NJD_71.pdf

№71/2021
Norwegian Journal of development of the International Science
ISSN 3453-9875
VOL.1
It was established in November 2016 with support from the Norwegian Academy of Science.
DESCRIPTION
The Scientific journal “Norwegian Journal of development of the International Science” is issued 24 times a year
and is a scientific publication on topical problems of science.
Editor in chief – Karin Kristiansen (University of Oslo, Norway)
The assistant of theeditor in chief – Olof Hansen
• James Smith (University of Birmingham, UK)
• Kristian Nilsen (University Centre in Svalbard, Norway)
• Arne Jensen (Norwegian University of Science and Technology, Norway)
• Sander Svein (University of Tromsø, Norway)
• Lena Meyer (University of Gothenburg, Sweden)
• Hans Rasmussen (University of Southern Denmark, Denmark)
• Chantal Girard (ESC Rennes School of Business, France)
• Ann Claes (University of Groningen, Netherlands)
• Ingrid Karlsen (University of Oslo, Norway)
• Terje Gruterson (Norwegian Institute of Public Health, Norway)
• Sander Langfjord (University Hospital, Norway)
• Fredrik Mardosas (Oslo and Akershus University College, Norway)
• Emil Berger (Ministry of Agriculture and Food, Norway)
• Sofie Olsen (BioFokus, Norway)
• Rolf Ulrich Becker (University of Duisburg-Essen, Germany)
• Lutz Jäncke (University of Zürich, Switzerland)
• Elizabeth Davies (University of Glasgow, UK)
• Chan Jiang(Peking University, China) and other independent experts
1000 copies
Norwegian Journal of development of the International Science
Iduns gate 4A, 0178, Oslo, Norway
email: publish@njd-iscience.com
site: http://www.njd-iscience.com

CONTENT
BIOLOGICAL SCIENCES
Sargsyan M.
THE ELM FAMILY (ULMACEAE) IN ARMENIA...............3
ECONOMIC SCIENCES
Chernysheva Ju., Surkova S.
PROSPECTS OF CUSTOMER SERVICE IN JSC "RUSSIAN
RAILWAYS" ..................................................................5
Chernysheva Ju., Surkova S.
PROBLEMS OF IMPLEMENTING A CUSTOMER-
ORIENTED APPROACH IN THE ACTIVITIES OF JSC
"RUSSIAN RAILWAYS"..................................................7
JURISPRUDENCE
Sablin D., Tatarchenko A.
COMPARATIVE ANALYSIS OF THE FORMATION OF
LOCAL SELF-GOVERNMENT AT DIFFERENT STAGES OF
ITS DEVELOPMENT....................................................10
MATHEMATICAL SCIENCES
Sahakyan A.
INTERVAL EDGE-COLORING WITH RESTRICTIONS ON
EDGES FOR GRAPHS WITH SPECIAL STRUCTURES OF
CYCLES.......................................................................13
MEDICAL SCIENCES
Shapovalov D., Hupalo Yu.,
Golyachenko O., Shaprynskyi V., Gurianov V.
ISCHEMIC DIABETIC FOOT: WOUND-RELATED
REVASCULARISATION................................................20
PEDAGOGICAL SCIENCES
Abdurakhmanova N.
A SET OF EXERCISES FOR THE DEVELOPMENT OF
LANGUAGE AND COMMUNICATIVE COMPETENCE OF
FOREIGN LANGUAGE STUDENTS (by the example of
studying the functions of word order in a Russian
sentence)...................................................................27
Goldfine L.
PLANNING OF PEDAGOGICAL WORK IN
INSTRUMENTAL CLASSES OF CHILDREN'S MUSIC
SCHOOLS ...................................................................30
Yakovleva N.
THEORETICAL FOUNDATIONS FOR CHINESE
STUDENTS TO UNDERGO INTRODUCTORY PRACTICE
IN AN ELEMENTARY SCHOOL IN RUSSIA ...................33
PHILOLOGICAL SCIENCES
Lavrova A.
COMPLEMENTARY PRODUCTS & COMPETITIVE
ADVANTAGE PROFESSIONAL VOCABULARY
RESEARCH .................................................................35
Najimov P.
SOME MORPHOLOGICAL ISSUES OF THE KARAKALPAK
LANGUAGE ................................................................43
Sulym V.
CULTURAL CODE OF ARTIFACTS AND SPECIFICS OF
THEIR TRANSLATION AND USE..................................47
Khoshniyazov Zh.
THE PROBLEMS OF FIXING AND DEFINING OF GENRE
CRITERIA OF KARAKALPAK FOLK PROSE....................53
PSYCHOLOGICAL SCIENCES
Kapitullaeva S.
RELATIONSHIP BETWEEN A MAN AND A WOMAN IN A
FAMILY WITH A CHILD WITH CANCER.......................58
Savina T.
PROFESSIONAL PERSONAL DEFORMATIONS:
RESOURCES FOR PREVENTING AND OVERCOMING
PROFESSIONAL STRESS..............................................60
TECHNICAL SCIENCES
Zamrii I.
ALGORITHM FOR FORMING AND NON-NETWORK
OPTIMIZATION OF THE CONTROL PROGRAM OF THE
PRODUCTION CENTER USING NONLINEAR DYNAMICS
METHODS..................................................................63
Poletskov P., Emaleeva D.,
Gulin A., Kuznetsova A., Alekseev D.
ANALYSIS OF THE CURRENT STATE AND PROMISING
DEVELOPMENTS IN THE FIELD OF FERROUS
METALLURGY.............................................................68
VETERINARY SCIENCES
Zorina N., Bagamaev B.
THE MANIFESTATION OF DERMATITIS OF PARASITIC
ORIGIN IN CARNIVOROUS ANIMALS .........................74

Norwegian Journal of development of the International Science No 71/2021 3
BIOLOGICAL SCIENCES
THE ELM FAMILY (ULMACEAE) IN ARMENIA
Sargsyan M.
Ph.D, Senior Researcher
in Institute of Botany after A. L. Takhtajyan of the National Academy of Sciences of the Republic of Armenia,
Yerevan
СЕМЕЙСТВО ИЛЬМОВЫЕ (ULMACEAE) В АРМЕНИИ
Саргсян М.В.
K.б.н., старший научный сотрудник
в Институте ботаники им. А.Л. Тахтаджяна НАН РА,
Ереван
DOI: 10.24412/3453-9875-2021-71-3-4
Abstract
In Armenia are grown represent of three genera of family Ulmaceae: the genera Ulmus L. represented by 4
species, the genera Celtis L. – 3, and the genera Zelkova Spach – 1. Data on habitats and distribution, and keys for
definition of species of these genera are given.
Аннотация
В Армении встречаются представители трех родов семейства Ulmaceae: род Ulmus L., представлен 4
видами, род Celtis L. – 3, а род Zelkova Spach – 1. В статье приводятся сведения об условиях произрастания
и роспространении, а также ключи для определения видов данных родов.
Keywords: Ulmaceae, Ulmus, Celtis, Zelkova, flora of Armenia.
Ключевые слова: Ulmaceae, Вяз, Каркас, Дзельква, флора Армении.
Введение
Согласно А. Л. Тахтаджян [3, с. 338 – 352], в
Армении произрастает 6 видов рода Ulmus L. –
Ulmus foliacea Gilib., U. laevis Pall., U. suberosa
Moench, U. densa Litw., U. scabra Mill. и U. elliptica
K.Koch, из которых для двух видов – U. laevis Pall.
и U. densa Litw. указано, что виды встречаются в
культуре; род Celtis L. представлен 2 видами –
Celtis glabrata Steven ex Planch. и Celtis caucasuca
Willd., а род Zelkova Spach в обработке не приво-
дится. Во «Флоре Еревана» для Араратской котло-
вины приведены Ulmus carpinifolia Ruppins ex
Suckow и Celtis glabrata Steven ex Planch. [4, с. 69].
В “Конспекте флоры Кавказа” [5, с. 487 – 489],
в обработке семейства Ulmaceae, авторами для Ар-
мении вид Zelova carpinifolia (Pall.) K. Koch приво-
дится ссылаясь на Флору Кавказа [1, с. 66].
После этих обработок более или менее полного
и удовлетворительного исследования семейства
Ulmaceae по Армении не проводилось. В связи с
подготовкой коллективного труда «Определитель
растений Армении», нами предпринята таксономи-
ческая ревизия представителей этого семейства,
произрастающих на территории Армении.
Материал и методика. Материалом для ис-
следования послужили коллекции Института бота-
ники НАН РА (ERE), Ереванского государствен-
ного университета (ERCB), также необработанные
сборы представителей семейства в Институте бота-
ники НАН РА. Были изучены типовые образцы,
весь гербарный материал по Кавказу, Турции и
Ирану, хранящиеся в этих гербариях, фотографии
типовых образцов некоторых видов.
Полевые наблюдения в природе и собственные
сборы по Армении осуществлялись в 2010 – 2020
гг. маршрутным и стационарным методами. В ходе
экспедиционных поездок виды и их формы фото-
графировались во время цветения и плодоношения.
В ходе работы был использован сравнительно-мор-
фологический метод.
В работе флористическое деление Армении и
сокращения названий флористических районов
приводятся по А. Л. Тахтаджяну [2, 290 стр.]. Ра-
бота выполнена в Институте ботаники НАН РА в
период 2010 – 2020гг.
Результаты работы. В результате изучения
многолетнего необработанного гербария ERE, ма-
териалов новейших экспедиционных сборов уточ-
нен видовой состав родов Ulmus, Celtis, Zelkova в
Армении, для некоторых уточнены приоритетные
названия, уточнены и выявлены новые флористиче-
ские районы распространения, составлены новые
ключи для идентификации видов.
При идентификации видов рода Ulmus было
установлено, что виды Ulmus scabra Mill. и U.
elliptica K.Koch являются синонимами вида U.
glabra Huds., а виды U. foliacea Gilib., U. carpinifolia
Ruppins ex Suckow, U. suberosa Moench и U. araxina
Takht. синонимы вида U. minor Mill. При уточнении
видового состава рода Celtis, установлено, что на
территории Армении произрастаю 3 вида Celtis –
Celtis planchoniana K. I. Chr., C. caucasica Willd. и
C. tournefortii Lam., а вид Celtis glabrata Steven ex
Planch., является синонимом Celtis planchoniana K.
I. Chr. Что касается рода Zelkova, в гербарии Инсти-
тута ботаники НАН РА хранится экземпляр этого

