Il rischio è dietro l'angolo

Sommario
Il problema
I dati e la codifica
L’ACM
Rappresentazioni grafiche
Il rischio è dietro l’angolo
Applicazione dell’ACM al diabete mellito di tipo 2
Barbara Amendola Marco D’Alessandro Ida Riccio
Università degli Studi di Napoli Federico II
Settembre 2017
Barbara Amendola, Marco D’Alessandro, Ida Riccio Il rischio è dietro l’angolo

Sommario
Il problema
L’ACM
1 Il problema
2 I dati e la codiﬁca
3 L’ACM
4 Rappresentazioni graﬁche

Sommario
Il problema
L’ACM
Prime considerazioni
Le variabili qualitative
Non esistono procedure ben deﬁnite per la misurazione di
grandezze non tangibili come il genere, lo stato civile, il
comportamento, la soddisfazione, la percezione della qualit`a, ecc..
[Finkelstein, 1982]

Sommario
Il problema
L’ACM
Il diabete mellito di tipo 2
Caratteristiche
Diabete dell’adulto
É una malattia cronica metabolica
É la forma più comune di diabete
Diffusa in tutto il mondo

Sommario
Il problema
L’ACM
I fattori di rischio
Figura: I principali fattori di rischio nel diabete

Sommario
Il problema
L’ACM
Familiarit`a
Il diabete presenta una forte aggregazione familiare, una
componente genetica ereditaria multifattoriale;
Le cause alla base dell’insorgenza della malattia vanno
generalmente ricercate anche in fattori ereditari.

Sommario
Il problema
L’ACM
Carenza di esercizio
Le due parole-chiave maggiormente collegate a questo fattore
sono:
sedentariet`a1;
esercizio ﬁsico strutturato2.
1
http : //www.diabetologiajournal.org
2
http : //www.mypersonaltrainer.it/sport/diabete

Sommario
Il problema
L’ACM
Dieta non salutare
“...la dieta corretta per il diabetico `e quella che meglio si accosta
alle necessit`a (in continua evoluzione) del paziente terapizzato3”
3
http : //www.mypersonaltrainer.it/alimentazione/verduradiabete

Sommario
Il problema
L’ACM
Circonferenza vita
Il peso eccessivo, soprattutto se concentrato sull’addome, `e
riconosciuto come uno dei maggiori fattori di rischio per il diabete
di tipo 2.

Sommario
Il problema
L’ACM
Glicemia
Il diabete mellito di tipo 2 `e caratterizzato dall’aumento della
concentrazione di glucosio (la principale fonte di energia per i
muscoli e gli organi) nel sangue.

Sommario
Il problema
L’ACM
Pressione alta
L’ipertensione arteriosa non curata causa danni ad organi quali
cervello, cuore e reni, ai diabetici ed ai non diabetici.

Sommario
Il problema
L’ACM
Gli obiettivi
Cosa ci proponiamo
1 studiare simultaneamente i fattori di rischio proposti,
sintetizzandone l’azione sinergica attraverso un numero
ridotto di nuove variabili;
2 rispondere ai seguenti interrogativi di ricerca:
sono più a rischio i maschi o le femmine?
c’è rischio anche per le persone giovani?
quanto influenza avere un caso di diabete in famiglia?

Sommario
Il problema
L’ACM
I dati
Il questionario
n=400 individui;
domande in forma chiusa;
p=8 variabili categoriche;
campionamento probabilistico;
non ci sono risposte mancanti

Sommario
Il problema
L’ACM
Il questionario
Suddivisione
Il questionario è diviso in 3 parti:
caratteristiche socio-demografiche
età;
genere;
presenza di casi in famiglia.
caratteristiche comportamentali
frutta e verdura;
esercizio fisico regolare;
controllo della pressione;
controllo della glicemia
scopo della ricerca
misura della circonferenza vita

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
La matrice dei dati
Figura: La matrice dei dati

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
Sulla matrice dei dati
Dal campione risulta che:
48.75% femmine, 51.25% maschi;
49.75% non pratica esercizio fisico regolare, 50.25% pratica;
44.5% di età minore di 45 anni, 37.5% di età compresa tra i
54 ed i 64 anni.

