Mixail reysta fluids

308 ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
Ρευστά σε κίνηση
Ιδανικό ρευστό, ονοµάζεται ένα ρευστό που είναι ασυµπίεστο το οποίο ρέει χωρίς
να έχει εσωτερική τριβή (ιξώδες) ούτε και συνάφεια µε τα τοιχώµατα του δοχείου
Η διαδροµή (τροχιά) που ακολουθεί ένα σωµάτιο ενός κινούµενο ρευστού
ονοµάζεται γραµµή ροής (ροϊκή γραµµή).
Αν η συνολική εικόνα της ροής δεν αλλάζει µε το χρόνο, η ροή ονοµάζεται
µόνιµη ή στρωτή.
Αν όµως οι δυνάµεις µεταξύ των µορίων του ρευστού (ιξώδες ) αλλά και
µεταξύ των µορίων του ρευστού και των τοιχωµάτων του σωλήνα δηµιουργεί
κατά τη ροή του δίνες η ροή ονοµάζεται τυρβώδης ή στροβιλώδης.
Ρευµατική γραµµή είναι η γραµµή (καµπύλη), σε σηµείο της οποίας το διάνυσµα
της ταχύτητας του ρευστού είναι εφαπτόµενο στο σηµείο αυτό.
Γενικά οι ρευµατικές γραµµές δεν συµπίπτουν µε τις γραµµές ροής. Συµπίπτουν µόνο
όταν η ροή είναι µόνιµη ή στρωτή και όχι όταν είναι τυρβώδης. ∆ηλαδή όταν η
εικόνα ροής αλλάζει µε το χρόνο δεν συµπίπτουν. Τότε σ’ αυτή την περίπτωση
(µόνιµη ροή ) , η ρευµατική γραµµή είναι και η τροχιά ενός µορίου του υγρού.
Κάθε επιφάνεια Α, κάθετη στη διεύθυνση του σωλήνα στον οποίο ρέει ένα
ρευστό, σχηµατίζει µε την βοήθεια των ρευµατικών γραµµών ένα νοητό σωλήνα που
ονοµάζεται ρευµατικός σωλήνας ή φλέβα.
Στη µόνιµη ροή, το ρευστό δεν µπορεί να διασχίσει τα τοιχώµατα ενός σωλήνα
ροής.
∆ηλαδή το ρευστό που κυλάει σε κάποια φλέβα δεν αναµιγνύεται µε το περιεχόµενο
άλλης φλέβας του ίδιου σωλήνα .
Έτσι τα γειτονικά στρώµατα π.χ νερού γλιστρούν απαλά µεταξύ τους.
Στην τυρβώδη ροή όµως που δεν υπάρχει εικόνα µόνιµης κατάστασης η ροή
γίνεται ακανόνιστη και χαοτική και µόρια του ρευστού διαπερνούν τις συνοριακές
επιφάνειες των σωλήνων ροής .
Ασυµπίεστο είναι ένα ρευστό όταν έχει σταθερό όγκο, ανεξάρτητο από την πίεση.
Επειδή όµως και η µάζα του ρευστού είναι σταθερή, τότε ρ =
m
V
= σταθερή. ∆ηλαδή

ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
309
αυτό σηµαίνει πως σ’ ένα ασυµπίεστο ρευστό η πυκνότητα του είναι η ίδια σ’ όλη την
έκταση του.
Παροχή ενός σωλήνα ροής ονοµάζεται το πηλίκο Π =
∆V
∆t
(m3
/ s) όπου ∆V είναι
ο όγκος του υγρού που διέρχεται από µια διατοµή Α του σωλήνα ροής σε χρόνο ∆t.
Τότε όµως αν στο χρονικό διάστηµα ∆t, το υγρό έχει µετατοπιστεί κατά ∆x ισχύει
∆V = A·∆x οπότε έχουµε Π =
A ∆x
∆t
⋅
⇔ Π=Α·υ.
∆ηλαδή η παροχή σωλήνα (φλέβας) , σε κάποια θέση του σωλήνα εµβαδού
διατοµής Α, είναι ίση µε το γινόµενο του εµβαδού της διατοµής επί την ταχύτητα
του ρευστού στη θέση αυτή.
Για στρωτή (µόνιµη) ροή ισχύει πάντα ∆m1 = ∆m2, είτε το ρευστό είναι ασυµπίεστο
είτε συµπιεστό.
∆ιατήρηση µάζας (εξίσωση συνέχειας)
α) Αν το ρευστό είναι ασυµπίεστο τότε η πυκνότητα του παραµένει σταθερή (ρ1 = ρ2
= ρ ) και έχουµε:
∆m1=∆m2 ⇔ ρ1 ·∆V1 = ρ2 ·∆V2 ⇔ ρ1 ·Α1·∆x1 = ρ2 ·Α2·∆x2 ⇔ρ1·Α1·υ1·∆t = ρ2·Α2·υ2 ·∆t
⇔ ρ1 ·Α1 ·υ1 = ρ2 ·Α2 ·υ2 ⇔ Α1·υ1 = Α2·υ2 (1), η εξίσωση αυτή ονοµάζεται εξίσωση
συνέχειας και είναι άµεση συνέχεια της αρχής διατηρήσεις της µάζας (ύλης) επειδή
Π = Α· υ (1)
⇔ Π1 = Π2 ή Π = σταθερή. ∆ηλαδή στη στρωτή ασυµπίεστου ρευστού ροή
η παροχή διατηρείται σταθερή.
β) Αν το ρευστό δεν είναι ασυµπίεστο τότε ρ1 ≠ ρ2 οπότε η εξίσωση συνέχειας
γίνεται (ρ1 και ρ2 είναι οι πυκνότητες στις διατοµές Α1 και Α2)
ρ1·Α1·υ1 = ρ2·Α2·υ2 ή ρ1·Π1 = ρ2·Π2 δηλαδή Π1 = 2
1
ρ
ρ
·Π2 ή Π1 ≠ Π2 .
Παρατήρηση: Με βάση την εξίσωση της συνέχειας σε µεγάλες διατοµές του
σωλήνα ροής έχουµε µικρές ταχύτητες και το αντίστροφο. Έτσι:
α) Η διατήρηση της µάζας (σταθερή παροχή) κατά τη ροή ενός ποταµού σταθερού
πλάτους σηµαίνει ότι το νερό τρέχει γρηγορότερα στα ρηχά (µικρό Α) από ότι στα
βαθιά (µεγάλο Α).
β) Σε µια βρύση καθώς το νερό επιταχύνεται καθώς πέφτει αυξάνεται η ταχύτητα
του, λεπταίνει η φλέβα δηλαδή ελαττώνεται η διάµετρος της άρα το εµβαδόν της Α.

γ) Η παροχή παραµένει σταθερή (Π1 = Π2) µόνο όταν το υγρό είναι ασυµπίεστο αν το
ρευστό είναι συµπιεστό τότε Π1 = 2
1
ρ
ρ
·Π1 ή Π1 ≠ Π2.
§3.1 Ρευστά σε κίνηση
78. Ένας κυλινδρικός σωλήνας που συνδέεται µε µία βρύση παροχής Π =10-3
m3
/s,
έχει διάµετρο δ =
10
π
cm. Τότε η ταχύτητα ροής του νερού στο σωλήνα είναι:
α) 1,4 m/s
β) 0,4 m/s
γ) 0,4 π m/s
δ) 0,4 m/s.
79. Η ταχύτητα εκροής του νερού από το στόµιο ενός σωλήνα βρύσης είναι υ1 = 1,4
m/s . Αν µειώσουµε µε το δάχτυλο µας τη διατοµή του σωλήνα στο µισό , τότε η
ταχύτητα µε την οποία εκτοξεύεται το νερό είναι :
α) 0,7 m/s
β) 1,4 m/s
γ) 2,8 m/s
δ) 5,6 m/s.
80. Η ταχύτητα µε την οποία ρέουν τα νερά ενός ποταµού σταθερού πλάτους , σε
βάθος h1 = 0,5 m είναι υ1 = 4 m/s. Πόση είναι ταχύτητα σ’ ένα άλλο σηµείο µε µέσο
βάθος h2 = 2 m;
α) 4 m/s
β)8 m/s
γ) 2 m/s
δ) 1m/s.
§3.2 ∆ιατήρηση της ενέργειας εξίσωση Βernoulli (Μπερνούλλι)
Έστω ένας σωλήνας ροής (φλέβα) µεταβλητής διατοµής που δεν είναι οριζόντιος
όπως φαίνεται στο σχήµα. Τότε σε σηµεία µε υψοµετρική διαφορά θα έχουµε
διαφορετική πίεση. Για παράδειγµα το νερό του 3ου
ορόφου έχει µικρότερη πίεση
από το νερό στις βρύσες του ισογείου.