4 Norwegian Journal of development of the International Science No 71/2021
рода (ERE 23813), собранный С. Тамамшяном в
1922 году из Зангезура (обл. Сюник). Считаем не-
обходимым включить этот вид в обработки семей-
ства Ulmaceae для Армении, и продолжить поиск
данного рода в Сюнике.
Ключ для определения родов семейства
Ulmaceae Mirb.
1. Плод округлая, ± мясистая костянка. Листья
с трехнервным жилкованием. Доли околоцветника
свободные Celtis
– Плод сухой орешек. Листья с перистым жил-
кованием. Доли околоцветника у основания срос-
шиеся 2
2. Плод крылатый орешек, крыло в виде пере-
пончатой окраины. Листья асимметричные у осно-
вания Ulmus
– Плод бескрылый морщинистый орешек. Ли-
стья почти симметричные у основания Zelkova
Celtis L., Каркас
1. Листья 2 – 7 см дл., голые, гладкие, ± желто-
зеленые, несколько асимметричные, плод шаровид-
ная, оранжево-желтая, ± мясистая костянка. Ку-
старник или дерево 5 – 8 м. IV – V, V – VI. 800 –
2000 м. Скалисто-каменистые склоны, редколесья,
опушки дубово-грабовых лесов. – Араг., Ерев.,
Дар., Мегри. – Кавказ (Б. Кавказ, Закавказье), Ю-В
Европа, Ю-З Азия. С. planchoniana K. I. Chr.
(= C.glabrata Steven ex Planch., nom. Illeg., non
Spreng.)
– Листья 3 – 10 см дл., сверху шероховатые,
снизу ±опушенные, сизо-зеленые 2
2. Листья темно-серовато-зеленые, 4 – 10 см
дл., яйцевидно-ланцетные, вверху длинно заострен-
ные. Плод коричневатый. Дерево 10 – 15 м. V – VI,
VI – VIII. 800 – 1800 м. Сухие склоны, ущелья, в
кустарниках, редколесьях. – Иджев., Севан., Занг.,
Мегри. – Кавказ (Б. Кавказ, Закавказье), Ю-З, Ср, и
Ц. Азия, С. Непал. C. caucasica Willd.
– Листья сизые или серо-зеленые, 3 – 5 см дл.,
яйцевидные, вверху коротко острые. Плод желтый,
с короткой мелко-волосистой плодоножкой. Ку-
старник до 2 м. III – V, V –VII. 800 – 1300 м. сухие
скалистые, каменистые склоны. – Ерев. (Гарни, Ар-
зни, М. Иландаг, Урц, Хосровский заповедник),
Дар., Мегри. – Кавказ (Нахичеван), Средиземномо-
рье, Ю-З Азия, З. Иран. C. tournefortii Lam.
Ulmus L., Вяз
1. Плодоножки тонкие, длинные, превосходя-
щие по длине зрелый плод в несколько раз. Кры-
латка по краю густореснитчатая. Листья 6 – 12 см
дл., резко асимметричные у основания, яйцевид-
ные, с заостренной верхушкой, сверху голые, снизу
мягко опушенные. Дерево до 30 м выс. V –V, VI.
1000 – 2200 м. Только в культуре. – Иджев., Ерев. –
Кавказ (З. Предкавказье, Ц. Кавказ), Европа. U.
laevis Pall.
– Плодоножки короче плода, часто почти сидя-
чие. Крылатка голая, по краю не бывает густо рес-
нитчатая. Листья яйцевидные, эллиптические или
слабо асимметричные у основания 2
2.Листья 15 – 25 см дл., шероховатые, жесткие,
обратнояйцевидные или эллиптические. Крылатки
2,5 (3) см дл., обратнояйцевидные. Тычинок 5 – 6.
Дерево до 35 м выс. IV – V, V – VI. 1000 – 2200 м.
В дубого-грабовых лесах, в поймах рек. – Иджев.,
Апар., Ерев., Дар., Занг., Мегри. – Кавказ (Предкав-
казье, Б. Кавказ, Закавказье), Европа, Средизем.,
Юго-Зап. Азия. U. glabra Huds. (=U. scabra Mill.; U.
elliptica K.Koch)
– Листья 2 – 8 см., не шероховатые Крылатки
более мелкие, 10–15 мм дл. 3
3. Крона рыхлая, раскидистая. Листья обычно
яйцевидные, ± гладкие, бумажные или кожистые.
Крылатки округлые. Тычинок 3 – 5. Дерево или ку-
старник 4 – 15 м выс. IV – V, V – VI. 800 – 2000 м.
В дубово-грабовых лесах, в кустарниковых зарос-
лях, по склонам оврагов, в поймах рек. – Лори., Ид-
жев., Апар., Ерев., Дар., Занг., Мегри. – Кавказ
(Предкавказье, Б. Кавказ, Закавказье), Европа, Сре-
диземноморье, Ю-З Азия, Иран.
U. minor Mill. (=U. foliacea Gilib.; U. carpini-
folia Ruppins ex Suckow, U. suberosa Moench, U.
araxina Takht.)
– Крона очень густая, плотная, шаровидная.
Листья до 7,5 см дл., эллиптические, яйцевидные
или обратнояйцевидные, кожистые, по краю два-
жды пыльчатые. Тычинок 4. Крылатки овальные.
Дерево до 15м выс. II – IV – III –V. 800 – 1800 м.
Культивируется в парках, у родников, вдоль дорог.
– Ерев., Дар., Занг., Мегри. – Кавказ (В., Ю. Закав-
казье), Ю-З, Ср. Азия, Иран. U. densa Litw.
Zelkova Spach, Дзельква
Листья яйцевидные или эллиптические, (2) 5-8
(9) х (1,5) 4-5 см, городчатые или пильчатые, зубцы
притупленные с маленьким остроконечием, сверху
лоснящиеся, снизу, преимущественно по жилкам ±
коротко-опушенные. Орешек зеленоватый, голый,
ребристый, с горбатым носиком у вершины. Дерево
до (15) 20-25 (35) м выс. III—IV, VIII—IX. 800—
1400 м. В дубово-грабовых лесах. – Занг. – Кавказ
(ЗЗ, ВЗ, Ю. Закавказье, Талыш), В. Турция С. Иран.
Z. carpinifolia (Pall.) K. Koch
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Гроссгейм А. А. Флора Кавказа. Баку,
1945.Том 3. С. 66.
2. Тахтаджян А. Л. //Фл. Армении. Ереван,
1954. Том 1. 290 стр.
3. Тахтаджян А. Л. Семейство Ulmaceae
//Фл. Армении. Ереван, 1962. Том 4. С. 338 – 352.
4. Тахтаджян А. Л., Федоров Ан. А. Флора
Еревана. Ленинград, 1972. С. 69.
5. Тахтаджян А. Л. (Редактор). Конспект
флоры Кавказа. Санкт Петербург - Москва, 2012.
Том 3 (2). С. 487 – 489.

ECONOMIC SCIENCES
PROSPECTS OF CUSTOMER SERVICE IN JSC "RUSSIAN RAILWAYS"
Chernysheva Ju.,
Doctor of Economics, Professor
Department of Economics and Management
Rostov State University of Railway Transport
Surkova S.
Manager for the organization of railway transportation
South-Eastern Territorial center of corporate transport service - Branch of JSC "Russian Railways"
ПЕРСПЕКТИВЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ КЛИЕНТОВ В ОАО «РЖД»
Чернышева Ю. Г.
Доктор экономических наук, профессор
Кафедра «Экономика и менеджмент»
ФГБОУ ВО «Ростовский государственный университет путей сообщения»
Суркова С.С.
Менеджер по организации железнодорожных перевозок
Юго-Восточный Территориальный центр фирменного транспортного обслуживания – Филиала
ОАО «РЖД»
DOI: 10.24412/3453-9875-2021-71-5-7
Abstract
The key task of economic development is the innovative renewal of the technologies used. This is the basis
for economic growth, meeting the constantly growing needs of the population for a variety of high-quality goods
and services. In these conditions, all organizations, all business entities should be engaged in innovation activity.
Innovative activity provides them with competitive advantages, contributes to the strengthening and expansion of
their position in the market
Аннотация
Ключевой задачей развития экономики является инновационное обновление используемых техноло-
гий. Это основа экономического роста, удовлетворения постоянно растущих потребностей населения в
разнообразных и качественных товарах и услугах. В этих условиях инновационной деятельностью должны
заниматься все организации, все субъекты хозяйствования. Инновационная деятельность обеспечивает им
конкурентные преимущества, способствует упрочнению и расширению их положения на рынке
Keywords: service sales center, Russian Railways service prospects, Focus technology.
Ключевые слова: центр продажи услуг, перспективы обслуживания ОАО «РЖД», технология «Фо-
кус».
К числу инновационных проектов, касаю-
щихся реализации клиентоориентированного под-
хода в деятельности транспортной компании,
можно отнести организацию центров продажи
услуг (ЦПУ) в Территориальных центрах фирмен-
ного транспортного обслуживания на полигонах
железных дорог.
По итогам реализации пилотных проектов
ЦПУ были созданы с целью упрощения доступа по-
требителей к услугам холдинга ОАО «РЖД» в об-
ласти грузовых железнодорожных перевозок и ор-
ганизации комплексного обслуживания по прин-
ципу «одного окна».
Возможности принципа «одного окна» можно
увидеть в рамках предоставления услуг холдинга
«РЖД», чем будет являться результативное взаимо-
действия подразделений дочерних обществ и
структурных подразделений филиалов ОАО
«РЖД».
В целях реализации комплексных услуг клиен-
там через функциональный комплекс ЦПУ, сотруд-
ничество осуществляется между бизнес-едини-
цами, на основании регламентов предоставления
услуг, соглашений и агентских договоров по орга-
низации кросс-продаж.
Наиболее эффективным решением является
специализированное программное обеспечения,
благодаря которому происходит взаимодействие
участников бизнес-процесса. Взаимодействие мо-
жет быть реализовано посредством CRM-системы -
управления взаимоотношениями с потребителями
услуг, которая обеспечивает не только проработки
запроса клиента, но и оперативность сотрудниче-
ства всех пользователей сквозной технологической
цепи формирования и оказания комплексной
услуги на всем ее жизненном цикле, а также объек-
тивную оценку уровня удовлетворенности клиента.
Оказание услуги с клиентом и с ЦПУ может
быть реализовано посредством специализирован-

