Цифровая обработка изображений

1. Цифровая обработка
сигналов и изображений

2. Дискретное преобразование Фурье и его
свойства

3. Ортогональность сигналов
Множество непрерывных функций действительного переменного
{Un(t)} = {U0(t), U1(t), …} называется ортогональным на интервале
[t0; t0+T], если










.
,
0
,
,
)
(
)
(
0
0
n
m
n
m
c
dt
t
U
t
U
T
t
t
n
m
При c = 1 множество {Un(t)} называется ортонормированным.
Для вычисления сигнала через коэффициенты разложения используется:
.
)
(
)
(
0




n
n
n t
U
a
t
x

4. Коэффициенты разложения an из указанного соотношения можно определить, если
умножить обе его части на Un(t) и проинтегрировать в интервале [t0; t0+T]:
 

 



T
t
t
T
t
t
m
n
n
n
m dt
t
U
t
U
a
t
U
t
x
0
0
0
0
)
(
)
(
)
(
)
(
0
В силу условий ортогональности получим



T
t
t
n
n dt
t
U
t
x
C
a
0
0
)
(
)
(
1
Ортогональность сигналов

5. Для доказательства теоремы Парсеваля возведем обе части соотношения в квадрат:
.
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0 0
2
2
2
 








n p q
q
p
q
p
n
n t
U
t
U
a
a
a
t
U
t
x
Проинтегрируем обе части:
.
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
0 0 0
2
2
2
  










n p q T
q
p
q
p
T
n
n
T
dt
t
U
t
U
a
a
dt
t
U
T
a
t
x
T
По условию ортогональности:
.
)
(
1
0
2
2





n
n
T
a
T
C
dt
t
x
T
Теорема Парсеваля

6. Впервые в 1807 году французский математик и физик Жан Батист Жозеф
Фурье показал, что любую произвольную функцию можно представить в
виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:
где (рад/с) – основная угловая частота, которая связана с периодом T
функции соотношением . Частоты
называют гармониками, так как они кратны основной частоте.
В данном случае речь идет о системе ортогональных функций вида
)
(t
x









1
0
1
0
0 sin
cos
)
(
n
n
n
n t
n
b
t
n
a
a
t
x 

0

0
2 


T
0

n
 
t
n
t
n 0
0 sin
,
cos
,
1 



T
dt
t
x
T
a ;
)
(
1
0 

T
o
n tdt
n
t
x
T
a ;
cos
)
(
2
 

T
o
n tdt
n
t
x
T
b 
sin
)
(
2
Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье

7. Коэффициенты {a0, an, bn} можно вычислить с учетом ортогональности множества
функций {cos n0t, sin n0t} на периоде T:
(1)






 ;
,
0
,
,
2
cos
cos 0
0
n
m
n
m
T
tdt
m
t
n
T


;
,
,
0
sin
cos 0
0 n
m
tdt
m
t
n
T


 

(3)






 .
,
0
,
,
2
sin
sin 0
0
n
m
n
m
T
tdt
m
t
n
T


(2)
С учетом этих соотношений получаем:


T
dt
t
x
T
a ;
)
(
1
0


T
n tdt
n
t
x
T
a ;
cos
)
(
2
0

.
sin
)
(
2
0


T
n tdt
n
t
x
T
b 
(4)
(6)
(5)
Ряд Фурье

8. =
3 sin(x) A
+ 1 sin(3x) B A+B
+ 0.8 sin(5x) C
A+B+C
+ 0.4 sin(7x) D
A+B+C+D
Сумма синусов и косинусов
sin(x) A

9. Семейство преобразований Фурье
9
t t
t t
Отсчет 0
Отсчет N-1
N=8
Cигнал непрерывный и апериодический Cигнал непрерывный и периодический
Cигнал дискретный и апериодический Cигнал дискретный и периодический

10. Прямое и обратное непрерывное
преобразование Фурье
x(t) – исходная функция времени
Прямое преобразование Фурье
(отображение исходной функции времени в спектральную область)
Обратное преобразование Фурье
(восстановление функции по её спектру)




