2021 여름방학 정기 세미나 3주차

1. 서울시립대 알고리즘 소모임
우선순위 큐
여름방학 3주차

2. 강의자 소개
2021 AL林 정기 세미나 2
이름 최문기
소속 서울시립대 컴퓨터과학부(16학번)
핸들 iknoom1107(BOJ) IKnoom(Codeforces) IKnoom(AtCoder)
ICPC 팀 (팀명 미정)
- 김정현, 오규민, 최문기

3. 2021 AL林 정기 세미나 3
복습

4. 트리(tree)
2021 AL林 정기 세미나 4
[그래프 이론]
- 회로가 없는 연결 무향 그래프
[자료 구조]
- 노드 사이의 계층 관계를 표현하는 자료구조
- 부모(상위 노드) – 자식(하위 노드) 관계를 가진다.
- 자식노드는 하나의 부모노드를 가진다.

5. 트리: 예
2021 AL林 정기 세미나 5

6. 트리: 용어
2021 AL林 정기 세미나 6

7. 트리: 성질
2021 AL林 정기 세미나 7
1. 노드가 n개일 때 간선이 n-1개이다.
2. 서로 다른 임의의 두 노드에 대한 경로는 유일하다.

8. 이진 트리(binary tree)
2021 AL林 정기 세미나 8
임의의 노드의 자식 노드 수가 2 이하인 트리

9. 이진 트리: 예
2021 AL林 정기 세미나 9
full binary tree complete binary tree
= heap structure
perfect binary tree

10. 트리의 구현
2021 AL林 정기 세미나 10
하지만 인접 행렬로 구현하게 된다면 희소 행렬이 되므로 비효율적이고
일반적으로 인접 리스트로 저장합니다.

11. 트리의 구현
2021 AL林 정기 세미나 11
이렇게 객체를 만들어서 자식 노드의 주소를 저장할 수도 있습니다.
class Node:
def __init__(self, element):
self.element = element
self.left_child = None
self.right_child = None
class Node:
def __init__(self, element):
self.element = element
self.children = []

12. 트리의 구현: 그 외..
2021 AL林 정기 세미나 12
완전 이진트리는 배열로 구현하는 것이 효율적입니다.
이는 [여름방학 3주차 우선순위 큐]에서 알아보겠습니다.

13. 트리의 순회
2021 AL林 정기 세미나 13

14. 2021 AL林 정기 세미나 14
힙(heap)

15. 힙
2021 AL林 정기 세미나 15
원소를 추가 : O(logN)
최댓값을 확인 : O(1)
최댓값을 삭제 : O(logN)
를 수행하는 자료구조, 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하는데 사용한다.

16. 2021 AL林 정기 세미나 16
힙의 정의와 구현

17. 힙의 정의
2021 AL林 정기 세미나 17
(Definition : heap structure)
다음 성질을 만족하는 이진 트리(binary tree)이다.
1. 마지막 레벨을 제외한 모든 레벨이 완전하다.
2. 마지막 레벨의 모든 노드는 가능한 가장 왼쪽에 있는 이진 트리

18. 이진 트리: 예
2021 AL林 정기 세미나 18
full binary tree complete tree
= heap structure
perfect binary tree

19. 힙의 구현
2021 AL林 정기 세미나 19
지난주에 연결 리스트로 구현한 것과는 달리
힙은 배열로 구현합니다.

20. 배열을 이용한 힙의 구현
2021 AL林 정기 세미나 20
1. 루트 노드는 1이다.
2. 현재 노드의 인덱스를 i라 할 때,
부모 노드의 인덱스는 i / 2이다.
자식 노드의 인덱스는 2i, 2i + 1이다.

21. 배열을 이용한 힙의 구현
2021 AL林 정기 세미나 21

22. 2021 AL林 정기 세미나 22
최대 힙(max-heap)

23. 최대 힙(max-heap)
2021 AL林 정기 세미나 23
다음 힙의 성질(heap property)을 만족하는 힙
✓ 최대 힙 성질(max-heap property)
각 노드의 값은 자기 자식의 값보다 크거나 같다.

24. 최대 힙(max-heap)
2021 AL林 정기 세미나 24

25. 최대 힙의 연산
2021 AL林 정기 세미나 25
1. 원소를 추가
2. 최댓값을 확인 → heap[0]
3. 최댓값을 삭제

26. 원소를 추가(push)
2021 AL林 정기 세미나 26
1. 일단 힙의 맨 끝에 원소를 추가한다. (→ 힙 구조 유지)
2. 최대 힙의 성질을 만족할 때까지 부모 노드와 위치를 바꾼다.