ного программного обеспечения. Наиболее эффек-
тивным решением является применение CRM-
системы - управления взаимоотношениями с потре-
бителями услуг, которая обеспечивает оператив-
ность не только рассмотрения запроса клиента, но
и взаимодействия всех участников сквозной техно-
логической цепи подготовки и оказания комплекс-
ной услуги на всем ее жизненном цикле, а также
уровень удовлетворенности клиента.
Когда клиент имеет потребность обращения в
ЦПУ по вопросу оказания услуг по перевозке, то
специалист ЦПУ поможет ему, уточнив информа-
цию о предоставлении нужных услуг, виде и раз-
мере груза, объемах перевозимого груза, роде по-
движного состава, а также узнает дополнительные
сведения (включая информацию о необходимости
предоставления схем НТУ, эскизов погрузки гру-
зов, предоставления реквизитов крепления и разме-
щения груза и т.п.).
Заказать подвижной состав, загрузить товар,
перевезти его от станции к станции – это основной
набор услуг, за которыми можно обратиться к спе-
циалистам ЦПУ. Сотрудники территориального
центра фирменного транспортного обслуживания,
в любое время готовы рассмотреть различные за-
дачи, которые стоят перед клиентом, и предложить
лучшие решения.
Например, доступна услуга «Грузовой экс-
пресс», которая предполагает доставку небольших
партий товаров по расписанию и актуальна для тех,
кому в перевозках важна регулярность, скорость и
надежность. Также оказываютя терминально-
складские услуги, в которых есть потребность для
быстрого распределения поставок, непрерывного
комплектования заказов или временного хранения
продукции.
Некоторым клиентам требуется не просто до-
ставить продукцию от станции до станции, но и
полностью организовать логистику с учетом инди-
видуальных запросов компании. В Центре продажи
услуг смогут предложить комплексные логистиче-
ские решения под ключ от подразделений терми-
нально-складского комплекса, а также компаний
«РЖД Логистика» и GEFCO в форматах 3PL и 4PL.
Для удобства и оптимизации работы с клиен-
том разработано программное решение. С помо-
щью него грузоотправители и грузополучатели
смогут самостоятельно просматривать договорную
работу по присвоенному идентификационному но-
меру, подробно отслеживать статус рассмотрения
своего запроса по договору в мобильном приложе-
нии «РЖД ГРУЗЫ» или через чат-бота мессен-
джера Telegram. Бизнес-партнерам больше не при-
дется звонить, чтобы получить эту информацию,
тратить личное время и средства.
Новый сервис можно использовать для трех
типов договоров:
- подачи-уборки и эксплуатации путей необ-
щего пользования;
- аренды тягового подвижного состава;
- аренды путей и земельных участков в полосе
отвода ОАО «РЖД».
Имеющий большое значение организацион-
ный момент – центр работает по системе одного
окна, когда все необходимые услуги предоставля-
ются на единой площадке и занимают минимум
времени как у заказчиков, так и у специалистов.
До открытия подобных центров клиенты были
вынуждены обращаться в структурные подразделе-
ния, которые были расположены в разных местах.
Сейчас все объединилось их на одной площадке,
что более удобно, как для постоянных партнеров,
так и для новых заказчиков, которые не знают мно-
гих нюансов в работе с железной дорогой. Теперь
они могут получить ответы на все вопросы в ЦПУ,
специалисты которого будут вести «своего» кли-
ента до подписания договора. После чего подклю-
чаются специалисты нужного профиля в зависимо-
сти от задач.
Кроме того, клиент может пожаловаться на не-
своевременно оказанную услугу или не оказание
помощи по его обращению, которую обязательно
должен зафиксировать Единый информационный
сервисный центр ОАО «РЖД» по грузовым пере-
возкам с территориальными подразделениями
функциональных филиалов, расположенных в гра-
ницах железной дороги и обработать с использова-
нием технологии «Фокус». Основная задача «ФО-
Куса» – исключить формальное отношение при ре-
шении проблем грузоотправителей и
грузополучателей.
Жалобы классифицируются по группам вопро-
сов. Группа вопросов служит для корректного
определения ответственного подразделения, от ко-
торого зависит решение конкретной жалобы.
Группы вопросов могут включать в себя дополни-
тельные подтемы. Каждой группе вопросов опреде-
лены ответственные подразделения, оценка послед-
ствий для клиента и нормативный срок устранения
проблемы. В случае получения от клиента неудо-
влетворительного отзыва или уведомления, что
проблема, по которой он обращался, не решена, по-
вторно направляет обращение в подразделение на
доработку (в АС ООК фиксируется факт повтор-
ного направления обращения на доработку) и дуб-
лирует информацию по электронной почте в адрес
ответственного работника технологической
службы.
Круглосуточно в режиме онлайн фиксируется
информация о проблемах клиентов, которая анали-
зируется и распределяется по принадлежности для
немедленного реагирования и устранения. дина-
мика количества таких обращений растет, а также
увеличивается количество жалоб. Такая статистика
свидетельствует о сохраняющемся доверии клиен-
тов к данному каналу взаимодействия как к способу
решения актуальных для них проблем. Клиенты ви-
дят, что компания реагирует, и, соответственно, об-
ращаются снова.
Нововведение позволяет эффективно монито-
рить уровень удовлетворённости клиентов и клиен-
тоориентированность сотрудников ОАО «РЖД».
Как результат – в подразделениях компании растёт
понимание роли качественного и своевременного
реагирования на запросы клиентов как одного из

важных инструментов повышения их лояльности и
удовлетворённости транспортным обслуживанием
компании.
Ожидается, что упрощенный доступ к услугам
железных дорог обеспечит рост заказов по всем
объемам грузов, особенно от представителей ма-
лого и среднего бизнеса.
1. Распоряжение от 19.08.2019 №1784/р «Об
утверждении типового Регламента взаимодействия
Единого информационного сервисного центра
ОАО «РЖД» по грузовым перевозкам с территори-
альными подразделениями функциональных фили-
алов, расположенных в границах железной дороги,
при обработке жалоб клиентов с использованием
технологии «Фокус»
2. Распоряжение от 03.04.2017 №627 Об орга-
низации центров продажи услуг на полигонах же-
лезных дорог.
3. Шагинян С.Г. Формирование инновацион-
ной экономики и российские реалии// Труды Ро-
стовского государственного университета путей
сообщения, 2016, №5.
PROBLEMS OF IMPLEMENTING A CUSTOMER-ORIENTED APPROACH IN THE ACTIVITIES
OF JSC "RUSSIAN RAILWAYS"
Chernysheva Ju.,
Doctor of Economics, Professor
Department of Economics and Management
Rostov State University of Railway Transport
Surkova S.
Manager for the organization of railway transportation
South-Eastern Territorial center of corporate transport service - Branch of JSC "Russian Railways"
ПРОБЛЕМЫ РЕАЛИЗАЦИИ КЛИЕНТООРИЕНТИРОВАННОГО ПОДХОДА В
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КОМПАНИИ ОАО «РЖД»
Чернышева Ю. Г.
Доктор экономических наук, профессор
Кафедра «Экономика и менеджмент»
ФГБОУ ВО «Ростовский государственный университет путей сообщения»
Суркова С.С.
Менеджер по организации железнодорожных перевозок
Юго-Восточный Территориальный центр фирменного транспортного обслуживания – Филиала
ОАО «РЖД»
DOI: 10.24412/3453-9875-2021-71-7-9
Abstract
The basis for the existence and activity of each enterprise is recognized by customers who are the key com-
ponents of the surrounding conditions and determine the behavior of this enterprise in the market today. Enterprises
that do not know how to find their customers, establish their desires and build long-term relationships with them,
will eventually be replaced by those who were able to meet the expectations and realities of the market. The article
discusses the problems of implementing a customer-oriented approach on the example of the company JSC "Rus-
sian Railways".
Аннотация
Основанием существования и деятельности каждогопредприятия признаются клиенты, которые вы-
ступают ключевыми составляющими окружающих условий и определяют поведение этого предприятия
сегодня на рынке. Предприятия, которые не умеютобнаружить своего клиента, установить его желания и
выстроить с ним долговременные взаимоотношения, с течением времени вытесняться теми, кто смог от-
вечать ожиданиям и реалиям рынка. В статье рассматриваются проблемы внедрения клиентоориентиро-
ванного подхода на примере компании ОАО «РЖД».
Keywords: loyalty to the company, problems of implementing a client-oriented approach, problems of CRM
implementation
Ключевые слова: лояльность к компании, проблемы реализации клиентоориентированного подхода,
проблемы внедрения CRM
Реализация клиентоориентированного под-
хода в управлении компанией называется- CRM -
customer relation management. В дословном пере-
воде с английского языка означает «управление от-
ношениями с клиентами».
Клиентоориентированный менеджмент - это
характеристика бизнеса, которая отражает место
интересов клиента в системе приоритетов руковод-
ства и собственников [1].

