1. i
Sveučilište u Zagrebu
Fakultet elektrotehnike i računarstva
DIPLOMSKI RAD br.1531
Primjena kvantitativne teorije upravljanja (QFT) u
projektiranju robusnog autopilota za plovne objekte
Goran Benčić
Zagreb, studeni 2006.

2. ii
Sadržaj
1. Uvod 1
2. MISO QFT 3
2.1. Uvod 3
2.2. Nicholsova karta 5
2.2.1 Nyquistov kriterij stabilnosti i njegova primjena na Nicholsovoj karti 8
2.3. Zadavanje specifikacija na performanse zatvorenog kruga 11
2.3.1. Servo specifikacije 11
2.3.2. Specifikacije na potiskivanje poremećaja 17
2.3.3. Specifikacije na stabilnost 18
2.4. Predlošci ili skupovi iznosa 19
2.5. Odabir frekvencija 27
2.6. Horowitz – Sidi granice 28
2.6.1. Utjecaj kompenzatora na predložak 28
2.6.2. Granice stabilnosti 29
2.6.3. Servo granice 33
2.6.4. Granice na poremećaj 38
2.6.5. Kompozitne ili rezultantne granice 40
2.7. Oblikovanje L0(jω) ili projektiranje kompenzatora G(jω) 41
2.8. Sinteza prefiltera 44
2.9. Primjer 45
2.10. Neminimalno fazni procesi 53
3. MIMO QFT 56
3.1. Uvod 56
3.2. MIMO proces 56
3.3. Uvod u MIMO kompenzaciju 58
3.4. Transformacija MIMO sustava u skup MISO sustava 59
3.5. Odre ivanje servo granica 66
3.6. QFT Metoda 2 72
3.7. Stabilnost 73
3.8. BNIC 74

3. iii
3.9. QFT Metoda 1 75
3.10. MIMO primjer 77
3.11. Kompenzacija poremećaja 85
4. MISO QFT problem 89
4.1. Uvod 89
4.2. Specifikacije 93
4.3. Sinteza upravljačkog sustava 95
4.4. Rezultati 98
5. MIMO QFT problem 109
5.1. Uvod 109
5.2. Specifikacije 114
5.3. Rezultati 116
6. Zaključak 123
7. Literatura 125

4. 1. Uvod
1
Uvod
Početkom šezdesetih Horowitz uvodi novu frekvencijsku metodu pod imenom QFT
koja predstavlja svojevrstan nastavak i poopćenje Bodeovog rada u frekvencijskoj domeni.
S Marcelom Sidi-jem, svojim učenikom, je Horowitz bio uključen u projekt izrade
upravljačkog sustava za izraelske borbene zrakoplove. Rezultat te suradnje jest
kompletiranje QFT metode i postizanje forme kakvu imamo danas, [5]. Upravo rezultatima
postignutim u avioindustriji je QFT dokazao svoju vrijednost i ostvario uspješnu primjenu
u drugim područjima. Inače Horowitz je poznat u svijetu automatskog upravljanja kao
veliki pobornik frekvencijskih metoda sinteze upravljačkih sustava. Smatrao je da su
mnogo prikladnije za inženjere koji rade u praksi jer ne traže veliko predznanje za njihovu
primjenu. Za razliku od njih metode iz vremenske domene su često temeljene na složenoj
matematičkoj aparaturi što pridonosi tome da inženjer više “zbog drveća ne vidi šumu”.
Drugim riječima, primjena metode postaje veći problem za projektanta od konkretnog
problema koji mora riješiti. Upravo ovakav stav Horowitza je rezultirao time da QFT
postane inženjerska metoda namijenjena praktičnom projektiranju upravljačkih sustava.
Osnovni cilj QFT-a jest uzimanje u obzir neizvjesnosti poznavanja procesa kako bi se
projektirao upravljački sustava koji će ostvariti zadane performanse. Pritom je težnja da se
željene performanse ostvare pomoću kompenzatora male kompleksnosti uz upotrebu što
manje širine propusnog opsega. Minimalna širina propusnog opsega je vrlo važan faktor u
konkretnoj primjeni upravljačkog sustava jer umanjuje osjetljivost na mjerni šum i
nemodeliranu dinamiku. Horowitz je naglašavao kako metode moraju posjedovati svojstvo
transparentnosti koje omogućava projektantu da dobije uvid u mogućnosti kompromisa po
pitanju stabilnosti, performansi, kompenzacije poremećaja, iskorištene širine propusnog
opsega i kompleksnosti kompenzatora, [5]. Upravo se transparentnosti QFT-a može
zahvaliti što je moguće projektirati vrlo efikasne kompenzatore niske kompleksnosti. QFT
je razvijen za upravljačke sustave koji su: linearni i nelinearni, vremenski promjenjivi i
nepromjenjivi, kontinuirani i diskretni, minimalno fazni i neminimalno fazni, MISO i
MIMO, s povratnom vezom po izlazu i s povratnom vezom po varijablama stanja. Čak je
njegova uporaba primjenjiva i na odre enu klasu neizvjesnih distribuiranih sustava u
kojima je proces opisan s parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, a povratne informacije
i specifikacije su tako er distribuirane, [1]. Za sustave s kašnjenjem je razvijen i Smithov
prediktor temeljen na QFT metodi. Dakle riječ je o jednoj kompletnoj metodi koja je
primjenjiva praktički na svakoj vrsti problema.

5. 1. Uvod
2
U 2. poglavlju je obra en MISO QFT. Riječ je o upravljačkoj strukturi s dva
stupnja slobode na kojoj se temelje sva ostala područja primjene QFT metode(MIMO QFT,
diskretni QFT…). Nakon iznesene teoretske podloge dan je cjelovit primjer na kraju
poglavlja kako bi se demonstrirali svi aspekti sinteze. U 3. poglavlju je izložen MIMO
QFT. Srž ovog poglavlja predstavlja transformacija nän MIMO problema u n2
MISO
problema. Schauderov teorem fiksne točke daje garanciju da će korektno provedena sinteza
na n2
MISO problema dati u konačnici korektno ponašanje originalnog nän MIMO
sustava. Na kraju poglavlja je dan cjelovit primjer. U 4. poglavlju je obra en konkretni
MISO problem. Riječ je o upravljanju tankerom Tokyo Maru po kursu. U 5. poglavlju je
obra en konkretan MIMO problem. Riječ je o upravljanju ronilicom u dva stupnja slobode
gibanja: po brzini i kursu. U 6. poglavlju su izneseni zaključci po pitanju primjene QFT
metode.

6. 2. MISO QFT
3
MISO QFT
2.1. Uvod
U ovom poglavlju će biti dan relativno detaljan opis QFT tehnike projektiranja
upravljačkog sustava. Kako je već napomenuto u uvodu ovaj dio predstavlja temelj za
shvaćanje principa QFT metode jer se sva ostala područja primjene(MIMO QFT, diskretni
QFT) usko vezuju uz MISO QFT zahvaljujući odre enim zahvatima koji te probleme
prevode u kontinuirane MISO probleme. Prema tome, dobro shvaćanje ovog poglavlja je
preduvjet za primjenu QFT metode na ostalim područjima automatskog upravljanja.
Na slici slici 2.1. je dan upravljački sustav na kojem se temelji MISO tehnika.
Slika 2.1. Struktura upravljačkog sustava
gdje su:
– skup funkcija prijenosa koje opisuju područje parametarske neizvjesnosti procesa. U
)( ωjPi gdje je ∈)( ωjPi može tako er biti uključena dinamika aktuatora i senzora.
G – kompenzator čija uloga je robustifikacija zatvorenog kruga, kompenzacija
poremećaja i smanjenje osjetljivosti upravljačkog sustava na mjerni šum N.
F – prefilter čija uloga je osiguravanje da izlaz Y dobro prati referencu R.
N – mjerni šum.
D1 – poremećaj na ulazu procesa.
D2 – poremećaj na izlazu procesa.
R – referenca.
Kako su obično samo r(t) i y(t) mjerljivi, upravljački sustav sa slike 2.1. se naziva i
upravljački sustav s dva stupnja slobode. Cilj sinteze je projektirati takav G(s) i F(s) da se
zadovolje odre ene specifikacije na ponašanje zatvorenog kruga (uslijed postojanja
neizvjesnosti u poznavanju modela procesa), kao npr.:

7. 2. MISO QFT
4









∈
+
=
∈
+
=
∈
+
=
2
1
)()(1
1
)(
)(
)()(1
)(
)(
)(
)()(1
)()()(
)(
)(
1
1
D
D
R
sPsGsD
sY
sPsG
sP
sD
sY
sPsG
sPsGsF
sR
sY
za ∈∀ )(sP (2-1)
gdje su R , 1D i 2D skupovi prihvatljivih funkcija prijenosa tj. skupovi prihvatljivih
ponašanja izlaza Y u odnosu na ulaze R, D1 i D2. Zašto skup prihvatljivih ponašanja a ne
konkretno jedno prihvatljivo ponašanje? Problem je u neizvjesnosti poznavanja procesa i
teoretski bi ostvarenje jedinstvenog ponašanja iziskivalo beskonačno veliko pojačanje
otvorenog kruga. Takvo što naravno nije moguće kao što često nije moguće ni vrlo veliko
pojačanje zbog niza razloga (neminimalno fazne nule, ograničenja brzine promjene
upravljačkog signala, osjetljivost na mjerni šum itd.). Nekako je intuitivno zadavati
specifikacije o željenom ponašanju u vremenskoj domeni jer tada imamo direktan uvid o
tome kako će sustav reagirati na odre ene pobude. No, da bi se primjenila QFT metoda
projektiranja potrebno je vremenske specifikacije prevesti u frekvencijske. O ovome, kao i
o drugim detaljima, malo kasnije. U nastavku je dana postupak sinteze QFT upravljačkog
sustava. U njoj će se pojaviti neki nepoznati izrazi koji će u nastavku poglavlja biti
detaljnije objašnjeni:
1.) Odrediti skup funkcija prijenosa procesa ( ){ }ωjPi= za koje će biti projektiran
upravljački sustav. Taj skup predstavlja opis neizvjesnosti.
2.) Odabrati nominalnu funkciju prijenosa procesa ( )ωjP0 . Može biti riječ o bilo kojoj
funkciji prijenosa iz skupa .
3.) Odabrati skup frekvencija { }Nωωω ,,, 21 K=Ω za koje će biti vršena sinteza.
4.) Generirati predloške ili skupove iznosa za Ω∈∀ iω . Za predložak na frekvenciji ωi će
se koristiti notacija ( )ijωΠ .
5.) Zadati specifikacije na ponašanje zatvorenog kruga.
6.) Na temelju zadanih specifikacija i odre enih predložaka potrebno je odrediti
frekvencijska ograničenja tzv. Horowitz – Sidi granice za Ω∈∀ iω .
7.) Prikazati nominalni otvoreni krug ( ) ( ) ( )ωωω jGjPjL 00 = na NC(Nicholsovoj karti) i
oblikovati ga prikladnim odabirom kompenzatora ( )ωjG kako bi nominalni otvoreni
krug zadovoljio Horowitz – Sidi granice.
8.) Zatvoriti petlju tako da dobijemo:

8. 2. MISO QFT
5
( )
( ) ( )
( ) ( )ωω
ωω
ω
jPjG
jPjG
jT
i
i
i
+
=
1
(2-2)
Potom odabrati takav prefilter ( )ωjF koji postiže da svaka:
( ) ( ) ( )
( ) ( )ωω
ωωω
jPjG
jPjGjF
i
i
+1
(2-3)
upada unutar propisanih servo specifikacija.
9.) Vremenska validacija na velikom broju procesa.
Prije nego se krene dalje potrebno je objasniti neke detalje vezane uz Nicholsovu kartu koja
se koristi kao sredstvo prikaza relevantnih veličina u QFT metodi.
2.2. Nicholsova karta
Pri sintezi kompenzatora G(s) u QFT metodi se koristi prikaz relevantnih veličina na
Nicholsovoj karti(NC). Na apscisi Nicholsove karte je faza otvorenog kruga L(jw) u
stupnjevima [°] dok je na ordinati amplituda otvorenog kruga L(jw) u decibelima [dB].
Ucrtane krivulje na slici 2.2. odgovaraju konstantoj fazi i amplitudi zatvorenog kruga
M(jw):
)(1
)(
)(
ω
ω
ω
jL
jL
jM
+
= (2-4)
(tako er u stupnjevima i decibelima). Valja primjetiti kako su obje skupine krivulja
simetrične obzirom na liniju -180° .
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-20
-10
0
10
20
30
40
-20 dB
1 dB
6 dB
3 dB
-1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-12 dB
-3 dB
-6 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Slika 2.2. Nicholsova karta

9. 2. MISO QFT
6
Na slici slici 2.2. je dan prikaz za interval faze otvorenog kruga [-360°, 0°]. Ovisno o
faznom rasponu otvorenog kruga, moguće je staviti prikaze i dodatnih “listova” tj. prošireni
prikaz faze. To se čini tako da se gornja karta periodizira ulijevo i udesno s periodom od
360°. Nicholsova karta s dva “lista” je dana na slici slika 2.3.:
-720 -630 -540 -450 -360 -270 -180 -90 0
-20
-10
0
10
20
30
40
-20 dB
1 dB
6 dB
3 dB
-1 dB
0.5 dB
0.25 dB
0 dB
-12 dB
-3 dB
-6 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Slika 2.3. Nicholsova karta s dva “lista”
Ucrtavanjem amplitudno-fazne karakteristike otvorenog kruga L(jw) moguće je direktno
očitati amplitudno-faznu karakteristiku zatvorenog kruga M(jw). U nastavku će biti izložen
postupak odre ivanja frekvencijske karakteristike zatvorenog kruga na temelju
frekvencijske karateristike otvorenog kruga.
Uzmimo da je funkcija prijenosa otvorenog kruga:
)1(
1
)(
+
=
ss
sL (2-5)
Prikaz amplitudno-fazne karakteristike navedene funkcije prijenosa na Nicholsovoj karti je
dan na slici slici 2.4. Točke presjeka s linijama konstantnog pojačanja zatvorenog kruga
označene su crvenim kružićima.