ΤΟ ∆++
311
Ακόµη από την εξίσωση συνέχειας στις µικρές διατοµές θα έχουµε µεγαλύτερη
ταχύτητα.
Η εξίσωση του Bernoulli συνδέει την πίεση του ρευστού στα διάφορα σηµεία, µε την
ταχύτητα και µε το ύψος.
Πως αποδεικνύεται από το Θ.Μ.Κ.Ε ο νόµος του Bernoulli;
Θα εξετάσουµε την πίεση στα δυο σηµεία Β και Γ. Το σύστηµα µας θεωρούµε ότι
είναι το ρευστό µεταξύ
των σηµείων Β και Γ. Τότε
το υπόλοιπο ρευστό στο
σωλήνα πριν το Β θα
εξασκεί στο Β µια δύναµη
F1 =P1·Α1 µε φορά προς
τα δεξιά, ενώ το ρευστό
που υπάρχει µετά το Γ,
εξασκεί στο σύστηµα µας
(ΒΓ), µια δύναµη µε φορά
προς τα αριστερά
F2 = P2·Α2.
Έτσι δεδοµένου ότι το ρευστό, ρέει προς τα δεξιά το WF1 θα είναι θετικό WF1 > 0,
ενώ η F2 είναι αντίθετη της µετατόπισης και το WF2 θα είναι αρνητικό, WF2 < 0.
Όπου WF1 = F1·∆x1 = P1·Α1·∆x1 = P1·∆V1 και όµοια WF2 = - P2·∆V2 .
Τότε από το Θ.Μ.Κ.Ε προκύπτει: Κτελ – Καρχ = WB + WF1 + WF2 ⇔
Β→Γ
⇔
1
2
∆m·υ2
2
-
1
2
∆m·υ1
2
=- ∆m·g·(h2 – h1) + P1·∆V1 – P2·∆V2. Όµως το ρευστό είναι
ασυµπίεστο οπότε ∆V1 = ∆V2 = ∆V, οπότε έχουµε:
1
2
·
∆m
∆V
·υ2
2
-
1
2
·
∆m
∆V
·υ1
2
= -
∆m
∆V
·g · (h2 – h1) + P1 – P2 ⇔
⇔
1
2
·ρ· υ2
2
-
1
2
·ρ· υ1
2
= - ρ·g·( h2 – h1) + P1 – P2 ⇔
⇔P1+
1
2
ρ· υ1
2
+ ρ·g·h1 = P2+
1
2
ρ·υ2
2
+ ρ·g·h2 άρα:
P +
1
2
ρ⋅⋅⋅⋅υ2
+ ρ⋅⋅⋅⋅g⋅⋅⋅⋅h = σταθερό.
Εξίσωση του Bernoulli για ιδανικό ρευστό.
B
A1
h1
P1
P2
υ1
υ2
A2
h2
Γ

Η εξίσωση του Bernoulli αποτελεί έκφραση της Α.∆.Ε στη ροή των ρευστών . Όπου
Ο πρώτος όρος (P ) είναι η στατική πίεση (static pressure), ο δεύτερος όρος
(
1
2
ρ·υ2
) είναι η κινητική ενέργεια ανά µονάδα όγκου του ρευστού (
K
∆V
) και ο τρίτος
όρος (ρ·g·h) είναι η δυναµική ενέργεια ανά µονάδα όγκου του ρευστού (
U
∆V
) .
Συνήθως στον δεύτερο και τρίτο όρο αποδίδονται οι όροι δυναµική πίεση (dynamic
pressure) και υψοµετρική πίεση αντίστοιχα –χωρίς όµως να αντιστοιχούν πραγµατικά
σε κάποια πίεση που σχετίζεται µε κάποια πιεστική δύναµη. Ο όρος δυναµική πίεση
είναι κατάλληλος για να δηλώνει τη µεταβολή της πίεσης, όταν µεταβάλλεται η
ταχύτητα.
Η σταθερά στο νόµο του Bernoulli είναι ίδια για όλες τις ρευµατικές γραµµές στην
περίπτωση της στρωτής, αστρόβιλης ροής.
Για οριζόντιο σωλήνα (οριζόντια ροή) , όπου δεν παρατηρείται υψοµετρική διαφορά
(h=0) η εξίσωση του Bernoulli γίνεται
1
2
ρ· υ2
+ P = σταθερό. (Περίπτωση οριζόντιας
φλέβας). ∆ηλαδή σε περιοχή µεγάλης ταχύτητας (µεγάλη πυκνότητα ρευµατικών
γραµµών) δηµιουργούνται µικρές πιέσεις και το αντίστροφο.
Ακόµη στην περίπτωση της οριζόντιας ροής, το άθροισµα της στατικής και της
δυναµικής πίεσης ονοµάζεται ολική πίεση (total pressure ή ram pressure) ή πίεση
ανακοπής (stagnation pressure).
Τη στατική πίεση µπορούµε να τη µετρήσουµε σ’ ένα σηµείο, µε ένα µανόµετρο. Είναι
η πίεση που οφείλεται στις πιεστικές δυνάµεις που επιδρούν στο ρευστό και ορίζεται
όπως την ορίζουµε στη θερµοδυναµική.
Απόδειξη της εξίσωσης Bernoulli µε τον 2ο
Νόµο του Newton:
i) Έστω το ρευστό που βρίσκεται στο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος µε εµβαδό
διατοµής Α και έστω ότι έχουµε µια οπή εµβαδού σ από την οποία εκρέει το ρευστό.
Αν στη θέση (1) που απέχει απόσταση
|x| από την οπή θεωρήσουµε µια
στοιχειώδη µάζα dm κυλινδρικού
σχήµατος, ύψους dx και διατοµής dA
και θεωρώντας ότι η ταχύτητα σε κάθε
θέση της ροής, εξαρτάται µόνο από τη
x
υ
A
σ
0
x
1
2
x

ΤΟ ∆++
313
θέση και όχι από το χρόνο, δηλαδή θεωρώντας ότι έχουµε στρωτή ροή, τότε ισχύει:
α=
dυ dυ dx dυ
= =υ
dt dx dt dx
. Από τον 2ο
Νόµο του Newton για τη στοιχειώδη µάζα dm έχουµε:
ΣFx=dm·α⇔Fx-Fx+dx+W= dm·α⇔P·dA-(P+dP)·dA+dm·g= dm·α⇔
-dP·dA+ρ(dx·dA)·g= ρ(dx·dA)·
dυ
dt
⇔
-dP+ρ·dx·g= ρ·dx·υ
dυ
dx
⇔-dP+ρ·dx·g= ρ·υdυ (Εξίσωση Euler) ⇔
⇔
x x
0 0 0
- dP+ρg dx=ρ υdυ
x
∫ ∫ ∫ ⇔-(Px-P0)+ρgx=
1
2
ρ(υx
2
-υ0
2
)⇔
⇔-Px+P0+ρgx=
1
2
ρυx
2
-
1
2
ρυ0
2
θεωρώντας x→2 και 0→1 έχουµε:
-P2+P1+ρgx=
1
2
ρυ2
2
-
1
2
ρυ1
2
⇔P1+
1
2
ρυ1
2
+ ρgx=P2+
1
2
ρυ2
2
. Εξίσωση Bernoulli.
ii) Αν στη θέση (1) που απέχει απόσταση |x| από την οπή θεωρήσουµε µια στοιχειώδη
µάζα dm κυλινδρικού σχήµατος, ύψους dx και διατοµής dA και θεωρώντας ότι η
ταχύτητα σε κάθε θέση της ροής, εξαρτάται όχι µόνο από τη θέση αλλά και από το
χρόνο, δηλαδή θεωρώντας ότι έχουµε µη στρωτή ή µη µόνιµη ροή, τότε ισχύει α=
dυ υ υ dx
=
dt t x dt
∂ ∂
+
∂ ∂
όπου x=x(t). Από τον 2ο
Νόµο του Newton για τη στοιχειώδη µάζα
dm έχουµε:
ΣFx=dm·α⇔Fx-Fx+dx+W= dm·α⇔P·dA-(P+dP)·dA+dm·g= dm·α⇔
-dP·dA+ρ(dx·dA)·g= ρ(dx·dA)·
dυ
dt
⇔
-dP+ρ·dx·g= ρ·dx·
υ υ dx
t x dt
∂ ∂ 
+ 
∂ ∂ 
⇔- dP+ρ·dx·g= ρ·dx·
υ dυ
υ
t dx
∂ 
+ 
∂ 
⇔
⇔-dP+ρ·dx·g= ρ·υ·dυ+ ρ
υ
t
∂
∂
dx (Εξίσωση Euler για µη µόνιµη ροή) ⇔
⇔
x x
0 0 0 0
υ
- dP+ρg dx=ρ υdυ ρ dx
t
x x
∂
+
∂∫ ∫ ∫ ∫ ⇔
⇔-Px+P0+ρgx=
1
2
ρυx
2
-
1
2
ρυ0
2
+
0
υ
ρ dx
t
x
∂
∂∫

-P2+P1+ρgx=
1
2
ρυ2
2
-
1
2
ρυ1
2
+
0
υ
ρ dx
t
x
∂
∂∫ ⇔
⇔P1+
1
2
ρυ1
2
+ ρgx=P2+
1
2
ρυ2
2
+
0
υ
ρ dx
t
x
∂
∂∫
Εξίσωση Bernoulli για µη µόνιµη ροή, όπου Ρ2 και υ2 είναι η πίεση και η ταχύτητα
στη θέση x=0.
Η εξίσωση Bernoulli και η Αρχή της Ισοδυναµίας
Στο σχήµα µας το ρευστό επιταχύνεται από πάνω προς τα κάτω µε επιτάχυνση µέτρου
α. Αλλιώς η επιτάχυνση α ισοδυναµεί µε οµογενές βαρυτικό πεδίο -α . Άρα το συνολικό
βαρυτικό πεδίο θα έχει ένταση αολ=g-α. Η Αρχή της Ισοδυναµίας ισχύει και για τοπικά
οµογενές βαρυτικό πεδίο και µικρά χρονικά διαστήµατα. Τότε από τον 2ο
Νόµο του
Newton για τη στοιχειώδη µάζα dm έχουµε:
dFx=dm·αολ ⇔ dFx= dm·αολ ⇔ dFx= dm·(g-α) ⇔
⇔ dFx=ρ(dx·dA)·(g-
dυ
dt
) ⇔
dF
dA
x
= ρ·dx·(g-
dυ
dt
) ⇔
⇔dP =ρ·dx·g-ρ·dx·υ
dυ
dx
⇔-dP+ρ·dx·g= ρ·υdυ⇔
⇔
x x
0 0 0
- dP+ρg dx=ρ υdυ
x
∫ ∫ ∫ ⇔-(Px-P0)+ρgx=
1
2
ρ(υx
2
-υ0
2
)⇔
⇔-Px+P0+ρgx=
1
2
ρυx
2
-
1
2
ρυ0
2
-P2+P1+ρgx=
1
2
ρυ2
2
-
1
2
ρυ1
2
⇔P1+
1
2
ρυ1
2
+ ρgx=P2+
1
2
ρυ2
2
. Εξίσωση Bernoulli.
81. Σ’ ένα σηµείο οριζοντίου σωλήνα κυκλικής διατοµής παροχής νερού , πυκνότητας
ρ = 103
kg /m3
, η στατική πίεση είναι P1 = 5 ·104
Pa και η ταχύτητα ροής του νερού
είναι υ1 = 4 m/s. Σ’ ένα δεύτερο σηµείο, αν η διάµετρος του σωλήνα είναι διπλάσια
από τη διάµετρο στο πρώτο σηµείο, η στατική πίεση P2 σ’ αυτό το σηµείο είναι ίση
προς:
α) 6 ·105
Pa