0
)
(
)
( dt
e
t
x
j
x t
j




0
)
(
2
1
)
( 



d
e
j
x
t
x t
j

11. Основная идея дискретного преобразования Фурье




1
0
)
(
1
)
(
N
m
km
x W
m
X
N
k
C





1
0
)
(
)
(
N
k
km
x W
k
C
m
X
1
,
0 
 N
k N
i
e
W /
2


1


i
Обозначения:
X(m) – значение сигнала в момент времени n;
– значение спектра сигнала в точке 2πk;
N – количество отсчетов;
)
(k
Cx

12. Таким образом, если {X(m)} означает последовательность X(m) конечных
действительных или комплексных чисел, где m = 0, ..., N-1, то дискретное
преобразование Фурье этой последовательности определяется как
,
)
(
1
)
(
1
0




N
m
km
x W
m
X
N
k
C где k = 0, …, N-1, W=e-i2π/N
.
)
(
)
(
1
0





N
k
km
x W
k
C
m
X
Функции W km являются N-периодическими, т.е. Wkm=W(k+N)m=Wk(m+N). Следовательно,
последовательности {Cx(k)}, {X(m)} также являются N-периодическими, т.е.
).
(
)
(
);
(
)
(
k
SN
C
k
C
m
SN
X
m
X
x
x 





Дискретное преобразование Фурье

13. Основные свойства ДПФ
 Теорема линейности
 Теорема комплексной сопряженности
 Теорема сдвига
 Теорема свертки
 Теорема корреляции

14. Основные свойства ДПФ
 Теорема линейности: ДПФ является линейным, т.е. если
то
 Теорема комплексной сопряженности: если
- такая последовательность
действительных чисел, что N/2 – целое число и , то
 Теорема сдвига: если и , ,
то
)
(
)
( k
C
m
X x

)
(
)
( k
C
m
Y y

)
(
)
(
)
( m
bY
m
aX
m
Z 

)
(
)
(
)
( k
bC
k
aC
k
C y
x
z 

   
)
1
(
),...,
1
(
),
0
(
)
( 
 N
X
X
X
m
X
)
(
)
( k
C
m
X x

2
/
,
0
),
2
(
)
2
( N
l
l
N
C
l
N
C x
x 




)
(
)
( k
C
m
Z z
 )
(
)
( h
m
X
m
Z 
 1
,
0 
 N
h
)
(
)
( k
C
W
k
C x
kh
z

 N
i
e
W /
2



15. Если и - последовательность действительных чисел,
при которых , , а свертка этих
последовательностей определяются как
то
Суть:
свертка временных последовательностей эквивалентна
умножению их коэффициентов ДПФ
Основные свойства ДПФ. Теорема свертки
 
)
(m
X  
)
(m
Y
)
(
)
( k
C
m
X x

)
(
)
( k
C
m
Y y

1
,...,
1
,
0
,
)
(
)
(
1
)
(
1
0



 


N
m
h
m
Y
h
X
N
m
Z
N
h
)
(
)
(
)
( k
C
k
C
k
C y
x
z 

16. Если и - последовательность действительных
чисел, при которых , , а корреляция
этих последовательностей определяются как
то
Основные свойства ДПФ. Теорема корреляции
 
)
(m
X  
)
(m
Y
)
(
)
( k
C
m
X x
 )
(
)
( k
C
m
Y y

1
,...,
1
,
0
,
)
(
)
(
1
)
(
1
0



 



N
m
h
m
Y
h
X
N
m
N
h
Z
)
(
)
(
)
( k
C
k
C
k
C y
x
Z



17. Теорема Парсеваля
Под теоремой Парсеваля обычно понимают унитарность преобразования Фурье. То
есть сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата
результата преобразования
где F{*} обозначает непрерывное преобразование Фурье, которое связывает временной
или пространственный сигнал x(t) с его представлением в частотной области X(f).
В дискретном виде теорему записывают следующим образом:
где X(k) представляет собой дискретное преобразование Фурье сигнала x(i), имеющего
N отсчетов.
,
)}
(
{
)
(
2
2








 dt
t
x
F
dt
t
x
,
)
(
1
)
(
1
0
2
1
0
2







N
k
N
i
k
X
N
i
x