10. 2. MISO QFT
7
-180 -135 -90 -45 0
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0.25 dB
-60 dB
6 dB
3 dB
1 dB
0.5 dB
-40 dB
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Slika 2.4. Frekvencijska karakteristika otvorenog kruga
prikazana na Nicholsovoj karti
Za demonstraciju preslikavanja je uzet samo slučaj očitavanja amplitudne karakteristike
zatvorenog kruga. Dakle, na mjestima presjeka (crveni kružići) karakteristike otvorenog
kruga (plava linija) i linija konstatnog pojačanja zatvorenog kruga valja očitati frekvenciju
otvorenog/zatvorenog kruga. Skup tih podataka je prikazan crvenim kružićima na slici slici
2.5. Kružići su još povezani crvenom isprekidanom crvenom linijom. Plava linija
predstavlja stvarnu amplitudnu karakteristiku zatvorenog kruga.
Slika 2.5. plavo – stvarna amplitudna karakteristika zatvorenog kruga
crveno iscrtkano – amplitudna karakteristika dobivena očitanjima s Nicholsove karte

11. 2. MISO QFT
8
2.2.1. Nyquistov kriterij stabilnosti i njegova primjena na Nicholsovoj
karti
Da bi se ispitala stabilnost zatvorenog kruga temeljem prikaza frekvencijske
karakteristike otvorenog kruga na Nicholsovoj karti, biti će napravljena kratka
rekapitulacija Nyquistovog frekvencijskog kriterija stabilnosti. To je potrebno kako bi se
shvatio pojam obilaska kritične točke na NC. Ključan pojam za shvaćanje Nyquistovog
kriterija stabilnosti je Cauchyjev princip promjene argumenta formuliran na sljedeći način:
Princip promjene argumenta:
Neka je D zatvoreno područje kompleksne ravnine i neka je Γ granica tog područja. Neka
je funkcija f analitička na D i Γ osim na konačnom broju polova i nula. Tada je:
[ ] PNds
sf
sf
i
sfn −==∆= ∫Γ
Γ
)(
)(
2
1
)(arg
2
1 '
ππ
ω (2-6)
gdje je N broj nula, a P broj polova u području D. Polovi i nule višestrukosti m se broje m
puta. ωn je broj zaokruženja, a arg[f(s)] je varijacija argumenta funkcije f kad se krivulja
Γ obi e u smjeru kazaljke na satu.
Na slici 2.6. je prikazana kompleksna s ravnina i tzv. Nyquistova krivulja C na kojoj će se
vrednovati funkcija prijenosa otvorenog kruga L(s). Krivulja C odgovara krivulji Γ iz
teorema, dok područje ome eno krivuljom C (desna s poluravnina) odgovara području D
iz teorema.
Slika 2.6. Kompleksna ravnina i Nyquistova krivulja C
Vrednovanjem L(s) po krivulji C dobije se frekvencijska karakteristika otvorenog kruga.
Preslikavanje pojedinih segmenata s krivulje C ome enih točkama E, F, G i H u ravninu
( ) ( ){ })(,)( sFsF je dano na slici 2.7. Vidljivo je da se točke u beskonačnosti (F, G i

12. 2. MISO QFT
9
H) preslikavaju u ishodište ravnine ( ) ( ){ })(,)( sFsF što je općenito osobina fizikalnih
sustava. To znači da je pojačanje fizikalnih sustava na vrlo visokim frekvencijama praktički
jednako nuli. Nakon što je C preslikana pomoću L(s) u ( ) ( ){ })(,)( sFsF ravninu,
potrebno je odrediti koliko je broj zaokruženja N točke -1 u ( ) ( ){ })(,)( sFsF ravnini.
Broj zaokruženja je definiran kao ccwcw NNN −= gdje je:
Ncw – broj zaokruženja u smjeru kazaljke sata1
Nccw – broj zaokruženja u smjeru suprotnom od smjera kazaljke sata2
Praktičan način odre ivanja broja pojedinih zaokruženja na Nyquistovom grafu (tj. f
ravnini) jest da se prebroje presjeci realne osi na intervalu 1,−∞− i grafa L(jω). Kada
graf L(jω) odozdo presjeca realnu os na tom intervalu to se smatra cw presjek, a kada je
presjeca odozgo tada je to ccw presjek. Ovo je ilustrirano na slici 2.8. za Nyquistov
dijagram.
Im{f(s)}
Re{f(s)}
-1
arg{L(jω)}
|L(jω)|
E
F,G,H
arg{L(-jω)}
|L(-jω)|
Slika 2.7. Rezultat preslikavanja krivulje C sa slike 2.6. preko L(s)
Slika 2.8. Obilasci na Nyquistovom grafu
1
engl. clockwise – otuda i kratica cw koja će biti korištena dalje u tekstu
2
engl. counterclockwise – otuda i kratica ccw koja će biti korištena dalje u tekstu

13. 2. MISO QFT
10
Kako sada znamo odrediti broj zaokruženja N kritične točke i poznajemo broj polova
funkcije 1+L(s) u desnoj s poluravnini, možemo odrediti broj nula funkcije 1+L(s) u
desnoj s poluravnini. Podsjetimo se da su nule od 1+L(s) ujedno i polovi zatvorenog kruga
M(s):
)(1
)(
)(
sL
sL
sM
+
= (2-7)
Tako postojanje nula od 1+L(s) u desnoj s poluravnini u biti indicira postojanje
“nestabilnih” polova zatvorenog kruga M(s).
Vrijedi da je:
RHPOLRHPCL NNN __ −= (2-8)
gdje su:
N – broj zaokruženja kritične točke.
NCL_RHP – broj polova zatvorene petlje3
u desnoj poluravnini4
odnosno broj nula od
1+L(s) unutar krivulje C.
NOL_RHP – broj polova otvorene petlje5
u desnoj poluravnini odnosno broj polova od 1+L(s)
unutar krivulje C.
Dakle, broj nestabilnih polova zatvorenog kruga je:
RHPOLRHPCL NNN __ += (2-9)
Opis značenja zaokruženja kritične točke dan na slici 2.8. za ( ) ( ){ })(,)( sFsF ravninu
se lako može prenijeti na Nicholsovu kartu. Kritična točka na Nicholsovoj karti je (-180°, 0
dB). Odsječak realne osi na intervalu 1,−∞− odgovara liniji s fazom od -180° i
intervalom pojačanja otvorenog kruga od +∞,0 . prikaz analogan onom sa slike 2.8. je
dan na slici 2.9. Sada imamo saznanje kako odrediti broj zaokruženja kritične točke na NC.
Slika 2.9. Obilasci kritične točke na NC
3
engl. closed-loop – otuda kratica CL
4
engl. right halfplane – otuda kraica RHP
5
engl. open loop – otuda kratica OL

14. 2. MISO QFT
11
2.3. Zadavanje specifikacija na performanse zatvorenog kruga
Neovisno o vrsti specifikacija koje želimo da naš upravljački sustav zadovolji moramo
biti svjesni da svaka specifikacija rezultira nekakvim fekvencijskim ograničenjem tzv.
granicom koja odvaja dopušten od nedopuštenog prostora na NC6
za odabir prikladnog
regulatora. Ta granica je u potpunosti odre ena razinom neodre enosti procesa i strogoćom
njoj pripadne specifikacije. Broj specifikacija koje je moguće zadati je velik: specifikacije
na praćenje reference, na potiskivanje poremećaja, na relativnu stabilnost, na umanjenje
djelovanja mjernog šuma, na upravljačku energiju itd. Ovdje će pobliže biti objašnjenje one
vezane uz praćenje reference (servo specifikacije), potiskivanje poremećaja i relativnu
stabilnost koje pak predstavljaju temelj u svakoj sintezi. Iskustven zaključak do kojeg se
došlo u radu QFT metodom jest da je a priori vrlo teško zadati mnogo specifikacija zbog
nepoznavanja razine neodre enosti procesa i njegove naravi. Naime, kad se konačno počne
projektirati regulator to se čini na temelju rezultantnih ili kompozitnih granica. One su pak
dobivene kao presjek svih generiranih granica. Problem nastaje kada taj presjek ne postoji a
vjerojatnost da se to dogodi raste s brojem zadanih specifikacija i njihovom strogoćom. U
takvim slučajevima smo prisiljeni na kompromise. To znači da se moramo vraćati na
početne korake zadavanja modela ponašanja i modificirati ih kako bi postojao taj presjek.
U nastavku će biti izložena rasprava o servo specifikacijama, specifikacijama na relativnu
stabilnost i specifikacijama na potiskivanje poremećaja.
2.3.1. Servo specifikacije
Zadovoljavanjem servo specifikacija postižemo da y(t) slijedi r(t) unutar zadanih
granica yD(t) – donja granica i yG(t) – gornja granica za ∈∀ )(sP . Na slici 2.10.
prikazane su najbitnije vrijednosti kod zadavanja servo specifikacija u vremenskoj domeni:
Slika 2.10. Gornja tg(t) i donja granica td(t) naprijelaznu karakteristiku zatvorenog kruga
6
engl. Nichols chart – otuda i kratica NC koja će biti korištena dalje u tekstu

15. 2. MISO QFT
12
Model ponašanja zadan u vremenskoj domeni se svakako mora prevesti u frekvencijsku
domenu. Na slici 2.11. su prikazane donja i gornja frekvencijska granica u Bodeovom
prikazu. One odgovaraju vremenskim karakteristikama sa slike 2.10. Ovdje moram
naglasiti jednu veliku fleksibilnost QFT metode: model ponašanja ne mora biti zadan kao
neki izraz npr. funkcija prijenosa, već može biti zadan kao niz vrijednosti koje su
pridružene odabranim frekvencijama na kojima će se vršiti sinteza (vidi kasnije odabir
frekvencija). Isto vrijedi i za model procesa. On može biti zadan u prostoru stanja ili u
obliku funkcije prijenosa ali isto tako se mogu koristiti rezultati nekakvog ispitivanja
procesa npr. rezultati snimanja točku po točku kako bi se dobila frekvencijska
karakteristika procesa. Nadalje opis neodre enosti modela procesa može biti i strukturiran
ali i nestrukturiran. Sve ovo ide u prilog velike fleksibilnosti metode koja se ne veže na
neku strogu formu već samo zahtijeva podatke u bilo kojem obliku za svoj mehanizam.
Time se i opravdava pridjev “kvantitativne” naravi metode.
Slika 2.11. Granice u frekvencijskoj domeni na LAFK zatvorenog kruga
Modelsko ponašanje nekako intuitivnije zadati parametrima iz vremenske domene, barem
kada je u pitanju odziv na skokovitu pobudu. Nadalje, zadavanje modela drugog reda se
nameće samo po sebi. Sa slike 2.10. su vidljive neke karakteristične vrijednosti za odziv
modela drugog reda kao što su:
ts – vrijeme ulaska u stacionarno stanje ili vrijeme smirivanja. Definira se kao minimalna
vrijednost ts koja zadovoljava sljedeći izraz:
[ ] ( ) [ ]






+≤≤





−
100
%
1
100
%
1
p
yty
p
y stacstac za Stt ≥ (2-10)
gdje p obično ima vrijednost do 5%. ystac je stacionarna vrijednost od y(t).
tm – vrijeme prvog maksimuma.
σm[%] – nadvišenje u t = tm. Definira se kao:

16. 2. MISO QFT
13
[ ] ( ) %100%
stac
m
m
y
ty
=σ (2-11)
tr – vrijeme porasta definirano kao vrijeme kad odziv prvi puta dosegne 90% stacionarne
vrijednosti.
Zapis funkcije prijenosa drugog reda s jediničnim pojačanjem je:
22
2
2
)(
nn
n
ss
sT
ωςω
ω
++
= (2-12)
Ukoliko imamo ideju kakve vrijednosti bi trebali poprimiti parametri σm i tm tada postoje
relacije koje ih povezuju s ς i ωn:
[ ]
[ ]
2
2
2
1
100
%
ln
100
%
ln
ς
π
ω
σ
π
σ
ς
−
=






+






=
m
n
m
m
t
(2-13)
Vrlo često se kao mjera kvalitete vremenskog odziva koristi i vrijeme smirivanja ts.
Njegova aproksimativna vrijednost je:
n
st
ςω
4
≈ (2-14)
Postoji još niz drugih relacija koje stavljaju u odnos vremenske i frekvencijske pokazatelje
za sustav drugog reda ali se ovdje neće navoditi. Jednom kada je modelom drugog reda
zadana gornja tg(t) i donja td(t) granica prijelazne karakteristike, odnosno gornja i donja
granica u frekvencijskoj domeni Tg(s) i Td(s), potrebno je pristupiti njihovoj doradi na
višim frekvencijama. O kakvoj doradi je točno riječ biti će objašnjeno na primjeru. Zadane
su sljedeće specifikacije dane kao model drugog reda:
12
1
)( 2
++
=
ss
sTg s ωn = 1 i ς = 1 (2-15)
81.016.2
81.0
)( 2
++
=
ss
sTd s ωn = 0.9 i ς = 1.2 (2-16)
Na slici 2.12. su dane granice tg(t) i td(t) na prijelazne karakteristike i njima priružene
amplitudne frekvencijske karakteristike Tg(s) i Td(s). Napomenut ću samo kako je za rad s
minimalno faznim procesima dovoljno zadovoljavanje samo amplitudnih frekvencijskih
karakteristika. Postupak za neminimalno fazne procese će biti dan na kraju poglavlja (riječ
je o sitnoj modifikaciji standardnog procesa sinteze upravljačkog sustava za minimalno
fazne proces).

17. 2. MISO QFT
14
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Gornja i donja granica
na prijelaznu karakteristiku
t [s]
y(t)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Logaritamske amplitudne karakteristike
gornje i donje granice
ω [s-1
]
A[dB]
T
g
(jω)
T
d
(jω)
t
g
(t)
td
(t)
δδδδ
hhhhffff
Slika 2.12. specifikacije u vremenskoj i frekvencijskoj domeni
Visokofrekvencijskim pojasom se smatra područje za koje vrijedi da je bωω ≥ gdje je bω
frekvencija propusnog pojasa7
gornje granica Tg(s). Ako promotrimo sliku 2.12. vidjet
ćemo da za taj pojas amplitudne karakteristike od Tg(s) i Td(s) imaju isti nagib od -
40dB/dek i kako su prilično blizu jedna drugoj. Drugim riječima, me usobni razmak δhf
ima konstantan iznos. Ovo predstavlja velik problem u sintezi jer da bi se zadovoljilo
ovakve zahtjeve na visokim frekvencijama otvoreni krug mora imati jako veliko pojačanje
uslijed postojanja neodre enosti procesa. Jako veliko pojačanje opet vodi sustav bliže
nestabilnosti. Nadalje, iznos frekvencijske karakteristike zatvorenog kruga na
frekvencijama za koje vrijedi ω >> bω je gotovo nebitan. Iz tog razloga dopušteno je učiniti
specifikacije manje strogima u tom pojasu. To činimo tako da δhf ima rastuć iznos s
porastom frekvencije. Uobičajen način postizanja ovog zahtjeva je umetanje jedne nule u
Tg(s) i jednog pola u Td(s). Tim potezom se smanjuje nagib od Tg(s), a povećava nagib od
Td(s). Na slici 2.13. su prikazane prijelazne i frekvencijske karakteristike sa spomenutim
modifikacijama. Prikazane su iscrtkano u odnosu na originalne karakteristike sa slike 2.12.
7
engl. bandwidth – misli se na frekvenciju ωb gdje je iznos amplitudne karakteristike -3dB

18. 2. MISO QFT
15
0 5 10 15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
y(t)
Usporedba modificiranih i nemodificiranih
vremenskih specifikacija
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
ω [s-1
]
A[dB]
Usporedba modificiranih i originalnih
frekvencijskih specifikacija
yg
(t) ORIGINAL
yg
(t) MODIFIKACIJA
yd
(t) ORIGINAL
yd
(t) MODIFIKACIJA
Tg
(t) ORIGINAL
Tg
(t) MODIFIKACIJA
Td
(t) ORIGINAL
Td
(t) MODIFIKACIJA
Slika 2.13. Usporedba modificiranih i originalnih specifikacija
Umetnut je pol 2−=p u Td(s) tako da ona sada ima oblik:
81.0565.208.25.0
81.0
)( 23
+++
=
sss
sTd
(2-17)
Umetnuta je nula 2−=z u Tg(s) tako da ona sada ima oblik:
12
15.0
)( 2
++
+
=
ss
s
sTg (2-18)
Nule i polovi se umeću što bliže ishodištu a da ne utječu previše na originalne prijelazne
karakteristike. Ukoliko se umetnu predaleko od ishodišta nismo ništa postigli jer će to opet
tražiti visoko pojačanje otvorenog kruga. Jednako tako umetanje preblizu ishodištu ima za
posljedicu preveliku modifikaciju zamišljenih prijelaznih karakteristika. Umetanje samo
nule ili samo pola može proći ukoliko neodre enost procesa nije prevelika. Razmislimo
kakve bi dodatne posljedice imale nemodificirane specifikacije u visokofrekvencijskom
pojasu. Pretpostavimo da su sve amplitudne karakteristike visokim frekvencijama unutar
uskog razmaka izme u gornje i donje granice. To je učinjeno na račun velikog pojačanja
otvorenog kruga. Pretpostavimo nadalje da su zadovoljene i specifikacije na relativnu
stabilnost. No, sada se javlja novi problem, a taj je prevelika osjetljivost upravljačkog
sustava na mjerni šum N(vidi sliku 2.1.). Naime, funkcija prijenosa Y(s) u odnosu na N(s)
je:
)(1
)(
)()(1
)()(
)(
)(
)(
sL
sL
sPsG
sPsG
sN
sY
sTN
+
−=
+
−== (2-19)