ΤΟ ∆++
315
β) 8·104
Pa
γ) 5,75·104
Pa
δ) 1,08·106
Pa.
82. Πως αποδεικνύεται ότι σε µια οριζόντια φλέβα, ασυµπίεστου ρευστού η πίεση
γίνεται τόσο µικρότερη όσο στενότερος είναι ο σωλήνας;
83. Να υπολογίσετε την ταχύτητα εκροής ρευστού (Θεώρηµα του Torricelli) από τα
δοχεία των παρακάτω σχηµάτων:
Λύση:
Α)
Εφαρµόζουµε το νόµο του Bernoulli κατά
µήκος της ρευµατικής γραµµής για την ελεύθερη
επιφάνεια του υγρού και το σηµείο εκροής
(στόµιο) :
1
2
·ρ·υΑ
2
+ ρ·g·hA + PA =
1
2
·ρ·υΒ
2
+ ρ·g·hB + PB
(1)
Όµως η εξωτερική πίεση τόσο στην ελεύθερη
επιφάνεια (PA) , τόσο και στο σηµείο εξόδου
(PB) είναι η ατµοσφαιρική, άρα ισχύει:
PA = PB = Patm (2)
Ακόµη η ταχύτητα (υA ), µε την οποία κατεβαίνει η στάθµη του υγρού µπορεί να
θεωρηθεί αµελητέα, συγκρινόµενη µε την ταχύτητα εκροής του ρευστού.
Άρα υΑ ≈ 0. (3) υΑ·ΑΑ = υΒ·ΑΒ ⇔υΑ = B
A
A
A
υΒ όµως ΑΑ >> ΑΒ άρα υΑ ≈ 0.
Τότε (1) ⇒ ρ·g·hA =
1
2
·ρ·υΒ
2
+ ρ·g·hB ⇔ υΒ
2
=2·g·(hA – hB) ⇔ υΒ= A B2g(h - h ) ⇔
⇔υΒ = 2gh όπου h=hA-hB, είναι το βάθος από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού.
Η παραπάνω σχέση αποτελεί τη µαθηµατική διατύπωση του θεωρήµατος του
Torricelli .
Παρατηρούµε ότι:
hA
hB
PA
PB
υB
υA
Με βελάκια συµβολίζονται οι
δυνάµεις (διανυσµατικά µεγέθη)
που προκαλούν τι ς αντίστοιχες
πιέσεις (‘’µονόµετρα” µεγέθη).

Η ταχύτητα εκροής του υγρού από το στόµιο που βρίσκεται σε βάθος h , από την
ελεύθερη επιφάνεια του υγρού , είναι ίση µε την ταχύτητα που έχει σώµα που κάνει
ελεύθερη πτώση από ύψος h .
Β)
Εφαρµόζουµε το νόµο του
Bernoulli κατά µήκος της
ρευµατικής γραµµής για την
ελεύθερη επιφάνεια του υγρού
και το σηµείο εκροής (στόµιο) :
1
2
ρ·υΑ
2
+ρ·g·(h+hA-hB)+ PA =
=
1
2
ρ·υΒ
2
+PB (1).Όµως PA = PB
= Patm (2)
Ακόµη υΑ ≈ 0. (3) και
h=L·ηµ300
=
L
2
(4).
Τότε (1) ⇒ ρ·g·(
L
2
+hA-hB)=
1
2
·ρ·υΒ
2
⇔υΒ
2
= 2·g·(
L
2
+hA-hB)⇔ υΒ = A B
L
2g +h -h
2
 
 
 
.
84. Torricelli… χωρίς προσεγγίσεις
Κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο
εµβαδού βάσης Α περιέχει νερό και
ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο. Το δοχείο
γεµίζει µε νερό µέχρι ύψους Η, πάνω
από το στόµιο εκροής, εµβαδού σ.
Να υπολογίσετε:
α) την ταχύτητα εκροής.
β) τον ολικό χρόνο για να κατέβει η στάθµη του νερού κατά Η και να φτάσει στο ίδιο
οριζόντιο επίπεδο που βρίσκεται και το στόµιο εκροής.
∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
H
υ
A
σh
1
2
x
hA
υB
υA
30
0
h
LhB

ΤΟ ∆++
317
85. Αποδείξτε το θεµελιώδη νόµο της υδροστατικής πίεσης ρυδρ =
ρ·g·h µε την εξίσωση του Bernoulli.
Από το πλευρικό άνοιγµα µιας ανοιχτής δεξαµενής βγαίνει νερό µε ταχύτητα
υ = 2 m/s . Το βάθος στο οποίο βρίσκεται το άνοιγµα είναι:
α) h = 0,2 m
β) h = 2 m
γ) h = 12 m
δ) h = 0,4 m.
86. Κατά την διάρκεια µιας καταιγίδας , ο αέρας που κινείται πάνω από τη στέγη ενός
σπιτιού έχει ταχύτητα υ = 20 m/s . Αν η στέγη θεωρηθεί επίπεδη εµβαδού Α = 100m2
και η πυκνότητα του αέρα είναι σταθερή και ίση µε ρ = 1,2 kg /m3
. Τότε η ανυψωτική
δύναµη που δέχεται η στέγη είναι
α) F = 4·104
N
β) F = 1,2·103
N
γ) F = 24·103
N
δ) F = 48·103
N.
87. Μια ανοικτή δεξαµενή που περιέχει νερό, έχει στο πλευρικό τοίχωµά της και σε
βάθος h =0,8 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, µια βρύση διατοµής Α =
0,25cm2
. Τότε για να γεµίσει µε νερό ένα µπουκάλι όγκου 1ℓ απαιτείται χρόνος:
α) t = 10 s
β) t = 5 s
γ) t = 20 s
δ) t = 2,5 s.
88. Από τη βρύση του σχήµατος εµβαδού διατοµής Α1 = 2 cm2
πέφτει νερό. Αν σε
απόσταση h = 30cm από το στόµιο της βρύσης η φλέβα νερού λεπταίνει και γίνεται
A2 = 1A
2
τότε η παροχή της βρύσης είναι:
α) Π = 2 ·10-14
m3
/s
β) Π = 10-4
m3
/ s
B
A
hA
h
hB

γ) Π =3·10-3
m3
/s
δ) Π = 2·10-4
m3
/s.
89. Σ’ ένα σηµείο οριζόντιου σωλήνα κυκλικής διατοµής A1 = 10-2
m2
η παροχή
του νερού είναι Π1 = 4·10-2
m3
/s. Σ’ ένα δεύτερο σηµείο η διάµετρος του σωλήνα
είναι διπλάσια από τη διάµετρο στο πρώτο σηµείο. Τότε αν η πυκνότητα του νερού
είναι ρ = 103
kg / m3
η διαφορά των στατικών πιέσεων (∆Ρ) στα δυο σηµεία είναι:
α) 7,5⋅103
Ρa
β) 6⋅103
Ρa
γ) 15⋅103
Ρa
δ) 12⋅ 103
Ρa.
90. Νερό που κινείται µέσα σε οριζόντιο σωλήνα εµβαδού διατοµής Α1 = 10cm2
µε
ταχύτητα υ1=5 m/s βγαίνει από το άκρο του σωλήνα που έχει εµβαδό διατοµής Α2 = 5
cm2
.
i) Αν η πυκνότητα του νερού είναι ρ = 103
kg / m3
, τότε ο όγκος του νερού που δίνει
ο σωλήνας σε µια ώρα είναι:
α) 50 m3
β) 18 m3
γ) 36 m3
δ) 5⋅10-3
m3
.
ii) Η πίεση του νερού µέσα στο σωλήνα ροής αν Ρατµ = 105
Ρa είναι:
α) 137,5⋅103
Ρa
β) 2⋅105
Ρa
γ) 0,5⋅105
Ρa
δ) 62,5 ΚΡa.
91. Μια ανοικτή δεξαµενή νερού βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος. Η ταχύτητα
ροής του νερού στον οριζόντιο σωλήνα της παροχής, στο έδαφος σε σηµείο Σ είναι
υΣ =10m/s. Τότε το ύψος h είναι: (δίνεται η πυκνότητα του νερού 103
kg/m3
,
g = 10 m/s2
και Ρατ = 105
Ρa).
α) 2 m
β) 5 m
γ) 1 m
δ) 2,5 m.

