする.
˜
Z は P の P に関する Radon-Nikodym 微分であり, Z(t), 0 ≤ t ≤ T は Radon-Nikodym 微分過程になって
˜
いる.
式 (8) に対して Girsanov の定理を適用してみよう. Girsanov の定理は直接的には標準ブラウン運動を扱う
ものなので,
ZQ (t) =CW Q (t) (16)
′
C : (d × M) 行列値定数であり, CC = ρ
W Q (t) : Q の下での M 次元標準ブラウン運動
と表せるものを考える. Θ(t) を M 次元の Ft -適合過程とし, Q に関する P の Radon-Nikodym 微分を
{ ∫t ∫t }
dP
dQ FT = exp − 0 Θ(u) · dW Q (u) − 1 0 ||Θ(u)||2 du とすると,
2
∫ t
W (t) = W (t) +
P Q
Θ(u) · du
0
dW P (t) = dW Q (t) + Θ(t)dt
dZP (t) = dZQ (t) + CΘ(t)dt
となり, 次のように書ける.
dX(t) =µP (t, X(t))dt + σX (t, X(t))dZP
X (17)
µP (t, x)
X := µQ (t, x)
X
− σX (t, x)CΘ(t) : 実数値関数
′
dZ (t)dZP (t) = ρdt
P
この表現から, 資産価格の X(t) のボラティリティ項は Girsanov の定理に準拠した測度変換の下では不変であ
り, ドリフト項のみが変わることが分かる.
3.2 基準財の変更と無裁定ドリフト
3.2.1 基準財の変更
リスク中立評価式 (1) のように, 通常, プライシングにおいては特定の基準財に関連する測度の下での条件
付き期待値を考える. 基準財 N とそれに関連する測度 QN のペアを基準財ペア (N, QN ) と呼び, 基準財ペア
(N1 , QN1 ) から (N2 , QN2 ) への (またはその逆の) 測度変換を考える.
定理 3.6（基準財ペア (N1 , QN1 ) から (N2 , QN2 ) への変更と測度変換） 定理 1.1 から, 基準財ペア (N1 , QN1 ) の
N2 N2
下で N1 はマルチンゲールである. また基準財価格は常に正であるから, N1 > 0 である. 従って QN1 の下での
期待値が 1 となるように規格化した
N2 (t) N1 (0)
ζ(t) := (18)
N1 (t) N2 (0)
6

7. は Radon-Nikodym 微分過程の性質を満たすことが分かる. この ζ(t) を用いて
dQN2
= ζ(t) (19)
dQN1 Ft
とすれば, QN2 を定義することができる. 明示的に Radon-Nikodym 微分を定義する場合は十分大きな T を用
dQN2
いて dQN1 = ζ(T) とすればよい. こうして基準財ペア (N1 , QN1 ) から (N2 , QN2 ) への測度変換を定義できる.
3.2.2 無裁定ドリフト
基準財ペア (N1 , QN1 ) の下で資産価格 X(t) の SDE が次のように書けるとする.
QN
dX(t) =µX 1 (t, X(t))dt + σX (t, X(t))dZQN1 (t) (20)
QN
µX 1 (t, x) : 実数値関数
σX (t, x) : (1 × d) 実行列値関数
ZQN1 (t) = CW QN1 (t) : QN1 の下での (d × 1) ブラウン運動
′
C : (d × M) 行列値定数, CC = ρ
W QN1 (t) : QN1 の下での (M × 1) 標準ブラウン運動
Girsanov の定理より, (N2 , QN2 ) の下でのブラウン運動を用いて次のように書ける.
QN
dX(t) =µX 2 (t, X(t))dt + σX (t, X(t))dZQN2 (t) (21)
QN
µX 2 (t, x) : 実数値関数
ZQN2 (t) = CW QN2 : QN2 の下での (d × 1) ブラウン運動
W QN2 (t) : QN2 の下での (M × 1) 標準ブラウン運動
QN2
このドリフト項 µX を具体的に求めよう. これは式 (17) の導出から, 基準財ペア (N1 , QN1 ) から (N2 , QN2 )
への測度変換を定義する Radon-Nikodym 微分の Θ を用いて表せる. そこで式 (18) と無裁定条件から
{ ∫t ∫ }
dQN2 ′ 1 t
Radon-Nikodym 微分過程 ζ(t) := dQN1 F = exp − 0 Θ(u) dW QN1 (u) − 2 0 ||Θ(u)||2 du の Θ を求める*9 .
t
{ ∫ t ′
∫
1 t }
ζ(t) = exp − Θ(u) dW (u) −
QN1
||Θ(u)||2 du
0 2 0
に対して Ito の公式を適用し,
ˆ
{( ) ( )2 }
′ 1 1 ′ 1
dζ(t) = ζ(t) Θ(t) dW (t) − ||Θ(t)|| dt +
QN1 2
Θ(t) dW (t) − ||Θ(t)|| dt
QN1 2
2 2 2
{ )}
′ 1( ′ ′
= ζ(t) Θ(t) dW QN1 (t) + −||Θ(t)||2 dt + Θ(t) dW QN1 (t)dW QN1 (t) Θ(t)
2
{ )}
′ 1( ′
= ζ(t) Θ(t) dW (t) +
QN1
−||Θ(t)||2 dt + Θ(t) Θ(t)dt
2
′
= ζ(t)Θ(t) dW QN1 (t) (22)
*9 無裁定条件 (1.1) からドリフト項が定まるため, 基準財ペアの変更に伴って変換されるドリフト項を無裁定ドリフトと呼ぶ.
7