19. 2. MISO QFT
16
Spomenuto je da će sada na velikom rasponu frekvencija otvoreni krug L(jw) imati veliko
pojačanje. Za taj raspon unutar kojeg vrijedi da je )( ωjL >>1 dobivamo sljedeće:
≈
)(
)(
sN
sY
1 (2-20)
Djelovanje mjernog šuma postaje značajno na višim frekvencijama, a ovako projektiran
sustav propušta dio tog pojasa u kojem snaga šuma postaje značajna direktno na izlaz. Vidi
sliku 2.14. na kojoj je prikazan odnos amplitudne karakteristika mjernog šuma i amplitudne
karakteristike funkcije prijenosa šuma. Vidljivo je preklapanje u jednom frekvencijskom
pojasu, a to drugima riječima znači da šum iz tog pojasa ide neatenuiran na izlaz. Ovakvo
što uzrokuje trošenje aktuatora zbog uzrokovanje njegovog nepotrebno intenzivnog rada.
Crtkanom crvenom linijom je prikazana amplitudna karakteristika koja je mogla biti
dobivena da se vodilo računa o rastućem razmaku izme u amplitudnih karakteristika Tg(s) i
Td(s). Tada bi pojačanje otvorenog kruga bilo osjetno manje a performanse bolje kad se sve
zbroji i oduzme. Punom crvenom linijom je predstavljena amplitudna karakteristika
dobivena u procesu sinteze u kojem se nije vodilo računa o ostvarenju rastućeg razmaka.
Slika 2.14. Osjetljivost na mjerni šum
Postoji još jedan dobar razlog za izbjegavanje nepotrebno velikog pojačanja otvorenog
kruga: nemodelirana dinamika na visokim frekvencijama. Naime, na slici 2.14. je vidljivo
kako je korišten propusni pojas veći nego što je potrebno za ostvarenje bitne dinamike
zatvorenog kruga. Ovo može imati samo loše posljedice jer tada otvaramo mogućnost da
do izražaja do e i nemodelirana dinamika na visokim frekvencijama. Ovakav slučaj se
dogodio u rješavanju problema upravljanja kursem tankera Tokyo Maru. Upravo je
nemodelirana dinamika na visokim frekvencijama izazivala nestabilnost u prvim fazama
projektiranja. O tome više kasnije u poglavlju predvi enom za rješavanje tog problema.

20. 2. MISO QFT
17
2.3.2. Specifikacije na potiskivanje poremećaja
Ova vrsta specifikacija za razliku od servo specifikacija ima samo gornju granicu
)(sT GD . Često je riječ o najjednostavnijoj specifikaciji α=)(sT GD . Problem ovako zadane
specifikacije je što nekako nije u skladu s naravi poremećaji. Spektar poremećaja je
najčešće na niskim frekvencijama a ovakva specifikacija to ne uzima u obzir. Moglo bi se
tada reći da jednostavno smanjimo α do te mjere da se poremećaj jako atenuira tj. da
imamo dovoljno malo pojačanje u frekvencijskom pojasu koji odgovara poremećaju. No
tada ujedno imamo isti zahtjev za jakom atenuacijom i u visokofrekvencijskom pojasu.
Ovakvo što rezultira vrlo dominantnim granicama na NC i potrebom za pretjerano visokim
pojačanjem otvorenog kruga što naravno povlači i pitanje stabilnosti.
Moguće je ovom problemu doskočiti sa tipom specifikacije koji ima malo pojačanje na
interesantnom frekvencijskom intervalu, a za visoke frekvencije se zahtjevi oslabe pa
samim time i strogoća generiranih ograničenja. Evo i primjera za poremećaj D2 na izlazu
procesa, [1]:
>> Neka je 01.0)( ≤ty za mst 60≥ uslijed djelovanja skokovitog poremećaja 1)(2 =td .
Moguće je gornju granicu za ovaj primjer formulirati na sljedeći način:
22
)(
)(
)(
hgs
gss
sT GD
++
+
= (2-20)
i to zato što je njena prijelazna karakteristika jednostavna i intuitivna:
)cos()( htett gt
DG
−
= (2-21)
Odabirom 70=g i 324=h dobivamo sljedeću funkciju prijenosa gornje granice:
5224140
)70(
)( 2
++
+
=
ss
ss
sT GD (2-22)
Na slici 2.15. je prikazano vremensko i frekvencijsko ograničenje.
0 0.02 0.04 0.06 0.08
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vremensko ogranicenje na
poremeca d
2
(t)
y
d2
(t)
t [s]
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Amplitudna karakteristika gornje
granice na poremecajno ponasanje
A[dB]
ω [s-1
]
Slika 2.15. Ograničenja na poremećajno djelovanje

21. 2. MISO QFT
18
Sa slike Sl.2.15. je vidljivo kako smo dobili amplitudnu karakteristiku koja u interesantnom
području ima vrlo male vrijednosti dok u (nebitnom)visokofrekvencijskom području
zahtjevi bitno oslabe. Kao što je objašnjeno ovo ima smisla raditi zbog spektralne naravi
poremećaja. Njegova snaga je koncentrirana na malim frekvencijama gdje je i ostvarena
atenuacija najveća.
2.3.3. Specifikacije na stabilnost
Ova temeljna specifikacija zadaje se tako da vrijedi:
mM
jL
jL
≤
+ )(1
)(
ω
ω
(2-23)
Značaj ovog izraza možda nema tako dobru interpretaciju na Bodeovom dijagramu kao na
NC gdje nam daje do znanja koje je minimalno amplitudno (A.O.)8
i minimalno fazno
(F.O.)9
osiguranje. Naime jednakosti:
mM
jL
jL
=
+ )(1
)(
ω
ω
(2-24)
odgovara u NC elipsoida oko kritične točke (0dB, -180°) iznosa ( )mMlog20 . Njen prikaz
je dan na slici 2.16. Udaljenost od ishodišta do točke gdje elipsoida presjeca liniju od 0dB
je F.O., dok udaljenost od ishodišta do točke gdje elipsoida presjeca liniju od -180°
predstavlja A.O. Riječ je o minimalnom A.O. i F.O. koji su dani u odnosu na Mm kao:






−
°
−°=






+
−=
−
1
2
1
cos
180
180..
1
log20..
2
1
m
m
m
M
OF
M
M
OA
π
(2-25)
Slika 2.16.
8
A.O. – amplitudno osiguranje
9
F.O. – fazno osiguranje

22. 2. MISO QFT
19
Na osi apscise je dana faza otvorenog kruga )( ωjL∠ , dok je na osi ordinate dana
logaritamska amplituda otvorenog kruga )(log20 ωjL 10
. Kako je već ranije objašnjeno niti
jedna frekvencijska karakteristika otvorenog kruga ne smije ući unutar ove elipse. Granice
koje proistječu iz ove specifikacije se prve moraju zadovoljiti, a potom možemo birati koje
od preostalih granica nam imaju veće značenje.
2.4. Predlošci ili skupovi iznosa
Neka je proces opisan skupom sastavljenim od M linearnih vremenski nepromjenjivih
modela, [8]:
( ){ }MisPi ,,1, K== (2-26)
Skup za naše potrebe definira parametarsku neizvjesnost modela procesa. Ta vrsta
neizvjesnosti modela procesa se može formulirati na sljedeći način, [17]:
( ) ( ) ( )
( ) 





⊂∈== n
Qq
qsD
qsN
qsPqs
r
r
r
rr
,
,
,, (2-27)
gdje je:
Q – n-dimenzionalni prostor parametarske neizvjesnosti
q
r
– n-dimenzionalni vektor, element prostora Q.
( )qsN
r
, – intervalski polinom brojnika. Član je familije ( )Qs, opisane kao:
( ) ( ) ( )






∈== ∑=
r
i
i
i QqsqnqsNQs
0
,,
rrr
(2-28)
( )qsD
r
, – intervalski polinom nazivnika. Član je familije ( )Qs, opisane kao:
( ) ( ) ( )






∈== ∑=
r
i
i
i QqsqdqsDQs
0
,,
rrr
(2-29)
( )qs
r
, – skup neizvjesnih modela procesa.
Kao što je vidljivo iz ove formulacije neizvjesnosti unutar skupa postoji neizmjeran
broj članova ako je prostor Q kontinuiran. Takvo što je neprihvatljivo za projektiranje
upravljačkog sustava na računalu. Zato se odabire konačan broj elemenata skupa . Otuda
i formulacija parametarske neizvjesnosti procesa kao skupa od M linearnih vremenski
nepromjenjivih modela:
( ){ }MisPi ,,1, K== (2-30)
10
u nastavku će se radi kratkoće logaritamska amplituda naznačavati s dB
⋅

23. 2. MISO QFT
20
Predložak je skup vrijednosti skupa na nekoj frekvenciji ωi. Prema tome, predložak
( )ijωΠ na frekvenciji wi možemo zapisati kao:
( ) ( ){ }iki jPj ωω =Π (2-31)
gdje je ∈kP .
Predložak predstavlja mjerilo neodre enosti procesa na nekoj frekvenciji. Što je područje
koje razapinju vrijednosti predložka veće to je i neodre enost modela procesa veća.
Uzmimo primjer:
>>Neka je dan proces:
( )
( )ass
a
KsP
+
= (2-32)
s [ ] [ ]10,1, =∈ +−
aaa i [ ] [ ]10,1, =∈ +−
KKK . Područje parametarske neizvjesnosti je dano
na slici 2.17.:
Slika 2.17. Područje parametarske neizvjesnosti
Nadalje vrijedi:
( ) ( )
( ) ass
Ka
dsdsd
n
sD
sN
sP
+
=
++
== 2
01
2
2
0
(2-33)
Prema tome dobivamo da su koeficijenti intervalskih polinoma D i N dani kao funkcije
parametara procesa:
1
0
2
1
0
0
=
=
=
=
d
ad
d
Kan
(2-24)
Koeficijenti d0 i d2 su potpuno izvjesni dok n0 i d1 to nisu. Oni pripadaju sljedećim
intervalima:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]10,1,,
100,1,,
111
000
===
===
+−+−
++−−+−
aaddd
aKaKnnn
(2-25)

24. 2. MISO QFT
21
Ako pretpostavimo da se a i K mogu mijenjati kontinuirano i nezavisno jedan o drugome
uvi amo kako postoji neizmjeran broj funkcija prijenosa procesa. Zato uzimamo, u ovom
slučaju, samo rubove intervala kako bi formirali opis neizvjesnosti s konačnim brojem
elemenata zbog potreba sinteze. Riječ je o sljedeće četiri funkcije prijenosa:
( )
( )
( )
( )
ssdsdsd
n
sP
ssdsdsd
n
sP
ssdsdsd
n
sP
ssdsdsd
n
sP
10
100
10
1
100
1
2
01
2
2
0
4
2
01
2
2
0
3
2
01
2
2
0
2
2
01
2
2
0
1
+
=
++
=
+
=
++
=
+
=
++
=
+
=
++
=
+
+
+
−
−
+
−
−
(2-26)
Prema tome je dan kao skup s četiri elementa:






++++
=
ssssssss 10
100
,
10
1
,
100
,
1
2222 (2-27)
Predložak na frekvenciji wi je tada skup iznosa skupa na frekvenciji wi :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) 







++++
=Π
iiiiiiii
i
jjjjjjjj
j
ωωωωωωωω
ω
10
100
,
10
1
,
100
,
1
2222 (2-28)
Na slici 2.18. je dan prikaz te četiri točke u NC za 1
1 −
= sω . Područje ome eno crnim
linijama je aproksimacija predloška. U ovom slučaju riječ je o dobro odabranim procesima
jer oni leže na rubu stvarne granice predloška koji bi se dobio iscrtavanjem beskonačnog
broja vrijednosti. Što se slike 2.18. tiče vrijedi:
Točka 1 odgovara procesu ( )
ss
sP
+
= 21
1
→ dBA 3−= i °−= 135ϕ
Točka 2 odgovara procesu ( )
ss
sP
+
= 22
100
→ dBA 37= i °−= 135ϕ
Točka 3 odgovara procesu ( )
ss
sP
10
1
23
+
= → dBA 05.20−= i °−= 7.95ϕ
Točka 4 odgovara procesu ( )
ss
sP
10
100
24
+
= → dBA 95.19= i °−= 7.95ϕ

25. 2. MISO QFT
22
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 dB
3 dB
6 dB
0.25 dB
-20 dB
-12 dB
-6 dB
1 dB
0.5 dB
-3 dB
0 dB
-1 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
1
2
4
3
Slika 2.18. Predložak s 4 točke i aproksimacija ruba predloška
Na slici 2.19. je dan sličan prikaz ali je uzeto mnogo više procesa kako bi se povećao broj
članova skupa , samim time i broj točaka predložaka. Na ovaj način ćemo dobiti
precizniji uvid o tome gdje se doista nalazi granica predloška koja je vrlo važan faktor u
odre ivanju frekvencijskih ograničenja kako će biti poslije pokazano.
Uzeto je 10 jednoliko rapodijeljenih vrijednosti za koeficijent n0 iz intervala [1, 100], te 10
jednoliko raspodijeljenih vrijednosti za koeficijent d1 iz intervala [1, 10]. Crvenim
kružićima su označeni procesi s prošle slike, dakle procesi dobiveni na kombinacijom
rubova intervala [1, 100] i [1, 10]. Ostalo(plavi kružići) su procesi dobiveni kao
kombinacije iz unutrašnjosti intervala [1, 100] i [1, 10].
Vidljivo je usporedbom slika 2.17. i 2.18. da je crna linija sa slike 2.17. dobra
aproksimacija granice predloška koja se sad puno jasnije nazire sa slike 2.18.