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
Scelta delle variabili e degli individui
É importante ricordare che le variabili coinvolte nella nostra analisi
possono assumere due differenti ruoli “strategici”:
variabili attive:
Eserfis;
Frutta;
Glicemia;
Pressione;
Circvita
variabili supplementari:
Genere;
Età;
Famiglia

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
La matrice logico-disgiuntiva completa
Il tipo di codifica è:
disgiuntivo perchè le diverse modalità di ciascuna variabile si
escludono a vicenda;
completo perchè in ogni cella viene attribuito un valore
uguale a 0 (se l’unità non presenta quella modalità) o 1 (se
l’unità presenta quella modalità).
Attenzione: questi 0 e 1, però, non devono essere trattati come
numeri, ma come semplici indicatori.

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
La matrice logico-disgiuntiva completa
Figura: La matrice logico-disgiuntiva completa

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
I proﬁli riga
I marginali di riga sono uguali per tutti gli individui a 0.0025:
Figura: Marginali di riga

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
I profili colonna
La modalità Pressione-No ha il marginale di colonna più alto.
La modalità Uomini (più di 102) Donne (più di 88) ha il marginale
di colonna più basso.
Figura: Marginali di colonna

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
La matrice di Burt
É nota anche come matrice delle corrispondenze multiple perchè
vengono considerati tutti i possibili incroci tra le coppie di
modalità delle variabili:
è simmetrica;
è costituita da p2 blocchi;
i blocchi diagonali rappresentano sottomatrici diagonali di
ordine sj ;
i blocchi non diagonali rappresentano le tabelle di contingenza
relative alle modalità delle variabili.

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
La matrice di Burt
Figura: La matrice di Burt

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
Sulla matrice di Burt
La coppia di modalità che si presenta di più è Frutta-Tutti i giorni
e Pressione-No (215 persone in comune).
Le coppie di modalità che, invece, si presentano di meno sono
Uomini (meno di 94) Donne (meno di 80) e Pressione-Si (14
persone in comune) ed anche Frutta-Non tutti i giorni e
Pressione-Si (6 persone in comune).

Sommario
Il problema
L’ACM
Le matrici
La matrice diagonale
Figura: La matrice diagonale

Sommario
Il problema
L’ACM
Introduzione
Caratteristiche del metodo
L’applicazione più frequente dell’Analisi delle Corrispondenze
Multiple (ACM) riguarda l’analisi delle risposte ottenute in una
indagine effettuata tramite un sondaggio con questionario chiuso,
in cui le modalità di risposta alle singole domande sono già
predisposte e mutuamente esclusive: l’intervistato deve limitarsi a
indicarne una.

Sommario
Il problema
L’ACM
Introduzione
Definita la matrice di Burt, l’ACM può essere intesa come un caso
particolare dell’ACP. Analogamente all’ACP, la ricerca del
sottospazio ottimale avviene ricercando i fattori latenti che
massimizzano l’inerzia (la variabilità) della nube dei punti proiettati
su di essi. L’ACM si caratterizza rispetto all’ACP per i seguenti
elementi:
la matrice da cui estrarre gli autovalori e gli autovettori è
costituita dalla matrice di Burt;
la distanza tra due punti nello spazio è misurata attraverso
la metrica del χ2 (Chi-Quadro).

Sommario
Il problema
L’ACM
Introduzione
Il metodo conviene alla costruzione una serie di variabili
indipendenti dette “variabili latenti” (o fattori), che sono
combinazione lineare delle variabili originali;
Lo scopo dell’Analisi delle corrispondenze multiple è quello di
rendere evidenti le relazioni tra modalità, tra individui e tra
individui e modalità, proiettando i loro profili in sottospazi di
ridotta dimensionalità.

Sommario
Il problema
L’ACM
Operativamente
Autovalori ed autovettori
La matrice B di Burt e la matrice Z avranno gli stessi
autovettori uα mentre gli autovalori µα della matrice B
saranno uguali al quadrato dei corrispondenti autovalori λα di
Z:
µα = (λα)2
(1)
Ricordando che vale la relazione ZT Z = B, gli autovalori non
vengono calcolati direttamente sulla matrice B, ma dunque
sulla matrice D−1B, quadrata di ordine 11
(diagonalizzazione della matrice di Burt).