8. N2 (t) N1 (0)
一方で ζ(t) = N1 (t) N2 (0) でもあるので, これに対して伊藤の公式を適用する.
dN1 QN
= µ1 1 (t, N1 (t))dt + ν1 (t)dZQN1 (t) (23)
N1
dN2 QN
= µ2 1 (t, N2 (t))dt + ν2 (t)dZQN1 (t) (24)
N2
とすると, *10
( )
N2 (t) N1 (0)
dζ(t) = d (25)
N1 (t) N2 (0)
{ }
N2 (t) dN2 (t) dN1 (t) dN2 (t) dN1 (t)
= − −
N1 (t) N2 (t) N1 (t) N2 (t) N1 (t)
{ ( ) }
QN QN
= ζ(t) (ν2 − ν1 ) dZQN1 + µ2 1 − µ1 1 dt − ν2 (t)dZQN1 ν1 dZQN1
{ ( ) }
QN QN
= ζ(t) (ν2 − ν1 ) CdW QN1 + µ2 1 − µ1 1 − ν2 ρν1 dt
これが式 (22) と等しいので,
′
Θ(t) = (ν2 (t) − ν1 (t)) C (26)
QN QN
µ2 1 (t, N2 (t)) = µ1 1 (t, N1 (t)) + ν2 (t)ρν1 (t) (27)
となる*11 *12 . CdW QN2 = CdW QN1 + CΘdt であるから, QN2 の下でのブラウン運動は
′
dZQN2 = dZQN1 + C {(ν2 − ν1 ) C} (28)
′
= dZQN1 + ρ (ν2 − ν1 )
無裁定ドリフトは
QN QN ′
µX 2 (t, x) = µX 1 (t, x) − σX (t, x)ρ (ν2 (t) − ν1 (t)) (29)
となる.
3.2.3 比較的簡易な導出方法
特殊な場合は比較的容易な導出が可能である. 今, フィルター付きの確率空間 (Ω, F , {Ft }, Q), 同値な測度 P,
dQ
ζ(t) = dP F , Ft − 適合過程 X(t) を Q− マルチンゲールとし, X(T), T > t の時点 t での条件付き期待値を考え
t
る. 系 (3.4) から
[ ]
ζ(t)X(t) = EP X(T)ζ(T) Ft (30)
*10 ν1 (t, N1 (t)) というようにモデル化してもよいが, 結局 N1 (t) のを通して t の関数とみることになる.
*11 Θ のみを求めたいので, dZ 項にのみ着目して計算すれば十分ではある.
*12 この計算結果からも, 無裁定条件からドリフトが定まること, すなわち 1 つの基準財のドリフトが定まれば, 基準財間の相関とそれ
QN
ぞれのボラティリティベクトルから各基準財のドリフトが自然に定まること, が確認できる. 別の見方としては µ2 1
(t, N2 (t)) と
QN
µ1 1
(t, N1 (t)) を関連づける式となっており, N1 (t), N2 (t) のドリフトは独立に指定し得ないことが分かる.
8

9. が成立する. すなわち ζ(t)X(t) は P− マルチンゲールである. このような特殊な場合*13 は, X(t) の無裁定ドリフ
トの計算を比較的容易に行うことができる. まず ζ(t) も P− マルチンゲールであるから, マルチンゲール表現
定理により, P の下でのブラウン運動を ZP 用いて
dζ(t) = ζ(t)q(t)dZP (t)
と書ける*14 また dX(t) = µP dt + σX dZP (t) とすると,
X
d(ζ(t)X(t)) = X(t)dζ(t) + ζ(t)dX(t) + dζ(t)dX(t)
( ) ( )
= X(t)ζ(t)q(t)dZP (t) + ζ(t) µP dt + σX dZP (t) + ζ(t)q(t)dZP (t) µP dt + σX dZP (t)
X X
( ′
)
= ζ(t) µP + q(t)ρσX dt + (· · · )dZP (t)
X (31)
′
但し, dZ (t)dZ (t) = ρdt
P P
(32)
となるが, マルチンゲール表現定理により dt 項は 0 である. マルチンゲール表現定理により求めたいドリフト
に関係する項のみを計算すれば良く, X と ζ それぞれについて伊藤の補題により 2 次の項まで計算する必要は
なく, 1 次までの計算で済むところがこの方法の良い所である*15 .
3.3 LIBOR Models への適用
2 節の LIBOR Models を考える. τi := Ti − Ti−1 , i = 1, 2, . . . , N とする.
3.3.1 LFM の無裁定ドリフト
定義 2.2 を次のように表す.
dFi (t) =σi dZQi (t) = σi dZQi (t)
i
′
σi = (0, . . . , σi , . . . , 0) : 第 i 成分 = σi , 他成分 = 0 となっている (1, M) ボラティリティ行列
ZQi : Qi の下での M 次元ブラウン運動 (33)
Qi の下での M 次元ブラウン運動を用いて, j 番目のフォワードレート F j (t) の SDE を記述する. Q j の下で対
数正規分布となることと, Girsanov の定理から,
Q
dF j (t) = σ j dZ j j (t) = σ j dZQ j (t)
= µQi dt + σ j dZQi (t)
j
(34)
Q
とかける. µ j i が求めたい無裁定ドリフトとなる.
Q
問 1 式 (29) を用いて j < i, j = i, j > i それぞれの場合に対して µ j i を求めよ.
Q
問 2 3.2.3 節の方法で j < i, j = i, j > i それぞれの場合に対して µ j i を求めよ.
*13 X = F とすればフォワードレートについてはこの場合が当てはまることが分かる.
*14 q(t) は一般にベクトルであることに注意する.
*15 式 (29) を忘れていても, この方法なら比較的容易に手計算できると思う.
9