26. 2. MISO QFT
23
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 dB
-20 dB
-12 dB
-6 dB
-3 dB
-1 dB
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Slika 2.18. Predložak sa 100 točaka
Sa slike 2.18. je moguće primjetiti kako mnoge točke ne sudjeluju u formiranju granice
koja nam je u biti jedino važna za dobivanje Horowitz – Sidi frekvencijskih ograničenja na
NC. Pitanje je postoji li neki drugi način biranja točaka i to takav da generira manje točaka
koje su pak većinom koncentrirane uz stvarnu granicu predloška. Gore je naime prikazan
najjednostavniji i najintuitivniji način generiranja točaka: imamo intervale neodre enosti,
uzmemo par iznosa iz svakog od njih te napravimo sve moguće kombinacije svih iznosa iz
svih intervala. To je tzv. grid metoda generiranja predloška. Pretpostavimo nadalje da
imamo m parametarskih intervala, te da je iz svakog od njih uzeto n vrijednosti. Ovo znači
da imamo m
n točaka koje treba izračunati!!! Ovo je računski vrlo rastrošan postupak a
većina točaka koje daje nisu na rubu. Horowitz i Yaniv su u nekim svojim radovima
ustvrdili kako je svaki od intervala dovoljno podijeliti na samo par vrijednosti, [8]. No,
postoje i drugi postupci.
Jedan od njih je random metoda generiranja predložaka koja je u osnovi slična
spomenutoj grid metodi ali se intervali dijele ovisno o generiranom slučajnom broju. Ova
metoda se ne bi smjela koristiti sama za sebe veća kao nadopuna drugim metodama.
Metoda ruba je odlična metoda pod uvjetom da je zadovoljen teorem ruba. Teorem ruba
specificira uvjet koji mora biti zadovoljen da se rub parametarskog prostora preslika u rub
predloška. Traži se naime da Jacobian matrice koja preslikava n-dimenzionalni
parametarski prostora u 2-dimenzionalni ( ) ( ){ })(,)( ωω jPjP prostor ima puni rang.

27. 2. MISO QFT
24
Ukoliko je taj zahtjev zadovoljen ova metoda daje upravo granicu predloška. Funkcionira
tako da se rub hiperkocke Q parametarskog prostora preslika u rub predloška. Dakle, ako
imamo m parametara od kojih m-1 držimo u ekstremnoj vrijednosti(znači minimalnoj ili
maksimalnoj) a preostali m-ti parametar mijenjamo u njegovom punom rasponu. Taj
postupak ponavljamo i za preostalih m-1 slučajeva. Prema tome računa se ( ) mnm
2
1−
vrijednosti, gdje je n broj podjeljaka parametarskog intervala. Na slici 2.19. je prikazan
rezultat primjene metode ruba:
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 dB
-20 dB
-12 dB
-6 dB
-3 dB
-1 dB
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Slika 2.19. Predložak dobiven metodom ruba
Sa slike 2.19. je vidljivo kako se rub parametarskog područja neizvjesnosti preslikao u rub
predloška. Ovakav predložak ne traži dodatnu obradu kako bi se uklonile suvišne točke iz
unutrašnjosti jer sve generirane točke leže upravo na granici. No i ova metoda ima svoju
manu. Ako teorem ruba nije zadovoljen ova metoda će dati neispravan rezultat zato što će
neke od generiranih točaka u stvarnosti ležati unutar(!) granica a ne na njoj. Problem je što
bi onda prije svake primjene trebalo provjeravati je li taj teorem zadovoljen što baš i nije
najspretnije rješenje. Upravo u ovom slučaju je potrebna i nekakva pomoćna metoda(npr.
random grid metoda) kao usporedba jer tako ne bi morali implementirati rutinu koja bi
provjeravala jesu li preduvjeti za teorem ruba zadovoljeni.
Postoje još i rekurzivne metode a jedna od njih je rekurzivna grid metoda. Kod nje
dijeljenje intervala(engl.gridding of interval) nije fiksno već adaptivno. Problem ovih
metoda je što mogu postati jako spore ako su predlošci veliki i ako je broj parametara velik.

28. 2. MISO QFT
25
Možda čak ne bi bilo pretjerano reći kako im se konvergencija pod odre enim uvjetima
dovodi u pitanje.
U magistarskom radu R.S.Mishra-e [6] je obra ena primjena QFT metode na
upravljanje brzinom okretanja plinske turbine zrakoplova, te primjena na upravljanje
lateralnim gibanjem zrakoplova F-16. Plinska turbina je opisana modelom osmog reda
dobivenog linearizacijom. Analiza funkcije prijenosa je pokazala kako je 16 koeficijenta
funkcije prijenosa doista bitno i može ih se smatrati neizvjesnima. Dakle riječ je o
parametarskom prostoru neizvjesnosti dimenzije 16(!). Ovakva dimenzionalnost postaje
previše glomazna za bilo koju od opisanih metoda ali je u tom radu primjenjeno vrlo
elegantno rješenje. Korišteni su Karitonovljevi segmenti kao sredstvo za dobivanje
potrebnih točaka. Naime ova metoda prilično vjerno opisuje predložak i to pod cijenu bitno
smanjenih računskih zahtjeva. U nastavku je opisan postupak.
Neka je proces opisan intervalskom funkcijom prijenosa:
( ) ( ) ( )
( ) 





⊂∈== n
Qq
qsD
qsN
qsPqs
r
r
r
rr
,
,
,, (2-29)
gdje su:
Q – n-dimenzionalni prostor parametarske neizvjesnosti
q
r
– n-dimenzionalni vektor, element prostora Q.
( )qsN
r
, – intervalski polinom brojnika opisan s (2-28).
( )qsD
r
, – intervalski polinom nazivnika opisan s (2-29).
( )qs
r
, – skup neizvjesnih modela procesa.
Za koeficijente brojnika vrijedi [ ]+−
∈ iii nnn , , dok za koeficijente nazivnika vrijedi
[ ]+−
∈ iii ddd , .
Karitonovljevi polinomi brojnika su:
L
L
L
L
++++=
++++=
++++=
++++=
−−++
+−−+
−++−
++−−
3
3
2
210
4
3
3
2
210
3
3
3
2
210
2
3
3
2
210
1
)(
)(
)(
)(
snsnsnnsK
snsnsnnsK
snsnsnnsK
snsnsnnsK
N
N
N
N
(2-30)
Neka je N
i
N KK ∈ za 4,3,2,1=i .
Karitonovljevi polinomi nazivnika su:

29. 2. MISO QFT
26
L
L
L
L
++++=
++++=
++++=
++++=
−−++
+−−+
−++−
++−−
3
3
2
210
4
3
3
2
210
3
3
3
2
210
2
3
3
2
210
1
)(
)(
)(
)(
sdsdsddsK
sdsdsddsK
sdsdsddsK
sdsdsddsK
D
D
D
D
(2-31)
Neka je D
i
D KK ∈ za 4,3,2,1=i .
Iz Karitonovljevih polinoma brojnika formiraju se Karitonovljevi segmenti brojnika:
434
423
312
211
)1(
)1(
)1(
)1(
NNn
NNn
NNn
NNn
KKK
KKK
KKK
KKK
λλ
λλ
λλ
λλ
−+=
−+=
−+=
−+=
(2-32)
Neka je n
i
n KK ∈ za 4,3,2,1=i .
Iz Karitonovljevih polinoma nazivnika formiraju se Karitonovljevi segmenti nazivnika:
434
423
312
211
)1(
)1(
)1(
)1(
DDd
DDd
DDd
DDd
KKK
KKK
KKK
KKK
λλ
λλ
λλ
λλ
−+=
−+=
−+=
−+=
(2-33)
Neka je d
i
d KK ∈ za 4,3,2,1=i .
Sada je moguće definirati ∈1
K i ∈2
K , dakle dva nova skup modela procesa koji
su formirani na sljedeći način:






∈∧∈∈= dNK KsdKsn
sd
sn
)()(:
)(
)(1
(2-34)






∈∧∈∈= DnK KsdKsn
sd
sn
)()(:
)(
)(2
(2-35)
Ova dva skupa zajedno imaju 32 člana. Dakle moguće je iscrtati 32 točke na NC. Ukoliko
to nije dovoljno jednostavno uzimamo novu vrijednost faktora λ i dobivamo dodatne 32
točke. Vrijedi da je [ ]1,0∈λ . Mishra [6] je uzimao 10 vrijednosti faktora λ i tako dobio
samo 320 točaka s kojima je uspio generirati kvalitetan predložak! Da je npr. korištena grid
metodu sa samo 4 podjeljka parametarskog intervala trebalo bi izračunati oko 2.3 milijarde
točaka. Sa metodom ruba uz isto dijeljenje intervala je riječ o 14400 točaka. Značajna
ušteda ali opet dolazi u pitanje je li zadovoljen teorem ruba. Na slici 2.20. je prikazan
predložak dobiven korištenjem 4 Karitonovljeva segmenta:

30. 2. MISO QFT
27
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 dB
-20 dB
-12 dB
-6 dB
-3 dB
-1 dB
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Open-LoopGain(dB)
Slika 2.20. Predložak dobiven korištenjem 4 Karitonovljeva segmenta
Očigledno je da na slici 2.20. nema 32*4 točke jer su se izgleda mnoge točke preklopile. To
ne umanjuje činjenicu da su dobivene kvalitetno raspore ene točke uz male računske
zahtjeve.
2.5. Odabir frekvencija
Oko principa odabira frekvencija postoji mnogo različitih mišljenja ali to doista nije
osobit problem. Najkraće rečeno potrebno je odabrati frekvencije unutar interesantnog
frekvencijskog područja a to je najčešće unutar propusnog pojasa. Houpis [1] preporučuje
odabir tri frekvencije razmaknute za oktavu u pojasu do presječne frekvencije od Tg(s) i tri
frekvencije razmaknute za oktavu izme u presječene frekvencije od Tg(s) i frekvencije na
kojoj je amplituda od Tg(s) -12dB. Ovome se još može dodati jedna visoka frekvencija za
formiranje U – konture. O U – konturi više kasnije u poglavlju o formiranju granica. Drugi
dobar pristup je da se biraju frekvencije tako da postoji vidljiva me usobna razlika u obliku
i veličini predložaka. Niti jedna od spomenutih i nespomenutih metoda odabira ne garantira
da će dati baš odličan odabir. Primjerice možemo ustanoviti da postoji velika praznina
izme u dviju granica na NC pa ćemo izme u frekvencija pridruženih tim granicama
umetnuti dodatnu frekvenciju(e). Ako npr. specifikacija ima rezonantno nadvišenje tada je
u tom području potrebno umetnuti par frekvencija kako bi se “uhvatio” taj dio
specifikacije, [1].

31. 2. MISO QFT
28
2.6. Horowitz – Sidi granice
Generiranje granica je uz generiranje predložaka ključni korak u QFT metodi. Već je
napomenuto kako svakoj vrsti specifikacija odgovara njima pridružena granica tj.
frekvencijsko ograničenje na nominalni otvoreni krug )()()( 00 sPsGsL = . Kao nominalni
proces P0(s) se može birati bilo koji ∈)(sPi . Cilj je naći takav kompenzator G(s) koji će
postići da nominalna frekvencijska karakteristika od L0(s) zadovolji sve granice. Ako je to
postignuto onda imamo garanciju da su zadovoljene sve specifikacije na ponašanje
zatvorenog kruga za svaki(!) proces ∈)(sPi . Ovo je ključan moment u QFT metodi i
stoga će biti još jednom ponovljen:
Važno je shvatiti da se u QFT metodi ne rješava simultani problem za sve moguće
∈∈∈∈)(sPi već se problem transformira na taj način da se rješava jedan problem
(nominalni problem) unutar frekvencijski ovisnih ograničenja. Nominalni problem se
tada rješava klasičnim postupkom oblikovanja u frekvencijskoj domeni11
. Spomenuta
ograničenja su rezultat interakcije specifikacija i neodre enosti procesa!
Da bi mogli shvatiti područja koja nadolaze potrebno je objasniti kakav točno efekt ima
uvo enje kompenzatora G(s) na “ponašanje” predloška.
2.6.1. Utjecaj kompenzatora na predložak
Na slici 2.21. je dan prikaz predloška ( )ijωΠ procesa na NC:
Slika 2.21. Predložak na frekvenciji ωi
Da bi se dobio predložak otvorenog kruga na wi mora se uvesti kompenzator G(s).
Uvo enjem kompenzatora predložak procesa na wi je u odnosu na predložak otvorenog
kruga na wi identičan oblikom, veličinom i orijentacijom dok je me usoban položaj
11
engl. loopshaping

32. 2. MISO QFT
29
uvjetovan iznosom G(jωi) koji kompenzator poprima na wi. Do ove tvrdnje dolazimo
lagano ukoliko vrijednost G(jwi) prikažemo kao amplitudu danu u decibelima:
( )( )ii jGA ωlog20=
i kut dan u stupnjevima:
( ){ }
( ){ }





= −
i
i
i
jG
jG
ω
ω
π
ϕ 1
tan
180
Ovo znači da se predložak procesa ( )ijωΠ na frekvenciji wi uvo enjem kompenzatora
pomiče za Ai u vertikalnom smjeru i za φi u horizontalnom smjeru! Prema tome, predložak
otvorenog kruga nije ništa drugo do predložak procesa pomaknut u vertikalnom smjeru za
pojačanje kompenzatora (dano u decibelima!) i u horizontalnom smjeru za fazu
kompenzaetora (uobičajilo se da je faza dana u stupnjevima). Znači nema rotiranja,
sažimanja, ekspandiranja i preoblikovanja predložaka procesa već samo translacija! Na
slici 2.22. je ova tvrdnja i ilustrirana strelicama koje naznačuju samo tu mogućnost
translacije:
Slika 2.22. Smjerovi u kojima kompenzator može pomicati predložak
Sada imamo sve što nam treba da bi objasnili generiranje granica.
2.6.2. Granice stabilnosti
Ova vrsta granice proistječe iz zahtjeva da vrijedi:
m
i
i
M
jL
jL
jPjG
jPjG
≤
+
=
+ )(1
)(
)()(1
)()(
ω
ω
ωω
ωω
za ∈∀ iP (2-36)
Već je napomenuto da jednakosti:
mM
jL
jL
=
+ )(1
)(
ω
ω
(2-37)

33. 2. MISO QFT
30
odgovara u NC zatvorena elipsoidna krivulja oko kritične točke (0dB, -180°). To je ujedno
krivulja konstatnog pojačanja zatvorenog kruga iznosa Mm(na NC je ta vrijednost dana u
decibelima). Na slici 2.23. je ponovljen njen prikaz na NC.
Slika 2.23.
Broj frekvencijskih granica jedne vrste jednak je broju odabranih frekvencija tj. broju
elemenata skupa { }nωω ,,1 K=Ω . Označimo granicu na relativnu stabilnost na frekvenciji
wi sa ( )iS ω . U nastavku je objašnjeno kako se ona formira i koje je njeno značenje.
Pokazano je kako se predložak procesa ( )ijωΠ može translatirati po NC zahvaljujući
uvo enju kompenzatora. U momentu kad je uveden kompenzator više nemamo predložak
procesa, već predložak otvorenog kruga. Rečeno je tako er kako niti jedna točka otvorenog
kruga )()( ωω jPjG i ne smije ući unutar zatvorene krivulje sa slike 2.23. za ∈∀ iP zbog
zadovoljenja specifikacije na relativnu stabilnost. Odaberimo nadalje neki nominalni
proces P0(s). Na slici 2.24. je dan predložak procesa za frekvenciju ωi a crnom točkom je
označena pozicija nominalnog procesa P0(jωi) u tom predlošku:
0 dB
-180°
|L(jω)|dB
Arg{L(jω)}
Π(jωi)
P0(jωi)
Slika 2.24. Predložak procesa na ωi