ΤΟ ∆++
319
92. Μια αντλία χρησιµοποιείται για την άντληση νερού από πηγάδι βάθους h =8 m. Αν
η αντλία έχει εµβαδό Α =10-3
m2
και το νερό εξέρχεται από αυτή µε ταχύτητα υ = 20
m/s τότε η ισχύς της αντλίας είναι:( ρ = 103
kg/m3
)
α) 1,6 kW
β) 5,6 W
γ) 1,6 W
δ) 5,6 kW.
Η ισχύς της αντλίας
Τι ισχύει γενικά για µια αντλία που χρησιµοποιείται για τη µεταφορά νερού από το
έδαφος σε ύψος h και αν η παροχή της αντλίας είναι Π και το νερό εξέρχεται από το
σωλήνα µε ταχύτητα υ;
Λύση:
Το ολικό έργο που παράγει η αντλία είναι ίσο µε Wολ=W1→2+W2→3. Το W1→2 είναι το
έργο για τη µεταφορά του νερού από την είσοδο της αντλίας (1) στην έξοδό της (2) και
άρα είναι ίσο µε τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας µάζας νερού ίσης µε ∆m δηλαδή
ισχύει W1→2=∆Κ=Κ2-Κ1 όπου Κ1=0 (θεωρούµε ότι το νερό εισέρχεται στην αντλία από
την ηρεµία δηλαδή είναι υ1=0). Και το W2→3 είναι το έργο που παράγεται από την
αντλία για να ανεβάσει το νερό σε ύψος h και πιθανόν να µεταβάλλει την κινητική του
κατάσταση κατά την έξοδό του.
Τότε έχουµε:
W1→2=∆Κ=Κ2=
1
2
∆mυ2
2
⇔ W1→2=
1
2
ρ∆Vυ2
2
1 2W
∆t
→
=
1 ∆V
ρ
2 ∆t
υ2
2
⇔ 1 2W
∆t
→
=
1
ρ
2
υ2
2
Π.
Patm
Αντλία
P
1
3
2
2
υ2
υ
A2
A
h

Για το W2→3 διακρίνουµε δυο περιπτώσεις:
α) Ο σωλήνας να έχει σταθερή διατοµή (Α=Α2) οπότε ισχύει υ2=υ άρα δεν έχουµε
µεταβολή της κινητικής ενέργειας της µάζας ∆m του νερού στην έξοδό του , οπότε
Bernoulli (2→3): P2+
1
ρ
2
υ2
2
=Pατµ+
1
ρ
2
υ2
+ρgh⇔ P2-Pατµ= ρgh
Ακόµη έχουµε:
W2→3=( P2- Pατµ)·∆V= ρgh∆V και
2 3W
∆t
→
=( P2- Pατµ)·
∆V
∆t
⇔ 2 3W
∆t
→
=( P2- Pατµ)·Π=ρghΠ.
Τελικά η ισχύς της αντλίας είναι:
Ραντλίας= 1 2W
∆t
→
+ 2 3W
∆t
→
=
1
ρ
2
υ2
2
Π+( P2- Pατµ)·Π=(
1
ρ
2
υ2
+ ρgh)·Π (υ2=υ) ή
Ραντλίας=ρ(
1
2
υ2
+gh)·Π
β) Ο σωλήνας δεν έχει σταθερή διατοµή οπότε ισχύει Α2·υ2=Α·υ (εξίσωση συνέχειας)
και υ≠υ2 άρα έχουµε µεταβολή της κινητικής ενέργειας της µάζας ∆m του νερού στην
έξοδό του οπότε,
Bernoulli (2→3): P2+
1
ρ
2
υ2
2
=Pατµ+
1
ρ
2
υ2
+ρgh⇔ P2- Pατµ=
1
ρ
2
(υ2
-υ2
2
)+ρgh
Άρα έχουµε:
W2→3=( P2- Pατµ)·∆V= [
1
ρ
2
(υ2
-υ2
2
)+ρgh]·∆V και
2 3W
∆t
→
=( P2- Pατµ)·
∆V
∆t
⇔ 2 3W
∆t
→
=( P2- Pατµ)·Π=[
1
ρ
2
(υ2
-υ2
2
)+ρgh]Π.
Τελικά η ισχύς της αντλίας είναι:
Ραντλίας= 1 2W
∆t
→
+ 2 3W
∆t
→
=
1
ρ
2
υ2
2
Π+( P2- Pατµ)·Π=
=[
1
ρ
2
υ2
2
+
1
ρ
2
(υ2
-υ2
2
)+ρgh]·Π=(
1
ρ
2
υ2
+ ρgh)·Π ή
1
2
υ2
+gh)·Π
∆ηλαδή σε κάθε περίπτωση µας ενδιαφέρει η τελική ταχύτητα υ, µε την οποία εξέρχεται το
νερό από το σωλήνα στο περιβάλλον, η σταθερή παροχή Π της αντλίας και το ύψος από
την αντλία στο οποίο ανεβαίνει το νερό και ισχύει:

ΤΟ ∆++
321
1
2
υ2
+gh)·Π
§3.3 Πραγµατικά ρευστά Εσωτερική τριβή –ιξώδες,
Νόµος Poiseuille
Στα πραγµατικά ρευστά αναπτύσσονται και δυνάµεις τριβής στο εσωτερικό τους
και δυνάµεις λόγω του στροβιλισµού τους.
Η εσωτερική τριβή µέσα σ’ ένα ρευστό ονοµάζεται ιξώδες.
Αν η ταχύτητα ενός κινούµενου ρευστού υπερβεί µια ορισµένη τιµή, τότε η ροή
δεν παραµένει στρωτή αλλά γίνεται ακανόνιστη και χαοτική (τυρβώδης ή στροβιλώδης
ροή ), ενώ αυξάνονται και οι εσωτερικές τριβές.
Αν µεταξύ των πλακών Α και Β βάλουµε ένα ρευστό π.χ µέλι
διαπιστώνουµε πως αν η κάτω πλάκα
είναι ακίνητη, για να µετακινήσουµε την
πάνω πλάκα µε σταθερή ταχύτητα
απαιτείται να ασκηθεί κάποια δύναµη F
ενώ τότε ασκείται και µια αντίθετη
δύναµη στην κάτω πλάκα.
Ένα ρευστό µε εσωτερική τριβή έχει την
τάση να προσκολλάται στην επιφάνεια
του στερεού µε το οποίο βρίσκεται σε επαφή. ∆ηλαδή υπάρχει ένα οριακό στρώµα
ρευστού κοντά στην επιφάνεια, όπου το ρευστό σχεδόν ηρεµεί ως προς την
επιφάνεια. Έτσι διαπιστώνουµε, ότι το πάνω στρώµα του ρευστού έχει προσκολληθεί
στην πάνω πλάκα Α και κινείται µε ταχύτητα υ, ενώ το κάτω στρώµα έχει
προσκολληθεί στην κάτω πλάκα και παραµένει ακίνητο.
Όλα τα ενδιάµεσα στρώµατα, έχουν ταχύτητες διαφορετικές µεταξύ τους, που
αυξάνουν σταδιακά από 0 έως υ, καθώς πηγαίνουµε από την κάτω πλάκα προς την
πάνω.
Τότε λέµε ότι το ρευστό βρίσκεται σε µια κατάσταση διαρκώς αυξανόµενης
διατµητικής παραµόρφωσης.
Το µέτρο της διάτµησης ή στρέψης ορίζεται ως:
S =
διατµητική τάση
παραµόρφωση
=
F/A
x/
. Το ιξώδες ενός ρευστού ορίζεται ως
n =
διατµητική τάση
ρυθµός παραµόρφωσης
όπου ο ρυθµός παραµόρφωσης είναι ο όρος
υ
άρα
υ
Α
F
F Β
x

n =
F/A
υ/
⇔ n =
F
A υ
⋅
⋅
⇔F = n·A·
υ
.
Ο συντελεστής ιξώδους (εσωτερικής τριβής) είναι χαρακτηριστικός για κάθε
ρευστό .
Η µονάδα µέτρησής του στο S.I είναι: το 1 2
N s
m
⋅
Στην πράξη χρησιµοποιείται το 1 poise (πουάζ) προς τιµή του γάλλου Poiseuille
(Πουαζέϊγ). Ισχύει 1 poise = 10-1
2
N s
m
⋅
= 1 2
dyn s
cm
⋅
(1 dyn = 10-5
N ).
Με βάση την παραπάνω σχέση συµπεραίνουµε ότι:
• Εάν αντικαταστήσουµε το µέλι µ’ ένα άλλο ρευστό που ρέει ευκολότερα
(µικρότερος συντελεστής ιξώδους n) π.χ λάδι, διαπιστώνουµε ότι η δύναµη που
πρέπει να ασκούµε στην πάνω πλάκα για να διατηρείται η ταχύτητα υ σταθερή, είναι
µικρότερη.
• Επίσης η δύναµη είναι µικρότερη εάν για το ίδιο ρευστό, αυξήσουµε το πάχος
του (απόσταση των πλακών).
• Αντίθετα η δύναµη γίνεται µεγαλύτερη αν οι επιφάνειες των πλακών είναι
µεγαλύτερες ή αν επιχειρήσουµε να µετακινήσουµε την πάνω πλάκα µε µεγαλύτερη
ταχύτητα .
• Στη σχέση F = n·A·
υ
µπορούµε να θεωρήσουµε πως αν η ταχύτητα υ είναι
σταθερή τότε η F είναι η συνισταµένη των εσωτερικών τριβών και ισχύει:
F=T= n·A·
υ
.
• Τα ρευστά που υπακούν στην παραπάνω σχέση ονοµάζονται Νευτώνεια
ρευστά. ∆εν είναι όλα τα ρευστά Νευτώνεια όπως π.χ το αίµα που δεν είναι
Νευτώνειο ρευστό αλλά για µεγάλες ταχύτητες ροής τα σωµατίδια που αιωρούνται σ’
αυτό παραµορφώνονται ώστε να ελαττώνεται ο συντελεστής ιξώδους και να
διευκολύνεται η ροή.
• Ο συντελεστής ιξώδους στα ρευστά εξαρτάται από την θερµοκρασία. Έτσι
στα υγρά καθώς αυξάνεται η θερµοκρασία, ελαττώνεται ο συντελεστής ιξώδους, ενώ
αντίθετα στα αέρια µε την αύξηση της θερµοκρασίας, αυξάνεται και ο συντελεστής
ιξώδους τους.
93. Να σχεδιαστεί το διάγραµµα ταχυτήτων για ένα ιξώδες ρευστό που ρέει µέσα σ’
έναν κυλινδρικό σωλήνα .