27. 원소를 추가(push)
2021 AL林 정기 세미나 27
9
6
2
5 6 6
8

28. 원소를 추가(push)
2021 AL林 정기 세미나 28
9
6
2
5 6 6
8
7

29. 원소를 추가(push)
2021 AL林 정기 세미나 29
9
6
2
7 6 6
8
5

30. 원소를 추가(push)
2021 AL林 정기 세미나 30
9
7
2
6 6 6
8
5

31. 최댓값 삭제(pop)
2021 AL林 정기 세미나 31
1. 일단 힙의 마지막 노드를 루트에 덮어 씌운다. (→ 힙 구조 유지)
2. 최대 힙의 성질을 만족할 때까지 가장 큰 자식 노드와 위치를 바꾼다.

32. 최댓값 삭제(pop)
2021 AL林 정기 세미나 32
9
7
2
6 6 6
8
5

33. 최댓값 삭제(pop)
2021 AL林 정기 세미나 33
5
7
2
6 6 6
8

34. 최댓값 삭제(pop)
2021 AL林 정기 세미나 34
8
7
2
6 6 6
5

35. 최댓값 삭제(pop)
2021 AL林 정기 세미나 35
8
7
2
6 6 5
6

36. 최대 힙 vs 배열
2021 AL林 정기 세미나 36
원소를 추가 O(logN) O(1)
최댓값을 확인 O(1) O(N)
최댓값을 삭제 O(logN) O(N)
최대 힙 배열

37. C++로 구현한 힙
2021 AL林 정기 세미나 37

38. 2021 AL林 정기 세미나 38

39. 2021 AL林 정기 세미나 39

40. C++로 구현한 힙
2021 AL林 정기 세미나 40
http://boj.kr/b2051121a6904f0781fdb8f3c255468c
소스 코드

41. 2021 AL林 정기 세미나 41
라이브러리에 구현된 우선순위 큐

42. C++ : std::priority_queue
2021 AL林 정기 세미나 42
https://en.cppreference.com/w/cpp/container/priority_queue

43. python : heapq
2021 AL林 정기 세미나 43
https://docs.python.org/3/library/heapq.html

44. 2021 AL林 정기 세미나 44
우선순위 큐의 활용

45. 우선순위 큐의 활용
2021 AL林 정기 세미나 45
• Bandwidth management
• Discrete event simulation
- See also: Scheduling (computing), queueing theory
• Algorithms
Prim algorithm, Dijkstra's algorithm, A* search algorithm
heapsort
Huffman coding

46. 하프만 코드 카드 정렬하기(BOJ 1715번)
2021 AL林 정기 세미나 46

47. 하프만 코드 카드 정렬하기(BOJ 1715번)
2021 AL林 정기 세미나 47
10장 20장 40장
40장 + 20장 → 60장
60장 + 10장 → 70장
총 비교 횟수 : 130

48. 하프만 코드 카드 정렬하기(BOJ 1715번)
2021 AL林 정기 세미나 48
10장 20장 40장
10장 + 20장 → 30장
30장 + 40장 → 70장
총 비교 횟수 : 100

49. 하프만 코드 카드 정렬하기(BOJ 1715번)
2021 AL林 정기 세미나 49
다음 그리디 알고리즘이 성립한다.
“크기가 가장 작은 두 카드를 합치는 방법을 포함하는 최적해가 반드시 존재한다.”
증명 : 하프만 코드의 증명과 같다.
https://opendsa-server.cs.vt.edu/ODSA/Books/CS3/html/HuffProof.html

50. 하프만 코드 카드 정렬하기(BOJ 1715번)
2021 AL林 정기 세미나 50
따라서 다음 알고리즘을 수행하면 최적해가 나옵니다.
카드의 집합을 S라 할 때,
While(S의 크기 > 1){
1. 카드 중 가장 작은 카드 2개를 선택해서 비교한다.
2. 다시 합친 카드를 S에 넣는다.
}

51. 하프만 코드 카드 정렬하기(BOJ 1715번)
2021 AL林 정기 세미나 51

52. 연습문제
2021 AL林 정기 세미나 52
우선순위 큐
연습 문제
11279 최대 힙
1927 최소 힙
11286 절댓값 힙
1715 카드 정렬하기

53. 연습문제
2021 AL林 정기 세미나 53
우선순위 큐
도전 문제
2109 순회강연
1379 강의실 2
1655 가운데를 말해요
1202 보석 도둑
7662 이중 우선순위 큐