34. 2. MISO QFT
31
Od interesa su položaji u kojima je predložak otvorenog kruga maksimalno blizu crvenoj
krivulji relativne stabilnosti. Na slici 2.25. je dan niz položaja predložaka otvorenog kruga
na frekvenciji ωi. Svakom položaju odgovara neka druga vrijednost kompenzatora.
Zelenom krivuljom su spojene sve crne točke tj. sve nominalne vrijednosti predložaka
otvorenih krugova na frekvenciji ωi.
Slika 2.25. Dobivanje frekvencijskog ograničenja na ωi
povezivanjem točaka koje odgovaraju nominalnom procesu
Zelena linija predstavlja trag nominalnog otvorenog kruga na frekvenciji ωi. Sve dok se
vrijednost nominalnog otvorenog kruga na frekvenciji ωi nalazi izvan područja ome enog
zelenom krivuljom vrijediti će da je )()()( ikiik jPjGjL ωωω = izvan crvene krivulje
za ∈∀ kP . Prema tome, sve dok vrijednost nominalnog otvorenog kruga (znači kruga
koji koristi proces P0(jω)) na frekvenciji ωi poštuje granicu za frekvenciju ωi, poštovat će je
i svaki drugi otvoreni krug koji koristi neki drugi proces Pk(jω), gdje je )()( 0 ωω jPjPk ≠ .
Ovaj trik je ona prije spomenuta transformacija problema koja omogućuje da se umjesto
mnogo simultanih problema sinteze koji bi trebali zadovoljiti propisane specifikacije
rješava samo jedan tzv. nominalni problem. Ukoliko sinteza nominalnog problema
zadovolji propisane granice tada će ih zadovoljiti i bilo koji drugi slučaj koji koristi proces
različit od nominalnog. Na ovaj način rješavanje jednog problema u sebi inherentno sadrži i
rješenje svih ostalih zahvaljujući ovakvoj transformaciji. Što se pak granica tiče, sada je
mnogo jasnije zašto su one u potpunosti uvjetovane razinom neodre enosti procesa (preko
oblika i veličine predloška) i specifikacijama na ponašanje zatvorenog kruga.
Na nižim frekvencijama se predlošci me usobno razlikuju veličinom i oblikom dok na
visokim frekvencijama (za veliku klasu problema) to nije slučaj. Vrijedi da za dovoljno
visoke frekvencije iznos funkcije prijenosa ovisi samo o polnom višku λ i pojačanju K kao
što je vidljivo iz sljedećeg izraza:

35. 2. MISO QFT
32
[ ]
( )λω ω
ω
j
K
)j(Plim =
∞→
(2-38)
U gornjem izrazu postoji jedino neizvjesnost u pojačanju K što znači da predlošku procesa
odgovara vertikalna linija visine V(dane u dB) jednake:
[ ] [ ]dBKK)j(P)j(PlimV minmaxdBmindBmax −=−=
∞→
ωω
ω
(2-39)
Za predloške koji su na visokim frekvencijama degenerirali u vertikalne linije visine V
postoji zajednička granica tzv. U – kontura ili UHFB12
. Na slici 2.26. je dan prikazan
predložak na visokoj frekvenciji, dok je na slici 2.27. pokazano kako se formira
U – kontura(njen oblik je izvučen zelenom linijom).
0 dB
-180°
|L(jω)|dB
Arg{L(jω)}
Π(jω)
P0(jω)
VdB
Slika 2.26. Predložak na visokim frekvencijama, ω >> ωb
Slika 2.27. UHFB kontura
Kao primjer su na slici 2.28. dani predlošci za proces:
( )
( )ass
a
KsP
+
= (2-40)
s [ ] [ ]10,1, =∈ +−
aaa i [ ] [ ]10,1, =∈ +−
KKK .
12
engl. universal high-frequency boundary – univerzalna visokofrekvencijska granica

36. 2. MISO QFT
33
Frekvencije su naznačene na slici.
Slika 2.28. Predlošci procesa
Na slici 2.29. su pak dane granice na relativnu stabilnost za nominalni otvoreni krug:
Slika 2.29. Granice na relativnu stabilnost
2.6.3. Servo granice
Gornja granica na servo specifikacije je Tg(jω) a donja je Td(jω). Za minimalno fazne
procese dovoljno je voditi računa samo o njihovim amplitudama, [1]. Vrijedi da je
amplitudna varijacija ∆R(jωi) specifikacija na frekvenciji ωi :
( ) ( ) ( )dBiddBigiR jTjTj ωωω −=∆ (2-41)
Cilj je u ovom potpoglavlju naći servo granice ( )iR jω čijim zadovoljavanjem postižemo
da je maksimalna varijacija zatvorenih krugova manja od amplitudne varijacije servo
specifikacija ∆R(jωi):
( ) ( ) ( )iRdBidBi jjTjT ωωω ∆≤− minmax (2-42)

37. 2. MISO QFT
34
gdje je:
( )dBimax jT ω - zatvoreni krug s maksimalnim iznosom amplitude na ωi.
( )dBimin jT ω - zatvoreni krug s minimalnim iznosom amplitude na ωi.
Znači ukoliko je projektiran kompenzator G(jω) kojim je postignuto da nominalni otvoreni
krug ( ) ( ) ( )ωωω jPjGjL 00 = zadovoljava granicu ( )iR jω za Ω∈∀ iω tada je
postignuto da su maksimalne amplitudne varijacije zatvorenih krugova:
( ) ( )dBidBi jTjT ωω minmax − (2-43)
manje od amplitudne razlike ( ) ( ) ( )dBiddBigiR jTjTj ωωω −=∆ gornje i donje servo
specifikacije za Ω∈∀ iω . Ovo ponavljam i napominjem kako se ne bi pomislilo da će
zadovoljavanje ovih granica prouzročiti sljedeći odnos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )ω
ωω
ωω
ω jT
jPjG
jPjG
jT g
i
i
d ≤
+
≤
1
(2-44)
Taj dio zadovoljenja jednakosti (2-44) ostaje na prefilteru a zadatak kompenzatora je da
maksimalne amplitudne varijacije frekvencijskih karakteristika zatvorenih krugova smanji
u dovoljnoj mjeri kako bi prefilter te karakteristike zatvorenih krugova mogao “ugurati”
izme u Tg(jω) i Td(jω). Postupak odre ivanja ( )iR jω će ponovo biti vizualiziran kao i u
slučaju odre ivanja ( )iS jω . Na slici 2.30. su crtkanom linijom prikazane linije
konstatnog pojačanja zatvorenog kruga bitne za odre ivanje ove vrste granica. Tako er je
prikazan i predložak procesa za ωi pozicioniran na kut α tj. nominalna vrijednost P0(jωi) se
nalazi na kutu α. Na slici 2.30. su tako er prikazane i strelice koje naznačuju smjer u kojem
će predložak biti pomican pomoću kompenzatora kako će biti pokazano u nastavku.
Slika 2.30.

38. 2. MISO QFT
35
Predložak otvorenog kruga tangira dvije krivulje konstatnog pojačanja kako je uvećano
prikazano na slici 2.31. Gornja krivulja neka ima iznos Ag(u dB), dok donja krivulja ima
iznos Ad(u dB). Ovo znači da bi maksimalno pojačanje zatvorenog kruga na ωi bilo Ag, a
minimalno Ad kad bi se predložak otvorenog kruga nalazio na prikazanoj poziciji. Otuda
proizlazi da je maksimalna varijacija frekvencijske karakteristike zatvorenog kruga na ωi
upravo:
( ) ( ) dgdBidBi AAjTjT −=− ωω minmax (2-45)
Cilj je da se vertikalnim posmicanjem predloška po kutu α prona e najniži položaj tj.
min(Lα) u kojem vrijedi da je:
( ) ( ) ( )dBiddBigiRdg jTjTjAA ωωω −=∆≤− (2-46)
Drugim riječima to znači da je riječ o najnižem položaju na danom kutu tako da je
amplitudna varijacija zatvorenog kruga manja i jednaka od razlike amplituda gornje i donje
specifikacije na ponašanje zatvorenog kruga.
Slika 2.31.
Ukoliko se postupak ponovi za niz kuteva i pritom za svaki novi kut α ubilježi položaj
nominalne točke (njoj odgovara vrijednost na ordinati od Lα) dobiti će se servo granica
( )iR jω . Postupak se još mora provesti za Ω∈∀ iω kako bi se dobio kompletan skup
servo granica.
Na slici 2.32. je dan primjer granice. Svaki od prikazanih predložaka je najnižem mogućem
položaju i za svaki od njih vrijedi da je ( )iRdg jAA ω∆≤− . Valja primjetiti da je zaključna
točka granice ( )iR jω na U – konturi na kutu αn. Naime, za sljedeći kut ulijevo od αn bi
predložak ušao u elipsu, a to ne smije. Svaka točka na prikazanoj granici(zelene boje) je

39. 2. MISO QFT
36
najniža moguća točka. Zbog tog pristupa ta linija i završava na položaju αn(inače bi
predložak ušao u elipsu). No ukoliko pristanemo na to da točka s granice ne mora biti
najniža moguća tada dobijemo da se ( )iR jω može nastaviti po gornjem rubu U –
konture kao što je prikazano na slici 2.33. Sada imamo granicu koja se zrcali oko -180°.
Slika 2.32.
Slika 2.33.
Uzmimo ponovo kao primjer proces dan s:
( )
( )ass
a
KsP
+
= (2-47)
s [ ] [ ]10,1, =∈ +−
aaa i [ ] [ ]10,1, =∈ +−
KKK .
Neka su dane servo granice:
10020
1005
)( 2
++
+
=
ss
s
sTg
10025205.0
100
)( 23
+++
=
sss
sTd
(2-48)

40. 2. MISO QFT
37
Njihov Bode prikaz je dan na slici 2.34.:
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Amplitudne specifikacije
ω [s-1
]
A[dB]
Slika 2.34. amplitudna frekvencijska karakteristika specifikacija
Na slici 2.35. su dane servo granice na naznačenim frekvencijama. Program MIMOQCAD
koji ih je generirao ne vodi računa o tome hoće li predložak u procesu stvaranja granice ući
unutar krivulje relativne stabilnosti(elipse) i to zato što se o tome vodi računa u
kompozitnim tj. rezultantnim granicama. Zato je još priložena 2.36. na kojoj su dane i
rezultantne granice. Ako se obrati pažnja na granicu za ω = 100 s-1
vidjet će se kako ima
profil granice prikazane na slici 2.33. i to zato što je u obzir uzeta i granica na relativnu
stabilnost s te frekvencije.
Slika 2.35. Servo granice

41. 2. MISO QFT
38
Slika 2.36. Rezultantne(kompozitne) granice
2.6.4. Granice na poremećaj D2(s)
Riječ je o poremećaju koji djeluje na izlaz procesa (vidi blokovsku shemu sa slike 2.1.).
Funkcija prijenosa koja ga povezuje s Y(s) je:
)(1
1
)(
)(
)(
2
2
sLsD
sY
sTD
+
== (2-49)
Ovdje se radi o obliku funkcije prijenosa neprikladnom za rad na NC jer taj pak
pretpostavlja da funkcija prijenosa ima formu:
)(1
)(
sL
sL
+
(2-50)
Ovaj problem se rješava uvo enjem supstitucije, [1]:
)()(
1
)(
1
)(
sPsGsL
sl == (2-51)
Ovako dobivamo oblik prikladan za rad na NC:
)(1
)(
)(
)(
)(
2
2
sl
sl
sD
sY
sTD
+
== (2-52)
Kako unutar propusnog pojasa traži da je 1)(2 <<ωjTD vrijedi:
)(
)(
1
)(2 ω
ω
ω jl
jL
jTD =≈ (2-53)
Znamo da za ovu vrstu specifikacija postoji samo gornja granica:
)(
)()(1
1
)( ,22 ω
ωω
ω jT
jPjG
jT GD
i
D ≤
+
= za ∈∀ iP (2-54)
Promotrimo tu novu fukciju prijenosa “otvorenog” kruga l(s). Za nju vrijedi:

42. 2. MISO QFT
39
)()()()(
)()(
1
)( 111
sPssPsG
sPsG
sl −−−
∆=== (2-55)
Prema tome predložak tog novog “otvorenog” kruga je u stvari inverz predloška procesa
pomaknut za faktor )()( 1
sGs −
=∆ . Uzmimo radi jednostavnosti da je 1)( =∆ s tako da je:
)(
)(
1
)(
1
)( ωϕ
ωω
ω jj
ejAjP
jl == (2-56)
gdje je:
)( ωjA - amplituda od P(jω).
)( ωϕ j - kut od P(jω).
Prema tome amplituda od l(jω) je )(1)( ωω jAjAl = , a kut je )(360)( ωϕωϕ jjl −°−= .
Gledano u decibelima amplituda od l(jω) je dBdBl jAjA )()( ωω −= . Ovo znači da se
inverzni predložak procesa iz predloška procesa dobije na NC tako da se predložak procesa
zrcali oko osi -180° a potom oko osi 0dB. Dalje se takav inverzni predložak slobodno
pomiče vertikalno i horizontalno pomoću kompenzatora za iznos )(1
ωjG−
.
Na slici 2.37. su prikazana potrebna zrcaljenja koja nam omogućuju da iz predloška
procesa dobijemo inverzni predložak:
Slika 2.37. dobivanje inverznog predloška
Postupak dobivanja granica 2D na poremećaj D2 je nakon svo enja funkcije prijenosa
TD2 na oblik prikladan za NC i dobivanja inverznog predloška identičan postupku
dobivanja servo granica te neće biti objašnjen. Jedina razlika je što sada ne postoji donja
granica u specifikacijama već samo gornja.

