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Ejercicios de integrales

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NILO ALBERTO BENAVIDES SOLIS

INTEGRALES

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EJERCICIOS DE INTEGRALES ∫ ( 𝟐 √ 𝒙 − 𝟏 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟒√𝟐𝒙) 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝟏 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟒√𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟐 𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙−𝟐 𝟑 𝒅𝒙 + ∫ 𝟒( 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟏 𝟑 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∗ 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒙− 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐+𝟏 −𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟏 −𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 + 𝑪 − 𝟏 𝟑 ∫ − 𝟏 𝒙 + 𝑪 + 𝟒√𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝑪 𝒚 = 𝟐 ∗ 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 + 𝑪 − ( 𝟏 𝟑 ) ∗ (− 𝟏 𝒙 ) + 𝑪 + 𝟒√𝟐 ∗ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝑪 𝒚 = 𝟒𝒙 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟖√ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝑪
∫ (√ 𝒙 − 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (√ 𝒙) 𝟐 − 𝟐√ 𝒙( 𝟐𝒙) + ( 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 √ 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 √ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟑 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝟏 𝟐) 𝒅𝒙 − ∫( 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 + ∫( 𝟒𝒙 𝟑 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟏+𝟏 𝟏 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝑪 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝑪 + 𝟒 ∫ 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝑪 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟒 ∗ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝑪 𝒚 = 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟖 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 + 𝑪
∫ ( 𝟒√𝟐𝒙 − 𝟏 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟒( 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙−𝟐 𝟑 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐( 𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟏 𝟑 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫( 𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝒙) 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐+𝟏 −𝟐 + 𝟏 + 𝒄 + 𝟐 ∫ 𝒙− 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 𝟒 ∗ √𝟐 ∫ ( 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝒄 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟏 −𝟏 + 𝒄 + 𝟐 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟒 ∗ √𝟐 ∫ 𝟐( 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄 − 𝟏 𝟑 ∫ − 𝟏 𝒙 + 𝒄 + 𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝒚 = 𝟒√𝟐 ∗ 𝟐( 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝟏 𝟑 ∗ 𝟏 𝒙 + 𝟐 ∗ 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝒚 = 𝟖√ 𝟐 𝟑 ( 𝒙) 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟒√ 𝒙 + 𝒄
∫ (√ 𝒙 − 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( (√ 𝒙) 𝟐 − 𝟐√ 𝒙( 𝟐𝒙) + ( 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 √ 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 √ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 ∗ 𝒙 − 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟏 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟑 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟒𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝟒𝒙 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟏+𝟏 𝟏 + 𝟏 + 𝒄 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝒄 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 + 𝟒 ∫ 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝒄 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟒 ∗ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝟒 ∗ 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝒄
𝒚 = 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟖 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 + 𝒄 INTEGRALES DE FUNCIONES DERIVADAS TRASCENDENTES REGLA 1 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 ∫ 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟑 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟑 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟑 ∫ 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 𝒚 = 𝟑 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 ∫ 𝟏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟓 ∗ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 ∫ 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟓 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 REGLA 2 ∫ 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒆 𝒙 + 𝒄
∫ 𝟏𝟏𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏𝟏 ∫ 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏𝟏 ∫ 𝒆 𝒙 + 𝒄 𝒚 = 𝟏𝟏𝒆 𝒙 + 𝒄 ∫ 𝒆 𝒙 𝟐𝟎 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟐𝟎 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐𝟎 ∫ 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐𝟎 ∫ 𝒆 𝒙 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐𝟎 𝒆 𝒙 + 𝒄 REGLA 3 ∫( 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 REGLA 4 ∫( 𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄 REGLA 5 ∫ ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 REGLA 6 ∫ ( 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄
REGLA 7 ∫ ( 𝟏 √ 𝟏 − 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄 𝒚 = −𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 REGLA 8 ∫ ( 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 𝒚 = −𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 REGLA 9 ∫ 𝒂 𝒙 𝒅𝒙 a es una constante y condición a = 1 𝒚 = 𝒂 𝒙 𝐥𝐧 𝒂 + 𝒄 ∫ 𝟏𝟕 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝟏𝟕 𝒙 𝐥𝐧 𝟏𝟕 + 𝒄 ∫ 𝟐( 𝟖 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫( 𝟖 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ ( 𝟖 𝒙 𝒍𝒏 𝟖 ) + 𝒄 𝒚 = 𝟐 𝟖 𝒙 𝒍𝒏 𝟖 + 𝒄 ∫ ( 𝟓 𝒙 𝟑 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟑 𝟓 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 ∫ 𝟓 𝒙 𝒅𝒙
𝟏 𝟑 ∫ 𝟓 𝒙 𝒍𝒏 𝟓 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟓 𝒙 𝒍𝒏 𝟓 + 𝒄 𝒚 = 𝟓 𝒙 𝟑𝒍𝒏 𝟓 + 𝒄 INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN DE PRODUCTOS ∫( 𝒙 + 𝟑)√𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒙 − 𝟒 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒙 𝒙 = 𝒖 + 𝟒 Derivar 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫( 𝒖 + 𝟒 + 𝟑)√ 𝒖 𝒅𝒖 ∫( 𝒖 + 𝟕) 𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 ∫ ( 𝒖 ∗ 𝒖 𝟏 𝟐 + 𝟕𝒖 𝟏 𝟐) 𝒅𝒖 ∫ ( 𝒖 𝟑 𝟐 + 𝟕𝒖 𝟏 𝟐) 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 𝒅𝒖 + ∫ 𝟕𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒖 + 𝟕 ∫ 𝒖 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝒄 + 𝟕 ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝒄 ∫ 𝟐𝒖 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝒄 + 𝟕 ∫ 𝟐𝒖 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄
𝒚 = 𝟐 𝟓 𝒖 𝟓 𝟐 + 𝟕 ∗ 𝟐 𝟑 𝒖 𝟑 𝟐 + 𝒄 𝒚 = 𝟐 𝟓 ( 𝒙 − 𝟒) 𝟓 𝟐 + 𝟏𝟒 𝟑 ( 𝒙 − 𝟒) 𝟑 𝟐 + 𝒄 ∫( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝟔( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓 Derivar 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = 𝟐( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒖 𝟐( 𝒙 + 𝟏) = 𝒅𝒙 ∫( 𝒖) 𝟔( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒖 𝟐( 𝒙 + 𝟏) ∫( 𝒖) 𝟔 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝒖) 𝟔+𝟏 𝟔 + 𝟏 + 𝒄 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝒖) 𝟕 𝟕 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏 𝟕 𝒖 𝟕 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟏𝟒 ( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝟕 + 𝒄 ∫ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒖 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒖 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒙 𝟐 = 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝒙 = √ 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝒖 = √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 2 𝑢2−1 𝑑𝑢 = (2𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑢𝑑𝑢 = (2𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑢 (2𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 √ 𝒖 𝟐−𝟏 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Regla de derivación de una función elevada a una potencia 𝒚 = ( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝟐 𝒖 = ( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝒚 = 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝟐−𝟏 𝒅( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝒚 = 𝟐𝒖 𝟐−𝟏 𝒅𝒖 ∫ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 ∫ (√ 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝟑 𝒖 ∗ 𝑢 √ 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝑑𝑢 ∫ (√ 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝟑 √ 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝑑𝑢 ∫ (√ 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝟐 𝑑𝑢 ∫( 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2+1 2 + 1 + 𝑐 − 𝑢 + 𝑐 ∫ 𝑢3 3 − 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑢3 − 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 1 3 (√ 𝒙 𝟐 + 𝟏) 3 − √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 + 𝑐
∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 − 𝟐)√ 𝒙 + 𝟐 DESPEJE 𝒖 𝟐 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 = 𝒖 𝟐 − 𝟐 𝒖 = √ 𝒙 + 𝟐 DERIVACIÓN 𝟐𝒖 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒖 ( 𝒖 𝟐 − 𝟐 − 𝟐) 𝒖 𝒅𝒖 ∫ 𝟐 𝒖 𝟐 − 𝟒 𝒅𝒖 𝟐 𝒖 𝟐 − 𝟒 = 𝟐 𝒖 𝟐 − 𝟒 = 𝑨 ( 𝒖 − 𝟐) + 𝑩 ( 𝒖 + 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝒖 𝟐 − 𝟒) ( 𝒖 − 𝟐) + 𝑩( 𝒖 𝟐 − 𝟒) ( 𝒖 + 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝒖 + 𝟐)( 𝒖 − 𝟐) ( 𝒖 − 𝟐) + 𝑩( 𝒖 + 𝟐)( 𝒖 − 𝟐) ( 𝒖 + 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝒖 + 𝟐) + 𝑩( 𝒖 − 𝟐) 𝒖 + 𝟐 = 𝟎 𝒖 − 𝟐 = 𝟎 𝒖 = −𝟐 𝒖 = +𝟐 𝟐 = 𝑨(−𝟐 + 𝟐) + 𝑩(−𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟎 + 𝑩(−𝟐 − 𝟐) 𝟐 = −𝟒𝑩 𝟐 −𝟒 = 𝑩
𝑩 = − 𝟏 𝟐 𝟐 = 𝑨( 𝟐 + 𝟐) + 𝑩( 𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝟐 + 𝟐) + 𝟎 𝟐 = 𝟒𝑨 𝑨 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 ( 𝒖 − 𝟐) + − 𝟏 𝟐 ( 𝒖 + 𝟐) 𝒅𝒖 ∫ 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝒖 − 𝟐) − 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝒖 + 𝟐) 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 ∫ 𝟏 ( 𝒖 − 𝟐) 𝒅𝒖 − 𝟏 𝟐 ∫ 𝟏 ( 𝒖 + 𝟐) 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 ∫ 𝐥𝐧| 𝒖 − 𝟐| + 𝒄 − 𝟏 𝟐 ∫ 𝐥𝐧| 𝒖 + 𝟐| + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝐥𝐧| 𝒖 − 𝟐| − 𝟏 𝟐 𝐥𝐧| 𝒖 + 𝟐| + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝐥𝐧|√𝒙 + 𝟐 − 𝟐| − 𝟏 𝟐 𝐥𝐧|√𝒙 + 𝟐 + 𝟐| + 𝒄 ∫ 𝒙 𝟐 √ 𝟏 + 𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 𝒖 = √ 𝟏 + 𝟐𝒙𝟑 DESPEJE 𝒖 𝟑 = 𝟏 + 𝟐𝒙 𝒖 𝟑−𝟏 𝟐 = 𝒙
DERIVAMOS 𝑢3 = 1 + 2𝑥 3𝑢3−1 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 3𝑢2 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 3𝑢2 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 REEMPLAZAR ∫ ( 𝑢3 − 1 2 ) 2 𝑢 3𝑢2 2 𝑑𝑢 ∫ ( 𝑢3 − 1 2 ) 2 3 2 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∫ ( 𝑢3 − 1 2 ) 2 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∫ ( 𝑢3 − 1)2 22 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∫ 𝑢6 − 2𝑢3 + 1 4 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∗ 1 4 ∫( 𝑢6 − 2𝑢3 + 1) 𝑢 𝑑𝑢 3 8 ∫( 𝑢6 − 2𝑢3 + 1) 𝑢 𝑑𝑢 3 8 ∫( 𝑢7 − 2𝑢4 + 𝑢) 𝑑𝑢 ∫ 𝑥(√1 + 𝑥) 𝑑𝑥 DESPEJAR INTEGRAMOS EL POLINOMIO 3 8 ∫( 𝑢7 − 2𝑢4 + 𝑢) 𝑑𝑢 3 8 (∫ 𝑢7 𝑑𝑢 − ∫2𝑢4 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢 𝑑𝑢) 3 8 (∫ 𝑢7+1 7 + 1 𝑑𝑢 − 2∫ 𝑢4+1 4 + 1 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢1+1 1 + 1 𝑑𝑢) 3 8 (∫ 𝑢8 8 + 𝑐 − 2 ∫ 𝑢5 5 + 𝑐 + ∫ 𝑢2 2 + 𝑐) 3 8 (∫ 1 8 𝑢8 + 𝑐 − 2 ∫ 1 5 𝑢5 + 𝑐 + ∫ 1 2 𝑢2 + 𝑐) 𝑦 = 3 8 ( 1 8 𝑢8 − 2 ∗ 1 5 𝑢5 + 1 2 𝑢2 ) + 𝒄 𝑦 = 3 64 𝑢8 − 3 20 𝑢5 + 3 16 𝑢2 + 𝒄 REEMPLAZAMOS LA VARIABLE U 𝑦 = 3 64 ( √1+ 2𝑥 3 ) 8 − 3 20 ( √1+ 2𝑥 3 ) 5 + 3 16 (√1 + 2𝑥 3 ) 2 + 𝒄
𝑢 = √1 + 𝑥 𝑢2 = 1 + 𝑥 𝑥 = 𝑢2 − 1 DERIVAMOS 𝑢2 = 1 + 𝑥 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 REEMPLAZAMOS ∫ 𝑥(√1 + 𝑥)𝑑𝑥 ∫( 𝑢2 − 1) 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 2∫( 𝑢2 − 1) 𝑢2 𝑑𝑢 2∫( 𝑢4 − 𝑢2) 𝑑𝑢 INTEGRAMOS 2∫( 𝑢4 − 𝑢2) 𝑑𝑢 2∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 2(∫ 𝑢4+1 4 + 1 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2+1 2 + 1 𝑑𝑢) 2(∫ 𝑢5 5 + 𝑐 − ∫ 𝑢3 3 + 𝑐) 2(∫ 1 5 𝑢5 + 𝑐 − ∫ 1 3 𝑢3 + 𝑐) 𝑦 = 2 ( 1 5 𝑢5 − 1 3 𝑢3 ) + 𝑐 𝑦 = 2 5 𝑢5 − 2 3 𝑢3 + 𝑐 REEMPLAZAMOS LA VARIABLE U 𝑦 = 2 5 𝑢5 − 2 3 𝑢3 + 𝑐 𝑦 = 2 5 (√1 + 𝑥) 5 − 2 3 (√1 + 𝑥) 3 + 𝑐
∫ 𝑒4𝑥 + 3 𝑒3𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥 DERIVAMOS 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 REEMPLAZAR ∫ 𝑒4𝑥 + 3 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑢4 + 3 𝑢3 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 ∫ 𝑢4 + 3 𝑢4 𝑑𝑢 ∫ ( 𝑢4 𝑢4 + 3 𝑢4 ) 𝑑𝑢 ∫(1 + 3𝑢−4) 𝑑𝑢 integramos ∫(1 + 3𝑢−4) 𝑑𝑢 ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 3𝑢−4 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑢−4+1 −4 + 1 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑢−4+1 −4 + 1 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑢−3 −3 + 𝑐 𝑦 = 𝑢 + 3 𝑢−3 −3 + 𝑐 𝑦 = 𝑢 − 1 𝑢3 + 𝑐 𝑦 = 𝑒 𝑥 − 1 𝑒3𝑥 + 𝑐