Ориентация на клиента- стратегия работы ком-
пании, при которой решения о каких-либо измене-
ниях в деятельности и внедрениях разного рода
принимаются только при соответствующей реак-
ции потребителя (клиента) [2, с.97].
Существуют три базовые цели использования
CRM систем:
- оперативное использование (оперативный
доступ к информации в ходе контакта с клиентом в
процессе продаж и обслуживания);
- аналитическое использование (совместный
анализ данных,характеризующих деятельность, как
клиента, так и фирмы, получение новых знаний, вы-
водов, рекомендаций);
- коллаборационное использование (клиент
непосредственно участвует в деятельности фирмы
и влияет на процессы разработки продукта, его про-
изводства, сервисного обслуживания).
Стратегия управления клиентскими отноше-
ниями, по своей сути, представляет собой особую
систему управления организацией, при которой все
ее элементы (структура, бизнес-процессы, персо-
нал, знания и навыки, корпоративная культура и
этика и т.д.) сфокусированы на создании потреби-
тельской ценности [3, с.198].
На самом деле этого достаточно для того,
чтобы компании реализовали свои ресурсы, и они
могут основываться на существующей клиентской
базе с помощью набора целевых управленческих
мер и минимальных дополнительных затрат. Но в
отечественной практике стратегия, которая ориен-
тирована на клиента, не получила широкого рас-
пространения, так как ее развитие все еще вызывает
множество проблем и трудностей, а предпринима-
телям не хватает понимания ее специфики и основ-
ных процессов.
В данный момент стали известны информа-
ционно-аналитические программные СRМ-
комплексы производства компаний "WinPeak",
"Про-Инвест Консалтинг" и др. Однако в России
для железнодорожного транспорта похожих раз-
работок необходимого уровня не существует. И
все же, проводимая в рамках развития Системы
фирменного транспортного обслуживания ОАО
"РЖД" работа, позволила сформировать опреде-
ленную базу для внедрения СRМ-технологий,
представленную двумя разработками: ЭТРАН и
Информационное хранилище "Грузовые пере-
возки".
Система ЭТРАН - электронная транспортная
накладная автоматизирует все процессы оформ-
ления накладных на груз и сопутствующих до-
полнительных операций, установлена на рабо-
чих местах сотрудников ОАО "РЖД", имеющим
доступ к информации по грузовым перевозкам, а
также большинства клиентов, осуществляющих
перевозки по железной дороге.
Информационное хранилище "Грузовые пе-
ревозки" формируется Главным вычислитель-
ным центром ОАО "РЖД" на основе информа-
ции, передаваемой при оформлении перевозоч-
ных документов отправляемых грузов и их
раскредитовании по прибытии. Информацион-
ное хранилище содержит более 30 признаков, по
которым можно производить анализ выполнен-
ных объемов перевозок. Хранилище позволяет
запрашивать объемы перевозок в тоннах, ваго-
нах или контейнерах, а также сумму взысканных
тарифных платежей и среднюю дальность пере-
возки с целью маркетингового анализа рынка.
Достижение и укрепление лояльности потре-
бителей - основная цель концепции клиенто-
ориентированного менеджмента. Лояльность –
намеренная (неслучайная) поведенческая реакция
(повторные посещения), демонстрируемая в тече-
ние периода времени каким - либо с субъектом по
отношению к одному поставщику из ряда имею-
щихся. Лояльность является центральным усло-
вием успешного удержания (приверженных) потре-
бителей
Если рассматривать лояльность к компании к
ОАО «РЖД», то изначально выявляется проблема,
когда у клиента нет другого выбора, и вынужден-
ной мерой является обращение к монополисту. На
первый взгляд это может казаться лояльностью, но,
в сущности, таковой не являться. Клиент все время
возвращается к одному и тому же поставщику
услуги. Но это служит причиной только в том, что
больше конкурентов на рынке не представлено.
Сравнивать не с чем, и возможности сделать это –
нет. В действительности клиенты недовольны фир-
мой – монополистом. Причины могут быть различ-
ные: от незаинтересованности до некачественного
обслуживания. По сути монополист на самом деле
работает хуже конкурентоспособных фирм, по при-
чине того, что улучшать свою продукцию нет сти-
мула, равно как и предоставлять услуги каче-
ственно и максимально уделять внимание обслужи-
ванию. Прилагать дополнительные усилия ему
незачем, так как и без этого клиентов будет много.
Лояльность к монопольной компании опирается
только на то, что у клиента нет возможности вы-
бора подходящей именно ему фирмы. Компания -
монополист чаще всего имеет свойство слабого раз-
вития и топтания на месте, не говоря про появление
на рынке конкурентов. Цели программы лояльно-
сти выделяют следующие:
- удержание клиентов в рентабельном бизнесе
посредством улучшения удовлетворенности и пре-
имущества, предоставляемых определенной кате-
гории клиентов.
- привлечение новых клиентов (рекомендации
существующих клиентов или предложение преиму-
щественных прав).
- программы лояльности обеспечивают способ
для общения компании с клиентами, как косвенно
(при помощи прямой рассылки) так и лично.
- организация системы многолетних взаимоот-
ношений с клиентами путем предложения поощре-
ния за их предрасположение.
- создание базы данных клиентов, включаю-
щую в себя данные о покупательских предпочте-
ниях, рыночном поведении, частоте обращения по

поводу предоставления услуг. Для решения марке-
тинговых задач, такие базы будут являються кладе-
зем бесценной информации.
-программы лояльности служат для того,
чтобы дать возможность другим подразделениям
компании, занимающимся инновационной разра-
боткой услуг и исследованиями, получать сведения
о клиентах для последующей переработки.
Взаимоотношения могут быть установлены с
различными типами клиентов, используя разные
характеристики персонала. Они поддерживаются и
развиваются личными или коллективными усили-
ями работников. [4, с.145]. Более того, сотрудники
являются участниками бизнес-процессов компа-
нии, которые взаимодействуют с другими сотруд-
никами и подразделениями в работе по созданию
коммуникаций и оказанию услуг потребителям. [5,
с.256].
Но основные проблемы в реализации клиенто-
ориентированного подхода, касающиеся внутрен-
него персонала компании все же присутствуют:
- ориентация на клиентов не работает, если мо-
тивация сотрудников находится на нуле, даже в
случае инвестиции компании в обучение персо-
нала.
- лояльность и рост удовлетворенности клиен-
тов компания не получит, если до сотрудников не
до конца довести информацию или сотрудники не
смогли понять информацию, даже при разработке
самой лучшей клиентской стратегии, так как в
первую очередь основой клиентоориентированно-
сти являются люди (клиентский персонал), только
потом инструменты и процедуры.
- внедрение новых подходов не осуществить,
если у персонала не понимает о чем говорит. Все
чаще случается, что при изменении стратегии ком-
пании осуществляется полная смена персонала. Од-
нако обычно в компании есть немного клиентоори-
ентированных сотрудников, которых оставляют по
причине того, что у них высокие показатели про-
даж, наличие наработанной клиентской базы и
большое количество постоянных покупателей.
- бесполезно прикладывать усилия по ориента-
ции на клиентов, если взаимодействие между под-
разделениями не налажено.
- отсутствие полномочий у персонала нега-
тивно сказывается для потребителя услуг, так как
затягивает процесс взаимодействия (например- воз-
врат товара, перенос сроков или времени посеще-
ния специалиста и т. п.), в результате чего клиент
уходит к конкурентам. Поэтому в регламентах
необходимо учесть такие моменты, для того, чтобы
персонал имел полномочия на решение таких во-
просов на местах.
Рассматривая проблему метода повышения
уровня клиентоориентированности у сотрудников
ОАО «РЖД», можно поставить в пример принцип
«стань на время клиентом», который позволяет вы-
явить слабые места в системе обслуживания клиен-
тов компанией. Смысл данного принципа заключа-
ется в том, что сами сотрудники начинают пользо-
ваться услугами или продуктами компании, в
которой они работают, тем самым испытывая на
себе все положительные и отрицательные стороны
сервиса, пообщаться с персоналом с места клиента
и проанализировать все процессы со стороны [6,
с.107]. Но стажировки специалистов, нуждаю-
щихся в повышении клиентоориентированных
навыков, в других компаниях с высоким уровнем
ориентации на клиента не всегда возможны как ме-
тод, так как не каждая компания согласиться предо-
ставить другой такую возможность. Однако, если
такое происходит, персонал одной компании
направляют на время в рабочее пространство дру-
гой, где они наблюдают за действиями и процес-
сами, протекающими там, что для компании ОАО
«РЖД» совсем не свойственно.
1. Клиентоориентированный подход: разбор
ошибок, рекомендации и реальный пример внедре-
ния – Лаборатория трендов [Электронный ресурс] /
Режим доступа: https://t-laboratory.ru/2019/05/16 /,
свободный. (Дата обращения: 29.08.2021)
2. Бреусова Е.А. Клиентоориентированная
политика в деятельностисовременной организации
/ Е.А. Бреусова, Е.В. Смирнова // Концепт. – 2016.
– № 2 . – С. 203-206.
3. Гурова И.М. Особенности разработки стра-
тегии управления клиентскими отношениями /
И.М. Гурова – Издательский дом "Наука"(Москва)
– 2017. – № 2(30) – 236-248 с.
4. Дульцева А. А. Оценка внутренней клиен-
тоориентированности персонала организации / А.
А. Дульцева, А. С. Данилова, Издательство: Челя-
бинский государственный университет – 2018. –
264 – 268 с.
5. Шкирандо О.И. «Формирование
внутренней клиентоориентрированности
организации: принципы и рекомендации» / О.И.
Шкирандо, М.Г. Зайцев, С.Е. Варюхин, Издатель-
ство: Редакция журнала "Экономика и предприни-
мательство" – 2017. – №10– 2 (87) – 605– 608 с.
6. Шиффман С. Управление ключевыми кли-
ентами. Эффективное сотрудничество, стратегиче-
ское партнерство и рост продаж. / С. Шиффман М.:
- Издательство: «Претекст» 2016. – 380 с.