Sommario
Il problema
L’ACM
Operativamente
Autovalori ed autovettori
Gli autovalori ricavati dalla matrice B costruita in precedenza sono:
eigenvalue
Dim.1 0.13493940
Dim.2 0.07243176
Dim.3 0.02539162
Dim.4 0.02084579
Dim.5 0.02029201
Dim.6 0.01377086

Sommario
Il problema
L’ACM
Variabilità
Tassi di inerzia
Nell’analisi potranno essere determinati al massimo s-p autovalori
non nulli e la percentuale di variabilità spiegata da ciascun fattore
(tasso di inerzia) sarà rappresentata dalla quantità:
T.I. =
λα
s−p
J=1 λα
100 (2)
A ciascun fattore, dunque, è associato un autovalore λ che
rappresenta la quota d’inerzia (variabilità nell’ACP) spiegata da
quel fattore.

Sommario
Il problema
L’ACM
Variabilit`a
Tassi di inerzia
I fattori estratti vengono considerati a partire da quello con
l’autovalore pi`u elevato, che spiega la quota maggiore dell’inerzia
totale:
Eigenvalues
Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
Variance 0.135 0.072 0.025 0.021
% of var. 46.907 25.179 8.827 7.246
Cumulative % of var. 46.907 72.086 80.913 88.159

Sommario
Il problema
L’ACM
Estrazione dei fattori
Scree-test
Figura: Istogramma dell’inerzia spiegata da ciascun fattore

Sommario
Il problema
L’ACM
Indicatori da considerare
Contributo assoluto
È la quota di inerzia totale del fattore spiegata dalla modalità
stessa. Rappresenta, cioè, quanta parte ha avuto la modalità
nella determinazione del fattore, in rapporto all’insieme delle
modalità;
Nell’interpretazione del fattore, si prenderanno in
considerazione le modalità con contributo assoluto maggiore
di 100/q, dove q denota il numero complessivo di tutte le
modalità delle variabili attive;
Nel nostro caso, si prenderanno in considerazione le modalità
con contributo maggiore di 100/11 = 9,09.

Sommario
Il problema
L’ACM
Contributo assoluto
Sul primo asse fattoriale segnaliamo:
Uomini (meno di 94) Donne (meno di 80) e Glicemia-Si;
Pressione-No, Pressione-Si e Uomini (pi`u di 102) Donne (pi`u
di 88)
Figura: Contributo delle variabili alla prima dimensione

Sommario
Il problema
L’ACM
Contributo assoluto
Sul secondo asse fattoriale segnaliamo:
Pressione-Si e Uomini (pi`u di 102) Donne (pi`u di 88);
Frutta-Tutti i giorni, Frutta-Non tutti i giorni Glicemia-No e
Glicemia-Si.
Figura: Contributo delle variabili sulla seconda dimensione

Sommario
Il problema
L’ACM
Contributo relativo
Indica il contributo del fattore alla spiegazione della variabilità
di una determinata modalità;
È una misura della qualità della rappresentazione dei punti sui
nuovi assi (o sui nuovi piani);
Un punto sarà tanto meglio rappresentato nello spazio quanto
più il valore del coseno al quadrato si avvicina a 1.

Sommario
Il problema
L’ACM
Contributo relativo
Sul primo asse fattoriale segnaliamo:
Uomini (meno di 94) Donne (meno di 80), Glicemia-Si e
Glicemia-No;
Uomini (pi`u di 102) Donne (pi`u di 88).
Figura: Cosen-quadro delle variabili sulla prima dimensione

Sommario
Il problema
L’ACM
Contributo relativo
Sul secondo asse fattoriale segnaliamo:
Pressione-Si, Pressione-No e Uomini (pi`u di 102) Donne (pi`u
di 88);
Frutta-Tutti i giorni e Frutta-Non tutti i giorni.
Figura: Cosen-quadro delle variabili sulla seconda dimensione

Sommario
Il problema
L’ACM
Distanza tra modalità
Distanza del χ2
Considerando la nuvola dei profili di riga, la distanza tra due punti
i ed i , secondo la metrica euclidea, tende a dare eccessiva
importanza alle modalità con un forte campo di variazione, dando
invece minor peso a quelle per le quali le variazioni sono minori.
Per risolvere questo problema si rende opportuno ponderare
ciascuna colonna, dando maggior peso alle modalità che si
presentano con minore frequenza. Tale ponderazione può essere
ottenuta utilizzando la suddetta metrica del chi-quadrato.