43. 2. MISO QFT
40
2.6.5. Kompozitne ili rezultantne granice
Ovo je vrsta granica na temelju koje se projektira kompenzator i rezultat je
me usobnog odnosa svih generiranih granica(granica na poremećaj D1 i D2, servo granica,
granica robusne stabilnosti...). Označimo ju sa 0 . Kompozitna granica )(0 ijω na ωi
odgovara najrestriktivnijoj od generiranih granica (u našem slučaju )( iR jω , )(1 iD jω i
)(2 iD jω ). Na slici 2.38. je prikazan slučaj u kojem je )(0 ijω odre ena tako da je
uzeta najveća od )( iR jω , )(1 iD jω i )(2 iD jω . To znači da je na kutu α u NC
vrijednost od )(0 ijω dana kao ( ) ( ) ( ){ }iDiDiR jjj ωωω
α
21 ,,max .
Slika 2.38. U bojama su označene )( iR jω , )(1 iD jω i )(2 iD jω dok
je kompozitna granica označena s x
Na slici 2.39. je prikazan slučaj zatvorenih granica. Ovdje je najrestriktivnija granica ona
koja je najviše vani. To se vrlo lako ustanovi tako da odredimo neku točku C koju sve
granice okružuju. Potom iz nje potegnemo snop radijalnih zraka. Na jednoj zraki se kao
najrestriktivnijom granicom uzima ona koja siječe tu zraku najdalje od točke C
Slika 2.39. U bojama su označene )( iR jω , )(1 iD jω i )(2 iD jω dok
je kompozitna granica označena s x

44. 2. MISO QFT
41
Što se slučaja sa slike 2.38. tiče L0(jωi) mora biti iznad kompozitne granice, dok za slučaj
sa slike 2.39. L0(jωi) mora biti izvan kompozitne granice!
2.7. Oblikovanje L0(jω) ili projektiranje kompenzatora G(jω)
U prethodnim poglavljima pokazano je kako dobivamo dobivamo rezultantna
frekvencijska ograničenja na nominalni otvoreni krug L0(jω). Ta ograničenja su rezultat
interakcije izme u raznih specifikacija na ponašanje zatvorenog kruga i razine
neodre enosti procesa. Cilj sinteze kompenzatora G(jω) je da L0(jωi) zadovolji kompozitne
granice )(0 ijω za Ω∈∀ iω . Iako postoji beskonačno mnogo rješenja ovog problema
jedna formulacija rješenja se nekako nameće. Riječ je o tome da se projektira takav
kompenzator koji neće samo postići da ( ) ( ) ( )ωωω jPjGjL 00 = zadovolji kompozitne
granica već će postići i minimizaciju visokofrekvencijskog pojačanja K, [1]:
[ ]
( )λω ω
ω
j
K
jL =
∞→
)(lim 0 (2-57)
gdje je λ polni višak otvorenog kruga. Gornji izraz nam daje do znanja kako je K od svih
neizvjesnih parametara modela procesa dominantan parametar po pitanju
visokofrekvencijskog ponašanja. Minimizacija K nam donosi minimalanu širinu propusnog
pojasa s kojom i dalje ostvarujemo sve potrebne specifikacije na zatvoreni krug. Svaki
nepotrebno povećani iznos širine propusnog pojasa povećava osjetljivost upravljačkog
sustava na mjerni šum i otvara mogućnost “bu enja” nemodelirane dinamike. Rješenje
ovako formuliranog problema postoji i jedinstveno je. U detalje toga se neće ulaziti jer je
riječ o sustavu kvadratnih nejednakosti, [1]. Dovoljno je naglasiti vrlo bitan moment te
problematike – optimalno rješenje se se nalazi na )(0 ijω ! Ovo postaje vodilja u sintezi
otvorenog kruga. Cilj je zadovoljenje granice )(0 ijω i to tako da je L0(jωi) maksimalno
blizu granici. Teško je objasniti kako oblikovati L0(jω) na NC jer ne postoji “kuharica” već
samo smjernice. Kako će projektant uklopiti te smjernice u svoj konkretni problem je
pitanje vještine i iskustva projektanta. Zato ne bi bilo pretjerano ustvrditi kako je kvaliteta
projektiranog kompenzatora stvar vještine za čije ovladavanje treba vježbe i strpljenja.
Danas je proces sinteze uvelike olakšan uvo enjem interaktivnog postupka podešavanja
koji nam omogućuju razne QFT aplikacije. Neke od aplikacija nam odmah pokazuju učinak
uvo enja novog dinamičkog člana u kompenzatoru na oblik i položaj od L0(jω) na NC. U
nastavku će biti navedene još neke smjernice.
1.) Ukoliko želimo da je 0)( =∞y za skokovitu smetnju tipa d2 tada je potrebno uvesti
integralno djelovanje u kompenzator(pod uvjetom da ga već sam proces ne sadrži). Ako

45. 2. MISO QFT
42
pak želimo 0)( =∞y za skokovitu smetnju tipa d1 tada je nužno uvesti inegralno
djelovanje bilo da ga proces posjeduje ili ne posjeduje.
2.) U radu s QFT metodom sam uvidio kako je idealno graditi kompenzator pomoću
dinamičkih članova zapisanih u Bodeovoj formi. To znači da je njihovo statičko
pojačanje jednako jedinici. Prednost njihova korištenja je što malo kvare amplitudnu
karakteristiku na frekvencijama ispod frekvencijskog pojasa u kojem smo ih unijeli da
napravimo nekakvu korekciju. Drugim riječima, neće nam pokvariti područje gdje je
ω<< koje je odgovorno za statičko pojačanje otvorenog kruga. U tablici 2.1. su dani
najčešće korišteni elementi u sintezi kompenzatora
3.) Ako je polni višak procesa λ tada se preporuča da je polni višak konačnog oblika od
L0(s) jednak barem λ+1, [1].
4.) Visokofrekvencijski dio od L0(jω) provesti uz sami desni rub U – konture a potom
ubacivanjem PT2 člana(vidi tablicu 2.1.) omogućiti da L0(jω) pro e točno ispod
U – konture. To je već spomenuti zahtjev u poglavlju o stabilnosti da L0(jω) pro e
U – konturi s donje desne strane.
5.) Ukoliko nemamo ideju kako započeti sintezu možemo se poslužiti jednom vrlo
praktičnom dosjetkom. Nekim klasičnim postupkom može se projektirati kompenzator
G0(s) samo za nominalni proces tako da su zadovoljenje propisane specifikacije.
Kompenzator G0(s) nam tada služi kao početna točka u sintezi regulatora koji će postići
zadovoljavanje specifikacija za sve procese. Za očekivati da je ćemo trebati izvršiti
modifikacije na tom kompenzatoru kako bi dobili robustan kompenzator G(s), [8].
6.) Ukoliko ne uspijemo zadovoljiti neke od kompozitnih granica )(0 ijω to ne znači
nužno da naš dizajn neće proći vremensku validaciju! Uzrok ovome efektu leži u
činjenici da se za generiranje granica razmatrao najgori slučaj! Konkretno je riječ o
tome da se nije uzimao u obzir fazni odnos me u veličinama već samo amplitudni(i to
takav da se dobiju najrestriktivniji odnosi), [1], [10]!

46. 2. MISO QFT
43
K Pojačanje
s
1
Integralno djelovanje
1
1
1
ω
s
+ PT1 član
1
1
ω
s
+ DT1 član
1
2
1
2
++





s
s
nn ω
ς
ω
PT2 član
Upotreba na visokofrekvencijskom području gdje se
uvodi kako bi L0(jω) dobio naglo skretanje ispod U –
konture. Tako se umanjuje BW i finalizira
kompenzator. Iznos ς je obično oko 0.5 kako bi se
dobio dovoljno strm pad faze a razlog tome leži u
potrebi da se ne pokvari fazna karakteristika na nižim
frekvencijama.
2
1
1
1
ω
ω
s
s
K
+
+
Lead-lag kompenzator
Na 210 ωωω = podiže/spušta fazu za






+
−
=
1
1
arcsin
τ
τ
ϕ gdje je
1
2
ω
ω
τ =
dn
n
d
n
n
n
n
s
s
s
s
ςς
ω
ς
ω
ω
ς
ω
<
++





++





,
1
2
1
2
2
2
Notch filter
nd
n
d
n
n
n
n
s
s
s
s
ςς
ω
ς
ω
ω
ς
ω
<
++





++





,
1
2
1
2
2
2
“Inverzni” notch filter
Tablica 2.1. Neki elementi korišteni u sintezi kompenzatora, [8]
Zadnjih godina su razvijene i automatizirane procedure za projektiranje regulatora. One
često ne daju optimalna rješenja ali i takva rješenja se mogu ručno doraditi. Mana
automatiziranih postupaka je što često rezultiraju regulatorima visokog reda. Kao mana se
može smatrati i gubitak inženjerskog uvida u problematiku projektiranja koja se u QFT
metodi odražava kroz brojne mogućnosti kompromisa13
u sintezi.
13
engl. trade-off

47. 2. MISO QFT
44
2.8. Sinteza prefiltera
Sinteza prefiltera je najlakši dio u QFT metodi i vrši se na Bodeovom dijagramu. Na
Bodeovom dijagramu se prikažu amplitudne frekvencijske karakteristike svih zatvorenih
krugova Ti(jω) nakon što je projektiran kompenzator G(jω):
)()(1
)()(
)(
ωω
ωω
ω
jPjG
jPjG
jT
i
i
i
+
= za ∈∀ iP (2-58)
Na slici 2.40. je prikazan jedan takav primjer. Kao što vidimo zatvoreni krugovi imaju BW
viši od potrebnog. Stoga je potrebno uvesti prefilter F(jω) koji će taj snop karakteristika
(crvene linije) premjestiti unutar granica (dvije plave linije).
-150
-100
-50
0
50
Magnitude(dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-270
-180
-90
0
90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Slika 2.40. Bez prefiltera
Uvo enjem prefiltera
)35.0)(5.0(
2
0875.0)(
++
+
=
ss
s
sF dobivamo situaciju sa slike 2.41.:

48. 2. MISO QFT
45
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magnitude(dB)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-270
-180
-90
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Slika 2.41. S prefilterom
Podsjetnik na uvjet koji je potrebno ispuniti kao bi se prefilter uopće mogao projektirati:
maksimalne amplitudne varijacije zatvorenih krugova ( ) ( )dBidBi jTjT ωω minmax − su manje
od amplitudne razlike ( ) ( ) ( )dBiddBigiR jTjTj ωωω −=∆ gornje i donje servo specifikacije
za Ω∈∀ iω .
Ako je to zadovoljeno onda prefilter F(jω) može i mora zadovoljiti:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )ω
ωω
ωωω
ω jT
jPjG
jPjGjF
jT g
i
i
d ≤
+
≤
1
za ∈∀ iP (2-59)
2.9. Primjer
Kao primjer će se razmotriti upravljanje procesom:
( )
( )ass
a
KsP
+
= (2-60)
s [ ] [ ]10,1, =∈ +−
aaa i [ ] [ ]10,1, =∈ +−
KKK .
Vrijedi da je:
( )
( ) 01
2
2
0
2
dsdsd
n
ass
Ka
ass
a
KsP
++
=
+
=
+
= (2-61)
pa dobivamo:

49. 2. MISO QFT
46
1
0
2
1
0
0
=
=
=
=
d
ad
d
Kan
(2-62)
Prema tome imamo dva neizvjesna koeficijenta n0 i d1:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]10,1,,
100,1,,
111
000
==∈
==∈
+−+−
++−−+−
aaddd
aKaKnnn
(2-63)
Odabrane su sljedeće vrijednosti za te koeficijente:
{ }
{ }10,5,1
100,50,1
1
0
∈
∈
d
n
(2-64)
Na slici 2.42. je dan dvodimenzionalni prostor neizvjesnosti koeficijenata n0 i d1 s
naznačenim točkama koje se odabrane. Prema tome imamo opis neizvjesnosti procesa
sačinjen od 8 modela.
Slika 2.42. Prostor neizvjesnosti koeficijenata procesa
Specifikacija na stabilnost
Odabrano je:
2
)()(1
)()(
≤
+ ωω
ωω
jPjG
jPjG
i
i
za ∈∀ iP (2-65)
Prema tome vrijedi da je F.O.>30° i A.O.>3.52 dB. Ovoj specifikaciji odgovara zatvorena
elipsoidna kontura od 6dB na NC.
Servo specifikacije
gornja granica: stS 2≤ i %10≤mσ
donja granica: stS 2≤ i bez nadvišenja
Funkcije prijenosa koje zadovoljavaju propisane zahtjeve su:

50. 2. MISO QFT
47
44.472.12.0
4
)(
48.2
48.0
)(
23
2
+++
=
++
+
=
sss
sT
ss
s
sT
D
G
(2-66)
Na slici 2.43. je dana prijelazna karakteristika i frekvencijska karakteristika. Kao što je
vidljivo postignut je rastuć iznos razlike amplitudnih karakteristika na višim frekvencijama.
0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
y(t)
Ogranicenja na
prijelaznu karakteritstiku
10
-1
10
0
10
1
10
2
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
A[dB]
ω [s-1
]
Amplitudno frekvencijska servo ogranicenja
Slika 2.43. servo specifikacije
Specifikacije na kompenzaciju poremećaja D2
Traži se da vrijedi 02.0)( ≤ty za st 2≤ . U poglavlju 2.3.2. je opisan model ponašanja
koji će i ovdje biti korišten. Odabrane su vrijednosti 2=g i 5.0=h . Na slici 2.44. je dana
granica na prijelaznu i amplitudno-frekvencijsku karakteristiku.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t [s]
y
d2
(t)
Granica na prijelaznu karakteristiku
poremecaja
10
-1
10
0
10
1
10
2
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
A[dB]
ω [s-1
]
Gornja granica u frekvencijskoj
domeni
Slika 2.44. Specifikacije na poremećajno ponašanje

51. 2. MISO QFT
48
Sinteza
Projektirani kompenzator G(s) nema integralno djelovanje ali je kompenzacija skokovitog
poremećaja d2 garantirana zbog integralnog djelovanja procesa:
0
)('
1
1
lim
)(1
1
lim
)(
)(
lim
00
2
0
=












+
=





+
=





→→→
s
sLsLsD
sY
sss
(2-67)
gdje je L'(s) dio otvorenog kruga bez integralnog djelovanja.
Što se tiče kompenzacije skokovitog poremećaja d1 na ulazu procesa s integralnim
djelovanjem ovakav kompenzator ne zadovoljava jer vrijedi:
0
)0(
1
)('
)('
lim
)('
1
)('
lim
)(1
)(
lim
)(
)(
lim
000
1
0
≠=





+
=












+
=





+
=





→→→→ GsLs
sP
s
sL
s
sP
sL
sP
sD
sY
ssss
(2-68)
gdje je P'(s) dio procesa bez integralnog djelovanja.
Razlog zašto nije uzet kompenzator s integralnim djelovanjem, iako bi taj garantirao
kompenzaciju obje vrste poremećaja, je velika neodre enost procesa, konkretno pojačanja
K:
100
min
max
=
K
K
(2-69)
Uslijed te neodre enosti je uvelike otežano projektiranje za otvoreni krug s dva integralna
djelovanja. Posljedica toga je kompenzator visokog reda. Rezultat sinteze je:
)550)(24(
)10)(150(
5.5362)(
++
++
=
ss
ss
sG (2-70)
Dobiven je kompenzator drugog reda i visokog pojačanja na niskim frekvencijama tako da
to u neku ruku nadokna uje nedostatak integralnog djelovanja. Vrijedi da je pojačanje
32.609)0( =G . Prema tome imamo:
0016.0
)0(
1
)('
)('
lim
)('
1
)('
lim
)(1
)(
lim
)(
)(
lim
000
1
0
==





+
=












+
=





+
=





→→→→ GsLs
sP
s
sL
s
sP
sL
sP
sD
sY
ssss (2-65)
tako da problema s kompenzacijom poremećaja d1 u stacionarnom stanju ne bi trebalo biti.
Na slici 2.45. je prikazan projektirani nominalni otvoreni krug na NC (crna linija):

52. 2. MISO QFT
49
Slika 2.45. Projektirani nominalni otvoreni krug L0 (jω)
U slučaju ove sinteze se nije toliko vodilo računa o optimalnosti regulatora u smislu da je
L0(jωi) maksimalno blizu svojoj granici )(0 ijω . Što se gornje slike tiče to znači npr. da
je zelena točka s karakteristike otvorenog kruga L0(jω) iznad zelene linije tj. granice 0 .
Razlog nevo enju računa o optimalnosti je kompenzacija poremećaja d1. Iz rasprave o
tome zašto kompenzator nema integralno djelovanje je dosegnut zaključak kako bi onda
bilo dobro projektirati kompenzator što većeg pojačanja na niskim frekvencijama. Trebalo
je nadalje paziti da uslijed potrebe da se postigne visoko pojačanje ne bi došlo do
povećanja kompleksnosti kompenzatora. Na slici 2.45. su vidljive naznake poštivanja nekih
naputaka o projektiranju. Tako je npr. otvoreni krug smješten vrlo blizu desnog ruba
U – konture kako bi imali minimalno fazno osiguranje. Nadalje, umetanje pola na visokim
frekvencijama što za posljedicu ima skretanje L0(jω) ulijevo ispod donjeg ruba
U – konture kako bi se minimizirala širina propusnog pojasa.
Na slici 2.46 su prikazane sve frekvencijske karakteristike otvorenih krugova u odnosu na
konturu od 6dB kako bi se potvrdila robusna stabilnost. Kao što je vidljivo niti jedna
karakteristika ne prolazi kroz konturu i sve je obilaze oko donjeg desnog ruba.