JURISPRUDENCE
COMPARATIVE ANALYSIS OF THE FORMATION OF LOCAL SELF-GOVERNMENT AT
DIFFERENT STAGES OF ITS DEVELOPMENT
Sablin D.,
candidate of pedagogical Sciences, senior lecturer, Orenburg state University, Orenburg
Tatarchenko A.
employee of LLC «FinanceOutsourcing», Orenburg
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТАНОВЛЕНИЯ МЕСТНОГО САМОУПРАВЛЕНИЯ НА
РАЗНЫХ ЭТАПАХ ЕГО РАЗВИТИЯ
Саблин Д.А.
кандидат педагогических наук, старший преподаватель, Оренбургский государственный универси-
тет, Оренбург
Татарченко А.С.
сотрудник ООО «ФинансАутсорсинг», Оренбург
DOI: 10.24412/3453-9875-2021-71-10-12
Abstract
The article examines the main comparative characteristics of the development of local self-government in
Russia. Much space in the study is given to the history of local government. The article also provides a description
of local self-government today. The article emphasizes that at the present time local self-government was able to
choose the correct path of development, departing from the old forms, but taking into account the experience of
local and historical traditions. In the conclusion, a conclusion is made about the importance of the development of
local self-government for the state.
Аннотация
В статье рассмотрены основные сравнительные характеристики развития местного самоуправления в
России. Большое место в исследование уделено истории местного самоуправления. Также в статье даётся
характеристика местного самоуправления на сегодняшний день. В статье подчёркнуто, что в настоящее
время местное самоуправления смогло выбрать правильный путь развития отходя от старых форм, но беря
во внимание опыт местных и исторических традиций. В заключении сделан вывод о значимости развития
местного самоуправления для государства.
Keywords: local government, history, historical parallels, state, municipalities.
Ключевые слова: местное самоуправление, история, исторические параллели, государство, муници-
пальные образования.
Местное самоуправление имеет важное значе-
ние в государстве и является неотъемлемым эле-
ментом в структуре власти.
Целью данной статьи является всестороннее
изучение местного самоуправления в России на
разных этапах его развития для проведения сравни-
тельного анализа.
Для того чтобы провести сравнительный ана-
лиз становления местного самоуправления в Рос-
сии, следует изучить историю местного самоуправ-
ления.
Становление местного самоуправления в Рос-
сии имеет глубокую историю, которая берет свое
начало ещё в древние времена. История становле-
ния местного самоуправления имеет несколько пе-
риодов.
Первый период – период от Древней Руси до
1917 года. Для этого периода характерной формой
осуществления местного самоуправления было
вече (народное собрание). Основными городами
применения такой формы являлись Новгород и
Псков, которые делились на части.
Для сельских земель образовывалась крестьян-
ская община. Крестьянская община формировалась
на основе общинной земли, которая распределя-
лась, между членами общины. Высшим органом
управления общины было вече, на котором реша-
лись важные вопросы жителей, такие как заключе-
ние мира или объявления войны, финансовые, зе-
мельные вопросы, а также вопросы торговли.
Следует отметить, что данная демократиче-
ская система управления не применялась в то время
ни в одном государстве.
Вече как форма местного самоуправления про-
существовала до 1570 года, а затем была уничто-
жена в период правления Ивана Грозного, в резуль-
тате централизации власти.
В период правления Ивана Грозного были по-
пытки возвратить местное самоуправление. Приме-
ром являются появление губных и земских старост,
избранные населением и наделенные широкими
полномочиями, но все же подчиненные централи-
зованной власти. Как следствие выборочная си-
стема была вытеснена бюрократическим аппара-
том.

В годы правления Петра I были учреждены вы-
борные избы, а также реорганизовано городское са-
моуправление, но после его смерти местное само-
управление вновь было уничтожено.
Попытки возродить местное самоуправление
предпринимались и Екатериной II, посредством из-
дания акта «Грамота на права и выгоды городов
Российской империи». В этот период были созданы
уездные и губернские дворянские собрания, город-
ские думы и прочие органы. Смерть Екатерины II
приостановила попытки возрождения местного са-
моуправления.
Особое значение в развитии местного само-
управления сыграли земская и городская реформы,
проведенные Александром I. В этот период местное
самоуправление реализовывалось с помощью вы-
борных органов, а именно Городских Думы и
Управы.
Несмотря на ограниченность прав местного са-
моуправления, чиновники были недовольны сло-
жившейся ситуацией и требовали усиления центра-
лизованной власти. В результате Александр III пе-
ресмотрел Положение о земских и городских
учреждениях, обеспечив повышение роли государ-
ства в решении местных проблем [1].
После февральской революции 1917 года вре-
менное правительство дало новый импульс разви-
тию и реформированию местного самоуправления.
В этот период были приняты нормативные акты,
регулирующие земское и городское управление [1].
Но в связи с началом Октябрьской революции ре-
форма была завершена.
В советский период местное самоуправление в
классической трактовке своего значения отсутство-
вало. Присущие до этого времени органы само-
управления сменились на систему советов.
Советы – управленческий орган, осуществляв-
ший свои полномочия в рамках своей администра-
тивной территории, и которому присуща реализа-
ция власти по вертикали.
В конце 30-ых годов местное самоуправление
вновь было ликвидировано, в связи с появлением
районов, которые были удобны для централизован-
ной власти.
Следующий период – постсоветский. В рас-
сматриваемом историческом периоде возросло
внимание к местному самоуправлению. Особую
роль сыграло принятие таких законов, как: Закона
СССР «Об общих началах местного самоуправле-
ния и местного хозяйства в СССР» и Закона РСФСР
«О местном самоуправлении в РСФСР».
Но важнейшим в развитии местного само-
управлении стало принятие Конституции Россий-
ской Федерации 1993 года, где закреплялось, что
местное самоуправление относится к форме наро-
довластия, гарантированность местного самоуправ-
ления, наличие у местного самоуправления соб-
ственных полномочий, организационная обособ-
ленность органов местного самоуправления от
органов государственной власти, существование
муниципальной собственности, в том числе на
землю [2].
В 1995 году был принят Федеральный закон
«Об общих принципах организации местного само-
управления в Российской Федерации» от
28.08.1995 № 154-ФЗ, закреплявший общие прин-
ципы организации местного самоуправления.
Таким образом, становление местного само-
управления прошло долгий путь от нахождения под
строгим контролем государства до получения по-
чти полной самостоятельности.
В настоящее время местное самоуправление –
форма осуществления народом своей власти, обес-
печивающая в пределах, установленных Конститу-
цией Российской Федерации, федеральными зако-
нами, а в случаях, установленных федеральными
законами – законами субъектов Российской Феде-
рации, самостоятельное и под свою ответствен-
ность решение населением непосредственно и
(или) через органы местного самоуправления во-
просов местного значения исходя из интересов
населения с учетом исторических и иных местных
традиций [3].
Таким образом, несмотря на все реформы
местного самоуправления, ему все же присущи не-
которые характерные черты прошлого времени.
Говоря об исторических параллелях, как и в
древней Руси, местное самоуправление на сего-
дняшний день является демократической организа-
цией на основе выборности.
Как упоминалось ранее Новгород, и Псков де-
лились на части, которые назывались концами, а
концы в свою очередь входили в границы городов
и делились на улицы. Местное самоуправление
(вече) действовало в «конце» и «улице».
Сегодня же по всей территории Российской
Федерации существуют муниципальные образова-
ния. Согласно ст. 2 Федерального закона от
06.10.2003 № 131-ФЗ (ред. от 01.07.2021) «Об об-
щих принципах организации местного самоуправ-
ления в Российской Федерации» существуют сле-
дующие виды муниципального образования: сель-
ское поселение, городское поселение,
муниципальный район, муниципальный округ, го-
родской округ, городской округ с внутригородским
делением, внутригородской район, внутригород-
ская территория города федерального значения,
межселенная территория [3].
Если же сравнивать местное самоуправление в
советский период и на сегодняшний день, то это две
совсем несхожие модели.
Муниципальные образования лишены функ-
ций государственных органов, тогда как согласно
Конституции СССР 1977 года местные советы яв-
лялись единственными государственными орга-
нами в каждой административной единице [4].
Подводя итог нашего исследования следует
ещё раз подчеркнуть значимость исследования раз-
вития и становления местного самоуправления в
России, так как для демократического государства
развитие местного самоуправления является важ-
нейшим направлением.
Несмотря на негативный опыт Советского пе-
риода, местное самоуправление обходя ошибки

смогло выбрать правильный путь развития, преодо-
левая старую формулу.
На сегодняшний день местное самоуправление
беря опыт местных и исторических традиций, а
также изучая этнические особенности населения в
разных регионах смогло изменить свою концепцию
и стать властью максимально, приближенной к
народу. Но несмотря на это у местного самоуправ-
ления сегодня есть определённые недостатки, кото-
рые необходимо решать на федеральном и регио-
нальном уровне.
1. История местного самоуправления в Рос-
сии [Электронный ресурс] Режим доступа :
https://spravochnick.ru. – 17.09.2021.
2. Муниципальное право : учебное пособие /
Н. А. Игнатюк, А. В. Павлушкин. – Изд. 2-е, пере-
раб. и доп. – Москва : Юстицинформ, 2009. – с. 326.
– ISBN 978-5-7205-0978-1.
3. Об общих принципах организации мест-
ного самоуправления в Российской Федерации
[Электронный ресурс].: федер. закон от 06.10.2003
№ 131-ФЗ // Консультант Плюс : справочная право-
вая система / разраб. НПО «Вычисл. математика и
информатика». – Москва : Консультант Плюс,
1997-2021. – Режим доступа : http://www.consult-
ant.ru. – 15.09.2021.
4. Плюта, К. В. Местное самоуправление и
российская государственность: становление и раз-
витие / К. В. Плюта. – Текст : непосредственный //
Молодой ученый. – 2020. – № 4 (294). – С. 408-410.
– Режим доступа : https://moluch. – 23.09.2021.
5. Саблин, Д. А. Конституционно-правовые
основы осуществления местного самоуправления в
РФ [Электронный ресурс] / Д. А. Саблин, М. А. Ми-
хайлова // Вопросы российского и международного
права, 2020. - Т. 10, № 7А. - С. 20-25. – 23.09.2021.