ΤΟ ∆++
323
Παρατηρούµε ότι η ταχύτητα του ιξώδους ρευστού είναι µέγιστη κατά µήκος του
άξονά του ενώ µηδενίζεται στα τοιχώµατα του σωλήνα .
Η εξίσωση που περιγράφει το διάγραµµα ταχυτήτων του ρευστού είναι
υ = 1 2P -P
4n
·(R2
– r2
).
Όπου υ είναι η ταχύτητα ροής σε
απόσταση r, από τον άξονα του
σωλήνα που έχει ακτίνα R και Ρ1 και Ρ2
είναι οι πιέσεις στα δυο άκρα 1 και 2 του σωλήνα, είναι το µήκος του και n είναι ο
συντελεστής ιξώδους του ρευστού .
Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει
dV
dt
=
π
8
(
4
R
n
)·( 1 2Ρ -Ρ
) Νόµος του Poiseuille.
Η σχέση δείχνει ότι η παροχή όγκου
dV
dt
είναι αντιστρόφως ανάλογη του n, είναι
ανάλογη προς τη βαθµίδα πίεσης 1 2Ρ -Ρ
=
dΡ
dx
και επίσης είναι ανάλογη µε την R4
.
Όπου R είναι η ακτίνα του σωλήνα . Έτσι αν διαπλάσουµε την ακτίνα του σωλήνα η
παροχή αυξάνεται κατά 24
= 16 φορές.
Παρατήρηση:
Το Ρ1 – Ρ2 είναι η πτώση πίεσης στα άκρα του σωλήνα µήκους , λόγω του ιξώδους.
Αν Ρ1 > Ρ2 ⇔ Ρ2 – Ρ1 < 0 ⇔ ∆Ρ < 0. Άρα η φορά της ροής (υ), είναι αντίθετη από το
∆Ρ.
94. Νερό θερµοκρασίας 20 ο
C ρέει σε κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R = 10 cm. Ο
συντελεστής ιξώδους του νερού στους 20 ο
C είναι n = 10-3
2
N s
m
⋅
. Αν η ταχύτητα του
νερού κατά µήκος του άξονα του σωλήνα είναι υ = 2 m/s τότε:
R
άξονας
R
l
r
P1 P2
1 2
υ
υ΄
άξονας

i) η ταχύτητα του σε απόσταση r = 5 cm από τον άξονα του σωλήνα είναι:
α) 2 m/s
β) 1,5 m/s
γ) 1 m/s
δ) 0,25 m/s.
ii) η ταχύτητα του στα τοιχώµατα του σωλήνα είναι:
α) 0 m/s
β) 1,5 m/s
γ) 0,75 m/s
δ) 2 m/s.
Επαναληπτικές Ασκήσεις
95. Στη διπλανή εικόνα
παριστάνονται τρία ποτήρια Π1, Π2
και Π3 διαφορετικού σχήµατος και
ίδιας µάζας τα οποία περιέχουν νερό
στο ίδιο ύψος h=10cm.
Τα εµβαδά των βάσεων των ποτηριών
είναι ίσα µεταξύ τους και ίσα µε
Α=20cm2
.
α) Να υπολογίσετε τις υδροστατικές
πιέσεις στους πυθµένες των τριών
ποτηριών.
β) Να υπολογίσετε τις δυνάµεις που ασκούνται από το υγρό στους πυθµένες των τριών
ποτηριών και που οφείλονται στην υδροστατική πίεση.
γ) Να συγκρίνετε τις δυνάµεις που ασκούν τα δοχεία στο τραπέζι πάνω στο οποίο
ισορροπούν.
∆ίνεται η πυκνότητα του νερού ρν=103
Kg/m3
και g=10m/s2
.
96. Το ανοικτό δοχείο του σχήµατος περιέχει υγρό µάζας m
και πυκνότητας ρ ύψους Η και βρίσκεται στο βαρυτικό
πεδίο της γης επιτάχυνσης βαρύτητας g. Τότε η συνολική
δύναµη στη βάση του δοχείου εµβαδού Α είναι:
α. Fολ=(Pατµ+ρgH)·A
β. Fολ=(Pατµ+mg)·A Hm
Ah
2 31Π Π Π
A A A

ΤΟ ∆++
325
γ. Fολ=ρgHA
δ. Fολ=(Pατµ+ρgH+mg)·A.
97. Στα σηµεία Α και Β του δοχείου
υπάρχουν δυο οπές ίδιου εµβαδού ενώ τα
σηµεία Α και Β απέχουν το Α από την
ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και το
σηµείο Β από την βάση του δοχείου ίσες
αποστάσεις y. Τότε:
α. Για τις παροχές από τις δυο διατοµές
ισχύει ΠΑ=ΠΒ
β. Ο χρόνος για να φτάσει η φλέβα του εκρεόµενου υγρού στο έδαφος είναι κοινός για
τις δυο φλέβες από τα Α και Β
γ. Το βεληνεκές για τις δυο φλέβες είναι το ίδιο
δ. Η ταχύτητα µε την οποία εκρέει το υγρό από τις δυο οπές έχει την ίδια τιµή.
98. Η φλέβα του νερού µιας βρύσης φεύγει από το στόµιό της µε ταχύτητα υ ενώ σε
κατακόρυφη απόσταση h κάτω από τη βρύση γίνεται στενότερη. Αν η αρχική διατοµή
της φλέβας είναι Α1 και σε ύψος h είναι Α2, τότε ισχύει:
α. 1
2
A
=1
A
β. 1
2
2ghA
=
A υ
.
γ.
2
1
2
+υ 2ghA
=
A υ
.
δ. τίποτα από τα παραπάνω.
y
y
A
B

99. Το δοχείο του σχήµατος περιέχει υγρό σε
ύψος Η. Τότε το µέγιστο βεληνεκές που
µπορούµε να πετύχουµε για µια φλέβα
εκρεόµενου υγρού είναι:
α. Smax=H
β. Smax=H/2
γ. Smax=2H
δ. Smax=4H.
100. Μια αντλία χρησιµοποιείται για την άντληση νερού από πηγάδι βάθους h. Το
νερό βγαίνει από την αντλία µε σωλήνα διατοµής Α και µε ταχύτητα υ.
Τότε η ωφέλιµη ισχύς της αντλίας είναι: (∆ίνεται η πυκνότητα ρ του νερού και το g).
α. Ρωφ= ( )2ρ Α υ
υ +2 g h
2
⋅ ⋅
⋅ ⋅ β. Ρωφ=
ρ Α υ g h
2
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
101. Στη διάταξη του σχήµατος η παροχή
της βρύσης που αναπληρώνει το νερό της
δεξαµενής είναι Π. Η πλάγια οπή από την
οποία εξέρχεται το νερό της δεξαµενής έχει
διατοµή Α. Κάποια στιγµή το νερό της
δεξαµενής βρίσκεται ψηλότερα κατά h από
την οπή. Παρατηρούµε πως µε την πάροδο
του χρόνου η ελεύθερη στάθµη του νερού
κατέρχεται και σταθεροποιείται όταν
κατέβει κατά ∆h=h/4.
1.Τότε η σταθερή παροχή της βρύσης είναι:
α) Π= 2ghΑ , β) Π= 6gh
2
Α
,
2. Όταν σταθεροποιηθεί το ύψος της ελεύθερης στάθµης του νερού στο δοχείο,
Τότε η δύναµη της στατικής τριβής που ασκεί το οριζόντιο δάπεδο στο δοχείο είναι:
(Η πυκνότητα ρ του νερού και η επιτάχυνση της βαρύτητας g θεωρούνται γνωστά).
α) Tστ=
3
2
·ρ·g·A·h β) Tστ=2·ρ·g·A·h.
Smax
H
h

ΤΟ ∆++
327
Να θεωρηθεί η ροή του νερού στη δεξαµενή στρωτή, το ιξώδες του νερού αµελητέο και
η διατοµή της δεξαµενής πολύ – πολύ µεγαλύτερη από τη διατοµή της οπής.
102. Μανοµετρικός σωλήνας ΑΒΓ∆ σταθερής διατοµής σχήµατος ανεστραµµένου Π,
είναι ανοικτός στα δυο του άκρα. Το ελατήριο του σχήµατος έχει σταθερά Κ=20Ν/m.
Αν στο ελεύθερο άκρο του δέσουµε σώµα µάζας m=100g και το τοποθετήσουµε στο
σκέλος ΑΒ του µανοµέτρου τότε αυτό ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήµα ενώ κλείνει
αεροστεγώς το σωλήνα.
Αν τραβήξουµε προς τα κάτω τα σώµα κατά x0=20cm και το αφήσουµε ελεύθερο τότε
να αποδείξετε ότι πραγµατοποιεί α.α.τ. και να υπολογίσετε την περίοδό της.
∆ίνεται το εµβαδό εγκάρσιας διατοµής του µανοµέτρου Α=10cm2
, η πυκνότητα του
νερού ρ=1000Kg/m3
και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2
.
103. ∆ύτης
∆ύτης βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια της ήρεµης θάλασσας σε βάθος H=5m, όπως
φαίνεται στο σχήµα. Αν η πυκνότητα του θαλασσινού νερού κατά προσέγγιση είναι
ρ=103
Kg/m3
, να υπολογίσετε την ολική πίεση και την ολική δύναµη που δέχεται η
µάσκα του δύτη αν ο δύτης:
α) είναι ακίνητος
β) κολυµπάει οριζόντια µε
σταθερή ταχύτητα υ=2m/s.
∆ίνεται το εµβαδό της µάσκας
που φοράει ο δύτης Α=45cm2
A
B Γ
Θ.Φ.Μ
A
B Γ
Θ.Φ.Μ
Σ Σ΄
h
h
H
AB
υ