∫ 1 + 𝑒 𝑥 1 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 1 + 𝑒 𝑥 1 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 1 + 𝑢 1 − 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 ∫ 1 + 𝑢 𝑢(1 − 𝑢) 𝑑𝑢 1+𝑢 𝑢(1−𝑢) = (−)1+𝑢 𝑢(1−𝑢)(−) = −𝑢−1 𝑢( 𝑢−1) −𝑢 − 1 𝑢( 𝑢 − 1) = 𝐴 𝑢 + 𝐵 ( 𝑢 − 1) −𝑢 − 1 = 𝐴𝑢( 𝑢 − 1) 𝑢 + 𝐵𝑢( 𝑢 − 1) ( 𝑢 − 1) −𝑢 − 1 = 𝐴( 𝑢 − 1) + 𝐵𝑢 𝑢 − 1 = 0 𝑢 = 0 𝑢 = 1 −1 − 1 = 𝐴(1 − 1) + 𝐵1 −0 − 1 = 𝐴(0 − 1) + 𝐵0 −2 = 𝐵 −1 = −𝐴 1 = 𝐴 ∫ 𝐴 𝑢 + 𝐵 ( 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 ∫ 1 𝑢 + −2 ( 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 ∫ 1 𝑢 − 2 ∫ 1 ( 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 ∫ 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 − 2 ∫ 𝑙𝑛| 𝑢 − 1| + 𝑐
𝑦 = 𝑙𝑛| 𝑢| − 2𝑙𝑛| 𝑢 − 1| + 𝑐 𝑦 = 𝑙𝑛| 𝑒 𝑥| − 2𝑙𝑛| 𝑒 𝑥 − 1| + 𝑐 ∫ 1 ( 𝑥 + 1)√ 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = √ 𝑥 Despejar 𝑢2 = 𝑥 Derivar 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Reemplazar ∫ 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 ∫ 2 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 2 ∫ 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 2 ∫ 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 2 ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 2 ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 √ 𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑒3𝑥 1 + 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑒3𝑥 1 + 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑢3 1 + 𝑢3 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 ∫ 𝑢3 𝑢(1+𝑢3) 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 (1+𝑢3) 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 𝑢3 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 3𝑢2 𝑑𝑦 = 3𝑢2 𝑑𝑢 𝑑𝑦 3𝑢2 = 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 (1 + 𝑢3) ∗ 𝑑𝑢 3𝑢2 ∫ 1 (1 + 𝑢3) ∗ 𝑑𝑢 3 ∫ 1 3 1 (1 + 𝑢3) 𝑑𝑢 1 3 ∫ 1 (1 + 𝑢3) 𝑑𝑢 1 3 ∫ 𝑙𝑛|1 + 𝑢3| + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑙𝑛|1 + 𝑢3| + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑙𝑛|1 + 𝑒3𝑥| + 𝑐 ∫( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 1 2 𝑑𝑥 ∫( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 1 2 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑏2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑏2 𝑥 = 𝑑𝑥 ∫( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 1 2 𝑑𝑥
∫( 𝑢) 1 2 𝑑𝑢 2𝑏2 𝑥 1 2𝑏2 ∫( 𝑢) 1 2 𝑑𝑢 1 2𝑏2 ∫ ( 𝑢) 1 2 +1 1 2 +1 𝑑𝑢 1 2𝑏2 ∫ ( 𝑢) 3 2 3 2 𝑑𝑢 1 2𝑏2 ∫ 2( 𝑢) 3 2 3 + 𝑐 𝑦 = 1 2𝑏2 ∗ 2 3 ( 𝑢) 3 2 + 𝑐 𝑦 = 1 3𝑏2 ( 𝑢) 3 2 + 𝑐 𝑦 = 1 3𝑏2 ( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 3 2 + 𝑐 ∫ 3𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑏2+𝑐2 𝑥2 𝑢 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑐2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥𝑐2 = 𝑑𝑥 ∫ 3𝑎𝑥 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 2𝑥𝑐2 ∫ 3𝑎 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 2𝑐2 ∫ 3𝑎 2𝑐2 ∗ 1 𝑢 𝑑𝑢 3𝑎 2𝑐2 ∫ 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 𝑦 = 3𝑎 2𝑐2 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 𝑦 = 3𝑎 2𝑐2 𝑙𝑛| 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2| + 𝑐 𝑦 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1
∫ 𝑥3 𝑥 + 1 𝑑𝑥 PARA RESOLVER DEBEMOS APLICAR LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFINI 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 1 ∫ ( 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 1 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2+1 2 + 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥1+1 1 + 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥0+1 0 + 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 3 + 𝑐 − ∫ 𝑥2 2 + 𝑐 + ∫ 𝑥 1 + 𝑐 − ∫ 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| + 𝑐 ∫ 1 3 𝑥3 + 𝑐 − ∫ 1 2 𝑥2 + 𝑐 + ∫ 𝑥 + 𝑐 − ∫ 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑥3 − 1 2 𝑥2 + 𝑥 − 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| + 𝑐 ∫ 4𝑒3𝑥 1 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 4 ∫ 𝑒3𝑥 1 + 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 4 ∫ 𝑢3 1 + 𝑢2 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 4 ∫ 𝑢2 1 + 𝑢2 𝑑𝑢