MATHEMATICAL SCIENCES
INTERVAL EDGE-COLORING WITH RESTRICTIONS ON EDGES FOR GRAPHS WITH SPECIAL
STRUCTURES OF CYCLES
Sahakyan A.
Ph.D. Student, Chair of Discrete Mathematics and Theoretical Informatics,
Faculty of Informatics and Applied Mathematics, Yerevan State University, Armenia
DOI: 10.24412/3453-9875-2021-71-13-19
Abstract
An edge-coloring of a graph 𝐺 with consecutive integers 𝑐1, … , 𝑐𝑡 is called an interval t-coloring, if all colors
are used, and the colors of edges incident to any vertex of 𝐺 are distinct and form an interval of integers. A graph
𝐺 is interval colorable if it has an interval t-coloring for some positive integer 𝑡. In this paper, we consider the case
where there are restrictions on the edges, and the interval edge-coloring should satisfy these restrictions. A cyclic
tree is a connected graph in which every vertex belongs to at most one simple cycle. A cycle with chords is a graph
that consists of a cycle with vertices 1, … , 𝑛 and for any two distinct chords (𝑢1, 𝑣1) with 𝑢1 < 𝑣1 and (𝑢2, 𝑣2)
with 𝑢2 < 𝑣2, either 𝑣1 ≤ 𝑢2 or 𝑣2 ≤ 𝑢1. We provide polynomial algorithms for finding an interval edge-coloring
that meets the restrictions on edges for cyclic trees and cycles with chords.
Keywords: trees, cyclic trees, cycle with chords, interval t-coloring, interval edge-coloring, restrictions on
edges, bipartite matching, dynamic programming
Introduction
All graphs considered in this paper are undirected
(unless explicitly said), finite, and have no loops or
multiple edges. For a graph 𝐺, let 𝑉(𝐺) and 𝐸(𝐺) de-
note the sets of vertices and edges of 𝐺, respectively.
The degree of a vertex 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) is denoted by 𝑑𝐺(𝑣).
The maximum degree of vertices in 𝐺 is denoted by
Δ(𝐺).
The graph 𝐺 is called the underlying graph of a
directed graph 𝐺
⃗ if 𝑉(𝐺) = 𝑉(𝐺
⃗) and 𝐸(𝐺) =
{(𝑢, 𝑣) 𝑖𝑓𝑓 𝑢 → 𝑣 𝑜𝑟 𝑣 → 𝑢} (between any pair of ver-
tices 𝑢 and 𝑣, if the directed graph has an edge 𝑢 → 𝑣
or an edge 𝑣 → 𝑢, the underlying graph includes the
edge (𝑢, 𝑣)).
A cyclic tree is a connected graph in which every
vertex belongs to at most one simple cycle. We say that
the graph 𝐺 is labeled if the labels of the vertices are
1, … , 𝑁. A cycle with chords is a labeled graph that con-
sists of a cycle with vertices 1, … , 𝑛 and for any two
distinct chords (𝑢1, 𝑣1) with 𝑢1 < 𝑣1 and (𝑢2, 𝑣2) with
𝑢2 < 𝑣2, either 𝑣1 ≤ 𝑢2 or 𝑣2 ≤ 𝑢1.
An edge-coloring of a graph 𝐺 is an assignment of
colors to the edges of the graph so that no two adjacent
edges have the same color [1]. An interval edge-color-
ing of a graph 𝐺 is an edge-coloring with positive inte-
gers such that for each vertex 𝑣 the colors of edges in-
cident to 𝑣 form an interval of integers. An interval
edge-coloring of a graph 𝐺 with colors 1, … , 𝑡 is an in-
terval 𝑡-coloring if all colors are used. A graph 𝐺 is in-
terval colorable if it has an interval t-coloring for some
positive integer 𝑡. The set of all interval colorable
graphs is denoted by 𝔑. The concept of an interval
edge-coloring of a graph was introduced by Asratian
and Kamalian [2]. This means that an interval t-color-
ing is a function 𝛼: 𝐸(𝐺) → {1, … , 𝑡} such that for each
edge 𝑒 the color 𝛼(𝑒) of that edge is an integer from 1
to 𝑡, for each color from 1 to 𝑡 there is an edge with that
color and for each vertex 𝑣 all the edges incident to 𝑣
have different colors forming an interval of integers.
For a graph 𝐺 ∈ 𝔑, the least and the greatest values of
𝑡 for which 𝐺 has an interval 𝑡-coloring are denoted by
𝑤(𝐺) and 𝑊(𝐺), respectively.
The set of integers {𝑎, 𝑎 + 1, … , 𝑏}, 𝑎 ≤ 𝑏, is de-
noted by [𝑎, 𝑏]. Let 𝐼𝑘 be the set [1, 𝑘] of integers, then
2𝐼𝑘 is the set of all the subsets of 𝐼𝑘. For two positive
integers 𝑎 and 𝑛, 𝑎 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑛 is denoted by 𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑛.
For an interval coloring, 𝛼 and a vertex 𝑣, the set
of all the colors of the incident edges of 𝑣 is called the
spectrum of that vertex in 𝛼 and is denoted by 𝑆𝛼(𝑣).
The smallest and the largest numbers in 𝑆𝛼(𝑣) are de-
noted by 𝑆𝛼(𝑣) and 𝑆𝛼(𝑣), respectively.
We consider the following problem:
Problem 1: Given a graph 𝐺 and for some 𝑘 re-
strictions on the edges 𝑅: 𝐸(𝐺) → 2𝐼𝑘. Find an interval
edge-coloring 𝛼: 𝐸(𝐺) → 𝐼𝑘 such that 𝛼(𝑒) ∈ 𝑅(𝑒) for
all 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺).
We provide polynomial algorithms for the Prob-
lem 1 in the case of cyclic trees and cycles with chords.
Interval edge-colorings have been intensively
studied in different papers. Lower and upper bounds on
the number of colors in interval edge-colorings were
provided in [3, 4] and the bounds were improved for
different graphs: planar graphs [5], r-regular graphs
with at least 2 ⋅ 𝑟 + 2 vertices [6], cycles, trees, com-
plete bipartite graphs [3], n-dimensional cubes [7,8],
complete graphs [9, 10], Harary graphs [11], complete
k-partite graphs [12], even block graphs [13]. Interval
edge-colorings of trees with restrictions on edges were
considered in [14], and a polynomial solution was pro-
vided. Interval edge-colorings with strict restrictions on
the spectrums were considered in [15] for trees, in [16]
for cactus graphs.
Interval edge-coloring of cyclic trees with re-
strictions on edges
Cyclic trees are similar to cactus graphs, but the
main difference is that in the case of cactus graphs, a
vertex can belong to multiple cycles while in the case
of cyclic trees, every vertex can belong to at most one