η ατµοσφαιρική πίεση Pατµ=105
Pa και g=10 m/s2
.
104. ∆ύναµη στην παλάµη
Η παροχή της βρύσης του σχήµατος είναι
Π=10-3
m3
/s . Η φλέβα νερού χτυπάει την οριζόντια
παλάµη του χεριού µας, ώστε µετά την πρόσπτωση
το νερό να κινείται παράλληλα προς την παλάµη και
αµέσως να την εγκαταλείπει. Αν η φλέβα νερού
«πέφτει» από ύψος h=0,25m, να υπολογιστεί η
δύναµη που ασκείται από αυτή στην παλάµη.
∆ίνεται το εµβαδό της εγκάρσιας διατοµής της
βρύσης Α1=5cm2
, η πυκνότητα του νερού
ρ=103
Κg/m3
και g=10m/s2
.
105. Αναρρόφηση
Στο σχήµα παριστάνεται ένας ελαστικός σωλήνας
(σιφόνι), µε τον οποίο µπορούµε να αφαιρέσουµε
νερό από µια δεξαµενή µε αναρρόφηση. Για να
γίνει αυτό θα πρέπει αρχικά όλος ο σωλήνας να
γεµίσει µε νερό, και το ελεύθερο άκρο του να
βρίσκεται χαµηλότερα από την ελεύθερη στάθµη
της δεξαµενής – δοχείου. Το µήκος του σωλήνα
που βρίσκεται εντός του υγρού δεν έχει καµία
σηµασία για την ταχύτητα εκροής. Από τη στιγµή
όµως που θα αρχίσει η ροή , το υγρό θα ρέει ώστε η
ελεύθερη στάθµη του δοχείου να φτάσει µέχρι το
άνοιγµα Α στο βυθισµένο άκρο του σωλήνα. Άρα
αν θέλουµε να αφαιρέσουµε όλη την ποσότητα του
νερού του δοχείου θα πρέπει το βυθισµένο άκρο Α του σωλήνα να βρίσκεται στον πάτο
του δοχείου. Τότε:
α) Να βρεθεί η ταχύτητα εκροής του νερού από το άκρο Γ του σωλήνα. Που οφείλεται
η ροή του νερού µέσα στο σωλήνα;
β) Αν υποθέσουµε ότι έχουµε αρκετό λάστιχο και το Α το βυθίσουµε ως το σηµείο Ε
χωρίς να αλλάξουν οι υπόλοιπες αποστάσεις τότε να υπολογιστεί η πίεση στο
βυθισµένο άκρο Ε και στο ψηλότερο σηµείο Β του σωλήνα.
1
2
A1
h
A2
B
Γ
h1
h2
A
y
υΓ
E

ΤΟ ∆++
329
γ) Ποιο είναι το µέγιστο ύψος στο οποίο µπορεί το λάστιχο – σιφόνι να ανεβάσει το
νερό;
∆ίνεται: Ρατµ=105
Ν/m2
, η πυκνότητα του νερού ρ και η επιτάχυνση της βαρύτητας g.
106. Μετάγγιση
Στο σχήµα
παριστάνεται ένας
ελαστικός σωλήνας
(σιφόνι) σταθερής
διατοµής , τον οποίο
µπορούµε να
χρησιµοποιήσουµε
για τη µετάγγιση
νερού (ιδανικό
ρευστό) από το
δοχείο ∆1 στο δοχείο
∆2. Τα σηµεία
2,3,5,6 βρίσκονται
στο ίδιο οριζόντιο
επίπεδο (επίπεδο
αναφοράς). Κάποια
χρονική στιγµή το
ύψος του νερού στα
δυο δοχεία είναι h1
και h2 ενώ το ανώτερο σηµείο 4 του σωλήνα µετάγγισης βρίσκεται σε ύψος h από το
οριζόντιο επίπεδο αναφοράς. Τότε:
α) Να συγκρίνετε τις πιέσεις P2 και P3, P5 και P6, P3 και P5
β) Να υπολογιστεί η ταχύτητα ροής του σωλήνα µέσα στο σωλήνα
γ) Να υπολογιστεί η πίεση P4 στην κορυφή του σωλήνα.
h
h
1
1
h2
2
y
1
2 3
4
56
7
υ
υ
υ

107. Το καλαµάκι του φραπέ…
Ένα καλαµάκι του φραπέ, έχει µήκος L και µάζα Μ.
α) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του, ως προς άξονα που περνά από το ένα άκρο
του.
β) Κάποια στιγµή το καλαµάκι
ισορροπεί οριακά, ακουµπώντας µε το
άκρο του Α στο εσωτερικό του
ποτηριού σχηµατίζοντας µε το
οριζόντιο επίπεδο ελάχιστη γωνία
θ=300
, όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν η
γωνία µικρύνει επιπλέον τότε το
καλαµάκι γλιστράει και πέφτει έξω
από το ποτήρι. Να υπολογιστεί ο
συντελεστής τριβής ολίσθησης µ,
ανάµεσα στο ποτήρι και το καλαµάκι,
αν δίνεται πως
d 1
L 4
= , όπου d είναι η
διάµετρος του ποτηριού.
γ) Στη συνέχεια το καλαµάκι κάµπτεται ώστε ένα κοµµάτι του α=
L
4
να σχηµατίζει
γωνία 900
µε το υπόλοιπο καλαµάκι, ώστε να µπορούµε να πιούµε το φραπέ µας.
Μικραίνει ή αυξάνεται η ροπή αδράνειας που έχει το καλαµάκι ως προς άξονα
περιστροφής που περνάει από το άκαµπτο άκρο του και είναι κάθετος στο επίπεδο
περιστροφής που σχηµατίζουν τα δύο τµήµατα του καλαµακίου;
Πόση είναι η ροπή αδράνειάς του ως προς το άκρο του αυτό;
Θεωρούµε ότι η διάµετρος από το καλαµάκι είναι πολύ µικρότερη από το µήκος του L
ώστε αυτό να θεωρείται λεπτή οµογενής ράβδος µε Ιcm=
1
12
ΜL2
.
δ) Αν κάποια στιγµή αρχίσουµε να πίνουµε τον καφέ µας ποια θα είναι η µέγιστη
ταχύτητα εκροής του frappe από το καλαµάκι; ∆ίνεται Ρατµ=105
Ν/m2
και η πυκνότητα
του καφέ για τις πράξεις να θεωρηθεί ίση µε ρ=103
Κg/m3
.
A
d
B
WB
θ
θ
K

ΤΟ ∆++
331
Επαναληπτικές Ασκήσεις (∆ύσκολες)
108. Πιεστική δύναµη
Ένα κλειστό δοχείο έχει σχήµα κύβου ακµής
α=0,4 m. Το µισό του δοχείου είναι γεµάτο µε
νερό κα το υπόλοιπο µισό µε ελαιόλαδο. Nα
υπολογίσετε τη συνολική δύναµη:
α) στον πυθµένα του δοχείου και
β) στην µια πλευρική του έδρα.
∆ίνεται ρν=103
Kg/m3
, ρλ=0,9·103
Kg/m3
και
g=10m/s2
.
109. Πιεστική δύναµη-1
Στο αριστερό µέρος του κλειστού δοχείου
του σχήµατος υπάρχει θαλασσινό νερό
πυκνότητας ρθ=1,03·103
Kg/m3
. Το βάθος
του θαλασσινού νερού είναι h=2m ενώ το
πλάτος του δοχείου είναι α=1m.
α) Nα υπολογίσετε τη συνολική δύναµη και
τη συνολική ροπή ως προς το σηµείο Β που
προκαλείται από την πίεση του θαλασσινού
νερού στην πλευρά ΑΒΓ∆.
β) Μέχρι ποιο ύψος πρέπει να προστεθεί νερό βρύσης πυκνότητας ρν=103
Kg/m3
, στο
δεξιό µέρος του δοχείου ώστε η ολική δύναµη του γλυκού νερού να ισορροπεί την
ολική δύναµη του θαλασσινού νερού; ∆ίνεται g=10m/s2
.
a
A
a
B
Γ
Ε
Ζ
Γ
Ζ
A
θαλασσινό νερό
νερό βρύσης
a
B
h
H
Γ