PARA RESOLVER DEBEMOS APLICAR LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFINI 1 − 1 1 + 𝑢2 4 ∫ (1 − 1 1 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 4 (∫ 𝑑𝑢 − ∫ 1 1 + 𝑢2 𝑑𝑢) 4 (∫ 𝑢0+1 0 + 1 𝑑𝑢 − ∫ 1 1 + 𝑢2 𝑑𝑢) 4 (∫ 𝑢 1 + 𝑐 − ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢 + 𝑐) 𝑦 = 4( 𝑢 − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢) + 𝑐 𝑦 = 4𝑢 − 4𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢 + 𝑐 ∫ 2𝑥 − 1 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 PARA RESOLVER DEBEMOS APLICAR LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFINI 1 − 4 2𝑥 + 3 ∫ (1 − 4 2𝑥 + 3 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 4 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥0+1 0 + 1 𝑑𝑥 − 4 ∫ 1 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 1 + 𝑐 − 4 ∫ 𝑙𝑛|2𝑥 + 3| + 𝑐
𝑦 = 𝑥 − 4𝑙𝑛|2𝑥 + 3| + 𝑐

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  • 2. ∫ (√ 𝒙 − 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ (√ 𝒙) 𝟐 − 𝟐√ 𝒙( 𝟐𝒙) + ( 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 √ 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 √ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟑 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝟏 𝟐) 𝒅𝒙 − ∫( 𝟒𝒙) 𝒅𝒙 + ∫( 𝟒𝒙 𝟑 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟏+𝟏 𝟏 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝑪 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝑪 + 𝟒 ∫ 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝑪 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟒 ∗ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝑪 𝒚 = 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟖 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 + 𝑪
  • 3. ∫ ( 𝟒√𝟐𝒙 − 𝟏 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟒( 𝟐𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙−𝟐 𝟑 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐( 𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟏 𝟑 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫( 𝒙) 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒙 − 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 𝟒 ∗ 𝟐 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝒙) 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐+𝟏 −𝟐 + 𝟏 + 𝒄 + 𝟐 ∫ 𝒙− 𝟏 𝟐 +𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 𝟒 ∗ √𝟐 ∫ ( 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝒄 − 𝟏 𝟑 ∫ 𝒙−𝟏 −𝟏 + 𝒄 + 𝟐 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝟒 ∗ √𝟐 ∫ 𝟐( 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄 − 𝟏 𝟑 ∫ − 𝟏 𝒙 + 𝒄 + 𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝒚 = 𝟒√𝟐 ∗ 𝟐( 𝒙) 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝟏 𝟑 ∗ 𝟏 𝒙 + 𝟐 ∗ 𝟐𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒄 𝒚 = 𝟖√ 𝟐 𝟑 ( 𝒙) 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝟑𝒙 + 𝟒√ 𝒙 + 𝒄
  • 4. ∫ (√ 𝒙 − 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 𝒅𝒙 ∫ ( (√ 𝒙) 𝟐 − 𝟐√ 𝒙( 𝟐𝒙) + ( 𝟐𝒙) 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 √ 𝒙 − 𝟒𝒙√ 𝒙 √ 𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 √ 𝒙 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 ∗ 𝒙 − 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟐 ∗ 𝒙 − 𝟏 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ ( 𝒙 𝟏 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 𝟑 𝟐) 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒙 − ∫ 𝟒𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝟒𝒙 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟏+𝟏 𝟏 + 𝟏 + 𝒄 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟐 + 𝟏 + 𝒄 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 + 𝟒 ∫ 𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝒄 ∫ 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄 − 𝟒 ∫ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒄 + 𝟒 ∫ 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝒄 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟒 ∗ 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝟒 ∗ 𝟐𝒙 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝒄
  • 5. 𝒚 = 𝟐 𝟑 𝒙 𝟑 𝟐 − 𝟐𝒙 𝟐 + 𝟖 𝟓 𝒙 𝟓 𝟐 + 𝒄 INTEGRALES DE FUNCIONES DERIVADAS TRASCENDENTES REGLA 1 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 ∫ 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟑 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟑 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟑 ∫ 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 𝒚 = 𝟑 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 ∫ 𝟏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟓 ∗ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 ∫ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟓 ∫ 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟓 𝐥𝐧| 𝒙| + 𝒄 REGLA 2 ∫ 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒆 𝒙 + 𝒄