cycle. Here we consider the Problem 1 for cyclic trees.
Let 𝐺 be a cyclic tree and let 𝑀 = |𝐸(𝐺)|. We can as-
sume that the restrictions are from [1, 𝑀] since we con-
sider edge-colorings. The problem is now the follow-
ing:
Problem 2: Given a cyclic tree 𝐺 with 𝑁 =
|𝑉(𝐺)| vertices, 𝑀 = |𝐸(𝐺)| edges, and some re-
strictions on the edges 𝑅: 𝐸(𝐺) → 2𝐼𝑀. Find an interval
edge-coloring 𝛼: 𝐸(𝐺) → 𝐼𝑀 such that 𝛼(𝑒) ∈ 𝑅(𝑒) for
all 𝑒 ∈ 𝐸(𝐺).
For a tree 𝑇 and a vertex 𝑟, let 𝑇𝑟 be the directed
graph whose underlying graph is 𝑇 and in 𝑇𝑟 each edge
is directed in such a way that for each vertex 𝑣 ∈ 𝑉(𝑇𝑟)
there is a path in 𝑇𝑟 from 𝑟 to 𝑣. We will say that 𝑇𝑟 is
a rooted tree with a root 𝑟. Fig. 1 illustrates the rooted
tree 𝑇𝑣1
with the root 𝑣1.
Fig. 1. A rooted tree 𝑇𝑣1
with the root 𝑣1.
Let 𝑇𝑟 be a rooted tree, the depth of a vertex 𝑣,
denoted by ℎ(𝑣), is the length of the unique path from
the root 𝑟 to the vertex 𝑣. A vertex 𝑢 is said to be the
parent of the vertex 𝑣, denoted by 𝑝(𝑣), if 𝑢 → 𝑣. In
that case the vertex 𝑣 is said to be a child of the vertex
𝑢. The children of a vertex 𝑣 ∈ 𝑉(𝑇𝑟) are the set 𝑊 ⊆
𝑉(𝑇𝑟) of all vertices 𝑤 of the tree 𝑇𝑟 satisfying the con-
dition 𝑣 → 𝑤. A vertex having no children is said to be
a leaf vertex. Non-root two vertices 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉(𝑇𝑟) are
said to be sibling vertices if 𝑝(𝑎) = 𝑝(𝑏). For a vertex
𝑣 let 𝑆(𝑣) be the subtree induced by all the vertices 𝑤
such that there is a path from 𝑣 to 𝑤 in 𝑇𝑟 [1].
We use Depth-first search algorithm [17]. Depth-
first search (DFS) is an algorithm for traversing or
searching tree or graph data structures. The algorithm
starts at the root vertex (selecting some arbitrary vertex
as the root vertex in the case of a graph) and explores
as far as possible along each branch before backtrack-
ing. In a depth-first search of an undirected graph 𝐺,
every edge of 𝐺 is either a tree edge or a back edge (the
Theorem 22.10 [17]). If we start the DFS algorithm
from a vertex 𝑟 on a connected graph, then the DFS tree
will be the rooted tree 𝑇𝑟 that contains all the tree edges
from the traversing. The DFS graph will be the directed
graph that, in addition to the DFS tree, also includes the
back edges.
First, we construct the DFS graph of the cyclic tree
𝐺 for some root vertex 𝑟. All the statements and defini-
tions will assume that the DFS graph is already con-
structed. The DFS graph will be denoted by 𝐺
̃. For a
vertex 𝑣 let 𝑆𝐺(𝑣) be the subgraph of the graph 𝐺
̃ in-
duced by all the vertices 𝑤 such that there is a path from
𝑣 to 𝑤 in the DFS tree. 𝑆𝐺(𝑣) includes the back edges
too. The vertex 𝑣 is called the ancestor of the vertex 𝑢
if 𝑢 ≠ 𝑣 and 𝑢 ∈ 𝑉(𝑆𝐺(𝑣)). Let ℎ(𝑣) be the distance
from the root vertex 𝑟 to the vertex 𝑣 in the DFS tree.
If 𝑣 → 𝑢 is a back edge then ℎ(𝑣) > ℎ(𝑢).
In the DFS graph of a cactus graph 𝐺, for each tree
edge 𝑣 → 𝑢 there can be at most one back edge con-
necting a vertex from the subgraph 𝑆𝐺(𝑢) to an ances-
tor of the vertex 𝑢 (otherwise the edge 𝑣 → 𝑢 would be
inside two cycles). Since cyclic trees are a special case
of cactus graphs, the statement is true for cyclic trees
too. Hence, we can say that for any vertex 𝑣, there can
be at most one back-edge that starts from that vertex.
This means that |𝐸(𝐺
̃)| = |𝑂 (𝑉(𝐺
̃)) | and since the
graph 𝐺 is the underlying graph of the DFS graph 𝐺
̃, it
means |𝐸(𝐺)| = 𝑂(|𝑉(𝐺)|) for the cyclic tree 𝐺.
Let us define a function 𝐵: 𝑉(𝐺
̃) → 𝑉(𝐺
̃) the fol-
lowing way: if there is a back-edge 𝑣 → 𝑢 that starts
from the vertex 𝑣 let 𝐵(𝑣) = 𝑢, otherwise let 𝐵(𝑣) =
𝑣. Since in the case of cyclic trees there can be at most
one back-edge and the function 𝐵 is uniquely defined
for every vertex.
Let us also define a function 𝐴: 𝑉(𝐺
̃) → 𝑉(𝐺
̃). For
a vertex 𝑣 if there is a vertex 𝑢 ∈ 𝑉(𝑆𝐺(𝑣)) such that
ℎ(𝐵(𝑢)) < ℎ(𝑣) (the vertex 𝐵(𝑢) is the ancestor of the
vertex 𝑣) then 𝐴(𝑣) = 𝑢 (there can be at most one such
vertex). If there is no such vertex, then 𝐴(𝑣) = 𝑣.
For a vertex 𝑣, let 𝑈(𝑣) be the subgraph induced
by all the edges connecting the vertices from the sub-
graph 𝑆𝐺(𝑣) (including the back-edges). Fig. 2 illus-
trates the DFS graph of a cyclic tree on the left and the
subtree 𝑈(𝑣11) on the right.

Fig. 2. The DFS graph 𝐺
̃ with the root 𝑣1 on the left, and the subgraph 𝑈(𝑣11) on the right. The subgraph
𝑈(𝑣11) is illustrated with blue color, the subgraph 𝑆𝐺(𝑣) with green.
In Fig. 2, 𝑉(𝑈(𝑣11)) =
{𝑣1, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10, 𝑣11, 𝑣13, 𝑣14} and the edges are
all the edges incident to the vertices of the subgraph
𝑉(𝑆𝐺(𝑣11)). Apart from the edges of subgraph there
can be at most two additional edges in 𝑈(𝑣). The edge
𝑝(𝑣) → 𝑣 and the back-edge 𝐴(𝑣) → 𝐵(𝐴(𝑣)). For a
non-root vertex 𝑣, let 𝑒𝑣 be the edge 𝑝(𝑣) → 𝑣 and let
𝑏𝑣 be the edge 𝐴(𝑣) → 𝐵(𝐴(𝑣)) if ℎ (𝐵(𝐴(𝑣))) <
ℎ(𝑣). From the definition we can say that 𝑒𝑣, 𝑏𝑣 ∈
𝐸(𝑈(𝑣)).
We are going to calculate values
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][𝑐2] (where 𝑐1, 𝑐2 ∈ [0, 𝑀]) which is
1 if there is an edge-coloring 𝛼 of 𝑈(𝑣) that satisifes
the restrictions 𝑅 for the edges of 𝐸(𝑈(𝑣)), 𝛼(𝑒𝑣) =
𝑐1, 𝛼(𝑏𝑣) = 𝑐2, and for all the vertices of 𝑢 ∈
𝑉(𝑆𝐺(𝑣)) the colors of the edges incident to 𝑢 form an
interval of integers. Otherwise,
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][𝑐2] = 0. In other words, we require
the condition of interval edge-coloring only for the ver-
tices of 𝑉(𝑆𝐺(𝑣)) but we require for all the edges in
𝐸(𝑈(𝑣)) to meet the restrictions 𝑅. The color 0 is an
artificial color to indicate no color. For the root vertex
𝑟 we are going to store the value in 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][0][0]
since 𝑒𝑟 and 𝑏𝑟 are not defined. For a non-root vertex 𝑣
for which 𝑏𝑣 is not defined we are going to calculate
only 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][0].
We will calculate the values of
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][𝑐2] from the bottom to the top in the
DFS graph. Let 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺
̃) be an arbitrary vertex and let
𝑢1, … , 𝑢𝑚 be the child vertices of the vertex 𝑣. Assume
we already calculated the values for 𝑢1, … , 𝑢𝑚. We now
want to combine these values to calculate the values
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][𝑐2] for the vertex 𝑣.
There are several cases to consider:
 C1: 𝐵(𝐴(𝑣)) = 𝑣, 𝐵(𝐴(𝑢𝑖)) = 𝑢𝑖 for all 𝑖 ∈
[1, 𝑚] which means there is no back-edge from the sub-
graph 𝑆𝐺(𝑣) and for all the child vertices their respec-
tive subgraphs do not have a back-edge starting from
that child subgraph.
 C2: 𝐵(𝐴(𝑣)) = 𝑣, 𝐵(𝐴(𝑢𝑖)) ≠ 𝑢𝑖 for some
𝑖 ∈ [1, 𝑚] which means there is no back-edge from the
subgraph 𝑆𝐺(𝑣), but there is a back-edge starting from
that child subgraph. There can be at most one such child
vertex; otherwise, the vertex 𝑣 would belong to more
than one cycle. In that case, we will assume that child
vertex is the vertex 𝑢𝑚 with 𝐵(𝐴(𝑢𝑚)) = 𝑣.
 C3: 𝐵(𝐴(𝑣)) ≠ 𝑣 and 𝑣 = 𝐴(𝑣), which
means the back-edge from the subgraph 𝑆𝐺(𝑣) starts
from the vertex 𝑣. In that case 𝐵(𝐴(𝑢𝑖)) = 𝑢𝑖 for all
𝑖 ∈ [1, 𝑚], otherwise, the vertex 𝑣 would belong to
more than one cycle.
 C4: 𝐵(𝐴(𝑣)) ≠ 𝑣 and 𝑣 ≠ 𝐴(𝑣) which means
the back-edge from the subgraph 𝑆𝐺(𝑣) is the same as
the back-edge from one of its child vertex subgraphs.
In that case, without loss of generality, we can assume
that this child is the child vertex 𝑢𝑚 (the last child ver-
tex in the list of child vertices). Hence in this case
𝐴(𝑣) = 𝐴(𝑢𝑚).
Initially we assume that 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][𝑐2] =
0 for all 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺
̃), 𝑐1, 𝑐2 ∈ [0, 𝑀]. We will describe a
procedure that will find all the possible cases of
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][𝑐2] = 1.
Assume the vertex 𝑣 is not the root vertex and let
us solve each of these cases separately. The Case 𝐶1 is
very similar to the solution of the trees. In this case for
each color 𝑐1 ∈ [1, 𝑀], if 𝑐1 ∈ 𝑅(𝑒𝑣) we take an inter-
val [𝐿, 𝐿 + 𝑚] with 𝑐1 ∈ [𝐿, 𝐿 + 𝑚] and color all the
edges incident to the vertex 𝑣 with the colors from
[𝐿, 𝐿 + 𝑚]. To do that, let the colors {𝑔1, … , 𝑔𝑚} =
[𝐿, 𝐿 + 𝑚] ∖ {𝑐1}. We create a bipartite graph with the
vertices 𝑢1, … , 𝑢𝑚 on the left part, the vertices
𝑔1, … , 𝑔𝑚 on the right part and add the edge (𝑢𝑖, 𝑔𝑗) if
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑢𝑖][𝑔𝑗][0] = 1. If we find a perfect match-
ing in this bipartite graph then 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][0] =
1.
For the Case 𝐶2, the edges incident to the vertex 𝑣
are 𝑒𝑣, 𝑏𝑢𝑚
, (𝑣, 𝑢1), … , (𝑣, 𝑢𝑚). For each color 𝑐1 ∈
[1, 𝑀], if 𝑐1 ∈ 𝑅(𝑒𝑣) we take an interval [𝐿, 𝐿 + 𝑚 +