Sommario
Il problema
L’ACM
Distanza tra modalità
Distanza del χ2
Le modalità che hanno minima distanza tra di loro sono
Pressione-No e Frutta-Tutti i giorni;
Le modalità che, invece, hanno massima distanza tra di loro
sono Uomini (meno di 94) Donne (meno di 80) e Pressione-Si.

Sommario
Il problema
L’ACM
Lo spazio degli individui
Lo studio degli individui
Figura: Spazio degli individui

Sommario
Il problema
L’ACM
Lo studio degli individui
Per rendere più chiara la mappa degli individui:
segmentazione: gli individui sono studiati tramite i segmenti
stabiliti dalle modalità perché una modalità è il baricentro di
tutti gli individui che la possiedono;
raggruppamento: vengono utilizzate le coordinate fattoriali
degli individui ottenute con l’ACM per creare dei gruppi o
clusters di individui con profili di risposta il più possibile simili
e di proiettare poi sulla mappa soltanto i baricentri di questi
cluster come rappresentativi dei gruppi.

Sommario
Il problema
L’ACM
Cluster analysis
Figura: Gruppi identiﬁcati

Sommario
Il problema
L’ACM
Cluster analysis
Il primo gruppo è composto da individui che condividono alta
frequenza per le modalità Uomini (94-102) Donne (80-88),
Eserfis-Si, Glicemia-Si, Frutta-Tutti i giorni e Pressione-No;
Il secondo gruppo è composto da individui che condividono
alta frequenza per le modalità Pressione-Si, Uomini (più di
102) Donne (più di 88), Tutti i giorni, Eserfis-No e
Glicemia-Si;
Il terzo gruppo, infine, è composto da individui che
condividono alta frequenza per le modalità Glicemia-No,
Uomini (meno di 94) Donne (meno di 80), Pressione-No,
Eserfis-No e Non tutti i giorni.

Sommario
Il problema
L’ACM
De-cla
La caratterizzazione di ciascun gruppo viene condotta
attraverso la scelta delle modalità caratteristiche significative.
Vengono riportati 2 diversi valori percentuali:
Mod/Cla, che risponde alla domanda: quanti sono nel gruppo
i casi che presentano quella modalità?
Cla/Mod, che risponde alla domanda: quanti fra coloro che
possiedono tale modalità sono presenti nel gruppo?

Sommario
Il problema
L’ACM
De-cla
Primo gruppo
Nel primo gruppo la percentuale di persone con circonferenza
vita media e che mangia frutta e verdura tutti i giorni è, per
entrambe, del 99.18%, mentre il 56.54% di quelli che hanno
circonferenza della vita media si trova nel primo gruppo;
Non c’è alcuna persona con circonferenza vita superiore a 102
(uomini) e 88 (donne);
Il gruppo è dunque caratterizzato da persone che hanno uno
stile di vita abbastanza attivo.

Sommario
Il problema
L’ACM
De-cla
Secondo gruppo
Nel secondo gruppo, invece, le percentuali di persone con
circonferenza vita media e che mangiano frutta tutti i giorni
scendono, rispettivamente al 27.61% ed al 79.04%;
La percentuale Mod/Cla più alta è ,comunque, assunta dalla
modalità Frutta-Tutti i giorni, mentre quella Cla/Mod più alta
è della modalità Uomini (più di 102) Donne (più di 88);
Il gruppo è dunque caratterizzato da persone che dovrebbero
fare più attenzione al loro stile di vita.

Sommario
Il problema
L’ACM
De-cla
Terzo gruppo
Nel terzo gruppo, infine, le percentuali Cla/Mod e Mod/Cla
più alte le hanno, rispettivamente, le modalità Uomini (meno
di 94) Donne (meno di 80) e Glicemia-No;
Il gruppo è caratterizzato da persone che non hanno problemi
di salute, ma che dovrebbero “attivarsi” di più.