110. Επιτάχυνση και ρευστό
Μανοµετρικός σωλήνας ΑΒΓ∆
σταθερής διατοµής σχήµατος
ανεστραµµένου Π, ανοικτός στα δυο του
άκρα, δένεται σε ελατήριο σταθεράς
Κ=4Ν/m, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το
οριζόντιο τµήµα ΒΓ του σωλήνα έχει
µήκος L=20cm. Ο σωλήνας περιέχει
υγρό που αρχικά ισορροπεί και η
ελεύθερη επιφάνεια του υγρού βρίσκεται
στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο στα δυο του
µέρη ενώ απέχει από τα ελεύθερα άκρα
του σωλήνα απόσταση Η=5cm.
Αποµακρύνουµε το σωλήνα από τη θέση
ισορροπίας του και τον αφήνουµε
ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογίσετε το µέγιστο πλάτος ώστε να µην υπερχειλίσει
αρχικά το νερό από το σωλήνα. Ο σωλήνας µπορεί να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο
χωρίς τριβές. ∆ίνεται η συνολική µάζα του συστήµατος m=250 g και
g=10m/s2
.
111. Επιταχυνόµενη κίνηση σωλήνα µε υγρό
Μανοµετρικός σωλήνας ΑΒΓ∆ σταθερής διατοµής
σχήµατος ανεστραµµένου Π, είναι ανοικτός στα
δυο του άκρα. Το οριζόντιο τµήµα ΒΓ του σωλήνα
έχει µήκος L=20cm. Ο σωλήνας περιέχει υγρό που
αρχικά ισορροπεί και η ελεύθερη επιφάνεια του
υγρού βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο στα
δυο του µέρη.
α) Να υπολογιστεί η διαφορά ύψους του υγρού στις
δυο στήλες αν ο σωλήνας αρχίσει να επιταχύνεται
προς τα αριστερά µε επιτάχυνση α=10m/s2
.
β) Να υπολογίσετε την γωνιακή ταχύτητα ω, µε την
οποία πρέπει να περιστρέφεται ο παραπάνω
σωλήνας, γύρω από κατακόρυφο άξονα που
συµπίπτει µε έναν από τους κατακόρυφους
σωλήνες, ώστε να πετύχουµε την ίδια διαφορά ύψους του υγρού στις δυο στήλες.
K
A
B Γ
H
K
A
B Γ
H
h
h
F
A
B Γ
A
B Γ
F
y
a

ΤΟ ∆++
333
∆ίνεται g=10m/s2
.
112. Εξίσωση Torricelli - 2
Κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο εµβαδού
Α1 περιέχει υγρό πυκνότητας ρ και ηρεµεί
σε οριζόντιο δάπεδο. Το δοχείο φράσσεται
υδατοστεγώς µε έµβολο αµελητέας µάζας
που µπορεί να κινείται κατακόρυφα χωρίς
τριβές. Στην πλευρική επιφάνεια του
δοχείου και σε απόσταση Η κάτω από την
ελεύθερη οριζόντια επιφάνειά του
βρίσκεται στόµιο εµβαδού Α2 από το οποίο
εκρέει το υγρό. Αν ασκήσουµε στο έµβολο
κατακόρυφη δύναµη F τότε το υγρό εκρέει
µε ταχύτητα υ2, όταν η στάθµη του υγρού
απέχει απόσταση h από το στόµιο εκροής.
α) Την ταχύτητα εκροής υ2 του υγρού
β) το µέτρο του ρυθµού µεταβολής του
ύψους της στάθµης του νερού και
γ) το χρόνο για να κατέβει η στάθµη του
υγρού κατά H.
113. Πιεστική δύναµη - 2
Αν, στο κλειστό δοχείο του σχήµατος, η F είναι η
εφαρµοζόµενη δύναµη στο έµβολο εµβαδού Α,
τότε να υπολογιστεί η ολική πίεση στα σηµεία Α
και Β.
H
y
F
h
H
F
1
2
υ2
υ1
A1
A2
Γ
Αh
hΑ
d F
Β
d1

114. Πτώση στάθµης
Κυλινδρικό κατακόρυφο δοχείο
εµβαδού βάσης Α περιέχει νερό
και ηρεµεί σε οριζόντιο δάπεδο.
Το δοχείο γεµίζει µε νερό µέχρι
ύψους x0, πάνω από το στόµιο
εκροής, εµβαδού σ.
α) την ποσότητα του νερού που
εκρέει σε χρόνο ∆t, τη στιγµή
που η στάθµη του νερού βρίσκεται σε ύψος x πάνω από το στόµιο εκροής.
β) την πτώση στάθµης του νερού στο δοχείο σε χρόνο ∆t και
γ) το χρόνο για να κατέβει η στάθµη του νερού κατά x0 και να φτάσει στο ίδιο
οριζόντιο επίπεδο που βρίσκεται και το στόµιο εκροής.
115. Κάθετη αντίδραση και νερό που ρέει
Στη διάταξη του σχήµατος η παροχή της βρύσης
που αναπληρώνει το νερό του σωλήνα είναι Π=400
cm3
/s . Η πλάγια οπή στον πυθµένα του σωλήνα
από την οποία εξέρχεται το νερό της δεξαµενής
έχει διατοµή σ=2cm2
.
α) Ποιο πρέπει να είναι το ελάχιστο ύψος του
δοχείου για να µην παρατηρηθεί υπερχείλιση; Ποια
είναι τότε η ταχύτητα εκροής του νερού;
Κάποια στιγµή και ενώ έχει σταθεροποιηθεί το
ύψος του νερού µέσα στο σωλήνα, κλείνουµε τη
βρύση, ενώ από τον πυθµένα του δοχείου συνεχίζει
να εκρέει νερό.
x
υ
A
σ
0
x
1
2
x
H
υσ
2
1
A

ΤΟ ∆++
335
β) Αν ο λόγος των διατοµών στο πάνω ελεύθερο άκρο του σωλήνα και στο στόµιο
εκροής είναι αντίστοιχα
A
σ
=
5
3
, πόση γίνεται η ταχύτητα εκροής του νερού τη στιγµή
που κλείνουµε τη βρύση και πόση είναι τότε η αρχική ταχύτητα πτώσης στάθµης του
νερού;
γ) Πως µεταβάλλεται µε το χρόνο η κάθετη αντίδραση από τη βάση του σωλήνα στο
νερό;
Να θεωρηθεί η ροή του νερού στο σωλήνα στρωτή, το ιξώδες του νερού αµελητέο και ο
σωλήνας αβαρής. Ακόµη δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=103
Kg/m3
και g=10m/s2
.
116. Κύλινδρος και ιξώδες
Η αρχικά ακίνητη διάταξη του σχήµατος
αποτελείται από δυο οµογενείς κυλινδρικές
οµοαξονικές επιφάνειες ακτινών R=20cm και
r=19,8cm και µήκους L=
1
m
2π
. Το κενό µεταξύ
των δυο κυλινδρικών επιφανειών είναι γεµάτο µε
µηχανέλαιο συντελεστού ιξώδους n=0,25N·s/m2
.
Ο εξωτερικός οµογενής κύλινδρος ακτίνας R, έχει
τυλιγµένο γύρω του αβαρές µη εκτατό σχοινί και
µπορεί να περιστρέφεται, ενώ ο εσωτερικός
κύλινδρος είναι συνεχώς ακίνητος. Κάποια χρονική στιγµή (t0=0), αρχίζουµε να
ξετυλίγουµε το σχοινί ασκώντας σταθερή δύναµη F, στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού.
Αρχικά διαπιστώνουµε ότι ο εξωτερικός κύλινδρος επιταχύνεται ενώ τη χρονική στιγµή
t1 που έχει ξετυλιχθεί σχοινί µήκους d=0,32m, ο εξωτερικός κύλινδρος αποκτά σταθερή
γωνιακή ταχύτητα ω=5 rad/s µε την οποία και συνεχίζει να περιστρέφεται. Τότε να
βρείτε:
α) την ταχύτητα του ελεύθερου άκρου του σχοινιού τη χρονική στιγµή t1.
β) Το µέτρο της σταθερής δύναµης F.
γ)Το έργο της δύναµης τριβής T που ασκεί το νευτώνειο υγρό στην εξωτερική
κυλινδρική επιφάνεια από τη χρονική στιγµή t0 µέχρι τη χρονική στιγµή t1.
δ) Το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του εξωτερικού κυλίνδρου:
K R
r
F

i) τη χρονική στιγµή που περιστρέφεται µε ω1=
ω
2
και
ii) τη χρονική στιγµή t1.
∆ίνεται η ροπή αδράνειας του εξωτερικού κυλίνδρου Ι=8·10-2
Κg·m2
και g=10m/s2
.
117. Το µπαλόνι
Το µπαλόνι του σχήµατος διατοµής Α=2·10-2
m2
είναι
γεµάτο µε αέρα πυκνότητας ρ=1,2Κg/m3
µε πίεση
Ρ=1,24 atm. Το ακροφύσιο στη βάση του µπαλονιού
έχει διατοµή σ=2·10-3
m2
. Κάποια στιγµή αφήνουµε
ελεύθερο τον αέρα να διαφύγει από το ακροφύσιο.
α) Να υπολογιστεί η αρχική ταχύτητα (t0=0) µε την
οποία διαφεύγει ο αέρας µέσα από το ακροφύσιο του
µπαλονιού και
β) Να υπολογιστεί τότε η αρχική δύναµη που προωθεί
το µπαλόνι.
∆ίνεται η ατµοσφαιρική πίεση Ρατ=105
Ν/m2
.
118. Υδραντλία
Ο ηλεκτρικός κινητήρας του
σχήµατος µάζας m=2,5Kg και
ακτίνας r=4cm στρέφεται µε
γωνιακή ταχύτητα ω1 και κινεί
υδραντλία µάζας Μ=2Κg και
ακτίνας R=10cm, η οποία
αντλεί 1m3
νερού σε ύψος
h=3m µέσα σε 1min. Αν δεν
υπάρχουν απώλειες (ιδανική
περίπτωση), τότε:
α) Να υπολογιστεί η ωφέλιµη
ισχύς της αντλίας.
β) Αν η ροπή που ασκείται από τον ιµάντα στην υδραντλία είναι 5Ν·m, τότε να
υπολογιστεί η σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω1 του κινητήρα.
γ) Πόση είναι η ροπή που ασκείται από τον ιµάντα στον ηλεκτρικό κινητήρα;
y
P,ρ
1
1
0
σ
υ
υ
υ
A
A
1
2
m
1
2
M
r
R
Υδραντλία
Ηλεκτρικός
κινητήρας

