Monty Hall Puzzle Extension モンティーホール問題 廣瀬英雄「実例で学ぶ確率・統計」（日本評論社）で取り扱っている例題についての解説とRによる計算方法を示すスライドです。

1. Monty
Hall
Puzzle
Extension
廣瀬英雄 「実例で学ぶ確率・統計」 （日本評論社）
p.12
感覚と違う確率の不思議
モンティーホール問題
3つのカーテンと1回の変更チャンス問題を
n枚のカーテンとk回の変更チャンスに拡張する
October
8,
2014

2. モンティーホール問題（オリジナル）
1991年に Marilyn vos Savant によって紹介されたMonty Hallとも呼ばれる有名な
問題を紹介しよう．Let's Make a Dealとも呼ばれている．
問題：
君はあるテレビショーに出ている．
司会者が
「ここにあるカーテンの裏には新車が1台，ヤギが2頭それぞれ隠れている．君
がどれか1つのカーテンを選び，その後私がカーテンを1つ開けよう．その結果
を見て，君はカーテンを変えてもいい」
と説明する．
ここで問題．
君は司会者がカーテンを開けた段階で別のカーテンに変えた方がよいだろう
か，それともそのままの方がよいだろうか．
新車を手に入れられる確率がどう変わるか考えて答えなさい．
司会者はヤギが隠れているカーテンしか開けない．

3. モンティーホール問題の誤答
典型的な誤答例を紹介しよう．
典型的な誤答例：
最初にどれかのカーテンを選んでそこに新車がある確率は1/3である．
司会者によってヤギの入ったカーテンが1つ開けられると，残りの2つのカーテ
ンの裏には新車とヤギということになり，カーテンを変更すれば，新車を言い
当てる確率は1/2になる．
だから，新車を言い当てる確率は，カーテンを変えずにいるよりも変えた方が
高く，1/3から1/2に変わる．

4. モンティーホール問題の正答
それでは正答を紹介しよう．
正答：
最初にどれかのカーテンを選んでそこに新車がある確率は1/3である．
カーテンを変更すれば，新車を言い当てる確率は2/3になる．
だから，新車を言い当てる確率は，カーテンを変えずにいるよりも変えた方が
高く，1/3から2/3に変わる．

5. Marilynへのアカデミアからの初期の反応
あああっ、自分の解答は誤答の方だった．
このような誤答を正しいと思い，示された正答をいつまでも信じられない君，そん
なに悩むことはない．実は，Marilynからの解答が提示された初期，Marilynへのア
カデミアからの反応はさんざんだったのだから．
Let me explain. If one door is shown to be a loser, that information
changes the probability of either remaining choice, neither of which has
any reason to be more likely, to 1/2. As a professional mathematician, I’m
very concerned with the general public’s lack of mathematical skills.
Please help by confessing your error and in the future being more careful.
AAA BBB, Ph.D.
CCC DDD University
You blew it, and you blew it big! Since you seem to have difficulty
grasping the basic principle at work here, I’ll explain. After the host
reveals a goat, you now have a one-in two chance of being correct.
Whether you change your selection or not, the odds are the same.
There is enough mathematical illiteracy in this country, and we don’t
need the holder of the world’s highest l.Q. propagating more. Shame!
EEE FFF, Ph.D.
GGG HHH University
というように続々と続いた．

6. 分かりやすい説明
考えられる場合を詳細に調べる，サイコロを使って実験してみるなど，いろいろな
やり方で正答を確認することができる．しかし，次のように考えるとよく理解できる．
カーテンを変更する場合を考える．
司会者は3つのカーテンの裏を知っており，ヤギが隠れているカーテンしか開
けない．
だから，君がヤギのカーテンを最初に選んだら司会者はもう一方のヤギの
カーテンを開けざるを得ず，カーテンを変更すれば君には必ず新車が当たる．
このときの確率は2/3である．

7. モンティーホール問題（拡張版）
それでは次にモンティーホール問題の拡張版を紹介しよう．
問題：
君はあるテレビショーに出ている．
司会者が
「ここにあるn枚のカーテンの裏には新車が1台，ヤギが1頭ずつそれぞれ隠れ
ている．君がどれか1つのカーテンを選び，その後私がカーテンを1つ開けよう．
その結果を見て，君はカーテンを変えてもいい．これが1ラウンド．どちらにせよ
次のラウンドにうつる．このようなラウンドをk回行なう」
と説明する．
君が新車を手に入れる確率を最大にする戦略を述べなさい．
またそのときの新車を手に入れる確率を求めなさい．
司会者はヤギが隠れているカーテンしか開けない．

8. オリジナル問題を振り返る
ここで次のステップに行く前にオリジナル問題を振り返ってみよう．
カーテンを変更する場合を考える．
新車を得る確率は，
最初にヤギのカーテンを選べば，次は必ず新車に当たるので
最初に新車のカーテンを選べば，次は必ずヤギに当たるので
だから、それらを合わせると，
€
2
3
⋅
1
3−1−1
€
2
3
€
1
3
⋅ 0

9. モンティーホール拡張問題を解くには
先の「オリジナル問題」が理解できたら簡単だ．

10. モンティーホール拡張問題の正答
もう分かっただろうか．
最適戦略は，最初のラウンドから最後の1つ前までのラウンドではカーテンを変
更せず，最後のラウンドで1度だけ変更する，である．
最初にヤギを選ぶ確率は で，最後のラウンドでは 枚の
カーテンから新車を選ぶことになるので，
€
新車を得る最大の確率は
である．
€
n −1
n
⋅
1
n − k −1
n −1
n
€
1
n − k −1

11. 参考文献
Marilyn Vos Savant, Ask Marilyn, St Martins Mass Market Paper (1994/10)