Sommario
Il problema
L’ACM
Studio delle variabili
Indice η2
Nell’interpretazione degli assi fattoriali, `e utile tener conto anche
delle variabili che maggiormente hanno contribuito al loro
orientamento, andando a guardare l’indice η2:
Categorical variables (eta2)
Dim.1 Dim.2
Eserfis 0.381 0.123
Frutta 0.380 0.003
Pressione 0.013 0.585
Glicemia 0.581 0.011
Circvita 0.481 0.624

Sommario
Il problema
L’ACM
Studio delle variabili
Lo spazio delle variabili
Figura: Graﬁco delle variabili attive

Sommario
Il problema
L’ACM
Studio delle modalità
Lo spazio delle modalità
Le somiglianze tra modalità si possono indagare confrontando
sia le colonne della matrice Z, sia i profili della matrice B di
Burt;
Due profili di B risultano simili se le due modalità si associano
sempre alle medesime modalità;
Le modalità, differentemente dalle variabili, avranno delle vere
e proprie coordinate sul piano fattoriale.

Sommario
Il problema
L’ACM
Lo spazio delle modalit`a
Figura: Lo spazio delle modalit`a

Sommario
Il problema
L’ACM
Significatività delle coordinate
Per verificare la significatività delle coordinate, attraverso un
test, introduciamo un terzo indicatore importante, ovvero il
valore test;
Misura la distanza, in termini di scarti quadratici medi, della
modalità j dall’origine sull’asse α;
Un valore test superiore a 2 in valore assoluto indica una
coordinata significativamente diversa da zero con un livello di
confidenza del 95%

Sommario
Il problema
L’ACM
Significatività delle coordinate
Sul primo asse, per esempio, sono le modalità Pressione-No,
Pressione-Si e Uomini (più di 102) Donne (più di 88) ad avere
coordinate non significativamente diverse da 0;
Sul secondo asse, invece, le variabili Frutta e Glicemia,
presentano modalità che hanno tutte coordinate non
significativamente diverse da 0, insieme alla modalità Uomini
(meno di 94) Donne (meno di 80).

Sommario
Il problema
L’ACM
Il ruolo delle variabili supplementari
Indice η2
I nostri dati contengono 3 variabili supplementari di cui 2
qualitative (Genere e Famiglia) ed una quantitativa suddivisa in
classi (Et`a):
Supplementary categorical variables (eta2)
Dim.1 Dim.2
Genere 0.182 0.021
Et`a 0.432 0.193
Famiglia 0.208 0.004

Sommario
Il problema
L’ACM
Rappresentazione
Figura: In verde le variabili supplementari, in rosso le variabili attive

Sommario
Il problema
L’ACM
Rappresentazione delle modalità
Figura: In verde le modalità supplementari, in rosso le modalità attive

Sommario
Il problema
L’ACM
Genere
Figura: Sulla variabile Genere

Sommario
Il problema
L’ACM
Genere
Coordinate
Entrambe le modalit`a contribuiscono meglio sulla prima
dimensione che sulla seconda: i maschi sul semiasse positivo, le
femmine sul semiasse negativo
Dim.1 Dim.2
Femmina 0.265 0.077
Maschio -0.252 -0.073

Sommario
Il problema
L’ACM
Genere
Cosen-quadro
In termini di contributo relativo (lo stesso per entrambe le
modalit`a), sia i maschi che le femmine sono molto ben
rappresentati sul primo asse e poco sul secondo:
cos2(1) cos2(2)
Femmina 0.885 0.075
Maschio 0.885 0.075

Sommario
Il problema
L’ACM
Genere
Valore-test
Solo per il secondo asse le coordinate non sono signiﬁcativamente
diverse da 0, in quanto il valore test (uguale ma di segno opposto)
`e compreso tra -2 e 2:
v.test(1) v.test(2)
Femmina 5.164 1.507
Maschio -5.164 -1.507

Sommario
Il problema
L’ACM
Et`a
Figura: Sulla variabile Et`a

Sommario
Il problema
L’ACM
Età
Coordinate
Sul primo asse contribuiscono di più le persone con età compresa
tra i 54 ed i 64 anni (sul semiasse negativo), seguono quelli con età
inferiore ai 45 anni; alla costruzione del secondo asse
contribuiscono molto bene le persone over 64 (sul semiasse
positivo):
Dim.1 Dim.2
45-54 anni -0.008614984 0.37859922
54-64 anni -0.473790179 -0.04585676
Meno di 45 anni 0.409066874 -0.14941987
Più di 64 anni -0.051887979 0.61768024

