인하대학교 박철용 - Multi Dimension Segment/Fenwick Tree

1. Multi Dimension
Sement/penwick tree

2. 만약 (1,1)에서부터 (x,y)까지 존재하는 점의 개수를 구하고, (x,y)상에 존재하는 점을
추가하거나 제거하고 싶다면????
(x,y)

3. 우리가 기존에 알고 있는 자료구조인 pen wick tree나 segment tree를 이용해서
해당 점을 추가하거나 값을 구할 수 있다.
해당 점 추가는 N*N 사이즈의 크기라면 시간복잡도는 O(log N) 이나
만약 (x,y)까지의 점의 개수를 구하고자 할 때는 O(N log N)의 시간복잡도가 요구된다.

4. Sum 과 update를 모두 O(logN)으로 할 수는 없
을까??

5. 2D- segment tree

6. 기존 1차원 segment tree
(x,y)
(x,(x+y)/2) ((x+y)/2+1,y)와 같이 2개로 분할한다면
pos ,(x1,y1,x2,y2)를
pos*4-2,(x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
pos*4-1, ((x1+x2)/2+1,y1,x2,(y1+y2)/2)
pos*4, (x1,(y1+y2)/2+1,(x1+x2)/2,y2)
pos*4+1 ((x1+x2)/2+1,y1,x2,(y1+y2)/2)
와 같이 4개의 노드로 분할한다.

7. 2D- segment tree
pos ,(x1,y1,x2,y2)
pos*4-2
(x1,y1,
(x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
pos*4-1
(x1+x2)/2+1,y1,
x2,(y1+y2)/2)
pos*4
(x1,(y1+y2)/2+1,
(x1+x2)/2,y2)
pos*4+1
((x1+x2)/2+1,y1,x2,
(y1+y2)/2)

8. 메모리:O(N^2)
시간복잡도:
한 점의 업데이트는 O(log n)~O(log^2 n)
구간합을 구하는 쿼리는 O(log n) ~O(log^2 n)
으로 추측됨.

9. 한 점을 업데이트하거나 구간의 합을 구하는 과정을 한번 살펴보자

10. 2D pen wick Tree
왠지 느낌상 1차원 펜윅트리를 구하던 방식을
x,y에 대해서 비슷하게 구하면 될 것 같다.
근데 실제로 된다
실제 코드를 한번 보자

11. void update(int x , int y , int val){
int y1;
while (x <= max_x)
y1 = y;
while (y1 <= max_y){
tree[x][y1] += val;
y1 += (y1 & -y1);
}
x += (x & -x);
}
}

12. int query(int x,int y){
int ret=0;
int ty;
while(x){
ty= y;
while(ty){
ret+=pen[x][ty];
ty= ty&(ty-1);
}
x= x&(x-1);
}
return ret;
}

13. (5,3)을 업데이트하는 과정

14. query(x,y)=
(1,1)부터 (x,y)까지의 합을 구한다.

16. SUM(x1,y1,x2,y2)=
query(x2,y2)-query(x2,y1-1)-
query(x1-1,y2)+query(x1-1,y1-1)

17. SPOJ MATSUM - Matrix
Summation
N*N 행렬에서 (x,y)의 값을 변형시키고
(x1,y1, x2,y2)까지의 값을 구하는 문제
시간제한 1초.
1<=N<=1024

18. 구글 APAC Test 2016 Round C
D번 gMatrix
NxN 크기의 매트릭스 M이 주어진다.
이때 (K<=N)인 K*K 크기의 서브매트릭스를 T라 하자.
M의 모든 k*k 크기의 서브매트릭스를 구해서
서브매트릭스의 최대 원소를 maxT라 할 때,
sum(maxT1,maxT2,….. maxT y)를 구하라.
(여기서 y는 M의 모든 k*k 서브매트릭스의 크기 )
제한조건:
(1<=k<=N<=3000)
제한시간:
대략 6~7분

19. 5 15
30
5 13
9
45
12
25
만약 N=3 이고 K=2 라면
아래의 그림과 같이 4개의 서브매트릭스가
나오고 각 최대값은
30,45,30,45가 되어서 구하는 값은
150이 된다.
5 15
30 25
15 9
25 45
30 25
5 13
25 45
13 12