53. 2. MISO QFT
50
Slika 2.46. Potvrda robusne stabilnosti
Na slici 2.47. je dan prikaz o poštivanju gornje granice na kompenzaciju poremećaja u
frekvencijskoj domeni (zeleno je označena gornja granica), dok je na slici 2.48. dan prikaz
o poštivanju granice u vremenskoj domeni na 100 procesa.
Slika 2.47. Frekvencijska validacija specifikacija na
poremećajno djelovanje

54. 2. MISO QFT
51
0 0.5 1 1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Odziv na jedinicnu skokovitu promjenu poremecaja d2
(t) za 100 varijacija procesa
y(t)
t [s]
granica na prijelaznu
karakteristiku poremecaja d
2
skup odziva za
100 razlicitih procesa
Slika 2.48. Vremenska validacija specifikacija na
poremećajno djelovanje
Vidimo kako frekvencijska validacija nije prošla savršeno za visoke frekvencije ali to nije
razlog za brigu jer u tom području nije koncentrirana snaga poremećaja. Uostalom
vremenska validacija pokazuje kako su ograničenja i više nego zadovoljena. Ovaj slučaj ide
samo u prilog tvrdnji da vremenska ograničenja mogu biti zadovoljena iako frekvencijska
to nisu. Zašto je tome tako je objašnjeno u poglavlju o projektiranju kompenzatora. Na slici
2.49. je dana frekvencijska validacija servo specifikacija, dok je na slici 2.50. dana
vremenska validacija za 100 različitih procesa. Korišten je prefilter F(s) dan sljedećom
funkcijom prijenosa:
)3)(5.3)(4(
30
4.1)(
+++
+
=
sss
s
sF (2-66)
Kao što je vidljivo, i frekvencijska i vremenska validacija su prošle odlično. Varijacije
odziva su vrlo male a razlog tome je inzistiranje na visokom pojačanju kompenzatora kako
bi se dobila čim bolja kompenzacija poremećaja d1.

55. 2. MISO QFT
52
Slika 2.49. Frekvencijska validacija poštivanja servo specifikacija
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Odziv zatvorenog kruga na referencu za 100 varijacija procesa
y(t)
t [s]
gornja granica
prijelazne karakteristike
donja granica
prijelazne karakteristike
skup od 100 odziva
Slika 2.50. Vremenska validacija poštivanja servo specifikacija
Na slici 2.51. je dan prikaz kompenzacije poremećaja d1(t). Iznos odziva u stacionarnom
stanju je 0.00164. Za usporedbu vidi (2-65) gdje je riječ o iznosu 0.0016. Prema tome
visokom pojačanju kompenzatora možemo zahvaliti tako malen iznos odziva u
stacionarnom stanju. Potpuna kompenzacija ove vrste poremećaja s kompenzatorom bez
integralnog djelovanja nije moguća jer proces ima integralno djelovanje.

56. 2. MISO QFT
53
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
x 10
-3 Kompenzacija jedinicne skokovite promjene poremecaja d1
za 100 varijanti procesa
y(t)
t [s]
Slika 2.51. Kompenzacija poremećaja d1 (pažnja: skala ordinate je 10-3
!)
2.10. Neminimalno fazni proces, [1], [2]
Neminimalno fazne nule rezultiraju velikim ograničenjima na performanse
upravljačkog sustava. One unose neželjeno fazno kašnjenje u L(s) a da pritom ne daju
doprinos negativnom nagibu od L(s). Tipičan zahtjev kod oblikovanja L(s) jest da ima
nagib od -20dB/dek u području oko presječne frekvencije ωc. Izvan tog područja se
preferira strmiji nagib. Sve ovo rezultira fazom )( ωjL∠ od barem -90° na ωc (čak ako i
nema vremenskog kašnjenja τ i nula iz desne s poluravnine). Pretpostavimo da zbog
performansi i robusnosti projektiranog sustava želimo imati fazno osiguranje γ od barem
35°. To znači da si možemo priuštiti dodatno fazno kašnjenje od otprilike 55°. Naime ako
je γ=35° tada je maksimalni dopušten iznos faze otvorenog kruga
°−=+°−=∠ 145180)( γωjL . Kako je za minimalno fazni dio procesa faza u najboljem
slučaju -90°, vrijedi da je maksimalno dopušteno dodatno fazno kašnjenje ∆ od
neminimalno fazne nule °−=°−−°−=∆ 55)90(145 na ωc. Kako sada imamo ovaj podatak
o ∆ potrebno je odrediti kako točno nas ograničava (realna)nula zs = iz desne poluravnine
u smislu širine propusnog pojasa. Da bi izbjegli porast u nagibu uvodimo pol zs −= tako
da dobijemo tzv. svepropusni član14
:
zs
zs
sA
+
−
−=)( (2-67)
14
engl. all-pass term

57. 2. MISO QFT
54
kojemu je amplitudna karakteristika jednaka 1 na svim frekvencijama. Ovaj član daje fazno
kašnjenje od -55° na frekvenciji 2z≈ω . Otuda dobivamo aproksimativnu nejednakost
2zc <ω . Ova nejednakost nam direktno daje do znanja kakvo ograničenje na širinu
propusnog pojasa postoji kod procesa s nulom u desnoj s poluravnini. Što se kompleksnih
nula jyxz ±= tiče u idealiziranim uvjetima imamo da vrijedi:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )




<<
=
<<
<
zzz
zzz
zzz
c
,
,8.2
,4
ω (2-68)
Dakle, nule iz desne poluravnine su tim gore za sintezu što je z manji i bliži realnoj nego
imaginarnoj osi.
Što se QFT metode tiče postojanje neminimalno faznog procesa iziskuje tek malu korekciju
u procesu sinteze. Uzmimo za primjer da L(s) ima jednu nulu u desnoj poluravnini(dakle
realnu nulu). Tako imamo sljedeći zapis:
)()1()( '
sLssL mτ−= (2-69)
gdje je )('
sLm minimalno fazni dio od L(s) i z1=τ .
Daljnja modifikacija je:
( )[ ] )()()(1
1
1
)( '
sLsAsLs
s
s
sL mm =+





+
−
= τ
τ
τ
(2-70)
gdje je:
s
s
sA
τ
τ
+
−
=
1
1
)( - svepropusni član.
( ) )(1)( '
sLssL mm τ+= - minimalno fazni dio otvorenog kruga.
Nadalje vrijedi da je 1)( =ωjA i ( )ωτω arctan2)( −=∠ jA . Prema tome ovaj član izaziva
samo fazno kašnjenje. Kao što je spomenuto, proces sinteze za neminimalno fazni proces je
samo modifikacija originalnog opisa sinteze. Prvo odaberemo nominalni proces )(0 sP tako
da imamo nominalni otvoreni krug )()()( 00 sLsAsL m= . Nadalje, generiramo potrebna
kompozitna frekvencijska ograničenja )(0 ijω na )(0 ijL ω . Imamo da je:
)(
)(
)( 0
0
sA
sL
sLm = (2-71)
što znači da je faza od )(0 sLm dana kao:
)()()( 00 iiim jAjLjL ωωω ∠−∠=∠ (2-72)

58. 2. MISO QFT
55
Kako je °<∠ 0)( ijA ω to znači da na NC )(0 im jL ω dobijemo pomicanjem )(0 ijL ω za
)( ijA ω∠ udesno. To pak znači da kompozitne granice )(0 im jω na )(0 im jL ω dobivamo
pomicanjem )(0 ijω za )( ijA ω∠ udesno. Dakle, problematika sinteze neminimalno
faznog )(0 ωjL je transformirana u problematiku sinteze minimalno faznog )(0 ωjLm tako
što smo dobili nove granice )(0 im jω koje mora zadovoljiti taj minimalno fazni
krug )(0 ωjLm . Ukoliko smo uspjeli postići da )(0 ωjLm zadovolji ograničenja )(0 im jω
tada će i stvarni neminimalno fazni krug )(0 ωjL zadovoljiti zadane specifikacije. Mali
podsjetnik: svi postupci do ovog potpoglavlja su opisivali QFT metodu koja je radila s
minimalno faznim procesima! Otuda i motivacija za ovakvu transformaciju problema u
minimalno fazni problem.

59. 3. MIMO QFT
56
MIMO QFT
3.1. Uvod
U ovom poglavlju će biti izložena QFT MIMO tehnika projektiranja upravljačkih sustava.
Zahvaljujući Scahuderovom teoremu fiksne točke omogućena je validacija opravdanosti
transformacije jednog n×n MIMO problema na n2
MISO problema, dakle n2
jednopetljastih
struktura. Ova transformacija podrazumijeva pretvorbu strukturne parametarske neizvjesnosti,
smetnji i specificiranih performansi MIMO sustava u strukturnu parametarske neizvjesnost,
smetnju i specificirane performanse n2
MISO sustava. Otuda i napomena u poglavlju o MISO
tehnici o njenom značaju za ostala područja primjene(u ovom slučaju MIMO QFT). Nadalje,
ukoliko su zadovoljene specifikacije na svaku od n2
pojedinačnih petlji, teorem fiksne točke
daje garanciju zadovoljenja specifikacija originalnog MIMO problema. Biti će objašnjena
osnovna MIMO tehnika tzv. Metoda 1 čija jednostavnost ima svoju cijenu u vidu
konzervatizma projektiranog sustava. Potom će biti ukratko biti izložen princip tzv. Metode 2
koja predstavlja napredniji oblik Metode 1 jer umanjuje konzervatizam dizajna koristeći
korelacijske odnose koji postoje u MIMO sustavu. Obje tehnike neće odmah uključivati
problematiku kompenzacije poremećaja kako bi se olakšalo shvaćanje srži metoda, no ta
problematika će biti objašnjena na kraju cjeline. Svaka od spomenutih tehnika će koristiti
dijagonalni prefilter F i kompenzator G što predstavlja najjednostavniji pristup rješavanju
MIMO problema. Neće se ulaziti u problematiku nedijagonalnih prefiltera i kompenzatora jer
bi njihovim objašnjavanjem bitno porastao opseg teksta.
3.2. MIMO proces
U MIMO QFT nam je od interesa opis procesa dan sljedećim izrazom:
)()( tuPty
rr
= (3-1)
gdje je:
)(ty
r
– n-dimenzionalni vektor izlaza procesa.
)(tu
r
– m-dimenzionalni vektor ulaza procesa.
P – n×m matrica funkcija prijenosa.
Blokovski prikaz gornje jednadžbe je dan na slici 3.1.

60. 3. MIMO QFT
57
Slika 3.1. MIMO proces
Ukoliko je proces dan u prostoru stanja:
)(
)()(
)(
txCy
tuBtxA
dt
txd
rr
rr
r
=
+=
(3-2)
tada je matrica funkcija prijenosa P dana sljedećim izrazom:
[ ] BAsICsP
1
)(
−
−= (3-3)
Za matricu P vrijedi P∈ gdje je skup koji opisuje područje neizvjesnosti MIMO
procesa. QFT metoda zahtijeva da je P kvadratna matrica tj. nm = . Često je slučaj da proces
ima više ulaza nego izlaza( nm ≥ ). Da bi riješili ovaj problem uvodi se matrica Wm×n tzv.
mikser matrica koja nam daje efektivan proces Pe:
PWPe = (3-4)
Njegove dimenzije su sada n×n. Na slici 3.2. je dana blokovska shema sustava u koji je
uvedena matrica W. Pretpostavljeno je m 4 i n 2. Neka uc,i predstavlja komponentu
upravljačkog vektora uc. Vidimo kako matrica W ima ulogu miješanja(kombiniranja)
originalnih upravljačkih signala uc,i kako bi se stvorili upravljački signali ui za aktuatore.
Slika 3.2. Uloga W matrice kao miksera upravljačkih signala
Odabir elemenata tog miksera upravljačkih signala je u uskoj vezi s poznavanjem djelovanja
pojedinih aktuatora na procesa. W tako er možemo nazvati i postkompenzatorom. Uloga W je
višestruka i o njoj će više detalja biti izloženo kasnije. Na kraju valja podsjetiti kako je u
MIMO sustavu s m ulaza moguće nezavisno upravljati s najviše m izlaza.

61. 3. MIMO QFT
58
3.3. Uvod u MIMO kompenzaciju
Na slici 3.3. je dana shema upravljačkog sustava:
Slika 3.3. n×n MIMO upravljački sustav
gdje su:










=
)()(
)()(
)(
1
111
sfsf
sfsf
sF
nnn
n
L
MOM
L
→ prefilter










=
)()(
)()(
)(
1
111
sgsg
sgsg
sG
nnn
n
L
MOM
L
→ kompenzator










=
)()(
)()(
)(
1
111
spsp
spsp
sP
nnn
n
L
MOM
L
→ proces P œ
ri – i-ta referenca
εi – i-ta greška praćenja
ui – i-ti upravljački signal
yi – i-ti izlazni signal procesa
vi – i-ti izlaz prefiltera
Vrijede sljedeći odnosi na shemi sa slike 3.3.:
yv
rFv
Gu
uPy
rrr
rr
rr
rr
−=
=
=
=
ε
ε
(3-5)
Iz ovog sustava jednadžbi dobivamo jednadžbu koja stavlja u odnos referencu r i izlaz y:
[ ] rTrPGFPGIy
rrr
=+=
−1
(3-6)
gdje je:

62. 3. MIMO QFT
59
[ ]










=+=
−
nnn
n
tt
tt
PGFPGIT
L
MOM
L
1
111
1
- matrica funkcija prijenosa zatvorenog kruga
Element tij dovodi u odnos j-tu referencu i i-ti izlazni signal:
)(
)(
)(
sR
sY
st
j
i
ij = uz 0)( =sRk za jk ≠ (3-7)
Cilj upravljačkog sustava je da postigne T œ za ∀ Pœ gdje servo matrica ili matrica
tolerancije na praćenje:










=
nnn
n
ττ
ττ
L
MOM
L
1
111
(3-8)
Za element matrice ijτ vrijedi:
ijijij ba ≤≤ τ (3-9)
gdje je:
bij – gornja granica na praćenje.
aij – donja granica na praćenje.
Houpis [1] navodi primjer koji razotkriva koliko je doista kompleksan problem postizanja T œ
za ∀ Pœ kod 3×3 MIMO problema. Naime t11 je dan sljedećim izrazom:
[ ]( ( )( )[ ]
[ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ]) ( )( ( )( )[
] ( )[ ] ( )[ ])222313322312131321332333212121323223
333222111313222321223331332213211131
321332333212331232212211121
32322333322233113221121111111
11
1111
1
11
gpgpggppgpggppgpgpgpggpp
gpgpgpgpgpggppgfpgfpgfp
ggppgpgpgfpgfpgfp
ggppgpgpgfpgfpgfpt
+−+−+−
−++++−++
+−+++
−−++++=
K
K
K
Pretpostavimo da koristimo dijagonalni G i nedijagonalni F. Znači potrebno je riješiti sustav
od 9 ovakvih jednadžbi da bi se pronašalo devet fij(s) i tri gi(s) koji će omogućiti da svaki tij(s)
bude unutar prihvatljivog područja τij(s) uz činjenicu da je svaki pij(s) neizvjestan! Ovo je
izuzetno složen problem i vidjet ćemo u nastavku kako je on vrlo elegantno riješen u QFT
metodi jer je izbjegnut rad s krajnje kompliciranim karakterističnim polinomom.
3.4. Transformacija MIMO sustava u skup MISO sustava, [1]
Cilj ovog dijela je pokazati kako se n×n MIMO sustav prikazuje ekvivalentnim skupom
od n2
MISO sustava. Biti će riječ o jednopetljastim strukturama s dva ulaza. Jedan ulaz je
referenca dok je drugi ulaz posljedica sprežnog djelovanja i tretiramo ga kao smetnju.