Sommario
Il problema
L’ACM
Età
Cosen-quadro
Sul primo asse, le modalità meglio rappresentate sono le due
centrali, in quanto il loro contributo relativo si avvicina di molto
all’unità; accade il contrario per il secondo asse, e addirittura la
modalità 54-64 anni assume un valore vicinissimo allo 0:
cos2(1) cos2(2)
45-54 anni 0.0004601953 0.888776657
54-64 anni 0.9544099397 0.008940658
Meno di 45 anni 0.8391179552 0.111956962
Più di 64 anni 0.0066423731 0.941276399

Sommario
Il problema
L’ACM
Età
Valore-test
Sul primo asse, le uniche modalità ad avere coordinate non
significativamente diverse da 0 sono 45-54 anni e Più di 64 anni;
sul secondo asse, invece, l’unica modalità a non avere coordinate
significativamente diverse da 0 è 54-64 anni:
v.test(1) v.test(2)
45-54 anni -0.06203235 2.7261104
54-64 anni -7.33074525 -0.7095212
Meno di 45 anni 7.31668358 -2.6725653
Più di 64 anni -0.27327762 3.2531271

Sommario
Il problema
L’ACM
Famiglia
Figura: Sulla variabile Famiglia

Sommario
Il problema
L’ACM
Famiglia
Coordinate
Sul primo asse contribuiscono molto bene tutte e 3 le modalit`a
(Famiglia-Si: 1° tipo in particolare sul semiasse negativo); sul
secondo asse, invece, tutte e 3 le modalit`a hanno coordinate
vicinissime allo 0, quindi contribuiscono poco:
Dim.1 Dim.2
Famiglia_No 0.248482224 0.07593390
Famiglia_Si: 1° tipo -0.254173002 -0.01695814
Famiglia_Si: 2° tipo 0.326284251 -0.01142948

Sommario
Il problema
L’ACM
Famiglia
Cosen-quadro
Le persone che sono meglio rappresentate sul primo asse sono sia
quelle che presentano casi in famiglia che non, in quanto il
contributo relativo di tutte è vicinissimo all’unità; sul secondo asse,
invece, nessuna delle modalità è rappresentata a sufficienza:
cos2(1) cos2(2)
Famiglia_No 0.8454336798 0.078951489
Famiglia_Si: 1° tipo 0.9821093483 0.004371772
Famiglia_Si: 2° tipo 0.9829251570 0.001206095

Sommario
Il problema
L’ACM
Famiglia
Valore-test
Sul primo asse tutte e 3 le modalità risultano avere coordinate
significativamente diverse da 0 (in patricolare Famiglia-Si: 1° tipo
sul semiasse negativo); sul secondo asse, invece, tutte le modalità
hanno coordinate non significativamente diverse da 0:
v.test(1) v.test(2)
Famiglia_No 2.20638099 0.6742499
Famiglia_Si: 1° tipo -5.50090102 -0.3670140
Famiglia_Si: 2° tipo 4.21598454 -0.1476827

Sommario
Il problema
L’ACM
Conclusioni
Grafico finale
Figura: Sullo stesso grafico i punti-riga ed i punti-colonna

Sommario
Il problema
L’ACM
Conclusioni
Risultato dell’ACM per la variabile Genere
Figura: Risultato dell’ACM per la variabile Genere

Sommario
Il problema
L’ACM
Conclusioni
Risultato dell’ACM per la variabile Et`a
Figura: Risultato dell’ACM per la variabile Et`a

Sommario
Il problema
L’ACM
Conclusioni
Risultato dell’ACM per la variabile Famiglia
Figura: Risultato dell’ACM per la variabile Famiglia

Sommario
Il problema
L’ACM
Bibliografia
Marco Gherghi, Carlo Lauro. Appunti di analisi dei dati
dimensionali. Napoli, RCE Edizioni, 2004
Sergio Zani, Andrea Cerioli. Analisi dei dati e data mining per
le decisioni aziendali. Giuffrè Editore, 2007
Michael Greenacre, George Blasius. Multiple correspondence
analysis and related methods. London, Chapman and
Hall/CRC, 2006
Barbara Sartori. Una analisi delle esperienze di educazione
fisica nelle scuole: i dati PACES. Tesi di laurea.
Appunti dalle lezioni del corso.

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