ΤΟ ∆++
337
Τη χρονική στιγµή t=0 κλείνουµε το διακόπτη της παροχής ηλεκτρικής ενέργειας από
το ηλεκτρικό δίκτυο και εξαιτίας των τριβών το σύστηµα ακινητοποιείται σε χρόνο ∆t.
Τότε να βρείτε:
δ) Τη σχέση που συνδέει τις συνολικές ροπές επιβράδυνσης στον κινητήρα και την
υδραντλία θεωρώντας ότι αυτές είναι σταθερές.
ε) Το έργο της συνολικής ροπής επιβράδυνσης µέχρι να ακινητοποιηθεί το σύστηµα.
∆ίνεται για τον ηλεκτρικό κινητήρα και την υδραντλία ότι Ι1=
1
2
mr2
και Ι2=
1
2
MR2
αντίστοιχα. Για τις πράξεις θεωρείστε τη πυκνότητα του νερού ρ=103
Κg·m3
και
g=10m/s2
.
119. Νερό και αέρας
Μέσα στο δοχείο του σχήµατος εµβαδού
εγκάρσιας διατοµής Α=164cm2
υπάρχει νερό
πυκνότητας ρ=103
Κg/m3
.
Τότε:
α) Να υπολογιστεί η πίεση στο σηµείο Γ.
β) Να υπολογιστεί η δύναµη F που ασκείται
στη βάση ∆Ε του δοχείου.
γ) Να υπολογιστούν τα mol του αέρα µέσα
στο δοχείο (ιδανικό αέριο).
∆ίνονται pατµ=105
N/m2
, h1=h3=0,5m,
h2=2,5m, θ=270
C, R=0,082 L·atm/mol·K.
120. Θ.Μ.Κ.Ε ή Bernoulli;
Το κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο του
σχήµατος έχει εµβαδό διατοµής Α=10-
3
m2
και περιέχει νερό µέχρι ύψους
H=1m. Στη βάση του δοχείου
ανοίγουµε µικρή οπή µε εµβαδό
εγκάρσιας διατοµής σ=0,125·10-4
m2
,
ενώ ταυτόχρονα ασκούµε δύναµη σε
αβαρές εφαρµοστό έµβολο και το
µετακινούµε κατακόρυφα προς τα
κάτω µε σταθερή ταχύτητα υ1=0,1m/s.
Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης F ώστε να εξέλθει όλο το νερό από το δοχείο.
h
h
h
1
3
2
ΒΑ
Ε
Γ
H
σ
x
1 υ
1
υ2
2

∆ίνονται για τις πράξεις ρν=1000 Kg/m3
και g=10 m/s2
.
121. ∆οχεία και πιέσεις
1. Το δοχείο του σχήµατος,
συγκρατείται σε οριζόντια θέση, ενώ
περιέχει νερό που θεωρείται ιδανικό
και ασυµπίεστο υγρό, πυκνότητας
ρ=1.000kg/m3
. Το δοχείο κλείνεται δε
µε έµβολο βάρους w=4Ν, στο οποίο
ασκούµε, µε το άλλο µας χέρι, µια
οριζόντια δύναµη, όπως στο σχήµα,
µέτρου F=20Ν. Η εγκάρσια διατοµή
του δοχείου είναι Α=8cm2
και το
µήκος της στήλης του νερού είναι h=20cm.
Να υπολογιστεί η πίεση στο σηµείο Β του υγρού, που βρίσκεται σε επαφή µε το
έµβολο, καθώς και η πίεση στο σηµείο Γ.
∆ίνεται Ρατ=105
Ν/m2
και g=10m/s2
.
122. «Ανάποδος» Torricelli
Το κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο του σχήµατος έχει
εµβαδό διατοµής Α=8cm2
και περιέχει νερό µέχρι ύψους
H=0,2m που το θεωρούµε σταθερό. Στην κάτω βάση του
δοχείου υπάρχει εφαρµοστό έµβολο µάζας m=400g.
Ασκούµε στο έµβολο κατακόρυφη δύναµη µέτρου F=20N
µε φορά προς τα πάνω όπως φαίνεται στο σχήµα.
Σε απόσταση h=12,2 cm από την πάνω βάση του δοχείου
ανοίγουµε µια οπή εµβαδού σ<<Α.
Να υπολογιστεί η ταχύτητα εκροής του νερού.
∆ίνονται για τις πράξεις ρν=1000 Kg/m3
, Pατµ=105
Pa και
g=10 m/s2
.
Γ
O
Τοίχος
h
F
Β
H
Τοίχος
F
σ
υ2
2
1
υ1
h

ΤΟ ∆++
339
123. Μπερνουλιές
Ένας οριζόντιος σωλήνας διατοµής Α,
διακλαδίζεται σε δυο άλλους σωλήνες
µικρότερης διατοµής Α1 και Α2 µε
Α1≠Α2.
α) Να συγκρίνετε τις ταχύτητες υ1 και
υ2 αν γνωρίζουµε ότι στα άκρα των
µικρότερων σωλήνων η πίεση είναι η
ατµοσφαιρική.
β) Αν ισχύει Α=2(Α1+Α2) και ότι
υ=2m/s, Ρατµ=105
Ν/m2
και
ρν=103
Kg/m3
να υπολογίσετε την ΡΚ.
124. Ταλάντωση και ιξώδες
Σώµα µάζας m=2Kg και εµβαδού βάσης S=10-2
m2
είναι δεµένο στο ελεύθερο άκρο
οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=50Ν/m και αρχικά ισορροπεί σε οριζόντιο
δάπεδο. Ανάµεσα στο σώµα και στο δάπεδο υπάρχει στρώµα λιπαντικού πάχους
L=3mm, το οποίο συµπεριφέρεται ως νευτώνειο ρευστό. Εκτρέπουµε το σώµα από τη
θέση ισορροπίας του µέγιστα κατά Α0=20cm και το αφήνουµε ελεύθερο. Στο σώµα σε
όλη τη διάρκεια της κίνησης εξασκείται η δύναµη της εσωτερικής τριβής (ιξώδες)
ανάµεσα σε αυτό και το λιπαντικό. Αν ο χρόνος για να γίνει το πλάτος της ταλάντωσης
Α= 0A
2
είναι ∆t=ln16 s, τότε:
A
A υ
υ
1 1
K
A2
2υ

α) Να γράψετε τη σχέση που δείχνει τη µεταβολή του πλάτους της ταλάντωσης σε
συνάρτηση µε το χρόνο.
β) Να υπολογιστεί ο συντελεστής ιξώδους του λιπαντικού.
γ) Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης ιξώδους στον παραπάνω χρόνο.
δ) Αν κάποια χρονική στιγµή (t=π/15s) η αποµάκρυνση του σώµατος είναι x=9,5cm και
η ταχύτητά του είναι υ=-0,8m/s, τότε να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώµατος
εκείνη τη στιγµή καθώς και το ρυθµό «απώλειας» ενέργειας. Πόση είναι τότε η
«απώλεια» ενέργειας; Να υπολογιστούν επίσης οι ρυθµοί
∆K
∆t
, ταλ∆U
∆t
.
Μια επόµενη χρονική στιγµή που τη θεωρούµε ως αρχή των χρόνων (t0=0) , που το
σώµα περνάει από τη θέση ισορροπίας (x=0) κινούµενο κατά τη θετική φορά (υ>0),
εξασκούµε κατάλληλη εξωτερική δύναµη και το σώµα πραγµατοποιεί πλέον
εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση µε πλάτος ίσο µε το Α0. Αν η µέγιστη ταχύτητα
ταλάντωσης του σώµατος είναι υmax=1m/s τότε:
ε) Να γράψετε την εξίσωση της εξωτερικής δύναµης Fεξ σε συνάρτηση µε το χρόνο,
καθώς και τη χρονική εξίσωση της συνισταµένης δύναµης ΣF.
στ) Αν η εξωτερική συχνότητα του διεγέρτη γίνει ω=4 rad/s, οπότε το πλάτος της
εξαναγκασµένης αρµονικής ταλάντωσης γίνεται Α΄=5,4cm για σταθερή µέγιστη
εξωτερική δύναµη F0, ποιες γίνονται τότε οι εξισώσεις Fεξ(t) και ΣF(t); Θεωρείστε για
την εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση αρχική φάση µηδέν.
m
K
Θ.Φ.Μ Τ.Θ
Fαπ
Fεπ

ΤΟ ∆++
341
125. Σε πόσο βάθος θα σταµατήσει;
Το δοχείο του διπλανού σχήµατος περιέχει υδράργυρο πυκνότητας ρυδρ.=13,6·103
Κg/m3
σε ύψος h2 και νερό πυκνότητας
ρνερού =103
Κg/m3
σε ύψος h1=18cm. Από
ύψος h=12 cm πάνω από την επιφάνεια
του νερού αφήνεται να πέσει σφαίρα
πυκνότητας ρ=3,6·103
Κg/m3
.
Τότε:
α) Να βρεθεί σε πόσο βάθος d µέσα στον
υδράργυρο θα κατέβει η σφαίρα;
β) Να υπολογιστεί η µέγιστη ταχύτητα
της σφαίρας κατά τη διάρκεια της
κίνησής της.
γ) Να βρεθεί το είδος της κίνησης της
σφαίρας.
Οι τριβές παραλείπονται και g=10m/s2
. Ακόµη θεωρείστε τους χρόνους ώστε µόλις να
µπει η σφαίρα στο νερό και στον υδράργυρο αµελητέους!
h
h
h
d
1
2
ΒΑ
Ε

Mixail reysta fluids

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Mixail reysta fluids

Similar to Mixail reysta fluids (13)

Mixail reysta fluids