63. 3. MIMO QFT
60
Vidjeli smo ranije da je matrica funkcija prijenosa T dana s:
[ ] PGFPGIT
1−
+= (3-10)
Množenjem gornjeg izraza s [ ]PGI + dobijemo:
[ ] PGFTPGI =+ (3-11)
Ukoliko je P nesingularna matrica tada množenjem s P-1
imamo:
[ ] GFTGP =+−1
(3-12)
Neka je:










=−
**
1
*
1
*
11
1
nnn
n
pp
pp
P
L
MOM
L
(3-13)
gdje je:
[ ]
[ ]P
PAdj
p
ij
ij
det
*
=
Definirajmo sada vrlo važnu Q matricu čiji elementi qij su efektivni procesi:










=










=
**
1
*
1
*
11
1
111
11
11
nnn
n
nnn
n
pp
pp
qq
qq
Q
L
MOM
L
L
MOM
L
(3-14)
gdje je:
*
1
ij
ij
p
q =
Vidjet ćemo malo kasnije zašto su elementi ovako definirane matrice efektivni procesi.
Zapišimo nadalje matricu P-1
u formi:
BP +Λ=−1
(3-15)
gdje je:
Λ – dijagonalni dio matrice P-1
, ( )1−
=Λ Pdiag
B – nedijagonalni dio matrice P-1
Uz ovakav zapis P-1
dobivamo da je:
[ ] [ ]BTGFTG −=+Λ (3-16)
a otuda imamo da je matrica funkcija prijenosa zatvorenog kruga T dana kao:
[ ] [ ]BTGFGT −+Λ=
−1
(3-17)
Ovaj izraz je iskorišten da bi se definiralo željeno preslikavanje fiksne točke. Naime, svaki od
n2
elemenata s desne strane jednakosti se može tumačiti kao jedna MISO petlja. Kako bi to i

64. 3. MIMO QFT
61
pokazali razmotrimo 3×3 MIMO problem i uzmimo da su prefilter F i kompenzator G dani
sljedećim matricama:










=
)()()(
)()()(
)()()(
)(
333231
232221
131211
sfsfsf
sfsfsf
sfsfsf
sF (3-18)










=
)(00
0)(0
00)(
)(
3
2
1
sg
sg
sg
sG (3-19)
Tako er imamo da su B, Λ i T:










=
0)(1)(1
)(10)(1
)(1)(10
)(
3231
2321
1312
sqsq
sqsq
sqsq
sB (3-20)










=Λ
)(100
0)(10
00)(1
)(
33
22
11
sq
sq
sq
s (3-21)










=
)()()(
)()()(
)()()(
)(
333231
232221
131211
ststst
ststst
ststst
sT (3-22)
Neka je nadalje riječ o referencama Ri(s) koje su jedinični impulsi. Tako dobivamo da je
Ri(s) 1 i na ovaj način vrijedi )()()()( ststsRsY jijiiji == . Ovo je učinjeno zbog
jednostavnosti i kratkoće izraza koji slijede.
Uvrštenjem gore definiranih matrica u općenit izraz:
[ ] [ ]BTGFGT −+Λ=
−1
(3-22)
i grupiranjem izvršenim na (i,j) elementu matrice T možemo dobiti izraz za efektivnu MISO
(i,j) petlju s dva ulaza. Za primjer se navodi izraz koji dobijemo ako grupiranje izvršimo na
elementu (1,1) matrice T (ne zaboravimo kako su korištene impulsne pobude!) :












−−
+
==
13
31
12
21
111
111
11
1111
1
)()(
q
t
q
t
fg
qg
q
stsY (3-23)
Dodatnim grupiranjem dobivamo:
111
13
31
12
21
11
111
11111
11
11
)(
qg
q
t
q
t
q
qg
qgf
st
+






−
−
+
=
(3-24)
odnosno:

65. 3. MIMO QFT
62
11
1
11
1
1
11
1
13
31
12
21
11
1
111
11
1111
)( c
L
q
L
L
f
L
q
t
q
t
q
L
Lf
st
+
−
+
=
+






−
−
+
=
(3-25)
Iz ovog izraza se može iščitati da je riječ o MISO petlji gdje su:
q11(s) – efektivni proces.
g1(s) – kompenzator.
f11(s) – prefilter.
c11(s) = 





−−
)(
)(
)(
)(
13
31
12
21
sq
st
sq
st
– smetnja (uzrokovana spregom).
)()()( 1111 sqsgsL = – funkcija prijenosa otvorenog kruga.
Na slici 3.4. je prikazana ova MISO (1,1) petlja s dva ulaza:
Slika 3.4. Efektivna MISO (1,1) petlja
Sada je jasnije zašto Q predstavlja matricu efektivnih procesa jer je s gornje sheme vidljivo
kao je q11œ Q u biti proces u efektivnoj MISO (1,1) petlji. Ako promatramo ponašanje kroz
superpoziciju tada vidimo da se odziv sastoji iz dvije komponente. Jednu komponentu
(tzv.prateću) daje dio:
1
1
11
1 L
L
f
+
(3-26)
Riječ je o obliku funkcije prijenosa koja stavlja u odnos izlaz procesa i referencu u
jednopetljastoj strukturi. Prikazana je MISO (1,1) petlja na slici 3.5. ure ena na način da daje
samo prateću komponentu.
Slika 3.5. Prateća komponenta odziva MISO (1,1) petlje
Drugu komponentu odziva (tzv. sprežnu) daje dio:

66. 3. MIMO QFT
63
11
1
11
1
c
L
q
+
− (3-27)
Riječ je o obliku funkcije prijenosa koja stavlja u odnos izlaz procesa i smetnju na ulazu
procesa u jednopetljastoj strukturi. Na slici 3.6. prikazana je MISO (1,1) petlja ure ena na
način da daje samo sprežnu komponentu odziva.
Slika 3.6. Sprežna komponenta odziva MISO (1,1) petlje
Efektivnih MISO petlji ima devet za 3×3 MIMO sustav. Na slici 3.7. je prikazano svih devet
efektivnih MISO petlji.
Slika 3.7. efektivne MISO petlje za 3×3 MIMO sustav
Skup MISO petlji sa slike 3.7. je u biti dekompozicija MIMO sustava, dakle jedan novi
pogled na problem rada s multivarijabilnih sustavom. Umjesto da se radi s jednim
kompleksnim MIMO sustavom, razbija ga se na skup jednostavnih MISO sustava.
Sada će biti poopćene tvrdnje o MISO petljama. Efektivna MISO (i,j) petlja pokazuje kako
izlaz zatvorenog sustava Yi(s) reagira samo na referencu Rj(s) (znači ostale reference su
jednake nuli). Prema tome ona daje komponentu odziva Yij(s). Prisjetimo se da je dana
specifikacija na taj (i,j) odnos(odnos i-tog izlaza i j-te reference):
)(
)(
)(
sR
sY
st
j
i
ij = uz 0)( =sRk za jk ≠ (3-28)

67. 3. MIMO QFT
64
koja kaže kako mora vrijediti ijijt τ∈ za svaki Pœ gdje je ijijij ba ≤≤ τ . Prema tome
zadatak je pronaći takve G(s) i F(s) da je za sve tij(s) zadovoljena gornja formulacija
problema. Schauderov teorem fiksne točke daje garanciju kako će korektna sinteza svih
MISO petlji rezultirati korektnim ponašanjem originalnog MIMO sustava. Drugim riječima,
ako neki G(s) i F(s) omogućuju da je ponašanje svake MISO petlje unutar propisanih τij
specifikacija, tada će primjena G(s) i F(s) na originalnom MIMO sustavu dati rezultate koji su
unutar specifikacija. Ovo je ključan moment u MIMO QFT! Ovaj teorem je opisan
preslikavanjem definiranim nad skupom prihvatljivih servo matrica :
[ ] [ ] jii TBTGFGTY ≡−+Λ≡
−1
)( (3-29)
gdje su Ti,Tjœ . Ako ovo preslikavanje ima fiksnu točku tako da je ji TTY =)( tada je
postignuto rješenje problema robusnog upravljanja. Fiksna točka postoji ako postoji odabir
G(s) i F(s) koji omogućuju da svaka MISO petlja ima ponašanje unutar specifikacija! Na slici
3.8. je dan prikaz Schauderovog preslikavanja fiksne točke:
Slika 3.8. Schauderovo preslikavanje fiksne točke, [1]
Razmotrimo MISO (1,1) petlju kako bi objasnili što je to doista član 





−−=
)(
)(
)(
)(
)(
13
31
12
21
11
sq
st
sq
st
sc
i koja je njegova uloga. Naime, riječ je o smetnji u petlji (1,1) uzrokovanoj sprežnim
odnosima koji postoje u MIMO sustavu. Izlazi Y2(s) i Y3(s) su u odre enom odnosu s
referencom R1(s):







=
=
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
3
31
1
2
21
sR
sY
st
sR
sY
st
uz R2(s) R3(s) 0 (3-30)
Izlazi Y2(s) i Y3(s), koji postoje kao rezultat djelovanja samo R1(s), djeluju na (1,1) petlju
preko sprežnih članova 121 q− i 131 q− te tako i oni uvjetuju odziv Y11(s). Taj doprinos
odzivu će se nazivati sprežna komponenta odziva. Vidi sliku 3.9. na kojoj je prikazano ovo
sprežno djelovanje.

68. 3. MIMO QFT
65
Sliak 3.9. Sprežno djelovanje
Primjetimo da na slici 3.7. i-tom retku odgovara skup od tri MISO petlje (i,1), (i,2) i (i,3) koje
imaju isti karakteristični polinom tj. nazivnik zatvorenog kruga:
)(1)()(1)( sLsqsgsD iiiii +=+= (3-31)
gdje je Li(s) funkcija prijenosa otvorenog kruga.
Za kraj ovog dijela će biti navedeni općeniti izrazi vezani uz MISO ekvivalente koji će biti
korisni u nastavku teksta. Proučavanjem gornjeg primjera mogli smo zaključiti kako je Yij(s)
u biti rezultat djelovanja dvaju ulaza: sprege cij i reference Rj. Prema tome imamo:
( ) ( ) )()()()()( sYsYsYsYsY ijjijj
cRcijRijij +=+= (3-32)
ili
)()()( ststst ijij cRij += (3-33)
zbog toga što je uzeto 1)( =sRj .
( ) jRij sY )( = )(sY jR predstavlja komponentu odziva zbog direktnog djelovanja reference. Dana
je kao:
i
iij
iii
iiiij
RR
L
Lf
qg
qgf
stsY jj
+
=
+
==
11
)()( (3-34)
( )ijcij sY )( = )(sY ijc predstavlja komponentu odziva zbog sprežnog djelovanja. Dana je kao:
i
ijii
ii
ijii
cc
L
cq
qg
cq
stsY ijij
+
=
+
==
11
)()(
1
(3-35)
gdje je:

69. 3. MIMO QFT
66
∑≠






−=
ik ik
kj
ij
q
t
c za k 1,2,...,n (3-36)
3.5. Odre ivanje servo granica
Specifikacije se u MIMO QFT, kao i u MISO QFT, zadaju unaprijed i definiraju kakvo je
ponašanje i-tog izlaza u odnosu na j-ti ulaz (uz sve ostale ulaze neaktivne). Drugim riječima
definira se raspon unutar kojeg se nalazi funkcija prijenosa:
)(
)(
)(
sR
sY
st
j
i
ij = uz 0)( =sRk za jk ≠ (3-37)
tako da vrijedi:
)()()()()( ωωωωω jTjbjtjajT GijijijijDij =≤≤= (3-38)
gdje je:
)()( ωω jajT ijDij = - donja amplitudno frekvencijska granica.
)()( ωω jbjT ijGij = - gornja amplitudno frekvencijska granica.
Sve specifikacije su skupljene u servo matricu čiji elementi τij definiraju dopuštene raspone
za ostvarene tj. stvarne funkcije prijenosa tij:










=
nnn
n
ττ
ττ
L
MOM
L
1
111
(3-39)
Za element matrice ijτ vrijedi:
)()()( ωωτω jbjja ijijij ≤≤ (3-40)
Cilj je pronaći kompenzator G(s) i prefilter F(s) koji su u stanju smjestiti tij unutar tog
raspona.
Vidjeli smo da je tij sastavljen od dvije komponente:
)()()( ststst ijij
cRij += (3-41)
gdje je:
)(st ijR - komponenta odziva uzrokovana direktnim djelovanjem reference 1)( =sRj .
Nazovimo je komponentom praćenja.
)(st ijc - komponenta odziva uzrokovana spregom. Nazovimo je komponentom sprege.
Prema tome iz izraza (3-38) dobivamo sljedeću nejednakost:
)()()()( ωωωω jbjtjtja ijcRij ijij
≤+≤ (3-42)

70. 3. MIMO QFT
67
Ako se pak razmatra najgori slučaj (znači zanemaruju se fazni odnosi) tada se gornji izraz
razbija na dvije nejednakosti:
)()()( ωωω jtjtja ijij cRij −≤ (3-43)
i
ijcR bjtjt ijij
≤+ )()( ωω (3-44)
Otuda pak imamo:
)()()( ωωω jtjtja ijij Rcij ≤+ (3-45)
i
)()( ωω jtbjt ijij cijR −≤ (3-46)
Vidimo kako komponenta praćenja ijRt ima uže specifikacije nego ijt uslijed postojanja
sprege. Razmotrimo primjer. Na slici 3.10. je dana servo specifikacija za tij, dakle
specifikacija koja definira u kojem rasponu se mogu kretati vrijednosti amplitude funkcije
prijenosa koja stavlja u odnos j-tu referencu i i-ti izlaz.
Slika 3.10. Zadane servo specifikacije
Komponentu odziva ijRt (komponenta praćenja) dobivamo tako da isključimo djelovanje
sprege cij. Na slici 3.11. je prikazana takva shema:
Slika 3.11. Dobivanje komponente praćenja

71. 3. MIMO QFT
68
Za Rj(s) 1 je )()()( stsYsY ijij RRij == . Na slici 3.12. je prikazano dobivanje sprežne
komponente odziva ijct :
Slika 3.12. Dobivanje sprežne komponente odziva
Za Rj(s) 0 je )()()( stsYsY ijij ccij == .
Dobiveno je za komponentu praćenja )( ωjt ijR da vrijedi (3-45) i (3-46). Prema tome
specifikacija na ponašanje kruga sa slike 3.11. je dana kao:
)(')()()()()()(' ωωωωωωω jbjtjbjtjtjaja ijcijRcijij ijijij
=−≤≤+= (3-46)
Na slici 3.13. su prikazane te granice(crvena boja) za prateću komponentu )( ωjt ijR u odnosu
na granice za )( ωjtij (crna boja):
Slika 3.13. Zadane i alocirane servo specifikacije
Uvedene oznake na slici 3.13. su:
)( ωτ jijR∆ – razlika gornje b'ij(jω) i donje a'ij(jω) granice. Predstavlja maksimalnu dopuštenu
varijaciju amplitudne karakteristike od )( ωjt ijR . U QFT-u se ova vrsta
specifikacija naziva alocirane servo specifikacija.