  • 6. ∫ 𝟏𝟏𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏𝟏 ∫ 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏𝟏 ∫ 𝒆 𝒙 + 𝒄 𝒚 = 𝟏𝟏𝒆 𝒙 + 𝒄 ∫ 𝒆 𝒙 𝟐𝟎 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟐𝟎 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐𝟎 ∫ 𝒆 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟐𝟎 ∫ 𝒆 𝒙 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐𝟎 𝒆 𝒙 + 𝒄 REGLA 3 ∫( 𝒔𝒆𝒏 𝒙) 𝒅𝒙 𝒚 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 REGLA 4 ∫( 𝒄𝒐𝒔 𝒙) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄 REGLA 5 ∫ ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 REGLA 6 ∫ ( 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝒙 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄
  • 7. REGLA 7 ∫ ( 𝟏 √ 𝟏 − 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒄 𝒚 = −𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒄 REGLA 8 ∫ ( 𝟏 𝟏 + 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 𝒚 = −𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒕𝒈 𝒙 + 𝒄 REGLA 9 ∫ 𝒂 𝒙 𝒅𝒙 a es una constante y condición a = 1 𝒚 = 𝒂 𝒙 𝐥𝐧 𝒂 + 𝒄 ∫ 𝟏𝟕 𝒙 𝒅𝒙 𝒚 = 𝟏𝟕 𝒙 𝐥𝐧 𝟏𝟕 + 𝒄 ∫ 𝟐( 𝟖 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫( 𝟖 𝒙) 𝒅𝒙 𝟐 ∫ ( 𝟖 𝒙 𝒍𝒏 𝟖 ) + 𝒄 𝒚 = 𝟐 𝟖 𝒙 𝒍𝒏 𝟖 + 𝒄 ∫ ( 𝟓 𝒙 𝟑 ) 𝒅𝒙 ∫ 𝟏 𝟑 𝟓 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟑 ∫ 𝟓 𝒙 𝒅𝒙
  • 8. 𝟏 𝟑 ∫ 𝟓 𝒙 𝒍𝒏 𝟓 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟑 ∗ 𝟓 𝒙 𝒍𝒏 𝟓 + 𝒄 𝒚 = 𝟓 𝒙 𝟑𝒍𝒏 𝟓 + 𝒄 INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN DE PRODUCTOS ∫( 𝒙 + 𝟑)√𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒙 − 𝟒 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒙 𝒙 = 𝒖 + 𝟒 Derivar 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = 𝟏 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫( 𝒖 + 𝟒 + 𝟑)√ 𝒖 𝒅𝒖 ∫( 𝒖 + 𝟕) 𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 ∫ ( 𝒖 ∗ 𝒖 𝟏 𝟐 + 𝟕𝒖 𝟏 𝟐) 𝒅𝒖 ∫ ( 𝒖 𝟑 𝟐 + 𝟕𝒖 𝟏 𝟐) 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 𝒅𝒖 + ∫ 𝟕𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 +𝟏 𝟑 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒖 + 𝟕 ∫ 𝒖 𝟏 𝟐 +𝟏 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒖 ∫ 𝒖 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝒄 + 𝟕 ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝒄 ∫ 𝟐𝒖 𝟓 𝟐 𝟓 + 𝒄 + 𝟕 ∫ 𝟐𝒖 𝟑 𝟐 𝟑 + 𝒄
  • 9. 𝒚 = 𝟐 𝟓 𝒖 𝟓 𝟐 + 𝟕 ∗ 𝟐 𝟑 𝒖 𝟑 𝟐 + 𝒄 𝒚 = 𝟐 𝟓 ( 𝒙 − 𝟒) 𝟓 𝟐 + 𝟏𝟒 𝟑 ( 𝒙 − 𝟒) 𝟑 𝟐 + 𝒄 ∫( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝟔( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓 Derivar 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟐 𝒅𝒖 𝒅𝒙 = 𝟐( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒖 𝟐( 𝒙 + 𝟏) = 𝒅𝒙 ∫( 𝒖) 𝟔( 𝒙 + 𝟏) 𝒅𝒖 𝟐( 𝒙 + 𝟏) ∫( 𝒖) 𝟔 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝒖) 𝟔+𝟏 𝟔 + 𝟏 + 𝒄 𝟏 𝟐 ∫ ( 𝒖) 𝟕 𝟕 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏 𝟕 𝒖 𝟕 + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟏𝟒 ( 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓) 𝟕 + 𝒄 ∫ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒖 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒖 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒙 𝟐 = 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝒙 = √ 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝒖 = √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 2 𝑢2−1 𝑑𝑢 = (2𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑢𝑑𝑢 = (2𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑢 (2𝑥) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 √ 𝒖 𝟐−𝟏 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
  • 10. Regla de derivación de una función elevada a una potencia 𝒚 = ( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝟐 𝒖 = ( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝒚 = 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝟐−𝟏 𝒅( 𝒙 𝟐 + 𝟏) 𝒚 = 𝟐𝒖 𝟐−𝟏 𝒅𝒖 ∫ 𝒙 𝟑 √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 ∫ (√ 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝟑 𝒖 ∗ 𝑢 √ 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝑑𝑢 ∫ (√ 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝟑 √ 𝒖 𝟐 − 𝟏 𝑑𝑢 ∫ (√ 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝟐 𝑑𝑢 ∫( 𝒖 𝟐 − 𝟏) 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2+1 2 + 1 + 𝑐 − 𝑢 + 𝑐 ∫ 𝑢3 3 − 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑢3 − 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 1 3 (√ 𝒙 𝟐 + 𝟏) 3 − √ 𝒙 𝟐 + 𝟏 + 𝑐