1] and take a color 𝑐3 ∈ [𝐿, 𝐿 + 𝑚 + 1] that is not equal
to 𝑐1. We want to color the edge 𝑒𝑣 with the color 𝑐1,
the edge 𝑏𝑢𝑚
with the color 𝑐3 and the edges (𝑣, 𝑢𝑖)
with the colors from [𝐿, 𝐿 + 𝑚 + 1] such that all the re-
strictions are met. Let {𝑔1, … , 𝑔𝑚} = [𝐿, 𝐿 + 𝑚 + 1] ∖
{𝑐1, 𝑐3} be the remaining colors. We create a bipartite
graph with the vertices 𝑢1, … , 𝑢𝑚 on the left, the verti-
ces 𝑔1, … , 𝑔𝑚 on the right and we add the edge (𝑢𝑖, 𝑔𝑗)
for 𝑖 ∈ [1, 𝑚 − 1] if 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑢𝑖][𝑔𝑗][0] = 1 and we
add the edge (𝑢𝑚, 𝑔𝑗) if 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑢𝑚][𝑔𝑗][𝑐3] = 1.
If there is a perfect matching in this bipartite graph then
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑣][𝑐1][0] = 1.
are 𝑒𝑣, 𝑏𝑣, (𝑣, 𝑢1), … , (𝑣, 𝑢𝑚). For all the child vertices
𝑢𝑖, we have 𝐵(𝐴(𝑢𝑖)) = 𝑢𝑖. For each color 𝑐1, 𝑐2 ∈
[1, 𝑀], if 𝑐1 ∈ 𝑅(𝑒𝑣), 𝑐2 ∈ 𝑅(𝑏𝑣), and 𝑐1 ≠ 𝑐2 we take
an interval [𝐿, 𝐿 + 𝑚 + 1] and if 𝑐1, 𝑐2 ∈ [𝐿, 𝐿 + 𝑚 +
1] we do the following: we take the remaining colors
{𝑔1, … , 𝑔𝑚} = [𝐿, 𝐿 + 𝑚 + 1] ∖ {𝑐1, 𝑐2} and create a
bipartite graph with vertices 𝑢1, … , 𝑢𝑚 on the left part,
and vertices 𝑔1, … , 𝑔𝑚 on the right part. We take an
edge (𝑢𝑖, 𝑔𝑗) if 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑢𝑖][𝑔𝑗][0] = 1. If we can
find a perfect matching in this bipartite graph then
are 𝑒𝑣, (𝑣, 𝑢1), … , (𝑣, 𝑢𝑚). But we also have the edge
𝑏𝑣 that we need to take into account. For each color
𝑐1, 𝑐2 ∈ [1, 𝑀], if 𝑐1 ∈ 𝑅(𝑒𝑣) we take an interval
[𝐿, 𝐿 + 𝑚] with 𝑐1 ∈ [𝐿, 𝐿 + 𝑚] and do the following:
we take the remaining colors {𝑔1, … , 𝑔𝑚} = [𝐿, 𝐿 +
𝑚] ∖ {𝑐1} and create a bipartite graph with vertices
𝑢1, … , 𝑢𝑚 on the left part, and vertices 𝑔1, … , 𝑔𝑚 on the
right part. We take an edge (𝑢𝑖, 𝑔𝑗), (𝑖 ∈ [1, 𝑚 − 1]) if
𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑢𝑖][𝑔𝑗][0] = 1. We take an edge (𝑢𝑚, 𝑔𝑗)
if 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒[𝑢𝑚][𝑔𝑗][𝑐2] = 1. If we can find a perfect
matching in this bipartite graph then
In other words, we save the color of the edge 𝑏𝑣
for all the vertices in the path from 𝐴(𝑣) to 𝑣 and when
we reach the vertex 𝐵(𝐴(𝑣)) we make sure that the
color is a part of the interval for the vertex 𝐵(𝐴(𝑣)).
When the vertex 𝑣 is the root vertex, then only the
Case 𝐶1 and the Case 𝐶2 can happen and the only dif-
ference is that we no longer need to worry about the
color 𝑐1.
To calculate the complexity of the algorithm, note
that the heaviest operation is in the case 𝐶4. Moreover,
we might need to do that operation for all the vertices
(for example, if the graph is a cycle). If we use Kuhn's
algorithm [18] for finding a perfect matching, then it
will take 𝑂(𝑑𝐺(𝑣)) operations for the vertex 𝑣. In the
case of 𝐶4, we do 𝑂(𝑁2
) operations for selecting the
two colors and 𝑂(𝑑𝐺(𝑣)) operations for selecting the
interval. The total complexity will be
𝑂(𝑁2 ∑ 𝑑𝐺(𝑣)4
𝑣∈𝑉(𝐺) ) =
𝑂(𝑁2
(∑ 𝑑𝐺(𝑣)
𝑣∈𝑉(𝐺) )
4
) = 𝑂(𝑁6
).
Interval edge-coloring of cycles having chords
with restrictions on edges
Here we consider the Problem 1 for a class of
graphs called cycles with chords. Let 𝐺 be a connected
labeled graph with 𝑁 vertices.
Definition 1: Given a labeled graph 𝐺 with 𝑁 ver-
tices. The graph 𝐺 is called cycle with chords if:
 𝑁 ≥ 3.
 (1,2) ∈ 𝐸(𝐺), (2,3) ∈ 𝐸(𝐺), … , (𝑁 − 1, 𝑁) ∈
𝐸(𝐺), (𝑁, 1) ∈ 𝐸(𝐺). These edges are called cycle
edges.
 All the edges that are not cycle edges are
called chords. For any two distinct chords (𝑢1, 𝑣1) ∈
𝐸(𝐺) (𝑢1 < 𝑣1) and (𝑢2, 𝑣2) ∈ 𝐸(𝐺) (𝑢2 < 𝑣2), either
𝑣1 ≤ 𝑢2 or 𝑣2 ≤ 𝑢1.
Let 𝐺 be a cycle with chords (|𝑉(𝐺)| = 𝑁). Let
𝑛𝑒𝑥𝑡(𝑣) = (𝑣 𝑚𝑜𝑑 𝑁) + 1 be the next vertex to which
the vertex 𝑣 is connected with a cycle edge, and
𝑝𝑟𝑒𝑣(𝑣) = ((𝑣 − 1 + 𝑁 − 1) 𝑚𝑜𝑑 𝑁) + 1 be the pre-
vious vertex to which the vertex 𝑣 is connected with a
cycle edge. (𝑖, 𝑛𝑒𝑥𝑡(𝑖)) ∈ 𝐸(𝐺) for 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁,
𝑛𝑒𝑥𝑡(𝑁) = 1, 𝑝𝑟𝑒𝑣(1) = 𝑁, 𝑛𝑒𝑥𝑡(𝑝𝑟𝑒𝑣(𝑖)) = 𝑖 for
1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁.
Consider a regular convex 𝑁 sided polygon with
vertices 1, … , 𝑁. The sides of the polygon are (𝑖, 𝑖 + 1)
(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 − 1) and (𝑁, 1). We can map the vertices
of the graph 𝐺 to the vertices of that polygon (by keep-
ing the same indices). For every edge (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸(𝐺),
we connect the respective vertices of the polygon with
a segment. Let 𝑃 be the resulting plane figure. In this
case, we say that 𝑃 is the polygon representation of the
graph 𝐺.
For a chord (𝑢, 𝑣) we will say that it has a forward
direction if 𝑢 < 𝑣 and backward direction if 𝑣 < 𝑢.
Note that if (𝑢, 𝑣) has a backward direction then (𝑣, 𝑢)
has a forward direction.
Lemma 1: If 𝐺 is a cycle with chords having 𝑁
vertices, and 𝑃 is the polygon representation of 𝐺 then:
a) For any vertex 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) there are not two
chords that start with the vertex 𝑣 and have the same
direction.
b) 2 ≤ 𝑑𝐺(𝑣) ≤ 4 for all 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺).
c) For any two distinct chords (𝑢1, 𝑣1) ∈ 𝐸(𝐺)
and (𝑢2, 𝑣2) ∈ 𝐸(𝐺) their respective segments in the
polygon representation do not intersect (they can have
common vertex though).
d) 𝑑𝐺(1) ≤ 3, 𝑑𝐺(𝑁) ≤ 3.
(a) Let (𝑣, 𝑢1) and (𝑣, 𝑢2) be two chords and as-
sume they both have forward direction (𝑣 < 𝑢1 and
𝑣 < 𝑢2). This contradicts the third condition of the cy-
cle with chords since neither 𝑣 ≤ 𝑢2 nor 𝑢1 ≤ 𝑣. Hence
if (𝑣, 𝑢1) and (𝑣, 𝑢2) are two distinct chords, one of
them should have a forward direction and the other one
should have a backward direction.
(b) 𝑑𝐺(𝑣) ≥ 2 for all 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) since every vertex
𝑣 is connected to the vertex 𝑛𝑒𝑥𝑡(𝑣) and 𝑝𝑟𝑒𝑣(𝑣)
(𝑛𝑒𝑥𝑡(𝑣) ≠ 𝑝𝑟𝑒𝑣(𝑣) since 𝑁 ≥ 3). Suppose there is a
vertex 𝑣 that is incident to more than two chords
(𝑣, 𝑢1), (𝑣, 𝑢2), (𝑣, 𝑢3). Each of these chords has either
a forward direction or backward direction, hence at
least two should have the same direction. This contra-
dicts point (a). Hence every vertex can be incident to at
most two chords.
(c) Let (𝑢1, 𝑣1) (𝑢1 < 𝑣1) and (𝑢2, 𝑣2) (𝑢2 < 𝑣2)
be two arbitrary chords of 𝐺. We have that either 𝑣1 ≤
𝑢2 or 𝑣2 ≤ 𝑢1. Assume 𝑣1 ≤ 𝑢2, in that case, the re-
spective segments in the polygon representation can not

NJD_71.pdf

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to NJD_71.pdf

Similar to NJD_71.pdf (20)

More from Norwegian Journal of development of the International Science

More from Norwegian Journal of development of the International Science (20)

NJD_71.pdf