1. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ëåêöèÿ 8
Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ìèõàèë Ëåîíèäîâè÷ Áóðÿêîâ
2012 ãîä

2. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Îñíîâíûå ñòðóêòóðû
ke
kd
êëþ÷ øèôðîâàíèÿ (â Ek )
êëþ÷ ðàñøèôðîâàíèÿ (â Dk )
Åñòåñòâåííî, ÷òî Dk (Ek (M)) = M

3. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì

4. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Àññèìåòðè÷íûå ñòðóêòóðû
Ïåðâîå ïóáëè÷íîå óïîìèíàíèå â ñòàòüå Ó. Äèôôè, Ì.
Õýëëìàíà ¾Íîâûå íàïðàâëåíèÿ â êðèïòîãðàôè¿, 1976

5. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Àññèìåòðè÷íûå ñòðóêòóðû
Ïåðâîå ïóáëè÷íîå óïîìèíàíèå â ñòàòüå Ó. Äèôôè, Ì.
Õýëëìàíà ¾Íîâûå íàïðàâëåíèÿ â êðèïòîãðàôè¿, 1976
Ïðè èñïîëüçîâàíèè â øèôðîâàíèè áëî÷íûé ïîäõîä èç-çà
ìàëîé ñêîðîñòè → îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ëèøü øèôðîâàíèå
âðåìåííîãî ñåêðåòíîãî êëþ÷à äëÿ ñèñòåì øèôðîâàíèÿ ñ
ñåêðåòíûì êëþ÷îì.

6. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
RSA
n =p·q
p, q
ïðîñòûå

7. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
RSA
n =p·q
p, q
ïðîñòûå
e · d = 1 (mod ϕ(n))
ϕ(n)
ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)
ôóíêöèÿ Ýéëåðà

8. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
RSA
n =p·q
p, q
ïðîñòûå
e · d = 1 (mod ϕ(n))
ϕ(n)
ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)
ôóíêöèÿ Ýéëåðà
ke = (n, e)
kd = (p, q, d)

9. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
RSA
n =p·q
p, q
ïðîñòûå
e · d = 1 (mod ϕ(n))
ϕ(n)
ϕ(pq) = (p − 1)(q − 1)
ôóíêöèÿ Ýéëåðà
ke = (n, e)
kd = (p, q, d)
ñîîáùåíèå (÷èñëî â ïîëóèíòåðâàëå 0 ≤ M n)
Øèôðîâàíèå:
M
Ðàñøèôðîâàíèå:
C = Ek (M) = M d
mod n
M = Dk (M) = C d
mod n

10. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
RSA

11. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Âîïðîñû

12. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Âîïðîñû
1. ãåíåðàöèÿ p è q;

13. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Âîïðîñû
1. ãåíåðàöèÿ p è q;
2. ìîäóëÿðíàÿ àðèôìåòèêà (ÊÒÎ);

14. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Âîïðîñû
1. ãåíåðàöèÿ p è q;
2. ìîäóëÿðíàÿ àðèôìåòèêà (ÊÒÎ);
3. ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè.

15. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ôàêòû
Ïðè âîçìîæíîñòè áûñòðîãî ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè
ñèñòåìà íåñòîéêàÿ (íåèçâåñòíî, âåðíî ëè îáðàòíîå).
Ðåêîðä ðàçëîæåíèÿ: 2010 ãîä 786-áèò (â ðàìêàõ
êîíêóðñà RSA factoring challenge)
Èñïîëüçóåìûé ðàçìåð êëþ÷åé 1024 − 4096 áèò.

16. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ïîñòêâàíòîâàÿ êðèïòîãðàôèÿ
1994 ãîä áûñòðûé àëãîðèòì ôàêòîðèçàöèè Øîðà äëÿ ìîäåëè
êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé.

17. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñõåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áîëüøîãî ïîðÿäêà
ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò G
G ,g ïàðàìåòðû ñèñòåìû (îáùåèçâåñòíû)
Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé:
1. x ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1
2. h = gx
h îòêðûòûé êëþ÷
x ñåêðåòíûé êëþ÷
G
qg

18. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñõåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
Çàøèôðîâàíèå:
1. y ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1 → C1 = g y
2. s = hy
3. C2 = s · M
M ñîîáùåíèå (ýëåìåíò ãðóïïû G )
Øèôðîâàííîå ñîîáùåíèå: (C1, C2) = (g y , M(g x )y )

19. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñõåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
Ðàñøèôðîâàíèå:
1. s = C1x
2. C2s −1 = Mhy (g yx )−1 = Mg xy g −xy = M

20. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñõåìà Ýëü-Ãàìàëÿ
Îñîáåííîñòè:
1. âåðîÿòíîñòíîå øèôðîâàíèå (y âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíî);
2. ðàçìåð øèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ â 2 ðàçà áîëüøå ðàçìåðà
îòêðûòîãî òåêñòà.

21. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñèñòåìà McEliece
Îñîáåííîñòè:
1. Îñíîâàíà íà êîäîâûõ êîíñòðóêöèÿõ, íåòðèâèàëüíîå
îïèñàíèå;
2. Êëþ÷ ∼ 219 áèò, äëèíà çàøèôðîâàííîãî ñîîáùåíèÿ ∼ 1.6
ðàçà áîëüøå èñõîäíîãî;
3. ¾Óñòîé÷èâ¿ â êâàíòîâîé ìîäåëè.

22. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà çàäà÷å ¾óïàêîâêè ðþêçàêà¿
Ãåíåðàöèÿ êëþ÷åé: w = (w1, w2, . . . , wn ) ñóïåðâîçðàñòàþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
q
n
i=1 wi
r : gcd(q, r ) = 1
(w , q, r )
bi = r · wi mod wi
b = (b1 , b2 , . . . , bn )
ñåêðåòíûé êëþ÷
îòêðûòûé êëþ÷

23. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà çàäà÷å ¾óïàêîâêè ðþêçàêà¿
Çàøèôðîâàíèå:
1. a = (a1, a2, . . . , an ) ñîîáùåíèå
2. c = n ai bi øèôðîâàííîå ñîîáùåíèå
i=1

24. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Ñèñòåìà, îñíîâàííàÿ íà çàäà÷å ¾óïàêîâêè ðþêçàêà¿
Ðàñøèôðîâàíèå:
1. c = n −1 =
cr
=
n
−1 =
i=1 ai bi r
n
−1 =
i=1 ai rwi r
i=1 ai wi
n
i=1 ai wi
(mod q)
2. c =
3. Äàëåå ïî ñâîéñòâàì ñóïåðâîçðàñòàþùåé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

25. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
Àóòåíòèôèêàöèÿ èñòî÷íèêà;
Öåëîñòíîñòü ñîîáùåíèÿ;
Íåâîçìîæíîñòü îòêàçà îò ôàêòà ïîäïèñàíèÿ.

26. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
¾Ôèçè÷åñêàÿ ïîäïèñü¿
Íå çàâèñèò îò òåêñòà.
Íåîòäåëèìà îò íîñèòåëÿ.

27. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
¾Ôèçè÷åñêàÿ ïîäïèñü¿
Íå çàâèñèò îò òåêñòà.
Íåîòäåëèìà îò íîñèòåëÿ.
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
Çàâèñèò îò òåêñòà.
Îòäåëèìà îò íîñèòåëÿ (âåðíà äëÿ ëþáîé êîïèè).
Òðåáóåò äîïîëíèòåëüíûõ ìåõàíèçìîâ èñïîëüçîâàíèÿ (PKI).

28. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
Óãðîçû

29. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
Óãðîçû
ïîääåëêà ïîäïèñè (êîíêðåòíîãî ñîîáùåíèÿ)

30. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
Óãðîçû
ïîääåëêà ïîäïèñè (êîíêðåòíîãî ñîîáùåíèÿ)
ñîçäàíèå ïîäïèñàííîãî ñîîáùåíèÿ (õîòÿ áû êàêîãî-íèáóäü)

31. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Öèôðîâàÿ ïîäïèñü
Óãðîçû
ïîääåëêà ïîäïèñè (êîíêðåòíîãî ñîîáùåíèÿ)
ñîçäàíèå ïîäïèñàííîãî ñîîáùåíèÿ (õîòÿ áû êàêîãî-íèáóäü)
ïîäìåíà ñîîáùåíèÿ (äâà ñîîáùåíèÿ ñ îäèíàêîâîé
ïîäïèñüþ)

32. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ íà îñíîâå øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
,
E k Dk

33. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ íà îñíîâå øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
,
E k Dk
Dk (M)
îáùåäîñòóïíî

34. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ íà îñíîâå øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
,
E k Dk
îáùåäîñòóïíî
Òîãäà ëþáîé ñìîæåò ¾ðàñøèôðîâàòü¿ Dk (M) è ïîëó÷èòü
M (ñèñòåìà ñ âîññòàíîâëåíèåì òåêñòà).
Çäåñü ëþáîé ìîæåò ñîçäàòü ïîäïèñàííîå ñîîáùåíèå:
Ek (S) = M (M âîîáùå ãîâîðÿ, áåëèáåðäà)
Dk (M)

35. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ íà îñíîâå øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
,
E k Dk
îáùåäîñòóïíî
Òîãäà ëþáîé ñìîæåò ¾ðàñøèôðîâàòü¿ Dk (M) è ïîëó÷èòü
M (ñèñòåìà ñ âîññòàíîâëåíèåì òåêñòà).
Çäåñü ëþáîé ìîæåò ñîçäàòü ïîäïèñàííîå ñîîáùåíèå:
Ek (S) = M (M âîîáùå ãîâîðÿ, áåëèáåðäà)
Îáû÷íî ïîäïèñûâàþò íå ñîîáùåíèå, à õýø ñîîáùåíèÿ h(M)
(ñèñòåìà ñ äîáàâëåíèåì).
Äîïîëíèòåëüíûé ïëþñ: ñêîðîñòü.
Dk (M)

36. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ ÔèàòàØàìèðà
|h(M)| = m h
õýø-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèåì äëèíû m.

37. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ ÔèàòàØàìèðà
õýø-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèåì äëèíû m.
p ,q ïðîñòûå, n = p · q
n ïàðàìåòð ñèñòåìû (îáùåèçâåñòåí)
|h(M)| = m h

38. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ ÔèàòàØàìèðà
õýø-ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèåì äëèíû m.
p ,q ïðîñòûå, n = p · q
n ïàðàìåòð ñèñòåìû (îáùåèçâåñòåí)
ñëó÷àéíûå a1, . . . , am ∈ Zn∗ - ñåêðåòíûé êëþ÷
|h(M)| = m h
bi = (ai−1 )2
b1 , ...bm
îòêðûòûé êëþ÷
mod n

39. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ ÔèàòàØàìèðà
Ïðîöåäóðà ïîäïèñè:
1. r ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 1 äî n − 1
2. u = r 2 (mod n)
3. h(M, u) = s = s1, . . . , sm
4. t = r m ais (mod n)
i=1
(s, t) ïîäïèñü
i

40. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ ÔèàòàØàìèðà
Ïðîâåðêà ïîäïèñè:
1. w = t 2 m bis mod m
i=1
2. s = h(M, w )
Åñëè s = s , òî ïîäïèñü âåðíà.
Îñíîâàíà íà ïðîáëåìå âçÿòèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ (àíàëîã
ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ Ðàáèíà)
i

41. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ Ýëü-Ãàìàëÿ
G Zq - ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áîëüøîãî
ïîðÿäêà q
g ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò Zq
G ,g ïàðàìåòðû ñèñòåìû (îáùåèçâåñòíû)

42. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ Ýëü-Ãàìàëÿ
G Zq - ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà áîëüøîãî
ïîðÿäêà q
g ïîðîæäàþùèé ýëåìåíò Zq
G ,g ïàðàìåòðû ñèñòåìû (îáùåèçâåñòíû)
x ñëó÷àéíîå ÷èñëî îò 0 äî q − 1, ñåêðåòíûé êëþ÷
h = g x îòêðûòûé êëþ÷
M ñîîáùåíèå (÷èñëî îò 0 äî q − 1)

43. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ Ýëü-Ãàìàëÿ
Ïðîöåäóðà ïîäïèñè:
1. y ñëó÷àéíîå ÷èñëî
2. c = g y
3. d = (M − xc)y −1
(c, d) ïîäïèñü

44. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ Ýëü-Ãàìàëÿ
Ïðîöåäóðà ïîäïèñè:
1. y ñëó÷àéíîå ÷èñëî
2. c = g y
3. d = (M − xc)y −1
(c, d) ïîäïèñü
Ïðîâåðêà ïîäïèñè:
åñëè hc c d = g M , òî ïîäïèñü âåðíà

45. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
ÝÖÏ Ýëü-Ãàìàëÿ
Ïðîöåäóðà ïîäïèñè:
1. y ñëó÷àéíîå ÷èñëî
2. c = g y
3. d = (M − xc)y −1
(c, d) ïîäïèñü
Ïðîâåðêà ïîäïèñè:
åñëè hc c d = g M , òî ïîäïèñü âåðíà
y
hc c d = (g x )g (g y )(M−xc)y
y
−1
y
g xg +yMy −xg = gM
−1
= g xg
y +yMy −1 −yxcy − 1
Èñïîëüçóåòñÿ â ñòàíäàðòàõ öèôðîâîé ïîäïèñè.
=

46. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Îäíîðàçîâûå öèôðîâûå ïîäïèñè.
Ñõåìà ÄèôôèËýìïîðòà
M = m1 m2 , . . . , mn (mi ∈ {0, 1})
K = [(k10 , k11 ), . . . , (kn0 , kn1 )] kij
, êëþ÷è ñèñòåìû
øèôðîâàíèÿ ñ ñåêðåòíûì êëþ÷îì
S = [(s10 , s11 ), . . . , (sn0 , sn1 )], sij ñëó÷àéíûå
Rij = Ekij (Sij )
(S, R)
îòêðûòûé êëþ÷

47. Ëåêöèÿ 8 Ñèñòåìû øèôðîâàíèÿ ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Îäíîðàçîâûå öèôðîâûå ïîäïèñè.
Ñõåìà ÄèôôèËýìïîðòà
M = m1 m2 , . . . , mn (mi ∈ {0, 1})
K = [(k10 , k11 ), . . . , (kn0 , kn1 )] kij
, êëþ÷è ñèñòåìû
øèôðîâàíèÿ ñ ñåêðåòíûì êëþ÷îì
S = [(s10 , s11 ), . . . , (sn0 , sn1 )], sij ñëó÷àéíûå
Rij = Ekij (Sij )
(S, R)
îòêðûòûé êëþ÷
Ïîäïèñü M : (k1,m , . . . , kn,m )
1
n