  • 11. ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 − 𝟐)√ 𝒙 + 𝟐 DESPEJE 𝒖 𝟐 = 𝒙 + 𝟐 𝒙 = 𝒖 𝟐 − 𝟐 𝒖 = √ 𝒙 + 𝟐 DERIVACIÓN 𝟐𝒖 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝟐𝒖 ( 𝒖 𝟐 − 𝟐 − 𝟐) 𝒖 𝒅𝒖 ∫ 𝟐 𝒖 𝟐 − 𝟒 𝒅𝒖 𝟐 𝒖 𝟐 − 𝟒 = 𝟐 𝒖 𝟐 − 𝟒 = 𝑨 ( 𝒖 − 𝟐) + 𝑩 ( 𝒖 + 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝒖 𝟐 − 𝟒) ( 𝒖 − 𝟐) + 𝑩( 𝒖 𝟐 − 𝟒) ( 𝒖 + 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝒖 + 𝟐)( 𝒖 − 𝟐) ( 𝒖 − 𝟐) + 𝑩( 𝒖 + 𝟐)( 𝒖 − 𝟐) ( 𝒖 + 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝒖 + 𝟐) + 𝑩( 𝒖 − 𝟐) 𝒖 + 𝟐 = 𝟎 𝒖 − 𝟐 = 𝟎 𝒖 = −𝟐 𝒖 = +𝟐 𝟐 = 𝑨(−𝟐 + 𝟐) + 𝑩(−𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝟎 + 𝑩(−𝟐 − 𝟐) 𝟐 = −𝟒𝑩 𝟐 −𝟒 = 𝑩
  • 12. 𝑩 = − 𝟏 𝟐 𝟐 = 𝑨( 𝟐 + 𝟐) + 𝑩( 𝟐 − 𝟐) 𝟐 = 𝑨( 𝟐 + 𝟐) + 𝟎 𝟐 = 𝟒𝑨 𝑨 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝟏 𝟐 ( 𝒖 − 𝟐) + − 𝟏 𝟐 ( 𝒖 + 𝟐) 𝒅𝒖 ∫ 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝒖 − 𝟐) − 𝟏 𝟐 𝟏 ( 𝒖 + 𝟐) 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 ∫ 𝟏 ( 𝒖 − 𝟐) 𝒅𝒖 − 𝟏 𝟐 ∫ 𝟏 ( 𝒖 + 𝟐) 𝒅𝒖 𝟏 𝟐 ∫ 𝐥𝐧| 𝒖 − 𝟐| + 𝒄 − 𝟏 𝟐 ∫ 𝐥𝐧| 𝒖 + 𝟐| + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝐥𝐧| 𝒖 − 𝟐| − 𝟏 𝟐 𝐥𝐧| 𝒖 + 𝟐| + 𝒄 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝐥𝐧|√𝒙 + 𝟐 − 𝟐| − 𝟏 𝟐 𝐥𝐧|√𝒙 + 𝟐 + 𝟐| + 𝒄 ∫ 𝒙 𝟐 √ 𝟏 + 𝟐𝒙𝟑 𝒅𝒙 𝒖 = √ 𝟏 + 𝟐𝒙𝟑 DESPEJE 𝒖 𝟑 = 𝟏 + 𝟐𝒙 𝒖 𝟑−𝟏 𝟐 = 𝒙
  • 13. DERIVAMOS 𝑢3 = 1 + 2𝑥 3𝑢3−1 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 3𝑢2 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 3𝑢2 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 REEMPLAZAR ∫ ( 𝑢3 − 1 2 ) 2 𝑢 3𝑢2 2 𝑑𝑢 ∫ ( 𝑢3 − 1 2 ) 2 3 2 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∫ ( 𝑢3 − 1 2 ) 2 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∫ ( 𝑢3 − 1)2 22 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∫ 𝑢6 − 2𝑢3 + 1 4 𝑢 𝑑𝑢 3 2 ∗ 1 4 ∫( 𝑢6 − 2𝑢3 + 1) 𝑢 𝑑𝑢 3 8 ∫( 𝑢6 − 2𝑢3 + 1) 𝑢 𝑑𝑢 3 8 ∫( 𝑢7 − 2𝑢4 + 𝑢) 𝑑𝑢 ∫ 𝑥(√1 + 𝑥) 𝑑𝑥 DESPEJAR INTEGRAMOS EL POLINOMIO 3 8 ∫( 𝑢7 − 2𝑢4 + 𝑢) 𝑑𝑢 3 8 (∫ 𝑢7 𝑑𝑢 − ∫2𝑢4 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢 𝑑𝑢) 3 8 (∫ 𝑢7+1 7 + 1 𝑑𝑢 − 2∫ 𝑢4+1 4 + 1 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢1+1 1 + 1 𝑑𝑢) 3 8 (∫ 𝑢8 8 + 𝑐 − 2 ∫ 𝑢5 5 + 𝑐 + ∫ 𝑢2 2 + 𝑐) 3 8 (∫ 1 8 𝑢8 + 𝑐 − 2 ∫ 1 5 𝑢5 + 𝑐 + ∫ 1 2 𝑢2 + 𝑐) 𝑦 = 3 8 ( 1 8 𝑢8 − 2 ∗ 1 5 𝑢5 + 1 2 𝑢2 ) + 𝒄 𝑦 = 3 64 𝑢8 − 3 20 𝑢5 + 3 16 𝑢2 + 𝒄 REEMPLAZAMOS LA VARIABLE U 𝑦 = 3 64 ( √1+ 2𝑥 3 ) 8 − 3 20 ( √1+ 2𝑥 3 ) 5 + 3 16 (√1 + 2𝑥 3 ) 2 + 𝒄
  • 14. 𝑢 = √1 + 𝑥 𝑢2 = 1 + 𝑥 𝑥 = 𝑢2 − 1 DERIVAMOS 𝑢2 = 1 + 𝑥 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 REEMPLAZAMOS ∫ 𝑥(√1 + 𝑥)𝑑𝑥 ∫( 𝑢2 − 1) 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 2∫( 𝑢2 − 1) 𝑢2 𝑑𝑢 2∫( 𝑢4 − 𝑢2) 𝑑𝑢 INTEGRAMOS 2∫( 𝑢4 − 𝑢2) 𝑑𝑢 2∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 2(∫ 𝑢4+1 4 + 1 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2+1 2 + 1 𝑑𝑢) 2(∫ 𝑢5 5 + 𝑐 − ∫ 𝑢3 3 + 𝑐) 2(∫ 1 5 𝑢5 + 𝑐 − ∫ 1 3 𝑢3 + 𝑐) 𝑦 = 2 ( 1 5 𝑢5 − 1 3 𝑢3 ) + 𝑐 𝑦 = 2 5 𝑢5 − 2 3 𝑢3 + 𝑐 REEMPLAZAMOS LA VARIABLE U 𝑦 = 2 5 𝑢5 − 2 3 𝑢3 + 𝑐 𝑦 = 2 5 (√1 + 𝑥) 5 − 2 3 (√1 + 𝑥) 3 + 𝑐
  • 15. ∫ 𝑒4𝑥 + 3 𝑒3𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥 DERIVAMOS 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 REEMPLAZAR ∫ 𝑒4𝑥 + 3 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑢4 + 3 𝑢3 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 ∫ 𝑢4 + 3 𝑢4 𝑑𝑢 ∫ ( 𝑢4 𝑢4 + 3 𝑢4 ) 𝑑𝑢 ∫(1 + 3𝑢−4) 𝑑𝑢 integramos ∫(1 + 3𝑢−4) 𝑑𝑢 ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 3𝑢−4 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑢−4+1 −4 + 1 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑢−4+1 −4 + 1 𝑑𝑢 ∫ 𝑢 + 𝑐 + 3 ∫ 𝑢−3 −3 + 𝑐 𝑦 = 𝑢 + 3 𝑢−3 −3 + 𝑐 𝑦 = 𝑢 − 1 𝑢3 + 𝑐 𝑦 = 𝑒 𝑥 − 1 𝑒3𝑥 + 𝑐
  • 16. ∫ 1 + 𝑒 𝑥 1 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 1 + 𝑒 𝑥 1 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 1 + 𝑢 1 − 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 ∫ 1 + 𝑢 𝑢(1 − 𝑢) 𝑑𝑢 1+𝑢 𝑢(1−𝑢) = (−)1+𝑢 𝑢(1−𝑢)(−) = −𝑢−1 𝑢( 𝑢−1) −𝑢 − 1 𝑢( 𝑢 − 1) = 𝐴 𝑢 + 𝐵 ( 𝑢 − 1) −𝑢 − 1 = 𝐴𝑢( 𝑢 − 1) 𝑢 + 𝐵𝑢( 𝑢 − 1) ( 𝑢 − 1) −𝑢 − 1 = 𝐴( 𝑢 − 1) + 𝐵𝑢 𝑢 − 1 = 0 𝑢 = 0 𝑢 = 1 −1 − 1 = 𝐴(1 − 1) + 𝐵1 −0 − 1 = 𝐴(0 − 1) + 𝐵0 −2 = 𝐵 −1 = −𝐴 1 = 𝐴 ∫ 𝐴 𝑢 + 𝐵 ( 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 ∫ 1 𝑢 + −2 ( 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 ∫ 1 𝑢 − 2 ∫ 1 ( 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 ∫ 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 − 2 ∫ 𝑙𝑛| 𝑢 − 1| + 𝑐
  • 17. 𝑦 = 𝑙𝑛| 𝑢| − 2𝑙𝑛| 𝑢 − 1| + 𝑐 𝑦 = 𝑙𝑛| 𝑒 𝑥| − 2𝑙𝑛| 𝑒 𝑥 − 1| + 𝑐 ∫ 1 ( 𝑥 + 1)√ 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = √ 𝑥 Despejar 𝑢2 = 𝑥 Derivar 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Reemplazar ∫ 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 ∫ 2 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 2 ∫ 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 2 ∫ 1 ( 𝑢2 + 1) 𝑑𝑢 2 ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 2 ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝑐 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 √ 𝑥 + 𝑐 ∫ 𝑒3𝑥 1 + 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥
  • 18. 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑒3𝑥 1 + 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑢3 1 + 𝑢3 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 ∫ 𝑢3 𝑢(1+𝑢3) 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 (1+𝑢3) 𝑑𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 + 𝑢3 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 3𝑢2 𝑑𝑦 = 3𝑢2 𝑑𝑢 𝑑𝑦 3𝑢2 = 𝑑𝑢 ∫ 𝑢2 (1 + 𝑢3) ∗ 𝑑𝑢 3𝑢2 ∫ 1 (1 + 𝑢3) ∗ 𝑑𝑢 3 ∫ 1 3 1 (1 + 𝑢3) 𝑑𝑢 1 3 ∫ 1 (1 + 𝑢3) 𝑑𝑢 1 3 ∫ 𝑙𝑛|1 + 𝑢3| + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑙𝑛|1 + 𝑢3| + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑙𝑛|1 + 𝑒3𝑥| + 𝑐 ∫( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 1 2 𝑑𝑥 ∫( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 1 2 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑏2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑏2 𝑥 = 𝑑𝑥 ∫( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 1 2 𝑑𝑥
  • 19. ∫( 𝑢) 1 2 𝑑𝑢 2𝑏2 𝑥 1 2𝑏2 ∫( 𝑢) 1 2 𝑑𝑢 1 2𝑏2 ∫ ( 𝑢) 1 2 +1 1 2 +1 𝑑𝑢 1 2𝑏2 ∫ ( 𝑢) 3 2 3 2 𝑑𝑢 1 2𝑏2 ∫ 2( 𝑢) 3 2 3 + 𝑐 𝑦 = 1 2𝑏2 ∗ 2 3 ( 𝑢) 3 2 + 𝑐 𝑦 = 1 3𝑏2 ( 𝑢) 3 2 + 𝑐 𝑦 = 1 3𝑏2 ( 𝑎2 + 𝑏2 𝑥2) 3 2 + 𝑐 ∫ 3𝑎𝑥 𝑑𝑥 𝑏2+𝑐2 𝑥2 𝑢 = 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑐2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2𝑥𝑐2 = 𝑑𝑥 ∫ 3𝑎𝑥 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 2𝑥𝑐2 ∫ 3𝑎 𝑢 ∗ 𝑑𝑢 2𝑐2 ∫ 3𝑎 2𝑐2 ∗ 1 𝑢 𝑑𝑢 3𝑎 2𝑐2 ∫ 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 𝑦 = 3𝑎 2𝑐2 𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 𝑦 = 3𝑎 2𝑐2 𝑙𝑛| 𝑏2 + 𝑐2 𝑥2| + 𝑐 𝑦 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1
  • 20. ∫ 𝑥3 𝑥 + 1 𝑑𝑥 PARA RESOLVER DEBEMOS APLICAR LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFINI 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 1 ∫ ( 𝑥2 − 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 1 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 1 𝑥 + 1 𝑑𝑥 ∫ 𝑥2+1 2 + 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥1+1 1 + 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥0+1 0 + 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| 𝑑𝑥 ∫ 𝑥3 3 + 𝑐 − ∫ 𝑥2 2 + 𝑐 + ∫ 𝑥 1 + 𝑐 − ∫ 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| + 𝑐 ∫ 1 3 𝑥3 + 𝑐 − ∫ 1 2 𝑥2 + 𝑐 + ∫ 𝑥 + 𝑐 − ∫ 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| + 𝑐 𝑦 = 1 3 𝑥3 − 1 2 𝑥2 + 𝑥 − 𝑙𝑛| 𝑥 + 1| + 𝑐 ∫ 4𝑒3𝑥 1 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 4 ∫ 𝑒3𝑥 1 + 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑒 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑑𝑥 4 ∫ 𝑢3 1 + 𝑢2 ∗ 𝑑𝑢 𝑢 4 ∫ 𝑢2 1 + 𝑢2 𝑑𝑢
  • 21. PARA RESOLVER DEBEMOS APLICAR LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFINI 1 − 1 1 + 𝑢2 4 ∫ (1 − 1 1 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 4 (∫ 𝑑𝑢 − ∫ 1 1 + 𝑢2 𝑑𝑢) 4 (∫ 𝑢0+1 0 + 1 𝑑𝑢 − ∫ 1 1 + 𝑢2 𝑑𝑢) 4 (∫ 𝑢 1 + 𝑐 − ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢 + 𝑐) 𝑦 = 4( 𝑢 − 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢) + 𝑐 𝑦 = 4𝑢 − 4𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔𝑢 + 𝑐 ∫ 2𝑥 − 1 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 PARA RESOLVER DEBEMOS APLICAR LA DIVISIÓN POR EL MÉTODO DE RUFINI 1 − 4 2𝑥 + 3 ∫ (1 − 4 2𝑥 + 3 ) 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 4 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥0+1 0 + 1 𝑑𝑥 − 4 ∫ 1 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 ∫ 𝑥 1 + 𝑐 − 4 ∫ 𝑙𝑛|2𝑥 + 3| + 𝑐
  • 22. 𝑦 = 𝑥 − 4𝑙𝑛|2𝑥 + 3| + 𝑐